Grāds un tā īpašības. Visaptverošs ceļvedis (2019)

Mēs noskaidrojām, kāda ir skaitļa pakāpe kopumā. Tagad mums ir jāsaprot, kā to pareizi aprēķināt, t.i. palielināt skaitļus līdz pakāpēm. Šajā materiālā mēs analizēsim pamatnoteikumus pakāpes aprēķināšanai vesela skaitļa, dabiskā, daļskaitļa, racionālā un iracionālā eksponenta gadījumā. Visas definīcijas tiks ilustrētas ar piemēriem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Paaugstināšanas jēdziens

Sāksim ar pamata definīciju formulēšanu.

1. definīcija

Paaugstināšana ir kāda skaitļa jaudas vērtības aprēķins.

Tas ir, vārdi "pakāpes vērtības aprēķināšana" un "pastiprināšana" nozīmē vienu un to pašu. Tātad, ja uzdevums ir "Palielināt skaitli 0 , 5 līdz piektajai pakāpei", tas jāsaprot kā "aprēķināt jaudas (0 , 5) vērtību 5 .

Tagad mēs sniedzam pamatnoteikumus, kas jāievēro šādos aprēķinos.

Atgādiniet, kas ir skaitļa ar naturālo eksponentu jauda. Pakāpei ar bāzi a un eksponentu n tas būs n-tā faktoru skaita reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. To var uzrakstīt šādi:

Lai aprēķinātu pakāpes vērtību, ir jāveic reizināšanas operācija, tas ir, jāreizina pakāpes bāzes norādīto reižu skaitu. Pati jēdziens par grādu ar dabisku rādītāju ir balstīts uz spēju ātri pavairot. Sniegsim piemērus.

1. piemērs

Stāvoklis: Paaugstināt - 2 līdz 4 pakāpei.

Risinājums

Izmantojot iepriekš minēto definīciju, mēs rakstām: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Tālāk mums vienkārši jāveic šīs darbības un jāiegūst 16 .

Ņemsim sarežģītāku piemēru.

2. piemērs

Aprēķiniet vērtību 3 2 7 2

Risinājums

Šo ierakstu var pārrakstīt kā 3 2 ​​7 · 3 2 7 . Iepriekš mēs apskatījām, kā pareizi reizināt nosacījumā minētos jauktos skaitļus.

Veiciet šīs darbības un saņemiet atbildi: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ja uzdevumā ir norādīta nepieciešamība izveidot ir racionālie skaitļi līdz dabiskajam spēkam, mums vispirms būs jānoapaļo to bāze līdz ciparam, kas ļaus mums iegūt vēlamo precizitāti. Ņemsim piemēru.

3. piemērs

Veiciet skaitļa π sadalīšanu kvadrātā.

Risinājums

Vispirms noapaļosim līdz simtdaļām. Tad π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ja π ≈ 3 . 14159, tad iegūsim precīzāku rezultātu: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Ņemiet vērā, ka nepieciešamība aprēķināt iracionālo skaitļu pakāpes praksē rodas salīdzinoši reti. Pēc tam mēs varam rakstīt atbildi kā pašu jaudu (ln 6) 3 vai konvertēt, ja iespējams: 5 7 = 125 5 .

Atsevišķi jānorāda, kāda ir skaitļa pirmā pakāpe. Šeit jūs varat tikai atcerēties, ka jebkurš skaitlis, kas pacelts līdz pirmajai pakāpei, paliks pats:

Tas ir skaidrs no ieraksta. .

Tas nav atkarīgs no grāda pamata.

4. piemērs

Tātad (− 9) 1 = − 9 un 7 3, kas pacelts līdz pirmajai pakāpei, paliek vienāds ar 7 3 .

Ērtības labad mēs analizēsim trīs gadījumus atsevišķi: ja eksponents ir pozitīvs vesels skaitlis, ja tas ir nulle un ja tas ir negatīvs vesels skaitlis.

Pirmajā gadījumā tas ir tas pats, kas paaugstināšana līdz naturālajam pakāpēm: galu galā pozitīvi veseli skaitļi pieder naturālo skaitļu kopai. Iepriekš mēs jau aprakstījām, kā strādāt ar šādiem grādiem.

Tagad redzēsim, kā pareizi paaugstināt līdz nulles jaudai. Ja bāze nav nulle, šis aprēķins vienmēr nodrošina izvadi 1 . Mēs jau iepriekš paskaidrojām, ka a 0. pakāpe var tikt definēta jebkuram reālam skaitlim, kas nav vienāds ar 0, un a 0 = 1.

5. piemērs

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nav definēts.

Mums paliek tikai pakāpes gadījums ar negatīvu veselu eksponentu. Mēs jau runājām par to, ka šādas pakāpes var uzrakstīt kā daļu 1 a z, kur a ir jebkurš skaitlis, un z ir negatīvs vesels skaitlis. Mēs redzam, ka šīs daļas saucējs ir nekas cits kā parastā grāds ar pozitīvu veselu skaitli, un mēs jau esam iemācījušies to aprēķināt. Sniegsim uzdevumu piemērus.

6. piemērs

Paceliet 3 līdz -2 jaudai.

Risinājums

Izmantojot iepriekš minēto definīciju, mēs rakstām: 2 - 3 = 1 2 3

Mēs aprēķinām šīs daļas saucēju un iegūstam 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Tad atbilde ir: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

7. piemērs

Palieliniet 1, 43 līdz -2.

Risinājums

Pārformulēt: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Aprēķinām kvadrātu saucējā: 1,43 1,43. Decimālskaitļus var reizināt šādi:

Rezultātā mēs saņēmām (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Mums atliek uzrakstīt šo rezultātu formā kopējā frakcija, kam nepieciešams to reizināt ar 10 tūkstošiem (skat. materiālu par daļskaitļu pārvēršanu).

Atbilde: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Atsevišķs gadījums ir skaitļa palielināšana līdz mīnus pirmajai pakāpei. Šādas pakāpes vērtība ir vienāda ar skaitli, kas ir pretējs bāzes sākotnējai vērtībai: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

8. piemērs

Piemērs: 3–1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kā palielināt skaitli līdz daļskaitlim

Lai veiktu šādu darbību, mums jāatgādina pakāpes pamatdefinīcija ar daļēju eksponentu: a m n \u003d a m n jebkuram pozitīvam a, veselam skaitlim m un dabiskajam n.

2. definīcija

Tādējādi daļējas pakāpes aprēķins jāveic divos posmos: paaugstinot līdz veselam skaitlim un atrodot n-tās pakāpes sakni.

Mums ir vienādība a m n = a m n , kuru, ņemot vērā sakņu īpašības, parasti izmanto uzdevumu risināšanai formā a m n = a n m . Tas nozīmē, ka, ja mēs paaugstinām skaitli a līdz daļējai pakāpei m / n, tad vispirms no a izņemam n-tās pakāpes sakni, pēc tam rezultātu paaugstinām līdz pakāpei ar veselu eksponentu m.

Ilustrēsim ar piemēru.

9. piemērs

Aprēķināt 8 - 2 3 .

