Nodarbības tēma: Aritmētiskās darbības pozicionālo skaitļu sistēmās.

9. klase

Nodarbības mērķi:

Didaktiskais: iepazīstināt studentus ar saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu binārajā sistēmā un veiciet šo darbību veikšanas prasmju primāro praksi.

Izglītības: veidot skolēnos interesi apgūt jaunas lietas, parādīt nestandarta pieejas iespēju aprēķiniem.

Attīstās: attīstīt uzmanību, domāšanas stingrību, spēju spriest.

Nodarbības struktūra.

Orgmoment -1 min.

Mājas darbu pārbaude ar mutisku pārbaudījumu -15 minūtes.

Mājasdarbs -2 minūtes.

Problēmu risināšana ar vienlaicīgu analīzi un materiāla patstāvīgu izstrādi -25 min.

Nodarbības rezumējot -2 minūtes.

NODARBĪBU LAIKĀ

Organizatoriskais brīdis.

Mājas darbu pārbaude (mutisks pārbaudījums) .

Skolotājs secīgi nolasa jautājumus. Studenti uzmanīgi klausās jautājumu, to nepierakstot. Tiek ierakstīta tikai atbilde, turklāt ļoti īsi. (Ja iespējams atbildēt ar vienu vārdu, tad tiek ierakstīts tikai šis vārds).

Kas ir skaitļu sistēma? (-šī ir zīmju sistēma, kurā skaitļus raksta saskaņā ar noteiktiem noteikumiem, izmantojot kāda alfabēta rakstzīmes, ko sauc par cipariem )

Kādas skaitļu sistēmas jūs zināt?( nepozicionāls un pozicionāls )

Kādu sistēmu sauc par nepozicionālu? (SCH sauc par nepozicionālu, ja cipara kvantitatīvais ekvivalents (kvantitatīvā vērtība) skaitļā nav atkarīgs no tā pozīcijas skaitļa apzīmējumā. ).

Kas ir pozicionālā SSC bāze. (vienāds ar ciparu skaitu, kas veido tā alfabētu )

Kāda matemātiskā darbība jāizmanto, lai pārvērstu veselu skaitli no decimāldaļas NSC uz jebkuru citu? (nodaļa )

Kas jādara, lai pārvērstu skaitli no decimāldaļas uz bināru? (Konsekventi dalīt ar 2 )

Cik reizes samazināsies skaitlis 11,1 2 pārvietojot komatu par vienu rakstzīmi pa kreisi? (2 reizes )

Tagad klausīsimies pantiņu par kādu neparastu meiteni un atbildēsim uz jautājumiem. (Izklausās pēc pantiņa )

ĀRKĀRTAS MEITENE

Viņai bija tūkstoš un simts gadu
Viņa devās uz simt pirmo klasi,
Es nēsāju savā portfolio simts grāmatu.
Tas viss ir patiesība, nevis muļķības.

Kad, noslaukot putekļus ar duci pēdu,
Viņa gāja pa ceļu.
Viņai vienmēr sekoja kucēns
Ar vienu asti, bet simtkāju.

Viņa uztvēra katru skaņu
Ar desmit ausīm
Un desmit iedegušas rokas
Viņi turēja portfeli un pavadu.

Un desmit tumši zilas acis
Uzskatot pasauli ierasti,
Bet viss kļūs normāli,
Kad sapratīsi manu stāstu.

/ N. Starikovs /

Un cik meitenei bija gadu? (12 gadi ) Kurā klasē viņa gāja? (5. klase ) Cik roku un kāju viņai bija? (2 rokas, 2 kājas ) Kā kucēnam ir 100 kājas? (4 ķepas )

Pēc kontroldarba aizpildīšanas paši skolēni skaļi izrunā atbildes, tiek veikta pašpārbaude un skolēni liek sev atzīmes.

Kritērijs:

10 pareizās atbildes (varbūt neliels trūkums) - “5”;

9 vai 8 - “4”;

7, 6 – “3”;

pārējie ir “2”.

II. Mājasdarbs (2 minūtes)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Darbs ar jaunu materiālu

Aritmētiskās darbības binārajā sistēmā.

Binārās skaitļu sistēmas aritmētikas pamatā ir ciparu saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas tabulu izmantošana. Aritmētiskie operandi atrodas tabulas augšējā rindā un pirmajā kolonnā, un rezultāti ir kolonnu un rindu krustpunktā:

0

1

1

1

Papildinājums.

Binārā pievienošanas tabula ir ļoti vienkārša. Tikai vienā gadījumā, kad tiek veikta saskaitīšana 1 + 1, notiek pārsūtīšana uz nozīmīgāko bitu.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Atņemšana.

Veicot atņemšanas darbību, no lielāka skaitļa absolūtā vērtībā vienmēr tiek atņemts mazāks skaitlis un tiek likta atbilstošā zīme. Atņemšanas tabulā 1 ar joslu nozīmē augsta līmeņa aizdevumu. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Reizināšana

Reizināšanas operācija tiek veikta, izmantojot reizināšanas tabulu saskaņā ar parasto shēmu, ko izmanto decimālo skaitļu sistēmā ar secīgu reizinātāja reizināšanu ar nākamo reizinātāja ciparu. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Reizināšana tiek samazināta līdz reizinātāja un saskaitīšanas nobīdēm.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Nodarbības rezumēšana

Karte studentu papildu darbam.

Veiciet aritmētiskās darbības:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Papildinājums. Skaitļu saskaitīšana binārajā skaitļu sistēmā balstās uz viencipara bināro skaitļu saskaitīšanas tabulu (6.tabula).

Ir svarīgi pievērst uzmanību tam, ka, pievienojot divas vienības, pārskaitījums tiek veikts uz augstāko ciparu. Tas notiek, ja skaitļa vērtība kļūst vienāda vai lielāka par skaitļu sistēmas bāzi.

Daudzciparu bināro skaitļu saskaitīšana tiek veikta saskaņā ar iepriekš minēto saskaitīšanas tabulu, ņemot vērā iespējamās pārsūtīšanas no zemākiem cipariem uz augstākiem cipariem. Kā piemēru pievienosim kolonnā bināros skaitļus:

Pārbaudīsim aprēķinu pareizību, saskaitot decimālskaitļu sistēmā. Pārvērsīsim bināros skaitļus par decimālo skaitļu sistēmu un pievienosim tos:

Atņemšana. Bināro skaitļu atņemšanas pamatā ir viencipara bināro skaitļu atņemšanas tabula (7. tabula).

Atņemot no mazāka skaitļa (0) lielāku (1), tiek veikts aizdevums no augstākās kārtas. Tabulā aizdevums norādīts ar 1 ar stabiņu.

Daudzciparu bināro skaitļu atņemšana tiek realizēta saskaņā ar šo tabulu, ņemot vērā iespējamos aizdevumus ar augstas kārtas cipariem.

Piemēram, atņemsim bināros skaitļus:

Reizināšana. Reizināšanas pamatā ir viencipara bināro skaitļu reizināšanas tabula (8. tabula).

Daudzciparu bināro skaitļu reizināšana tiek veikta saskaņā ar šo reizināšanas tabulu saskaņā ar parasto shēmu, ko izmanto decimālo skaitļu sistēmā, secīgi reizinot reizinātāju ar nākamo reizinātāja ciparu. Apsveriet binārās reizināšanas piemēru

Piezīme: Saskaitot divus skaitļus, kas vienādi ar 1, šajā ciparā tiek iegūts 0, bet 1. tiek pārsūtīts uz nozīmīgāko ciparu.

