Kvadrātvienādojuma vadošais koeficients. Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Kvadrātvienādojums — viegli atrisināms! *Tālāk tekstā "KU". Draugi, šķiet, ka matemātikā tas var būt vienkāršāk nekā atrisināt šādu vienādojumu. Bet kaut kas man teica, ka daudziem cilvēkiem ir problēmas ar viņu. Es nolēmu redzēt, cik seansu Yandex sniedz vienam pieprasījumam mēnesī. Lūk, kas notika, apskatiet:

Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka mēnesī meklē aptuveni 70 000 cilvēku šo informāciju, kāds šai vasarai sakars ar to, un kas notiks starp skolas gads- pieprasījumi būs divreiz lielāki. Tas nav pārsteidzoši, jo šo informāciju meklē tie puiši un meitenes, kuri jau sen beiguši skolu un gatavojas eksāmenam, un arī skolēni cenšas atsvaidzināt atmiņu.

Neskatoties uz to, ka ir daudz vietņu, kas stāsta, kā atrisināt šo vienādojumu, es nolēmu arī piedalīties un publicēt materiālu. Pirmkārt, es vēlos, lai apmeklētāji nāk uz manu vietni pēc šī pieprasījuma; otrkārt, citos rakstos, kad uzstāsies runa “KU”, iedošu saiti uz šo rakstu; treškārt, es jums pastāstīšu nedaudz vairāk par viņa risinājumu, nekā parasti tiek teikts citās vietnēs. Sāksim! Raksta saturs:

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar šādu formu:

kur koeficienti a,bun ar patvaļīgiem skaitļiem ar a≠0.

Skolas kursā materiāls tiek sniegts šādā formā - vienādojumu sadalīšana trīs klasēs tiek veikta nosacīti:

1. Ir divas saknes.

2. * Ir tikai viena sakne.

3. Nav sakņu. Šeit ir vērts atzīmēt, ka viņiem nav īstu sakņu

Kā tiek aprēķinātas saknes? Tikai!

Mēs aprēķinām diskriminantu. Zem šī "briesmīgā" vārda slēpjas ļoti vienkārša formula:

Sakņu formulas ir šādas:

*Šīs formulas ir jāzina no galvas.

Jūs varat nekavējoties pierakstīt un izlemt:

Piemērs:

1. Ja D > 0, tad vienādojumam ir divas saknes.

2. Ja D = 0, tad vienādojumam ir viena sakne.

3. Ja D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Apskatīsim vienādojumu:

Autors šajā gadījumā kad diskriminants nulle, skolas kursā teikts, ka tiek iegūta viena sakne, šeit tā ir vienāda ar deviņām. Pareizi, tā ir, bet...

Šis attēlojums ir nedaudz nepareizs. Patiesībā ir divas saknes. Jā, jā, nebrīnieties, izrādās divi vienāda sakne, un, lai būtu matemātiski precīzi, atbildē ir jāraksta divas saknes:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet tas tā ir - neliela atkāpe. Skolā var pierakstīt un teikt, ka ir tikai viena sakne.

Tagad šāds piemērs:

Kā zināms, negatīva skaitļa sakne netiek izvilkta, tāpēc risinājuma šajā gadījumā nav.

Tas ir viss lēmumu pieņemšanas process.

Kvadrātiskā funkcija.

Lūk, kā risinājums izskatās ģeometriski. Tas ir ārkārtīgi svarīgi saprast (nākotnē vienā no rakstiem mēs detalizēti analizēsim kvadrātiskās nevienlīdzības risinājumu).

Šī ir formas funkcija:

kur x un y ir mainīgie

a, b, c - dotos skaitļus, kur a ≠ 0

Grafiks ir parabola:

Tas ir, izrādās, ka, atrisinot kvadrātvienādojumu ar "y", kas vienāds ar nulli, mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar x asi. Var būt divi no šiem punktiem (diskriminants ir pozitīvs), viens (diskriminants ir nulle) vai neviens (diskriminants ir negatīvs). Sīkāka informācija par kvadrātiskā funkcija Jūs varat apskatīt Innas Feldmanes raksts.