Risinājums

1. metode. Saskaņā ar pamata definīciju mēs to varam attēlot šādi: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Tagad aprēķināsim pakāpi zem saknes un no rezultāta atdalīsim trešo sakni: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2. metode. Pārveidosim pamata vienādību: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Pēc tam mēs izņemam sakni 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 un izvelkam rezultātu: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Mēs redzam, ka risinājumi ir identiski. Jūs varat izmantot jebkurā veidā, kas jums patīk.

Ir gadījumi, kad grādam ir rādītājs, kas izteikts kā jaukts skaitlis vai decimāldaļdaļa. Aprēķinu atvieglošanai labāk to aizstāt ar parastu daļu un skaitīt, kā norādīts iepriekš.

10. piemērs

Palieliniet 44,89 līdz 2,5.

Risinājums

Pārveidosim rādītāja vērtību parastā daļskaitlī - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Un tagad mēs veicam visas iepriekš norādītās darbības secībā: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 =1 = 510 70 13 501, 25107

Atbilde: 13501, 25107.

Ja daļskaitļa eksponenta skaitītājs un saucējs ir lieli cipari, tad šādu eksponentu aprēķināšana ar racionāliem eksponentiem ir diezgan grūts darbs. Tas parasti prasa datortehnoloģiju.

Atsevišķi mēs pakavējamies pie pakāpes ar nulles bāzi un daļēju eksponentu. Formas 0 m n izteiksmei var piešķirt šādu nozīmi: ja m n > 0, tad 0 m n = 0 m n = 0 ; ja m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kā palielināt skaitli līdz iracionālam pakāpēm

Nepieciešamība aprēķināt grāda vērtību, kuras rādītājā ir iracionāls skaitlis, nerodas tik bieži. Praksē uzdevums parasti aprobežojas ar aptuvenas vērtības aprēķināšanu (līdz noteiktam zīmju skaitam aiz komata). To parasti aprēķina datorā šādu aprēķinu sarežģītības dēļ, tāpēc mēs par to sīkāk nekavēsimies, norādīsim tikai galvenos noteikumus.

Ja mums ir jāaprēķina pakāpes a vērtība ar ir racionāls rādītājs a , tad ņemam rādītāja decimālo tuvinājumu un rēķināmies ar to. Rezultāts būs aptuvena atbilde. Jo precīzāka ir decimālā tuvināšana, jo precīzāka ir atbilde. Parādīsim ar piemēru:

11. piemērs

Aprēķiniet aptuveno vērtību 21 , 174367 ....

Risinājums

Mēs aprobežojamies ar decimālo tuvinājumu a n = 1 , 17 . Veiksim aprēķinus, izmantojot šo skaitli: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Ja ņemam, piemēram, aproksimāciju a n = 1 , 1743 , tad atbilde būs nedaudz precīzāka: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Paaugstināšana ir darbība, kas ir cieši saistīta ar reizināšanu, šī darbība ir skaitļa vairākkārtējas reizināšanas rezultāts. Attēlosim formulu: a1 * a2 * ... * an = an.

Piemēram, a=2, n=3: 2*2*2=2^3 = 8 .

Kopumā kāpināšanu bieži izmanto dažādās matemātikas un fizikas formulās. Šai funkcijai ir zinātniskāks mērķis nekā četrām pamata funkcijām: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana.

Skaitļa palielināšana pakāpē

Skaitļa palielināšana pakāpē nav sarežģīta darbība. Tas ir saistīts ar reizināšanu, piemēram, attiecības starp reizināšanu un saskaitīšanu. Ieraksts an - īss ieraksts ar n-to skaitļu skaitu "a", kas reizināts viens ar otru.

Apsveriet maksimāli iespējamo eksponenci vienkārši piemēri pārejot uz sarežģītiem.

Piemēram, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Četri kvadrātā (līdz otrajai pakāpei) ir vienāds ar sešpadsmit. Ja jūs nesaprotat reizināšanu 4 * 4, izlasiet mūsu rakstu par reizināšanu.

Apskatīsim citu piemēru: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pieci kubi (līdz trešajai pakāpei) ir vienādi ar simts divdesmit pieci.

Vēl viens piemērs: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Deviņi kubi ir septiņi simti divdesmit deviņi.

Paaugstināšanas formulas

Lai pareizi palielinātu jaudu, jums jāatceras un jāzina tālāk norādītās formulas. Šajā nav nekas tālāk par dabisku, galvenais ir saprast būtību un tad tie ne tikai paliks atmiņā, bet arī liksies viegli.

Monomāla paaugstināšana līdz jaudai

Kas ir monoms? Tas ir skaitļu un mainīgo reizinājums jebkurā daudzumā. Piemēram, divi ir monomāls. Un šis raksts ir par šādu monomu pacelšanu līdz varai.

Izmantojot kāpināšanas formulas, nebūs grūti aprēķināt monoma paaugstināšanu pakāpē.

Piemēram, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Ja paaugstināsit monomu līdz pakāpei, tad katra monoma sastāvdaļa tiek paaugstināta līdz pakāpei.

Paaugstinot mainīgo, kuram jau ir pakāpe, pakāpes tiek reizinātas. Piemēram, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Paaugstināšana līdz negatīvam spēkam

Negatīvs eksponents ir skaitļa reciproks. Kas ir savstarpējs? Jebkuram skaitlim X apgrieztā vērtība ir 1/X. Tas ir X-1=1/X. Tāda ir negatīvās pakāpes būtība.

Apsveriet piemēru (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Kāpēc ir tā, ka? Tā kā pakāpē ir mīnuss, mēs vienkārši pārnesam šo izteiksmi uz saucēju un pēc tam paaugstinām to uz trešo pakāpi. Vai tikai pareizi?

Paaugstināšana līdz daļējai jaudai

Sāksim diskusiju tālāk konkrēts piemērs. 43/2. Ko nozīmē jauda 3/2? 3 - skaitītājs, nozīmē skaitļa (šajā gadījumā 4) palielināšanu kubā. Skaitlis 2 ir saucējs, tas ir skaitļa otrās saknes izvilkums (šajā gadījumā 4).

Tad mēs iegūstam kvadrātsakni no 43 = 2^3 = 8 . Atbilde: 8.

Tātad daļējas pakāpes saucējs var būt vai nu 3, vai 4, un līdz bezgalībai jebkurš skaitlis, un šis skaitlis nosaka pakāpi kvadrātsakne iegūts no dotais numurs. Protams, saucējs nevar būt nulle.

Saknes paaugstināšana līdz spēkam

Ja sakne tiek pacelta līdz pakāpei, kas vienāda ar pašas saknes jaudu, tad atbilde ir radikālā izteiksme. Piemēram, (√x)2 = x. Un tā jebkurā gadījumā saknes pakāpes un saknes celšanas pakāpes vienlīdzības gadījumā.

Ja (√x)^4. Pēc tam (√x)^4=x^2. Lai pārbaudītu risinājumu, mēs tulkojam izteiksmi izteiksmē ar daļēju pakāpi. Tā kā sakne ir kvadrātveida, tad saucējs ir 2. Un, ja sakne tiek pacelta līdz ceturtajai pakāpei, tad skaitītājs ir 4. Iegūstam 4/2=2. Atbilde: x = 2.

Vienalga labākais variants vienkārši pārveidojiet izteiksmi izteiksmē ar daļskaitli. Ja daļa netiek samazināta, tad šāda atbilde būs, ja nav piešķirta dotā skaitļa sakne.