Piemērs_21: Doti numuri 101 (2) un 11 (2). Atrodiet šo skaitļu summu.

kur 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Pārbaude: 5+3=8.

Atņemot vienu no 0, vienība tiek ņemta no augstākā tuvākā cipara, kas atšķiras no 0. Tajā pašā laikā vienība, kas aizņemta augstākajā ciparā, dod 2 vienības vismazāk nozīmīgajā ciparā un vienu visos ciparos starp lielāko un zemākais.

Piemērs_22: Doti numuri 101 (2) un 11 (2). Atrodiet atšķirību starp šiem skaitļiem.

kur 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 10 (2) = 2 (10) .

Pārbaude: 5-3=2.

Reizināšanas darbība tiek samazināta līdz atkārtotai maiņai un saskaitīšanai.

Piemērs_23: Doti skaitļi 11 (2) un 10 (2). Atrodiet šo skaitļu reizinājumu.

kur 11 (2) = 3 (10) , 10 (2) = 2 (10) , 110 (2) = 6 (10) .

Pārbaudiet: 3*2=6.

Aritmētiskās darbības oktālo skaitļu sistēmā

Saskaitot divus skaitļus, kuru summa ir vienāda ar 8, šajā kategorijā iegūst 0, bet 1. pārceļ uz augstāko secību.

Piemērs_24: Doti numuri 165 (8) un 13 (8). Atrodiet šo skaitļu summu.

kur 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Atņemot lielāku skaitli no mazāka skaitļa, vienība tiek ņemta no lielākā tuvākā cipara, kas atšķiras no 0. Tajā pašā laikā vienība, kas aizņemta augstākajā ciparā, dod 8 vismazāk nozīmīgajā ciparā.

Piemērs_25: Doti numuri 114 (8) un 15 (8). Atrodiet atšķirību starp šiem skaitļiem.

kur 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10), 77 (8) =63 (10) .

Aritmētiskās darbības heksadecimālo skaitļu sistēmā

Saskaitot divus skaitļus, summā, kas vienāda ar 16, šajā kategorijā tiek ierakstīts 0, un 1 tiek pārcelts uz augstāko secību.

Piemērs_26: Doti numuri 1B5 (16) un 53 (16). Atrodiet šo skaitļu summu.

kur 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Atņemot lielāku skaitli no mazāka skaitļa, vienība tiek ņemta no lielākā tuvākā cipara, kas nav 0. Tajā pašā laikā vienība, kas aizņemta augstākajā ciparā, dod 16 vismazāk nozīmīgajā ciparā.

Piemērs_27: Doti numuri 11A (16) un 2C (16). Atrodiet atšķirību starp šiem skaitļiem.

kur 11A (16) = 282 (10) , 2C (16) = 44 (10) , EE (16) = 238 (10) .

Datora datu kodēšana

Dati datorā tiek attēloti kā kods, kas sastāv no vieniniekiem un nullēm dažādās secībās.

Kods– simbolu kopums informācijas pasniegšanai. Kodēšana ir informācijas sniegšanas process koda formā.

Skaitļu kodi

Veicot aritmētiskās darbības datorā, viņi izmanto tiešs, apgriezts un papildu numuru kodi.

Tiešais kods

Taisni binārā skaitļa kods (absolūtas vērtības attēlojums ar zīmi) ir pats binārais skaitlis, kurā visi cipari, kas attēlo tā vērtību, ir ierakstīti kā matemātiskā apzīmējumā, un skaitļa zīme ir ierakstīta kā binārais cipars.

Veselus skaitļus datorā var attēlot ar zīmi vai bez tās.

Neparakstīti veseli skaitļi parasti aizņem vienu vai divus baitus atmiņā. Lai saglabātu veselus skaitļus ar zīmi, tiek piešķirts viens, divi vai četri baiti, bet nozīmīgākais (kreisais) bits tiek piešķirts zem skaitļa zīmes. Ja skaitlis ir pozitīvs, tad šim bitam tiek ierakstīts 0, ja negatīvs, tad 1.

Piemērs_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

Pozitīvie skaitļi datorā vienmēr tiek attēloti, izmantojot tiešu kodu. Tiešais numura kods pilnībā sakrīt ar paša numura ievadīšanu iekārtas šūnā. Negatīvā skaitļa tiešais kods no atbilstošā pozitīvā skaitļa tiešā koda atšķiras tikai ar zīmes bita saturu.

Tiešo kodu izmanto, saglabājot skaitļus datora atmiņā, kā arī veicot reizināšanas un dalīšanas darbības, bet skaitļu attēlošanas formāts tiešajā kodā ir neērts lietošanai aprēķinos, jo tiek veikta pozitīvo un negatīvo skaitļu saskaitīšana un atņemšana. atšķirīgi, un tāpēc ir nepieciešams analizēt zīmju operanda bitus. Tāpēc tiešais kods praktiski netiek izmantots, īstenojot aritmētiskās darbības ar veseliem skaitļiem ALU. Bet negatīvi veseli skaitļi datorā netiek attēloti ar tiešu kodu. Šī formāta vietā ir kļuvuši plaši izplatīti formāti skaitļu attēlošanai apgrieztā veidā un papildu kodi.

Apgrieztais kods

Apgrieztais kods pozitīvs skaitlis sakrīt ar tiešo, un, rakstot negatīvu skaitli, visi tā cipari, izņemot ciparu, kas apzīmē skaitļa zīmi, tiek aizstāti ar pretējiem (0 tiek aizstāts ar 1 un 1 tiek aizstāts ar 0 ).

Piemērs_29:

Piemērs_30:

Lai atjaunotu negatīva skaitļa tiešo kodu no apgrieztā koda, visi cipari, izņemot ciparu, kas apzīmē skaitļa zīmi, jāaizstāj ar pretējiem.

Papildu kods

Papildu kods pozitīvs skaitlis sakrīt ar tiešo, un negatīva skaitļa kodu veido, apgrieztajam kodam pievienojot 1.

Piemērs_31:

Piemērs_32:

Piemērs_33:

Veselam skaitlim -32 (10) ierakstiet papildu kodu.

1. Pēc skaitļa 32 (10) pārvēršanas binārajā skaitļu sistēmā mēs iegūstam:

32 (10) =100000 (2) .

2. Pozitīvā skaitļa 32 (10) tiešais kods ir 0010 0000.

3. Negatīvam skaitlim -32 (10) tiešais kods ir 1010 0000.

4. Skaitļa -32 (10) reversais kods ir 1101 1111.

5. Numura -32 (10) papildkods ir 1110 0000.

Piemērs_34:

Skaitļa papildu kods ir 0011 1011. Atrodiet skaitļa vērtību decimāldaļās.

1. Skaitļa pirmais (zīmes) cipars 0 011 1011 ir 0, tāpēc skaitlis ir pozitīvs.

2. Pozitīvam skaitlim papildu, apgrieztais un tiešais kods ir vienāds.

3. Skaitlis binārajā sistēmā tiek iegūts no tiešā koda ieraksta - 111011 (2) (no augstākajiem cipariem mēs atmetam nulles).

4. Skaitlis 111011 (2) pēc pārvēršanas decimālskaitļu sistēmā ir 59 (10).

Piemērs_35:

Skaitļa papildu kods ir 1011 1011. Atrodiet skaitļa vērtību decimāldaļās.

1. Skaitļa zīmes cipars 1 011 1011 ir 1, tāpēc skaitlis ir negatīvs.

2. Lai noteiktu skaitļa apgriezto kodu, atņemiet vienu no papildu koda. Apgrieztais kods ir 1 011 1010.

3. Tiešo kodu iegūst no reversa, aizstājot visus skaitļa bināros ciparus ar pretējiem (1 pret 0, 0 pret 1). Tiešais numura kods ir 1 100 0101 (zīmes bitā rakstām 1).

4. Skaitlis binārajā sistēmā tiek iegūts no tiešā koda ieraksta - -100 0101 (2).

4. Skaitlis -1000101 (2) pēc pārvēršanas decimāldaļās ir vienāds ar -69 (10).

Līdzīga informācija.

mājas \ Dokumentācija \ Informātikas skolotājam

Izmantojot materiālus no šīs vietnes - un banera izvietošana OBLIGĀTA!!!

Binārā aritmētika

Skaitļus, kurus esam pieraduši lietot, sauc par decimāldaļu, un aritmētiku, ko mēs izmantojam, sauc arī par decimāldaļu. Tas ir tāpēc, ka katrs skaitlis var sastāvēt no ciparu kopas, kas satur 10 rakstzīmes — cipari — "0123456789".

Matemātika attīstījās tā, ka tieši šī kopa kļuva par galveno, bet decimālā aritmētika nav vienīgā. Ja ņemam tikai piecus ciparus, tad uz to pamata varam veidot pieckārtīgu aritmētiku, no septiņiem cipariem – septiņkārtīgu. Zināšanu jomās, kas saistītas ar datortehnoloģiju, bieži tiek izmantota aritmētika, kurā skaitļus veido attiecīgi sešpadsmit cipari, šo aritmētiku sauc par heksadecimālu. Lai saprastu, kas ir skaitlis aritmētikā, kas nav decimāldaļa, vispirms noskaidrojam, kas ir skaitlis decimālajā aritmētikā.

Ņemiet, piemēram, skaitli 246. Šis ieraksts nozīmē, ka ciparā ir divi simti, četri desmiti un seši vieninieki. Tāpēc mēs varam uzrakstīt šādu vienādību:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Šeit vienādības zīmes atdala trīs viena un tā paša skaitļa rakstīšanas veidus. Šobrīd mums visinteresantākā ir trešā rakstīšanas forma: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. Tas tiek organizēts šādi:

Mums ir trīs skaitļi. Augstākajam ciparam "2" ir skaitlis 3. Tātad tas tiek reizināts ar 10 ar otro pakāpi. Nākamajam ciparam "4" ir sērijas numurs 2, un pirmajā ciparā tas tiek reizināts ar 10. Jau tagad redzams, ka cipari tiek reizināti ar desmit ar pakāpju vienu mazāk nekā cipara kārtas skaitlis. Sapratuši teikto, varam pierakstīt vispārīgo formulu decimālskaitļa attēlošanai. Lai ir skaitlis ar N cipariem. I-to ciparu apzīmēsim ar i. Tad skaitli var uzrakstīt šādā formā: a n a n-1 ….a 2 a 1 . Šī ir pirmā veidlapa, un trešā pieteikuma veidlapa izskatīsies šādi:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

kur i ir rakstzīme no kopas "0123456789"

Šajā ierakstā ļoti skaidri redzama desmitnieka loma. Desmits ir skaitļa veidošanās pamats. Un, starp citu, to sauc par "skaitļu sistēmas bāzi" un pašu skaitļu sistēmu, tāpēc to sauc par "decimālo". Protams, skaitlim desmit nav īpašu īpašību. Mēs varam viegli aizstāt desmit ar jebkuru citu skaitli. Piemēram, skaitli piecciparu skaitļu sistēmā var uzrakstīt šādi:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

kur i ir rakstzīme no kopas "01234"

Kopumā mēs aizstājam 10 ar jebkuru citu skaitli un iegūstam pilnīgi citu skaitļu sistēmu un citu aritmētiku. Visvienkāršāko aritmētiku iegūst, ja 10 aizstāj ar 2. Iegūto skaitļu sistēmu sauc par bināro un skaitli tajā definē šādi:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

kur i ir rakstzīme no kopas "01"

Šī sistēma ir vienkāršākā no visām iespējamajām, jo ​​tajā jebkurš skaitlis veidojas tikai no diviem cipariem 0 un 1. Skaidrs, ka vienkāršāk nekur nav. Bināro skaitļu piemēri: 10, 111, 101.

Ļoti svarīgs jautājums. Vai bināro skaitli var attēlot kā decimālo skaitli un otrādi, vai decimālo skaitli var attēlot kā bināru skaitli.

Binārs līdz decimāldaļai. Tas ir ļoti vienkārši. Šāda tulkojuma metode ļauj mums rakstīt skaitļus. Ņemiet, piemēram, šādu bināro skaitli 1011. Izvērsīsim to divos pakāpēs. Mēs iegūstam sekojošo:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Mēs veicam visas ierakstītās darbības un iegūstam:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Tādējādi mēs iegūstam, ka 1011 (binārais) = 11 (decimālskaitlis). Uzreiz var redzēt nelielas binārās sistēmas neērtības. Tāda paša skaitļa, kas decimālajā sistēmā binārajā sistēmā tiek rakstīts ar vienu rakstzīmi, ierakstīšanai nepieciešamas četras rakstzīmes. Bet tā ir cena par vienkāršību (nekas nenotiek bez maksas). Bet binārā sistēma sniedz milzīgu ieguvumu aritmētiskajās darbībās. Un tad mēs to redzēsim.

Izsakiet šādus bināros skaitļus kā decimālskaitli.

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

Bināro skaitļu saskaitīšana.

Kolonnas pievienošanas metode parasti ir tāda pati kā decimālskaitļa gadījumā. Tas nozīmē, ka pievienošana tiek veikta pa bitam, sākot ar vismazāko ciparu. Ja, saskaitot divus ciparus, SUMMA ir lielāka par deviņiem, tiek ierakstīts skaitlis = SUM-10 un augstākajam ciparam tiek pievienota VISA DAĻA (SUM / 10). (Pievienojiet pāris skaitļus kolonnā, atcerieties, kā tas tiek darīts.) Tā tas ir ar bināro skaitli. Pamazām saskaitiet, sākot ar zemāko ciparu. Ja izrādās vairāk par 1, tad raksta 1 un nozīmīgākajam ciparam pievieno 1 (saka "tas ir traki").

Izpildīsim piemēru: 10011 + 10001.

Pirmais rangs: 1+1 = 2. Mēs pierakstām 0 un 1 ienāca prātā.

Otrais rangs: 1+0+1 (iegaumētā vienība) =2. Mēs pierakstām 0 un 1 ienāca prātā.

Trešā pakāpe: 0+0+1(atcerētā vienība) = 1. Ierakstiet 1.

Ceturtais rangs 0+0=0. Mēs pierakstām 0.

Piektais rangs 1+1=2. Mēs rakstām 0 un pievienojam 1 sestajam bitam.

Pārveidosim visus trīs skaitļus decimāldaļās un pārbaudīsim saskaitījuma pareizību.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 pareiza vienlīdzība

Neatkarīga risinājuma piemēri:

a) 11001 +101 =

b) 11001 +11001 =

c) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

f) 11011 + 1111 =

e) 11111 + 10011 =

Kā pārvērst decimāldaļu uz bināro. Nākamā darbība ir atņemšana. Bet mēs izskatīsim šo darbību nedaudz vēlāk, un tagad mēs apsvērsim metodi decimālskaitļa pārvēršanai binārā.

Lai decimālo skaitli pārvērstu par bināru, tas ir jāpaplašina ar diviem pakāpēm. Bet, ja desmitnieku pakāpju izvērsumu iegūst uzreiz, tad kā izvērst divos pakāpēs, ir nedaudz jāpadomā. Vispirms apskatīsim, kā to izdarīt ar atlases metodi. Ņemsim decimālskaitli 12.

Pirmais solis. 2 2 \u003d 4, ar to nepietiek. Tas ir arī mazs un 2 3 \u003d 8, un 2 4 \u003d 16 jau ir daudz. Tātad atstāsim 2 3 =8. 12 - 8 = 4. Tagad jums ir jāattēlo 4 kā divu pakāpju.

Otrais solis. 4 = 2 2 .

Tad mūsu skaitlis 12 = 2 3 + 2 2 . Augstākajam ciparam ir skaitlis 4, augstākajai pakāpei = 3, tāpēc vajadzētu būt terminiem ar pakāpēm divi 1 un 0. Bet mums tie nav vajadzīgi, tāpēc, lai atbrīvotos no nevajadzīgiem grādiem, un atstājiet nepieciešamos skaitļus rakstām šādi: 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - tas ir skaitļa 12 binārais attēlojums. Ir viegli redzēt, ka katra nākamā pakāpe ir lielākā pakāpe no diviem, kas ir mazāka par izvēršamo skaitli. Lai labotu metodi, apskatīsim citu piemēru. 23. numurs.

1. darbība. Divu tuvākā pakāpe ir 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

2. darbība. Divu tuvākā jauda ir 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

3. solis. Divu tuvākā pakāpe ir 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

4. solis. Divu tuvākā jauda 2 0 =1 1 - 1 =0

Iegūstam šādu sadalījumu: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

Un mūsu vēlamais binārais skaitlis ir 10111

Iepriekš aplūkotā metode labi atrisina iepriekš izvirzīto problēmu, taču ir metode, kas ir daudz labāk algoritmizēta. Šīs metodes algoritms ir uzrakstīts zemāk:

Ja NUMBER ir lielāks par nulli, dariet to

NĀKAMAIS CIPARS \u003d atlikums no NUMBER dalīšanas ar 2

NUMBER = vesela skaitļa daļa no NUMBER, dalīta ar 2

Kad šis algoritms pabeidz savu darbu, aprēķināto REGULĀRO CIPARU secība būs binārs skaitlis. Piemēram, strādāsim ar skaitli 19.

Algoritma sākuma SKAITS = 19

NĀKAMAIS CIPARS = 1

NĀKAMAIS CIPARS = 1

NĀKAMAIS CIPARS = 0

NĀKAMAIS CIPARS = 0

NĀKAMAIS CIPARS = 1

Tātad rezultātā mums ir šāds skaitlis 10011. Ņemiet vērā, ka divas aplūkotās metodes atšķiras secībā, kādā tiek iegūti nākamie cipari. Pirmajā metodē pirmais saņemtais cipars ir binārā skaitļa augstākais cipars, bet otrajā metodē pirmais saņemtais cipars, gluži pretēji, ir zemākais.

Konvertējiet decimāldaļu uz bināru divos veidos

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019. g.

Kā pārvērst daļskaitli decimāldaļā.

Ir zināms, ka jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā decimāldaļu un parasto daļskaitli. Parasta daļa, tas ir, formas A / B daļa, var būt regulāra un nepareiza. Daļskaitli sauc par pareizu, ja A<В и неправильной если А>AT.

Ja racionāls skaitlis ir attēlots ar nepareizu daļskaitli un tajā pašā laikā daļskaitļa skaitītājs ir pilnībā dalīts ar saucēju, tad šis racionālais skaitlis ir vesels skaitlis, visos citos gadījumos parādās daļskaitlis. Daļējā daļa bieži ir ļoti garš skaitlis un pat bezgalīgs skaitlis (bezgalīga periodiska daļa, piemēram, 20/6), tāpēc daļdaļas gadījumā mums ir ne tikai uzdevums pārtulkot vienu atveidojumu citā, bet arī pārtulkot. ar noteiktu precizitāti.

Precizitātes noteikums. Pieņemsim, ka jums ir dots decimālskaitlis, ko var attēlot kā decimāldaļskaitli līdz N cipariem. Lai atbilstošais binārais skaitlis būtu ar tādu pašu precizitāti, tajā jāieraksta M - rakstzīmes, lai

Un tagad mēģināsim iegūt tulkošanas noteikumu un vispirms apsveriet piemēru 5401

Lēmums:

Veselo daļu iegūsim pēc mums jau zināmiem noteikumiem, un tā ir vienāda ar bināro skaitli 101. Un daļskaitli izvēršam pakāpēs no 2.

1. darbība: 2-2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. ir atlikums.

2. darbība: Tagad mums ir jāattēlo 0,151 kā divu pakāpju. Darīsim šādi: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

Tādējādi sākotnējo daļējo daļu var attēlot kā 2 -2 +2 -3. To pašu var ierakstīt šādā binārā skaitļā: 0,011. Pirmais daļskaitlis ir nulle, jo mūsu izvērsumā nav pakāpes 2–1.

No pirmā un otrā posma ir skaidrs, ka šis attēlojums nav precīzs un var būt vēlams turpināt sadalīšanu. Atgriezīsimies pie noteikuma. Tajā teikts, ka mums vajag tik daudz M zīmju, lai 10 3 būtu mazāks par 2 M. Tas ir, 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

3. darbība: Tagad mēs strādājam ar skaitli 0,026. Šim skaitlim tuvākā jauda ir 2 -6 \u003d 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 tagad mūsu precīzāks binārais skaitlis ir 0,011001. Pēc komata ir jau sešas zīmes aiz komata, taču ar to vēl nepietiek, tāpēc veicam vēl vienu soli.

4. darbība: Tagad mēs strādājam ar numuru 0.010375. Šim skaitlim tuvākā jauda ir 2 -7 \u003d 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

5. darbība: Tagad mēs strādājam ar numuru 0.0025625. Tuvākā pakāpe diviem šim skaitlim ir 2 -9 \u003d 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Pēdējais iegūtais atlikums ir mazāks par 2 -10 un, ja mēs vēlamies turpināt tuvoties sākotnējam skaitlim, tad mums būtu nepieciešams 2 -11 , taču tas jau pārsniedz nepieciešamo precizitāti, un tāpēc aprēķinus var apturēt un iegūt galīgo bināro attēlojumu. daļējo daļu var pierakstīt.

0,401 = 0,011001101

Kā redzat, decimālskaitļa daļējas daļas pārvēršana binārā attēlojumā ir nedaudz sarežģītāka nekā vesela skaitļa daļas konvertēšana. Divnieku pilnvaru tabula lekcijas beigās.

Un tagad mēs rakstām transformācijas algoritmu:

Algoritma sākotnējie dati: Caur A apzīmēsim sākotnējo īsto decimāldaļdaļu, kas rakstīta decimāldaļā. Lai šī daļa satur N zīmes.

