Nolieciet dažādas saknes. Noteikumi sakņu atņemšanai

Skaitļa kvadrātsakne X sauca numuru A, kas vairojoties pati ar sevi ( A*A) var dot skaitli X.
Tie. A * A = A 2 = X, Un √X = A.

virs kvadrātsaknēm ( √x), tāpat kā ar citiem skaitļiem, varat veikt aritmētiskas darbības, piemēram, atņemšanu un saskaitīšanu. Lai atņemtu un pievienotu saknes, tās jāsavieno, izmantojot zīmes, kas atbilst šīm darbībām (piemēram, √x- √y ).
Un tad atnes viņiem saknes vienkāršākā forma- ja starp tām ir līdzīgas, ir jāveido cast. Tas sastāv no tā, ka tiek ņemti līdzīgu terminu koeficienti ar atbilstošo terminu zīmēm, pēc tam tie tiek ievietoti iekavās, un kopējā sakne tiek parādīta ārpus reizinātāja iekavām. Iegūtais koeficients ir vienkāršots saskaņā ar parastajiem noteikumiem.

1. solis. Kvadrātsakņu iegūšana

Pirmkārt, lai pievienotu kvadrātsaknes, vispirms ir jāizņem šīs saknes. To var izdarīt, ja skaitļi zem saknes zīmes ir ideāli kvadrāti. Piemēram, ņemiet doto izteiksmi √4 + √9 . Pirmais numurs 4 ir skaitļa kvadrāts 2 . Otrais numurs 9 ir skaitļa kvadrāts 3 . Tādējādi var iegūt šādu vienādību: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Viss, piemērs ir atrisināts. Bet tas ne vienmēr notiek tā.

2. solis. Skaitļa reizinātāja izņemšana no saknes

Ja zem saknes zīmes nav pilnu kvadrātu, varat mēģināt izņemt skaitļa reizinātāju no zem saknes zīmes. Piemēram, ņemiet izteiksmi √24 + √54 .

Faktorizēsim skaitļus:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Sarakstā 24 mums ir reizinātājs 4 , to var izņemt no zem kvadrātsaknes zīmes. Sarakstā 54 mums ir reizinātājs 9 .

Mēs iegūstam vienlīdzību:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Ņemot vērā šo piemēru, mēs iegūstam faktora noņemšanu zem saknes zīmes, tādējādi vienkāršojot doto izteiksmi.

3. solis. saucēja samazināšana

Apsveriet šādu situāciju: divu kvadrātsakņu summa ir daļdaļas saucējs, piemēram, A / (√a + √b).
Tagad mēs saskaramies ar uzdevumu "atbrīvoties no saucējā iracionalitātes".
Izmantosim šādu metodi: reiziniet daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar izteiksmi √a - √b.

Tagad saucējā mēs iegūstam saīsinātu reizināšanas formulu:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Līdzīgi, ja saucējs satur sakņu atšķirību: √a - √b, daļskaitļa skaitītājs un saucējs tiek reizināts ar izteiksmi √a + √b.

Kā piemēru ņemsim daļu:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Kompleksa saucēja samazināšanas piemērs

Tagad apsvērsim pietiekami daudz sarežģīts piemērs atbrīvojoties no iracionalitātes saucējā.

Kā piemēru ņemsim daļu: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Jums jāņem tā skaitītājs un saucējs un jāreizina ar izteiksmi √2 + √3 - √5 .

Mēs iegūstam:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

4. darbība. Aprēķiniet aptuveno vērtību kalkulatorā

Ja nepieciešama tikai aptuvenā vērtība, to var izdarīt, izmantojot kalkulatoru, aprēķinot kvadrātsakņu vērtību. Atsevišķi katram skaitlim tiek aprēķināta un reģistrēta vērtība ar nepieciešamo precizitāti, ko nosaka pēc decimālzīmju skaita. Tālāk tiek veiktas visas nepieciešamās darbības, tāpat kā ar parastajiem cipariem.

Paredzamā aprēķina piemērs

Ir nepieciešams aprēķināt šīs izteiksmes aptuveno vērtību √7 + √5 .

Rezultātā mēs iegūstam:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Lūdzu, ņemiet vērā: kvadrātsaknes nekādā gadījumā nedrīkst pievienot kā pirmskaitļus, tas ir pilnīgi nepieņemami. Tas ir, ja mēs pievienojam Kvadrātsakne no pieciem un no trim mēs nevaram iegūt kvadrātsakni no astoņiem.

Noderīgs padoms: ja nolemjat faktorizēt skaitli, lai no saknes zīmes iegūtu kvadrātu, jums ir jāveic apgrieztā pārbaude, tas ir, jāreizina visi aprēķinu rezultātā iegūtie faktori un tā gala rezultāts. matemātiskajam aprēķinam jābūt skaitlim, kas mums sākotnēji tika dots.

Matemātikā saknes var būt kvadrātveida, kubiskās vai ar jebkuru citu eksponentu (pakāpju), kas ir rakstīts kreisajā pusē virs saknes zīmes. Izteicienu zem saknes zīmes sauc par saknes izteiksmi. Saknes pievienošana ir līdzīga termina pievienošanai. algebriskā izteiksme, tas ir, tas prasa līdzīgu sakņu definīciju.

Soļi

1. daļa no 2: Sakņu atrašana

Saknes apzīmējums. Izteiksme zem saknes zīmes () nozīmē, ka no šīs izteiksmes ir jāizņem noteiktas pakāpes sakne.

Sakni apzīmē ar zīmi.
Saknes indeksu (grādu) raksta kreisajā pusē virs saknes zīmes. Piemēram, skaitļa 27 kuba sakne ir rakstīta šādi: (27)
Ja saknes eksponenta (pakāpes) nav, tad eksponents tiek uzskatīts par vienādu ar 2, tas ir, tā ir kvadrātsakne (vai otrās pakāpes sakne).
Skaitli, kas rakstīts pirms saknes zīmes, sauc par reizinātāju (tas ir, šis skaitlis tiek reizināts ar sakni), piemēram, 5 (2)
Ja saknes priekšā nav faktora, tad tas ir vienāds ar 1 (atgādiniet, ka jebkurš skaitlis, kas reizināts ar 1, ir vienāds ar sevi).
Ja pirmo reizi strādājat ar saknēm, veiciet atbilstošas piezīmes par saknes reizinātāju un eksponentu, lai neapjuktu un labāk saprastu to mērķi.

Atcerieties, kuras saknes var salocīt un kuras nevar. Tāpat kā jūs nevarat pievienot dažādus izteiksmes terminus, piemēram, 2a + 2b 4ab, jūs nevarat pievienot dažādas saknes.

Jūs nevarat pievienot saknes ar dažādām sakņu izteiksmēm, piemēram, (2) + (3) (5). Bet jūs varat pievienot skaitļus zem vienas saknes, piemēram, (2 + 3) = (5) (2 kvadrātsakne ir aptuveni 1,414, kvadrātsakne no 3 ir aptuveni 1,732 un kvadrātsakne no 5 ir aptuveni 2,236 ).

Jūs nevarat pievienot saknes ar vienādām saknes izteiksmēm, bet dažādiem eksponentiem, piemēram, (64) + (64) (šī summa nav vienāda ar (64), jo 64 kvadrātsakne ir 8, kubsakne no 64 ir 4, 8 + 4 = 12, kas ir daudz lielāks par 64 piekto sakni, kas ir aptuveni 2,297).

2. daļa no 2: sakņu vienkāršošana un pievienošana

Nosakiet un grupējiet līdzīgas saknes. Līdzīgas saknes ir saknes, kurām ir vienādi eksponenti un vienādas saknes izteiksmes. Piemēram, apsveriet izteicienu:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Vispirms pārrakstiet izteiksmi tā, lai saknes ar tādu pašu eksponentu būtu virknē.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Pēc tam pārrakstiet izteiksmi tā, lai saknes ar tādu pašu eksponentu un vienu un to pašu saknes izteiksmi būtu virknē.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Vienkāršojiet savas saknes. Lai to izdarītu, sadaliet (ja iespējams) radikālas izteiksmes divos faktoros, no kuriem viens tiek izņemts no saknes. Šajā gadījumā tiek reizināts renderētais skaitlis un saknes koeficients.

Iepriekš minētajā piemērā koeficientu 50 uz 2*25 un skaitli 32 uz 2*16. No 25 un 16 jūs varat izvilkt kvadrātsaknes (attiecīgi 5 un 4) un izņemt 5 un 4 no zem saknes, attiecīgi reizinot tos ar koeficientiem 2 un 1. Tādējādi jūs iegūstat vienkāršotu izteiksmi: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Skaitli 81 var ieskaitīt 3 * 27, un kuba sakni no 3 var ņemt no skaitļa 27. Šo skaitli 3 var izņemt no saknes apakšas. Tādējādi jūs iegūstat vēl vienkāršāku izteiksmi: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Pievienojiet līdzīgu sakņu faktorus. Mūsu piemērā ir līdzīgas kvadrātsaknes no 2 (tās var pievienot) un līdzīgas kvadrātsaknes no 3 (tās var arī pievienot). Plkst kuba sakne no 3 tādu sakņu nav.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Galīgā vienkāršotā izteiksme: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Nav vispārpieņemtu noteikumu par sakņu rakstīšanas secību izteiksmē. Tāpēc jūs varat rakstīt saknes to eksponentu augošā secībā un radikālo izteiksmju augošā secībā.

Uzmanību, tikai ŠODIEN!

Viss interesanti

Skaitlis, kas atrodas zem saknes zīmes, bieži vien traucē vienādojuma atrisināšanu, ar to ir neērti strādāt. Pat ja tas ir palielināts līdz pakāpei, daļskaitlim vai to nevar attēlot kā veselu skaitli līdz noteiktai pakāpei, var mēģināt to iegūt no…

Skaitļa x sakne ir skaitlis, kas, paaugstinot līdz saknes pakāpei, būs vienāds ar x. Reizinātājs ir skaitlis, kas tiek reizināts. Tas ir, tādā izteiksmē kā x*ª-&radic-y zem saknes ir jāpievieno x. 1. instrukcija Nosakiet grādu ...

Ja saknes izteiksme satur matemātisko darbību kopu ar mainīgajiem, tad dažkārt tās vienkāršošanas rezultātā var iegūt samērā vienkāršu vērtību, no kuras daļu var izņemt no saknes apakšas. Šis vienkāršojums ir noderīgs...

Aritmētiskās darbības ar dažādu pakāpju saknēm var ievērojami vienkāršot aprēķinus fizikā un tehnoloģijā un padarīt tos precīzākus. Reizinot un dalot, ērtāk ir neizvilkt sakni no katra faktora vai dividendes un dalītāja, bet vispirms ...

Skaitļa x kvadrātsakne ir skaitlis a, kuru reizinot ar sevi, iegūst skaitli x: a * a = a^2 = x, x = a. Tāpat kā ar jebkuru skaitli, jūs varat veikt saskaitīšanas un atņemšanas aritmētiskās darbības ar kvadrātsaknēm. Instrukcija...

Matemātikā saknei var būt divas nozīmes: tā ir aritmētiskā darbība un katrs no vienādojuma risinājumiem, algebriskais, parametriskais, diferenciālis vai jebkura cita. 1. instrukcija Skaitļa a n-tās pakāpes sakne ir tāds skaitlis, ka ...

Veicot dažādus aritmētiskās darbības ar saknēm, bieži vien ir jāspēj pārveidot radikālas izteiksmes. Lai vienkāršotu aprēķinus, var būt nepieciešams izņemt koeficientu no radikāļa zīmes vai novietot to zem tā. Šī darbība var...

Sakne ir ikona, kas apzīmē matemātiskā darbība atrodot tādu skaitli, kura konstrukcija uz pirms saknes zīmes norādīto jaudu jādod skaitlis, kas norādīts tieši zem šīs zīmes. Bieži vien, lai atrisinātu problēmas, kurās pastāv ...

Saknes zīmi matemātiskajās zinātnēs sauc simbols saknēm. Skaitli zem saknes zīmes sauc par radikālu izteiksmi. Ja nav eksponenta, sakne ir kvadrāts, pretējā gadījumā skaitlis norāda ...

aritmētiskā sakne n-tā pakāpe no reāla skaitļa a sauc tādu nenegatīvu skaitli x, n-tā jauda kas ir vienāds ar skaitli a. Tie. (n) a = x, x^n = a. Pastāv dažādi veidi papildinājumiem aritmētiskā sakne un racionāls skaitlis...

Reāla skaitļa a n-tā sakne ir skaitlis b, kuram ir patiesa vienādība b^n = a. Negatīviem un pozitīviem skaitļiem pastāv nepāra saknes, un pāra saknes pastāv tikai pozitīviem skaitļiem.…

Skaitļa kvadrātsakne X sauca numuru A, kas vairojoties pati ar sevi ( A*A) var dot skaitli X.
Tie. A * A = A 2 = X, Un √X = A.

virs kvadrātsaknēm ( √x), tāpat kā ar citiem skaitļiem, varat veikt aritmētiskas darbības, piemēram, atņemšanu un saskaitīšanu. Lai atņemtu un pievienotu saknes, tās jāsavieno, izmantojot zīmes, kas atbilst šīm darbībām (piemēram, √x - √y ).
Un pēc tam nogādājiet saknes to vienkāršākajā formā - ja starp tām ir līdzīgas, jums ir jāmet. Tas sastāv no tā, ka tiek ņemti līdzīgu terminu koeficienti ar atbilstošo terminu zīmēm, pēc tam tie tiek ievietoti iekavās, un kopējā sakne tiek parādīta ārpus reizinātāja iekavām. Iegūtais koeficients ir vienkāršots saskaņā ar parastajiem noteikumiem.

1. solis. Kvadrātsakņu iegūšana

2. solis. Skaitļa reizinātāja izņemšana no saknes

Ja zem saknes zīmes nav pilnu kvadrātu, varat mēģināt izņemt skaitļa reizinātāju no zem saknes zīmes. Piemēram, ņemiet izteiksmi √24 + √54 .

Faktorizēsim skaitļus:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Sarakstā 24 mums ir reizinātājs 4 , to var izņemt no zem kvadrātsaknes zīmes. Sarakstā 54 mums ir reizinātājs 9 .

Mēs iegūstam vienlīdzību:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Ņemot vērā šo piemēru, mēs iegūstam faktora noņemšanu zem saknes zīmes, tādējādi vienkāršojot doto izteiksmi.

3. solis. saucēja samazināšana

Tagad saucējā mēs iegūstam saīsinātu reizināšanas formulu:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Līdzīgi, ja saucējs satur sakņu atšķirību: √a - √b, daļskaitļa skaitītājs un saucējs tiek reizināts ar izteiksmi √a + √b.

