Algebrisko daļu samazināšana: noteikums, piemēri. Kā atrisināt algebriskās daļas? Teorija un prakse

Daļskaitļi un to samazināšana ir vēl viena tēma, kas sākas 5. klasē. Šeit veidojas šīs darbības pamats, un tad šīs prasmes tiek ievilktas augstākajā matemātikā. Ja skolēns nav iemācījies, tad viņam var rasties problēmas algebrā. Tāpēc ir labāk vienreiz un uz visiem laikiem saprast dažus noteikumus. Un atcerieties vienu aizliegumu un nekad nepārkāpjiet to.

Frakcija un tās samazināšana

Kas tas ir, katrs students zina. Jebkuri divi cipari, kas atrodas starp horizontālo joslu, nekavējoties tiek uztverti kā daļskaitlis. Tomēr ne visi saprot, ka par to var kļūt jebkurš skaitlis. Ja tas ir vesels skaitlis, tad to vienmēr var dalīt ar vienu, tad tiek iegūta nepareiza daļa. Bet vairāk par to vēlāk.

Sākums vienmēr ir vienkāršs. Vispirms jums ir jāizdomā, kā samazināt pareizo daļu. Tas ir, tāds, kura skaitītājs ir mazāks par saucēju. Lai to izdarītu, jums jāatceras frakcijas galvenā īpašība. Tajā teikts, ka, reizinot (kā arī dalot) gan tā skaitītāju, gan saucēju ar vienu un to pašu skaitli, izrādās, ka sākotnējā daļa ir līdzvērtīga.

Sadalīšanas darbības, kas tiek veiktas ar šo īpašumu, rada samazinājumu. Tas ir, tā maksimālā vienkāršošana. Daļu var samazināt, ja vien virs un zem līnijas ir kopīgi faktori. Kad tie vairs nepastāv, samazināšana nav iespējama. Un viņi saka, ka šī daļa ir nesamazināma.

divos veidos

1.Soli pa solim samazināšana. Tajā tiek izmantota minēšanas metode, kad abi skaitļi tiek dalīti ar minimālo kopējo koeficientu, ko skolēns pamanīja. Ja pēc pirmās samazināšanas ir skaidrs, ka tās nav beigas, tad sadalīšana turpinās. Līdz frakcija kļūst nesamazināma.

2. Skaitītāja un saucēja lielākā kopīgā dalītāja atrašana. Tas ir racionālākais veids, kā samazināt frakcijas. Tas ietver skaitītāja un saucēja iekļaušanu galvenajos faktoros. Starp tiem jums ir jāizvēlas viens un tas pats. Viņu produkts dos lielāko kopējo koeficientu, par kuru frakcija tiek samazināta.

Abas šīs metodes ir līdzvērtīgas. Skolēns tiek aicināts tos apgūt un izmantot to, kas viņam patika vislabāk.

Ko darīt, ja ir burti un saskaitīšanas un atņemšanas darbības?

Ar jautājuma pirmo daļu viss ir vairāk vai mazāk skaidrs. Burtus var saīsināt tāpat kā ciparus. Galvenais, lai tie darbotos kā reizinātāji. Bet ar otro daudziem ir problēmas.

Svarīgi atcerēties! Jūs varat samazināt tikai tos skaitļus, kas ir faktori. Ja tie ir termini, tas nav iespējams.

Lai saprastu, kā samazināt daļskaitļus, kas izskatās pēc algebriskas izteiksmes, jums ir jāapgūst noteikums. Pirmkārt, izsakiet skaitītāju un saucēju kā reizinājumu. Tad jūs varat samazināt, ja ir kopīgi faktori. Lai attēlotu kā reizinātājus, ir noderīgi šādi triki:

grupēšana;
iekavēšana;
saīsināto reizināšanas identitāšu pielietošana.

Turklāt pēdējā metode ļauj nekavējoties iegūt terminus faktoru veidā. Tāpēc tas vienmēr ir jāizmanto, ja ir redzams zināms raksts.

Bet tas vēl nav biedējoši, tad parādās uzdevumi ar grādiem un saknēm. Tieši tad jums ir jāapkopo drosme un jāapgūst pāris jauni noteikumi.

Spēka izpausme

Frakcija. Produkts skaitītājā un saucējā. Ir burti un cipari. Un arī tie tiek pacelti līdz spēkam, kas arī sastāv no terminiem vai faktoriem. Ir no kā baidīties.

Lai izdomātu, kā samazināt daļskaitļus ar pakāpēm, jums jāapgūst divi punkti:

ja eksponentā ir summa, tad to var sadalīt faktoros, kuru pakāpes būs sākotnējie termini;
ja starpība, tad dividendē un dalītājā pirmais pakāpē tiks samazināts, otrais - atņemts.

Pēc šo darbību veikšanas kļūst redzami parastie reizinātāji. Šādos piemēros nav jāaprēķina visas jaudas. Pietiek vienkārši samazināt grādus ar tiem pašiem rādītājiem un bāzēm.

Lai beidzot apgūtu daļskaitļu samazināšanu ar pakāpēm, ir nepieciešama liela prakse. Pēc vairākiem tāda paša veida piemēriem darbības tiks veiktas automātiski.

Ko darīt, ja izteiksmē ir sakne?

To var arī saīsināt. Atkal, vienkārši ievērojiet noteikumus. Turklāt visi iepriekš aprakstītie ir patiesi. Kopumā, ja jautājums ir par to, kā samazināt daļu ar saknēm, tad jums ir jāsadala.

To var iedalīt arī iracionālos izteicienos. Tas ir, ja skaitītājā un saucējā zem saknes zīmes ir ietverti vienādi faktori, tad tos var droši samazināt. Tas vienkāršos izteiksmi un pabeigs darbu.

Ja pēc samazināšanas zem frakcijas līnijas paliek iracionalitāte, tad no tā jāatbrīvojas. Citiem vārdiem sakot, reiziniet ar to skaitītāju un saucēju. Ja pēc šīs operācijas parādījās kopīgi faktori, tad tie būs atkal jāsamazina.

Tas, iespējams, ir par to, kā samazināt frakcijas. Maz noteikumu, bet viens aizliegums. Nekad nesamaziniet termiņus!

Šajā rakstā mēs koncentrēsimies uz algebrisko daļu samazināšana. Vispirms izdomāsim, ko nozīmē termins "algebriskās daļas samazināšana", un noskaidrosim, vai algebriskā daļa vienmēr ir reducējama. Tālāk mēs sniedzam noteikumu, kas ļauj mums veikt šo transformāciju. Visbeidzot, apsveriet tipisku piemēru risinājumus, kas ļaus izprast visus procesa smalkumus.

Lapas navigācija.

Ko nozīmē algebriskās daļas samazināšana?

Studējot, mēs runājām par to samazināšanu. mēs saucām tā skaitītāja un saucēja dalījumu ar kopējo koeficientu. Piemēram, parasto daļskaitli 30/54 var samazināt par 6 (tas ir, dalīt ar 6 tā skaitītāju un saucēju), kas novedīs pie daļdaļas 5/9.

Algebriskās daļas samazināšanu saprot kā līdzīgu darbību. Samaziniet algebrisko daļu ir dalīt tā skaitītāju un saucēju ar kopīgu koeficientu. Bet, ja parastas daļas skaitītāja un saucēja kopējais faktors var būt tikai skaitlis, tad algebriskās daļas skaitītāja un saucēja kopējais faktors var būt polinoms, jo īpaši monoms vai skaitlis.

Piemēram, algebrisko daļu var samazināt ar skaitli 3, kas dod daļu . Ir iespējams arī samazināt mainīgo x , kā rezultātā tiks iegūta izteiksme . Sākotnējo algebrisko daļu var samazināt ar monomu 3 x, kā arī ar jebkuru no polinomiem x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y vai 3 x 2 +6 x y .

Algebriskās daļas samazināšanas galvenais mērķis ir iegūt vienkāršākas formas daļu, labākajā gadījumā nereducējamu daļu.

Vai kāda algebriskā daļa ir pakļauta samazināšanai?

Mēs zinām, ka parastās daļskaitļus iedala . Nereducējamām daļām nav kopīgu faktoru, izņemot vienotību skaitītājā un saucējā, tāpēc tās nevar samazināt.

Algebriskajām daļām var būt vai var nebūt kopīgu skaitītāja un saucēja faktoru. Kopīgu faktoru klātbūtnē ir iespējams samazināt algebrisko daļu. Ja nav kopīgu faktoru, algebriskās daļas vienkāršošana ar tās samazināšanas palīdzību nav iespējama.