Algoritms

Darbība 1. No nevienādības 10 N nosakiet nepieciešamo bināro rakstzīmju skaitu M< 2 M

2. darbība. Aprēķiniet binārā attēlojuma ciparus (cipari aiz nulles). Cipara skaitlis tiks apzīmēts ar simbolu K.

1. Ciparu skaitlis = 1
2. Ja 2 -K > A

Pēc tam binārā skaitļa apzīmējumam pievienojam nulli

• pievienojiet 1 binārajam skaitlim
• A \u003d A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Ja K > M

• tad algoritms ir pabeigts.
• Pretējā gadījumā pārejiet uz 2. darbību.

Pārvērst decimāldaļu uz bināru

a) 3,6 b) 12,0112 c) 0,231 d) 0,121 e) 23,0091

Bināro skaitļu atņemšana. Mēs arī atņemsim skaitļus, mēs arī izmantosim kolonnu un vispārējais noteikums ir tāds pats kā decimālskaitļiem, atņemšana tiek veikta pa bitam un, ja bitā nav pietiekami daudz vienību, tad tiek iesaistīta vecāko. Atrisināsim šādu piemēru:

Pirmā pakāpe. 1-0 =1. Mēs pierakstām 1.

Otrais rangs 0-1. Trūkst vienības. Mēs to pieņemam vecākajā kategorijā. Viens no augstākā cipara pāriet uz zemāko, kā divas vienības (jo augstākais cipars ir apzīmēts ar lielākas pakāpes divi) 2-1 \u003d 1. Mēs pierakstām 1.

Trešā pakāpe. Mēs aizņēmām šī cipara vienību, tāpēc tagad ciparā 0 ir jāieņem nozīmīgākā cipara vienība. 2-1=1. Mēs pierakstām 1.

Pārbaudīsim rezultātu decimālajā sistēmā

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Patiesa vienlīdzība.

Vēl viens interesants veids, kā veikt atņemšanu, ir saistīts ar divu komplementa jēdzienu, kas ļauj samazināt atņemšanu līdz saskaitīšanai. Izrādās, cipars papildu kodā ir ārkārtīgi vienkāršs, mēs ņemam skaitli, aizstājam nulles ar vieniniekiem, otrādi, mēs aizstājam vienus ar nullēm un pievienojam vienu vismazāk nozīmīgajam ciparam. Piemēram, 10010 abu komplementa kodā būtu 011011.

Divu komplementa atņemšanas noteikums nosaka, ka atņemšanu var aizstāt ar saskaitīšanu, ja apakšrindu aizstāj ar skaitli divu komplementa kodā.

Piemērs: 34–22 = 12

Rakstīsim šo piemēru binārā formā. 100010–10110 = 1100

Papildu kods numuram 10110 būs šāds

01001 + 00001 = 01010. Pēc tam sākotnējo piemēru var aizstāt ar pievienošanu šādi 100010 + 01010 = 101100 Tālāk jums ir jāizmet viena vienība visaugstākajā secībā. Ja mēs to darām, mēs iegūstam 001100. Mēs atmetam nenozīmīgas nulles un iegūstam 1100, tas ir, piemērs tika atrisināts pareizi

Veiciet atņemšanu. Parastā veidā un papildu kodā, iepriekš pārveidojot decimālskaitļus bināros:

Pārbaudiet, pārvēršot bināro rezultātu decimāldaļā.

Reizināšana binārā skaitļu sistēmā.

Sāksim ar šādu interesantu faktu. Lai bināro skaitli reizinātu ar 2 (decimāldaļa divi ir 10 binārā), pietiek ar vienu nulli reizinātajam skaitlim kreisajā pusē.

Piemērs. 10101 * 10 = 101010

Pārbaude.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Ja atceramies, ka jebkuru bināro skaitli var paplašināt ar pakāpēm divi, tad kļūst skaidrs, ka reizināšana binārajā skaitļu sistēmā tiek samazināta līdz reizināšanai ar 10 (tas ir, ar decimāldaļu 2), un tāpēc reizināšana ir secīgu skaitļu sērija. maiņas. Vispārējais noteikums ir tāds, ka, tāpat kā ar decimālskaitļiem, binārā reizināšana tiek veikta pa bitiem. Un katram otrā reizinātāja ciparam tiek pievienota viena nulle pa labi no pirmā reizinātāja. Piemērs (vēl nav kolonna):

1011 * 101 Šo reizināšanu var samazināt līdz trīs bitu reizinājumu summai:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 To pašu var uzrakstīt šādā kolonnā:

Pārbaude:

101 = 5 (decimālzīme)

1011 = 11 (decimāldaļa)

110111 = 55 (decimāldaļa)

5*11 = 55 pareiza vienlīdzība

Izlemiet paši

a) 1101 * 1110 =

b) 1010 * 110 =

e) 101011 * 1101 =

f) 10010 * 1001 =

Piezīme: Starp citu, reizināšanas tabula binārajā sistēmā sastāv tikai no viena vienuma 1 * 1 = 1

Sadalījums binārajā sistēmā.

Mēs jau esam apsvēruši trīs darbības, un, manuprāt, jau ir skaidrs, ka kopumā darbības ar binārajiem skaitļiem maz atšķiras no darbībām ar decimālskaitļiem. Atšķirība parādās tikai tajā, ka ir divi cipari, nevis desmit, bet tas tikai vienkāršo aritmētiskās darbības. Tas pats attiecas uz dalīšanu, taču, lai labāk izprastu dalīšanas algoritmu, mēs analizēsim sīkāk. Pieņemsim, ka mums ir jāsadala divi decimālskaitļi, piemēram, 234 dalīts ar 7. Kā to izdarīt.

Mēs piešķiram pa labi (no nozīmīgākā cipara) tādu ciparu skaitu, lai iegūtais skaitlis būtu pēc iespējas mazāks un tajā pašā laikā lielāks par dalītāju. 2 ir mazāks par dalītāju, tāpēc mums vajadzīgais skaitlis ir 23. Tad iegūto skaitli dalām ar dalītāju ar atlikumu. Mēs iegūstam šādu rezultātu:

Aprakstīto darbību atkārto, līdz iegūtais atlikums ir mazāks par dalītāju. Kad tas notiek, skaitlis, kas iegūts zem joslas, ir koeficients, un pēdējais atlikums ir operācijas atlikums. Tātad bināra skaitļa dalīšanas darbība tiek veikta tieši tādā pašā veidā. Pamēģināsim

Piemērs: 10010111 / 101

Mēs meklējam skaitli, no kura augstākās kārtas pirmais būtu lielāks par dalītāju. Šis ir četrciparu skaitlis 1001. Tas ir parādīts treknrakstā. Tagad jums ir jāatrod atlasītā skaitļa dalītājs. Un šeit mēs atkal uzvaram, salīdzinot ar decimālo sistēmu. Fakts ir tāds, ka izvēlētais dalītājs noteikti ir cipars, un mums ir tikai divi cipari. Tā kā 1001 ir nepārprotami lielāks par 101, tad ar dalītāju viss ir skaidrs, tas ir 1. Izpildīsim darbības soli.

Tātad operācijas atlikusī daļa ir 100. Tas ir mazāks par 101, tāpēc, lai veiktu otrās dalīšanas soli, 100 jāpievieno nākamais cipars, tas ir skaitlis 0. Tagad mums ir šāds skaitlis:

1000 ir lielāks par 101, tāpēc otrajā solī privātajam ciparam atkal pievienojam 1 un iegūstam šādu rezultātu (lai ietaupītu vietu, nākamo ciparu uzreiz izlaižam).

Trešais solis. Iegūtais skaitlis 110 ir lielāks par 101, tāpēc šajā solī mēs to ierakstīsim koeficientā 1. Tas izrādīsies šādi:

Iegūtais skaitlis 11 ir mazāks par 101, tāpēc mēs to ierakstām privātajā ciparā 0 un nākamo ciparu samazinām uz leju. Tas izrādās šādi:

Iegūtais skaitlis ir lielāks par 101, tāpēc koeficientā ierakstām skaitli 1 un veicam darbības vēlreiz. Izrādās šis attēls:

1

0

Rezultātā iegūtais atlikums 10 ir mazāks par 101, bet mums pietrūka ciparu dividendē, tāpēc 10 ir pēdējais atlikums, bet 1110 ir vēlamais koeficients.

Pārbaudiet decimāldaļās

Tas noslēdz vienkāršāko aritmētisko darbību aprakstu, kas jums jāzina, lai izmantotu bināro aritmētiku, un tagad mēs mēģināsim atbildēt uz jautājumu "Kāpēc mums ir nepieciešama binārā aritmētika." Protams, iepriekš jau tika parādīts, ka skaitļa ierakstīšana binārajā sistēmā ievērojami vienkāršo aritmētiskās darbības, bet tajā pašā laikā pats ieraksts kļūst daudz garāks, kas samazina iegūtā vienkāršojuma vērtību, tāpēc ir jāskatās tādiem uzdevumiem, kuru risinājums bināros skaitļos ir daudz vienkāršāks.

1. uzdevums: visu paraugu iegūšana

Ļoti bieži ir uzdevumi, kuros jāspēj izveidot visas iespējamās kombinācijas no dotā priekšmetu kopuma. Piemēram, šāds uzdevums:

Ņemot vērā lielu akmeņu kaudzi, sakārtojiet akmeņus divās kaudzēs tā, lai šo divu kaudžu masa būtu pēc iespējas vienāda.

Šo uzdevumu var formulēt šādi:

Atrodiet akmeņu paraugu no lielas kaudzes, lai tā kopējā masa pēc iespējas mazāk atšķirtos no puses no lielās kaudzes masas.

Šāda veida uzdevumu ir diezgan daudz. Un visi no tiem, kā jau minēts, ir saistīti ar spēju iegūt visas iespējamās kombinācijas (mēs tās turpmāk sauksim par atlasēm) no noteiktas elementu kopas. Un tagad mēs apsvērsim vispārīgu metodi visu iespējamo paraugu iegūšanai, izmantojot bināro saskaitīšanas darbību. Sāksim ar piemēru. Lai ir trīs priekšmetu komplekts. Mēs veidojam visus iespējamos paraugus. Preces tiks apzīmētas ar sērijas numuriem. Tas ir, ir šādi vienumi: 1, 2, 3.

Paraugi: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (100); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Ja pozīcijā ar nākamo numuru ir viens, tas nozīmē, ka elements ar skaitli, kas vienāds ar šo pozīciju, ir atlasē, un, ja ir nulle, tad elements nav. Piemēram, sample(0, 1, 0); sastāv no viena elementa ar skaitli 2, un paraugs ir (1, 1, 0); sastāv no diviem elementiem ar cipariem 1 un 2.

Šis piemērs skaidri parāda, ka paraugu var attēlot kā bināru skaitli. Turklāt ir viegli redzēt, ka visi iespējamie viena, divu un trīs ciparu binārie skaitļi ir uzrakstīti iepriekš. Pārrakstīsim tos šādi:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Mēs esam saņēmuši virkni secīgu bināro skaitļu, no kuriem katrs tiek iegūts no iepriekšējā, pievienojot vienu. Jūs varat to pārbaudīt. Izmantojot šo novēroto likumsakarību, mēs varam izveidot šādu paraugu iegūšanas algoritmu.

Algoritma sākotnējie dati

Dota priekšmetu kopa N - gabali. Turpmāk mēs šo kopu sauksim kā sākotnējo elementu kopu. Numurēsim visus sākotnējās kopas elementus no 1 līdz N. Izveidosim bināru skaitli no N nenozīmīgām nullēm. 0000… 0 N Šis nulles binārais skaitlis apzīmē nulles paraugu, no kura sāksies paraugu ņemšanas process. Skaitļa cipari tiek skaitīti no labās puses uz kreiso, tas ir, galējais kreisais cipars ir nozīmīgākais.

Vienosimies apzīmēt šo bināro skaitli ar lielajiem burtiem BINARY

Algoritms

Ja BINĀRAIS skaitlis sastāv tikai no vieniniekiem

Tad mēs pārtraucam algoritmu

• BINārajam skaitlim pievienojam vienu pēc binārās aritmētikas noteikumiem.
• No saņemtā BINĀRĀ skaitļa mēs veidojam nākamo paraugu, kā aprakstīts iepriekš.

2. uzdevums: Lielo pirmzīmju atrašana

Pirmkārt, atcerieties, ka pirmskaitlis ir naturāls skaitlis, kas dalās tikai ar 1 un pats sevi. Pirmskaitļu piemēri: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Lielu pirmskaitļu atrašana ir ļoti svarīga matemātiska problēma. Lai droši šifrētu ziņojumus ar dažiem šifrēšanas algoritmiem, ir nepieciešami lieli pirmskaitļi. Un ir vajadzīgi ne tikai lieli skaitļi, bet ļoti lieli. Jo lielāks skaitlis, jo drošāks ir uz šī skaitļa balstīts šifrs.

Piezīme. Spēcīgs šifrs ir šifrs, kura atšifrēšana aizņem ļoti ilgu laiku.

Kāpēc? Pirmskaitlis šifrēšanā un atšifrēšanā spēlē atslēgas lomu. Turklāt mēs zinām, ka pirmskaitļi naturālu skaitļu virknē nav sastopami ļoti bieži. Viņu starp pirmajiem tūkstošiem ir diezgan daudz, tad to skaits sāk strauji samazināties. Līdz ar to, ja par atslēgu ņemam ne pārāk lielu skaitli, atšifrētājs, izmantojot pat ne pārāk ātru datoru, varēs pie tā tikt (kā atslēgu šķirojot visus pirmskaitļus pēc kārtas) ierobežotā laikā.

Diezgan uzticamu kodu var iegūt, ja ņemat vienkāršu, kurā, piemēram, ir 150 rakstzīmes. Tomēr atrast tik vienkāršu nav tik vienkārši. Pieņemsim, ka kādam skaitļam A (ļoti lielam) ir jāpārbauda pirmspēja. Tas ir tas pats, kas meklēt tā dalītājus. Ja mēs varam atrast dalītājus starp 2 un kvadrātsakni no A, tad tas nav pirmskaitlis. Novērtēsim skaitļu skaitu, kas jāpārbauda, ​​​​lai varētu dalīt skaitli A.

Pieņemsim, ka skaitlim A ir 150 cipari. Tā kvadrātsaknē būs vismaz 75 rakstzīmes. Lai sakārtotu šādu skaitu iespējamo dalītāju, mums ir nepieciešams ļoti jaudīgs dators un daudz laika, kas nozīmē, ka problēma ir praktiski neatrisināma.

Kā ar to tikt galā.

Pirmkārt, jūs varat iemācīties ātri pārbaudīt viena skaitļa dalāmību ar citu, un, otrkārt, varat mēģināt atlasīt skaitli A tā, lai tas būtu vienkārši ar lielu varbūtības pakāpi. Izrādās, ka tas ir iespējams. Matemātiķis Mersens atklāja šādas formas skaitļus

Ir vienkārši ar lielu varbūtības pakāpi.

Lai saprastu iepriekš rakstīto frāzi, saskaitīsim, cik pirmskaitļu ir pirmajā tūkstotī un cik Mersenna skaitļu tajā pašā tūkstotī ir pirmskaitļi. Tātad Mersena skaitļi pirmajā tūkstotī ir šādi:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Pirmskaitļi ir atzīmēti treknrakstā. Kopumā 9 Mersenna skaitļiem ir 5 pirmskaitļi. Procentos tas ir 5/9 * 100 \u003d 55,6%. Tajā pašā laikā pirmajiem 1000 naturālajiem skaitļiem ir tikai 169 pirmskaitļi. Procentos tas ir 169/1000 * 100 = 16,9%. Tas ir, pirmajā tūkstotī, procentu izteiksmē, pirmskaitļi starp Mersenna skaitļiem ir sastopami gandrīz 4 reizes biežāk nekā starp vienkāršiem naturāliem skaitļiem.

___________________________________________________________

Un tagad ņemsim konkrētu Mersena skaitli, piemēram, 2 4 - 1. Rakstīsim to kā bināru skaitli.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Ņemsim nākamo Mersena skaitli 2 5 -1 un ierakstīsim to kā bināru skaitli. Mēs iegūstam sekojošo:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Jau tagad ir skaidrs, ka visi Mersenna skaitļi ir vieninieku secība, un šis fakts vien dod lielu ieguvumu. Pirmkārt, binārajā sistēmā ir ļoti viegli iegūt nākamo Mersenna skaitli, pietiek nākamajam skaitlim pievienot vienu, un, otrkārt, binārajā sistēmā ir daudz vieglāk meklēt dalītājus nekā decimāldaļā.

Ātra decimāldaļas konvertēšana uz bināru

Viena no galvenajām problēmām, izmantojot bināro skaitļu sistēmu, ir grūtības pārvērst decimālskaitli binārā. Tas ir diezgan darbietilpīgs uzdevums. Protams, nav pārāk grūti pārtulkot mazus trīs vai četru ciparu skaitļus, bet decimālskaitļiem, kuros ir 5 vai vairāk cipari, tas jau ir sarežģīti. Tas ir, mums ir nepieciešams veids, kā ātri pārvērst lielus decimālskaitļus bināros attēlojumos.

Šo metodi izgudroja franču matemātiķis Legendre. Dosim, piemēram, skaitli 11183445. Sadalām ar 64, iegūstam atlikumu 21 un koeficientu 174741. Šo skaitli atkal sadalām ar 64, atlikumu iegūstam 21 un koeficientu 2730. Visbeidzot, 2730 dala ar 64 dod atlikušo 42 un koeficientu 42. Bet 64 binārā ir 1000000, 21 binārā ir 10101 un 42 ir 101010, tāpēc sākotnējais skaitlis tiks rakstīts binārā šādi:

101010 101010 010101 010101

Lai būtu skaidrāks, vēl viens piemērs ar mazāku skaitli. Tulkosim skaitļa 235 bināro attēlojumu. Sadaliet 235 ar 64 ar atlikumu. Mēs iegūstam:

PRIVĀTS = 3, binārs 11 vai 000011

REZOLŪCIJA = 43, binārais 101011

Tad 235 = 11101011, pārbaudiet šo rezultātu:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Piezīmes:

1. Ir viegli redzēt, ka galīgais binārais skaitlis ietver visus atlikumus un pēdējā solī gan atlikumu, gan koeficientu.
2. Koeficients tiek uzrakstīts pirms atlikuma.
3. Ja iegūtajā koeficientā vai atlikuma binārajā attēlojumā ir mazāk par 6 cipariem (6 nulles satur skaitļa 64 = 1000000 bināro attēlojumu), tad tam pievieno nenozīmīgas nulles.

Un vēl viens grūts piemērs. Numurs 25678425.

1. darbība: 25678425 dalīts ar 64

Privāts = 401225

Atlikums = 25 = 011001

2. darbība: 401225 dalīts ar 64

Privāts = 6269

Atlikums = 9 = 001001

3. darbība: 6269 dalīts ar 64

Privāts = 97

Atlikums = 61 = 111101

4. darbība: 97 dalīts ar 64

Privāts = 1 = 000001

Atlikums = 33 = 100001

Skaitļa rezultāts = 1,100001.111101.001001.011001

Šajā ciparā tajā iekļautos starprezultātus atdala punkts.

Konvertēt uz skaitļa bināro attēlojumu:

PIELIKUMS: 1. TABULA

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. Nodarbības vieta: 9.klase- 3.mācītās sadaļas stunda
2. Nodarbības tēma: Aritmētiskās darbības binārajā sistēmā.

Klases veids: lekcija, saruna, patstāvīgais darbs.

Nodarbības mērķi:

Didaktiskais: ieviest aritmētisko darbību (saskaitīšanas, reizināšanas, atņemšanas) veikšanas noteikumus bināro skaitļu sistēmā.

Izglītības: patstāvības iemaņu ieaudzināšana darbā, precizitātes, disciplīnas audzināšana.

Attīstās: uzmanības, skolēnu atmiņas attīstīšana, spējas salīdzināt saņemto informāciju attīstība.

Starpdisciplinārie savienojumi: Matemātika:

Mācību aprīkojuma (aprīkojuma) klases:projektors, galds, uzdevumu kartes.

Nodarbības metodiskais atbalsts:prezentācija programmā PowerPoint.

Nodarbības plāns

1. Organizatoriskais moments (2 min).
2. Atkārtojums (10)
3. Jaunā materiāla skaidrošana (15 min)
4. Aptvertā materiāla konsolidācija (10 min)
5. mājasdarbu uzdevums
6. Pārdomas (2 min)
7. Kopsavilkums (2 min)

Nodarbību laikā

1. Laika organizēšana
2. Zināšanu atjaunināšana.Mēs turpinām pētīt skaitļu sistēmas tēmu, un mūsu šodienas nodarbības mērķis būs iemācīties veikt aritmētiskās darbības binārajā skaitļu sistēmā, proti, mēs kopā ar jums apsvērsim noteikumu tādu darbību veikšanai kā saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana.
3. Zināšanu pārbaude (frontālā aptauja).

Atcerēsimies:

1. Kas ir skaitļu sistēma?
2. Kas ir skaitļu sistēmas pamats?
3. Kas ir binārās skaitļu sistēmas bāze?
4. Norādiet, kuri skaitļi ir uzrakstīti ar kļūdām, un pamatojiet savu atbildi:
   123 8, 3006 2, 12ААС09 20, 13476 10,
5. Kādai jābūt minimālajai bāzei skaitļu sistēmai, ja tajā var ierakstīt skaitļus: 10, 21, 201, 1201
6. Kādas ir pāra bināra skaitļa beigas?
   Kurš cipars beidzas ar nepāra bināru skaitli?

4 . Jaunā materiāla apguvi pavada prezentācija

/ 1. pielikums/

Prezentācijas slaidos skolotājs skaidro jauno tēmu, skolēni veic pierakstus un pilda piezīmju grāmatiņā skolotāja piedāvātos uzdevumus.