Kā piemēru ņemsim daļu:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Kompleksa saucēja samazināšanas piemērs

Tagad mēs apsvērsim diezgan sarežģītu piemēru, kā atbrīvoties no iracionalitātes saucējā.

Kā piemēru ņemsim daļu: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Jums jāņem tā skaitītājs un saucējs un jāreizina ar izteiksmi √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

4. darbība. Aprēķiniet aptuveno vērtību kalkulatorā

Paredzamā aprēķina piemērs

Ir nepieciešams aprēķināt šīs izteiksmes aptuveno vērtību √7 + √5 .

Rezultātā mēs iegūstam:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Lūdzu, ņemiet vērā: kvadrātsaknes nekādā gadījumā nedrīkst pievienot kā pirmskaitļus, tas ir pilnīgi nepieņemami. Tas ir, ja jūs pievienojat kvadrātsakni no pieci un trīs, mēs nevaram iegūt kvadrātsakni no astoņiem.

Noteikumi sakņu atņemšanai

1. Pakāpes sakne no nenegatīvu skaitļu reizinājuma ir vienāda ar tādas pašas pakāpes sakņu reizinājumu no faktoriem: kur (noteikums saknes izdalīšanai no reizinājuma).

2. Ja , tad y (noteikums saknes iegūšanai no daļskaitļa).

3. Ja tad (noteikums par saknes izvilkšanu no saknes).

4. Ja tad noteikums par saknes celšanu pakāpē).

5. Ja tad kur, t.i., saknes indeksu un radikālas izteiksmes indeksu var reizināt ar vienu un to pašu skaitli.

6. Ja tad 0, t.i., lielāka pozitīva radikāļa izteiksme atbilst lielākai saknes vērtībai.

7. Visas iepriekš minētās formulas bieži tiek izmantotas apgrieztā secībā(t.i., no labās uz kreiso). Piemēram,

(sakņu pavairošanas noteikums);

(sakņu dalīšanas noteikums);

8. Noteikums par reizinātāja izņemšanu no zem saknes zīmes. Plkst

9. Apgrieztā problēma - faktora ievadīšana zem saknes zīmes. Piemēram,

10. Iracionalitātes iznīcināšana daļskaitļa saucējā.

Apskatīsim dažus tipiskus gadījumus.

Vārda nozīme Paskaidrojiet vārdu nozīmi: likums, augļotājs, parādnieks-vergs. izskaidro vārdu nozīmi: likums, augļotājs, parādnieks vergs. GARDĀS ZEMENES (Viesu) Skola Jautājumi par tēmu 1. Kādi ir 3 veidi […]
Vai jums ir nepieciešama atļauja rācijai automašīnā? kur lasīt? Jums jebkurā gadījumā ir jāreģistrē sava radiostacija. Rācijas, kas darbojas ar frekvenci 462MHz, ja neesat Iekšlietu ministrijas pārstāvis, […]
Vienotā nodokļa likme - 2018 Vienotā nodokļa likme - 2018 pirmās un otrās grupas uzņēmējiem-fiziskām personām tiek aprēķināta procentos no 01.janvārī noteiktās iztikas minimuma un minimālās algas […]
Avito apdrošināšanas LIKUMĪBAS GARANTIJA. Vai esat nolēmis pats izsniegt OSAGO e-pasta adresi, bet nekas jums nelīdz? Nekrītiet panikā! !!Es ievadīšu jums visus nepieciešamos datus elektroniskajā pieteikumā […]
Akcīzes nodokļa aprēķināšanas un maksāšanas kārtība Akcīzes nodoklis ir viens no netiešajiem preču un pakalpojumu nodokļiem, kas ir iekļauts to izmaksās. Akcīzes nodoklis atšķiras no PVN ar to, ka tas tiek uzlikts […]
Pielikums. Rostovas pie Donas pilsētas zemes izmantošanas un attīstības noteikumi Pielikums Pilsētas domes 2008. gada 17. jūnija lēmumam N 405 Rostovas pie Donas pilsētas zemes izmantošanas un attīstības noteikumi ar grozījumiem un [… ]

Piemēram,

11. Saīsināto reizināšanas identitāšu pielietošana darbībām ar aritmētiskajām saknēm:

12. Koeficientu saknes priekšā sauc par tā koeficientu. Piemēram, šeit 3 ir faktors.

13. Saknes (radikālus) sauc par līdzīgiem, ja tām ir vienādi saknes eksponenti un vienādas radikāļu izteiksmes, bet atšķiras tikai koeficients. Lai spriestu, vai šīs saknes (radikāļi) ir līdzīgas vai nē, jums tās jāsamazina līdz vienkāršākajām formām.

Piemēram, un ir līdzīgi, jo

VINGRINĀJUMI AR RISINĀJUMIEM

1. Vienkāršojiet izteicienus:

Risinājums. 1) Nav jēgas reizināt saknes izteiksmi, jo katrs no faktoriem apzīmē vesela skaitļa kvadrātu. Izmantosim noteikumu par saknes izņemšanu no produkta:

Turpmāk šādas darbības tiks veiktas mutiski.

2) Mēģināsim, ja iespējams, attēlot radikālo izteiksmi kā faktoru reizinājumu, no kuriem katrs ir vesela skaitļa kubs, un piemērosim noteikumu par reizinājuma sakni:

2. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Risinājums. 1) Saskaņā ar likumu par saknes izņemšanu no frakcijas mums ir:

3) Mēs pārveidojam radikālas izteiksmes un izņemam sakni:

3. Vienkāršojiet, kad

Risinājums. Izvelkot sakni no saknes, sakņu indeksi tiek reizināti, un saknes izteiksme paliek nemainīga.

Ja pirms saknes zem saknes ir koeficients, tad pirms saknes izvilkšanas operācijas veikšanas šo koeficientu ievada zem tā radikāļa zīmes, kura priekšā tas stāv.

Pamatojoties uz iepriekš minētajiem noteikumiem, mēs iegūstam pēdējās divas saknes:

4. Paaugstināt līdz jaudai:

Risinājums. Paaugstinot sakni līdz pakāpei, saknes eksponents paliek nemainīgs, un radikālās izteiksmes eksponenti tiek reizināti ar eksponentu.

(tā kā tas ir definēts, tad );

Ja dota sakne ir koeficients, tad šis koeficients tiek atsevišķi paaugstināts līdz pakāpei un rezultāts tiek ierakstīts kā koeficients saknē.

Šeit mēs izmantojām noteikumu, ka saknes indeksu un radikālas izteiksmes indeksu var reizināt ar vienu un to pašu skaitli (mēs reizināt ar, t.i., dalīt ar 2).

Piemēram, vai

4) Izteiksme iekavās, kas attēlo divu dažādu radikāļu summu, tiks kubēta un vienkāršota:

Jo mums ir:

5. Novērsiet iracionalitāti saucējā:

Risinājums. Lai novērstu (iznīcinātu) iracionalitāti daļskaitļa saucējā, jāatrod visvienkāršākā no izteiksmēm, kas reizinājumā ar saucēju dod racionāla izteiksme, un reiziniet šīs daļas skaitītāju un saucēju ar atrasto koeficientu.

Piemēram, ja daļskaitļa saucējā ir binomāls, tad daļskaitļa skaitītājs un saucējs jāreizina ar izteiksmi konjugēts ar saucēju, tas ir, summa jāreizina ar atbilstošo starpību un otrādi.

Vairāk sarežģīti gadījumi iznīcināt iracionalitāti nevis uzreiz, bet vairākos posmos.

1) Izteicienā ir jāietver

Daļas skaitītāju un saucēju reizinot ar iegūto:

2) Daļas skaitītāju un saucēju reizinot ar summas nepilno kvadrātu, iegūstam:

3) Savedīsim daļskaitļus pie kopsaucēja:

Risinot šo piemēru, jāpatur prātā, ka katrai daļai ir nozīme, tas ir, katras daļas saucējs atšķiras no nulles. Turklāt,

Pārvēršot izteiksmes, kas satur radikāļus, bieži tiek pieļautas kļūdas. Tos izraisa nespēja pareizi pielietot aritmētiskās saknes un absolūtās vērtības jēdzienu (definīciju).

Noteikumi sakņu atņemšanai

Aprēķiniet izteiksmes vērtību

Risinājums.

Paskaidrojums.
Lai sakļautu saknes izteiksmi, tās saknes izteiksmes otrajā faktorā attēlosim skaitli 31 kā summu 15+16. (2. rindiņa)

Pēc pārveidošanas redzams, ka summu otrajā radikālajā izteiksmē var attēlot kā summas kvadrātu, izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas. (3. rindiņa)

Tagad attēlosim katru sakni no dotā produkta kā grādu. (4. rindiņa)

Vienkāršojiet izteiksmi (5. rindiņa)

Tā kā reizinājuma jauda ir vienāda ar katra faktora pakāpju reizinājumu, mēs to attēlojam attiecīgi (6. rindiņa)

Kā redzat, saskaņā ar saīsinātās reizināšanas formulām mums ir divu skaitļu kvadrātu atšķirība. No kurienes un aprēķiniet izteiksmes vērtību (7. rindiņa)

Aprēķiniet izteiksmes vērtību.

Risinājums.

Paskaidrojums.

Mēs izmantojam saknes īpašības, ka privāto skaitļu patvaļīga pakāpuma sakne ir vienāda ar šo skaitļu sakņu privāto (2. rinda)

Tādas pašas pakāpes skaitļa patvaļīga jaudas sakne ir vienāda ar šo skaitli (3. rindiņa)

Noņemsim mīnusu no pirmā reizinātāja iekavas. Šajā gadījumā visas iekavās esošās rakstzīmes tiks apgrieztas (4. rindiņa)

Samazināsim daļskaitli (5. rindiņa)

Attēlosim skaitli 729 kā skaitļa 27 kvadrātu, bet skaitli 27 kā skaitļa 3 kubu. No kurienes iegūstam radikālas izteiksmes vērtību.

Kvadrātsakne. Pirmais līmenis.

Vai vēlaties pārbaudīt savus spēkus un uzzināt, kāds ir jūsu gatavības rezultāts vienotajam valsts eksāmenam vai OGE?

1. Aritmētiskās kvadrātsaknes jēdziena ievads

Nenegatīva skaitļa kvadrātsakne (aritmētiskā kvadrātsakne) ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds.
.

Skaitlim vai izteiksmei zem saknes zīmes jābūt nenegatīvam

2. Kvadrātu tabula

3. Aritmētiskās kvadrātsaknes īpašības

Ievads aritmētiskās kvadrātsaknes jēdzienā

Mēģināsim izdomāt, kāda veida jēdziens ir "sakne" un "ar ko to ēd". Lai to izdarītu, apsveriet piemērus, ar kuriem jau esat saskāries nodarbībās (nu, vai arī jums vienkārši ir jāsaskaras ar to).

Piemēram, mums ir vienādojums. Kāds ir risinājums dots vienādojums? Kādus skaitļus var salikt kvadrātā un iegūt vienlaikus? Atceroties reizināšanas tabulu, jūs varat viegli sniegt atbildi: un (jo, reizinot divus negatīvus skaitļus, jūs iegūstat pozitīvu skaitli)! Lai vienkāršotu, matemātiķi ir ieviesuši īpašu kvadrātsaknes jēdzienu un piešķīruši tai īpašu simbolu.

Definēsim aritmētisko kvadrātsakni.

Kāpēc skaitlim ir jābūt nenegatīvam? Piemēram, kas ir vienāds ar? Labi, mēģināsim to izdomāt. Varbūt trīs? Pārbaudīsim: un nē. Var būt, ? Vēlreiz pārbaudiet: Nu, vai tas nav izvēlēts? Tas ir sagaidāms – jo nav skaitļu, kurus kvadrātā saliekot, iegūts negatīvs skaitlis!

Tomēr jūs droši vien jau pamanījāt, ka definīcijā teikts, ka kvadrātsaknes risinājums "skaitlis ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar". Un pašā sākumā mēs analizējām piemēru, izvēlējāmies skaitļus, kurus var kvadrātā un iegūt vienlaikus, atbilde bija un, un šeit ir runa par kaut kādu “nenegatīvu skaitli”! Šāda piezīme ir diezgan piemērota. Šeit ir vienkārši jānošķir kvadrātvienādojumu jēdzieni un skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne. Piemēram, tas nav līdzvērtīgs izteiksmei.

Un no tā izriet.

Protams, tas ir ļoti mulsinoši, taču jāatceras, ka zīmes ir vienādojuma atrisināšanas rezultāts, jo, risinot vienādojumu, ir jāpieraksta visi x, kas, aizvietojot sākotnējā vienādojumā, dos pareizo. rezultāts. Mūsu kvadrātvienādojumā der gan un.

Bet, ja no kaut kā vienkārši ņem kvadrātsakni, tad vienmēr iegūst vienu nenegatīvu rezultātu.

Tagad mēģiniet atrisināt šo vienādojumu. Viss nav tik vienkārši un gludi, vai ne? Pamēģini šķirot pa cipariem, varbūt kaut kas izdegs?

Sāksim no paša sākuma - no nulles: - neder, ejiet tālāk; - mazāk par trim, mēs arī birstējam malā, bet ja? Pārbaudīsim: - arī neder, jo tas ir vairāk nekā trīs. Ar negatīviem skaitļiem izrādīsies tas pats stāsts. Un ko tagad darīt? Vai meklēšana mums neko nedeva? Nebūt ne, tagad mēs noteikti zinām, ka atbilde būs kāds cipars starp un, kā arī starp un. Tāpat ir skaidrs, ka risinājumi nebūs veseli skaitļi. Turklāt tie nav racionāli. Tātad, kas būs tālāk? Izveidosim funkcijas grafiku un atzīmēsim tajā risinājumus.

Mēģināsim apmānīt sistēmu un iegūt atbildi, izmantojot kalkulatoru! Atbrīvosim no biznesa saknes! Ak-o-o, izrādās, ka Tāds cipars nekad nebeidzas. Kā jūs to varat atcerēties, jo eksāmenā nebūs kalkulatora!? Viss ir ļoti vienkārši, jums tas nav jāatceras, jums ir jāatceras (vai jāspēj ātri novērtēt) aptuvenā vērtība. un pašas atbildes. Šādus skaitļus sauc par iracionāliem, un, lai vienkāršotu šādu skaitļu pierakstīšanu, tika ieviests kvadrātsaknes jēdziens.
Apskatīsim vēl vienu piemēru, lai stiprinātu. Analizēsim šādu problēmu: jāšķērso pa diagonāli kvadrātveida lauks ar km malu, cik km ir jānoiet?

Acīmredzamākā lieta šeit ir aplūkot trīsstūri atsevišķi un izmantot Pitagora teorēmu:. Pa šo ceļu, . Tātad, kāds šeit ir nepieciešamais attālums? Acīmredzot attālums nevar būt negatīvs, mēs to saprotam. Divu sakne ir aptuveni vienāda, bet, kā jau minēts iepriekš, tā jau ir pilnīga atbilde.

Sakņu ekstrakcija

Lai piemēru risināšana ar saknēm neradītu problēmas, tie ir jāredz un jāatpazīst. Lai to izdarītu, jāzina vismaz skaitļu kvadrāti no līdz, kā arī jāprot tos atpazīt.

Tas ir, jums jāzina, kas ir kvadrātā, un arī, gluži pretēji, kas ir kvadrātā. Sākumā šī tabula palīdzēs jums iegūt sakni.

Tiklīdz jūs atrisināsiet pietiekamu skaitu piemēru, nepieciešamība pēc tā automātiski pazudīs.
Mēģiniet pats iegūt kvadrātsakni šādās izteiksmēs:

Nu, kā tas darbojās? Tagad apskatīsim šos piemērus:

Aritmētiskās kvadrātsaknes īpašības

Tagad jūs zināt, kā iegūt saknes, un ir pienācis laiks uzzināt par aritmētiskās kvadrātsaknes īpašībām. Ir tikai 3 no tiem:

reizināšana;
sadalīšana;
eksponenci.

Nu, tos ir ļoti viegli atcerēties, izmantojot šo tabulu un, protams, apmācību:

Kā izlemt
kvadrātvienādojumi

Iepriekšējās nodarbībās mēs analizējām "Kā atrisināt lineāros vienādojumus", tas ir, pirmās pakāpes vienādojumus. Šajā nodarbībā mēs izpētīsim kas ir kvadrātvienādojums un kā to atrisināt.

Kas ir kvadrātvienādojums

Vienādojuma pakāpi nosaka nezināmā augstākā pakāpe.

Ja maksimālā pakāpe, līdz kurai nezināmais ir, ir “2”, tad jums ir kvadrātvienādojums.

Kvadrātvienādojumu piemēri

5x2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +

Lai atrastu "a", "b" un "c", jums jāsalīdzina jūsu vienādojums ar kvadrātvienādojuma vispārējo formu "ax 2 + bx + c = 0".

Praktizēsim koeficientu "a", "b" un "c" noteikšanu kvadrātvienādojumos.

a=5
b = –14
c = 17

a = –7
b = –13
c = 8

a = -1
b = 1

a = 1
b = 0,25
c = 0

a = 1
b = 0
c = –8

Kā atrisināt kvadrātvienādojumus

Atšķirībā no lineārie vienādojumi kvadrātvienādojumu risināšanai, īpaša formula sakņu atrašanai.

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, jums ir nepieciešams:

nogādājiet kvadrātvienādojumu līdz vispārējs skats" ax 2 + bx + c = 0 ". Tas ir, tikai "0" jāpaliek labajā pusē;
saknēm izmantojiet formulu:

Izmantosim piemēru, lai noskaidrotu, kā pielietot formulu kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai. Atrisināsim kvadrātvienādojumu.

Vienādojums "x 2 − 3x − 4 = 0" jau ir reducēts līdz vispārīgajai formai "ax 2 + bx + c = 0", un tam nav nepieciešami papildu vienkāršojumi. Lai to atrisinātu, mums tikai jāpiesakās formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai.

Definēsim koeficientus "a", "b" un "c" šim vienādojumam.

a = 1
b = –3
c = –4

Aizstājiet tos formulā un atrodiet saknes.

Noteikti iegaumējiet sakņu atrašanas formulu.

Ar tās palīdzību tiek atrisināts jebkurš kvadrātvienādojums.

Apsveriet citu kvadrātvienādojuma piemēru.

Šajā formā ir diezgan grūti noteikt koeficientus "a", "b" un "c". Vispirms izveidosim vienādojumu vispārīgā formā "ax 2 + bx + c = 0".

Tagad jūs varat izmantot formulu saknēm.

Ir reizes, kad kvadrātvienādojumos nav sakņu. Šī situācija rodas, ja formulā zem saknes parādās negatīvs skaitlis.

No kvadrātsaknes definīcijas mēs atceramies, ka jūs nevarat ņemt kvadrātsakni no negatīva skaitļa.

Apsveriet kvadrātvienādojuma piemēru, kuram nav sakņu.

Tātad, mēs saņēmām situāciju, kad zem saknes ir negatīvs skaitlis. Tas nozīmē, ka vienādojumā nav sakņu. Tāpēc atbildē pierakstījām "Īstu sakņu nav."

Ko nozīmē vārdi "nav īstu sakņu"? Kāpēc jūs nevarat vienkārši uzrakstīt "bez saknēm"?

Patiesībā šādos gadījumos ir saknes, bet ietvaros skolas mācību programma tie netiek nodoti, tāpēc, atbildot, ierakstām, ka starp reāli skaitļi nav sakņu. Citiem vārdiem sakot: "Nav īstu sakņu."

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Dažreiz ir kvadrātvienādojumi, kuros nav skaidru koeficientu "b" un/vai "c". Piemēram, šajā vienādojumā:

Šādus vienādojumus sauc par nepilnīgiem. kvadrātvienādojumi. Kā tos atrisināt, tiek runāts nodarbībā "Nepilnīgi kvadrātvienādojumi".

Skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana nav vienīgā darbība, ko var veikt ar šo matemātisko parādību. Tāpat kā parastos skaitļus, kvadrātsaknes var pievienot un atņemt.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadrātsakņu pievienošanas un atņemšanas noteikumi

1. definīcija

Tādas darbības kā kvadrātsaknes pievienošana un atņemšana ir iespējamas tikai tad, ja saknes izteiksme ir vienāda.

1. piemērs

Varat pievienot vai atņemt izteiksmes 2 3 un 6 3, bet ne 56 Un 9 4 . Ja ir iespējams vienkāršot izteiksmi un tuvināt to saknēm ar tādu pašu saknes numuru, tad vienkāršojiet un pēc tam pievienojiet vai atņemiet.

Galvenās darbības: pamati

2. piemērs

6 50 - 2 8 + 5 12

Darbības algoritms:

Vienkāršojiet saknes izteiksmi. Lai to izdarītu, saknes izteiksme ir jāsadala 2 faktoros, no kuriem viens ir kvadrātskaitlis (skaitlis, no kura tiek iegūta visa kvadrātsakne, piemēram, 25 vai 9).
Tad jums ir jāizņem sakne no kvadrāta skaitlis un ierakstiet iegūto vērtību pirms saknes zīmes. Lūdzu, ņemiet vērā, ka otrais faktors tiek ievadīts zem saknes zīmes.
Pēc vienkāršošanas procesa ir nepieciešams pasvītrot saknes ar vienādām radikālām izteiksmēm - tikai tās var pievienot un atņemt.
Saknēm ar vienādām radikālām izteiksmēm ir nepieciešams pievienot vai atņemt faktorus, kas ir pirms saknes zīmes. Saknes izteiksme paliek nemainīga. Nepievienojiet un neatņemiet saknes skaitļus!

1. padoms

Ja jums ir piemērs ar liela summa identiskas radikālas izteiksmes, tad pasvītrojiet šādas izteiksmes ar vienu, dubultu un trīskāršu līniju, lai atvieglotu aprēķina procesu.

3. piemērs

Izmēģināsim šo piemēru:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Vispirms jums ir jāsadala 50 2 faktoros 25 un 2, pēc tam ņem 25 sakni, kas ir 5, un 5 no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 5 ar 6 (reizinātājs saknē) un jāsaņem 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Pirmkārt, jums ir jāsadala 8 2 faktoros: 4 un 2. Pēc tam no 4 izvelciet sakni, kas ir vienāda ar 2, un izņemiet 2 no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 2 (koeficients saknē) un jāsaņem 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Pirmkārt, jums ir jāsadala 12 2 faktoros: 4 un 3. Pēc tam izņemiet sakni no 4, kas ir 2, un izņemiet to no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 5 (koeficients saknē) un jāsaņem 10 3.

Vienkāršošanas rezultāts: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Rezultātā mēs redzējām, cik daudz identisku radikālu izteiksmju satur šis piemērs. Tagad praktizēsimies ar citiem piemēriem.

4. piemērs

Vienkāršot (45) . Mēs koeficientu 45: (45) = (9 × 5) ;
Mēs izņemam 3 no zem saknes (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Saskaitām faktorus saknēs: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

5. piemērs

6 40 - 3 10 + 5:

Vienkāršošana 6 40 . Mēs koeficientu 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Mēs izņemam 2 no zem saknes (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Sareizinām faktorus, kas atrodas saknes priekšā: 12 10;
Izteicienu rakstām vienkāršotā formā: 12 10 - 3 10 + 5;
Tā kā pirmajiem diviem terminiem ir vienādi saknes skaitļi, mēs varam tos atņemt: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

6. piemērs

Kā redzam, radikālos skaitļus nav iespējams vienkāršot, tāpēc piemērā meklējam dalībniekus ar vienādiem radikāļiem, veicam matemātiskas darbības (saskaitām, atņemam utt.) un ierakstām rezultātu:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Padoms:

Pirms pievienošanas vai atņemšanas ir obligāti jāvienkāršo (ja iespējams) radikālās izteiksmes.
Sakņu pievienošana un atņemšana ar dažādām sakņu izteiksmēm ir stingri aizliegta.
Nepievienojiet un neatņemiet veselu skaitli vai kvadrātsakni: 3 + (2 x) 1/2 .
Veicot darbības ar daļskaitļiem, jāatrod skaitlis, kas pilnībā dalās ar katru saucēju, pēc tam jāsavieno daļskaitļi līdz kopsaucējam, tad jāpievieno skaitītāji un saucēji jāatstāj nemainīgi.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter