Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes. Kvadrātvienādojumi

Problēma ir labi zināma no matemātikas. Sākotnējie dati šeit ir koeficienti a, b, c. Vispārīgā gadījumā risinājums ir divas saknes x 1 un x 2, kuras aprēķina pēc formulām:

Visas šajā programmā izmantotās vērtības ir reāla veida.

alg kvadrātvienādojuma saknes

lieta a, b, c, x1, x2, d

agri ievade a, b, c

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b–Öd)/(2a)

izeja x1, x2

Šāda algoritma vājums ir redzams ar neapbruņotu aci. Viņam nepieder vissvarīgākais īpašums pielietots kvalitatīviem algoritmiem: universālums attiecībā pret sākotnējiem datiem. Neatkarīgi no sākotnējo datu vērtībām, algoritmam ir jānoved pie noteikta rezultāta un jāsasniedz beigas. Rezultāts var būt skaitliska atbilde, bet tas var būt arī ziņojums, ka ar šādiem datiem problēmai nav risinājuma. Apstāšanās algoritma vidū, jo nav iespējams veikt kādu darbību, nav pieļaujama. Šo pašu īpašību programmēšanas literatūrā sauc par algoritma efektivitāti (jebkurā gadījumā ir jāiegūst kāds rezultāts).

Lai izveidotu universālu algoritmu, vispirms ir rūpīgi jāanalizē problēmas matemātiskais saturs.

Vienādojuma risinājums ir atkarīgs no koeficientu a, b, c vērtībām. Šeit ir šīs problēmas analīze (mēs aprobežojamies ar īstu sakņu atrašanu):

ja a=0, b=0, c=0, tad jebkurš x ir vienādojuma risinājums;

ja a=0, b=0, c¹0, tad vienādojumam nav atrisinājumu;

ja a=0, b¹0, tad šis lineārais vienādojums, kuram ir viens risinājums: x=–c/b;

ja a¹0 un d=b 2 -4ac³0, tad vienādojumam ir divas reālās saknes (formulas dotas iepriekš);

ja a¹0 un d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Algoritma blokshēma:

Tas pats algoritms algoritmiskajā valodā:

alg kvadrātvienādojuma saknes

lieta a, b, c, d, x1, x2

agri ievade a, b, c

ja a=0

tad ja b=0

tad ja c=0

tad izvadīt "jebkurš x ir risinājums"

citādi izvads "nav risinājumu"

citādi x:= -c/b

citādi d:=b2–4ac

ja un d<0

tad izvade "nav īstu sakņu"

citādi e x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)

izvade “x1=”,x1, “x2=”,x2

Šis algoritms tiek izmantots atkārtoti filiāles struktūras komanda. Atzarojuma komandas vispārējais skats blokshēmās un algoritmiskajā valodā ir šāds:

Vispirms tiek pārbaudīts “nosacījums” (tiek aprēķināta sakarība, loģiskā izteiksme). Ja nosacījums ir patiess, tad tiek izpildīta "sērija 1" - komandu secība, kas norādīta ar bultiņu ar uzrakstu "jā" (pozitīvs zars). Pretējā gadījumā tiek izpildīta "sērija 2" (negatīvā filiāle). EL nosacījums tiek rakstīts aiz servisa vārda "ja", pozitīvo zaru - aiz vārda "tad", negatīvo zaru - aiz vārda "citādi". Burti "kv" norāda zara galu.

Ja viena zara zari satur citus zarus, tad šādam algoritmam ir struktūra ligzdotie zari. Tieši šāda struktūra ir algoritmam "kvadrātvienādojuma saknes". Tajā īsuma labad vārdu "jā" un "nē" vietā tiek lietoti attiecīgi "+" un "-".

Apsveriet šādu problēmu: dots pozitīvs vesels skaitlis n. Nepieciešams aprēķināt n! (n-faktoriāls). Atcerieties faktoriāla definīciju.