No visām pozicionālajām sistēmām binārā skaitļu sistēma ir īpaši vienkārša. Apsveriet iespēju veikt pamata aritmētiskās darbības ar binārajiem skaitļiem.

Visas pozicionālo skaitļu sistēmas ir "vienādas", proti, visās aritmētiskās darbības tiek veiktas pēc vieniem un tiem pašiem noteikumiem:

viens . spēkā ir tie paši aritmētikas likumi: komutatīvais, asociatīvais, sadalošais;

2. saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas ar kolonnu noteikumi ir godīgi;

3. Aritmētisko darbību veikšanas noteikumi ir balstīti uz saskaitīšanas un reizināšanas tabulām.

Papildinājums

Apsveriet papildu piemērus.

Binārajā skaitļu sistēmā, tāpat kā jebkurā pozicionālajā sistēmā, pievienojot divu ciparu kolonnu no labās uz kreiso pusi, uz nākamo bitu var pāriet tikai viens.

Divu pozitīvu skaitļu saskaitīšanas rezultātam ir vai nu tāds pats ciparu skaits, kāds ir maksimālais no diviem vārdiem, vai par vienu ciparu vairāk, taču šis cipars var būt tikai viens.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

Atņemšana

Studentu patstāvīgais darbs piezīmju grāmatiņā materiāla nostiprināšanai

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
Reizināšana
Apsveriet reizināšanas piemērus.

Reizināšanas operācija tiek veikta, izmantojot reizināšanas tabulu pēc parastās shēmas (lieto decimālo skaitļu sistēmā) ar secīgu reizinātāja reizināšanu ar nākamo reizinātāja ciparu.
Apsveriet reizināšanas piemērus
Veicot reizināšanu 2. piemērā, atbilstošajā ciparā pievieno trīs vienības 1+1+1=11, raksta 1, bet otru mērvienību pārliek uz augstāko ciparu.
Binārajā skaitļu sistēmā reizināšanas darbība tiek reducēta līdz reizinātāja nobīdēm un starprezultātu saskaitīšanai.
Divīzija

Dalīšanas operācija tiek veikta pēc algoritma, kas līdzīgs dalīšanas darbības algoritmam decimālo skaitļu sistēmā.

Apsveriet sadalīšanas piemēru

Konsolidācija (skolēnu patstāvīgais darbs pie kartēm tiek veikts piezīmju grāmatiņā) / 2.pielikums /

Studentiem, kuri īsā laika periodā pabeidza patstāvīgo darbu, tiek piedāvāts papildus uzdevums.

5. Mājas darbs

2. Apgūt aritmētisko darbību veikšanas noteikumus binārajā skaitļu sistēmā, apgūt saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas tabulas.

3. Veiciet tālāk norādītās darbības.

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 Atspulgs

Šodien nodarbībā man visinformatīvākā bija...

Biju pārsteigts, ka…

Šodien stundās apgūto varu pielietot...

7. Nodarbības kopsavilkums

Šodien mācījāmies, kā veikt aritmētiskās darbības binārajā skaitļu sistēmā (vērtēšana nodarbībai).

Slaidu paraksti:

Nodarbības tēma: “Aritmētiskās darbības pozicionālās skaitļu sistēmās” Datorzinību skolotāja Marina Valentinovna Fedorčenko SM Berezovskas vidusskola ar Berezovkas Taišetas rajonu, Irkutskas apgabals Atcerēsimies: Kas ir skaitļu sistēma? Kas ir skaitļu sistēmas pamats? Kas ir binārās skaitļu sistēmas bāze?skaitļi ir uzrakstīti ar kļūdām un pamato atbildi: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, Kādai minimālajai bāzei jābūt skaitļu sistēmai, ja tajā var ierakstīt skaitļus: 10, 21, 201 , 1201 Kurš cipars beidzas ar pāra bināro skaitli? Kurš cipars beidzas ar nepāra bināro skaitli?
Laplass par savu attieksmi pret izcilā matemātiķa Leibnica bināro (bināro) skaitļu sistēmu rakstīja: “Savā binārajā aritmētikā Leibnics ieraudzīja radīšanas prototipu. Viņam šķita, ka viens pārstāv dievišķo principu, bet nulle - neesamību, un ka augstāka būtne rada visu no neesamības tieši tāpat, kā viens un nulle viņa sistēmā izsaka visus skaitļus. Šie vārdi uzsver alfabēta universālumu, kas sastāv no divām rakstzīmēm. Visas pozicionālo skaitļu sistēmas ir “vienādas”, proti, aritmētiskās darbības tiek veiktas visās pēc vieniem un tiem pašiem noteikumiem:
spēkā ir tie paši aritmētikas likumi: --komutatīvs (nobīde) m + n = n + m m n = n m asociatīvais (kombinatīvais) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k (m n) ) k = m (n k) = m n k sadalošais (distributīvs) (m + n) k = m k + n k
ir spēkā saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas ar kolonnu noteikumi;
aritmētisko darbību veikšanas noteikumi ir balstīti uz saskaitīšanas un reizināšanas tabulām.
Saskaitīšana pozicionālo skaitļu sistēmās No visām pozicionālajām sistēmām binārā skaitļu sistēma ir īpaši vienkārša. Apsveriet iespēju veikt pamata aritmētiskās darbības ar binārajiem skaitļiem. Visas pozicionālo skaitļu sistēmas ir "vienādas", proti, aritmētiskās darbības tiek veiktas visās pēc vieniem un tiem pašiem likumiem: der vienas un tās pašas: komutatīvās, asociatīvās, sadalošās, saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas ar kolonnu noteikumi ir spēkā; aritmētisko darbību veikšanas noteikumi ir balstīti uz saskaitīšanas un reizināšanas tabulām.
Binārajā skaitļu sistēmā, tāpat kā jebkurā pozicionālajā sistēmā, pievienojot divu ciparu kolonnu no labās uz kreiso pusi, uz nākamo bitu var pāriet tikai viens. Divu pozitīvu skaitļu saskaitīšanas rezultātam ir vai nu tāds pats ciparu skaits, kāds ir maksimālais no diviem vārdiem, vai par vienu ciparu vairāk, taču šis cipars var būt tikai viens. Apsveriet piemērus Atrisiniet piemērus pats:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
Veicot atņemšanas darbību, no lielāka skaitļa absolūtā vērtībā vienmēr tiek atņemts mazāks skaitlis un rezultātam tiek uzlikta atbilstošā zīme.
Atņemšana Apsveriet piemērus Piemēri:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Reizināšana pozicionālās skaitļu sistēmās Reizināšanas operācija tiek veikta, izmantojot reizināšanas tabulu pēc ierastās shēmas (lieto decimālo skaitļu sistēmā) ar secīgu reizinātāja reizināšanu ar reizinātāja nākamo ciparu Apskatīsim reizināšanas piemērus. Apskatīsim piemērus Apskatīsim sadalīšanas piemēru
Atrisināsim piemērus:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Mjas darbs 1.&3.1.22.Apgt aritmtisko operciju izpildes noteikumus binr sistm, apgt saskaitanas, atemanas, reizināšanas tabulas.3. Rīkojies šādi: 110010+111.0111110000111-11011000110101.101*111 Pārdomas Šodien nodarbībā man visinformatīvākā bija... Biju pārsteigta, ka... šodien iegūtās zināšanas varu pielietot nodarbībā...