Kompleksā skaitļa kāpināšana

Kas ir kompleksais skaitlis? Komplekss skaitlis ir izteiksme, kuras formula ir a + b * i; a, b ir reāli skaitļi. i ir skaitlis, kuru kvadrātā saliekot, iegūst skaitli -1.

Apsveriet piemēru. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Pierakstieties kursam "Paātrināt skaitīšanu prātā, NEVIS prāta aritmētiku", lai uzzinātu, kā ātri un pareizi saskaitīt, atņemt, reizināt, dalīt, kvadrātā un pat iesakņoties. 30 dienu laikā jūs uzzināsit, kā izmantot vienkāršus trikus, lai vienkāršotu aritmētiskās darbības. Katra nodarbība satur jaunus paņēmienus, skaidrus piemērus un noderīgus uzdevumus.

Paaugstināšana tiešsaistē

Ar mūsu kalkulatora palīdzību jūs varat aprēķināt skaitļa paaugstināšanu pakāpē:

Paaugstināšanas pakāpe 7

Paaugstināšana pie varas sāk iziet skolēni tikai septītajā klasē.

Paaugstināšana ir darbība, kas ir cieši saistīta ar reizināšanu, šī darbība ir skaitļa vairākkārtējas reizināšanas rezultāts. Attēlosim formulu: a1 * a2 * … * an=an .

Piemēram, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Risinājumu piemēri:

Paaugstināšanas prezentācija

Prezentācija par kāpināšanu, paredzēta septīto klašu skolēniem. Prezentācija var precizēt dažus nesaprotamus punktus, bet, iespējams, šādu punktu nebūs, pateicoties mūsu rakstam.

Rezultāts

Mēs esam apsvēruši tikai aisberga virsotni, lai labāk izprastu matemātiku - piesakieties mūsu kursam: Paātrināt garīgo aritmētiku - NEVIS mentālo aritmētiku.

Kursā jūs ne tikai apgūsiet desmitiem triku vienkāršotai un ātrai reizināšanai, saskaitīšanai, reizināšanai, dalīšanai, procentu aprēķināšanai, bet arī izstrādāsiet tos īpašos uzdevumos un izglītojošās spēlēs! Arī prāta skaitīšana prasa lielu uzmanību un koncentrēšanos, kas tiek aktīvi trenēta interesantu problēmu risināšanā.

Turpinot sarunu par skaitļa pakāpi, loģiski ir nodarboties ar pakāpes vērtības atrašanu. Šis process ir nosaukts eksponenci. Šajā rakstā mēs tikai pētīsim, kā tiek veikta eksponēšana, vienlaikus pieskaroties visiem iespējamiem eksponentiem - dabiskajiem, veselajiem, racionālajiem un iracionālajiem. Un pēc tradīcijas mēs detalizēti apsvērsim risinājumus skaitļu palielināšanas piemēriem dažādās pakāpēs.

Lapas navigācija.

Ko nozīmē “paaugstināšana”?

Sāksim ar skaidrojumu, ko sauc par eksponenci. Šeit ir attiecīgā definīcija.

Definīcija.

Paaugstināšana ir atrast skaitļa pakāpju vērtību.

Tādējādi a pakāpju vērtības atrašana ar eksponentu r un skaitļa a paaugstināšana līdz r pakāpei ir tas pats. Piemēram, ja uzdevums ir “aprēķināt jaudas (0,5) vērtību 5”, tad to var pārformulēt šādi: “Palieliniet skaitli 0,5 līdz pakāpei 5”.

Tagad varat pāriet tieši uz noteikumiem, saskaņā ar kuriem tiek veikta eksponēšana.

Skaitļa palielināšana līdz dabiskajam spēkam

Praksē vienlīdzība, kuras pamatā ir, parasti tiek piemērota formā . Tas ir, paaugstinot skaitli a līdz daļējai pakāpei m / n, vispirms tiek iegūta n-tās pakāpes sakne no skaitļa a, pēc tam rezultāts tiek palielināts līdz veselam skaitļa pakāpei m.

Apsveriet risinājumus piemēriem, kā palielināt līdz daļējai pakāpei.

Piemērs.

Aprēķiniet grāda vērtību.

Risinājums.

Mēs parādām divus risinājumus.

Pirmais veids. Pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu. Mēs aprēķinām pakāpes vērtību zem saknes zīmes, pēc kuras mēs ekstrahējam kuba sakne: .

Otrais veids. Pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu un pamatojoties uz sakņu īpašībām, vienādības ir patiesas . Tagad izvelciet sakni Visbeidzot, mēs palielinām līdz veselam skaitlim .

Acīmredzot iegūtie paaugstināšanas rezultāti līdz daļējai jaudai sakrīt.

Atbilde:

Ņemiet vērā, ka daļskaitli var uzrakstīt kā decimāldaļskaitli vai jauktu skaitli, šajos gadījumos tas jāaizstāj ar atbilstošo parasto daļskaitli un pēc tam jāveic eksponēšana.

Piemērs.

Aprēķināt (44,89) 2,5 .

Risinājums.

Eksponentu rakstām parastas daļskaitļa formā (ja nepieciešams, skatiet rakstu): . Tagad mēs veicam paaugstināšanu līdz daļējai jaudai:

Atbilde:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Jāsaka arī, ka skaitļu celšana līdz racionālam pakāpēm ir diezgan darbietilpīgs process (it īpaši, ja daļskaitļa eksponenta skaitītājs un saucējs ir diezgan lieli skaitļi), ko parasti veic, izmantojot datortehnoloģiju.

Šīs rindkopas noslēgumā mēs pakavēsimies pie skaitļa nulles konstruēšanas daļskaitlī. Formas daļējai nulles pakāpei mēs piešķīrām šādu nozīmi: jo mums ir , savukārt nulle pret jaudu m/n nav definēta. Tātad no nulles līdz pozitīvai daļējai jaudai nulle, piemēram, . Un nullei daļējā negatīvā pakāpē nav jēgas, piemēram, izteiksmēm un 0 -4,3 nav jēgas.

Paaugstināšana līdz iracionālam spēkam

Dažreiz kļūst nepieciešams noskaidrot skaitļa pakāpes vērtību ar iracionālu eksponentu. Šajā gadījumā praktiskiem nolūkiem parasti pietiek iegūt grāda vērtību līdz noteiktai zīmei. Mēs uzreiz atzīmējam, ka šī vērtība praksē tiek aprēķināta, izmantojot elektroniskās skaitļošanas tehnoloģiju, kopš paaugstināšanas līdz ir racionāla pakāpe manuāli pieprasa liels skaits apgrūtinoši aprēķini. Tomēr mēs aprakstīsim vispārīgi runājot darbības būtība.

Lai iegūtu aptuvenu a jaudas vērtību ar iracionālu eksponentu, tiek ņemta eksponenta decimālā tuvināšana un aprēķināta eksponenta vērtība. Šī vērtība ir aptuvenā skaitļa a pakāpes vērtība ar iracionālu eksponentu. Jo precīzāks ir skaitļa decimālais tuvinājums sākotnēji, jo vairāk precīza vērtība beigās tiks iegūts grāds.

