Savienojumu sistēmas cirvis in sauc par nenoteiktu, ja. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana, atrisināšanas metodes, piemēri

Sistēmu sauc locītava, vai atrisināms ja tam ir vismaz viens risinājums. Sistēmu sauc nesaderīgs, vai nešķīstošs ja tam nav risinājumu.

Noteikts, nenoteikts SLAE.

Ja SLAE ir risinājums un tas ir unikāls, tad to sauc noteikti un, ja risinājums nav unikāls, tad nenoteikts.

MATRIKSAS VIENĀDĀJUMI

Matricas ļauj īsi pierakstīt lineāro vienādojumu sistēmu. Dota 3 vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem:

Apsveriet sistēmas matricu un nezināmu un brīvu dalībnieku matricas kolonnas

Atradīsim preci

tie. reizinājuma rezultātā iegūstam šīs sistēmas vienādojumu kreisās puses. Tad, izmantojot matricas vienlīdzības definīciju, šo sistēmu var uzrakstīt kā

vai īsāks A∙X=B.

Šeit matricas A un B ir zināmi, un matrica X nezināms. Viņa ir jāatrod, jo. tās elementi ir šīs sistēmas risinājums. Šo vienādojumu sauc matricas vienādojums.

Lai matricas determinants atšķiras no nulles | A| ≠ 0. Tad matricas vienādojumu atrisina šādi. Reiziniet abas vienādojuma puses kreisajā pusē ar matricu A-1, matricas apgrieztā vērtība A: . Ciktāl A -1 A = E un E∙X=X, tad matricas vienādojuma atrisinājumu iegūstam formā X = A -1 B .

Ņemiet vērā, ka, tā kā apgriezto matricu var atrast tikai kvadrātveida matricām, matricas metode var atrisināt tikai tās sistēmas, kurās vienādojumu skaits ir tāds pats kā nezināmo skaits.

Krāmera formulas

Krāmera metode ir tāda, ka mēs secīgi atrodam galvenais sistēmas identifikators, t.i. matricas A determinants: D = det (a i j) un n palīgdeterminanti D i (i= ), ko iegūst no determinanta D, aizstājot i-to kolonnu ar brīvo locekļu kolonnu.

Krāmera formulas izskatās šādi: D × x i = D i (i = ).

Tas nozīmē Krāmera likumu, kas sniedz izsmeļošu atbildi uz jautājumu par sistēmas saderību: ja sistēmas galvenais determinants atšķiras no nulles, tad sistēmai ir unikāls risinājums, ko nosaka pēc formulām: x i = D i / D.

Ja sistēmas D galvenais determinants un visi palīgdeterminanti D i = 0 (i= ), tad sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu. Ja sistēmas galvenais determinants D = 0 un vismaz viens palīgdeterminants atšķiras no nulles, tad sistēma ir nekonsekventa.

Teorēma (Krāmera noteikums): Ja sistēmas determinants ir Δ ≠ 0, tad aplūkotajai sistēmai ir viens un tikai viens risinājums, un

Pierādījums: Tātad, apsveriet 3 vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem. Reiziniet sistēmas 1. vienādojumu ar algebrisko komplementu A 11 elements a 11, 2. vienādojums — ieslēgts A21 un 3. - uz A 31:

Pievienosim šos vienādojumus:

Apsveriet katru no iekavām un šī vienādojuma labo pusi. Saskaņā ar teorēmu par determinanta paplašināšanu 1. kolonnas elementu izteiksmē.

Līdzīgi var parādīt, ka un .

Visbeidzot, to ir viegli redzēt

Tādējādi mēs iegūstam vienādību: . Līdz ar to,.

Vienādības un tiek atvasinātas līdzīgi, no kurienes izriet teorēmas apgalvojums.

Kronekera-Kapella teorēma.

Lineāro vienādojumu sistēma ir konsekventa tad un tikai tad, ja sistēmas matricas rangs ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu.

Pierādījums: Tas sadalās divos posmos.

1. Ļaujiet sistēmai atrast risinājumu. Parādīsim to.

Ļaujiet skaitļu kopai ir sistēmas risinājums. Apzīmē ar matricas kolonnu , . Tad , tas ir, brīvo terminu kolonna ir lineāra matricas kolonnu kombinācija. Ļaujiet būt. Izliksimies tā . Tad līdz . Izvēlamies pamata minorā . Viņam ir kārtība. Brīvo dalībnieku kolonnai ir jāiet cauri šim minoram, pretējā gadījumā tā būs matricas pamatmolra. Brīvo terminu kolonna minorā ir matricas kolonnu lineāra kombinācija. Ņemot vērā determinanta īpašības, kur ir determinants, kas iegūts no minoritātes, aizstājot brīvo terminu aili ar kolonnu. Ja kolonna šķērsoja mazo M, tad , būs divas identiskas kolonnas un līdz ar to . Ja kolonna nav izgājusi cauri minorai, tad tā atšķirsies no matricas r + 1 kārtas minora tikai ar kolonnu secību. Kopš tā laika . Tādējādi, kas ir pretrunā ar pamata nepilngadīgo definīciju. Līdz ar to pieņēmums, ka , ir nepatiess.

2. Ļaujiet . Parādīsim, ka sistēmai ir risinājums. Tā kā , tad matricas pamata minors ir matricas pamatmolārs . Ļaujiet kolonnām iziet cauri minorai . Tad, pamatojoties uz matricas pamatteorēmu, brīvo terminu kolonna ir norādīto kolonnu lineāra kombinācija:

(1)

Mēs uzstādām , , , , un atlikušos nezināmos ņemam vienādus ar nulli. Tad par šīm vērtībām mēs iegūstam

Pamatojoties uz vienlīdzību (1) . Pēdējā vienādība nozīmē, ka skaitļu kopa ir sistēmas risinājums. Risinājuma esamība ir pierādīta.

Iepriekš apspriestajā sistēmā , un sistēma ir konsekventa. Sistēmā , un sistēma ir nekonsekventa.

Piezīme: Lai gan Kronecker-Capelli teorēma ļauj noteikt, vai sistēma ir konsekventa, tā tiek izmantota diezgan reti, galvenokārt teorētiskās studijas. Iemesls ir tāds, ka aprēķini, kas veikti, atrodot matricas rangu, būtībā ir tādi paši kā aprēķini, meklējot sistēmas risinājumu. Tāpēc parasti tā vietā, lai atrastu un, tiek meklēts sistēmas risinājums. Ja to var atrast, mēs uzzinām, ka sistēma ir konsekventa, un vienlaikus iegūstam tās risinājumu. Ja risinājumu nevar atrast, tad secinām, ka sistēma ir nekonsekventa.

Algoritms patvaļīgas lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu atrašanai (Gausa metode)

Dota lineāru vienādojumu sistēma ar nezināmajiem. Ir jāatrod tā vispārīgais risinājums, ja tas ir konsekvents, vai arī jānoskaidro tā nekonsekvence. Metode, kas tiks parādīta šajā sadaļā, ir tuva determinanta aprēķināšanas metodei un matricas ranga noteikšanas metodei. Piedāvātais algoritms tiek saukts Gausa metode vai secīgas nezināmo novēršanas metode.

Uzrakstīsim sistēmas paplašināto matricu

Mēs saucam šādas darbības ar matricām par elementārām operācijām:

1. līniju permutācija;

2. virknes reizināšana ar skaitli, kas nav nulle;

3. virknes pievienošana ar citu virkni, kas reizināta ar skaitli.

Ņemiet vērā, ka, risinot vienādojumu sistēmu, atšķirībā no determinanta aprēķināšanas un ranga atrašanas, nevar darboties ar kolonnām. Ja vienādojumu sistēmu atjauno no elementārās darbības rezultātā iegūtās matricas, tad jauna sistēma būs vienāds ar oriģinālu.

Algoritma mērķis ir, piemērojot matricai elementāru darbību secību, nodrošināt, ka katra rinda, izņemot varbūt pirmo, sākas ar nullēm un nulles skaits līdz pirmajam elementam, kas nav nulle katrā nākamajā. rinda ir lielāka nekā iepriekšējā.

Algoritma darbība ir šāda. Atrodiet matricā pirmo kolonnu, kas nav nulle. Lai tā būtu kolonna ar skaitli . Mēs atrodam tajā elementu, kas nav nulle, un apmainām rindu ar šo elementu ar pirmo rindiņu. Lai nesakrautu papildu pierakstus, pieņemsim, ka šāda rindu maiņa matricā jau ir veikta, tas ir, . Tad otrajā rindā pievienojam pirmo, kas reizināts ar skaitli , trešajā rindā pievienojam pirmo, kas reizināts ar skaitli utt. Rezultātā mēs iegūstam matricu

(Parasti trūkst pirmās nulles kolonnas.)

Ja matricā ir rinda ar skaitli k, kurā visi elementi ir vienādi ar nulli, un , tad mēs pārtraucam algoritma izpildi un secinām, ka sistēma ir nekonsekventa. Patiešām, atjaunojot vienādojumu sistēmu no paplašinātās matricas, mēs iegūstam, ka --ajam vienādojumam būs forma

Šis vienādojums neapmierina nevienu skaitļu kopu .

Matricu var uzrakstīt kā

Attiecībā uz matricu mēs veicam aprakstīto algoritma soli. Iegūstiet matricu

kur,. Šo matricu atkal var uzrakstīt kā

un iepriekšminētā algoritma darbība atkal tiek piemērota matricai.

Process apstājas, ja pēc nākamā soļa izpildes jaunā reducētā matrica sastāv tikai no nullēm vai ja visas rindas ir izsmeltas. Ņemiet vērā, ka secinājums par sistēmas nesaderību var apturēt procesu vēl agrāk.

Ja mēs nereducētu matricu, tad beigās nonāktu pie formas matricas

Tālāk tiek veikta tā sauktā Gausa metodes apgrieztā pāreja. Pamatojoties uz matricu, mēs sastādām vienādojumu sistēmu. Kreisajā pusē nezināmos atstājam ar skaitļiem, kas atbilst pirmajiem elementiem, kas nav nulle katrā rindā, tas ir, . Ievērojiet, ka. Atlikušie nezināmie tiek pārnesti uz labo pusi. Uzskatot, ka labajā pusē esošie nezināmie ir daži fiksēti lielumi, kreisajā pusē esošos nezināmos ir viegli izteikt ar tiem.

Tagad, dodot patvaļīgas vērtības nezināmajiem labajā pusē un aprēķinot mainīgo vērtības kreisajā pusē, mēs atradīsim dažādi risinājumi oriģinālā sistēma Ax=b. Lai pierakstītu vispārīgo risinājumu, labajā pusē ir jāapzīmē nezināmie jebkurā secībā ar burtiem , ieskaitot tos nezināmos, kas nav skaidri ierakstīti labajā pusē nulles koeficientu dēļ, un tad nezināmo kolonnu var ierakstīt kā kolonnu, kur katrs elements ir patvaļīgu vērtību lineāra kombinācija (jo īpaši, tikai patvaļīga vērtība ). Šis ieraksts būs sistēmas vispārējais risinājums.

Ja sistēma bija viendabīga, tad iegūstam homogēnās sistēmas vispārējo risinājumu. Koeficienti at, kas ņemti katrā vispārējā risinājuma kolonnas elementā, veidos pirmo atrisinājumu no pamatatrisinājumu sistēmas, koeficienti at - otro risinājumu un tā tālāk.

2. metode: Viendabīgas sistēmas risinājumu pamatsistēmu var iegūt citā veidā. Lai to izdarītu, vienam mainīgajam, kas pārsūtīts uz labo pusi, jāpiešķir vērtība 1, bet pārējiem - nulles. Aprēķinot kreisās puses mainīgo vērtības, mēs iegūstam vienu risinājumu no pamatsistēmas. Piešķirot otram mainīgajam labajā pusē vērtību 1, bet pārējiem nulles, mēs iegūstam otro atrisinājumu no fundamentālās sistēmas utt.