Zemāk ir algoritma blokshēma. Tas izmanto trīs veselu skaitļu tipa mainīgos: n ir arguments; i ir starpposma mainīgais; F ir rezultāts. Lai pārbaudītu algoritma pareizību, tika izveidota izsekošanas tabula. Šādā tabulā konkrētām sākotnējo datu vērtībām izmaiņas algoritmā iekļautajos mainīgajos tiek izsekotas pa soļiem. Šī tabula ir sastādīta gadījumam n=3.

Trase pierāda algoritma pareizību. Tagad rakstīsim šo algoritmu algoritmiskā valodā.

alg Faktoriāls

vesels n, i, F

agri ievade n

F:=1; i:=1

līdz es £n, atkārtojiet

nc F:=F'i

Šim algoritmam ir cikliska struktūra. Algoritms izmanto strukturālo komandu "loop-while" vai "cilpa ar priekšnosacījumu". Komandas “loop-bye” vispārīgais skats blokshēmās un EL ir šāds:

Komandu sērijas izpilde (cilpas pamatteksts) tiek atkārtota, kamēr cilpas nosacījums ir patiess. Kad nosacījums kļūst nepatiess, cilpa tiek pārtraukta. Servisa vārdi "nts" un "kts" apzīmē attiecīgi cikla sākumu un cikla beigas.

Cilpa ar priekšnosacījumu ir galvenā, bet ne vienīgā ciklisko algoritmu organizēšanas forma. Vēl viena iespēja ir cilpa ar pēcnosacījumu. Atgriezīsimies pie kvadrātvienādojuma risināšanas algoritma. Tam var pieiet no šīs pozīcijas: ja a=0, tad tas vairs nav kvadrātvienādojums un to var ignorēt. Šajā gadījumā mēs pieņemsim, ka lietotājs, ievadot datus, ir kļūdījies, un viņam vajadzētu lūgt atkārtot ievadi. Citiem vārdiem sakot, algoritms nodrošinās sākotnējo datu ticamības kontroli, nodrošinot lietotājam iespēju kļūdu labot. Šādas kontroles klātbūtne ir vēl viena labas programmas kvalitātes pazīme.

Kopumā strukturālā komanda "cilpa ar pēcnosacījumu" vai "cilpa pirms" tiek attēlota šādi:

Šeit tiek izmantots cilpas beigu nosacījums. Kad tā kļūst patiesa, cilpa beidzas.

Sastādām algoritmu šādas problēmas risināšanai: doti divi naturālie skaitļi M un N. Nepieciešams aprēķināt to lielāko kopīgo dalītāju - gcd(M,N).

Šī problēma tiek atrisināta, izmantojot metodi, kas pazīstama kā Eiklida algoritms. Viņa idejas pamatā ir īpašība, ka, ja M>N, tad gcd(M

1) ja skaitļi ir vienādi, tad par atbildi ņem to kopējo vērtību; pretējā gadījumā turpiniet algoritma izpildi;

2) nosaka lielāko no skaitļiem;

3) aizstāt lielāko skaitli ar starpību starp lielāko un mazāko vērtību;

4) atgriezties pie 1. punkta īstenošanas.

Blokshēma un algoritms AL būs šāds:

Algoritmam ir cilpas struktūra ar ligzdotu atzarojumu. Veiciet šī algoritma izsekošanu gadījumam M=18, N=12. Rezultāts ir gcd=6, kas acīmredzami ir taisnība.

Bibliogrāfiskais apraksts: Gasanovs A. R., Kuramšins A. A., Elkovs A. A., Šilņenkovs N. V., Ulanovs D. D., Šmeļeva O. V. Risinājumi kvadrātvienādojumi// Jaunais zinātnieks. - 2016. - Nr.6.1. - S. 17-20..04.2019).

Mūsu projekts ir veltīts kvadrātvienādojumu risināšanas veidiem. Projekta mērķis: iemācīties atrisināt kvadrātvienādojumus tādos veidos, kas nav iekļauti skolas mācību programmā. Uzdevums: atrast visus iespējamos kvadrātvienādojumu risināšanas veidus un iemācīties tos izmantot pats un iepazīstināt ar šīm metodēm klasesbiedrus.

Kas ir "kvadrātvienādojumi"?