Kā piemēru aprēķināsim jaudas aptuveno vērtību 2 1,174367... . Ņemsim šādu iracionālā rādītāja decimālo tuvinājumu: . Tagad mēs paaugstinām 2 līdz racionālai pakāpei 1,17 (šī procesa būtību mēs aprakstījām iepriekšējā punktā), iegūstam 2 1,17 ≈ 2,250116. Pa šo ceļu, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ja ņemam precīzāku iracionālā eksponenta decimālo aproksimāciju, piemēram, , tad iegūstam precīzāku sākotnējās pakāpes vērtību: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātikas Zh mācību grāmata 5 šūnām. izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 7 šūnām. izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 9 šūnām. izglītības iestādēm.
• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).

Svarīgas piezīmes!
1. Ja formulu vietā redzat abrakadabra, iztīriet kešatmiņu. Šeit ir rakstīts, kā to izdarīt savā pārlūkprogrammā:
2. Pirms sākat lasīt rakstu, pievērsiet uzmanību mūsu navigatoram noderīgs resurss priekš

Kāpēc nepieciešami grādi? Kur tev tās vajadzīgas? Kāpēc jums jāvelta laiks to pētīšanai?

Lai uzzinātu visu par grādiem, kam tie ir paredzēti, kā izmantot savas zināšanas Ikdiena izlasi šo rakstu.

Un, protams, zinot grādus, jūs būsiet tuvāk sekmīgai OGE jeb Vienotā valsts eksāmena nokārtošanai un iestāšanai sapņu universitātē.

Ejam... (Ejam!)

PIRMAIS LĪMENIS

Paaugstināšana ir tāda pati matemātiskā darbība piemēram, saskaitīšana, atņemšana, reizināšana vai dalīšana.

Tagad es visu paskaidrošu cilvēku valoda ar ļoti vienkāršiem piemēriem. Esi uzmanīgs. Piemēri ir elementāri, bet izskaidro svarīgas lietas.

Sāksim ar papildinājumu.

Te nav ko skaidrot. Jūs jau visu zināt: mēs esam astoņi. Katrā ir divas kolas pudeles. Cik daudz kolas? Tieši tā – 16 pudeles.

Tagad reizināšana.

To pašu piemēru ar kolu var uzrakstīt savādāk: . Matemātiķi ir viltīgi un slinki cilvēki. Viņi vispirms pamana dažus modeļus un pēc tam izdomā veidu, kā tos ātrāk “skaitīt”. Mūsu gadījumā viņi pamanīja, ka katram no astoņiem cilvēkiem ir vienāds kolas pudeļu skaits, un viņi izdomāja paņēmienu, ko sauc par reizināšanu. Piekrītu, tas tiek uzskatīts par vieglāku un ātrāku nekā.

Tātad, lai skaitītu ātrāk, vienkāršāk un bez kļūdām, jums vienkārši jāatceras reizināšanas tabula. Protams, visu var darīt lēnāk, grūtāk un ar kļūdām! Bet…

Šeit ir reizināšanas tabula. Atkārtojiet.

Un vēl viens, skaistāks:

Un kas vēl viltīgi triki slinki matemātiķi izdomāja rēķinus? Pareizi - skaitļa paaugstināšana pakāpē.

Skaitļa palielināšana pakāpē

Ja jums ir jāreizina skaitlis ar sevi piecas reizes, tad matemātiķi saka, ka jums šis skaitlis jāpalielina līdz piektajai pakāpei. Piemēram, . Matemātiķi atceras, ka divi līdz piektā pakāpe ir. Un viņi šādas problēmas risina savā prātā – ātrāk, vienkāršāk un bez kļūdām.

Lai to izdarītu, jums ir nepieciešams tikai atcerieties, kas skaitļu pakāpju tabulā ir iezīmēts ar krāsu. Tici man, tas padarīs tavu dzīvi daudz vieglāku.

Starp citu, kāpēc sauc otro pakāpi kvadrāts cipari, un trešais kubs? Ko tas nozīmē? Augsti labs jautājums. Tagad jums būs gan kvadrāti, gan kubi.

Reālās dzīves piemērs #1

Sāksim ar kvadrātu vai skaitļa otro pakāpi.

Iedomājieties kvadrātveida baseinu, kura izmēri ir metri ar metriem. Baseins atrodas jūsu pagalmā. Ir karsts, un es ļoti gribu peldēt. Bet ... baseins bez dibena! Ir nepieciešams segt baseina dibenu ar flīzēm. Cik flīžu jums vajag? Lai to noteiktu, jums jāzina baseina dibena laukums.

Jūs varat vienkārši saskaitīt, bakstot ar pirkstu, ka baseina dibens sastāv no kubiņiem metrs pēc metra. Ja jūsu flīzes ir metrs pēc metra, jums būs nepieciešami gabali. Tas ir vienkārši... Bet kur tu tādu flīzi redzēji? Flīze drīzāk būs cm pa cm.. Un tad jūs mocīs "skaitot ar pirkstu". Tad jums ir jāreizina. Tātad vienā baseina dibena pusē liksim flīzes (gabalus), bet otrā arī flīzes. Reizinot ar, jūs iegūstat flīzes ().

Vai pamanījāt, ka mēs reizinājām to pašu skaitli, lai noteiktu baseina dibena laukumu? Ko tas nozīmē? Tā kā tiek reizināts viens un tas pats skaitlis, mēs varam izmantot eksponēšanas paņēmienu. (Protams, ja jums ir tikai divi skaitļi, jums tie joprojām ir jāreizina vai jāpalielina līdz pakāpei. Bet, ja to ir daudz, tad paaugstināšana līdz pakāpei ir daudz vienkāršāka un arī aprēķinos ir mazāk kļūdu. Eksāmenam tas ir ļoti svarīgi).
Tātad, trīsdesmit līdz otrajai pakāpei būs (). Vai arī jūs varat teikt, ka trīsdesmit kvadrātā būs. Citiem vārdiem sakot, skaitļa otro pakāpi vienmēr var attēlot kā kvadrātu. Un otrādi, ja jūs redzat kvadrātu, tas VIENMĒR ir kāda skaitļa otrais pakāpe. Kvadrāts ir skaitļa otrās pakāpes attēls.

Reālās dzīves piemērs #2

Šeit jums ir uzdevums, saskaitiet, cik rūtiņu ir uz šaha galdiņa, izmantojot skaitļa kvadrātu... Vienā šūnu pusē un arī otrā. Lai saskaitītu to skaitu, jums ir jāreizina astoņi ar astoņiem vai ... ja pamanāt to Šaha galdiņš ir kvadrāts ar malu, tad jūs varat kvadrātā astoņi. Iegūstiet šūnas. () Tātad?

Reālās dzīves piemērs #3

Tagad kubs jeb skaitļa trešais pakāpe. Tas pats baseins. Bet tagad jānoskaidro, cik daudz ūdens būs jāielej šajā baseinā. Jums jāaprēķina skaļums. (Starp citu, tilpumus un šķidrumus mēra kubikmetri. Negaidīti, vai ne?) Uzzīmējiet baseinu: vienu metru garu un metru dziļu dibenu un mēģiniet aprēķināt, cik kubu kopā metrs pa metram ieplūdīs jūsu baseinā.

