Skaitliskās secības iestatīšanas metodes. Skaitļu virknes definīcija

Vida y= f(x), x O N, kur N ir naturālu skaitļu kopa (vai naturāla argumenta funkcija), kas apzīmēta y=f(n) vai y 1 ,y 2 ,…, g n,…. Vērtības y 1 ,y 2 ,y 3 ,… tiek saukti attiecīgi par pirmo, otro, trešo, ... secības dalībniekiem.

Piemēram, funkcijai y= n 2 var uzrakstīt:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Secību iestatīšanas metodes. Secības var norādīt dažādos veidos, no kurām īpaši svarīgas ir trīs: analītiskā, aprakstošā un atkārtotā.

1. Secība tiek dota analītiski, ja ir dota tās formula n- dalībnieks:

g n=f(n).

Piemērs. g n= 2n- 1 – nepāra skaitļu secība: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Aprakstošs veids, kā norādīt skaitlisku secību, ir izskaidrot, no kādiem elementiem secība ir veidota.

1. piemērs. "Visi secības dalībnieki ir vienādi ar 1." Tas nozīmē, mēs runājam par stacionāro secību 1, 1, 1, …, 1, ….

2. piemērs. "Secība sastāv no visiem pirmskaitļiem augošā secībā." Tādējādi tiek dota secība 2, 3, 5, 7, 11, …. Izmantojot šo secības precizēšanas veidu šajā piemērā, ir grūti atbildēt, ar ko ir vienāds, teiksim, secības 1000. elements.

3. Atkārtots veids, kā norādīt secību, ir tāds, ka tiek norādīts noteikums, kas ļauj aprēķināt n-secības dalībnieks, ja ir zināmi tās iepriekšējie dalībnieki. Atkārtotas metodes nosaukums cēlies no latīņu vārda atkārtojas- Atgriezies. Visbiežāk šādos gadījumos tiek norādīta formula, kas ļauj izteikties n secības loceklis caur iepriekšējiem, un norādiet 1–2 sākotnējos secības dalībniekus.

1. piemērs y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ja n = 2, 3, 4,….

Šeit y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Var redzēt, ka šajā piemērā iegūto secību var norādīt arī analītiski: g n= 4n- 1.

2. piemērs y 1 = 1; y 2 = 1; g n = g n –2 + g n-1 ja n = 3, 4,….

Šeit: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Šajā piemērā sastādītā secība ir īpaši pētīta matemātikā, jo tai ir vairākas interesantas īpašības un pielietojums. To sauc par Fibonači secību - pēc itāļu matemātiķa 13. gs. Fibonači secības definēšana rekursīvi ir ļoti vienkārša, bet analītiski ļoti sarežģīta. n Fibonači skaitlis tiek izteikts kā kārtas skaitlis, izmantojot šādu formulu.

No pirmā acu uzmetiena formula, lai n Fibonači skaitlis šķiet neticams, jo formula, kas norāda tikai naturālu skaitļu secību, satur kvadrātsaknes, taču šīs formulas derīgumu varat pārbaudīt "manuāli" pirmajām dažām n.

Skaitlisko secību īpašības.

Skaitliskā secība ir īpašs skaitliskas funkcijas gadījums, tāpēc secībām tiek ņemtas vērā arī vairākas funkciju īpašības.

Definīcija . Secība ( g n} tiek saukts par pieaugošu, ja katrs tā termins (izņemot pirmo) ir lielāks par iepriekšējo:

y 1. g. 2. g. 3. g. g. g. n +1

Definīcija.Secība ( g n} tiek saukts par samazinošu, ja katrs tā termins (izņemot pirmo) ir mazāks par iepriekšējo:

y 1 > y 2 > y 3 > … > g n> g n +1 > … .

Pieaugošās un dilstošās sekvences vieno kopīgs termins – monotoniskās sekvences.

1. piemērs y 1 = 1; g n= n 2 ir augoša secība.

Tādējādi ir patiesa sekojošā teorēma (raksturīga aritmētiskās progresijas īpašība). Skaitliskā secība ir aritmētiska tad un tikai tad, ja katrs tās dalībnieks, izņemot pirmo (un pēdējo galīgas secības gadījumā), ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo elementu vidējo aritmētisko.

Piemērs. Par kādu vērtību x 3. numurs x + 2, 5x– 4 un 11 x+ 12 veido galīgu aritmētisko progresiju?

Saskaņā ar raksturīgo īpašību dotajām izteiksmēm ir jāapmierina attiecība

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Šī vienādojuma atrisināšana dod x= –5,5. Ar šo vērtību x dotie izteicieni 3 x + 2, 5x– 4 un 11 x+ 12 ņem attiecīgi vērtības -14,5, –31,5, –48,5. Šī ir aritmētiskā progresija, tās starpība ir -17.

Ģeometriskā progresija.

Ciparu secība, kuras visi locekļi nav nulle un kuras katru locekli, sākot no otrā, iegūst no iepriekšējā locekļa, reizinot ar to pašu skaitli q, sauc par ģeometrisko progresiju un skaitli q- ģeometriskās progresijas saucējs.

Tādējādi ģeometriskā progresija ir skaitliska secība ( b n), ko rekursīvi dod attiecības

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b un q- dotos skaitļus, b ≠ 0, q ≠ 0).

Piemērs 1. 2, 6, 18, 54, ... - pieaugoša ģeometriskā progresija b = 2, q = 3.

2. piemērs. 2, -2, 2, -2, ... – ģeometriskā progresija b= 2,q= –1.

3. piemērs. 8, 8, 8, 8, … – ģeometriskā progresija b= 8, q= 1.

Ģeometriskā progresija ir pieaugoša secība, ja b 1 > 0, q> 1 un samazinās, ja b 1 > 0, 0q

Viena no acīmredzamajām ģeometriskās progresijas īpašībām ir tāda, ka, ja secība ir ģeometriskā progresija, tad kvadrātu secība, t.i.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… ir ģeometriskā progresija, kuras pirmais loceklis ir vienāds ar b 1 2 , un saucējs ir q 2 .

Formula n-ģeometriskās progresijas terminam ir forma

b n= b 1 q n– 1 .

Jūs varat iegūt formulu ierobežotas ģeometriskās progresijas terminu summai.

Lai ir ierobežota ģeometriskā progresija

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

lai paliek S n - tās dalībnieku summa, t.i.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Tas ir pieņemts q Nr 1. Lai noteiktu S n tiek pielietots mākslīgs triks: tiek veiktas dažas izteiksmes ģeometriskas transformācijas S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Tādējādi S n q= S n +b n q – b 1 un līdz ar to

Šī ir formula ar umma n ģeometriskās progresijas locekļi gadījumam, kad q≠ 1.

Plkst q= 1 formulu nevar atvasināt atsevišķi, ir skaidrs, ka šajā gadījumā S n= a 1 n.

Ģeometriskā progresija ir nosaukta tāpēc, ka tajā katrs termins, izņemot pirmo, ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo terminu ģeometrisko vidējo. Patiešām, kopš

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

tātad, b n 2= b n– 1 miljards+ 1, un šī teorēma ir patiesa (ģeometriskās progresijas raksturīga īpašība):

skaitliskā secība ir ģeometriska progresija tad un tikai tad, ja katra tās locekļa kvadrāts, izņemot pirmo (un pēdējo, ja ir ierobežota virkne), ir vienāds ar iepriekšējā un turpmākā vārda reizinājumu.

Secības ierobežojums.

Lai ir secība ( c n} = {1/n}. Šo secību sauc par harmonisku, jo katrs tās loceklis, sākot no otrā, ir harmoniskais vidējais starp iepriekšējo un nākamo elementu. Skaitļu ģeometriskais vidējais a un b ir numurs

Pretējā gadījumā secību sauc par atšķirīgu.

Pamatojoties uz šo definīciju, var, piemēram, pierādīt ierobežojuma esamību A=0 harmoniskajai secībai ( c n} = {1/n). Pieņemsim, ka ε ir patvaļīgi mazs pozitīvs skaitlis. Mēs ņemam vērā atšķirību

Vai ir tāds N ka visiem n≥ N nevienlīdzība 1 /N? Ja ņem kā N jebkurš naturāls skaitlis, kas lielāks par 1/ε , tad visiem n ≥ N nevienlīdzība 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Dažkārt ir ļoti grūti pierādīt, ka konkrētai secībai ir noteikts ierobežojums. Visizplatītākās secības ir labi izpētītas un uzskaitītas atsauces grāmatās. Ir svarīgas teorēmas, kas ļauj secināt, ka noteiktai secībai ir robeža (un pat to aprēķināt), pamatojoties uz jau pētītajām sekvencēm.

Teorēma 1. Ja secībai ir robeža, tad tā ir ierobežota.

2. teorēma. Ja secība ir monotona un ierobežota, tad tai ir robeža.

3. teorēma. Ja secība ( a n} ir ierobežojums A, tad secības ( apmēram n}, {a n+ c) un (| a n|} ir ierobežojumi cA, A +c, |A| attiecīgi (šeit c ir patvaļīgs skaitlis).

4. teorēma. Ja sekvences ( a n} un ( b n), kuru ierobežojumi ir vienādi ar A un B pa n + qb n) ir ierobežojums pA+ qB.

5. teorēma. Ja sekvences ( a n) un ( b n), kuru ierobežojumi ir vienādi ar A un B attiecīgi secība ( a n b n) ir ierobežojums AB.

6. teorēma. Ja sekvences ( a n} un ( b n), kuru ierobežojumi ir vienādi ar A un B attiecīgi un papildus b n ≠ 0 un B≠ 0, tad secība ( a n / b n) ir ierobežojums A/B.

Anna Čugainova

Praktiskais darbs Nr.13

Ciparu secību iestatīšana dažādos veidos, secības dalībnieku aprēķināšana. Secību robežu atrašana un funkcijas

Mērķis: iemācīties dažādos veidos rakstīt ciparu secības, aprakstīt to īpašības; atrast secību un funkciju robežas.

Īsa teorija

Dabiskā argumenta n (n=1; 2; 3; 4;...) funkciju y=f (n) sauc par skaitlisko secību.

Ir šādi veidi, kā norādīt ciparu secību:

verbāls veids. Tas ir paraugs vai noteikums secības dalībnieku izkārtojumam, kas aprakstīts vārdos.

analītiskā veidā. Secību uzrāda n-tā dalībnieka formula: y n = f(n). Izmantojot šo formulu, jūs varat atrast jebkuru secības dalībnieku.

rekursīvs veids. Tiek dota formula, pēc kuras katrs nākamais termins tiek atrasts caur iepriekšējiem terminiem. Ja funkcija tiek definēta atkārtoti, viens vai vairāki secības pirmie dalībnieki vienmēr tiek norādīti papildus.

Tiek izsaukta ciparu secība pieaug, ja tā locekļi palielinās (pie n + 1 pie n) un samazinās, ja tā locekļi samazināt(n+1 n).

Tiek sauktas pieaugošās vai samazinošās skaitliskās secības vienmuļš.

Ļaut būt līnijas punkts un ļaut būt pozitīvs skaitlis. Intervālu sauc par punkta apkārtni, un skaitli sauc par apkārtnes rādiusu.

Apsveriet ciparu secību, kuras kopējais vārds tuvojas noteiktam skaitlim b, palielinoties kārtas skaitlim n. Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka skaitļu secībai ir ierobežojums. Šim jēdzienam ir stingrāka definīcija.

Skaitli b sauc par secības robežu (y n), ja jebkurā iepriekš izvēlētā punkta b apkārtnē ir visi secības dalībnieki, sākot no kāda skaitļa

1. teorēma Ja tad:

Divu secību summas/atšķirības robeža ir vienāda ar robežu summu/starpību no katras no tām, ja tādas pastāv:

Divu secību reizinājuma robeža ir vienāda ar katras no tām robežu reizinājumu, ja pastāv faktoru robežas:

Divu secību attiecības robeža ir vienāda ar robežu attiecību no katras no tām, ja šīs robežas pastāv un saucēja robeža nav vienāda ar nulli:

Jebkuram dabiskajam rādītājam m un jebkuram koeficientam k attiecība ir patiesa:

1. teorēma Ja tad:

Divu funkciju summas/starpības robeža ir vienāda ar katras no tām robežu summu/starpību, ja tādas pastāv:

;

Divu funkciju reizinājuma robeža ir vienāda ar katras no tām robežu reizinājumu, ja pastāv faktoru robežas:

Divu funkciju attiecības robeža ir vienāda ar katras no tām robežu attiecību, ja šīs robežas pastāv un saucēja robeža nav vienāda ar nulli:

Pastāvīgo koeficientu var izņemt no robežzīmes:

Funkciju y=f(x) sauc par nepārtrauktu punktā x=a, ja funkcijas y=f(x) robeža, kad x tiecas uz a, ir vienāda ar funkcijas vērtību punktā x=a.

Pirmais ievērojamais ierobežojums: .

Praktiski uzdevumi darbam klasē

Definējiet secību analītiski un atrodiet šīs secības pirmos piecus nosacījumus:

a) katram dabiskajam skaitlim tiek piešķirts pretējais skaitlis;

b) katram naturālajam skaitlim tiek piešķirta šī skaitļa kvadrātsakne;

c) katram naturālajam skaitlim tiek piešķirts skaitlis -5;

d) katram naturālajam skaitlim tiek piešķirta puse no tā kvadrāta.

2. Izmantojot doto formulu n-tajam vārdam, aprēķiniet secības pirmos piecus vārdus (y n):

3. Vai secība ir ierobežota?

4. Vai secība samazinās vai palielinās?

5. Pierakstiet kā intervālu punkta a=-3 apkārtni ar rādiusu r=0,5.

6. Kura punkta apkārtne un kāds rādiuss ir intervāls (2,1; 2,3).

7. Aprēķiniet secības ierobežojumu:

8. Aprēķiniet:

Patstāvīgs darbs

1. iespēja

A daļa

B daļa

C daļa

7. Aprēķiniet:

2. iespēja

A daļa

B daļa

6. Aprēķiniet secības ierobežojumu:

C daļa

7. Aprēķiniet:

3. iespēja

A daļa

B daļa

6. Aprēķiniet secības ierobežojumu:

C daļa

7. Aprēķiniet:

4. iespēja

A daļa

B daļa

6. Aprēķiniet secības ierobežojumu:

C daļa

7. Aprēķiniet:

testa jautājumi

Kas ir skaitļu secība?

Kādi ir veidi, kā norādīt skaitļu secību?

Kāda secība tiek uzskatīta par ierobežotu no augšas?

Kāda secība tiek uzskatīta par ierobežotu no apakšas?

Kas ir augošā secība?

Kas ir dilstoša secība?

Kāda ir skaitļu virknes robeža?

Uzskaitiet secību ierobežojumu aprēķināšanas noteikumus.

Uzskaitiet funkciju robežu aprēķināšanas noteikumus.

Algebra. 9. klase
Nodarbība #32
Datums:_____________
Skolotājs: Gorbenko Alena Sergeevna
Tēma: Ciparu secība, tās iestatīšanas veidi un īpašības
Nodarbības veids: kombinēta
Nodarbības mērķis: sniegt skaitliskās secības jēdzienu un definīciju, apsvērt veidus
ciparu secību piešķiršana
Uzdevumi:
Izglītojoši: iepazīstināt studentus ar skaitļu secības un elementa jēdzienu
skaitliskā secība; iepazīties ar analītisko, verbālo, atkārtoto un
grafiskie veidi, kā iestatīt skaitlisko secību; Apsveriet skaitļu veidus
sekvences; sagatavošanās EAEA;
Attīstīt: matemātiskās lasītprasmes, domāšanas, aprēķinu tehnikas, prasmju attīstība
salīdzinājumi, izvēloties formulu; ieaudzināt interesi par matemātiku;
Izglītība: patstāvīgas darbības prasmju izglītošana; skaidrība un
organizācija darbā; dot iespēju ikvienam studentam gūt panākumus;
Aprīkojums: Skolas piederumi, tāfele, krīts, mācību grāmata, izdales materiāli.
Nodarbību laikā
I. Organizatoriskais moments
 Savstarpēja sasveicināšanās;
 Prombūtņu labošana;
 Nodarbības tēmas izziņošana;
 Stundas mērķu un uzdevumu izvirzīšana no skolēnu puses.
Secība ir viens no pamata jēdzieniem matemātikā. Secība var
sastāv no skaitļiem, punktiem, funkcijām, vektoriem utt.
Šodien nodarbībā iepazīsimies ar jēdzienu "ciparu secība", uzzināsim, ko
var būt sekvences, iepazīsimies ar slavenajām sekvencēm.

II. Pamatzināšanu atjaunināšana.
Vai jūs zināt funkcijas, kas definētas visā skaitļu rindā vai tās nepārtrauktajā rindā
III.
intervāli:
lineāra funkcija y \u003d kx + v,
kvadrātiskā funkcija y \u003d ax2 + inx + c,


 funkcija y =



 funkcija y = |x|.
Sagatavošanās jaunu zināšanu uztverei
tiešā proporcionalitāte y \u003d kx,
apgrieztā proporcionalitāte y \u003d k / x,
kubiskā funkcija y = x3,
,
Bet citās kopās ir definētas funkcijas.
Piemērs. Daudzām ģimenēm ir paraža, sava veida rituāls: bērna dzimšanas dienā
vecāki pieved viņu pie durvju rāmja un svinīgi atzīmē dzimšanas dienas zēna augšanu uz tās.
Bērns aug, un ar gadiem uz aplodas parādās veselas kāpnes ar zīmēm. Trīs, pieci, divi: tas ir
izaugsmes secība no gada uz gadu. Bet ir vēl viena secība, proti
tās dalībnieki ir rūpīgi izrakstīti blakus serifiem. Šī ir augšanas vērtību secība.
Abas secības ir saistītas viena ar otru.
Otro iegūst no pirmā, pievienojot.
Izaugsme ir visu iepriekšējo gadu ieguvumu summa.
Apsveriet vēl dažus jautājumus.
Uzdevums 1. Noliktavā ir 500 tonnas ogļu, katru dienu tiek piegādātas 30 tonnas.Cik būs ogļu
noliktavā 1 dienas laikā? 2 diena? 3 diena? 4. diena? 5. diena?
(Skolēnu atbildes rakstītas uz tāfeles: 500, 530, 560, 590, 620).
Uzdevums 2. Intensīvas augšanas periodā cilvēks pieaug vidēji par 5 cm gadā. Tagad ceļas
students S. ir 180 cm garš.Cik garš viņš būs 2026. gadā? (2m 30 cm). Bet tā tam nav jābūt
var būt. Kāpēc?
3. uzdevums. Katru dienu katrs cilvēks ar gripu var inficēt 4 citus.
Pēc cik dienām saslims visi mūsu skolas skolēni (300 cilvēki)? (Pēc 4 dienām).
Šie ir funkciju piemēri, kas definēti uz naturālu skaitļu kopas — skaitliskās
sekvences.
Nodarbības mērķis ir: atrast veidus, kā atrast jebkuru secības dalībnieku.
Nodarbības mērķi: uzziniet, kas un kā ir ciparu secība
sekvences.
IV. Jauna materiāla apgūšana
Definīcija. Skaitliskā secība ir funkcija, kas definēta kopā
naturālie skaitļi (secības veido tādus dabas elementus, kas
var numurēt).
Skaitliskās secības jēdziens radās un attīstījās ilgi pirms doktrīnas radīšanas
funkcijas. Šeit ir piemēri bezgalīgām skaitļu sekvencēm, kas zināmas jau sen
senlietas:
1, 2, 3, 4, 5, : naturālu skaitļu secība;
2, 4, 6, 8, 10, : pāra skaitļu secība;
1, 3, 5, 7, 9, : nepāra skaitļu secība;
1, 4, 9, 16, 25, : naturālu skaitļu kvadrātu secība;
2, 3, 5, 7, 11, : pirmskaitļu secība;
,
1,
Katras šīs sērijas dalībnieku skaits ir bezgalīgs; pirmās piecas secības
, : naturālu skaitļu reciproku secība.
,
monotoni pieaug, pēdējais monotoni samazinās.

Apzīmējums: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,: secības dalībnieka kārtas numurs.
(yn) secība, secības ynth dalībnieks.
(an) secība, n-tais secības dalībnieks.
an1 ir secības iepriekšējais dalībnieks,
+1 nākamais secības dalībnieks.
Secības ir ierobežotas un bezgalīgas, pieaug un samazinās.
Uzdevumi skolēniem: pierakstiet pirmos 5 secības dalībniekus:
No pirmā dabiskā skaitļa palielinās par 3.
No 10 palielināt 2 reizes un samazināt par 1.
No skaitļa 6 pārmaiņus palieliniet par 2 un palieliniet 2 reizes.
Šīs skaitļu sērijas sauc arī par skaitļu virknēm.
Secības noteikšanas metodes:
verbāls veids.
Secības noteikumi ir aprakstīti vārdos, bez formulām vai
kad starp secības elementiem nav likumsakarību.
1. piemērs. Pirmskaitļu secība: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
2. piemērs. Patvaļīga skaitļu kopa: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
3. piemērs. Pāra skaitļu 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
analītiskā veidā.
Jebkuru secības n-to elementu var noteikt, izmantojot formulu.
Piemērs 1. Pāra skaitļu secība: y = 2n.
2. piemērs. Naturālo skaitļu kvadrāta secība: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
3. piemērs. Stacionāra secība: y = C; C, C, C, ..., C, ...
Īpašs gadījums: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
4. piemērs. Secība y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
rekursīvs veids.
Tiek norādīts noteikums, kas ļauj aprēķināt secības n-to elementu if
tā iepriekšējie elementi ir zināmi.
1. piemērs. Aritmētiskā progresija: a1=a, an+1=an+d, kur a un d ir doti skaitļi, d
aritmētiskās progresijas atšķirība. Pieņemsim, ka a1=5, d=0,7, tad aritmētiskā progresija
izskatīsies šādi: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .
2. piemērs. Ģeometriskā progresija: b1= b, bn+1= bnq, kur b un q ir doti skaitļi, b
0,
0; q ir ģeometriskās progresijas saucējs. Pieņemsim, ka b1=23, q=½, tad ģeometriskā
q
progresija izskatīsies šādi: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
4) Grafiskais veids. Ciparu secība
dots ar grafiku, kas ir
izolēti punkti. Šo punktu abscises ir dabiskas
skaitļi: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinātas – biedru vērtības
secības: a1; a2; a3; a4;…
Piemērs: pierakstiet visus piecus skaitļu virknes dalībniekus,
dots grafiskā veidā.
Lēmums.
Katram punktam šajā koordinātu plaknē ir
koordinātas (n; an). Pierakstiet atzīmēto punktu koordinātas
augošā abscisa n.
Mēs iegūstam: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Tāpēc a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Atbilde: 3; viens; 4; 6; 7.
V. Pētītā materiāla primārā konsolidācija
Piemērs 1. Uzrakstiet iespējamo formulu secības n-tajam elementam (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Lēmums.
a) Tā ir nepāra skaitļu virkne. Analītiski šī secība var būt
noteikts ar formulu y = 2n+1.
b) Šī ir skaitliska secība, kurā nākamais elements ir lielāks par iepriekšējo
ar 4. Analītiski šo secību var dot ar formulu y = 4n.
Piemērs 2. Uzrakstiet pirmos desmit secības elementus, kas tiek doti atkārtoti: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1, ja n = 3, 4, 5, 6, ... .
Lēmums.
Katrs nākamais šīs secības elements ir vienāds ar iepriekšējo divu summu
elementi.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Apkopojot stundu. Atspulgs
1. Kas jums izdevās, izpildot uzdevumu?
2. Vai darbs tika saskaņots?
3. Kas, jūsuprāt, neizdevās?

2. Nosakiet aritmētisko darbību, ar kuras palīdzību no diviem galējiem skaitļiem iegūst vidējo un * zīmes vietā ievietojiet trūkstošo skaitli: astoņi.

3. Skolēni atrisināja uzdevumu, kurā nepieciešams atrast trūkstošos skaitļus. Viņi saņēma dažādas atbildes. Atrodiet noteikumus, pēc kuriem puiši aizpildīja šūnas. Uzdevums Atbilde 1 Atbilde

Skaitliskās secības definīcija Mēdz teikt, ka skaitliskā secība ir dota, ja saskaņā ar kādu likumu noteikts skaitlis (secības dalībnieks) ir unikāli piešķirts jebkuram naturālam skaitlim (vietas numuram). Kopumā šo atbilstību var attēlot šādi: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, …, y n, … … n … Skaitlis n ir secības n-tais loceklis. Visa secība parasti tiek apzīmēta (y n).

Skaitlisko secību analītiskais precizēšanas veids Secība tiek norādīta analītiski, ja ir norādīta n-tā locekļa formula. Piemēram, 1) y n= n 2 - secības 1, 4, 9, 16, ... analītiskais piešķiršana , 4, 8, 16, … Atrisiniet 585

Rekursīvs skaitlisko secību iestatīšanas veids Atkārtots secības iestatīšanas veids ir tāds, ka tie norāda noteikumu, kas ļauj aprēķināt n-to biedru, ja ir zināmi tā iepriekšējie dalībnieki 1) aritmētiskā progresija tiek dota ar rekursīvām relācijām ) ģeometriskā progresija - b 1 \ u003d b, b n + 1 \u003d b n * q

Noenkurojums 591, 592 (a, b) 594, – 614 (a)

Augšējā robeža Tiek uzskatīts, ka secība (y n) ir ierobežota no augšas, ja visi tās locekļi ir ne vairāk kā kāds skaitlis. Citiem vārdiem sakot, secība (y n) ir ierobežota no augšas, ja eksistē tāds skaitlis M, ka jebkurai n ir spēkā nevienādība y n M. M ir secības augšējā robeža Piemēram, -1, -4, -9, -16, …, -n 2, …

Ierobežota no apakšas Secību (y n) sauc par ierobežotu no apakšas, ja visi tās locekļi ir vismaz daži skaitļi. Citiem vārdiem sakot, secība (y n) ir ierobežota no augšas, ja eksistē tāds skaitlis m, ka jebkurai n ir spēkā nevienādība y n m. m ir secības apakšējā robeža Piemēram, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Secības ierobežotība Secību (y n) sauc par ierobežotu, ja ir iespējams norādīt divus skaitļus A un B, starp kuriem atrodas visi secības locekļi. Nevienlīdzība Ay n B A ir apakšējā robeža, B ir augšējā robeža Piemēram, 1 ir augšējā robeža, 0 ir apakšējā robeža

Samazinoša secība Secību sauc par dilstošu, ja katrs tās dalībnieks ir mazāks par iepriekšējo: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... Piemēram, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Piemēram, "> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Piemēram, > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Piemēram," title="(!LANG:Dilstoša secība Secību sauc par dilstošu, ja katrs tās dalībnieks ir mazāks par iepriekšējo: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Piemēram,"> title="Samazinoša secība Secību sauc par dilstošu, ja katrs tās dalībnieks ir mazāks par iepriekšējo: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... Piemēram,"> !} 23

Pārbaudes darbs 1. variants 2. variants 1. Skaitlisko secību uzrāda pēc formulas a) Aprēķini šīs secības pirmos četrus vārdus b) Vai skaitlis ir secības dalībnieks? b) Vai skaitlis 12,25 ir secības dalībnieks? 2. Formulējiet secības 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…

Skaitliskā secība ir īpašs skaitliskas funkcijas gadījums, tāpēc secībām tiek ņemtas vērā arī vairākas funkciju īpašības.

1. Definīcija . Secība ( g n} tiek saukts par pieaugošu, ja katrs tā termins (izņemot pirmo) ir lielāks par iepriekšējo:

y 1 < y 2 < y 3 < … < g n < g n+1 < ….

2. Definīcija.Secība ( g n} tiek saukts par samazinošu, ja katrs tā termins (izņemot pirmo) ir mazāks par iepriekšējo:

y 1 > y 2 > y 3 > … > g n> g n+1 > … .

3. Pieaugošās un dilstošās sekvences vieno kopīgs termins - monotoniskās sekvences.

Piemēram: y 1 = 1; g n= n 2… ir augoša secība. y 1 = 1; ir dilstoša secība. y 1 = 1; – šī secība nav neaugoša, ne samazināšanās.

4. Definīcija. Secību sauc par periodisku, ja eksistē naturāls skaitlis T, kurā, sākot no kāda n, pastāv vienādība yn = yn+T. Skaitli T sauc par perioda garumu.

5. Secību sauc par ierobežotu no apakšas, ja visi tās locekļi ir vismaz kāds skaitlis.

6. Par secību tiek uzskatīts, ka tā ir ierobežota no augšas, ja visi tās locekļi ir ne vairāk kā kāds skaitlis.

7. Secību sauc par ierobežotu, ja tā ir ierobežota gan augšā, gan apakšā, t.i. ir tāds pozitīvs skaitlis, ka visi dotās secības vārdi absolūtā vērtībā nepārsniedz šo skaitli. (Bet tas, ka abās pusēs ir ierobežots, nenozīmē, ka tas ir ierobežots.)

8. Secībai var būt tikai viens ierobežojums.

9. Jebkurai iepriekš ierobežotai nesamazināmai secībai ir robeža (lim).

10. Jebkurai nepalielinošai secībai, kas ir ierobežota zemāk, ir ierobežojums.

Secības robeža ir punkts (skaitlis), kura tuvumā atrodas lielākā daļa secības dalībnieku, tie cieši tuvojas šai robežai, bet nesasniedz to.

Ģeometriskā un aritmētiskā progresija ir īpaši secību gadījumi.

Secības noteikšanas metodes:

Secības var norādīt dažādos veidos, no kurām īpaši svarīgas ir trīs: analītiskā, aprakstošā un atkārtotā.

1. Secība tiek dota analītiski, ja ir dota tās n-tā locekļa formula:

Piemērs. yn \u003d 2n - 1 - nepāra skaitļu secība: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Aprakstošs veids, kā iestatīt skaitlisko secību, ir izskaidrot, no kādiem elementiem secība ir veidota.

1. piemērs. "Visi secības dalībnieki ir vienādi ar 1." Tas nozīmē, ka mēs runājam par stacionāru secību 1, 1, 1, …, 1, ….

2. piemērs. "Secība sastāv no visiem pirmskaitļiem augošā secībā." Tādējādi tiek dota secība 2, 3, 5, 7, 11, …. Izmantojot šo secības precizēšanas veidu šajā piemērā, ir grūti atbildēt, ar ko ir vienāds, teiksim, secības 1000. elements.

3. Atkārtots veids, kā norādīt secību, ir tāds, ka tiek norādīts noteikums, kas ļauj aprēķināt secības n-to locekli, ja ir zināmi tās iepriekšējie locekļi. Nosaukums atkārtota metode cēlies no latīņu vārda recurrere — atgriezties. Visbiežāk šādos gadījumos tiek norādīta formula, kas ļauj izteikt n-to secības locekli iepriekšējo izteiksmē, un tiek norādīti 1–2 secības sākuma locekļi.

1. piemērs. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, ja n = 2, 3, 4,….

Šeit y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Var redzēt, ka šajā piemērā iegūto secību var norādīt arī analītiski: yn = 4n – 1.

2. piemērs y 1 = 1; y 2 = 1; g n = g n–2 + g n-1 ja n = 3, 4,….

Šeit: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Šajā piemērā sastādītā secība ir īpaši pētīta matemātikā, jo tai ir vairākas interesantas īpašības un pielietojums. To sauc par Fibonači secību - pēc itāļu matemātiķa 13. gs. Fibonači secības definēšana rekursīvi ir ļoti vienkārša, bet analītiski ļoti sarežģīta. n Fibonači skaitlis tiek izteikts kā kārtas skaitlis, izmantojot šādu formulu.

No pirmā acu uzmetiena formula, lai n Fibonači skaitlis šķiet neticams, jo formula, kas norāda tikai naturālu skaitļu secību, satur kvadrātsaknes, taču šīs formulas derīgumu varat pārbaudīt "manuāli" pirmajām dažām n.

Fibonači vēsture:

Fibonači (Leonardo no Pizas), c. 1175.–1250

Itāļu matemātiķis. Dzimis Pizā, kļuva par pirmo izcilo matemātiķi Eiropā vēlajos viduslaikos. Tieši praktiskā nepieciešamība nodibināt biznesa kontaktus viņu noveda pie matemātikas. Viņš publicēja savas grāmatas par aritmētiku, algebru un citām matemātikas disciplīnām. No musulmaņu matemātiķiem viņš uzzināja par Indijā izgudroto un arābu pasaulē jau pieņemto skaitļu sistēmu un bija pārliecināts par tās pārākumu (šie skaitļi bija mūsdienu arābu ciparu priekšteči).

Leonardo no Pizas, pazīstams kā Fibonači, bija pirmais no lielākajiem vēlo viduslaiku Eiropas matemātiķiem. Dzimis Pizā turīgā tirgotāja ģimenē, viņš ienāca matemātikā ar tīri praktisku vajadzību nodibināt biznesa kontaktus. Jaunībā Leonardo daudz ceļoja, pavadot tēvu komandējumos. Piemēram, mēs zinām par viņa ilgo uzturēšanos Bizantijā un Sicīlijā. Šādos braucienos viņš daudz sazinājās ar vietējiem zinātniekiem.

Ciparu virkne, kas šodien nes viņa vārdu, ir radusies no problēmas ar trušiem, ko Fibonači izklāstīja savā Liber abacci, kas rakstīts 1202. gadā:

Kāds vīrietis ielika aizgaldā trušu pāri, ko no visām pusēm ieskauj siena. Cik trušu pāru šis pāris var dzemdēt gada laikā, ja zināms, ka katru mēnesi, sākot no otrā, katrs trušu pāris ražo vienu pāri?

Varat pārliecināties, ka pāru skaits katrā no nākamajiem divpadsmit mēnešu mēnešiem būs attiecīgi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Citiem vārdiem sakot, trušu pāru skaits veido sēriju, kurā katrs termins ir iepriekšējo divu summa. To sauc par Fibonači sēriju, un paši skaitļi ir Fibonači skaitļi. Izrādās, ka šai secībai ir daudz matemātiski interesantu īpašību. Šeit ir piemērs: līniju var sadalīt divos segmentos, lai lielākā un mazākā segmenta attiecība būtu proporcionāla attiecībai starp visu līniju un lielāko segmentu. Šis proporcionalitātes koeficients, kas ir aptuveni vienāds ar 1,618, ir pazīstams kā zelta griezums. Renesansē tika uzskatīts, ka šī proporcija, kas novērota arhitektūras būvēs, ir visvairāk patīkama acīm. Ja ņemat secīgus Fibonači pārus un dalāt katra pāra lielāko skaitu ar mazāko, jūsu rezultāts pakāpeniski tuvosies zelta griezumam.

Kopš Fibonači atklāja savu secību, ir atrastas pat dabas parādības, kurās šai secībai, šķiet, ir svarīga loma. Viens no tiem ir filotaksis (lapu izkārtojums) - noteikums, saskaņā ar kuru, piemēram, sēklas atrodas saulespuķu ziedkopā. Saulespuķu sēklas ir izkārtotas divās spirālēs. Cipari, kas norāda sēklu skaitu katrā no spirālēm, ir pārsteidzošas matemātiskas secības dalībnieki. Sēklas ir sakārtotas divās spirāļu rindās, no kurām viena iet pulksteņrādītāja virzienā, otra pret. Un kāds ir sēklu skaits katrā gadījumā? 34 un 55.

1. uzdevums:

Uzrakstiet secības pirmos piecus vārdus.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

un n \u003d 2 n + 1/2 n

2. uzdevums:

Uzrakstiet formulu naturālu skaitļu virknes kopējam terminam, kas ir 3 reizes.

Atbilde: 0,3,6,9,12,15,.... 3n un n = 3n

3. uzdevums:

Uzrakstiet formulu naturālu skaitļu virknes kopējam terminam, kuru, dalot ar 4, atlikums ir 1.

Atbilde: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 un n = 4n+1

Nr.19. Funkcija.

Funkcija (displejs, operators, transformācija) ir matemātisks jēdziens, kas atspoguļo kopu elementu attiecības. Mēs varam teikt, ka funkcija ir "likums", saskaņā ar kuru katram vienas kopas elementam (ko sauc par definīcijas domēnu) tiek piešķirts kāds citas kopas elements (ko sauc par vērtību domēnu).

Funkcija ir viena mainīgā atkarība no cita. Citiem vārdiem sakot, attiecības starp daudzumiem.

Funkcijas matemātiskā koncepcija pauž intuitīvu priekšstatu par to, kā viens lielums pilnībā nosaka cita lieluma vērtību. Tātad mainīgā x vērtība unikāli nosaka izteiksmes vērtību, un mēneša vērtība unikāli nosaka tai sekojošā mēneša vērtību, un jebkuru cilvēku var salīdzināt ar citu personu - viņa tēvu. Līdzīgi daži iepriekš izstrādāti algoritmi, ņemot vērā dažādus ievades datus, rada noteiktus izejas datus.

Bieži vien termins "funkcija" attiecas uz skaitlisku funkciju; tas ir, funkcija, kas dažus skaitļus sasaista ar citiem. Šīs funkcijas ir ērti attēlotas attēlos grafiku veidā.

Var sniegt citu definīciju. Funkcija ir specifiska darbība pār mainīgo.

Tas nozīmē, ka mēs ņemam vērtību, veicam ar to kādas darbības (piemēram, izliekam to kvadrātā vai aprēķinām logaritmu) - un mēs iegūstam vērtību .

Dosim vēl vienu funkcijas definīciju – to, kas visbiežāk sastopama mācību grāmatās.

Funkcija ir atbilstība starp divām kopām, kur katrs pirmās kopas elements atbilst vienam un tikai vienam otrās kopas elementam.

Piemēram, funkcija katram reālajam skaitlim piešķir skaitli, kas ir divreiz lielāks par .

Dažu F. elementu kopu, kas aizstāta ar x, sauc par tās definīcijas apgabalu, un dažu F. elementu kopu y sauc par tās vērtību diapazonu.

Terminu vēsture:

Terminu "funkcija" (nedaudz šaurākā nozīmē) pirmo reizi izmantoja Leibnics (1692). Savukārt Johans Bernulli vēstulē tam pašam Leibnicam šo terminu lietojis mūsdienīgam tuvākā nozīmē. Sākotnēji funkcijas jēdziens nebija atšķirams no analītiskā attēlojuma jēdziena. Pēc tam parādījās Eilera (1751) funkcijas definīcija, pēc tam - Lakruā (1806) - gandrīz tās mūsdienu formā. Visbeidzot, vispārīgu funkcijas definīciju (tās mūsdienu formā, bet skaitliskām funkcijām) sniedza Lobačevskis (1834) un Dirihlē (1837). Līdz 19. gadsimta beigām funkcijas jēdziens bija pārspējis skaitlisko sistēmu darbības jomu. Vektora funkcijas bija pirmās, kas to izdarīja, Frege drīz ieviesa loģiskās funkcijas (1879), un pēc kopu teorijas parādīšanās Dedekind (1887) un Peano (1911) formulēja mūsdienu universālo definīciju.

Nr.20. Funkcijas iestatīšanas veidi.

Ir 4 veidi, kā definēt funkciju:

1. tabula Diezgan bieži, ir noteikt tabulu atsevišķi

argumentu vērtības un tām atbilstošās funkciju vērtības. Šo funkcijas definēšanas metodi izmanto, ja funkcijas domēns ir diskrēta ierobežota kopa.

Tas ir ērti, ja f ir ierobežota kopa, bet, ja f ir bezgalīga, tiek norādīti tikai atlasītie pāri (x, y).

Izmantojot funkcijas definēšanas tabulas metodi, ir iespējams aptuveni aprēķināt tās funkcijas vērtības, kas nav ietvertas tabulā, kas atbilst argumenta starpvērtībām. Lai to izdarītu, izmantojiet interpolācijas metodi.

Priekšrocības: precizitāte, ātrums, no vērtību tabulas ir viegli atrast vēlamo funkcijas vērtību. Funkcijas norādīšanas tabulas veida priekšrocības ir tādas, ka tas ļauj noteikt noteiktas konkrētas vērtības uzreiz, bez papildu mērījumiem vai aprēķiniem.

trūkumi: nepilnība, redzamības trūkums. Dažos gadījumos tabula nedefinē funkciju pilnībā, bet tikai dažām argumenta vērtībām un nesniedz vizuālu attēlojumu par funkcijas izmaiņu raksturu atkarībā no argumenta izmaiņām.

2. analītisks(formulas). Visbiežāk likums, kas nosaka saikni starp

argumentu un funkciju nosaka ar formulu palīdzību. Šo funkcijas definēšanas veidu sauc par analītisko. Tas ir vissvarīgākais MA (matemātiskā analīze), jo MA metodes (diferenciālrēķins, integrālrēķins) liecina par šādu iestatīšanas veidu. To pašu funkciju var norādīt ar dažādām formulām: y=∣sin( x)∣y=√1−cos2( x) Dažreiz dažādās to domēnu daļās definējamo funkciju var norādīt ar dažādām formulām f(x)={f 1(x),x∈D 1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f) . Bieži ar šo funkcijas definēšanas metodi definīcijas domēns netiek norādīts, tad definīcijas domēns tiek saprasts kā definīcijas dabiskais apgabals, t.i. visu x vērtību kopa, kurām funkcijai ir reāla vērtība.

Šī metode ļauj katrai argumenta x skaitliskajai vērtībai precīzi vai ar zināmu precizitāti atrast atbilstošo funkcijas y skaitlisko vērtību.

Īpašs funkcijas analītiskā veida definēšanas gadījums ir funkcijas definēšana ar vienādojumu formā F(x,y)=0 (1) Ja šim vienādojumam ir īpašība, ka ∀ x∈D atbilst tikai y, tāds, ka F(x,y)=0, tad mēs sakām, ka vienādojums (1) uz D netieši definē funkciju. Vēl viens īpašs funkcijas definēšanas gadījums ir parametrisks, ar katru pāris ( x,y)∈f iestatīt, izmantojot funkciju pāri x=ϕ( t),y=ψ( t) kur t∈M.