Definīcija: sistēma tiek saukta kopīgi th, ja tai ir vismaz viens risinājums, un nekonsekvents - pretējā gadījumā, tas ir, ja sistēmai nav risinājumu. Jautājums par to, vai sistēmai ir vai nav risinājums, ir saistīts ne tikai ar vienādojumu skaita un nezināmo skaita attiecību. Piemēram, trīs vienādojumu sistēma ar diviem nezināmajiem

ir risinājums , un pat ir bezgalīgi daudz risinājumu, bet divu vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Šī sistēma vienmēr ir konsekventa, jo tai ir triviāls risinājums x 1 =…=x n =0

Lai pastāvētu netriviāli risinājumi, tas ir nepieciešams un pietiekami

nosacījumi r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Th SLAE risinājumu kopa veido lineāru dimensijas telpu (n-r). Tas nozīmē, ka tās atrisinājuma reizinājums ar skaitli, kā arī tā atrisinājumu galīgā skaita summa un lineārā kombinācija ir šīs sistēmas risinājumi. Jebkuras SLAE lineārā atrisinājuma telpa ir telpas R n apakštelpa.

Jebkuru (n-r) lineāri neatkarīgu SLAE risinājumu kopu (kas ir risinājuma telpas pamats) sauc risinājumu pamatkopa (FSR).

Lai х 1 ,…,х r ir pamata nezināmie, х r +1 ,…,х n ir brīvie nezināmie. Mēs dodam brīvos mainīgos pēc kārtas šādas vērtības:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Veido lineāru telpu S (risinājumu telpa), kas ir apakštelpa R n (n ir nezināmo skaits), un dims=k=n-r, kur r ir sistēmas rangs. Pamatu risinājuma telpā (x (1) ,…, x (k) ) sauc par risinājumu pamatsistēmu, un vispārējam risinājumam ir forma:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

Augstākā matemātika » Lineārās sistēmas algebriskie vienādojumi» Pamatnosacījumi. Matricas apzīmējums.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma. Pamatnosacījumi. Matricas apzīmējums.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas definīcija. Sistēmas risinājums. Sistēmu klasifikācija.
Lineāro algebrisko vienādojumu rakstīšanas sistēmu matricas forma.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas definīcija. Sistēmas risinājums. Sistēmu klasifikācija.

Zem lineāro algebrisko vienādojumu sistēma(SLAE) nozīmē sistēmu

\begin(vienādojums) \left \( \begin(līdzināts) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ lpunkti \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\lpunkti+a_(mn)x_n=b_m.\end(līdzināts) \labais.\beigas(vienādojums)

Parametrus $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) sauc koeficienti, un $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - bezmaksas dalībnieki SLAU. Dažreiz, lai uzsvērtu vienādojumu un nezināmo skaitu, viņi saka "$m\times n$ lineāro vienādojumu sistēma", tādējādi norādot, ka SLAE satur $m$ vienādojumus un $n$ nezināmos.

Ja visi brīvie termini $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), tad SLAE tiek izsaukts viendabīgs. Ja starp brīvajiem dalībniekiem ir vismaz viens, kas nav nulle, tiek izsaukts SLAE neviendabīgs.

SLAU lēmums(1) tiek izsaukta jebkura sakārtota skaitļu kolekcija ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$), ja šīs kolekcijas elementi noteiktā secībā ir aizstāti ar nezināmajiem $x_1,x_2,\ldots,x_n$ , apgriež katru SLAE vienādojumu identitātē.

Jebkuram viendabīgam SLAE ir vismaz viens risinājums: nulle(citā terminoloģijā - triviāls), t.i. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

Ja SLAE (1) ir vismaz viens risinājums, tas tiek izsaukts locītavu ja nav risinājumu, nesaderīgi. Ja savienojumam SLAE ir tieši viens risinājums, to sauc noteikti, ja bezgalīgs skaits risinājumu - nenoteikts.

1. piemērs

Apsveriet SLAE

\begin(vienādojums) \left \( \begin(līdzināts) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4=6 0.\\ \beigas(līdzināts)\pa labi.\beigas(vienādojums)

Mums ir lineāro algebrisko vienādojumu sistēma, kurā ir $3$ vienādojumi un $5$ nezināmie: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Var teikt, ka ir dota lineāro vienādojumu sistēma $3\reizes 5$.

Sistēmas (2) koeficienti ir skaitļi nezināmo priekšā. Piemēram, pirmajā vienādojumā šie skaitļi ir: $3,-4,1,7,-1$. Sistēmas bezmaksas dalībnieki ir apzīmēti ar cipariem $11,-65.0$. Tā kā starp brīvajiem dalībniekiem ir vismaz viens, tā nav nulle, tad SLAE (2) ir nehomogēns.

Pasūtītā kolekcija $(4;-11;5;-7;1)$ ir šīs SLAE risinājums. To ir viegli pārbaudīt, ja aizstājat $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ dotās sistēmas vienādojumos:

\begin(līdzināts) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cpunkts 4+10\cpunkts (-7)-3\cpunkts 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cpunkts (-11)+19\cpunkts 5+8\cpunkts ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(līdzināts)

Protams, rodas jautājums, vai pārbaudītais risinājums ir vienīgais. Jautājums par SLAE risinājumu skaitu tiks apspriests attiecīgajā tēmā.

2. piemērs

Apsveriet SLAE

\begin(vienādojums) \left \( \begin(līdzināts) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\beigas(līdzinātas) \labās.\beigas(vienādojums)

Sistēma (3) ir SLAE, kurā ir $5$ vienādojumi un $3$ nezināmie: $x_1,x_2,x_3$. Tā kā visi šīs sistēmas brīvie termini ir vienādi ar nulli, tad SLAE (3) ir viendabīgs. Ir viegli pārbaudīt, vai kolekcija $(0;0;0)$ ir dotā SLAE risinājums. Aizvietojot $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, piemēram, pirmajā sistēmas (3) vienādojumā, mēs iegūstam pareizo vienādību: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . Aizstāšana ar citiem vienādojumiem tiek veikta līdzīgi.

Lineāro algebrisko vienādojumu rakstīšanas sistēmu matricas forma.

Ar katru SLAE var saistīt vairākas matricas; turklāt pašu SLAE var uzrakstīt kā matricas vienādojumu. Attiecībā uz SLAE (1) ņemiet vērā šādas matricas:

Tiek izsaukta matrica $A$ sistēmas matrica. Šīs matricas elementi ir dotās SLAE koeficienti.

Tiek izsaukta matrica $\widetilde(A)$ paplašināta matricu sistēma. To iegūst, pievienojot sistēmas matricai kolonnu, kurā ir brīvie locekļi $b_1,b_2,…,b_m$. Parasti šī kolonna ir atdalīta ar vertikālu līniju - skaidrības labad.

Tiek izsaukta kolonnu matrica $B$ bezmaksas dalībnieku matrica, un kolonnu matrica $X$ - nezināmo matrica.

Izmantojot iepriekš ieviesto apzīmējumu, SLAE (1) var uzrakstīt matricas vienādojuma veidā: $A\cdot X=B$.

Piezīme

Ar sistēmu saistītās matricas var uzrakstīt Dažādi ceļi: viss ir atkarīgs no aplūkojamā SLAE mainīgo un vienādojumu secības. Bet jebkurā gadījumā nezināmo secībai katrā dotā SLAE vienādojumā ir jābūt vienādai (skat. piemēru Nr. 4).

3. piemērs

Ierakstiet SLAE $ \left \( \begin(līdzināts) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(līdzināts) \right.$ matricas formā un norādiet sistēmas paplašināto matricu.

Mums ir četri nezināmie, kas katrā vienādojumā seko šādā secībā: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Nezināmo matrica būs: $\left(\begin(masīvs) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(masīvs) \right)$.

Šīs sistēmas brīvos dalībniekus izsaka ar skaitļiem $-5,0,-11$, tāpēc brīvo dalībnieku matricai ir šāda forma: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(masīvs )\right)$.

Pāriesim pie sistēmas matricas sastādīšanas. Šīs matricas pirmajā rindā būs pirmā vienādojuma koeficienti: $2.3,-5.1$.

Otrajā rindā ierakstām otrā vienādojuma koeficientus: $4.0,-1.0$. Šajā gadījumā jāņem vērā, ka sistēmas ar mainīgajiem $x_2$ un $x_4$ koeficienti otrajā vienādojumā ir vienādi ar nulli (jo otrajā vienādojumā šo mainīgo nav).

Sistēmas matricas trešajā rindā ierakstām trešā vienādojuma koeficientus: $0.14.8.1$. Mēs ņemam vērā koeficienta vienādību ar nulli pie mainīgā $x_1$ (šī mainīgā nav trešajā vienādojumā). Sistēmas matrica izskatīsies šādi:

$$ A=\left(\begin(masīvs) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(masīvs) \right) $$

Lai būtu skaidrākas attiecības starp sistēmas matricu un pašu sistēmu, blakus pierakstīšu doto SLAE un tās sistēmas matricu:

Matricas formā dotais SLAE izskatīsies šādi: $A\cdot X=B$. Izvērstā ierakstā:

$$ \left(\begin(masīvs) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(masīvs) \right) \cdot \left(\begin(masīvs) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(masīvs) \right) = \left(\begin(masīvs) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(masīvs) \labais) $$

Uzrakstīsim sistēmas paplašināto matricu. Lai to izdarītu, sistēmas matricai $ A=\left(\begin(masīvs) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ beigas(masīvs ) \right) $ pievienojiet bezmaksas terminu kolonnu (t.i., $-5,0,-11 $). Mēs iegūstam: $\widetilde(A)=\left(\begin(masīvs) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(masīvs) \right) $.

4. piemērs

Ierakstiet SLAE $ \left \(\begin(līdzināts) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ matricas formā un norādiet sistēmas paplašināto matricu.

Kā redzat, nezināmo secība šī SLAE vienādojumos ir atšķirīga. Piemēram, otrajā vienādojumā secība ir: $a,y,c$, bet trešajā vienādojumā: $c,y,a$. Pirms SLAE rakstīšanas matricas formā, mainīgo secība visos vienādojumos ir jāpadara vienāda.

Varat sakārtot mainīgos lielumus dotā SLAE vienādojumos Dažādi ceļi(trīs mainīgo kārtošanas veidu skaits ir $3!=6$). Es apsvēršu divus veidus, kā pasūtīt nezināmos.

1. metode

Ieviesīsim šādu secību: $c,y,a$. Pārrakstīsim sistēmu, ievietojot nezināmos nepieciešamais pasūtījums: $\left \(\begin(līdzināts) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4 .\end(līdzināts)\right.$

Skaidrības labad es uzrakstīšu SLAE šādi: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ beigas(līdzināts)\pa labi.$

Sistēmas matrica ir: $ A=\left(\begin(masīvs) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( masīvs) \labais) $. Bezmaksas dalībnieku matrica: $B=\left(\begin(masīvs) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(masīvs) \right)$. Rakstot nezināmo matricu, atcerieties nezināmo secību: $X=\left(\begin(masīvs) (c) c \\ y \\ a \end(masīvs) \right)$. Tātad dotā SLAE matricas forma ir šāda: $A\cdot X=B$. Izvērsts:

$$ \left(\begin(masīvs) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(masīvs) \right) \ cdot \left(\begin(masīvs) (c) c \\ y \\ a \end(masīvs) \right) = \left(\begin(masīvs) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(masīvs) \labais) $$

Paplašinātā sistēmas matrica ir: $\left(\begin(masīvs) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(masīvs) \right) $.

2. metode

Ieviesīsim šādu secību: $a,c,y$. Pārrakstīsim sistēmu, saliekot nezināmos vajadzīgajā secībā: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(līdzināts)\right.$

Skaidrības labad es uzrakstīšu SLAE šādi: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ beigas(līdzināts)\pa labi.$

Sistēmas matrica ir: $ A=\left(\begin(masīvs) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( masīvs)\right)$. Bezmaksas dalībnieku matrica: $B=\left(\begin(masīvs) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(masīvs) \right)$. Rakstot nezināmo matricu, atcerieties nezināmo secību: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(masīvs) \right)$. Tātad dotā SLAE matricas forma ir šāda: $A\cdot X=B$. Izvērsts:

$$ \left(\begin(masīvs) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(masīvs) \right) \ cdot \left(\begin(masīvs) (c) a \\ c \\ y \end(masīvs) \right) = \left(\begin(masīvs) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(masīvs) \labais) $$

Paplašinātā sistēmas matrica ir: $\left(\begin(masīvs) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(masīvs) \right) $.

Kā redzat, nezināmo secības maiņa ir līdzvērtīga sistēmas matricas kolonnu pārkārtošanai. Bet lai kāds būtu šis nezināmo izkārtojums, tam ir jāsakrīt visos dotā SLAE vienādojumos.

Lineārie vienādojumi

Lineārie vienādojumi- salīdzinoši vienkārša matemātiska tēma, diezgan bieži sastopama algebras uzdevumos.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas: pamatjēdzieni, veidi

Noskaidrosim, kas tas ir un kā tiek atrisināti lineārie vienādojumi.

Parasti, lineārais vienādojums ir vienādojums formā ax + c = 0, kur a un c ir patvaļīgi skaitļi vai koeficienti, un x ir nezināms skaitlis.

Piemēram, lineārais vienādojums būtu šāds:

Lineāro vienādojumu atrisināšana.

Kā atrisināt lineāros vienādojumus?

Lineāro vienādojumu atrisināšana ir diezgan vienkārša. Šim nolūkam tiek izmantota matemātiska tehnika, piemēram, identitātes transformācija. Noskaidrosim, kas tas ir.

Lineārā vienādojuma un tā atrisinājuma piemērs.

Ļaujiet ax + c = 10, kur a = 4, c = 2.

Tādējādi mēs iegūstam vienādojumu 4x + 2 = 10.

Lai to atrisinātu vieglāk un ātrāk, izmantosim pirmo metodi identitātes transformācija- tas ir, mēs pārnesam visus skaitļus uz vienādojuma labo pusi, bet nezināmo atstājam 4x kreisajā pusē.

Gūt:

Tādējādi vienādojums tiek reducēts līdz ļoti vienkāršai problēmai iesācējiem. Atliek tikai izmantot otro identiskas pārveidošanas metodi - atstājot x vienādojuma kreisajā pusē, pārnesiet skaitļus uz labo pusi. Mēs iegūstam:

Pārbaude:

4x + 2 = 10, kur x = 2.

Atbilde ir pareiza.

Lineāro vienādojumu grafiks.

Risinot lineāros vienādojumus ar diviem mainīgajiem, bieži tiek izmantota arī diagrammas metode. Fakts ir tāds, ka vienādojumam formā ax + wy + c \u003d 0, kā likums, ir daudz risinājumu, jo mainīgo vietā iederas daudzi skaitļi, un visos gadījumos vienādojums paliek patiess.

Tāpēc, lai atvieglotu uzdevumu, tiek izveidots lineāra vienādojuma grafiks.

Lai to izveidotu, pietiek ar vienu mainīgo vērtību pāri - un, atzīmējot tos ar punktiem koordinātu plaknē, caur tiem novelciet taisnu līniju. Visi punkti uz šīs līnijas būs mūsu vienādojuma mainīgo varianti.

Izteiksmes, izteiksmju konvertēšana

Darbību secība, noteikumi, piemēri.

Skaitlis, burts un izteiksmes ar mainīgajiem to ierakstā var saturēt dažādas rakstzīmes aritmētiskās darbības. Pārvēršot izteiksmes un aprēķinot izteiksmju vērtības, darbības tiek veiktas noteiktā secībā, citiem vārdiem sakot, jums jāievēro darbību secība.

Šajā rakstā mēs izdomāsim, kuras darbības jāveic vispirms un kuras pēc tām. Sāksim ar lielāko daļu vienkārši gadījumi ja izteiksmē ir tikai skaitļi vai mainīgie, kas savienoti ar plusa, mīnusa zīmēm, reizināt un dalīt. Tālāk paskaidrosim, kāda darbību izpildes secība jāievēro izteicienos ar iekavām. Visbeidzot, apsveriet secību, kādā tiek veiktas darbības izteiksmēs, kas satur pilnvaras, saknes un citas funkcijas.

Vispirms reizināšana un dalīšana, tad saskaitīšana un atņemšana

Skola nodrošina sekojošo noteikums, kas nosaka darbību izpildes secību izteiksmēs bez iekavām:

darbības tiek veiktas secībā no kreisās uz labo,
kur vispirms tiek veikta reizināšana un dalīšana un pēc tam saskaitīšana un atņemšana.

Norādītais noteikums tiek uztverts diezgan dabiski. Darbību veikšana secībā no kreisās puses uz labo ir izskaidrojama ar to, ka mums ir ierasts veikt ierakstus no kreisās uz labo pusi. Un tas, ka reizināšana un dalīšana tiek veikta pirms saskaitīšanas un atņemšanas, ir izskaidrojams ar nozīmi, ko šīs darbības sevī nes.

Apskatīsim dažus šī noteikuma piemērošanas piemērus. Piemēriem ņemsim visvienkāršākās skaitliskās izteiksmes, lai nenovirzītos no aprēķiniem, bet lai koncentrētos uz darbību veikšanas secību.

Izpildiet soļus 7-3+6.

Sākotnējā izteiksmē nav iekavas, kā arī nav reizināšanas un dalīšanas. Tāpēc mums ir jāveic visas darbības secībā no kreisās puses uz labo, tas ir, vispirms no 7 atņemam 3, iegūstam 4, pēc tam iegūtajai starpībai 4 pievienojam 6, iegūstam 10.

Īsumā risinājumu var uzrakstīt šādi: 7−3+6=4+6=10.

Norādiet darbību izpildes secību izteiksmē 6:2·8:3.

Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, pievērsīsimies likumam, kas norāda secību, kādā tiek veiktas darbības izteiksmēs bez iekavām. Sākotnējā izteiksmē ir tikai reizināšanas un dalīšanas darbības, un saskaņā ar likumu tās ir jāveic secībā no kreisās uz labo pusi.

Vispirms sadaliet 6 ar 2, reiziniet šo koeficientu ar 8 un visbeidzot daliet rezultātu ar 3.

Pamatjēdzieni. Lineāro vienādojumu sistēmas

Aprēķiniet izteiksmes vērtību 17−5 6:3−2+4:2.

Vispirms noteiksim, kādā secībā ir jāveic darbības sākotnējā izteiksmē. Tas ietver gan reizināšanu un dalīšanu, gan saskaitīšanu un atņemšanu.

Pirmkārt, no kreisās puses uz labo, jums jāveic reizināšana un dalīšana. Tātad mēs reizinām 5 ar 6, mēs iegūstam 30, mēs dalām šo skaitli ar 3, mēs iegūstam 10. Tagad mēs dalām 4 ar 2, mēs iegūstam 2. Mēs sākotnējā izteiksmē aizstājam atrasto vērtību 10, nevis 5 6: 3, un vērtība 2, nevis 4: 2, mums ir 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Iegūtajā izteiksmē vairs nav reizināšanas un dalīšanas, tāpēc atliek veikt atlikušās darbības secībā no kreisās puses uz labo: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

17−5 6:3−2+4:2=7.

Sākumā, lai, aprēķinot izteiksmes vērtību, nesajauktu darbību izpildes secību, virs darbību zīmēm ir ērti novietot skaitļus, kas atbilst to izpildes secībai. Iepriekšējā piemērā tas izskatītos šādi: .

Strādājot ar burtiskām izteiksmēm, jāievēro tāda pati darbību secība – vispirms reizināšana un dalīšana, tad saskaitīšana un atņemšana.

Lapas augšdaļa

1. un 2. darbība

Dažās matemātikas mācību grāmatās aritmētiskās darbības ir sadalītas pirmā un otrā soļa darbībās. Tiksim ar šo galā.

Šajos terminos iepriekšējās rindkopas noteikums, kas nosaka darbību veikšanas secību, tiks rakstīts šādi: ja izteiksmē nav iekavas, tad secībā no kreisās uz labo otrā posma darbības ( reizināšana un dalīšana), vispirms tiek veiktas pirmā posma darbības (saskaitīšana un atņemšana).

Lapas augšdaļa

Aritmētisko darbību izpildes secība izteiksmēs ar iekavām

Izteiksmēs bieži ir iekavas, lai norādītu secību, kādā jāveic darbības. Šajā gadījumā noteikums, kas nosaka secību, kādā tiek veiktas darbības izteiksmēs ar iekavām, tiek formulēts šādi: vispirms tiek veiktas darbības iekavās, savukārt reizināšanu un dalīšanu veic arī secībā no kreisās uz labo, pēc tam saskaitīšanu un atņemšanu.

Tātad izteiksmes iekavās tiek uzskatītas par sākotnējās izteiksmes sastāvdaļām, un tajās tiek saglabāta mums jau zināmā darbību secība. Lai iegūtu lielāku skaidrību, apsveriet piemēru risinājumus.

Veiciet norādītās darbības 5+(7–2 3) (6–4):2.

Izteiksme satur iekavas, tāpēc vispirms veiksim darbības šajās iekavās ietvertajās izteiksmēs. Sāksim ar izteiksmi 7–2 3. Tajā vispirms jāveic reizināšana un tikai pēc tam atņemšana, mums ir 7−2 3=7−6=1. Mēs pārejam pie otrās izteiksmes iekavās 6–4. Šeit ir tikai viena darbība - atņemšana, mēs to veicam 6−4=2.

Iegūtās vērtības aizstājam sākotnējā izteiksmē: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. Iegūtajā izteiksmē vispirms veicam reizināšanu un dalīšanu no kreisās puses uz labo, tad atņemšanu, iegūstam 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6. Uz to visas darbības ir pabeigtas, mēs ievērojām šādu to izpildes secību: 5+(7−2 3) (6−4):2.

Pierakstīsim īss risinājums: 5+(7-2 3)(6-4):2=5+1 2:2=5+1=6.

5+(7-2 3)(6-4):2=6.

Gadās, ka izteiksmē ir iekavas iekavās. Jums no tā nevajadzētu baidīties, jums vienkārši ir konsekventi jāpiemēro izteiktais noteikums darbību veikšanai izteicienos ar iekavām. Parādīsim risinājuma piemēru.

Veiciet darbības izteiksmē 4+(3+1+4 (2+3)).

Šī ir izteiksme ar iekavām, kas nozīmē, ka darbību izpildei jāsākas ar izteiksmi iekavās, tas ir, ar 3 + 1 + 4 (2 + 3).

Šajā izteiksmē ir arī iekavas, tāpēc vispirms tajās ir jāveic darbības. Darīsim tā: 2+3=5. Aizstājot atrasto vērtību, iegūstam 3+1+4 5. Šajā izteiksmē mēs vispirms veicam reizināšanu, pēc tam saskaitīšanu, mums ir 3+1+4 5=3+1+20=24. Sākotnējā vērtība pēc šīs vērtības aizstāšanas iegūst formu 4+24, un atliek tikai veikt darbības: 4+24=28.

4+(3+1+4 (2+3))=28.

Parasti, ja izteiksmē ir iekavas iekavās, bieži ir ērti sākt ar iekšējām iekavām un pāriet uz ārējām iekavām.

Piemēram, pieņemsim, ka mums ir jāveic darbības izteiksmē (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Vispirms veicam darbības iekšējās iekavās, jo 4−6:2=4−3=1, tad pēc tam sākotnējā izteiksme būs formā (4+(4+1)−1)−1. Atkal mēs veicam darbību iekšējās iekavās, jo 4+1=5, mēs nonākam pie šādas izteiksmes (4+5−1)−1. Atkal mēs veicam darbības iekavās: 4+5−1=8, kamēr mēs nonākam pie starpības 8−1, kas ir vienāda ar 7.

Lapas augšdaļa

Secība, kādā tiek veiktas darbības izteiksmēs ar saknēm, pakāpēm, logaritmiem un citām funkcijām

Ja izteiksmē ir ietverti pakāpes, saknes, logaritmi, sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, kā arī citas funkcijas, tad to vērtības tiek aprēķinātas pirms citu darbību veikšanas, savukārt iepriekšējo punktu noteikumi, kas nosaka secību tiek ņemtas vērā arī darbības, kuras tiek veiktas. Citiem vārdiem sakot, uzskaitītās lietas, rupji runājot, var uzskatīt par iekavās ieliktām, un mēs zinām, ka darbības iekavās tiek veiktas vispirms.

Apskatīsim piemērus.

Veiciet darbības izteiksmē (3+1) 2+6 2:3−7.

Šī izteiksme satur pakāpju 6 2, tās vērtība ir jāaprēķina pirms pārējo darbību veikšanas. Tātad, mēs veicam eksponenci: 6 2 \u003d 36. Mēs aizstājam šo vērtību sākotnējā izteiksmē, tā būs formā (3+1) 2+36:3−7.

Tad viss ir skaidrs: veicam darbības iekavās, pēc kurām paliek izteiksme bez iekavām, kurā secībā no kreisās uz labo vispirms veicam reizināšanu un dalīšanu, bet pēc tam saskaitīšanu un atņemšanu. Mums ir (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.

(3+1) 2+6 2:3−7=13.

Citi, tostarp vairāk sarežģīti piemēri veicot darbības izteiksmēs ar saknēm, pakāpēm utt., rakstā varat redzēt izteiksmju vērtību aprēķinu.

Lapas augšdaļa

Pirmā soļa darbības sauc par saskaitīšanu un atņemšanu, un par reizināšanu un dalīšanu otrā posma darbības.

Matemātika: studijas. 5 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., dzēsts. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 lpp.: ill. ISBN 5-346-00699-0.

Pierakstiet lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu vispārīgā formā

Kas ir SLAE risinājums?

Vienādojumu sistēmas risinājums ir n skaitļu kopa,

Kad kurš tiek aizvietots sistēmā, katrs vienādojums kļūst par identitāti.

Kādu sistēmu sauc par locītavu (bez locītavu)?

Vienādojumu sistēmu sauc par konsekventu, ja tai ir vismaz viens risinājums.

Sistēmu sauc par nekonsekventu, ja tai nav risinājumu.

Kādu sistēmu sauc par noteiktu (nenoteiktu)?

Savienojumu sistēmu sauc par noteiktu, ja tai ir unikāls risinājums.

Savienoto sistēmu sauc par nenoteiktu, ja tai ir vairāk nekā viens risinājums.

Matricas forma vienādojumu sistēmas rakstīšanai

Vektoru sistēmas rangs

Vektoru sistēmas rangs ir maksimālais lineāri neatkarīgo vektoru skaits.

Matricas rangs un veidi, kā to atrast

Matricas rangs- augstākā no šīs matricas nepilngadīgo kārtas, kuras determinants atšķiras no nulles.

Pirmā metode, apmales metode, ir šāda:

Ja visi nepilngadīgie ir 1. kārtas, t.i. matricas elementi ir vienādi ar nulli, tad r=0 .

Ja vismaz viens no 1. kārtas nepilngadīgajiem nav vienāds ar nulli, un visi 2. kārtas nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tad r=1.

Ja 2. kārtas nepilngadīgais nav nulle, tad mēs izmeklējam 3. kārtas nepilngadīgos. Tādā veidā tiek atrasts k-tās kārtas minors un pārbaudīts, vai k+1-as kārtas nepilngadīgie nav vienādi ar nulli.

Ja visi k+1 kārtas nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tad matricas rangs ir vienāds ar skaitli k. Šādi k+1 kārtas nepilngadīgie parasti tiek atrasti, "apmales" k-tās kārtas minorā.

Otrā metode matricas ranga noteikšanai ir izmantot elementāras matricas transformācijas, kad tā tiek pacelta diagonālā formā. Šādas matricas rangs ir vienāds ar diagonāles elementu skaitu, kas nav nulle.

Nehomogēnas lineāro vienādojumu sistēmas vispārīgs risinājums, tā īpašības.

1. īpašums. Lineāro vienādojumu sistēmas jebkura atrisinājuma summa un jebkura attiecīgās viendabīgās sistēmas atrisinājuma summa ir lineāro vienādojumu sistēmas risinājums.

2. īpašums.

Lineāro vienādojumu sistēmas: pamatjēdzieni

Jebkuru divu nehomogēnas lineāro vienādojumu sistēmas atrisinājumu atšķirība ir atbilstošās viendabīgās sistēmas atrisinājums.

Gausa metode SLAE risināšanai

Secība:

1) tiek sastādīta vienādojumu sistēmas paplašināta matrica

2) ar elementāru pārveidojumu palīdzību matrica tiek reducēta līdz pakāpiena formai

3) tiek noteikts sistēmas paplašinātās matricas rangs un sistēmas matricas rangs un tiek noteikts sistēmas saderības vai nesaderības pakts.

4) saderības gadījumā raksta līdzvērtīgu vienādojumu sistēmu

5) tiek atrasts sistēmas risinājums. Galvenie mainīgie ir izteikti brīvā izteiksmē

Kronekera-Kapella teorēma

Kronekera - Kapelli teorēma- lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas savietojamības kritērijs:

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma ir konsekventa tad un tikai tad, ja tās galvenās matricas rangs ir vienāds ar tās paplašinātās matricas rangu, un sistēmai ir unikāls risinājums, ja rangs ir vienāds ar nezināmo skaitu, un bezgalīga risinājumu kopa, ja rangs mazāks par skaitli nezināms.

Lai lineāra sistēma būtu konsekventa, ir nepieciešams un pietiekami, lai šīs sistēmas paplašinātās matricas rangs būtu vienāds ar tās galvenās matricas rangu.

Kad sistēmai nav risinājuma, kad tai ir viens risinājums, vai tai ir daudz risinājumu?

Ja sistēmas vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un tās galvenās matricas determinants nav vienāds ar nulli, tad šādām vienādojumu sistēmām ir unikāls risinājums, bet viendabīgas sistēmas gadījumā viss nezināmais. mainīgie ir vienādi ar nulli.

Lineāru vienādojumu sistēmu, kurai ir vismaz viens risinājums, sauc par konsekventu. Citādi, t.i. ja sistēmai nav risinājumu, tad to sauc par nekonsekventu.

Lineāros vienādojumus sauc par konsekventiem, ja tiem ir vismaz viens risinājums, un par nekonsekventiem, ja risinājumu nav. 14. piemērā sistēma ir saderīga, kolonna ir tās risinājums:

Šo risinājumu var uzrakstīt arī bez matricām: x = 2, y = 1.

Vienādojumu sistēma tiks saukta par nenoteiktu, ja tai ir vairāk nekā viens risinājums, un par noteiktu, ja risinājums ir unikāls.

15. piemērs. Sistēma ir nenoteikta. Piemēram, ... ir tā risinājumi. Lasītājs var atrast daudzus citus šīs sistēmas risinājumus.

Formulas, kas nosaka vektoru koordinātas vecajā un jaunajā bāzē

Vispirms iemācīsimies atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas konkrētā gadījumā. Vienādojumu sistēma AX = B tiks saukta par Krāmera, ja tās galvenā matrica А ir kvadrātveida un nedeģenerēta. Citiem vārdiem sakot, nezināmo skaits Krāmera sistēmā sakrīt ar vienādojumu skaitu un |A| = 0.

6. teorēma (Kremera noteikums). Krāmera lineāro vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums, ko sniedz formulas:

kur Δ = |A| ir galvenās matricas determinants, Δi ir determinants, kas iegūts no A, aizstājot i-to kolonnu ar brīvo terminu kolonnu.

Mēs veiksim pierādīšanu n = 3, jo vispārīgā gadījumā argumenti ir līdzīgi.

Tātad, ir Cramer sistēma:

Vispirms pieņemsim, ka sistēmas risinājums pastāv, t.i., ir

Sareizināsim pirmo. vienādība uz elementa aii algebriskā papildinājuma, otrā vienādība - uz A2i, trešā - uz A3i un pievienojiet iegūtās vienādības:

Lineāro vienādojumu sistēma ~ Sistēmas risinājums ~ Konsekventas un nekonsekventas sistēmas ~ Homogēna sistēma ~ Homogēnas sistēmas saderība ~ Sistēmas matricas rangs ~ Netriviālās saderības nosacījums ~ Fundamentāla risinājumu sistēma. Vispārīgs risinājums ~ Viendabīgas sistēmas izpēte

Apsveriet sistēmu m lineārie algebriskie vienādojumi attiecībā uz n nezināms
x 1 , x 2 , …, x n :

Lēmums sistēmu sauc par kopumu n nezināmas vērtības

x 1 \u003d x' 1, x 2 \u003d x' 2, ..., x n \u003d x' n,

kuru aizstāšanas rezultātā visi sistēmas vienādojumi pārvēršas identitātēs.

Lineāro vienādojumu sistēmu var uzrakstīt matricas formā:

kur A- sistēmas matrica, b- labā daļa, x- vēlamais risinājums Ap - paplašināta matrica sistēmas:

Tiek izsaukta sistēma, kurai ir vismaz viens risinājums locītavu; sistēma, kurai nav risinājuma nesaderīgi.

Viendabīga lineāro vienādojumu sistēma ir sistēma, kuras labā puse ir vienāda ar nulli:

Viendabīgas sistēmas matricas skats: cirvis=0.

Viendabīga sistēma vienmēr ir konsekventa, jo jebkurai viendabīgai lineārai sistēmai ir vismaz viens risinājums:

x 1 = 0, x 2 = 0, ..., x n \u003d 0.

Ja viendabīgai sistēmai ir unikāls risinājums, tad šis unikālais risinājums ir nulle, un sistēma tiek izsaukta triviāli locītavu. Ja viendabīgai sistēmai ir vairāk nekā viens risinājums, tad starp tiem ir arī tādi risinājumi, kas atšķiras no nulles, un šajā gadījumā sistēmu sauc ne-triviāli locītava.

Ir pierādīts, ka kad m=n netriviālai sistēmas savietojamībai nepieciešams un pietiekams lai sistēmas matricas determinants būtu vienāds ar nulli.

PIEMĒRS 1. Viendabīgas lineāro vienādojumu sistēmas netriviālā saderība ar kvadrātmatricu.

Sistēmas matricai piemērojot Gausa eliminācijas algoritmu, sistēmas matricu reducējam uz soļu formu

Numurs r tiek sauktas rindas, kas nav nulles, matricas pakāpju formā matricas rangs, apzīmēt
r=rg(A) vai r=Rg(A).

Sekojošais apgalvojums ir patiess.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma

Lai viendabīga sistēma būtu netriviāli konsekventa, ir nepieciešams un pietiekams, ka rangs r sistēmas matrica bija mazāka par nezināmo skaitu n.

2. PIEMĒRS. Trīs lineāru vienādojumu ar četriem nezināmajiem viendabīgas sistēmas netriviālā savietojamība.

Ja viendabīga sistēma ir netriviāli konsekventa, tad tai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, un jebkura sistēmas risinājumu lineāra kombinācija ir arī tās risinājums.
Ir pierādīts, ka starp viendabīgas sistēmas bezgalīgo risinājumu kopu tieši n-r lineāri neatkarīgi risinājumi.
Agregāts n-r tiek saukti viendabīgas sistēmas lineāri neatkarīgi risinājumi pamata lēmumu sistēma. Jebkurš sistēmas risinājums ir lineāri izteikts pamatsistēmas izteiksmē. Tādējādi, ja rangs r matricas A viendabīgs lineārā sistēma cirvis=0 mazāk nezināmo n un vektori
e 1 , e 2 , …, e n-r veido savu pamata risinājumu sistēmu ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), tad jebkurš risinājums x sistēmas cirvis=0 var rakstīt formā

x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,

kur c 1 , c 2 , …, c n-r ir patvaļīgas konstantes. Rakstiskā izteiksme tiek saukta kopīgs risinājums viendabīga sistēma .

Pētījumi

homogēna sistēma nozīmē noteikt, vai tā ir netriviāli konsekventa, un, ja tā ir, tad atrast fundamentālu risinājumu sistēmu un pierakstīt izteiksmi sistēmas vispārīgajam risinājumam.

Mēs pētām viendabīgu sistēmu ar Gausa metodi.

pētāmās viendabīgās sistēmas matrica, kuras rangs ir r< n .

Šāda matrica tiek samazināta ar Gausa elimināciju līdz pakāpeniskajai formai

Atbilstošajai ekvivalentajai sistēmai ir forma

Šeit ir viegli iegūt izteiksmes mainīgajiem x 1 , x 2 , …, x r cauri x r+1 , x r+2 , …, x n. Mainīgie lielumi
x 1 , x 2 , …, x r sauca pamata mainīgie un mainīgie x r+1 , x r+2 , …, x n - bezmaksas mainīgie.

Pārnesot brīvos mainīgos uz labo pusi, iegūstam formulas

kas nosaka sistēmas kopējo risinājumu.

Secīgi iestatīsim brīvo mainīgo vērtības vienādas ar

un aprēķināt atbilstošās pamata mainīgo vērtības. Saņemts n-r risinājumi ir lineāri neatkarīgi un līdz ar to veido pētāmās viendabīgās sistēmas fundamentālu risinājumu sistēmu:

Viendabīgas sistēmas saderības izpēte pēc Gausa metodes.

Tomēr praksē ir plaši izplatīti vēl divi gadījumi:

– Sistēma ir nekonsekventa (nav risinājumu);
Sistēma ir konsekventa, un tai ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Piezīme : termins "konsekvence" nozīmē, ka sistēmai ir vismaz kāds risinājums. Vairākos uzdevumos ir nepieciešams iepriekš pārbaudīt sistēmas saderību, kā to izdarīt - skatiet rakstu par matricas rangs.

Šīm sistēmām tiek izmantota universālākā no visām risinājuma metodēm - Gausa metode. Faktiski “skolas” ceļš arī novedīs pie atbildes, bet iekšā augstākā matemātika Ir ierasts izmantot Gausa metodi secīgai nezināmo novēršanai. Tie, kas nav pazīstami ar Gausa metodes algoritmu, lūdzu, vispirms izpētiet stundu Gausa metode manekeniem.

Pašas elementārās matricas transformācijas ir tieši tādas pašas, atšķirība būs risinājuma beigās. Vispirms apsveriet dažus piemērus, kur sistēmai nav risinājumu (neatbilstoši).

1. piemērs

Kas šajā sistēmā uzreiz iekrīt jūsu acīs? Vienādojumu skaits ir mazāks par mainīgo skaitu. Ja vienādojumu skaits ir mazāks par mainīgo skaitu, tad uzreiz varam teikt, ka sistēma ir vai nu nekonsekventa, vai arī tai ir bezgala daudz risinājumu. Un atliek tikai noskaidrot.

Risinājuma sākums ir diezgan parasts - mēs uzrakstām sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, ievietojam to soļu formā:

(1) Augšējā kreisajā solī mums jāiegūst +1 vai -1. Pirmajā kolonnā šādu skaitļu nav, tāpēc rindu pārkārtošana nedarbosies. Vienība būs jāorganizē neatkarīgi, un to var izdarīt vairākos veidos. Es izdarīju tā: pirmajai rindai pievienojiet trešo rindu, kas reizināta ar -1.

(2) Tagad mēs iegūstam divas nulles pirmajā kolonnā. Otrajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 3. Trešajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 5.

(3) Pēc transformācijas veikšanas vienmēr ir ieteicams noskaidrot, vai ir iespējams vienkāršot iegūtās virknes? Var. Mēs sadalām otro rindu ar 2, vienlaikus iegūstot vēlamo -1 otrajā solī. Sadaliet trešo rindu ar -3.

(4) Pievienojiet otro rindu trešajai rindai.

Droši vien visi pievērsa uzmanību sliktajai līnijai, kas izrādījās elementāru pārvērtību rezultātā: . Ir skaidrs, ka tas tā nevar būt. Patiešām, mēs pārrakstām iegūto matricu atpakaļ uz lineāro vienādojumu sistēmu:

Ja elementāru pārveidojumu rezultātā tiek iegūta formas virkne, kur ir skaitlis, kas nav nulle, tad sistēma ir nekonsekventa (nav atrisinājumu) .

Kā ierakstīt uzdevuma beigas? Uzzīmēsim ar balto krītu: "elementāru pārveidojumu rezultātā iegūst formas līniju, kur" un atbildēsim: sistēmai nav risinājumu (nekonsekventi).

Ja saskaņā ar nosacījumu ir nepieciešams IZPĒTĪT sistēmas saderību, tad ir nepieciešams izdot risinājumu stingrākā stilā, ietverot koncepciju matricas rangs un Kronekera-Kapella teorēma.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka šeit nav Gausa algoritma apgrieztās kustības - nav risinājumu un vienkārši nav ko atrast.

2. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu

Šis ir “dari pats” piemērs. Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās. Vēlreiz atgādinu, ka jūsu risinājuma ceļš var atšķirties no mana risinājuma ceļa, Gausa algoritmam nav spēcīgas “stingrības”.

Vēl viens tehniskā īpašība risinājumi: elementāras pārvērtības var apturēt Uzreiz, tiklīdz parādās tāda rinda kā , kur . Apsveriet nosacīts piemērs: pieņemsim, ka pēc pirmās transformācijas mēs iegūstam matricu . Matrica vēl nav reducēta līdz pakāpeniskajai formai, bet tālākas elementāras transformācijas nav nepieciešamas, jo ir parādījusies formas rinda, kur . Uzreiz būtu jāatbild, ka sistēma nav savietojama.

Ja lineāro vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu, tā ir gandrīz dāvana, jo tiek iegūts īss risinājums, dažreiz burtiski 2-3 soļos.

Bet viss šajā pasaulē ir līdzsvarots, un problēma, kurā sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, ir tikai garāka.

3. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu

Ir 4 vienādojumi un 4 nezināmie, tāpēc sistēmai var būt vai nu viens risinājums, vai bez atrisinājuma, vai arī bezgalīgi daudz risinājumu. Lai kas tas arī būtu, bet Gausa metode jebkurā gadījumā mūs novedīs pie atbildes. Tajā slēpjas tā daudzpusība.

Sākums atkal ir standarta. Mēs uzrakstām sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, ievietojam to soļu formā:

Tas arī viss, un tev bija bail.

(1) Ņemiet vērā, ka visi skaitļi pirmajā kolonnā dalās ar 2, tāpēc 2 ir piemērots augšējā kreisajā pakāpienā. Otrajai rindai mēs pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar -4. Trešajai rindai mēs pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar -2. Ceturtajai rindai mēs pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar -1.

Uzmanību! Daudzi var tikt kārdināti no ceturtās rindas atņemt pirmā līnija. To var izdarīt, bet tas nav nepieciešams, pieredze rāda, ka kļūdas iespējamība aprēķinos palielinās vairākas reizes. Vienkārši saskaitiet: ceturtajai rindai pievienojiet pirmo rindiņu, reizinot ar -1 - tieši tā!

(2) Pēdējās trīs rindas ir proporcionālas, divas no tām var svītrot.

Te atkal ir jāparāda pastiprināta uzmanība, bet vai līnijas tiešām ir proporcionālas? Pārapdrošināšanai (īpaši tējkannai) nebūs lieki otro rindu reizināt ar -1 un ceturto rindu dalīt ar 2, iegūstot trīs identiskas rindas. Un tikai pēc tam noņemiet divus no tiem.

Elementāru pārveidojumu rezultātā sistēmas paplašinātā matrica tiek samazināta līdz pakāpeniskajai formai:

Pildot uzdevumu piezīmju grāmatiņā, skaidrības labad tās pašas piezīmes vēlams veikt ar zīmuli.

Mēs pārrakstām atbilstošo vienādojumu sistēmu:

Sistēmas “parastais” vienīgais risinājums te neož. Nav arī sliktas līnijas. Tas nozīmē, ka šis ir trešais atlikušais gadījums – sistēmai ir bezgala daudz risinājumu. Dažreiz pēc nosacījuma ir nepieciešams izpētīt sistēmas saderību (t.i., lai pierādītu, ka risinājums vispār pastāv), par to varat lasīt raksta pēdējā rindkopā. Kā atrast matricas rangu? Bet pagaidām sadalīsim pamatus:

Sistēmas bezgalīgā risinājumu kopa ir īsi uzrakstīta ts formā vispārējs sistēmas risinājums .

Sistēmas vispārīgo risinājumu atradīsim, izmantojot Gausa metodes apgriezto kustību.

Vispirms mums ir jānosaka, kādi mainīgie mums ir pamata, un kuri mainīgie bezmaksas. Nevajag mocīties ar lineārās algebras terminiem, pietiek atcerēties, ka tādi ir bāzes mainīgie un bezmaksas mainīgie.

Pamata mainīgie vienmēr "sēž" stingri uz matricas pakāpieniem.
AT šis piemērs pamata mainīgie ir un

Bezmaksas mainīgie ir viss atlikušie mainīgie, kas nesaņēma soli. Mūsu gadījumā tie ir divi: – brīvie mainīgie.

Tagad tev vajag visi bāzes mainīgie izteikt tikai cauri bezmaksas mainīgie.

Gausa algoritma apgrieztā kustība tradicionāli darbojas no apakšas uz augšu.
No sistēmas otrā vienādojuma mēs izsakām pamata mainīgo:

Tagad apskatiet pirmo vienādojumu: . Pirmkārt, mēs tajā aizstājam atrasto izteiksmi:

Atliek izteikt pamata mainīgo brīvo mainīgo izteiksmē:

Rezultāts ir tas, kas jums nepieciešams - visi tiek izteikti bāzes mainīgie ( un ). tikai cauri brīvie mainīgie:

Patiesībā vispārējais risinājums ir gatavs:

Kā pierakstīt vispārējo risinājumu?
Bezmaksas mainīgie tiek ierakstīti vispārējā risinājumā "paši" un stingri savās vietās. Šajā gadījumā brīvie mainīgie jāraksta otrajā un ceturtajā pozīcijā:
.

Iegūtās izteiksmes pamata mainīgajiem un acīmredzot jāraksta pirmajā un trešajā pozīcijā:

Bezmaksas mainīgo lielumu piešķiršana patvaļīgas vērtības, to ir bezgala daudz privātie lēmumi. Populārākās vērtības ir nulles, jo konkrēto risinājumu iegūt ir visvieglāk. Aizstāt vispārējā risinājumā:

ir privāts lēmums.

Vieni ir vēl viens jauks pāris, aizstāsim ar vispārējo risinājumu:

ir vēl viens īpašs risinājums.

Ir viegli redzēt, ka vienādojumu sistēmai ir bezgala daudz risinājumu(jo mēs varam dot brīvus mainīgos jebkura vērtības)

Katrs konkrētam risinājumam ir jāapmierina katram sistēmas vienādojums. Tas ir pamats “ātrai” risinājuma pareizības pārbaudei. Ņemiet, piemēram, konkrētu risinājumu un aizstājiet to katra vienādojuma kreisajā pusē sākotnējā sistēmā:

Visam ir jāsanāk kopā. Un ar jebkuru konkrētu risinājumu, ko jūs saņemat, visam arī vajadzētu saplūst.

Bet, stingri ņemot, konkrēta risinājuma pārbaude dažkārt maldina; kāds konkrēts risinājums var apmierināt katru sistēmas vienādojumu, un pats vispārējais risinājums faktiski tiek atrasts nepareizi.

Tāpēc vispārējā risinājuma pārbaude ir rūpīgāka un uzticamāka. Kā pārbaudīt iegūto vispārīgo risinājumu ?

Tas ir viegli, bet diezgan nogurdinoši. Mums ir jāņem izteiksmes pamata mainīgie, šajā gadījumā un , un aizstājiet tos katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē.

Sistēmas pirmā vienādojuma kreisajā pusē:

Sistēmas otrā vienādojuma kreisajā pusē:

Tiek iegūta sākotnējā vienādojuma labā puse.

4. piemērs

Atrisiniet sistēmu, izmantojot Gausa metodi. Atrodiet vispārīgu risinājumu un divus privātus. Pārbaudiet kopējo risinājumu.

Šis ir “dari pats” piemērs. Šeit, starp citu, atkal vienādojumu skaits ir mazāks par nezināmo skaitu, kas nozīmē, ka uzreiz ir skaidrs, ka sistēma būs vai nu nekonsekventa, vai arī tai būs bezgalīgi daudz atrisinājumu. Kas ir svarīgi pašā lēmumu pieņemšanas procesā? Uzmanību un vēlreiz uzmanību. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Un vēl pāris piemēri materiāla nostiprināšanai

5. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu. Ja sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, atrodiet divus konkrētus risinājumus un pārbaudiet vispārējo risinājumu

Lēmums: Uzrakstīsim sistēmas papildināto matricu un ar elementāru pārveidojumu palīdzību nogādāsim to soļu formā:

(1) Pievienojiet pirmo rindiņu otrajai rindai. Trešajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 2. Ceturtajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 3.
(2) Trešajai rindai pievienojiet otro rindu, kas reizināta ar -5. Ceturtajai rindai mēs pievienojam otro rindu, kas reizināta ar -7.
(3) Trešā un ceturtā rinda ir vienāda, mēs izdzēšam vienu no tām.

Šeit ir šāds skaistums:

Pamata mainīgie atrodas uz pakāpieniem, tāpēc tie ir bāzes mainīgie.
Ir tikai viens brīvs mainīgais, kas nesaņēma soli:

Apgrieztā kustība:
Mēs izsakām galvenos mainīgos kā brīvo mainīgo:
No trešā vienādojuma:

Apsveriet otro vienādojumu un aizstājiet tajā atrasto izteiksmi:

Apsveriet pirmo vienādojumu un aizstājiet atrastās izteiksmes un tajā:

Jā, joprojām ir ērts kalkulators, kas skaita parastās daļskaitļus.

Tātad vispārējais risinājums ir:

Vēlreiz, kā tas notika? Brīvais mainīgais atrodas viens pats savā likumīgajā ceturtajā vietā. Rezultātā iegūtās izteiksmes pamata mainīgajiem , arī ieņēma savas kārtas vietas.

Ļaujiet mums nekavējoties pārbaudīt vispārējo risinājumu. Darbs melnajiem, bet es jau to esmu izdarījis, tāpēc ķer =)

Katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē mēs aizvietojam trīs varoņus , :

Tiek iegūtas atbilstošās vienādojumu labās puses, tāpēc vispārīgais risinājums tiek atrasts pareizi.

Tagad no atrastā vispārīgā risinājuma mēs iegūstam divus konkrētus risinājumus. Šefpavārs šeit ir vienīgais brīvais mainīgais. Nevajag lauzīt galvu.

Lai tad ir privāts lēmums.
Ļaujiet , tad ir vēl viens konkrēts risinājums.

Atbilde: Kopīgs lēmums: , īpaši risinājumi: , .

Par melnajiem man te nevajadzēja atcerēties ... ... jo man ienāca prātā visādi sadistiski motīvi un atcerējos labi zināmo fotožabu, kurā Ku Klux Klansmen baltos kombinezonos skrien pa laukumu pēc melna futbola spēlētājs. Sēžu un klusi smaidu. Jūs zināt, cik tas traucē…

Daudz matemātikas ir kaitīgas, tāpēc līdzīgs gala piemērs neatkarīgam risinājumam.

6. piemērs

Atrast lineāro vienādojumu sistēmas vispārīgo risinājumu.

Es jau pārbaudīju vispārējo risinājumu, atbildei var ticēt. Jūsu risinājums var atšķirties no mana risinājuma, galvenais, lai vispārīgie risinājumi sakrīt.

Iespējams, daudzi risinājumos pamanīja kādu nepatīkamu momentu: ļoti bieži Gausa metodes apgrieztā kursa laikā nācās knibināt ar parastās frakcijas. Praksē tā ir taisnība, gadījumi, kad nav daļskaitļu, ir daudz retāk sastopami. Esiet gatavi garīgi un, pats galvenais, tehniski.

Es pakavēšos pie dažām risinājuma iezīmēm, kas nebija atrodamas atrisinātajos piemēros.

Sistēmas vispārīgais risinājums dažkārt var ietvert konstanti (vai konstantes), piemēram: . Šeit viens no pamata mainīgajiem ir vienāds ar nemainīgu skaitli: . Šajā nav nekā eksotiska, tā notiek. Acīmredzot šajā gadījumā jebkura konkrēta risinājuma pirmajā pozīcijā būs piecinieks.

Reti, bet ir sistēmas, kurās vienādojumu skaits lielāks daudzums mainīgie. Gausa metode darbojas vissmagākajos apstākļos, sistēmas paplašinātā matrica ir mierīgi jāieved pakāpeniskā formā saskaņā ar standarta algoritmu. Šāda sistēma var būt nekonsekventa, tai var būt bezgalīgi daudz risinājumu, un, dīvainā kārtā, tai var būt unikāls risinājums.

Pakalpojuma uzdevums. Tiešsaistes kalkulators ir paredzēts lineāro vienādojumu sistēmas izpētei. Parasti problēmas stāvoklī tas ir jāatrod vispārējs un konkrēts sistēmas risinājums. Pētot lineāro vienādojumu sistēmas, tiek atrisinātas šādas problēmas:

vai sistēma ir sadarbīga;
ja sistēma ir konsekventa, tad tā ir noteikta vai nenoteikta (sistēmas saderības kritēriju nosaka teorēma);
ja sistēma ir definēta, tad kā atrast tās unikālo risinājumu (tiek izmantota Krāmera metode, apgrieztās matricas metode vai Džordana-Gausa metode);
ja sistēma ir nenoteikta, tad kā aprakstīt tās risinājumu kopu.

Lineāro vienādojumu sistēmu klasifikācija

Patvaļīgai lineāro vienādojumu sistēmai ir šāda forma:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

Lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmas (mainīgo skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu, m = n).
Patvaļīgas lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmas (m > n vai m< n).

Definīcija. Sistēmas risinājums ir jebkura skaitļu kopa c 1 ,c 2 ,...,c n , kuras aizstāšana sistēmā atbilstošo nezināmo vietā pārvērš katru sistēmas vienādojumu par identitāti.

Definīcija. Divas sistēmas tiek uzskatītas par līdzvērtīgām, ja pirmās ir risinājums otrajai un otrādi.

Definīcija. Tiek izsaukta sistēma, kurai ir vismaz viens risinājums locītavu. Sistēmu, kurai nav risinājuma, sauc par nekonsekventu.

Definīcija. Tiek saukta sistēma ar unikālu risinājumu noteikti, un vairāk nekā viens risinājums ir nenoteikts.

Algoritms lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai

Atrodiet galveno un paplašināto matricu rindas. Ja tie nav vienādi, tad saskaņā ar Kronecker-Capelli teorēmu sistēma ir nekonsekventa, un ar to arī beidzas pētījums.
Lai rangs(A) = rangs(B) . Mēs izvēlamies pamata minoru. Šajā gadījumā visas nezināmās lineāro vienādojumu sistēmas tiek sadalītas divās klasēs. Nezināmie, kuru koeficienti ir iekļauti pamatmazajā, tiek saukti par atkarīgiem, bet nezināmie, kuru koeficienti nav iekļauti pamata minorā, par brīvajiem. Ņemiet vērā, ka atkarīgo un brīvo nezināmo izvēle ne vienmēr ir unikāla.
Mēs izsvītrojam tos sistēmas vienādojumus, kuru koeficienti netika iekļauti pamata minorā, jo tie ir pārējā sekas (saskaņā ar pamata minora teorēmu).
Vienādojumu nosacījumi, kas satur brīvus nezināmos, tiks pārnesti uz labo pusi. Rezultātā iegūstam r vienādojumu sistēmu ar r nezināmajiem, ekvivalentu dotajam, kuras determinants atšķiras no nulles.
Iegūtā sistēma tiek atrisināta vienā no šiem veidiem: Krāmera metode, apgrieztās matricas metode vai Džordana-Gausa metode. Tiek atrastas attiecības, kas atkarīgos mainīgos izsaka brīvo mainīgo izteiksmē.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu (SLAE) risināšana neapšaubāmi ir vissvarīgākā lineārās algebras kursa tēma. Milzīgs skaits problēmu no visām matemātikas nozarēm tiek reducētas uz lineāro vienādojumu sistēmu risināšanu. Šie faktori izskaidro šī raksta izveides iemeslu. Raksta materiāls ir atlasīts un strukturēts tā, lai ar tā palīdzību jūs varētu

izvēlēties optimālo metodi lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas atrisināšanai,
studēt izvēlētās metodes teoriju,
Atrisiniet savu lineāro vienādojumu sistēmu, detalizēti apsverot tipisku piemēru un problēmu risinājumus.

Īss raksta materiāla apraksts.

Vispirms atdosim visu nepieciešamās definīcijas, jēdzieni un ievada apzīmējums.

Tālāk tiek aplūkotas metodes lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un kurām ir unikāls risinājums. Pirmkārt, pievērsīsimies Kramera metodei, otrkārt, parādīsim matricas metodi šādu vienādojumu sistēmu risināšanai un, treškārt, analizēsim Gausa metodi (nezināmu mainīgo secīgas likvidēšanas metodi). Lai nostiprinātu teoriju, mēs noteikti dažādos veidos atrisināsim vairākus SLAE.

Pēc tam mēs pievēršamies lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai vispārējs skats, kurā vienādojumu skaits nesakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu vai sistēmas galvenā matrica ir deģenerēta. Mēs formulējam Kronecker-Capelli teorēmu, kas ļauj noteikt SLAE saderību. Analizēsim sistēmu risinājumu (to saderības gadījumā), izmantojot matricas bāzes minora jēdzienu. Apskatīsim arī Gausa metodi un detalizēti aprakstīsim piemēru risinājumus.

Noteikti pakavējieties pie lineāro algebrisko vienādojumu viendabīgu un nehomogēnu sistēmu vispārīgā risinājuma struktūras. Sniegsim fundamentālas risinājumu sistēmas jēdzienu un parādīsim, kā tiek uzrakstīts SLAE vispārējais risinājums, izmantojot fundamentālās risinājumu sistēmas vektorus. Lai labāk izprastu, apskatīsim dažus piemērus.

Noslēgumā mēs aplūkojam vienādojumu sistēmas, kas tiek reducētas uz lineāriem, kā arī dažādas problēmas, kuru risināšanā rodas SLAE.

Lapas navigācija.

Definīcijas, jēdzieni, apzīmējumi.

Apskatīsim p lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas ar n nezināmiem mainīgajiem (p var būt vienāds ar n ) formā

Nezināmi mainīgie, - koeficienti (daži reāli vai kompleksie skaitļi), - brīvie dalībnieki (arī reālie vai kompleksie skaitļi).

Šo SLAE formu sauc koordinēt.

AT matricas formašai vienādojumu sistēmai ir forma,
kur - sistēmas galvenā matrica, - nezināmo mainīgo matrica-kolonna, - brīvo dalībnieku matrica-kolonna.

Ja matricai A kā (n + 1)-to kolonnu pievienojam brīvo terminu matricas kolonnu, tad iegūstam t.s. paplašināta matrica lineāro vienādojumu sistēmas. Parasti paplašināto matricu apzīmē ar burtu T, un brīvo elementu kolonna ir atdalīta ar vertikālu līniju no pārējām kolonnām, tas ir,

Atrisinot lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu To sauc par nezināmu mainīgo vērtību kopu, kas visus sistēmas vienādojumus pārvērš identitātēs. Matricas vienādojums norādītajām nezināmo mainīgo vērtībām arī pārvēršas par identitāti.

Ja vienādojumu sistēmai ir vismaz viens risinājums, tad to sauc locītavu.

Ja vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu, tad to sauc nesaderīgi.

Ja SLAE ir unikāls risinājums, tad to sauc noteikti; ja ir vairāki risinājumi, tad - nenoteikts.

Ja visu sistēmas vienādojumu brīvie termini ir vienādi ar nulli , tad sistēma tiek izsaukta viendabīgs, citādi - neviendabīgs.

Lineāro algebrisko vienādojumu elementāru sistēmu risinājums.

Ja sistēmas vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un tā galvenās matricas determinants nav vienāds ar nulli, tad mēs sauksim šādus SLAE elementāri. Šādām vienādojumu sistēmām ir unikāls risinājums, un homogēnas sistēmas gadījumā visi nezināmie mainīgie ir vienādi ar nulli.

Mēs sākām pētīt šādus SLAE vidusskola. Atrisinot tos, mēs paņēmām vienu vienādojumu, izteicām vienu nezināmu mainīgo ar citiem un aizstājām to atlikušajos vienādojumos, pēc tam paņēmām nākamo vienādojumu, izteicām nākamo nezināmo mainīgo un aizstājām to citos vienādojumos utt. Vai arī viņi izmantoja pievienošanas metodi, tas ir, viņi pievienoja divus vai vairākus vienādojumus, lai novērstu dažus nezināmus mainīgos. Mēs par šīm metodēm sīkāk nepakavēsimies, jo tās būtībā ir Gausa metodes modifikācijas.

Galvenās lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas metodes ir Krāmera metode, matricas metode un Gausa metode. Sakārtosim tos.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana pēc Krāmera metodes.

Ļaujiet mums atrisināt lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu

kurā vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un sistēmas galvenās matricas determinants atšķiras no nulles, tas ir, .

Ļaut būt sistēmas galvenās matricas determinants, un ir determinanti matricām, kuras iegūst no A, aizstājot 1., 2., …, nth kolonnu attiecīgi uz brīvo dalībnieku kolonnu:

Ar šādu apzīmējumu nezināmie mainīgie tiek aprēķināti pēc Krāmera metodes formulām kā . Šādi tiek atrasts lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risinājums ar Krāmera metodi.

Piemērs.

Krāmera metode .

Lēmums.

Sistēmas galvenajai matricai ir forma . Aprēķiniet tā noteicošo faktoru (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Tā kā sistēmas galvenās matricas determinants nav nulle, sistēmai ir unikāls risinājums, ko var atrast ar Krāmera metodi.

Sastādiet un aprēķiniet nepieciešamos noteicošos faktorus (determinantu iegūst, matricas A pirmo kolonnu aizstājot ar brīvo locekļu kolonnu, determinantu - otro kolonnu aizstājot ar brīvo locekļu kolonnu, - matricas A trešo kolonnu aizstājot ar brīvo locekļu kolonnu ):

Nezināmu mainīgo atrašana, izmantojot formulas :

Atbilde:

Galvenais Krāmera metodes trūkums (ja to var saukt par trūkumu) ir determinantu aprēķināšanas sarežģītība, ja sistēmas vienādojumu skaits ir lielāks par trim.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana ar matricas metodi (izmantojot apgriezto matricu).

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma tiks dota matricas formā, kur matricas A izmērs ir n x n un tās determinants nav nulle.

Tā kā , Tad matrica A ir invertējama, tas ir, pastāv apgrieztā matrica . Ja abas vienādības daļas reizinām ar pa kreisi, tad iegūstam formulu nezināmo mainīgo kolonnas matricas atrašanai. Tātad mēs ieguvām lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas atrisinājumu ar matricas metodi.

Piemērs.

Lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšana matricas metode.

Lēmums.

Pārrakstīsim vienādojumu sistēmu matricas formā:

Kā

tad SLAE var atrisināt ar matricas metodi. Izmantojot apgriezto matricu, šīs sistēmas risinājumu var atrast kā .

Izveidosim apgriezto matricu, izmantojot matricas A elementu algebrisko komplementu matricu (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Atliek aprēķināt - nezināmo mainīgo matricu, reizinot apgriezto matricu bezmaksas dalībnieku matricas kolonnā (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Atbilde:

vai citā apzīmējumā x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Galvenā problēma, meklējot risinājumus lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām ar matricas metodi, ir apgrieztās matricas atrašanas sarežģītība, īpaši kvadrātmatricām, kuru secība ir augstāka par trešo.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ar Gausa metodi.

Pieņemsim, ka jāatrod risinājums n lineāru vienādojumu sistēmai ar n nezināmiem mainīgajiem
kuras galvenās matricas determinants atšķiras no nulles.

Gausa metodes būtība sastāv no nezināmu mainīgo secīgas izslēgšanas: pirmkārt, x 1 tiek izslēgts no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot no otrā, pēc tam x 2 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no trešā, un tā tālāk, līdz tikai nezināmais mainīgais x n paliek pēdējā vienādojumā. Šādu sistēmas vienādojumu pārveidošanas procesu nezināmu mainīgo secīgai likvidēšanai sauc tiešā Gausa metode. Pēc Gausa metodes uz priekšu izpildes pabeigšanas x n tiek atrasts no pēdējā vienādojuma, x n-1 tiek aprēķināts no priekšpēdējā vienādojuma, izmantojot šo vērtību, un tā tālāk, x 1 tiek atrasts no pirmā vienādojuma. Nezināmu mainīgo aprēķina procesu, pārejot no pēdējā sistēmas vienādojuma uz pirmo, sauc apgrieztā Gausa metode.

Īsi aprakstīsim nezināmo mainīgo likvidēšanas algoritmu.

Mēs pieņemsim, ka , jo mēs vienmēr varam to panākt, pārkārtojot sistēmas vienādojumus. Nezināmo mainīgo x 1 izslēdzam no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot no otrā. Lai to izdarītu, pievienojiet sistēmas otrajam vienādojumam pirmo vienādojumu, kas reizināts ar, pievienojiet pirmo, reizinātu ar, trešajam vienādojumam un tā tālāk, pievienojiet pirmo, reizinātu ar, n-tajam vienādojumam. Pēc šādām transformācijām vienādojumu sistēma iegūs formu

kur .

Mēs nonāktu pie tāda paša rezultāta, ja sistēmas pirmajā vienādojumā izteiktu x 1 ar citiem nezināmiem mainīgajiem un aizstātu iegūto izteiksmi visos citos vienādojumos. Tādējādi mainīgais x 1 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no otrā.

Tālāk mēs rīkojamies līdzīgi, bet tikai ar daļu no iegūtās sistēmas, kas ir atzīmēta attēlā

Lai to izdarītu, pievienojiet sistēmas trešajam vienādojumam otro vienādojumu, kas reizināts ar, pievienojiet otro, reizinātu ar, ceturtajam vienādojumam un tā tālāk, pievienojiet otro, reizinātu ar, n-tajam vienādojumam. Pēc šādām transformācijām vienādojumu sistēma iegūs formu

kur . Tādējādi mainīgais x 2 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no trešā.

Tālāk mēs pārejam pie nezināmā x 3 likvidēšanas, vienlaikus rīkojoties līdzīgi ar attēlā atzīmēto sistēmas daļu

Tātad mēs turpinām tiešo Gausa metodes gaitu, līdz sistēma iegūst formu

No šī brīža mēs sākam Gausa metodes apgriezto gaitu: mēs aprēķinām x n no pēdējā vienādojuma kā , izmantojot iegūto x n vērtību, mēs atrodam x n-1 no priekšpēdējā vienādojuma un tā tālāk, mēs atrodam x 1 no pirmais vienādojums.

Piemērs.

Lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšana Gausa metode.

Lēmums.

Izslēgsim nezināmo mainīgo x 1 no sistēmas otrā un trešā vienādojuma. Lai to izdarītu, abām otrā un trešā vienādojuma daļām mēs pievienojam atbilstošās pirmā vienādojuma daļas, kas attiecīgi reizinātas ar un ar:

Tagad mēs izslēdzam x 2 no trešā vienādojuma, tā kreisajai un labajai daļai pievienojot otrā vienādojuma kreiso un labo daļu, reizinot ar:

Ar to tiek pabeigts Gausa metodes virziens uz priekšu, mēs sākam apgriezto kursu.

No iegūtās vienādojumu sistēmas pēdējā vienādojuma mēs atrodam x 3:

No otrā vienādojuma iegūstam .

No pirmā vienādojuma mēs atrodam atlikušo nezināmo mainīgo, un tas pabeidz Gausa metodes apgriezto gaitu.

Atbilde:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Vispārīgas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana.

Vispārīgā gadījumā sistēmas p vienādojumu skaits nesakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu n:

Šādiem SLAE var nebūt risinājumu, tiem var būt viens risinājums vai arī bezgalīgi daudz risinājumu. Šis apgalvojums attiecas arī uz vienādojumu sistēmām, kuru galvenā matrica ir kvadrātveida un deģenerēta.

Kronekera-Kapella teorēma.

Pirms lineāro vienādojumu sistēmas risinājuma atrašanas ir jānosaka tās savietojamība. Atbilde uz jautājumu, kad SLAE ir saderīga un kad nav saderīga, sniedz Kronekera-Kapella teorēma:
lai p vienādojumu sistēma ar n nezināmajiem (p var būt vienāds ar n ) būtu konsekventa, ir nepieciešams un pietiekami, lai sistēmas galvenās matricas rangs būtu vienāds ar paplašinātās matricas rangu, tas ir, Rank( A)=Ranks(T) .

Kā piemēru aplūkosim Kronekera-Kapelli teorēmas pielietojumu lineāro vienādojumu sistēmas saderības noteikšanai.

Piemērs.

Uzziniet, vai lineāro vienādojumu sistēmai ir risinājumus.

Lēmums.

. Izmantosim nepilngadīgo robežu metodi. Otrās kārtas nepilngadīgais atšķiras no nulles. Apskatīsim trešās kārtas nepilngadīgos, kas to ieskauj:

Tā kā visi blakus esošie trešās kārtas nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, galvenās matricas rangs ir divi.

Savukārt paplašinātās matricas rangs ir vienāds ar trīs, jo trešās kārtas nepilngadīgais

atšķiras no nulles.

Tādējādi Diapazons(A) , tāpēc saskaņā ar Kronekera-Kapella teorēmu varam secināt, ka sākotnējā lineāro vienādojumu sistēma ir nekonsekventa.

Atbilde:

Risinājumu sistēmas nav.

Tātad, mēs esam iemācījušies noteikt sistēmas nekonsekvenci, izmantojot Kronecker-Capelli teorēmu.

Bet kā atrast SLAE risinājumu, ja ir noskaidrota tā savietojamība?

Lai to izdarītu, mums ir nepieciešams matricas pamata minora jēdziens un teorēma par matricas rangu.

Tiek izsaukta matricas A augstākās kārtas minora, kas nav nulle pamata.

No pamata minora definīcijas izriet, ka tā secība ir vienāda ar matricas rangu. Matricai A, kas nav nulle, var būt vairākas pamata minoras; vienmēr ir viena pamata minora.

Piemēram, apsveriet matricu .

Visas šīs matricas trešās kārtas minorās ir vienādas ar nulli, jo šīs matricas trešās rindas elementi ir pirmās un otrās rindas atbilstošo elementu summa.

Tālāk norādītie otrās kārtas nepilngadīgie ir pamata, jo tie nav nulle

Nepilngadīgie nav pamata, jo tie ir vienādi ar nulli.

Matricas rangu teorēma.

Ja matricas pakāpes p pēc n rangs ir r, tad visi matricas rindu (un kolonnu) elementi, kas neveido izvēlēto bāzes minoru, tiek lineāri izteikti atbilstoši rindu (un kolonnu) elementiem. ), kas veido pamatu minora.

Ko mums sniedz matricas ranga teorēma?

Ja ar Kronecker-Capelli teorēmu esam konstatējuši sistēmas savietojamību, tad izvēlamies jebkuru sistēmas galvenās matricas pamata minoru (tā secība ir vienāda ar r) un izslēdzam no sistēmas visus vienādojumus, kas ne. veido izvēlēto pamatmomentu. Šādā veidā iegūtais SLAE būs līdzvērtīgs sākotnējam, jo izmestie vienādojumi joprojām ir lieki (saskaņā ar matricas rangu teorēmu tie ir atlikušo vienādojumu lineāra kombinācija).

Rezultātā pēc pārmērīgo sistēmas vienādojumu atmešanas ir iespējami divi gadījumi.

Ja vienādojumu skaits r iegūtajā sistēmā ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu, tad tas būs noteikts un vienīgo risinājumu var atrast ar Krāmera metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Piemērs.

Lēmums.

Sistēmas galvenās matricas rangs ir vienāds ar divi, jo otrās kārtas minors atšķiras no nulles. Paplašināts matricas rangs arī ir vienāds ar divi, jo vienīgais trešās kārtas minors ir vienāds ar nulli

un iepriekš aplūkotais otrās kārtas minors atšķiras no nulles. Pamatojoties uz Kronecker-Capelli teorēmu, var apgalvot sākotnējās lineāro vienādojumu sistēmas savietojamību, jo Rank(A)=Ranks(T)=2 .

Par pamatu ņemam nepilngadīgo . To veido pirmā un otrā vienādojuma koeficienti:

Sistēmas trešais vienādojums nepiedalās pamata minora veidošanā, tāpēc mēs to izslēdzam no sistēmas, pamatojoties uz matricas ranga teorēmu:

Tātad mēs saņēmām elementāra sistēma lineārie algebriskie vienādojumi. Atrisināsim to ar Krāmera metodi:

Atbilde:

x 1 \u003d 1, x 2 = 2.

Ja vienādojumu skaits r iegūtajā SLAE ir mazāks par nezināmo mainīgo skaitu n, tad vienādojumu kreisajās daļās atstājam pamata minoru veidojošos terminus, bet atlikušos vārdus pārnesam uz vienādojumu labajām daļām. sistēma ar pretēju zīmi.

Nezināmos mainīgos (to ir r), kas paliek vienādojumu kreisajā pusē, sauc galvenais.

Tiek izsaukti nezināmie mainīgie (to ir n - r), kas nonāca labajā pusē bezmaksas.

Tagad mēs pieņemam, ka brīvie nezināmie mainīgie var iegūt patvaļīgas vērtības, savukārt r galvenie nezināmie mainīgie tiks izteikti kā brīvie nezināmie mainīgie unikālā veidā. To izteiksmi var atrast, atrisinot iegūto SLAE ar Cramer metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Ņemsim piemēru.

Piemērs.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas atrisināšana .

Lēmums.

Atrodiet sistēmas galvenās matricas rangu izmantojot robežšķērsojošo nepilngadīgo metodi. Ņemsim 1 1 = 1 kā pirmās kārtas minoru, kas nav nulle. Sāksim meklēt otrās kārtas nepilngadīgo, kas nav nulle, kas aptver šo nepilngadīgo:

Tātad atradām otrās kārtas nepilngadīgo, kas nav nulle. Sāksim meklēt trešās kārtas minoru, kas nav nulle robeža:

Tādējādi galvenās matricas rangs ir trīs. Papildinātās matricas rangs ir arī vienāds ar trīs, tas ir, sistēma ir konsekventa.

Atrastais trešās kārtas nepilngadīgais, kas nav nulles, tiks ņemts par pamatu.

Skaidrības labad mēs parādām elementus, kas veido pamatu minora:

Terminus, kas piedalās pamata minorā, atstājam sistēmas vienādojumu kreisajā pusē, bet pārējos ar pretējām zīmēm pārnesam uz labajām pusēm:

Mēs dodam brīvus nezināmos mainīgos x 2 un x 5 patvaļīgas vērtības, tas ir, mēs ņemam , kur ir patvaļīgi skaitļi. Šajā gadījumā SLAE iegūst formu

Iegūto lineāro algebrisko vienādojumu elementāro sistēmu risinām ar Krāmera metodi:

Līdz ar to,.

Atbildē neaizmirstiet norādīt brīvos nezināmos mainīgos.

Atbilde:

Kur ir patvaļīgi skaitļi.

Apkopojiet.

Lai atrisinātu vispārīgas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu, vispirms noskaidrojam tās saderību, izmantojot Kronecker-Capelli teorēmu. Ja galvenās matricas rangs nav vienāds ar paplašinātās matricas rangu, mēs secinām, ka sistēma ir nekonsekventa.

Ja galvenās matricas rangs ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu, tad mēs izvēlamies pamata minoru un atmetam sistēmas vienādojumus, kas nepiedalās izvēlētā pamata minora veidošanā.

Ja bāzes minora secība ir vienāda ar nezināmo mainīgo skaitu, tad SLAE ir unikāls risinājums, kuru var atrast ar jebkuru mums zināmu metodi.

Ja pamata minora secība ir mazāka par nezināmo mainīgo skaitu, tad sistēmas vienādojumu kreisajā pusē atstājam terminus ar galvenajiem nezināmajiem mainīgajiem, atlikušos vārdus pārnesam uz labajām pusēm un piešķiram patvaļīgas vērtības uz brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem. No iegūtās lineāro vienādojumu sistēmas mēs atrodam galvenos nezināmos mainīgos ar Krāmera metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Gausa metode vispārīgas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai.

Izmantojot Gausa metodi, var atrisināt jebkura veida lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas bez iepriekšējas to savietojamības izpētes. Nezināmo mainīgo secīgas likvidēšanas process ļauj izdarīt secinājumu gan par SLAE saderību, gan nekonsekvenci, gan risinājuma esamības gadījumā ļauj to atrast.

No skaitļošanas darba viedokļa priekšroka dodama Gausa metodei.

Skaties Detalizēts apraksts un analizēti piemēri rakstā Gausa metode vispārīgas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai.

Homogēnu un nehomogēnu lineāro algebrisko sistēmu vispārīgā atrisinājuma ierakstīšana, izmantojot fundamentālās risinājumu sistēmas vektorus.

Šajā sadaļā mēs koncentrēsimies uz kopīgām viendabīgām un nehomogēnām lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām, kurām ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Vispirms pievērsīsimies viendabīgām sistēmām.

Fundamentāla lēmumu pieņemšanas sistēma P lineāru algebrisko vienādojumu homogēnas sistēmas ar n nezināmiem mainīgajiem ir šīs sistēmas (n – r) lineāri neatkarīgu risinājumu kopa, kur r ir sistēmas galvenās matricas pamatmomenta secība.

Ja viendabīga SLAE lineāri neatkarīgus risinājumus apzīmējam kā X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ir matricu kolonnas ar izmēru n ar 1 ) , tad šīs viendabīgās sistēmas vispārējais risinājums tiek attēlots kā pamata risinājumu sistēmas vektoru lineāra kombinācija ar patvaļīgiem konstantiem koeficientiem С 1 , С 2 , …, С (n-r), tas ir, .

Ko nozīmē termins homogēnas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas vispārējs risinājums (oroslau)?

Nozīme ir vienkārša: formula nosaka visu iespējamie risinājumi sākotnējais SLAE, citiem vārdiem sakot, ņemot jebkuru patvaļīgu konstantu vērtību kopu С 1 , С 2 , …, С (n-r) , saskaņā ar formulu mēs iegūstam vienu no sākotnējā homogēnā SLAE risinājumiem.

Tādējādi, ja mēs atrodam fundamentālu risinājumu sistēmu, tad visus šīs viendabīgās SLAE risinājumus varam iestatīt kā .

Parādīsim viendabīga SLAE fundamentālas risinājumu sistēmas konstruēšanas procesu.

Mēs izvēlamies sākotnējās lineāro vienādojumu sistēmas pamata minoru, izslēdzam no sistēmas visus pārējos vienādojumus un pārnesam uz sistēmas vienādojumu labo pusi ar pretējām zīmēm visus terminus, kas satur brīvus nezināmos mainīgos. Dosim brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem vērtības 1,0,0,…,0 un aprēķināsim galvenos nezināmos, atrisinot iegūto elementāro lineāro vienādojumu sistēmu jebkādā veidā, piemēram, ar Cramer metodi. Tādējādi tiks iegūts X (1) - pirmais fundamentālās sistēmas risinājums. Ja brīvajiem nezināmajiem piešķiram vērtības 0,1,0,0,…,0 un aprēķinām galvenos nezināmos, tad iegūstam X (2) . utt. Ja brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem piešķiram vērtības 0,0,…,0,1 un aprēķinām galvenos nezināmos, tad iegūstam X (n-r) . Tādā veidā tiks konstruēta viendabīgā SLAE atrisinājumu fundamentālā sistēma un tās vispārīgais risinājums tiks ierakstīts formā .

Nehomogēnām lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām vispārīgais risinājums tiek attēlots kā

Apskatīsim piemērus.

Piemērs.

Atrodiet viendabīgas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risinājumu pamatsistēmu un vispārīgo risinājumu .

Lēmums.

Viendabīgu lineāro vienādojumu sistēmu galvenās matricas rangs vienmēr ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu. Ļaujiet mums atrast galvenās matricas rangu ar nepilngadīgo fringing metodi. Kā pirmās kārtas minoru, kas nav nulle, mēs ņemam sistēmas galvenās matricas elementu a 1 1 = 9. Atrodiet otrās kārtas malējo robežu, kas nav nulle:

Tiek atrasts otrās kārtas minors, kas atšķiras no nulles. Izejam cauri trešās kārtas nepilngadīgajiem, kas robežojas ar to, meklējot vienu, kas nav nulle:

Visi trešās kārtas blakus esošie nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tāpēc galvenās un paplašinātās matricas rangs ir divi. Ņemsim pamata minoru. Skaidrības labad mēs atzīmējam sistēmas elementus, kas to veido:

Sākotnējā SLAE trešais vienādojums nepiedalās pamata minora veidošanā, tāpēc to var izslēgt:

Vienādojumu labajā pusē atstājam terminus, kas satur galvenos nezināmos, un labās puses pārnesam terminus ar brīvajiem nezināmajiem:

Izveidosim fundamentālu risinājumu sistēmu sākotnējai viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai. Šī SLAE pamata risinājumu sistēma sastāv no diviem risinājumiem, jo sākotnējā SLAE ir četri nezināmi mainīgie, un tā pamata minora secība ir divi. Lai atrastu X (1), mēs piešķiram brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem vērtības x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, pēc tam atrodam galvenos nezināmos no vienādojumu sistēmas
.