Apsveriet piemērus:

1. piemērs: izlemiet 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atbilde: x 1 = 8 x 2 = -12

* Jūs varētu uzreiz sadalīt vienādojuma kreiso un labo pusi ar 2, tas ir, to vienkāršot. Aprēķini būs vienkāršāki.

2. piemērs: Izlemiet x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 – 4ac = (–22) 2 – 4∙1∙121 = 484–484 = 0

Mēs saņēmām, ka x 1 \u003d 11 un x 2 \u003d 11

Atbildē ir atļauts rakstīt x = 11.

Atbilde: x = 11

3. piemērs: Izlemiet x 2–8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 – 4ac = (–8) 2 – 4∙1, 72 = 64–288 = –224

Diskriminants ir negatīvs, reālos skaitļos risinājuma nav.

Atbilde: nav risinājuma

Diskriminants ir negatīvs. Ir risinājums!

Šeit mēs runāsim par vienādojuma atrisināšanu gadījumā, ja tiek iegūts negatīvs diskriminants. Vai jūs kaut ko zināt par kompleksajiem skaitļiem? Es šeit nestāstīšu par to, kāpēc un kur tie radušies un kāda ir to īpašā loma un nepieciešamība matemātikā, šī ir tēma lielam atsevišķam rakstam.

Kompleksā skaitļa jēdziens.

Mazliet teorijas.

Komplekss skaitlis z ir formas skaitlis

z = a + bi

kur ir a un b reāli skaitļi, i ir tā sauktā iedomātā vienība.

a+bi ir VIENS CIPARS, nevis papildinājums.

Iedomātā vienība ir vienāda ar sakni no mīnus viens:

Tagad apsveriet vienādojumu:

Iegūstiet divas konjugātas saknes.

Nepilns kvadrātvienādojums.

Apsveriet īpašus gadījumus, kad koeficients "b" vai "c" ir vienāds ar nulli (vai abi ir vienādi ar nulli). Tie ir viegli atrisināmi bez jebkādiem diskriminējošiem līdzekļiem.

1. gadījums. Koeficients b = 0.

Vienādojumam ir šāda forma:

Pārveidosim:

Piemērs:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2. gadījums. Koeficients c = 0.

Vienādojumam ir šāda forma:

Pārveidot, faktorizēt:

* Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.

Piemērs:

9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 vai x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3. gadījums. Koeficienti b = 0 un c = 0.

Šeit ir skaidrs, ka vienādojuma risinājums vienmēr būs x = 0.

Koeficientu derīgās īpašības un modeļi.

Ir īpašības, kas ļauj atrisināt vienādojumus ar lieliem koeficientiem.

ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība

a + b+ c = 0, tad

— ja vienādojuma koeficientiem ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība

a+ ar =b, tad

Šīs īpašības palīdz atrisināt noteikta veida vienādojumu.

1. piemērs: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koeficientu summa ir 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, tātad

2. piemērs: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Vienlīdzība a+ ar =b, nozīmē

Koeficientu likumsakarības.

1. Ja vienādojumā ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficients "b" ir (a 2 +1), un koeficients "c" ir skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

axe 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 6x2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ja vienādojumā ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficients "b" ir (a 2 +1) un koeficients "c" ir skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

cirvis 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 15x2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ja vienādojumā ax 2 + bx - c = 0 koeficients "b" vienāds (a 2 – 1), un koeficients “c” skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir vienādas

axe 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 = 1/17.

4. Ja vienādojumā ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficients "b" ir vienāds ar (a 2 - 1), un koeficients c ir skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

cirvis 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietas teorēma.

Vietas teorēma ir nosaukta slavenā franču matemātiķa Fransuā Vietas vārdā. Izmantojot Vietas teorēmu, var izteikt patvaļīga KU sakņu summu un reizinājumu ar tā koeficientiem.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Summējot, skaitlis 14 dod tikai 5 un 9. Tās ir saknes. Ar noteiktu prasmi, izmantojot uzrādīto teorēmu, jūs varat nekavējoties mutiski atrisināt daudzus kvadrātvienādojumus.

