Grāds ir vienkārša daļa. Algebriskās daļas paaugstināšana līdz pakāpei: noteikums, piemēri

Nodarbībā tiks aplūkota vispārīgāka daļskaitļu reizināšanas versija - tā ir eksponēšana. Pirmkārt, mēs runāsim par daļskaitļa dabisko pakāpi un piemēriem, kas parāda līdzīgas darbības ar daļskaitļiem. Nodarbības sākumā atkārtosim arī veselu skaitļu izteiksmju paaugstināšanu līdz dabiskajam pakāpēm un redzēsim, kā tas noder turpmāko piemēru risināšanai.

Tēma: Algebriskās daļas. Aritmētiskās darbības ar algebriskām daļām

Nodarbība: Būvniecība algebriskā daļa līdz pakāpei

1. Noteikumi daļskaitļu un veselu skaitļu izteiksmju paaugstināšanai līdz dabiskajiem pakāpēm ar elementāriem piemēriem

Noteikums parasto un algebrisko daļskaitļu paaugstināšanai līdz dabiskajiem pakāpēm:

Varat izdarīt analoģiju ar vesela skaitļa izteiksmes pakāpi un atcerēties, kas ir domāts, palielinot to pakāpē:

1. piemērs .

Kā redzams no piemēra, daļdaļas paaugstināšana līdz pakāpei ir īpašs gadījums daļskaitļu reizināšana, kas tika pētīta iepriekšējā nodarbībā.

Piemērs 2. a), b) - mīnuss iet prom, jo mēs pacēlām izteiksmi līdz vienmērīgai jaudai.

Lai ērtāk strādātu ar grādiem, mēs atgādinām pamatnoteikumus dabiskā spēka paaugstināšanai:

- grādu reizinājums;

- grādu sadalījums;

Paaugstināt grādu līdz spēkam;

Darba pakāpe.

Piemērs 3. - tas mums ir zināms kopš tēmas "Paaugstināšana līdz veselu skaitļu izteiksmēm", izņemot vienu gadījumu: tas neeksistē.

2. Vienkāršākie piemēri algebrisko daļskaitļu paaugstināšanai naturālajos pakāpēs

4. piemērs. Palieliniet daļu līdz pakāpei.

Lēmums. Paaugstinot līdz vienmērīgai jaudai, mīnuss pazūd:

5. piemērs. Palieliniet daļu līdz pakāpei.

Lēmums. Tagad mēs izmantojam noteikumus pakāpes paaugstināšanai līdz jaudai nekavējoties bez atsevišķa grafika:

Tagad apsveriet kombinētos uzdevumus, kuros mums vajadzēs palielināt daļskaitļus līdz pakāpei, tās reizināt un dalīt.

6. piemērs. Veiciet darbības.

Lēmums. . Tālāk jums jāveic samazinājums. Mēs vienreiz detalizēti aprakstīsim, kā mēs to darīsim, un pēc tam nekavējoties norādīsim rezultātu pēc analoģijas:. Līdzīgi (vai saskaņā ar grādu dalīšanas likumu). Mums ir: .

7. piemērs. Veiciet darbības.

Lēmums. . Samazināšanu veic pēc analoģijas ar iepriekš apskatīto piemēru.

8. piemērs. Veiciet darbības.

Lēmums. . AT šis piemērs mēs vēlreiz sīkāk aprakstījām jaudu samazināšanas procesu daļās, lai konsolidētu šo metodi.

3. Sarežģītāki piemēri algebrisko daļu paaugstināšanai līdz naturālajiem pakāpēm (ņemot vērā zīmes un terminus iekavās)

9. piemērs. Veiciet darbības .

Lēmums. Šajā piemērā mēs jau izlaidīsim atsevišķu daļu reizināšanu un nekavējoties izmantosim to reizināšanas noteikumu un pierakstīsim to zem viena saucēja. Tajā pašā laikā mēs sekojam zīmēm - šajā gadījumā daļskaitļi tiek pacelti līdz pat pakāpēm, tāpēc mīnusi pazūd. Beigās veiksim samazinājumu.

10. piemērs: veiciet darbības .

Lēmums. Šajā piemērā ir daļskaitļu dalījums, atcerieties, ka šajā gadījumā pirmā daļa tiek reizināta ar otro, bet apgriezta.

Paaugstināšana ir darbība, kas ir cieši saistīta ar reizināšanu, šī darbība ir skaitļa vairākkārtējas reizināšanas rezultāts. Attēlosim formulu: a1 * a2 * ... * an = an.

Piemēram, a=2, n=3: 2*2*2=2^3 = 8 .

Kopumā kāpināšanu bieži izmanto dažādās matemātikas un fizikas formulās. Šai funkcijai ir zinātniskāks mērķis nekā četrām pamata funkcijām: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana.

Skaitļa palielināšana pakāpē

Skaitļa palielināšana pakāpē nav sarežģīta darbība. Tas ir saistīts ar reizināšanu, piemēram, attiecības starp reizināšanu un saskaitīšanu. Ieraksts an - īss ieraksts ar n-to skaitļu skaitu "a", kas reizināts viens ar otru.

Apsveriet maksimāli iespējamo eksponenci vienkārši piemēri pārejot uz sarežģītiem.

Piemēram, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Četri kvadrātā (līdz otrajai pakāpei) ir vienāds ar sešpadsmit. Ja jūs nesaprotat reizināšanu 4 * 4, izlasiet mūsu rakstu par reizināšanu.

Apskatīsim citu piemēru: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pieci kubi (līdz trešajai pakāpei) ir vienādi ar simts divdesmit pieci.

Vēl viens piemērs: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Deviņi kubi ir septiņi simti divdesmit deviņi.

Paaugstināšanas formulas

Lai pareizi palielinātu jaudu, jums jāatceras un jāzina tālāk norādītās formulas. Šajā nav nekas tālāk par dabisku, galvenais ir saprast būtību un tad tie ne tikai paliks atmiņā, bet arī liksies viegli.

Monomāla paaugstināšana līdz jaudai

Kas ir monoms? Tas ir skaitļu un mainīgo reizinājums jebkurā daudzumā. Piemēram, divi ir monomāls. Un šis raksts ir par šādu monomu pacelšanu līdz varai.

Izmantojot kāpināšanas formulas, nebūs grūti aprēķināt monoma paaugstināšanu pakāpē.

Piemēram, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Ja paaugstināsit monomu līdz pakāpei, tad katra monoma sastāvdaļa tiek paaugstināta līdz pakāpei.

Paaugstinot mainīgo, kuram jau ir pakāpe, pakāpes tiek reizinātas. Piemēram, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Paaugstināšana līdz negatīvam spēkam

Negatīvs eksponents ir skaitļa reciproks. Kas ir savstarpējs? Jebkuram skaitlim X apgrieztā vērtība ir 1/X. Tas ir X-1=1/X. Tāda ir negatīvās pakāpes būtība.

Apsveriet piemēru (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Kāpēc ir tā, ka? Tā kā pakāpē ir mīnuss, mēs vienkārši pārnesam šo izteiksmi uz saucēju un pēc tam paaugstinām to uz trešo pakāpi. Vai tikai pareizi?

Paaugstināšana līdz daļējai jaudai

Sāksim diskusiju tālāk konkrēts piemērs. 43/2. Ko nozīmē jauda 3/2? 3 - skaitītājs, nozīmē skaitļa (šajā gadījumā 4) palielināšanu kubā. Skaitlis 2 ir saucējs, tas ir skaitļa otrās saknes iegūšana (šajā gadījumā 4).

Tad mēs iegūstam kvadrātsakni no 43 = 2^3 = 8 . Atbilde: 8.

Tātad daļējas pakāpes saucējs var būt vai nu 3, vai 4, un līdz bezgalībai jebkurš skaitlis, un šis skaitlis nosaka pakāpi kvadrātsakne iegūts no dotais numurs. Protams, saucējs nevar būt nulle.

Saknes paaugstināšana līdz spēkam

Ja sakne tiek pacelta līdz pakāpei, kas vienāda ar pašas saknes jaudu, tad atbilde ir radikālā izteiksme. Piemēram, (√x)2 = x. Un tā jebkurā gadījumā saknes pakāpes un saknes celšanas pakāpes vienlīdzības gadījumā.

Ja (√x)^4. Pēc tam (√x)^4=x^2. Lai pārbaudītu risinājumu, mēs tulkojam izteiksmi izteiksmē ar daļēju pakāpi. Tā kā sakne ir kvadrāts, tad saucējs ir 2. Un, ja sakne tiek pacelta līdz ceturtajai pakāpei, tad skaitītājs ir 4. Iegūstam 4/2=2. Atbilde: x = 2.