Vispārīgā gadījumā, parādoties algebriskajai daļai, ir diezgan grūti noteikt, vai ir iespējams veikt tās samazināšanu. Neapšaubāmi, dažos gadījumos skaitītāja un saucēja kopējie faktori ir acīmredzami. Piemēram, ir skaidri redzams, ka algebriskās daļas skaitītājam un saucējam ir kopīgs koeficients 3. Ir arī viegli redzēt, ka algebrisko daļu var samazināt par x, par y vai uzreiz par x·y. Bet daudz biežāk algebriskās daļas skaitītāja un saucēja kopējais faktors nav uzreiz redzams, un vēl biežāk tas vienkārši nepastāv. Piemēram, daļu var samazināt par x−1, taču šī kopīgā faktora apzīmējumā noteikti nav. Un algebriskā daļa nevar samazināt, jo tā skaitītājam un saucējam nav kopīgu faktoru.

Kopumā jautājums par algebriskās daļas saraujamību ir ļoti grūts. Un dažreiz problēmu ir vieglāk atrisināt, strādājot ar algebrisko daļskaitli tās sākotnējā formā, nekā noskaidrot, vai šo daļu var provizoriski samazināt. Bet tomēr ir transformācijas, kas atsevišķos gadījumos ļauj ar salīdzinoši nelielu piepūli atrast skaitītāja un saucēja kopējos faktorus, ja tādi ir, vai arī secināt, ka sākotnējā algebriskā daļa ir nereducējama. Šī informācija tiks atklāta nākamajā rindkopā.

Algebriskās daļas samazināšanas noteikums

Iepriekšējo rindkopu informācija ļauj dabiski uztvert sekojošo algebriskās daļas samazināšanas noteikums, kas sastāv no diviem posmiem:

vispirms tiek atrasti sākotnējās daļas skaitītāja un saucēja kopējie faktori;
ja tādi ir, tad tiek veikta samazināšana ar šiem faktoriem.

Šie paziņotā noteikuma soļi ir jāprecizē.

Visērtākais veids, kā atrast kopīgus, ir faktorizēt polinomus, kas atrodas sākotnējās algebriskās daļas skaitītājā un saucējā. Šajā gadījumā uzreiz kļūst redzami skaitītāja un saucēja kopējie faktori vai arī kļūst skaidrs, ka kopīgu faktoru nav.

Ja nav kopīgu faktoru, tad varam secināt, ka algebriskā daļa ir nereducējama. Ja tiek atrasti kopīgie faktori, tad otrajā solī tie tiek samazināti. Rezultāts ir jauna vienkāršākas formas daļa.

Algebrisko daļu samazināšanas noteikums ir balstīts uz algebriskās daļas galveno īpašību, ko izsaka ar vienādību , kur a , b un c ir daži polinomi, bet b un c ir nulle. Pirmajā solī sākotnējā algebriskā daļa tiek reducēta līdz formai , no kuras kļūst redzams kopējais faktors c, bet otrajā solī tiek veikta samazināšana - pāreja uz daļu .

Pāriesim pie piemēru risināšanas, izmantojot šo noteikumu. Uz tiem mēs analizēsim visas iespējamās nianses, kas rodas, sadalot algebriskās daļas skaitītāju un saucēju faktoros un pēc tam samazinot.

Tipiski piemēri

Vispirms jums jāsaka par algebrisko daļu samazināšanu, kuru skaitītājs un saucējs ir vienādi. Šādas daļas ir identiski vienādas ar vienu uz visu tajā iekļauto mainīgo lielumu ODZ, piemēram,
utt.

Tagad nav slikti atcerēties, kā tiek veikta parasto daļskaitļu samazināšana - galu galā tie ir īpašs algebrisko daļu gadījums. Dabiskie skaitļi parastās daļskaitļa skaitītājā un saucējā, pēc kura tiek samazināti kopējie faktori (ja tādi ir). Piemēram, . Identisku pirmkoeficientu reizinājumu var uzrakstīt grādu formā, un, ja to samazina, izmantot. Šajā gadījumā risinājums izskatītos šādi: , šeit mēs dalījām skaitītāju un saucēju ar kopējo koeficientu 2 2 3 . Vai arī lielākas skaidrības labad, pamatojoties uz reizināšanas un dalīšanas īpašībām, risinājums tiek parādīts formā.

Pēc absolūti līdzīgiem principiem tiek veikta algebrisko daļu samazināšana, kuras skaitītājā un saucējā ir monomi ar veselu skaitļu koeficientiem.