Vienkārši rādi ar pirkstu un skaita! Viens, divi, trīs, četri...divdesmit divi, divdesmit trīs... Cik sanāca? Nepazuda? Vai ir grūti skaitīt ar pirkstu? Tā ka! Ņemiet piemēru no matemātiķiem. Viņi ir slinki, tāpēc pamanīja, ka, lai aprēķinātu baseina tilpumu, ir jāreizina tā garums, platums un augstums savā starpā. Mūsu gadījumā baseina tilpums būs vienāds ar kubiņiem ... Vieglāk, vai ne?

Tagad iedomājieties, cik slinki un viltīgi ir matemātiķi, ja viņi to padara pārāk vienkāršu. Viss tika samazināts līdz vienai darbībai. Viņi pamanīja, ka garums, platums un augstums ir vienādi un ka viens un tas pats skaitlis tiek reizināts ar sevi ... Un ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka jūs varat izmantot grādu. Tātad, ko jūs kādreiz saskaitījāt ar pirkstu, viņi izdara vienu darbību: trīs kubā ir vienādi. Tas ir rakstīts šādi:

Paliek tikai iegaumēt grādu tabulu. Ja vien jūs, protams, neesat tik slinks un viltīgs kā matemātiķi. Ja jums patīk smagi strādāt un kļūdīties, varat turpināt skaitīt ar pirkstu.

Nu, lai jūs beidzot pārliecinātu, ka grādus izdomājuši klaiši un viltīgi cilvēki, lai atrisinātu savas dzīves problēmas, nevis radītu problēmas jums, šeit ir vēl pāris piemēri no dzīves.

Reālās dzīves piemērs #4

Jums ir miljons rubļu. Katra gada sākumā jūs nopelnāt vēl vienu miljonu par katru miljonu. Tas ir, katrs jūsu miljons katra gada sākumā dubultojas. Cik daudz naudas jums būs pēc gadiem? Ja tu tagad sēdi un “skaiti ar pirkstu”, tad esi ļoti strādīgs cilvēks un .. stulbs. Bet visticamāk atbildi sniegsi pāris sekunžu laikā, jo esi gudrs! Tātad pirmajā gadā - divas reizes divas ... otrajā gadā - kas notika, vēl par diviem, trešajā gadā ... Stop! Jūs pamanījāt, ka skaitlis tiek reizināts ar sevi vienu reizi. Tātad divi līdz piektajai pakāpei ir miljons! Tagad iedomājieties, ka jums ir konkurss un tas, kurš aprēķina ātrāk, saņems šos miljonus ... Vai ir vērts atcerēties skaitļu pakāpes, kā jūs domājat?

Reālās dzīves piemērs #5

Tev ir miljons. Katra gada sākumā jūs nopelnāt par diviem vairāk par katru miljonu. Tas ir lieliski, vai ne? Katrs miljons tiek trīskāršots. Cik daudz naudas jums būs pēc gada? Skaitīsim. Pirmais gads - reizini ar, tad rezultāts ar citu... Tas jau ir garlaicīgi, jo tu jau visu saprati: trīs tiek reizināts ar sevi reizēs. Tātad ceturtā jauda ir miljons. Jums tikai jāatceras, ka trīs līdz ceturtā pakāpe ir vai.

Tagad jūs zināt, ka, paaugstinot skaitli līdz spēkam, jūs ievērojami atvieglosit savu dzīvi. Apskatīsim sīkāk, ko varat darīt ar grādiem un kas jums par tiem jāzina.

Termini un jēdzieni ... lai neapjuktu

Tātad, pirmkārt, definēsim jēdzienus. Ko tu domā, kas ir eksponents? Tas ir ļoti vienkārši – tas ir skaitlis, kas atrodas skaitļa jaudas "augšpusē". Nav zinātnisks, bet skaidrs un viegli iegaumējams ...

Nu, tajā pašā laikā, ko tāda grādu bāze? Vēl vienkāršāks ir skaitlis, kas atrodas apakšā, pamatnē.

Šeit ir attēls, lai pārliecinātos.

Nu un iekšā vispārējs skats lai vispārinātu un labāk atcerētos ... Grāds ar bāzi "" un eksponents "" tiek lasīts kā "uz grādu" un tiek rakstīts šādi:

Skaitļa spēks ar naturālo eksponentu

Jūs droši vien jau uzminējāt: jo eksponents ir dabiskais skaitlis. Jā, bet kas ir dabiskais skaitlis? Elementāri! Dabiskie skaitļi ir tie, ko izmanto skaitīšanā, uzskaitot vienumus: viens, divi, trīs ... Kad mēs saskaitām vienumus, mēs nesakām: "mīnus pieci", "mīnus seši", "mīnus septiņi". Mēs arī nesakām "viena trešdaļa" vai "nulle komats piecas desmitdaļas". Tie nav dabiski skaitļi. Kādi, jūsuprāt, ir šie skaitļi?

Tādi skaitļi kā "mīnus pieci", "mīnus seši", "mīnus septiņi" attiecas uz veseli skaitļi. Kopumā veseli skaitļi ietver visus naturālos skaitļus, skaitļus, kas ir pretēji dabiskajiem skaitļiem (tas ir, ņemti ar mīnusa zīmi) un skaitļus. Nulle ir viegli saprotama – tas ir tad, kad nekā nav. Un ko nozīmē negatīvie ("mīnus") skaitļi? Bet tie tika izgudroti galvenokārt parādu apzīmēšanai: ja jūsu tālrunī ir atlikums rubļos, tas nozīmē, ka esat parādā operatoram rubļus.

Visas daļas ir racionāli skaitļi. Kā tie radās, kā tu domā? Ļoti vienkārši. Pirms vairākiem tūkstošiem gadu mūsu senči atklāja, ka viņiem nav pietiekami daudz naturālo skaitļu, lai izmērītu garumu, svaru, laukumu utt. Un viņi izdomāja racionālie skaitļi… Interesanti, vai ne?

Ir arī neracionāli skaitļi. Kādi ir šie skaitļi? Īsāk sakot, bezgalīga decimāldaļdaļa. Piemēram, ja jūs dalāt apļa apkārtmēru ar tā diametru, tad iegūstat neracionālu skaitli.

Kopsavilkums:

Definēsim pakāpes jēdzienu, kura eksponents ir naturāls skaitlis (tas ir, vesels skaitlis un pozitīvs).

1. Jebkurš skaitlis pirmajā pakāpē ir vienāds ar sevi:
2. Lai dalītu skaitli kvadrātā, tas ir jāreizina ar sevi:
3. Lai skaitli kubētu, tas nozīmē to trīs reizes reizināt ar sevi:

Definīcija. Lai palielinātu skaitli līdz dabiskajam pakāpēm, tas nozīmē skaitļa reizināšanu ar sevi reizināt:
.

Grāda īpašības

No kurienes radās šie īpašumi? Es jums tagad parādīšu.

Paskatīsimies, kas ir un ?

Pēc definīcijas:

Cik reizinātāju ir kopā?

Tas ir ļoti vienkārši: mēs faktoriem pievienojām faktorus, un rezultāts ir faktori.

Bet pēc definīcijas šī ir skaitļa pakāpe ar eksponentu, tas ir: , kas bija jāpierāda.

Piemērs: vienkāršojiet izteiksmi.

Risinājums:

Piemērs: Vienkāršojiet izteiksmi.

Risinājums: Ir svarīgi atzīmēt, ka mūsu noteikumā obligāti jābūt tādi paši pamatojumi!
Tāpēc mēs apvienojam grādus ar bāzi, bet paliekam kā atsevišķs faktors:

tikai spēku produktiem!

Nekādā gadījumā nevajadzētu to rakstīt.

2. tas ir -skaitļa pakāpe

Tāpat kā ar iepriekšējo īpašumu, pievērsīsimies pakāpes definīcijai:

Izrādās, ka izteiksme tiek reizināta ar sevi vienreiz, tas ir, saskaņā ar definīciju šī ir skaitļa pakāpe:

Faktiski to var saukt par "indikatora iekavēšanu". Bet jūs nekad nevarat to izdarīt kopumā:

Atcerēsimies saīsinātās reizināšanas formulas: cik reizes mēs gribējām rakstīt?

Bet tā nav taisnība, tiešām.

Grāds ar negatīvu bāzi

Līdz šim mēs esam apsprieduši tikai to, kādam jābūt eksponentam.

Bet kam vajadzētu būt par pamatu?

Grādos no dabiskais rādītājs pamats var būt jebkurš skaitlis. Patiešām, mēs varam reizināt jebkuru skaitli ar otru neatkarīgi no tā, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai pat.

Padomāsim par to, kurām zīmēm (" " vai "") būs pozitīvo un negatīvo skaitļu pakāpes?

Piemēram, vai skaitlis būs pozitīvs vai negatīvs? BET? ? Ar pirmo viss ir skaidrs: neatkarīgi no tā, cik pozitīvus skaitļus mēs reizinām viens ar otru, rezultāts būs pozitīvs.

Bet negatīvie ir nedaudz interesantāki. Galu galā no 6. klases atceramies vienkāršu likumu: "mīnus reiz mīnus dod plusu." Tas ir, vai. Bet, ja mēs reizinām ar, izrādās.

Nosakiet paši, kāda zīme būs šādiem izteicieniem:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Vai jums izdevās?

Šeit ir atbildes: Es ceru, ka pirmajos četros piemēros viss ir skaidrs? Mēs vienkārši skatāmies uz bāzi un eksponentu un piemērojam atbilstošo noteikumu.

Piemērā 5) viss arī nav tik biedējoši, kā šķiet: nav svarīgi, ar ko ir vienāda bāze - pakāpe ir vienmērīga, kas nozīmē, ka rezultāts vienmēr būs pozitīvs.

Nu, izņemot gadījumus, kad bāze ir nulle. Pamats nav tas pats, vai ne? Acīmredzot nē, jo (jo).

6. piemērs vairs nav tik vienkāršs!

6 prakses piemēri

Risinājuma analīze 6 piemēri

vesels mēs nosaucam naturālos skaitļus, to pretstati (tas ir, ņemti ar zīmi "") un skaitli.

pozitīvs vesels skaitlis, un tas ne ar ko neatšķiras no dabīgā, tad viss izskatās tieši tāpat kā iepriekšējā sadaļā.

Tagad apskatīsim jaunus gadījumus. Sāksim ar rādītāju, kas vienāds ar.

Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu:

Kā vienmēr, mēs sev jautājam: kāpēc tas tā ir?

Apsveriet kādu spēku ar pamatni. Ņemiet, piemēram, un reiziniet ar:

Tātad, mēs reizinājām skaitli ar un saņēmām tādu pašu, kāds tas bija -. Ar kādu skaitli jāreizina, lai nekas nemainītos? Tieši tā, uz. Līdzekļi.

Mēs varam darīt to pašu ar patvaļīgu skaitli:

Atkārtosim noteikumu:

Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu.

Bet daudziem noteikumiem ir izņēmumi. Un šeit tas ir arī tur - tas ir skaitlis (kā bāze).

No vienas puses, tam jābūt vienādam ar jebkuru grādu - neatkarīgi no tā, cik daudz jūs reizināt nulli ar sevi, jūs joprojām saņemat nulli, tas ir skaidrs. Bet, no otras puses, tāpat kā jebkuram skaitlim līdz nulles grādiem, tam jābūt vienādam. Tātad, kāda ir šī patiesība? Matemātiķi nolēma neiesaistīties un atteicās paaugstināt nulli uz nulles jaudu. Tas ir, tagad mēs varam ne tikai dalīt ar nulli, bet arī palielināt to līdz nulles jaudai.

Ejam tālāk. Papildus naturālajiem skaitļiem un skaitļiem veseli skaitļi ietver negatīvus skaitļus. Lai saprastu, kas ir negatīvā pakāpe, darīsim to pašu, ko pagājušajā reizē: mēs reizinām kādu normālu skaitli ar to pašu negatīvā pakāpē:

No šejienes jau ir viegli izteikt vēlamo:

Tagad mēs paplašinām iegūto noteikumu līdz patvaļīgai pakāpei:

Tātad, formulēsim noteikumu:

Skaitlis negatīvam posmam ir tā paša skaitļa apgriezts pozitīvā pakāpē. Bet tajā pašā laikā bāze nevar būt nulle:(jo nav iespējams sadalīt).

Apkoposim:

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam:

Nu, kā parasti, piemēri neatkarīgam risinājumam:

Uzdevumu analīze patstāvīgam risinājumam:

Zinu, zinu, cipari ir biedējoši, bet eksāmenā jābūt gatavam uz visu! Atrisiniet šos piemērus vai analizējiet to risinājumu, ja nevarat to atrisināt, un eksāmenā uzzināsit, kā ar tiem viegli tikt galā!

Turpināsim paplašināt skaitļu diapazonu, kas "piemērots" kā eksponents.

Tagad apsveriet racionālie skaitļi. Kādus skaitļus sauc par racionāliem?

Atbilde: viss, ko var attēlot kā daļskaitli, kur un ir veseli skaitļi, turklāt.

Lai saprastu, kas ir "daļēja pakāpe" Apskatīsim daļu:

Paaugstināsim abas vienādojuma puses līdz pakāpei:

Tagad atcerieties noteikumu "no pakāpes līdz pakāpei":

Kāds skaitlis jāpalielina līdz pakāpei, lai iegūtu?

Šis formulējums ir th pakāpes saknes definīcija.

Atgādināšu: skaitļa () pakāpes sakne ir skaitlis, kas, paaugstinot līdz pakāpei, ir vienāds.

Tas nozīmē, ka th pakāpes sakne ir kāpināšanas apgrieztā darbība: .

Izrādās, ka. Acīmredzot šis īpašs gadījums var pagarināt: .

Tagad pievienojiet skaitītāju: kas tas ir? Atbildi ir viegli iegūt, izmantojot jaudas pārvēršanas noteikumu:

Bet vai bāze var būt jebkurš skaitlis? Galu galā sakni nevar izvilkt no visiem skaitļiem.

Nekādu!

Atcerieties noteikumu: jebkurš skaitlis, kas palielināts līdz pāra pakāpei, ir pozitīvs skaitlis. Tas ir, no negatīviem skaitļiem nav iespējams iegūt pāra pakāpes saknes!

Un tas nozīmē, ka šādus skaitļus nevar palielināt līdz daļējai pakāpei ar pāra saucēju, tas ir, izteiksmei nav jēgas.