Vietas teorēma, turklāt. ērti, jo pēc kvadrātvienādojuma atrisināšanas parastajā veidā (caur diskriminantu) var pārbaudīt iegūtās saknes. Es iesaku to darīt visu laiku.

PĀRVIETOŠANAS METODE

Ar šo metodi koeficients "a" tiek reizināts ar brīvo termiņu, it kā "pārnests" uz to, tāpēc to sauc pārsūtīšanas metode.Šo metodi izmanto, ja ir viegli atrast vienādojuma saknes, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Ja a± b+c≠ 0, tad tiek izmantota pārsūtīšanas tehnika, piemēram:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Saskaņā ar Vietas teorēmu (2) vienādojumā ir viegli noteikt, ka x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Iegūtās vienādojuma saknes jādala ar 2 (tā kā abi tika “izmesti” no x 2), iegūstam

x 1 \u003d 5 x 2 = 0,5.

Kāds ir pamatojums? Paskaties, kas notiek.

(1) un (2) vienādojuma diskriminanti ir:

Ja paskatās uz vienādojumu saknēm, tiek iegūti tikai dažādi saucēji, un rezultāts ir tieši atkarīgs no koeficienta pie x 2:

Otrās (modificētās) saknes ir 2 reizes lielākas.

Tāpēc rezultātu dalām ar 2.

*Ja ripinām trīs vienādus, tad rezultātu dalām ar 3 utt.

Atbilde: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie un eksāmens.

Par tā nozīmi teikšu īsi - JĀSPĒT LĒMĒT ātri un nedomājot, sakņu formulas un diskriminanta jāzina no galvas. Daudzi uzdevumi, kas ir daļa no USE uzdevumiem, ir saistīti ar kvadrātvienādojuma atrisināšanu (ieskaitot ģeometriskos).

Kas ir jāņem vērā!

1. Vienādojuma forma var būt "netieša". Piemēram, ir iespējams šāds ieraksts:

15+ 9x 2 - 45x = 0 vai 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 vai 15 - 5x + 10x 2 = 0.

Tas ir jāsakārto standarta formā (lai neapjuktu risinot).

2. Atcerieties, ka x ir nezināma vērtība un to var apzīmēt ar jebkuru citu burtu - t, q, p, h un citiem.

Nepilns kvadrātvienādojums atšķiras no klasiskajiem (pilnajiem) vienādojumiem ar to, ka tā faktori jeb brīvais loceklis ir vienāds ar nulli. Šādu funkciju grafiks ir parabolas. Atkarībā no vispārējā izskata tos iedala 3 grupās. Visu veidu vienādojumu risināšanas principi ir vienādi.

Nepabeigta polinoma veida noteikšanā nav nekā sarežģīta. Vislabāk ir apsvērt galvenās atšķirības ilustratīvos piemēros:

1. Ja b = 0, tad vienādojums ir ax 2 + c = 0.
2. Ja c = 0, tad jāatrisina izteiksme ax 2 + bx = 0.
3. Ja b = 0 un c = 0, tad polinoms kļūst par ax 2 = 0 tipa vienādību.

Pēdējais gadījums ir vairāk teorētiska iespēja un nekad nenotiek zināšanu pārbaudēs, jo vienīgā patiesā x vērtība izteiksmē ir nulle. Nākotnē tiks aplūkotas nepilnīgu problēmu risināšanas metodes un piemēri. kvadrātvienādojumi 1) un 2) sugas.

Vispārējs algoritms mainīgo un piemēru meklēšanai ar risinājumu

Neatkarīgi no vienādojuma veida risinājuma algoritms tiek samazināts līdz šādiem soļiem:

1. Pārveidojiet izteiksmi formā, kas ir ērta sakņu atrašanai.
2. Veikt aprēķinus.
3. Pierakstiet atbildi.

Visvieglāk ir atrisināt nepilnīgus vienādojumus, faktorējot kreiso pusi un atstājot nulli labajā pusē. Tādējādi formula nepilnīgam kvadrātvienādojumam sakņu atrašanai tiek reducēta līdz x vērtības aprēķināšanai katram no faktoriem.

Jūs varat uzzināt, kā atrisināt problēmu, tikai praksē, tāpēc apsveriet konkrēts piemērs nepilna vienādojuma sakņu atrašana:

Kā redzat, šajā gadījumā b = 0. Mēs faktorizējam kreiso pusi un iegūstam izteiksmi:

4(x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Acīmredzot reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Līdzīgas prasības atbilst mainīgā x1 = 0,5 un (vai) x2 = -0,5 vērtībām.

Lai viegli un ātri tiktu galā ar sadalīšanās uzdevumu kvadrātveida trinomāls reizinātājiem, jums vajadzētu atcerēties šādu formulu:

Ja izteiksmē nav brīva termina, uzdevums ir ievērojami vienkāršots. Pietiks tikai atrast un izņemt kopsaucēju. Skaidrības labad apsveriet piemēru, kā atrisināt nepilnīgus kvadrātvienādojumus formā ax2 + bx = 0.

Izņemsim mainīgo x no iekavām un iegūstam šādu izteiksmi:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Pamatojoties uz loģiku, mēs secinām, ka x1 = 0 un x2 = -3.

Tradicionālais un nepilnīgo kvadrātvienādojumu risināšanas veids

Kas notiks, ja izmantosim diskriminanta formulu un mēģināsim atrast polinoma saknes ar koeficientiem, kas vienādi ar nulli? Ņemsim piemēru no tipisko uzdevumu krājuma Vienotajam valsts eksāmenam matemātikā 2017. gadā, to risināsim, izmantojot standarta formulas un faktorizēšanas metodi.

7x 2 - 3x = 0.

Aprēķiniet diskriminanta vērtību: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Izrādās, ka polinomam ir divas saknes:

Tagad atrisiniet vienādojumu, izmantojot faktoringu, un salīdziniet rezultātus.

X ⋅ (7 x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Kā redzat, abas metodes dod vienādu rezultātu, taču otrais vienādojuma risināšanas veids izrādījās daudz vienkāršāks un ātrāks.

Vietas teorēma

Bet ko darīt ar iemīļoto Vietas teorēmu? Vai šo metodi var izmantot ar nepilnīgu trinomu? Mēģināsim izprast nepilno vienādojumu reducēšanas aspektus līdz klasiskajai formai ax2 + bx + c = 0.

Faktiski šajā gadījumā ir iespējams pielietot Vietas teorēmu. Atliek tikai pārvērst izteiksmi vispārīgā formā, aizstājot trūkstošos terminus ar nulli.

Piemēram, ar b = 0 un a = 1, lai novērstu sajaukšanas iespēju, uzdevums jāraksta formā: ax2 + 0 + c = 0. Tad sakņu summas un reizinājuma attiecība un polinoma faktorus var izteikt šādi:

Teorētiskie aprēķini palīdz iepazīties ar jautājuma būtību un vienmēr prasa prasmju pilnveidošanu, risinot konkrēti uzdevumi. Atkal pievērsīsimies eksāmenam tipisko uzdevumu uzziņu grāmatai un atradīsim piemērotu piemēru:

Mēs rakstām izteiksmi formā, kas ir ērta Vieta teorēmas piemērošanai:

x2 + 0 - 16 = 0.

Nākamais solis ir izveidot nosacījumu sistēmu:

Acīmredzot kvadrātveida polinoma saknes būs x 1 \u003d 4 un x 2 \u003d -4.