Kvadrātvienādojums- formas vienādojums cirvis2 + bx + c = 0, kur a, b, c- daži cipari ( a ≠ 0), x- nezināms.

Skaitļus a, b, c sauc par kvadrātvienādojuma koeficientiem.

a sauc par pirmo koeficientu;
b sauc par otro koeficientu;
c - bezmaksas dalībnieks.

Un kurš bija pirmais, kurš "izgudroja" kvadrātvienādojumus?

Dažas algebriskās metodes lineāro un kvadrātvienādojumu risināšanai bija zināmas jau pirms 4000 gadiem Senajā Babilonā. Atrastās senās Babilonijas māla plāksnes, kas datētas starp 1800. un 1600. gadu pirms mūsu ēras, ir agrākie pierādījumi par kvadrātvienādojumu izpēti. Tajās pašās tabletēs ir atrodamas metodes noteikta veida kvadrātvienādojumu risināšanai.

Nepieciešamību risināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar militāra rakstura zemes platību un zemes darbu atrašanu, kā arī astronomijas un pati matemātika.

Šo vienādojumu risināšanas noteikums, kas minēts babiloniešu tekstos, būtībā sakrīt ar mūsdienu, taču nav zināms, kā babilonieši nonāca pie šī noteikuma. Gandrīz visi līdz šim atrastie ķīļrakstu teksti sniedz tikai problēmas ar recepšu veidā norādītiem risinājumiem, bez norādes par to, kā tie atrasti. Neskatoties uz augsto algebras attīstības līmeni Babilonijā, ķīļraksta tekstos trūkst negatīvā skaitļa jēdziena un vispārīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metožu.

Babilonijas matemātiķi aptuveni 4. gadsimtā p.m.ē. izmantoja kvadrātveida komplementa metodi, lai atrisinātu vienādojumus ar pozitīvām saknēm. Apmēram 300. gadu p.m.ē. Eiklīds nāca klajā ar vispārīgāku ģeometriskā risinājuma metodi. Pirmais matemātiķis, kurš atrada risinājumus vienādojumam ar negatīvām saknēm algebriskās formulas veidā, bija Indijas zinātnieks. Brahmagupta(Indija, 7. gadsimts AD).

Brahmagupta izklāstīja vispārīgu noteikumu kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti līdz vienai kanoniskai formai:

ax2 + bx = c, a>0

Šajā vienādojumā koeficienti var būt negatīvi. Brahmaguptas valdīšana būtībā sakrīt ar mūsējo.

Indijā publiski konkursi sarežģītu problēmu risināšanā bija izplatīti. Vienā no senajām indiešu grāmatām par šādām sacensībām ir teikts: "Kā saule ar savu spožumu pārspēj zvaigznes, tā izglītots cilvēks pārspēj slavu publiskās sanāksmēs, ierosinot un risinot algebriskas problēmas." Uzdevumi bieži bija ietērpti poētiskā formā.

Algebriskā traktātā Al-Khwarizmi ir dota lineāro un kvadrātvienādojumu klasifikācija. Autors uzskaita 6 vienādojumu veidus, izsakot tos šādi:

1) “Kvadrāti ir vienādi ar saknēm”, t.i., ax2 = bx.

2) “Kvadrāti ir vienādi ar skaitli”, t.i., ax2 = c.

3) "Saknes ir vienādas ar skaitli", t.i., ax2 = c.

4) “Kvadrāti un skaitļi ir vienādi ar saknēm”, t.i., ax2 + c = bx.

5) “Kvadrāti un saknes ir vienādi ar skaitli”, t.i., ax2 + bx = c.

6) “Saknes un skaitļi ir vienādi ar kvadrātiem”, t.i., bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi, kurš izvairījās no negatīvu skaitļu lietošanas, katra šī vienādojuma nosacījumi ir saskaitīšana, nevis atņemšana. Šajā gadījumā vienādojumi, kuriem nav pozitīvu atrisinājumu, acīmredzami netiek ņemti vērā. Autore ieskicē šo vienādojumu risināšanas metodes, izmantojot al-jabr un al-muqabala metodes. Viņa lēmums, protams, pilnībā nesakrīt ar mūsējo. Nemaz nerunājot par to, ka tas ir tīri retorisks, jāatzīmē, piemēram, ka, risinot nepilnu pirmā tipa kvadrātvienādojumu, Al-Khwarizmi, tāpat kā visi matemātiķi pirms 17. gadsimta, neņem vērā nulli. risinājums, iespējams, tāpēc, ka konkrētos praktiskos uzdevumos tam nav nozīmes. Atrisinot pilnīgus kvadrātvienādojumus, Al-Khwarizmi nosaka to risināšanas noteikumus, izmantojot konkrētus skaitliskos piemērus un pēc tam to ģeometriskos pierādījumus.

Formas kvadrātvienādojumu risināšanai pēc Al-Khwarizmi modeļa Eiropā pirmo reizi tika aprakstītas "Abakusa grāmatā", kas sarakstīta 1202. gadā. Itāļu matemātiķis Leonards Fibonači. Autors patstāvīgi izstrādāja dažus jaunus problēmu risināšanas algebriskos piemērus un bija pirmais Eiropā, kas piegāja negatīvu skaitļu ieviešanai.

Šī grāmata veicināja algebrisko zināšanu izplatību ne tikai Itālijā, bet arī Vācijā, Francijā un citās Eiropas valstīs. Daudzi uzdevumi no šīs grāmatas tika pārnesti uz gandrīz visām Eiropas 14.-17.gadsimta mācību grāmatām. Vispārīgais noteikums kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti līdz vienai kanoniskai formai x2 + bx = c ar visām iespējamām zīmju un koeficientu kombinācijām b, c, tika formulēts Eiropā 1544. gadā. M. Stīfels.

Vietai ir vispārīgs kvadrātvienādojuma risināšanas formulas atvasinājums, bet Vieta atpazina tikai pozitīvas saknes. itāļu matemātiķi Tartaglia, Cardano, Bombelli starp pirmajiem 16. gadsimtā. ņem vērā papildus pozitīvajām un negatīvajām saknēm. Tikai XVII gadsimtā. pateicoties darbam Žirārs, Dekarts, Ņūtons un citi zinātnieki, kvadrātvienādojumu risināšanas veids iegūst modernu formu.

Apsveriet vairākus kvadrātvienādojumu risināšanas veidus.

Standarta veidi, kā atrisināt kvadrātvienādojumus no skolas mācību programmas:

Vienādojuma kreisās puses faktorizācija.
Pilna kvadrāta atlases metode.
Kvadrātvienādojumu atrisināšana pēc formulas.
Kvadrātvienādojuma grafiskais atrisinājums.
Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu.

Pakavēsimies sīkāk pie reducētu un nereducētu kvadrātvienādojumu risinājuma, izmantojot Vietas teorēmu.

Atgādinām, ka, lai atrisinātu dotos kvadrātvienādojumus, pietiek atrast divus skaitļus, kuru reizinājums ir vienāds ar brīvo vārdu un summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi.

Piemērs.x 2 -5x+6=0

Jāatrod skaitļi, kuru reizinājums ir 6 un summa ir 5. Šie skaitļi būs 3 un 2.

Atbilde: x 1 =2,x 2 =3.

Bet jūs varat izmantot šo metodi vienādojumiem, kuru pirmais koeficients nav vienāds ar vienu.

Piemērs.3x 2 +2x-5=0

Ņemam pirmo koeficientu un reizinim ar brīvo termiņu: x 2 +2x-15=0

Šī vienādojuma saknes būs skaitļi, kuru reizinājums ir - 15, bet summa ir - 2. Šie skaitļi ir 5 un 3. Lai atrastu sākotnējā vienādojuma saknes, iegūtās saknes sadalām ar pirmo koeficientu.

Atbilde: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Vienādojumu atrisināšana ar "pārsūtīšanas" metodi.

Aplūkosim kvadrātvienādojumu ax 2 + bx + c = 0, kur a≠0.

Reizinot abas tā daļas ar a, iegūstam vienādojumu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Lai ax = y, no kurienes x = y/a; tad mēs nonākam pie vienādojuma y 2 + ar + ac = 0, kas ir ekvivalents dotajam. Mēs atrodam tā saknes pie 1 un 2, izmantojot Vieta teorēmu.

Visbeidzot iegūstam x 1 = y 1 /a un x 2 = y 2 /a.

Ar šo metodi koeficients a tiek reizināts ar brīvo termiņu, it kā "pārnests" uz to, tāpēc to sauc par "pārsūtīšanas" metodi. Šo metodi izmanto, ja ir viegli atrast vienādojuma saknes, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Piemērs.2x 2 - 11x + 15 = 0.

"Pārnesim" koeficientu 2 uz brīvo terminu un, veicot aizstāšanu, iegūstam vienādojumu y 2 - 11y + 30 = 0.

Saskaņā ar Vietas apgriezto teorēmu

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Atbilde: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadrātvienādojuma koeficientu īpašības.

Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Ja a + b + c \u003d 0 (t.i., vienādojuma koeficientu summa ir nulle), tad x 1 \u003d 1.

2. Ja a - b + c \u003d 0 vai b \u003d a + c, tad x 1 = 1.

Piemērs.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Tā kā a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), tad x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Atbilde: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Piemērs.132x 2 + 247x + 115 = 0

Jo a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), pēc tam x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Atbilde: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Kvadrātvienādojuma koeficientiem ir arī citas īpašības. taču to lietošana ir sarežģītāka.

8. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot nomogrammu.

1. att. Nomogramma

Šī ir sena un šobrīd aizmirsta kvadrātvienādojumu risināšanas metode, kas ievietota krājuma 83. lpp.: Bradis V.M. Četru ciparu matemātiskās tabulas. - M., Izglītība, 1990.g.

XXII tabula. Nomogramma vienādojumu risināšanai z2 + pz + q = 0. Šī nomogramma ļauj, neatrisinot kvadrātvienādojumu, noteikt vienādojuma saknes pēc tā koeficientiem.

Nomogrammas līknes skala ir veidota pēc formulām (1. att.):

Pieņemot OS = p, ED = q, OE = a(visi cm), no 1. att. trīsstūru līdzība SAN Un CDF mēs iegūstam proporciju

no kurienes pēc aizstāšanas un vienkāršojumiem seko vienādojums z 2 + pz + q = 0, un vēstule z nozīmē jebkura punkta marķējumu izliektajā skalā.

Rīsi. 2 Kvadrātvienādojuma atrisināšana, izmantojot nomogrammu

Piemēri.

1) Vienādojumam z 2 - 9z + 8 = 0 nomogramma dod saknes z 1 = 8,0 un z 2 = 1,0

Atbilde: 8,0; 1.0.

2) Atrisiniet vienādojumu, izmantojot nomogrammu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Sadalot šī vienādojuma koeficientus ar 2, iegūstam vienādojumu z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogramma dod saknes z 1 = 4 un z 2 = 0,5.

Atbilde: 4; 0.5.

9. Ģeometriskā metode kvadrātvienādojumu risināšanai.

Piemērs.X 2 + 10x = 39.

Oriģinālā šī problēma ir formulēta šādi: "Kvadrāts un desmit saknes ir vienādi ar 39."

Apsveriet kvadrātu ar malu x, tā malās ir veidoti taisnstūri tā, lai katra otra puse būtu 2,5, tāpēc katras puses laukums ir 2,5x. Pēc tam iegūtais skaitlis tiek papildināts ar jaunu kvadrātu ABCD, aizpildot četrus vienādus kvadrātus stūros, katra mala ir 2,5 un laukums ir 6,25

Rīsi. 3 Grafisks veids, kā atrisināt vienādojumu x 2 + 10x = 39

Kvadrāta ABCD laukumu S var attēlot kā laukumu summu: sākotnējais kvadrāts x 2, četri taisnstūri (4∙2,5x = 10x) un četri pievienotie kvadrāti (6,25∙4 = 25), t.i. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Aizstājot x 2 + 10x ar skaitli 39, mēs iegūstam, ka S \u003d 39 + 25 \u003d 64, kas nozīmē, ka kvadrāta ABCD mala, t.i. segments AB \u003d 8. Sākotnējā kvadrāta vēlamajai malai x mēs iegūstam

10. Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Bezout teorēmu.

Bezout teorēma. Atlikums pēc polinoma P(x) dalīšanas ar binomiālu x - α ir vienāds ar P(α) (tas ir, P(x) vērtība pie x = α).

Ja skaitlis α ir polinoma P(x) sakne, tad šis polinoms dalās ar x -α bez atlikuma.

Piemērs.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Sadaliet P(x) ar (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 vai x-3=0, x=3; Atbilde: x1 =2, x2 =3.

Izvade: Spēja ātri un racionāli atrisināt kvadrātvienādojumus ir vienkārši nepieciešama, lai atrisinātu sarežģītākus vienādojumus, piemēram, daļējos racionālos vienādojumus, augstāku spēku vienādojumus, bikvadrātiskos vienādojumus un vidusskolā trigonometriskos, eksponenciālos un logaritmiskos vienādojumus. Izpētot visas atrastās kvadrātvienādojumu risināšanas metodes, mēs varam ieteikt klasesbiedriem papildus standarta metodēm atrisināt ar pārsūtīšanas metodi (6) un atrisināt vienādojumus pēc koeficientu īpašības (7), jo tie ir saprotamāki. .

Literatūra:

Bradis V.M. Četru ciparu matemātiskās tabulas. - M., Izglītība, 1990.g.
Algebra 8. klase: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teljakovskis, 15. izd., pārstrādāts. - M.: Apgaismība, 2015
https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazer G.I. Matemātikas vēsture skolā. Rokasgrāmata skolotājiem. / Red. V.N. Jaunāks. - M.: Apgaismība, 1964. gads.

2. slaids

Kvadrātvienādojumu cikls algebras stundās 8. klasē pēc mācību grāmatas A.G. Mordkovičs

Skolotājs MBOU Grushevskaya vidusskola Kireeva T.A.

3. slaids

Mērķi: iepazīstināt ar kvadrātvienādojuma jēdzieniem, kvadrātvienādojuma sakni; parādīt kvadrātvienādojumu atrisinājumus; veidot spēju atrisināt kvadrātvienādojumus; parādīt veidu, kā atrisināt pilnīgus kvadrātvienādojumus, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu.

4. slaids

5. slaids

Nedaudz vēstures Kvadrātvienādojumi Senajā Babilonā. Nepieciešamību risināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus jau senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar militāra rakstura zemes platību un zemes darbu atrašanu, kā arī ar astronomijas attīstību. un pati matemātika. Babilonieši prata atrisināt kvadrātvienādojumus apmēram 2000 gadus pirms mūsu ticības. Izmantojot mūsdienu algebrisko apzīmējumu, var teikt, ka viņu ķīļrakstu tekstos bez nepilnīgajiem ir, piemēram, pilnīgi kvadrātvienādojumi.

6. slaids

Šo vienādojumu risināšanas noteikums, kas izklāstīts babiloniešu tekstos, sakrīt ar mūsdienu, taču nav zināms, kā babilonieši nonāca pie šī noteikuma. Gandrīz visi līdz šim atrastie ķīļrakstu teksti sniedz tikai problēmas ar recepšu veidā norādītiem risinājumiem, bez norādes par to, kā tie atrasti. Neskatoties uz augsto algebras attīstības līmeni Babilonijā, ķīļraksta tekstos nav negatīva skaitļa jēdziena un vispārīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metožu.