Piemērs.

Samaziniet algebrisko daļu .

Lēmums.

Sākotnējās algebriskās daļas skaitītāju un saucēju varat attēlot kā vienkāršu faktoru un mainīgo reizinājumu un pēc tam veikt samazināšanu:

Bet racionālāk ir rakstīt risinājumu kā izteiksmi ar pilnvarām:

Atbilde:

Kas attiecas uz algebrisko daļu samazināšanu, kuru skaitītājā un saucējā ir daļskaitliskie koeficienti, varat veikt divas lietas: vai nu atsevišķi sadalīt šos daļskaitļu koeficientus, vai arī vispirms atbrīvoties no daļskaitļu koeficientiem, reizinot skaitītāju un saucēju ar kādu naturālu skaitli. Mēs runājām par pēdējo transformāciju rakstā, kas algebrisko daļu ienesa jaunā saucējā, to var veikt algebriskās daļas galvenās īpašības dēļ. Aplūkosim to ar piemēru.

Piemērs.

Veiciet frakciju samazināšanu.

Lēmums.

Jūs varat samazināt daļu šādi: .

Un no daļskaitļa koeficientiem bija iespējams atbrīvoties vispirms, reizinot skaitītāju un saucēju ar šo koeficientu saucējiem, tas ir, ar LCM(5, 10)=10 . Šajā gadījumā mums ir .

Atbilde:

Varat pāriet uz vispārīgas formas algebriskām daļām, kurās skaitītājs un saucējs var saturēt gan skaitļus, gan monomālus, gan polinomus.

Samazinot šādas daļas, galvenā problēma ir tā, ka ne vienmēr ir redzams skaitītāja un saucēja kopīgais faktors. Turklāt tas ne vienmēr pastāv. Lai atrastu kopīgu faktoru vai pārliecinātos, ka tas neeksistē, algebriskās daļas skaitītājs un saucējs ir jāfaktorizē.

Piemērs.

Samaziniet racionālo daļu .

Lēmums.

Lai to izdarītu, skaitītājā un saucējā mēs faktorizējam polinomus. Sāksim ar iekavām: . Acīmredzot iekavās ievietotās izteiksmes var pārvērst, izmantojot

Pamatojoties uz to galveno īpašību: ja daļas skaitītāju un saucēju dala ar to pašu polinomu, kas nav nulles, tad tiks iegūta daļa, kas vienāda ar to.

Var tikai samazināt reizinātājus!

Polinomu locekļus nevar reducēt!

Lai samazinātu algebrisko daļu, vispirms ir jāņem vērā polinomi skaitītājā un saucējā.

Apsveriet frakciju samazināšanas piemērus.

Daļas skaitītājs un saucējs ir monomi. Viņi pārstāv strādāt(skaitļi, mainīgie un to pakāpes), reizinātāji mēs varam samazināt.

Mēs samazinām skaitļus ar to lielāko kopīgo dalītāju, tas ir, ar lielāko skaitli, ar kuru katrs no dotajiem skaitļiem dalās. 24 un 36 tas ir 12. Pēc samazinājuma no 24 paliek 2, no 36 - 3.

Mēs samazinām grādus par pakāpi ar mazāko rādītāju. Lai samazinātu daļu, nozīmē dalīt skaitītāju un saucēju ar to pašu dalītāju un atņemt eksponentus.

a² un a⁷ tiek samazināti par a². Tajā pašā laikā no a² skaitītājā paliek viens (1 rakstām tikai tad, ja pēc samazināšanas nav palicis pāri citiem faktoriem. No 24 paliek 2, tāpēc 1, kas paliek no a², nerakstām). No a⁷ pēc samazināšanas paliek a⁵.

b un b ir saīsināti ar b, iegūtās vienības netiek rakstītas.

c³º un c⁵ tiek samazināti par c⁵. No c³º paliek c²⁵, no c⁵ - vienība (mēs to nerakstām). Tādējādi

Šīs algebriskās daļas skaitītājs un saucējs ir polinomi. Nav iespējams samazināt polinomu jēdzienus! (nevar samazināt, piemēram, 8x² un 2x!). Lai samazinātu šo daļu, tas ir nepieciešams. Skaitītājam ir kopīgs koeficients 4x. Izņemsim to no iekavām:

Gan skaitītājam, gan saucējam ir vienāds koeficients (2x-3). Mēs samazinām daļu ar šo koeficientu. Skaitītājā saņēmām 4x, saucējā 1. Atbilstoši algebrisko daļskaitļu 1 īpašībai daļskaitlis ir 4x.