Kā ar izteiksmi?

Bet šeit rodas problēma.

Skaitli var attēlot kā citas, samazinātas daļas, piemēram, vai.

Un izrādās, ka tā pastāv, bet neeksistē, un tie ir tikai divi dažādi viena un tā paša numura ieraksti.

Vai cits piemērs: vienreiz, tad varat to pierakstīt. Bet, tiklīdz indikatoru rakstām savādāk, mums atkal rodas problēmas: (tas ir, mēs saņēmām pavisam citu rezultātu!).

Lai izvairītos no šādiem paradoksiem, apsveriet tikai pozitīvs bāzes eksponents ar daļēju eksponentu.

Tātad ja:

• - naturālais skaitlis;
• ir vesels skaitlis;

Piemēri:

Pakāpes ar racionālu eksponentu ir ļoti noderīgas, lai pārveidotu izteiksmes ar saknēm, piemēram:

5 prakses piemēri

5 apmācības piemēru analīze

Nu, tagad - visgrūtākais. Tagad mēs analizēsim pakāpe ar iracionālu eksponentu.

Visi pakāpju noteikumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā grādiem ar racionālu eksponentu, izņemot

Patiešām, pēc definīcijas iracionālie skaitļi ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi (tas ir, iracionālie skaitļi ir visi reālie skaitļi, izņemot racionālos).

Studējot grādus ar naturālu, veselu un racionālu rādītāju, katru reizi mēs izveidojām noteiktu “attēlu”, “analoģiju” vai aprakstu pazīstamākos terminos.

Piemēram, naturālais eksponents ir skaitlis, kas reizināts ar sevi vairākas reizes;

...nulles jauda- tas it kā ir vienreiz ar sevi reizināts skaitlis, tas ir, tas vēl nav sācis reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis vēl pat nav parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai noteikta "sagatavošana numurs”, proti, numurs;

...negatīva vesela skaitļa eksponents- it kā būtu noticis zināms “apgrieztais process”, tas ir, skaitlis nav reizināts ar sevi, bet dalīts.

Starp citu, zinātnē bieži tiek izmantots grāds ar sarežģītu rādītāju, tas ir, rādītājs nav vienmērīgs reāls skaitlis.

Bet skolā mēs par šādām grūtībām nedomājam, jums būs iespēja izprast šīs jaunās koncepcijas institūtā.

KUR MĒS ESAM PĀRLIECINĀTI, TU DOSIET! (ja iemācīsies risināt šādus piemērus :))

Piemēram:

Izlemiet paši:

Risinājumu analīze:

1. Sāksim ar jau ierasto noteikumu grāda paaugstināšanai līdz grādam:

PAPILDINĀJUMS

Pakāpes definīcija

Pakāpe ir formas izteiksme: , kur:

• — grāda bāze;
• - eksponents.

Pakāpe ar naturālo eksponentu (n = 1, 2, 3,...)

Skaitļa palielināšana līdz dabiskajam pakāpēm n nozīmē skaitļa reizināšanu ar sevi:

Jauda ar veselu eksponentu (0, ±1, ±2,...)

Ja eksponents ir pozitīvs vesels skaitlis numurs:

erekcija uz nulles jaudu:

Izteiksme ir nenoteikta, jo, no vienas puses, jebkurā pakāpē ir tas, un, no otras puses, jebkurš skaitlis līdz th pakāpei ir šis.

Ja eksponents ir vesels skaitlis negatīvs numurs:

(jo nav iespējams sadalīt).

Vēlreiz par nullēm: izteiksme gadījumā nav definēta. Ja tad.

Piemēri:

Pakāpe ar racionālo eksponentu

• - naturālais skaitlis;
• ir vesels skaitlis;

Piemēri:

Grāda īpašības

Lai atvieglotu problēmu risināšanu, mēģināsim saprast: no kurienes radās šīs īpašības? Pierādīsim tos.

Apskatīsim: kas ir un?

Pēc definīcijas:

Tātad šīs izteiksmes labajā pusē tiek iegūts šāds produkts:

Bet pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu, tas ir:

Q.E.D.

Piemērs : vienkāršojiet izteiksmi.

Risinājums : .

Piemērs : vienkāršojiet izteiksmi.

Risinājums : Ir svarīgi atzīmēt, ka mūsu noteikumā obligāti jābūt uz tāda paša pamata. Tāpēc mēs apvienojam grādus ar bāzi, bet paliekam kā atsevišķs faktors:

Vēl viena svarīga piezīme: šis noteikums - tikai spēku produktiem!

Es nekādā gadījumā nedrīkstu to rakstīt.

Tāpat kā ar iepriekšējo īpašumu, pievērsīsimies pakāpes definīcijai:

Pārkārtosim to šādi:

Izrādās, ka izteiksme tiek reizināta ar sevi vienreiz, tas ir, saskaņā ar definīciju šī ir skaitļa pakāpe:

Faktiski to var saukt par "indikatora iekavēšanu". Bet jūs nekad to nevarat izdarīt kopumā:!

Atcerēsimies saīsinātās reizināšanas formulas: cik reizes mēs gribējām rakstīt? Bet tā nav taisnība, tiešām.

Jauda ar negatīvu bāzi.

Līdz šim mēs esam apsprieduši tikai to, kam vajadzētu būt indekss grāds. Bet kam vajadzētu būt par pamatu? Grādos no dabisks indikators pamats var būt jebkurš skaitlis .

Patiešām, mēs varam reizināt jebkuru skaitli ar otru neatkarīgi no tā, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai pat. Padomāsim par to, kurām zīmēm (" " vai "") būs pozitīvo un negatīvo skaitļu pakāpes?

Piemēram, vai skaitlis būs pozitīvs vai negatīvs? BET? ?

Ar pirmo viss ir skaidrs: neatkarīgi no tā, cik pozitīvus skaitļus mēs reizinām viens ar otru, rezultāts būs pozitīvs.

Bet negatīvie ir nedaudz interesantāki. Galu galā no 6. klases atceramies vienkāršu likumu: "mīnus reiz mīnus dod plusu." Tas ir, vai. Bet, ja mēs reizinām ar (), mēs iegūstam -.

Un tā tālāk bezgalīgi: ar katru nākamo reizināšanu zīme mainīsies. Tādu var formulēt vienkārši noteikumi:

1. pat grāds, - numurs pozitīvs.
2. Negatīvs skaitlis palielināts līdz nepāra grāds, - numurs negatīvs.
3. Pozitīvs skaitlis jebkurai pakāpei ir pozitīvs skaitlis.
4. Nulle pret jebkuru jaudu ir vienāda ar nulli.

Nosakiet paši, kāda zīme būs šādiem izteicieniem:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Vai jums izdevās? Šeit ir atbildes:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Es ceru, ka pirmajos četros piemēros viss ir skaidrs? Mēs vienkārši skatāmies uz bāzi un eksponentu un piemērojam atbilstošo noteikumu.

Piemērā 5) viss arī nav tik biedējoši, kā šķiet: nav svarīgi, ar ko ir vienāda bāze - pakāpe ir vienmērīga, kas nozīmē, ka rezultāts vienmēr būs pozitīvs. Nu, izņemot gadījumus, kad bāze ir nulle. Pamats nav tas pats, vai ne? Acīmredzot nē, jo (jo).

6. piemērs) vairs nav tik vienkāršs. Šeit jums jānoskaidro, kas ir mazāks: vai? Ja jūs to atceraties, tas kļūst skaidrs, kas nozīmē, ka bāze ir mazāka par nulli. Tas ir, mēs piemērojam 2. noteikumu: rezultāts būs negatīvs.

Un atkal mēs izmantojam pakāpes definīciju:

Viss ir kā parasti - mēs pierakstām grādu definīciju un sadalām tos savā starpā, sadalām pa pāriem un iegūstam:

Pirms izjaukšanas pēdējais noteikums Apskatīsim dažus piemērus.

Aprēķiniet izteiksmju vērtības:

Risinājumi :

Atgriezīsimies pie piemēra:

Un atkal formula:

Tātad tagad pēdējais noteikums:

Kā mēs to pierādīsim? Protams, kā parasti: paplašināsim grāda jēdzienu un vienkāršosim:

Nu, tagad atvērsim iekavas. Cik burtu būs? reizes ar reizinātājiem - kā tas izskatās? Tas nav nekas cits kā darbības definīcija reizināšana: kopā izrādījās reizinātāji. Tas ir, pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu:

Piemērs:

Grāds ar iracionālu eksponentu

Papildus informācijai par vidējā līmeņa grādiem mēs analizēsim grādu ar iracionālu rādītāju. Visi pakāpju noteikumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā pakāpei ar racionālu eksponentu, ar izņēmumu - galu galā iracionālie skaitļi pēc definīcijas ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi (tas ir , iracionālie skaitļi ir reāli skaitļi, izņemot racionālos).

Studējot grādus ar naturālu, veselu un racionālu rādītāju, katru reizi mēs izveidojām noteiktu “attēlu”, “analoģiju” vai aprakstu pazīstamākos terminos. Piemēram, naturālais eksponents ir skaitlis, kas reizināts ar sevi vairākas reizes; skaitlis līdz nulles pakāpei ir it kā vienreiz ar sevi reizināts skaitlis, tas ir, tas vēl nav sācis reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis vēl nav pat parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai noteikta “skaitļa sagatavošana”, proti, numurs; grāds ar negatīvu veselu skaitli - it kā būtu noticis zināms “apgrieztais process”, tas ir, skaitlis nav reizināts ar sevi, bet dalīts.

Ir ārkārtīgi grūti iedomāties grādu ar iracionālu eksponentu (tāpat kā ir grūti iedomāties 4-dimensiju telpu). Drīzāk tas ir tīri matemātisks objekts, ko matemātiķi ir radījuši, lai paplašinātu pakāpes jēdzienu uz visu skaitļu telpu.

Starp citu, zinātne bieži izmanto grādu ar sarežģītu eksponentu, tas ir, eksponents nav pat reāls skaitlis. Bet skolā mēs par šādām grūtībām nedomājam, jums būs iespēja izprast šīs jaunās koncepcijas institūtā.

Tātad, ko mēs darām, ja redzam iracionālu eksponentu? Mēs cenšamies no tā atbrīvoties! :)

Piemēram:

Izlemiet paši:

1)

2)

3)

Atbildes:

SADAĻAS KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULA

Grāds sauc par izteiksmi formā: , kur:

Grāds ar veselu eksponentu

pakāpe, kuras eksponents ir naturāls skaitlis (t.i., vesels skaitlis un pozitīvs).

Grāds ar racionālu eksponentu

pakāpe, kuras rādītājs ir negatīvi un daļskaitļi.

Grāds ar iracionālu eksponentu

eksponents, kura eksponents ir bezgalīga decimāldaļdaļa vai sakne.

Grāda īpašības

Pakāpju pazīmes.

• Negatīvs skaitlis palielināts līdz pat grāds, - numurs pozitīvs.
• Negatīvs skaitlis palielināts līdz nepāra grāds, - numurs negatīvs.
• Pozitīvs skaitlis jebkurai pakāpei ir pozitīvs skaitlis.
• Nulle ir vienāda ar jebkuru jaudu.
• Jebkurš skaitlis ar nulles pakāpi ir vienāds.

TAGAD JUMS IR VĀRDS...

Kā jums patīk raksts? Paziņojiet man tālāk esošajos komentāros, vai jums tas patika vai nē.

Pastāstiet mums par savu pieredzi ar jaudas īpašībām.

Varbūt jums ir jautājumi. Vai ieteikumi.

Raksti komentāros.

Un veiksmi eksāmenos!

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par veiksmīgu nokārtojot eksāmenu, par uzņemšanu institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai pārliecinātos, ka eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), tad noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem detalizēta analīze un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (nav nepieciešams), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 499 rubļi

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!

Kalkulators palīdz ātri palielināt skaitli līdz jaudai tiešsaistē. Pakāpes bāze var būt jebkurš skaitlis (gan vesels, gan reāls). Eksponents var būt arī vesels vai reāls, kā arī pozitīvs un negatīvs. Jāatceras, ka negatīviem skaitļiem paaugstināšana līdz pakāpei, kas nav vesels skaitlis, nav definēta, un tāpēc kalkulators ziņos par kļūdu, ja joprojām mēģināsit to izdarīt.

Grāda kalkulators

Paaugstināt līdz jaudai

Eksponents: 24601

Kāds ir skaitļa dabiskais spēks?

Skaitli p sauc par skaitļa a n-to pakāpi, ja p ir vienāds ar skaitli a, kas reizināts ar sevi n reizes: p \u003d a n \u003d a ... a
n - sauc eksponents, un skaitlis - pakāpes bāze.

Kā palielināt skaitli līdz dabiskajam spēkam?

Lai saprastu, kā būvēt dažādi skaitļi dabas spēkus, apsveriet dažus piemērus:

1. piemērs. Palieliniet skaitli trīs līdz ceturtajai pakāpei. Tas ir, ir jāaprēķina 3 4
Risinājums: kā minēts iepriekš, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Atbilde: 3 4 = 81 .

2. piemērs. Palieliniet skaitli pieci līdz piektajai pakāpei. Tas ir, ir jāaprēķina 5 5
Risinājums: līdzīgi 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Atbilde: 5 5 = 3125 .

Tādējādi, lai palielinātu skaitli līdz dabiskajam pakāpēm, pietiek tikai to reizināt ar sevi n reizes.

Kāds ir skaitļa negatīvais spēks?

A negatīvā jauda -n ir dalīta ar a n pakāpē: a -n = .

Šajā gadījumā negatīva pakāpe pastāv tikai skaitļiem, kas nav nulle, jo pretējā gadījumā notiktu dalīšana ar nulli.

Kā palielināt skaitli līdz negatīvam veselam skaitlim?

Lai palielinātu skaitli, kas nav nulle, negatīvā pakāpē, jums jāaprēķina šī skaitļa vērtība ar tādu pašu pozitīvo jaudu un jādala viens ar rezultātu.

1. piemērs. Palieliniet skaitli divi līdz mīnus ceturtajai pakāpei. Tas ir, ir jāaprēķina 2 -4

Risinājums: kā minēts iepriekš, 2 -4 = = = 0,0625 .

Atbilde: 2 -4 = 0.0625 .