Tagad vingrināsim vienādojuma ieviešanu vispārējā formā. Ņemiet šādu piemēru: 1/4 × x 2 – 1 = 0

Lai izteiksmei piemērotu Vieta teorēmu, jums ir jāatbrīvojas no daļskaitļa. Reiziniet kreiso un labo malu ar 4 un apskatiet rezultātu: x2 - 4 = 0. Iegūtā vienādība ir gatava risināšanai ar Vietas teorēmu, taču atbildi iegūt ir daudz vienkāršāk un ātrāk, vienkārši pārnesot c = 4 vienādojuma labajā pusē: x2 = 4.

Rezumējot, jāsaka tā labākais veids nepilno vienādojumu risinājums ir faktorizēšana, ir vienkāršākais un ātra metode. Ja sakņu atrašanas procesā rodas grūtības, varat atsaukties uz tradicionālo sakņu atrašanas metodi, izmantojot diskriminantu.

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu a*x^2 +b*x+c=0, kur a,b,c ir daži patvaļīgi reāli (reāli) skaitļi, un x ir mainīgais. Un skaitlis a nav vienāds ar 0.

Skaitļus a,b,c sauc par koeficientiem. Skaitlis a - tiek saukts par vadošo koeficientu, skaitlis b ir koeficients pie x, un skaitlis c tiek saukts par brīvo locekli. Dažās literatūrās atrodami arī citi nosaukumi. Skaitli a sauc par pirmo koeficientu, un skaitli b sauc par otro koeficientu.

Kvadrātvienādojumu klasifikācija

Kvadrātvienādojumiem ir sava klasifikācija.

Pēc koeficientu klātbūtnes:

1. Pilns

2. Nepilnīgs

Pēc nezināmā augstākās pakāpes koeficienta vērtības(līdz vadošā koeficienta vērtībai):

1. Dots

2. Nav samazināts

Kvadrātvienādojums sauc par pabeigtu ja tajā ir visi trīs koeficienti un tie nav vienādi ar nulli. Vispārējā forma pilns kvadrātvienādojums: a*x^2 +b*x+c=0;

Kvadrātvienādojums sauc par nepilnīgu ja vienādojumā a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 viens no koeficientiem b vai c ir vienāds ar nulli (b \u003d 0 vai c \u003d 0), tomēr būs arī nepilnīgs kvadrātvienādojums vienādojums, kurā gan koeficients b, gan koeficients c vienlaikus ir vienādi ar nulli (gan b=0, gan c=0).

Ir vērts atzīmēt, ka šeit nekas nav teikts par vadošo koeficientu, jo pēc kvadrātvienādojuma definīcijas tam ir jāatšķiras no nulles.

dots ja tā vadošais koeficients vienāds ar vienu(a=1). Dotā kvadrātvienādojuma vispārīgs skats: x^2 +d*x+e=0.

Kvadrātvienādojumu sauc nesamazināts, ja vadošais koeficients vienādojumā nav nulle. Nereducētā kvadrātvienādojuma vispārīgs skats: a*x^2 +b*x+c=0.

Jāņem vērā, ka jebkuru nereducētu kvadrātvienādojumu var reducēt uz reducēto. Lai to izdarītu, kvadrātvienādojuma koeficienti ir jāsadala ar vadošo koeficientu.

Kvadrātiskie piemēri

Apsveriet piemēru: mums ir vienādojums 2*x^2 - 6*x+7 =0;

Pārveidosim to iepriekš minētajā vienādojumā. Vadošais koeficients ir 2. Sadalīsim ar to mūsu vienādojuma koeficientus un pierakstīsim atbildi.

x^2 — 3*x+3,5 =0;

Kā jūs pamanījāt, kvadrātvienādojuma labajā pusē ir otrās pakāpes polinoms a * x ^ 2 + b * x + c. To sauc arī par kvadrātveida trinomu.

Šī tēma sākumā var šķist sarežģīta daudzo ne pārāk vienkāršo formulu dēļ. Pašos kvadrātvienādojumos ir ne tikai gari ieraksti, bet arī saknes tiek atrastas, izmantojot diskriminantu. Pavisam ir trīs jaunas formulas. Nav ļoti viegli atcerēties. Tas ir iespējams tikai pēc biežas šādu vienādojumu atrisināšanas. Tad visas formulas pašas atcerēsies.

Kvadrātvienādojuma vispārīgs skats

Šeit tiek piedāvāts to precīzs apzīmējums, kad vispirms tiek uzrakstīts lielākais grāds un pēc tam dilstošā secībā. Bieži vien ir situācijas, kad termini atšķiras. Tad labāk ir pārrakstīt vienādojumu mainīgā lieluma pakāpes dilstošā secībā.

Ieviesīsim notāciju. Tie ir parādīti zemāk esošajā tabulā.

Ja mēs pieņemam šos apzīmējumus, visi kvadrātvienādojumi tiek reducēti uz šādu apzīmējumu.

Turklāt koeficients a ≠ 0. Apzīmēsim šo formulu ar skaitli viens.

Kad vienādojums ir dots, nav skaidrs, cik sakņu būs atbildē. Jo vienmēr ir iespējama viena no trim iespējām:

• šķīdumam būs divas saknes;
• atbilde būs viens skaitlis;
• Vienādojumam vispār nav sakņu.

Un, lai gan lēmums netiek pieņemts līdz galam, ir grūti saprast, kura no iespējām konkrētajā gadījumā izkritīs.

Kvadrātvienādojumu ierakstu veidi

Uzdevumiem var būt dažādi ieraksti. Tie ne vienmēr izskatās vispārējā formula kvadrātvienādojums. Dažreiz tai pietrūks daži termini. Tas, kas tika rakstīts iepriekš, ir pilnīgs vienādojums. Ja noņemat tajā otro vai trešo terminu, jūs iegūstat kaut ko citu. Šos ierakstus sauc arī par kvadrātvienādojumiem, tikai nepilnīgiem.

Turklāt var pazust tikai tie termini, kuriem koeficienti "b" un "c". Skaitlis "a" nekādā gadījumā nevar būt vienāds ar nulli. Jo šajā gadījumā formula pārvēršas par lineāru vienādojumu. Formulas vienādojumu nepilnīgajai formai būs šādas:

Tātad ir tikai divi veidi, papildus pilnīgajiem, ir arī nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Lai pirmā formula ir numurs divi, bet otrais skaitlis - trīs.

Diskriminants un sakņu skaita atkarība no tā vērtības

Šim skaitlim ir jābūt zināmam, lai aprēķinātu vienādojuma saknes. To vienmēr var aprēķināt neatkarīgi no kvadrātvienādojuma formulas. Lai aprēķinātu diskriminantu, jāizmanto zemāk uzrakstītā vienādība, kurai būs cipars četri.

Pēc koeficientu vērtību aizstāšanas šajā formulā jūs varat iegūt skaitļus ar dažādas zīmes. Ja atbilde ir jā, tad vienādojuma atbilde būs divas dažādas saknes. Ja skaitlis ir negatīvs, kvadrātvienādojuma saknes nebūs. Ja tas ir vienāds ar nulli, atbilde būs viens.

Kā tiek atrisināts pilns kvadrātvienādojums?

Faktiski šī jautājuma izskatīšana jau ir sākusies. Jo vispirms ir jāatrod diskriminants. Pēc tam, kad ir noskaidrots, ka kvadrātvienādojumam ir saknes un to skaits ir zināms, jums ir jāizmanto mainīgo lielumu formulas. Ja ir divas saknes, tad jums ir jāpiemēro šāda formula.

Tā kā tajā ir zīme “±”, būs divas vērtības. Parakstīta izteiksme kvadrātsakne ir diskriminants. Tāpēc formulu var pārrakstīt citā veidā.

Piektā formula. No tā paša ieraksta var redzēt, ka, ja diskriminants ir nulle, tad abām saknēm būs vienādas vērtības.

Ja kvadrātvienādojumu risinājums vēl nav izstrādāts, tad pirms diskriminējošās un mainīgās formulas piemērošanas labāk pierakstīt visu koeficientu vērtības. Vēlāk šis brīdis nesagādās grūtības. Taču pašā sākumā ir apjukums.

Kā tiek atrisināts nepilnīgs kvadrātvienādojums?

Šeit viss ir daudz vienkāršāk. Pat papildu formulas nav vajadzīgas. Un nevajadzēs tos, kas jau ir rakstīti diskriminējošajam un nezināmajam.

Vispirms apsveriet nepilnīgs vienādojums otrajā numurā. Šajā vienādībā ir paredzēts izņemt nezināmo vērtību no iekavas un atrisināt lineāro vienādojumu, kas paliks iekavās. Atbildei būs divas saknes. Pirmais noteikti ir vienāds ar nulli, jo ir faktors, kas sastāv no paša mainīgā lieluma. Otro iegūst, atrisinot lineāru vienādojumu.

Nepilnīgais vienādojums ar numuru trīs tiek atrisināts, pārnesot skaitli no vienādojuma kreisās puses uz labo. Tad jums ir jādala ar koeficientu nezināmā priekšā. Atliek tikai izvilkt kvadrātsakni un neaizmirstiet to divreiz pierakstīt ar pretējām zīmēm.

Tālāk ir norādītas dažas darbības, kas palīdz jums uzzināt, kā atrisināt visu veidu vienādības, kas pārvēršas kvadrātvienādojumos. Tie palīdzēs skolēnam izvairīties no kļūdām neuzmanības dēļ. Šīs nepilnības ir iemesls sliktām atzīmēm, pētot plašo tēmu "Kvadrātvienādojumi (8. klase)". Pēc tam šīs darbības nebūs pastāvīgi jāveic. Jo būs stabils ieradums.

• Vispirms jums ir jāuzraksta vienādojums standarta formā. Tas ir, vispirms termins ar lielāko mainīgā pakāpi, un pēc tam - bez pakāpes un pēdējais - tikai skaitlis.

• Ja pirms koeficienta "a" parādās mīnuss, iesācējam tas var sarežģīt kvadrātvienādojumu pētīšanas darbu. Labāk no tā atbrīvoties. Šim nolūkam visa vienlīdzība jāreizina ar "-1". Tas nozīmē, ka visi termini mainīs zīmi uz pretējo.

• Tādā pašā veidā ieteicams atbrīvoties no frakcijām. Vienkārši reiziniet vienādojumu ar atbilstošo koeficientu, lai saucēji tiktu izslēgti.

Piemēri

Ir nepieciešams atrisināt šādus kvadrātvienādojumus:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmais vienādojums: x 2 - 7x \u003d 0. Tas ir nepilnīgs, tāpēc tas ir atrisināts, kā aprakstīts formulai numur divi.

Pēc iekavēšanas izrādās: x (x - 7) \u003d 0.

Pirmā sakne iegūst vērtību: x 1 = 0. Otrā tiks atrasta no lineārais vienādojums: x - 7 = 0. Ir viegli redzēt, ka x 2 = 7.

Otrais vienādojums: 5x2 + 30 = 0. Atkal nepilnīgs. Tikai tas tiek atrisināts, kā aprakstīts trešajā formulā.

Pēc 30 pārsūtīšanas uz vienādojuma labo pusi: 5x 2 = 30. Tagad jādala ar 5. Izrādās: x 2 = 6. Atbildes būs skaitļi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trešais vienādojums: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Šeit un zemāk kvadrātvienādojumu atrisināšana sāksies, tos pārrakstot standarta skats: - x 2 - 2x + 15 = 0. Tagad ir pienācis laiks izmantot otro noderīgs padoms un reiziniet visu ar mīnus viens. Izrādās x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Saskaņā ar ceturto formulu jums jāaprēķina diskriminants: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Tas ir pozitīvs skaitlis. No iepriekš teiktā izrādās, ka vienādojumam ir divas saknes. Tie jāaprēķina pēc piektās formulas. Saskaņā ar to izrādās, ka x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tad x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ceturtais vienādojums x 2 + 8 + 3x \u003d 0 tiek pārveidots par šādu: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Tā diskriminants ir vienāds ar šo vērtību: -23. Tā kā šis skaitlis ir negatīvs, atbilde uz šo uzdevumu būs šāds ieraksts: "Nav sakņu."

Piektais vienādojums 12x + x 2 + 36 = 0 jāpārraksta šādi: x 2 + 12x + 36 = 0. Pēc diskriminanta formulas piemērošanas iegūst skaitli nulle. Tas nozīmē, ka tam būs viena sakne, proti: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Sestais vienādojums (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) prasa transformācijas, kas sastāv no tā, ka pirms iekavu atvēršanas ir jāienes līdzīgi termini. Pirmā vietā būs šāda izteiksme: x 2 + 2x + 1. Pēc vienādības parādīsies šāds ieraksts: x 2 + 3x + 2. Pēc līdzīgu vārdu saskaitīšanas vienādojums būs šādā formā: x 2 - x \u003d 0. Tas ir kļuvis nepilnīgs . Līdzīgs tam jau ir uzskatīts par nedaudz augstāku. Tā saknes būs skaitļi 0 un 1.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 vai x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Iemācījusies atrisināt pirmās pakāpes vienādojumus, protams, vēlos strādāt ar citiem, jo ​​īpaši ar otrās pakāpes vienādojumiem, kurus citādi sauc par kvadrātvienādojumu.

Kvadrātvienādojumi ir ax² + bx + c = 0 tipa vienādojumi, kur mainīgais ir x, skaitļi būs - a, b, c, kur a nav vienāds ar nulli.

Ja kvadrātvienādojumā viens vai otrs koeficients (c vai b) ir vienāds ar nulli, tad šis vienādojums attieksies uz nepilnu kvadrātvienādojumu.

Kā atrisināt nepilnu kvadrātvienādojumu, ja studenti līdz šim ir spējuši atrisināt tikai pirmās pakāpes vienādojumus? Apsveriet nepilnīgus kvadrātvienādojumus dažādi veidi un vienkāršus veidus savus lēmumus.

a) Ja koeficients c ir vienāds ar 0 un koeficients b nav vienāds ar nulli, tad ax ² + bx + 0 = 0 tiek reducēts uz vienādojumu formā ax ² + bx = 0.

Lai atrisinātu šādu vienādojumu, ir jāzina nepilna kvadrātvienādojuma risināšanas formula, kas sastāv no tā kreisās puses sadalīšanas faktoros un vēlāk izmantojot nosacījumu, ka reizinājums ir vienāds ar nulli.

Piemēram, 5x ² - 20x \u003d 0. Mēs sadalām vienādojuma kreiso pusi faktoros, vienlaikus veicot parastās darbības. matemātiskā darbība: kopējā faktora izņemšana no iekavām

5x (x - 4) = 0

Mēs izmantojam nosacījumu, ka produkti ir vienādi ar nulli.

5 x = 0 vai x - 4 = 0

Atbilde būs: pirmā sakne ir 0; otrā sakne ir 4.

b) Ja b \u003d 0 un brīvais termins nav vienāds ar nulli, tad vienādojums ax ² + 0x + c \u003d 0 tiek reducēts uz vienādojumu formā ax ² + c \u003d 0. Atrisiniet vienādojumus divās daļās. veidi: a) kreisās puses vienādojuma polinoma sadalīšana faktoros ; b) izmantojot aritmētiskās kvadrātsaknes īpašības. Šāds vienādojums tiek atrisināts ar vienu no metodēm, piemēram:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Atbilde ir: pirmā sakne ir 5/2; otrā sakne ir - 5/2.

c) Ja b ir vienāds ar 0 un c ir vienāds ar 0, tad ax² + 0 + 0 = 0 reducējas līdz vienādojumam formā ax² = 0. Šādā vienādojumā x būs vienāds ar 0.

Kā redzat, nepilnīgiem kvadrātvienādojumiem var būt ne vairāk kā divas saknes.