Jūs varat tikai samazināt faktorus (jūs nevarat samazināt doto daļu par 25x²!). Tāpēc polinomi daļskaitļa skaitītājā un saucējā ir jāņem vērā.

Skaitītājs ir summas pilns kvadrāts, un saucējs ir kvadrātu starpība. Pēc paplašināšanas ar saīsinātās reizināšanas formulām mēs iegūstam:

Mēs samazinām daļu par (5x + 1) (lai to izdarītu, izsvītrojiet divus skaitītājā kā eksponentu, no (5x + 1) ² tas atstās (5x + 1)):

Skaitītājam ir kopīgs koeficients 2, izņemsim to no iekavām. Saucējā - kubu starpības formula:

Skaitītāja un saucēja paplašināšanas rezultātā mēs saņēmām vienādu koeficientu (9 + 3a + a²). Mēs samazinām daļu uz tā:

Skaitītājā esošais polinoms sastāv no 4 vārdiem. pirmais termins ar otro, trešais ar ceturto, un mēs izņemam kopējo koeficientu x² no pirmajām iekavām. Mēs sadalām saucēju pēc kubu summas formulas:

Skaitītājā no iekavām izņemam kopējo koeficientu (x + 2):

Mēs samazinām daļu par (x + 2):

Šis raksts turpina tēmu par algebrisko daļu pārveidošanu: apsveriet tādu darbību kā algebrisko daļu samazināšanu. Definēsim pašu terminu, formulēsim saīsinājuma noteikumu un analizēsim praktiskos piemērus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algebriskās frakcijas saīsinājuma nozīme

Materiālos par parasto frakciju mēs apsvērām tās samazināšanu. Mēs esam definējuši parastās daļskaitļa samazināšanu kā tās skaitītāja un saucēja dalīšanu ar kopējo koeficientu.

Algebriskās daļas samazināšana ir līdzīga darbība.

1. definīcija

Algebriskās daļas samazināšana ir tā skaitītāja un saucēja dalījums ar kopīgu koeficientu. Šajā gadījumā, atšķirībā no parastās daļdaļas samazināšanas (tikai skaitlis var būt kopsaucējs), polinoms, jo īpaši monoms vai skaitlis, var kalpot kā kopīgs faktors algebriskās daļas skaitītājam un saucējam.

Piemēram, algebrisko daļu 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 var samazināt ar skaitli 3, kā rezultātā iegūstam: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y. 2 . Mēs varam samazināt to pašu daļu ar mainīgo x, un tas iegūs izteiksmi 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Ir iespējams arī samazināt doto daļu par monomu 3 x vai kāds no polinomiem x + 2 g, 3 x + 6 g , x 2 + 2 x y vai 3 x 2 + 6 x g.

Algebriskās daļas samazināšanas galīgais mērķis ir vienkāršākas formas daļa, labākajā gadījumā nereducējama daļa.

Vai visas algebriskās daļas ir pakļautas samazināšanai?

Atkal, no materiāliem par parastajām frakcijām mēs zinām, ka ir reducējamās un nereducējamās frakcijas. Nereducējams - tās ir daļskaitļi, kuriem nav kopīgu skaitītāja un saucēja faktoru, izņemot 1.

Ar algebriskajām daļām viss ir vienāds: tiem var būt un var nebūt kopīgi skaitītāja un saucēja faktori. Kopējo faktoru klātbūtne ļauj vienkāršot sākotnējo daļu, samazinot. Ja nav kopīgu faktoru, nav iespējams optimizēt doto daļu ar samazināšanas metodi.

Parasti konkrētam frakcijas veidam ir diezgan grūti saprast, vai tas ir samazināms. Protams, dažos gadījumos skaitītāja un saucēja kopīga faktora klātbūtne ir acīmredzama. Piemēram, algebriskajā daļā 3 · x 2 3 · y ir pilnīgi skaidrs, ka kopējais faktors ir skaitlis 3 .

Daļdaļā - x · y 5 · x · y · z 3 mēs arī uzreiz saprotam, ka to var samazināt par x, vai y, vai par x · y. Un tomēr algebrisko daļu piemēri ir daudz izplatītāki, kad skaitītāja un saucēja kopējo faktoru nav tik viegli saskatīt, un vēl biežāk - tā vienkārši nav.

Piemēram, mēs varam samazināt daļu x 3 - 1 x 2 - 1 par x - 1, kamēr norādītais kopējais faktors nav ierakstā. Bet daļu x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 nevar samazināt, jo skaitītājam un saucējam nav kopīga faktora.

Tādējādi jautājums par algebriskās daļas saraujamības noskaidrošanu nav tik vienkāršs, un bieži vien ir vieglāk strādāt ar noteiktas formas daļu, nekā mēģināt noskaidrot, vai tā ir saraujama. Šajā gadījumā notiek tādas transformācijas, kas atsevišķos gadījumos ļauj noteikt skaitītāja un saucēja kopējo koeficientu vai secināt, ka daļa ir nereducējama. Mēs detalizēti analizēsim šo jautājumu raksta nākamajā daļā.

Algebriskās daļas samazināšanas noteikums

Algebriskās daļas samazināšanas noteikums sastāv no diviem secīgiem soļiem:

skaitītāja un saucēja kopīgo faktoru atrašana;
tādas atrašanas gadījumā – frakcijas samazināšanas tiešās darbības īstenošana.

Visērtākā kopsaucēju atrašanas metode ir faktorizēt polinomus, kas atrodas dotās algebriskās daļas skaitītājā un saucējā. Tas ļauj nekavējoties vizuāli redzēt kopīgu faktoru esamību vai neesamību.

Pati algebriskās daļas samazināšanas darbība ir balstīta uz algebriskās daļas galveno īpašību, kas izteikta ar vienādību undefined , kur a , b , c ir daži polinomi, bet b un c nav nulle. Vispirms ir jāsamazina daļa līdz formai a c b c , kurā uzreiz pamanām kopējo faktoru c . Otrais solis ir veikt samazināšanu, t.i. pāreja uz formas daļu a b .

Tipiski piemēri

Neskatoties uz zināmu acīmredzamību, precizēsim īpašo gadījumu, kad algebriskās daļas skaitītājs un saucējs ir vienādi. Līdzīgas daļas ir identiski vienādas ar 1 visā šīs frakcijas mainīgo lielumu ODZ:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

Tā kā parastās daļas ir īpašs algebrisko daļu gadījums, atcerēsimies, kā tās tiek reducētas. Skaitītājā un saucējā ierakstītie naturālie skaitļi tiek sadalīti pirmfaktoros, pēc tam tiek samazināti kopējie faktori (ja tādi ir).

Piemēram, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Vienkāršu identisku faktoru reizinājumu var uzrakstīt kā grādus, un frakciju samazināšanas procesā izmantot īpašību dalīt grādus ar vienādām bāzēm. Tad iepriekš minētais risinājums būtu:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(skaitītājs un saucējs dalīts ar kopīgu koeficientu 2 2 3). Vai arī skaidrības labad, pamatojoties uz reizināšanas un dalīšanas īpašībām, mēs risinājumam piešķirsim šādu formu:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Pēc analoģijas tiek veikta algebrisko daļu samazināšana, kurā skaitītājam un saucējam ir monomi ar veselu skaitļu koeficientiem.

1. piemērs

Dota algebriskā daļa - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Tas ir jāsamazina.

Lēmums

Dotās daļas skaitītāju un saucēju var uzrakstīt kā galveno faktoru un mainīgo reizinājumu un pēc tam samazināt:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Tomēr racionālāks veids būtu uzrakstīt risinājumu kā izteiksmi ar pilnvarām:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Atbilde:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Ja algebriskās daļdaļas skaitītājā un saucējā ir daļskaitliskie koeficienti, ir divi iespējamie turpmākās darbības veidi: vai nu atsevišķi sadalīt šos daļskaitļu koeficientus, vai arī vispirms atbrīvoties no daļskaitļa koeficientiem, reizinot skaitītāju un saucēju ar kādu naturālu skaitli. . Pēdējā transformācija tiek veikta algebriskās daļas galvenās īpašības dēļ (par to varat lasīt rakstā “Algebriskās daļas samazināšana līdz jaunam saucējam”).

2. piemērs

Dota daļa 2 5 x 0 , 3 x 3 . Tas ir jāsamazina.

Lēmums

Frakciju var samazināt šādi:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Mēģināsim problēmu atrisināt citādi, iepriekš atbrīvojoties no daļskaitļu koeficientiem - skaitītāju un saucēju reizinām ar šo koeficientu saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni, t.i. uz LCM(5, 10) = 10. Tad mēs iegūstam:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 x 3 x 2.

Atbilde: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Samazinot vispārējās algebriskās daļas, kurās skaitītāji un saucēji var būt gan monomi, gan polinomi, ir iespējama problēma, kad kopējais faktors ne vienmēr ir uzreiz redzams. Vai vēl vairāk, tas vienkārši neeksistē. Pēc tam, lai noteiktu kopējo faktoru vai fiksētu tā neesamības faktu, algebriskās daļas skaitītājs un saucējs tiek faktorizēts.

3. piemērs

Dota racionāla daļa 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Tas ir jāsaīsina.

Lēmums

Ļaujiet mums faktorizēt polinomus skaitītājā un saucējā. Izdarīsim iekavas:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Mēs redzam, ka izteiksmi iekavās var pārvērst, izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Ir skaidri redzams, ka ir iespējams samazināt daļu ar kopējo koeficientu b 2 (a + 7). Samazināsim:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Mēs rakstām īsu risinājumu bez paskaidrojumiem kā vienādību ķēdi:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a–7) (a +7) = 2 (a +7) b (a–7) = 2 a + 14 a b–7 b

Atbilde: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Gadās, ka kopējos faktorus slēpj skaitliskie koeficienti. Tad, samazinot daļskaitļus, ir optimāli izņemt skaitliskos faktorus pie lielākām skaitītāja un saucēja pakāpēm.

4. piemērs

Dota algebriskā daļa 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Ja iespējams, tas jāsamazina.

Lēmums

No pirmā acu uzmetiena skaitītājam un saucējam nav kopsaucēja. Tomēr mēģināsim pārvērst doto daļu. Skaitītājā izņemsim koeficientu x:

1 5 x - 2 7 x 3 g 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 g - 3 1 2

Tagad jūs varat redzēt zināmu līdzību starp izteiksmi iekavās un izteiksmi saucējā sakarā ar x 2 y . Izņemsim šo polinomu skaitliskos koeficientus pie lielākām pakāpēm:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 g - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Tagad kļūst redzams kopējais reizinātājs, mēs veicam samazināšanu:

2 7 x - 7 10 + x 2 g 5 x 2 g - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Atbilde: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Uzsvērsim, ka prasme samazināt racionālās daļas ir atkarīga no spējas faktorizēt polinomus.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

No pirmā acu uzmetiena algebriskās daļas šķiet ļoti sarežģītas, un nesagatavotam skolēnam var šķist, ka ar tām neko nevar izdarīt. Mainīgo, skaitļu un pat spēku uzkrāšanās iedveš bailes. Tomēr tie paši noteikumi tiek izmantoti, lai samazinātu daļskaitļus (piemēram, 15/25) un algebriskās daļas.

Soļi

Frakciju samazināšana

Uzziniet, kā strādāt ar vienkāršām daļskaitļiem. Darbības ar parastajām un algebriskajām daļām ir līdzīgas. Piemēram, ņemiet daļu 15/35. Lai vienkāršotu šo daļu, atrast kopīgu dalītāju. Abi skaitļi dalās ar pieci, tāpēc skaitītājā un saucējā varam iegūt 5:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Tagad Tu vari samazināt kopējos faktorus, tas ir, izsvītrojiet 5 skaitītājā un saucējā. Rezultātā mēs iegūstam vienkāršotu daļu 3/7 . Algebriskajās izteiksmēs kopējos faktorus izšķir tāpat kā parastajos. Iepriekšējā piemērā mēs varējām viegli iegūt 5 no 15 — tas pats princips attiecas uz sarežģītākām izteiksmēm, piemēram, 15x — 5. Atradīsim kopējo koeficientu. Šajā gadījumā tas būs 5, jo abi vārdi (15x un -5) dalās ar 5. Tāpat kā iepriekš, mēs izvēlamies kopējo koeficientu un pārnesam to pa kreisi.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Lai pārbaudītu, vai viss ir pareizi, pietiek reizināt izteiksmi iekavās ar 5 - rezultāts būs tie paši skaitļi, kas bija sākumā. Sarežģītus terminus var atšķirt tāpat kā vienkāršus. Uz algebriskām daļskaitļiem attiecas tie paši principi, kas uz parastajām daļām. Tas ir vienkāršākais veids, kā samazināt daļu. Apsveriet šādu daļu:

(x+2) (x-3)(x+2) (x+10)

Ņemiet vērā, ka gan skaitītājam (augšpusē), gan saucējam (apakšā) ir vārds (x+2), tāpēc to var samazināt tāpat kā kopējo koeficientu 5 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Rezultātā mēs iegūstam vienkāršotu izteiksmi: (x-3)/(x+10)

Algebrisko daļu samazināšana

Atrodiet kopējo koeficientu skaitītājā, tas ir, daļskaitļa augšdaļā. Samazinot algebrisko daļu, pirmais solis ir vienkāršot abas tās daļas. Sāciet ar skaitītāju un mēģiniet to iekļaut pēc iespējas vairāk faktoru. Apsveriet šajā sadaļā šādu daļu:

9x-3 15x+6

Sāksim ar skaitītāju: 9x - 3. 9x un -3 kopējais koeficients ir skaitlis 3. Iekavās izņemsim 3, kā to darām ar parastajiem skaitļiem: 3 * (3x-1). Šīs transformācijas rezultātā tiks iegūta šāda daļa:

3(3x-1) 15x+6

Atrodiet kopējo koeficientu skaitītājā. Turpināsim augstāk minētā piemēra izpildi un izrakstīsim saucēju: 15x+6. Tāpat kā iepriekš, mēs atrodam, ar kādu skaitli abas daļas dalās. Un šajā gadījumā kopējais koeficients ir 3, tāpēc mēs varam rakstīt: 3 * (5x +2). Pārrakstīsim daļskaitli šādā formā:

3(3x-1) 3(5x+2)

Samaziniet identiskus terminus. Šajā darbībā jūs varat vienkāršot daļu. Atceliet tos pašus vārdus skaitītājā un saucējā. Mūsu piemērā šis skaitlis ir 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Nosakiet, vai frakcijai ir visvienkāršākā forma. Daļskaitlis tiek pilnībā vienkāršots, ja skaitītājā un saucējā nav palicis neviens kopīgs faktors. Ņemiet vērā, ka jūs nevarat saīsināt tos terminus, kas atrodas iekavās — iepriekš minētajā piemērā nav iespējams izvilkt x no 3x un 5x, jo (3x -1) un (5x + 2) ir pilntiesīgi dalībnieki. Tādējādi frakcija nav pakļauta turpmākai vienkāršošanai, un galīgā atbilde ir šāda:

(3x-1)(5x+2)

Praktizējiet frakciju samazināšanu pats. Labākais veids, kā apgūt metodi, ir patstāvīgi atrisināt problēmas. Pareizās atbildes ir sniegtas zem piemēriem.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Atbilde:(x=13)

2x 2-x 5x

Atbilde:(2x-1)/5

Īpašas kustības

Pārvietojiet negatīvo zīmi no daļskaitļa. Pieņemsim, ka mums ir dota šāda daļa:

3(x-4) 5(4x)

Ņemiet vērā, ka (x-4) un (4-x) ir “gandrīz” identiski, taču tos nevar uzreiz atcelt, jo tie ir “apgriezti”. Tomēr (x - 4) var uzrakstīt kā -1 * (4 - x), tāpat kā (4 + 2x) var uzrakstīt kā 2 * (2 + x). To sauc par "zīmju maiņu".

-1*3(4-x) 5(4x)

Tagad varat samazināt tos pašus nosacījumus (4 x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

Tātad, šeit ir galīgā atbilde: -3/5 . Iemācieties atpazīt kvadrātu atšķirību. Kvadrātu atšķirība ir tad, kad viena skaitļa kvadrāts tiek atņemts no cita skaitļa kvadrāta, kā tas ir izteiksmē (a 2 - b 2). Perfekto kvadrātu starpību vienmēr var sadalīt divās daļās - summā un atbilstošo kvadrātsakņu starpībā. Tad izteiksmei būs šāda forma:

A 2 - b 2 = (a+b) (a-b)

Šis triks ir ļoti noderīgs, meklējot parastos terminus algebriskajās daļās.

Pārbaudiet, vai esat pareizi faktorējis šo vai citu izteiksmi. Lai to izdarītu, reiziniet koeficientus - rezultātam jābūt tādai pašai izteiksmei.
Lai pilnībā vienkāršotu daļu, vienmēr atlasiet lielākos faktorus.