Vienalga labākais veids vienkārši pārveidojiet izteiksmi izteiksmē ar daļskaitli. Ja daļskaitlis netiek samazināts, tad šāda atbilde būs ar nosacījumu, ka nav piešķirta dotā skaitļa sakne.

Kompleksā skaitļa kāpināšana

Kas ir kompleksais skaitlis? Komplekss skaitlis ir izteiksme, kuras formula ir a + b * i; a, b ir reāli skaitļi. i ir skaitlis, kuru kvadrātā saliekot, iegūst skaitli -1.

Apsveriet piemēru. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Pierakstieties kursam "Paātrināt skaitīšanu prātā, NEVIS prāta aritmētiku", lai uzzinātu, kā ātri un pareizi saskaitīt, atņemt, reizināt, dalīt, kvadrātā un pat iesakņoties. 30 dienu laikā jūs uzzināsit, kā izmantot vienkāršus trikus, lai vienkāršotu aritmētiskās darbības. Katra nodarbība satur jaunus paņēmienus, skaidrus piemērus un noderīgus uzdevumus.

Paaugstināšana tiešsaistē

Ar mūsu kalkulatora palīdzību jūs varat aprēķināt skaitļa paaugstināšanu pakāpē:

Paaugstināšanas pakāpe 7

Paaugstināšana pie varas sāk iziet skolēni tikai septītajā klasē.

Paaugstināšana ir darbība, kas ir cieši saistīta ar reizināšanu, šī darbība ir skaitļa vairākkārtējas reizināšanas rezultāts. Attēlosim formulu: a1 * a2 * … * an=an .

Piemēram, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Risinājumu piemēri:

Paaugstināšanas prezentācija

Prezentācija par kāpināšanu, paredzēta septīto klašu skolēniem. Prezentācija var precizēt dažus nesaprotamus punktus, bet, iespējams, šādu punktu nebūs, pateicoties mūsu rakstam.

Rezultāts

Mēs esam apsvēruši tikai aisberga virsotni, lai labāk izprastu matemātiku - piesakieties mūsu kursam: Paātrināt garīgo aritmētiku - NEVIS mentālo aritmētiku.

Kursā jūs ne tikai apgūsiet desmitiem triku vienkāršotai un ātrai reizināšanai, saskaitīšanai, reizināšanai, dalīšanai, procentu aprēķināšanai, bet arī izstrādāsiet tos īpašos uzdevumos un izglītojošās spēlēs! Arī prāta skaitīšana prasa lielu uzmanību un koncentrēšanos, kas tiek aktīvi trenēta interesantu problēmu risināšanā.

Instrukcija

Ja avotā tas ir norādīts parastas daļskaitļa formātā, tad darbība jāveic divos posmos. To secība nekādi neietekmēs rezultātu – sāciet, piemēram, izvelkot no daļskaitļa saucējā norādītā pakāpes saknes skaitļa. Piemēram, lai paaugstinātu uz grāds⅔ šajā solī skaitlis 64 ir jāizņem no tā: 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Palieliniet pirmajā solī iegūto vērtību līdz grāds vienāds ar skaitli daļdaļas skaitītājā. Šīs darbības rezultāts būs skaitļa palielināšana līdz daļskaitlim grāds. Iepriekšējās darbības piemērā visu aprēķina procesu var uzrakstīt šādi: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Veiciet aprēķinu vienkāršību, nosakot iepriekš aprakstīto darbību secību, iegūstot sakni un paaugstinot uz grāds. Piemēram, ja tas būtu prasīts tajā pašā grāds⅔ lai palielinātu skaitli 8, tad sākot ar astoņnieka kubsaknes ņemšanu būtu , jo rezultāts būtu daļskaitlis . Šajā gadījumā labāk ir sākt ar 8 kvadrātu un pēc tam ņemt trešo sakni no 64 un tādējādi izvairīties no daļējām starpvērtībām: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Ja eksponents avota datos ir norādīts decimālā formātā, sāciet, pārveidojot to par parastu daļskaitli un pēc tam izpildiet iepriekš aprakstīto algoritmu. Piemēram, lai palielinātu skaitli līdz grāds 0,75 pārveidojiet šo skaitli parastā daļā ¾, pēc tam izņemiet ceturto sakni un paaugstiniet rezultātu kubā.

Izmantojiet jebkuru, ja aprēķinu gaitai nav nozīmes, bet svarīgs ir tikai rezultāts. Tas var būt arī iegults skripts Google meklētājs- ar viņa palīdzību vēlamo vērtību pat vienkāršāk nekā izmantojot standarta Windows kalkulatoru. Piemēram, lai palielinātu skaitli 15 līdz grāds⅗ dodieties uz mājas lapa vietni un meklēšanas vaicājuma laukā ievadiet 15^(3/5). Google parādīs aprēķinu rezultātu ar precizitāti līdz 8 rakstzīmēm, pat nenospiežot sūtīšanas pieprasījuma pogu: 15 ^ (3/5) = 5,07755639.

Avoti:

kā palielināt līdz daļējai pakāpei

Grāds cipariem sakārtots skolā algebras stundās. Dzīvē šādu operāciju veic reti. Piemēram, aprēķinot kvadrāta laukumu vai kuba tilpumu, tiek izmantoti grādi, jo garums, platums un kubam un augstums ir vienādas vērtības. Pretējā gadījumā kāpināšanai visbiežāk ir lietišķs rūpniecisks raksturs.

Jums būs nepieciešams

Papīrs, pildspalva, inženiertehniskais kalkulators, grādu tabulas, programmatūras produkti (piemēram, Excel izklājlapu redaktors).

Instrukcija

Strādājot ar negatīvu skaitli, jums jābūt uzmanīgiem ar zīmēm. Jāatceras, ka pāra pakāpe (n) dos plusa zīmi, nepāra - zīmi.
piemēram
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Nulles grāds (n = 0) no jebkura cipariem vienmēr būs vienāds ar vienu.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1 Ja n = 1, skaitlis nav jāreizina ar sevi.
gribas
7^1 = 7
329^1 = 329

Ja n = 2, tad pakāpe ir kvadrāts, ja n = 3, grādu sauc par kubu. Aprēķināt kvadrātu un kubu no pirmā desmitnieka skaitļiem ir diezgan vienkārši. Bet ar pieaugumu cipariem paaugstināts līdz jaudai, un, pašai jaudai pieaugot, aprēķini kļūst darbietilpīgi. Šādiem aprēķiniem tika izstrādātas īpašas tabulas. Ir arī speciāli inženierijas un tiešsaistes kalkulatori, programmatūras produkti. Kā vienkāršāko programmatūru darbībām ar varat izmantot izklājlapu redaktoru Excel.

Avoti:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

Risinot dažas tehniskas problēmas, var būt nepieciešams aprēķināt sakne trešais grāds. Dažreiz šo skaitli sauc arī par kuba sakni. sakne trešais grāds no dotā skaitļa tiek izsaukts tāds skaitlis, kura kubs (trešā pakāpe) ir vienāds ar doto. Tas ir, ja y sakne trešais grāds skaitļi x, tad jāizpilda šāds nosacījums: y?=x (x ir vienāds ar y kubu).

Jums būs nepieciešams

kalkulators vai dators

Instrukcija

Saskaitīt sakne grāds izmantojiet kalkulatoru. Vēlams, lai tas nebūtu parasts, bet gan inženiertehniskiem aprēķiniem izmantots kalkulators. Tomēr pat uz tā jūs neatradīsit īpašu pogu saknes iegūšanai. trešais grāds. Tāpēc izmantojiet funkciju, lai palielinātu skaitli pakāpē. Saknes ekstrakcija trešais grāds atbilst paaugstināšanai līdz 1/3 (vienai trešdaļai) jaudai.

Lai palielinātu skaitli līdz 1/3, ierakstiet pašu skaitli uz kalkulatora tastatūras. Pēc tam nospiediet taustiņu "pastiprināšana". Šāda poga, atkarībā no kalkulatora veida, var izskatīties kā xy (y — augšindeksa formā). Tā kā lielākajai daļai kalkulatoru nav iespējas strādāt ar parastiem (ne decimālskaitļiem), skaitļa 1/3 vietā ierakstiet tā aptuveno vērtību: 0,33. Lai iegūtu lielāku aprēķinu precizitāti, nepieciešams palielināt "trīskāršu" skaitu, piemēram, sastādiet 0.33333333333333. Pēc tam nospiediet pogu "=".

Saskaitīt sakne trešais grāds uz , izmantojiet standarta Windows kalkulatoru. Procedūra ir pilnīgi līdzīga tai, kas aprakstīta instrukcijas iepriekšējā punktā. Vienīgā lieta ir kāpināšanas pogas. "Datora" kalkulatorā tas izskatās kā x ^ y.

Ja sakne trešais grāds Ja jums tas jādara sistemātiski, izmantojiet MS Excel. Saskaitīt sakne trešais grāds programmā Excel ievadiet zīmi “=” jebkurā šūnā un pēc tam atlasiet “fx” - ievietojiet funkciju. Parādītajā logā sarakstā "Atlasīt funkciju" atlasiet rindu "DEGREE". Noklikšķiniet uz pogas Labi. Tikko parādītajā logā rindā "Numurs" ievadiet tā skaitļa vērtību, no kura vēlaties iegūt sakne. Rindā "Grādi" ievadiet skaitli "1/3" un noklikšķiniet uz "OK". Tabulā parādīsies vēlamā kuba saknes vērtība no sākotnējā skaitļa.

Tehniskajos aprēķinos un daudzu problēmu risināšanā dažreiz tas ir nepieciešams sakne, tas ir, atrodiet skaitli, kura kubs ir vienāds ar sākotnējo. Lai aprēķinātu kuba saknes vērtību, pietiek ar inženiertehnisko kalkulatoru. Tomēr pat šādā kalkulatorā nav īpašas atslēgas kuba saknes aprēķināšanai. Bet, izmantojot dažus vienkāršus trikus, jūs varat iztikt bez šādas pogas.

Jums būs nepieciešams

inženierijas kalkulators vai dators

Instrukcija

Lai, izmantojot kalkulatoru, atrastu kuba sakni, ņemiet inženiertehnisko numuru un ierakstiet tajā sākotnējo numuru. Pēc tam noklikšķiniet uz paplašināšanas pogas. Tagad ievadiet indikatora vērtību. Šajā gadījumā tam (teorētiski) jābūt vienādam ar 1/3. Bet, tā kā parasto daļskaitļu izmantošana pat inženiertehniskajā kalkulatorā ir sarežģīta, ierakstiet skaitļa noapaļoto vērtību 1/3, tas ir: 0,33. Pēc tam noklikšķiniet uz pogas "=". Vēlamā vērtība parādīsies uz kalkulatora indikatora. Lai iegūtu vairāk precīza vērtība, sastādiet nevis divus trīskāršus, bet, piemēram, 0.333333333333.

Lai datorā aprēķinātu kuba sakni, palaidiet kalkulatora programmu. Ja atbilstošās ikonas darbvirsmā nav, rīkojieties šādi:
- nospiediet pogu "Sākt";
- atlasiet izvēlnes vienumu "Palaist";
- parādītajā logā ievadiet rindiņu “calc” Ja uz darbvirsmas redzamajam kalkulatoram ir normāls izskats (atgādina “grāmatvedības kalkulatoru”), tad pārslēdz to uz aprēķina režīmu. Lai to izdarītu, atlasiet rindu "Skatīt" un atlasiet vienumu "Inženierzinātne" Tagad ievadiet numuru, no kura vēlaties iegūt kuba sakni. Pēc tam nospiediet pogu "x^y" uz kalkulatora. Pēc tam sastādiet, piemēram, 0,33. Lai iegūtu precīzāku rezultātu, varat ievadīt lielāku eksponenta vērtību, piemēram, 0,333333333333. Lai iegūtu precīzu rezultātu, iekavās ievadiet eksponentu "1/3". Tas ir, nospiediet taustiņus "(1/3)" secīgi.

Aprēķins programmā Excel. Palaidiet pašu programmu, nospiediet pogu "=" un atlasiet funkciju "DEGREE". Pēc tam ievadiet numuru, no kura vēlaties iegūt grāda sakni. Pēc tam nākamajā parādītajā logā ierakstiet daļu "1/3" un noklikšķiniet uz pogas "OK".

Saistītie video

Avoti:

kā aprēķināt kubu saknes

Risinot aritmētiskos un algebriskos uzdevumus, dažreiz ir jābūvē frakcija iekšā kvadrāts. Vienkāršākais veids, kā to izdarīt, ir tad, kad frakcija decimālskaitlis - pietiek ar parastu kalkulatoru. Tomēr, ja frakcija parastā vai jauktā, tad paaugstinot šādu skaitli līdz kvadrāts var rasties dažas grūtības.

Mēs noskaidrojām, kāda ir skaitļa pakāpe kopumā. Tagad mums ir jāsaprot, kā to pareizi aprēķināt, t.i. palielināt skaitļus līdz pakāpēm. Šajā materiālā mēs analizēsim pamatnoteikumus pakāpes aprēķināšanai vesela skaitļa, dabiskā, daļēja, racionālā un iracionālā eksponenta gadījumā. Visas definīcijas tiks ilustrētas ar piemēriem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Paaugstināšanas jēdziens

Sāksim ar pamata definīciju formulēšanu.

1. definīcija

Paaugstināšana ir kāda skaitļa jaudas vērtības aprēķins.

Tas ir, vārdi "pakāpes vērtības aprēķināšana" un "pastiprināšana" nozīmē vienu un to pašu. Tātad, ja uzdevums ir "Palielināt skaitli 0 , 5 līdz piektajai pakāpei", tas jāsaprot kā "aprēķināt jaudas (0 , 5) vērtību 5 .

Tagad mēs sniedzam pamatnoteikumus, kas jāievēro šādos aprēķinos.

Atgādiniet, kas ir skaitļa ar naturālo eksponentu jauda. Pakāpei ar bāzi a un eksponentu n tas būs n-tā faktoru skaita reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. To var uzrakstīt šādi:

Lai aprēķinātu pakāpes vērtību, ir jāveic reizināšanas operācija, tas ir, jāreizina pakāpes bāzes norādīto reižu skaitu. Pati jēdziens par grādu ar dabisku rādītāju ir balstīts uz spēju ātri pavairot. Sniegsim piemērus.

1. piemērs

Stāvoklis: Paaugstināt - 2 līdz 4 pakāpei.

Lēmums

Izmantojot iepriekš minēto definīciju, mēs rakstām: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Tālāk mums vienkārši jāveic šīs darbības un jāiegūst 16 .

Ņemsim sarežģītāku piemēru.

2. piemērs

Aprēķiniet vērtību 3 2 7 2

Lēmums

Šo ierakstu var pārrakstīt kā 3 2 7 · 3 2 7 . Iepriekš mēs apskatījām, kā pareizi reizināt nosacījumā minētos jauktos skaitļus.

Veiciet šīs darbības un saņemiet atbildi: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ja uzdevums norāda uz nepieciešamību palielināt iracionālos skaitļus līdz dabiskajam pakāpēm, mums vispirms būs jānoapaļo to bāzes līdz ciparam, kas ļaus iegūt vēlamo precizitāti. Ņemsim piemēru.

3. piemērs

Veiciet skaitļa π sadalīšanu kvadrātā.

Lēmums

Vispirms noapaļosim līdz simtdaļām. Tad π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ja π ≈ 3 . 14159, tad iegūsim precīzāku rezultātu: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Ņemiet vērā, ka nepieciešamība aprēķināt iracionālo skaitļu pakāpes praksē rodas salīdzinoši reti. Pēc tam mēs varam rakstīt atbildi kā pašu jaudu (ln 6) 3 vai konvertēt, ja iespējams: 5 7 = 125 5 .

Atsevišķi jānorāda, kāda ir skaitļa pirmā pakāpe. Šeit jūs varat tikai atcerēties, ka jebkurš skaitlis, kas pacelts līdz pirmajai pakāpei, paliks pats:

Tas ir skaidrs no ieraksta. .

Tas nav atkarīgs no grāda pamata.

4. piemērs

Tātad (− 9) 1 = − 9 un 7 3, kas pacelts līdz pirmajai pakāpei, paliek vienāds ar 7 3 .

Ērtības labad mēs analizēsim trīs gadījumus atsevišķi: ja eksponents ir pozitīvs vesels skaitlis, ja tas ir nulle un ja tas ir negatīvs vesels skaitlis.

Pirmajā gadījumā tas ir tas pats, kas paaugstināšana līdz naturālajam pakāpēm: galu galā pozitīvi veseli skaitļi pieder naturālo skaitļu kopai. Iepriekš mēs jau aprakstījām, kā strādāt ar šādiem grādiem.

Tagad redzēsim, kā pareizi paaugstināt līdz nulles jaudai. Ja bāze nav nulle, šis aprēķins vienmēr nodrošina izvadi 1 . Iepriekš esam paskaidrojuši, ka a 0. pakāpju var definēt jebkuram reāls skaitlis, nav vienāds ar 0, un a 0 = 1.

5. piemērs

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nav definēts.

Mums paliek tikai pakāpes gadījums ar negatīvu veselu eksponentu. Mēs jau runājām par to, ka šādas pakāpes var uzrakstīt kā daļu 1 a z, kur a ir jebkurš skaitlis, un z ir negatīvs vesels skaitlis. Mēs redzam, ka šīs daļdaļas saucējs ir nekas cits kā parasta pakāpe ar pozitīvu veselu skaitli, un mēs jau esam iemācījušies to aprēķināt. Sniegsim uzdevumu piemērus.

6. piemērs

Paceliet 3 līdz -2 jaudai.

Lēmums

Izmantojot iepriekš minēto definīciju, mēs rakstām: 2 - 3 = 1 2 3

Mēs aprēķinām šīs daļas saucēju un iegūstam 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Tad atbilde ir: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

7. piemērs

Palieliniet 1, 43 līdz -2.

Lēmums

Pārformulēt: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Aprēķinām kvadrātu saucējā: 1,43 1,43. Decimālskaitļus var reizināt šādi:

Rezultātā mēs saņēmām (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Mums atliek uzrakstīt šo rezultātu parastas daļskaitļa formā, kam tas jāreizina ar 10 tūkstošiem (skat. materiālu par daļu pārvēršanu).

Atbilde: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Atsevišķs gadījums ir skaitļa palielināšana līdz mīnus pirmajai pakāpei. Šādas pakāpes vērtība ir vienāda ar skaitli, kas ir pretējs bāzes sākotnējai vērtībai: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

8. piemērs

Piemērs: 3–1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kā palielināt skaitli līdz daļskaitlim

Lai veiktu šādu darbību, mums jāatgādina pakāpes pamatdefinīcija ar daļēju eksponentu: a m n \u003d a m n jebkuram pozitīvam a, veselam skaitlim m un dabiskajam n.

2. definīcija

Tādējādi daļējas pakāpes aprēķins jāveic divos posmos: paaugstinot līdz veselam skaitlim un atrodot n-tās pakāpes sakni.

Mums ir vienādība a m n = a m n , kuru, ņemot vērā sakņu īpašības, parasti izmanto uzdevumu risināšanai formā a m n = a n m . Tas nozīmē, ka, ja mēs paaugstinām skaitli a līdz daļējai pakāpei m / n, tad vispirms no a izņemam n-tās pakāpes sakni, pēc tam rezultātu paaugstinām līdz pakāpei ar veselu eksponentu m.

Ilustrēsim ar piemēru.

9. piemērs

Aprēķināt 8 - 2 3 .

Lēmums

1. metode. Saskaņā ar pamata definīciju mēs to varam attēlot šādi: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Tagad aprēķināsim pakāpi zem saknes un no rezultāta atdalīsim trešo sakni: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2. metode. Pārveidosim pamata vienādību: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Pēc tam mēs izņemam sakni 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 un izvelkam rezultātu: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Mēs redzam, ka risinājumi ir identiski. Jūs varat izmantot jebkurā veidā, kas jums patīk.

Ir gadījumi, kad grādam ir rādītājs, kas izteikts kā jaukts skaitlis vai decimāldaļdaļa. Aprēķinu atvieglošanai labāk to aizstāt ar parastu daļu un skaitīt, kā norādīts iepriekš.

10. piemērs

Palieliniet 44,89 līdz 2,5.

Lēmums

Pārveidosim rādītāja vērtību parastā daļskaitlī - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Un tagad mēs veicam visas iepriekš norādītās darbības secībā: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 =1 = 510 70 13 501, 25107

Atbilde: 13501, 25107.

Ja daļskaitļa eksponenta skaitītājs un saucējs ir lieli cipari, tad šādu pilnvaru aprēķins ar racionālie rādītāji- diezgan grūts darbs. Tas parasti prasa datortehnoloģiju.

Atsevišķi mēs pakavējamies pie pakāpes ar nulles bāzi un daļēju eksponentu. Formas 0 m n izteiksmei var piešķirt šādu nozīmi: ja m n > 0, tad 0 m n = 0 m n = 0 ; ja m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kā palielināt skaitli līdz iracionālam pakāpēm

Nepieciešamība aprēķināt grāda vērtību, kuras rādītājā ir iracionāls skaitlis, nerodas tik bieži. Praksē uzdevums parasti aprobežojas ar aptuvenas vērtības aprēķināšanu (līdz noteiktam zīmju skaitam aiz komata). To parasti aprēķina datorā šādu aprēķinu sarežģītības dēļ, tāpēc mēs par to sīkāk nekavēsimies, norādīsim tikai galvenos noteikumus.

Ja mums ir jāaprēķina pakāpes a vērtība ar iracionālu eksponentu a , tad mēs ņemam eksponenta decimālo tuvinājumu un skaitām no tā. Rezultāts būs aptuvena atbilde. Jo precīzāka ir decimālā tuvināšana, jo precīzāka ir atbilde. Parādīsim ar piemēru:

11. piemērs

Aprēķiniet aptuveno vērtību 21 , 174367 ....

Lēmums

Mēs aprobežojamies ar decimālo tuvinājumu a n = 1 , 17 . Veiksim aprēķinus, izmantojot šo skaitli: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Ja ņemam, piemēram, aproksimāciju a n = 1 , 1743 , tad atbilde būs nedaudz precīzāka: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Jums būs nepieciešams

kalkulators, dators, Excel aplikācija.

Instrukcija

Lai palielinātu decimāldaļu frakcija iekšā kvadrāts, paņemiet inženiertehnisko, sastādiet to, kas tiek iebūvēts kvadrāts frakcija un nospiediet kāpināšanas taustiņu. Lielākajā daļā kalkulatoru šī poga ir apzīmēta ar "x²". Standarta Windows kalkulatorā paaugstināšana līdz kvadrāts izskatās kā "x^2". Piemēram, kvadrāts decimāldaļdaļa 3,14 būs vienāda ar: 3,14² = 9,8596.

Lai paaugstinātu līdz kvadrāts decimālzīme frakcija parastā (grāmatvedības) kalkulatorā reiziniet šo skaitli ar sevi. Starp citu, dažos kalkulatoru modeļos ir iespējams palielināt skaitli līdz kvadrāts pat ja nav speciālas pogas. Tāpēc vispirms izlasiet norādījumus par konkrētu kalkulatoru. Dažreiz uz aizmugurējā vāka vai kalkulatora ir norādītas "grūtīgas" kāpinājumus. Piemēram, daudzos kalkulatoros skaitļa palielināšanai līdz kvadrāts vienkārši nospiediet pogas "x" un "=".

Erekcijai in kvadrāts parastā daļdaļa (sastāv no skaitītāja un saucēja), paaugstināt līdz kvadrāts atsevišķi šīs daļdaļas skaitītāju un saucēju. Tas ir, izmantojiet šādu noteikumu: (h / s)² = h² / s², kur h ir daļdaļas skaitītājs, s ir daļdaļas saucējs. Piemērs: (3/4)² = 3² / 4² = 9 /16.

Ja tas ir uzcelts kvadrāts frakcija- jaukts (sastāv no veselas skaitļa daļas un parastās daļdaļas), pēc tam vispirms nogādājiet to uz parasts izskats. Tas ir, izmantojiet šādu formulu: (ts h / s)² \u003d ((ts * s + h) / s) ² \u003d (ts * s + h) ² / s², kur ts ir vesels skaitlis jauktā frakcija. Piemērs: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Ja iekšā kvadrāts(ne) daļskaitļi ir nemainīgi, tad izmantojiet MS Excel. Lai to izdarītu, vienā no tabulām ievadiet šādu formulu: \u003d DEGREE (A2; 2) kur A2 ir tās šūnas adrese, kurā tiks ievadīta paaugstinātā vērtība kvadrāts frakcija.Lai norādītu programmai, ka ievades numurs ir jāapstrādā kā frakcija yu (t.i., nepārvērtiet to decimāldaļā), ierakstiet pirms frakcija cipars "0" un zīme "atstarpe". Tas ir, lai ievadītu, piemēram, daļskaitli 2/3, jums jāievada: "0 2/3" (un nospiediet taustiņu Enter). Šajā gadījumā ievades rindā tiks parādīts ievadītās daļskaitļa decimālais attēlojums. Daļas vērtība un attēlojums tieši tiks saglabāts sākotnējā formā. Turklāt, lietojot matemātiskās funkcijas, kuras argumenti ir parastās daļskaitļi, rezultāts tiks attēlots arī kā parasta daļdaļa. Līdz ar to kvadrāts daļa 2/3 tiks attēlota kā 4/9.