7. slaids

Definīcija 1. Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu, kurā koeficienti a, b, c ir jebkuri reāli skaitļi, un polinomu sauc par kvadrātvienādojumu. a ir pirmais jeb augstākais koeficients c ir otrais koeficients c ir brīvs termins

8. slaids

Definīcija 2. Kvadrātvienādojumu sauc par reducētu, ja tā vadošais koeficients ir vienāds ar 1; kvadrātvienādojumu sauc par nereducētu, ja vadošais koeficients atšķiras no 1. Piemērs. 2 - 5 + 3 = 0 - nereducēts kvadrātvienādojums - reducēts kvadrātvienādojums

9. slaids

3. definīcija. Pilns kvadrātvienādojums ir kvadrātvienādojums, kurā ir iekļauti visi trīs termini. a + in + c \u003d 0 Nepilns kvadrātvienādojums ir vienādojums, kurā nav iekļauti visi trīs termini; ir vienādojums, kuram vismaz viens no koeficientiem ir, ar nulle.

10. slaids

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes.

11. slaids

Atrisiniet uzdevumus Nr. 24.16 (a, b) Atrisiniet vienādojumu: vai Atbildiet. vai Atbilde.

12. slaids

4. definīcija Kvadrātvienādojuma sakne ir jebkura mainīgā x vērtība, pie kuras izzūd kvadrātvienādojuma trijstūris; šādu mainīgā x vērtību sauc arī par kvadrātvienādojuma sakni.Kvadrātvienādojuma atrisināšana nozīmē atrast visas tā saknes vai konstatēt, ka sakņu nav.

13. slaids

Kvadrātvienādojuma diskriminants D 0 D=0 Vienādojumam nav sakņu Vienādojumam ir divas saknes Vienādojumam ir viena sakne Formulas kvadrātvienādojuma saknēm

14. slaids

D>0 kvadrātvienādojumam ir divas saknes, kuras atrod ar formulām Piemērs. Atrisiniet vienādojumu Risinājums. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Atbilde: 1; -3

15. slaids

Kvadrātvienādojuma risināšanas algoritms 1. Aprēķiniet diskriminantu D, izmantojot formulu D = 2. Ja D 0, tad kvadrātvienādojumam ir divas saknes.

Kvadrātvienādojumi tiek pētīti 8. klasē, tāpēc šeit nav nekā sarežģīta. Būtiska ir spēja tos atrisināt.

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu ax 2 + bx + c = 0, kur koeficienti a , b un c ir patvaļīgi skaitļi un a ≠ 0.

Pirms konkrētu risinājumu metožu izpētes mēs atzīmējam, ka visus kvadrātvienādojumus var iedalīt trīs klasēs:

nav sakņu;
Viņiem ir tieši viena sakne;
Viņiem ir divas dažādas saknes.

Šī ir būtiska atšķirība starp kvadrātvienādojumiem un lineārajiem vienādojumiem, kur sakne vienmēr pastāv un ir unikāla. Kā noteikt, cik sakņu ir vienādojumam? Tam ir brīnišķīga lieta - diskriminējoša.

Diskriminējošais

Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0. Tad diskriminants ir vienkārši skaitlis D = b 2 − 4ac .

Šī formula ir jāzina no galvas. Tagad nav svarīgi, no kurienes tas nāk. Vēl viena lieta ir svarīga: pēc diskriminanta zīmes jūs varat noteikt, cik sakņu ir kvadrātvienādojumam. Proti:

Ja D< 0, корней нет;
Ja D = 0, ir tieši viena sakne;
Ja D > 0, būs divas saknes.

Lūdzu, ņemiet vērā: diskriminants norāda sakņu skaitu, nevis to pazīmes, kā nez kāpēc daudzi domā. Apskatiet piemērus un paši visu sapratīsiet:

Uzdevums. Cik sakņu ir kvadrātvienādojumiem:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 - 6x + 9 = 0.

Mēs rakstām pirmā vienādojuma koeficientus un atrodam diskriminantu:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Tātad diskriminants ir pozitīvs, tāpēc vienādojumam ir divas dažādas saknes. Mēs analizējam otro vienādojumu tādā pašā veidā:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminants ir negatīvs, nav sakņu. Pēdējais vienādojums paliek:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminants ir vienāds ar nulli - sakne būs viens.

Ņemiet vērā, ka katram vienādojumam ir izrakstīti koeficienti. Jā, tas ir garš, jā, tas ir nogurdinoši, taču jūs nesajauksit izredzes un nepieļausiet stulbas kļūdas. Izvēlieties pats: ātrums vai kvalitāte.

Starp citu, ja “piepildīsi roku”, pēc kāda laika vairs nebūs jāizraksta visi koeficienti. Tādas operācijas veiksi galvā. Lielākā daļa cilvēku to sāk darīt kaut kur pēc 50-70 atrisinātiem vienādojumiem - kopumā ne tik daudz.

Kvadrātvienādojuma saknes

Tagad pāriesim pie risinājuma. Ja diskriminants D > 0, saknes var atrast, izmantojot formulas:

Kvadrātvienādojuma sakņu pamatformula

Ja D = 0, varat izmantot jebkuru no šīm formulām - jūs saņemat to pašu skaitli, kas būs atbilde. Visbeidzot, ja D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Pirmais vienādojums:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ vienādojumam ir divas saknes. Atradīsim tos:

Otrais vienādojums:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ vienādojumam atkal ir divas saknes. Atradīsim viņus

\[\begin(līdzināt) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(līdzināt)\]

Visbeidzot, trešais vienādojums:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ vienādojumam ir viena sakne. Var izmantot jebkuru formulu. Piemēram, pirmais:

Kā redzat no piemēriem, viss ir ļoti vienkārši. Ja zināsi formulas un pratīsi skaitīt, tad problēmu nebūs. Visbiežāk kļūdas rodas, kad formulā tiek aizstāti negatīvi koeficienti. Šeit atkal palīdzēs iepriekš aprakstītā tehnika: skatiet formulu burtiski, krāsojiet katru soli - un ļoti drīz atbrīvojieties no kļūdām.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Gadās, ka kvadrātvienādojums nedaudz atšķiras no definīcijā norādītā. Piemēram:

x2 + 9x = 0;
x2–16 = 0.

Ir viegli redzēt, ka šajos vienādojumos trūkst viena no terminiem. Šādus kvadrātvienādojumus ir pat vieglāk atrisināt nekā standarta vienādojumus: tiem pat nav jāaprēķina diskriminants. Tātad, ieviesīsim jaunu koncepciju:

Vienādojumu ax 2 + bx + c = 0 sauc par nepilnīgu kvadrātvienādojumu, ja b = 0 vai c = 0, t.i. mainīgā x jeb brīvā elementa koeficients ir vienāds ar nulli.

Protams, ir iespējams ļoti sarežģīts gadījums, kad abi šie koeficienti ir vienādi ar nulli: b \u003d c \u003d 0. Šajā gadījumā vienādojuma forma ir ax 2 \u003d 0. Acīmredzot šādam vienādojumam ir viens sakne: x \u003d 0.

Apskatīsim citus gadījumus. Ļaujiet b \u003d 0, tad mēs iegūstam nepilnīgu kvadrātvienādojumu formā ax 2 + c \u003d 0. Nedaudz pārveidosim to:

Jo aritmētika Kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīva skaitļa, pēdējai vienādībai ir jēga tikai (-c /a ) ≥ 0. Secinājums:

Ja nepilnīgs kvadrātvienādojums formā ax 2 + c = 0 apmierina nevienādību (−c / a ) ≥ 0, būs divas saknes. Formula ir dota iepriekš;
Ja (-c / a )< 0, корней нет.

Kā redzat, diskriminants nebija vajadzīgs - nepilnīgos kvadrātvienādojumos sarežģītu aprēķinu vispār nav. Patiesībā pat nav jāatceras nevienādība (−c / a ) ≥ 0. Pietiek izteikt x 2 vērtību un redzēt, kas atrodas vienādības zīmes otrā pusē. Ja ir pozitīvs skaitlis, būs divas saknes. Ja negatīvs, tad vispār nebūs sakņu.

Tagad aplūkosim vienādojumus formā ax 2 + bx = 0, kuros brīvais elements ir vienāds ar nulli. Šeit viss ir vienkārši: vienmēr būs divas saknes. Pietiek ar polinomu faktorizēt:

Kopējā faktora izņemšana no kronšteina

Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Lūk, no kurienes nāk saknes. Noslēgumā mēs analizēsim vairākus no šiem vienādojumiem: