Negatīvo sakņu pievienošana. Kas ir kvadrātsaknes un kā tās summējas?

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls īpašajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir stipri "nav ļoti. »
Un tiem, kuri “ļoti vienmērīgi. "")

Iepriekšējā nodarbībā mēs sapratām, kas ir kvadrātsakne. Ir pienācis laiks noskaidrot, kas ir formulas saknēm, kas ir sakņu īpašības un ko ar to visu var darīt.

Sakņu formulas, saknes rekvizīti un noteikumi darbībām ar saknēm būtībā ir viena un tā pati lieta. Kvadrātsakņu formulu ir pārsteidzoši maz. Kas, protams, priecē! Drīzāk var rakstīt daudz un visādas formulas, bet praktiskam un pārliecinātam darbam ar saknēm pietiek tikai ar trim. Viss pārējais izriet no šiem trim. Lai gan daudzi nomaldās trīs sakņu formulās, jā.

Sāksim ar vienkāršāko. Šeit viņa ir:

Es jums atgādinu (no iepriekšējās nodarbības): a un b ir nenegatīvi skaitļi! Pretējā gadījumā formulai nav jēgas.

Šis sakņu īpašums , kā redzat, vienkāršs, īss un nekaitīgs. Bet ar šo sakņu formulu jūs varat paveikt daudz noderīgas lietas! Apskatīsim piemēri visas šīs noderīgās lietas.

Noderīga lieta vispirms. Šī formula mums ļauj pavairot saknes.

Kā pavairot saknes?

Jā, ļoti vienkārši. Tieši uz formulu. Piemēram:

Šķiet, ka viņi ir savairojušies, un ko tad? Vai ir daudz prieka? Piekrītu, nedaudz. Bet kā tev patīk šis piemērs?

Saknes nav precīzi iegūtas no faktoriem. Un rezultāts ir lielisks! Jau labāk, vai ne? Katram gadījumam informēšu, ka reizinātāju var būt tik daudz, cik vēlaties. Joprojām darbojas saknes reizināšanas formula. Piemēram:

Tātad ar reizināšanu viss ir skaidrs, kāpēc tas ir vajadzīgs sakņu īpašums- tas arī ir saprotams.

Noderīga lieta otrā. Ciparu ievadīšana zem saknes zīmes.

Kā ievadīt skaitli zem saknes?

Pieņemsim, ka mums ir šāda izteiksme:

Vai ir iespējams paslēpt divkauni saknes iekšpusē? Viegli! Ja no diviem izveido sakni, derēs sakņu pavairošanas formula. Un kā padarīt sakni no divcīņas? Jā, tas arī nav jautājums! Dubults ir kvadrātsakne no četrām!

Sakni, starp citu, var izveidot no jebkura nenegatīva skaitļa! Tā būs kvadrātsakne no šī skaitļa kvadrāta. 3 ir 9 sakne. 8 ir 64 sakne. 11 ir 121 sakne. Nu, un tā tālāk.

Protams, nav nepieciešams krāsot tik detalizēti. Izņemot iesācējiem. Pietiek apzināties, ka zem saknes var ienest jebkuru nenegatīvu skaitli, kas reizināts ar sakni. Bet neaizmirstiet! - zem saknes šis skaitlis kļūs kvadrāts pats. Šo darbību - skaitļa ievadīšanu zem saknes - var saukt arī par skaitļa reizināšanu ar sakni. Vispārīgi var rakstīt:

Process ir vienkāršs, kā redzat. Kāpēc viņa ir vajadzīga?

Tāpat kā jebkura transformācija, arī šī procedūra paplašina mūsu iespējas. Iespējas pārvērst nežēlīgu un neērtu sejas izteiksmi maigā un pūkainā). Šeit jums ir vienkāršs piemērs:

Kā tu redzi saknes īpašums, kas ļauj ieviest faktoru zem saknes zīmes, ir diezgan piemērots vienkāršošanai.

Turklāt, pievienojot reizinātāju zem saknes, ir viegli un vienkārši salīdzināt dažādu sakņu vērtības. Bez jebkāda aprēķina un kalkulatora! Trešā noderīga lieta.

Kā salīdzināt saknes?

Šī prasme ir ļoti svarīga stabilās misijās, moduļu atbloķēšanā un citās foršās lietās.

Salīdziniet šos izteicienus. Kurš ir vairāk? Bez kalkulatora! Katrs ar kalkulatoru. uh-uh. Īsāk sakot, ikviens to var izdarīt!)

Tu to uzreiz nesaki. Un ja jūs ievadāt ciparus zem saknes zīmes?

Atcerieties (pēkšņi nezināju?): ja skaitlis zem saknes zīmes ir lielāks, tad pati sakne ir lielāka! Tātad uzreiz pareizā atbilde bez sarežģītiem aprēķiniem un aprēķiniem:

Tas ir lieliski, vai ne? Bet tas vēl nav viss! Atcerieties, ka visas formulas darbojas gan no kreisās puses uz labo, gan no labās uz kreiso. Mēs līdz šim esam izmantojuši formulu sakņu reizināšanai no kreisās uz labo pusi. Palaidīsim šo saknes īpašumu atpakaļ, no labās puses uz kreiso. Kā šis:

Un kāda starpība? Vai tas tev kaut ko dod!? Noteikti! Tagad jūs redzēsiet paši.

Pieņemsim, ka mums ir jāizņem (bez kalkulatora!) kvadrātsakne no skaitļa 6561. Daži cilvēki šajā posmā kritīs nevienlīdzīgā cīņā ar uzdevumu. Bet mēs esam spītīgi, mēs nepadodamies! Noderīga lieta, ceturtā.

Kā iegūt saknes no liela skaita?

Mēs atgādinām formulu sakņu iegūšanai no produkta. Tas, kuru es ievietoju iepriekš. Bet kur ir mūsu darbs? Mums ir milzīgs numurs 6561, un tas arī viss. Jā, mākslas nav. Bet, ja mums tas ir vajadzīgs, mēs daram! Aprēķināsim šo skaitli. Mums ir tiesības.

Vispirms izdomāsim, ar ko tieši šis skaitlis dalās? Ko, tu nezini!? Vai aizmirsāt dalāmības pazīmes!? Velti. Iet uz Īpašā sadaļa 555, tēma ir “Daļskaitļi”, tie ir. Šis skaitlis dalās ar 3 un 9. Jo ciparu summa (6+5+6+1=18) dalās ar šiem skaitļiem. Šī ir viena no dalāmības pazīmēm. Mums nav jādala ar trīs (tagad jūs sapratīsit, kāpēc), bet mēs dalīsim ar 9. Vismaz stūrī. Mēs iegūstam 729. Tātad mēs atradām divus faktorus! Pirmais ir deviņnieks (paši izvēlējāmies), bet otrais ir 729 (tā sanāca). Var jau rakstīt:

Vai sapratāt ideju? Darīsim to pašu ar skaitli 729. Tas arī dalās ar 3 un 9. Atkal mēs nedalām ar 3, mēs dalām ar 9. Mēs iegūstam 81. Un mēs zinām šo skaitli! Mēs pierakstām:

Viss izrādījās viegli un eleganti! Sakni vajadzēja izņemt pa gabalu, nu, labi. To var izdarīt ar jebkuru lieli cipari. Reiziniet tos un aiziet!

Starp citu, kāpēc jums nebija jādala ar 3, vai jūs uzminējāt? Jā, jo trīs sakne nav precīzi izvilkta! Ir jēga sadalīties tādos faktoros, lai vismaz vienu sakni varētu labi iegūt. Tas ir 4, 9, 16 labi, un tā tālāk. Sadaliet savu milzīgo skaitli pēc kārtas ar šiem skaitļiem, jūs redzat, un jums ir paveicies!

Bet ne obligāti. Varbūt nepaveicās. Pieņemsim, ka skaitlis 432, ja to aprēķina un izmantojot produkta saknes formulu, sniegs šādu rezultātu:

Nu labi. Mēs tik un tā esam vienkāršojuši izteicienu. Matemātikā ir pieņemts atstāt visvairāk neliels skaits no iespējamā. Risināšanas procesā viss ir atkarīgs no piemēra (varbūt viss ir samazināts bez vienkāršošanas), bet atbildē ir jāsniedz rezultāts, kuru nevar vēl vairāk vienkāršot.

Starp citu, vai jūs zināt, ko mēs tagad esam darījuši ar 432 sakni?

Mēs izņemti faktori no zem saknes zīmes ! Tā sauc šo operāciju. Un tad uzdevums kritīs - " izņem faktoru no zem saknes zīmes"Bet vīrieši pat nezina.) Lūk, jums vēl viens pielietojums sakņu īpašības. Piektā noderīga lieta.

Kā reizinātāju izņemt no saknes?

Viegli. Nosakiet saknes izteiksmi un ekstrahējiet iegūtās saknes. Mēs skatāmies:

Nekas pārdabisks. Ir svarīgi izvēlēties pareizos reizinātājus. Šeit mēs esam sadalījuši 72 kā 36 2. Un viss izrādījās labi. Vai arī viņi to varēja sadalīt citādi: 72 = 6 12. Nu ko!? Ne no 6, ne no 12 sakne netiek izvilkta. Ko darīt?!

Ir labi. Vai meklējiet citus sadalīšanas variantus, vai turpiniet visu izkārtot līdz galam! Kā šis:

Kā redzat, viss izdevās. Starp citu, šis nav ātrākais, bet visvairāk uzticams veids. Sadaliet skaitli mazākajos faktoros un pēc tam savāciet tos pašus kaudzēs. Metode tiek veiksmīgi pielietota arī, pavairojot neērtas saknes. Piemēram, jums ir jāaprēķina:

Reiziniet visu - jūs iegūstat traku skaitli! Un kā tad no tā izvilkt sakni ?! Atkal reizināt? Nē, mums nav nepieciešams papildu darbs. Mēs nekavējoties sadalāmies faktoros un savācam tos pašus kaudzēs:

Tas ir viss. Protams, nav nepieciešams izlikt līdz pieturai. Visu nosaka jūsu personīgās spējas. Atveda piemēru līdz stāvoklim, kurā tev viss skaidrs tātad jau var skaitīt. Galvenais ir nepieļaut kļūdas. Nevis cilvēks matemātikai, bet matemātika vīrietim!)

Pielietosim zināšanas praksē? Sāksim ar vienkāršu:

Kvadrātsakņu pievienošanas noteikums

Kvadrātsakņu īpašības

Līdz šim esam veikuši piecas aritmētiskās darbības ar skaitļiem: saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšana, dalīšana un eksponēšana, un aprēķinos aktīvi tika izmantotas dažādas šo darbību īpašības, piemēram, a + b = b + a, un n -b n = (ab) n utt.

Šajā nodaļā ir ieviesta jauna darbība - kvadrātsaknes ņemšana no nenegatīva skaitļa. Lai to veiksmīgi izmantotu, jums jāiepazīstas ar šīs darbības īpašībām, ko mēs darīsim šajā sadaļā.

Pierādījums. Ieviesīsim šādu apzīmējumu:
Mums jāpierāda, ka nenegatīviem skaitļiem x, y, z vienādība x = yz ir patiesa.

Tātad x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Tad x 2 \u003d y 2 z 2, t.i., x 2 \u003d (yz) 2.

Ja kvadrāti divi nenegatīvi skaitļi ir vienādi, tad paši skaitļi ir vienādi, kas nozīmē, ka no vienādības x 2 \u003d (yz) 2 izriet, ka x \u003d yz, un tas bija jāpierāda.

Mēs sniedzam īsu teorēmas pierādījumu ierakstu:

1. piezīme. Teorēma paliek spēkā gadījumam, kad radikāļu izteiksme ir vairāk nekā divu nenegatīvu faktoru reizinājums.

2. piezīme. Teorēma 1 var uzrakstīt, izmantojot “ja. , tad” (kā pieņemts teorēmām matemātikā). Mēs sniedzam atbilstošo formulējumu: ja a un b ir nenegatīvi skaitļi, tad vienādība .

Tādā veidā mēs formulējam šādu teorēmu.

(Īss formulējums, kas ir ērtāk lietojams praksē: frakcijas sakne vienāds ar daļu no saknēm vai koeficienta sakne ir vienāda ar sakņu koeficientu.)

Šoreiz mēs sniegsim tikai īsu pierādījumu par pierādījumu, un jūs varat mēģināt izteikt atbilstošus komentārus, kas līdzīgi tiem, kas veidoja 1. teorēmas pierādījumu būtību.

Piemērs 1. Aprēķināt .
Risinājums. Pirmā īpašuma izmantošana kvadrātsaknes(1. teorēma), iegūstam

3. piezīme. Protams, šo piemēru var atrisināt dažādi, it īpaši, ja pie rokas ir kalkulators: reiziniet skaitļus 36, 64, 9 un pēc tam ņemiet iegūtā reizinājuma kvadrātsakni. Tomēr jūs piekrītat, ka iepriekš piedāvātais risinājums izskatās kulturālāks.

4. piezīme. Pirmajā metodē mēs veicām tūlītējus aprēķinus. Otrais veids ir elegantāks:
mēs pieteicāmies formula a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) un izmantoja kvadrātsakņu īpašību.

5. piezīme. Daži "karstgalvji" dažreiz piedāvā šādu "risinājumu" 3. piemēram:

Tas, protams, nav taisnība: redziet - rezultāts nav tāds pats kā mūsu 3. piemērā. Fakts ir tāds, ka nav īpašuma kā nē un īpašības Ir tikai īpašības, kas attiecas uz kvadrātsakņu reizināšanu un dalīšanu. Esiet piesardzīgs un uzmanīgs, nedomājiet par vēlmēm.

4. piemērs. Aprēķināt: a)
Risinājums. Jebkura formula algebrā tiek izmantota ne tikai "no labās uz kreiso", bet arī "no kreisās uz labo". Tātad kvadrātsakņu pirmā īpašība nozīmē, ka, ja nepieciešams, to var attēlot kā , un otrādi, ko var aizstāt ar izteiksmi Tas pats attiecas uz kvadrātsakņu otro īpašību. Paturot to prātā, atrisināsim piedāvāto piemēru.

Noslēdzot sadaļu, mēs atzīmējam vēl vienu diezgan vienkāršu un tajā pašā laikā svarīgs īpašums:
ja a > 0 un n - dabiskais skaitlis , tad

5. piemērs Aprēķināt , neizmantojot skaitļu kvadrātu tabulu un kalkulatoru.

Risinājums. Sadalīsim saknes skaitli galvenajos faktoros:

6. piezīme. Šo piemēru var atrisināt tāpat kā līdzīgu piemēru § 15. Ir viegli uzminēt, ka atbilde būs “80 ar asti”, jo 80 2 2 . Atradīsim "asti", t.i., vēlamā skaitļa pēdējo ciparu. Pagaidām zinām, ka, ja sakne ir izvilkta, tad atbilde var būt 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 vai 89. Jāpārbauda tikai divi skaitļi: 84 un 86, jo tikai tie, kad kvadrātā, dos kā rezultātā četrciparu skaitlis, kas beidzas ar 6, t.i. tas pats cipars, kas beidzas ar numuru 7056. Mums ir 84 2 \u003d 7056 - tas ir tas, kas mums vajadzīgs. nozīmē,

Mordkovičs A. G., Algebra. 8. klase: Proc. vispārējai izglītībai iestādes.- 3. izdevums, pabeigts. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 lpp.: ill.

Grāmatas, matemātikas mācību grāmatu lejupielāde, kopsavilkums, lai palīdzētu skolotājam un skolēniem, mācīties tiešsaistē

Ja jums ir labojumi vai ieteikumi šai nodarbībai, rakstiet mums.

Ja vēlaties redzēt citus labojumus un ieteikumus nodarbībām, skatiet šeit - Izglītības forums.

Kā pievienot kvadrātsaknes

Skaitļa kvadrātsakne X sauca numuru A, kas vairojoties pati ar sevi ( A*A) var dot skaitli X.
Tie. A * A = A 2 = X, Un √X = A.

virs kvadrātsaknēm ( √x), tāpat kā ar citiem skaitļiem, varat veikt aritmētiskas darbības, piemēram, atņemšanu un saskaitīšanu. Lai atņemtu un pievienotu saknes, tās jāsavieno, izmantojot zīmes, kas atbilst šīm darbībām (piemēram, √x - √y ).
Un tad atnes viņiem saknes vienkāršākā forma- ja starp tām ir līdzīgas, ir jāveido cast. Tas sastāv no tā, ka līdzīgu terminu koeficienti tiek ņemti ar atbilstošo terminu zīmēm, pēc tam tie tiek ievietoti iekavās un kopsakne tiek parādīta ārpus reizinātāja iekavām. Iegūtais koeficients ir vienkāršots saskaņā ar parastajiem noteikumiem.

1. solis. Kvadrātsakņu iegūšana

Pirmkārt, lai pievienotu kvadrātsaknes, vispirms ir jāizņem šīs saknes. To var izdarīt, ja skaitļi zem saknes zīmes ir ideāli kvadrāti. Piemēram, ņemiet doto izteiksmi √4 + √9 . Pirmais numurs 4 ir skaitļa kvadrāts 2 . Otrais numurs 9 ir skaitļa kvadrāts 3 . Tādējādi var iegūt šādu vienādību: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Viss, piemērs ir atrisināts. Bet tas ne vienmēr notiek tā.

2. solis. Skaitļa reizinātāja izņemšana no saknes

Ja zem saknes zīmes nav pilnu kvadrātu, varat mēģināt izņemt skaitļa reizinātāju no zem saknes zīmes. Piemēram, ņemiet izteiksmi √24 + √54 .

Faktorizēsim skaitļus:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Sarakstā 24 mums ir reizinātājs 4 , to var izņemt no zem kvadrātsaknes zīmes. Sarakstā 54 mums ir reizinātājs 9 .

Mēs iegūstam vienlīdzību:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Ņemot vērā šo piemēru, mēs iegūstam faktora noņemšanu zem saknes zīmes, tādējādi vienkāršojot doto izteiksmi.

3. solis. saucēja samazināšana

Apsveriet šādu situāciju: divu kvadrātsakņu summa ir daļdaļas saucējs, piemēram, A / (√a + √b).
Tagad mēs saskaramies ar uzdevumu "atbrīvoties no saucējā iracionalitātes".
Izmantosim šādu metodi: reiziniet daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar izteiksmi √a - √b.

Tagad saucējā mēs iegūstam saīsinātu reizināšanas formulu:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Līdzīgi, ja saucējs satur sakņu atšķirību: √a - √b, daļskaitļa skaitītājs un saucējs tiek reizināts ar izteiksmi √a + √b.

Kā piemēru ņemsim daļu:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Kompleksa saucēja samazināšanas piemērs

Tagad apsvērsim pietiekami daudz sarežģīts piemērs atbrīvojoties no iracionalitātes saucējā.

Kā piemēru ņemsim daļu: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Jums jāņem tā skaitītājs un saucējs un jāreizina ar izteiksmi √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

4. darbība. Aprēķiniet aptuveno vērtību kalkulatorā

Ja nepieciešama tikai aptuvenā vērtība, to var izdarīt, izmantojot kalkulatoru, aprēķinot kvadrātsakņu vērtību. Atsevišķi katram skaitlim tiek aprēķināta un reģistrēta vērtība ar nepieciešamo precizitāti, ko nosaka pēc decimālzīmju skaita. Tālāk tiek veiktas visas nepieciešamās darbības, tāpat kā ar parastajiem cipariem.

Paredzamā aprēķina piemērs

Ir nepieciešams aprēķināt šīs izteiksmes aptuveno vērtību √7 + √5 .

Rezultātā mēs iegūstam:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Lūdzu, ņemiet vērā: kvadrātsaknes nekādā gadījumā nedrīkst pievienot kā pirmskaitļus, tas ir pilnīgi nepieņemami. Tas ir, ja jūs pievienojat kvadrātsakni no pieci un trīs, mēs nevaram iegūt kvadrātsakni no astoņiem.

Noderīgs padoms: ja nolemjat faktorizēt skaitli, lai no saknes zīmes iegūtu kvadrātu, jums ir jāveic apgrieztā pārbaude, tas ir, jāreizina visi aprēķinu rezultātā iegūtie faktori un tā gala rezultāts. matemātiskajam aprēķinam jābūt skaitlim, kas mums sākotnēji tika dots.

Darbība ar saknēm: saskaitīšana un atņemšana

Skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana nav vienīgā darbība, ko var veikt ar šo matemātisko parādību. Tāpat kā parastie skaitļi kvadrātsaknes pievienot un atņemt.

Kvadrātsakņu pievienošanas un atņemšanas noteikumi

Tādas darbības kā kvadrātsaknes pievienošana un atņemšana ir iespējamas tikai tad, ja saknes izteiksme ir vienāda.

Varat pievienot vai atņemt izteiksmes 2 3 un 6 3, bet ne 56 Un 9 4 . Ja ir iespējams vienkāršot izteiksmi un tuvināt to saknēm ar tādu pašu saknes numuru, tad vienkāršojiet un pēc tam pievienojiet vai atņemiet.

Galvenās darbības: pamati

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Vienkāršojiet saknes izteiksmi. Lai to izdarītu, saknes izteiksme ir jāsadala 2 faktoros, no kuriem viens ir kvadrātskaitlis (skaitlis, no kura tiek iegūta visa kvadrātsakne, piemēram, 25 vai 9).
2. Tad jums ir jāizņem sakne no kvadrāta skaitlis un ierakstiet iegūto vērtību pirms saknes zīmes. Lūdzu, ņemiet vērā, ka otrais faktors tiek ievadīts zem saknes zīmes.
3. Pēc vienkāršošanas procesa ir nepieciešams pasvītrot saknes ar vienādām radikālām izteiksmēm - tikai tās var pievienot un atņemt.
4. Saknēm ar vienādām radikālām izteiksmēm ir nepieciešams pievienot vai atņemt faktorus, kas ir pirms saknes zīmes. Saknes izteiksme paliek nemainīga. Nepievienojiet un neatņemiet saknes skaitļus!

Ja jums ir piemērs ar liela summa identiskas radikālas izteiksmes, tad pasvītrojiet šādas izteiksmes ar vienu, dubultu un trīskāršu līniju, lai atvieglotu aprēķina procesu.

Izmēģināsim šo piemēru:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Vispirms jums jāsadala 50 2 faktoros 25 un 2, pēc tam ņem 25 sakni, kas ir 5, un 5 no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 5 ar 6 (reizinātājs saknē) un jāsaņem 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Pirmkārt, jums ir jāsadala 8 2 faktoros: 4 un 2. Pēc tam no 4 izvelciet sakni, kas ir vienāda ar 2, un izņemiet 2 no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 2 (koeficients saknē) un jāsaņem 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Pirmkārt, jums ir jāsadala 12 2 faktoros: 4 un 3. Pēc tam izņemiet sakni no 4, kas ir 2, un izņemiet to no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 5 (koeficients saknē) un jāsaņem 10 3.

Vienkāršošanas rezultāts: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Rezultātā mēs redzējām, cik daudz identisku radikālu izteiksmju satur šis piemērs. Tagad praktizēsimies ar citiem piemēriem.

• Vienkāršot (45) . Mēs koeficientu 45: (45) = (9 × 5) ;
• Mēs izņemam 3 no zem saknes (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Saskaitām faktorus saknēs: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Vienkāršošana 6 40 . Mēs koeficientu 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Mēs izņemam 2 no zem saknes (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Sareizinām faktorus, kas atrodas saknes priekšā: 12 10;
• Izteicienu rakstām vienkāršotā formā: 12 10 - 3 10 + 5;
• Tā kā pirmajiem diviem terminiem ir vienādi saknes skaitļi, mēs varam tos atņemt: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Kā redzam, radikālos skaitļus nav iespējams vienkāršot, tāpēc piemērā meklējam dalībniekus ar vienādiem radikāļiem, veicam matemātiskas darbības (saskaitām, atņemam utt.) un ierakstām rezultātu:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Padoms:

• Pirms pievienošanas vai atņemšanas ir obligāti jāvienkāršo (ja iespējams) radikālās izteiksmes.
• Sakņu pievienošana un atņemšana ar dažādām sakņu izteiksmēm ir stingri aizliegta.
• Nepievienojiet un neatņemiet veselu skaitli vai kvadrātsakni: 3 + (2 x) 1/2 .
• Veicot darbības ar daļskaitļiem, jāatrod skaitlis, kas pilnībā dalās ar katru saucēju, pēc tam jāsavieno daļskaitļi līdz kopsaucējam, tad jāpievieno skaitītāji un saucēji jāatstāj nemainīgi.

Aritmētiskās kvadrātsaknes īpašības. Aritmētiskās kvadrātsaknes jauda

Aritmētisko kvadrātsakņu konvertēšana. Aritmētisko kvadrātsakņu pārvēršana

Lai iegūtu polinoma kvadrātsakne, ir nepieciešams aprēķināt polinomu un iegūt sakni no iegūtā skaitļa.

Uzmanību! Nav iespējams iegūt sakni no katra termina (samazināta un atņemta) atsevišķi.

Shchob uzvarēt polinoma kvadrātsakne, prasība ir aprēķināt bagātināto terminu un no atņemtā skaitļa ņemt sakni.

Respekt! Nav iespējams iegūt sakni no ādas piedevas (izmainīta un redzama) OKremo.

Lai iegūtu produkta kvadrātsakni (koeficients), varat aprēķināt katra faktora kvadrātsakni (dalītāju un dalītāju) un iegūt iegūtās vērtības pēc reizinājuma (daļņa).

Lai uzvarētu dobutkas kvadrātsakni (daļas), jūs varat aprēķināt ādas reizinātāja kvadrātsakni (dalīts un dilnik) un noņemt vērtību, ņemot papildu (bieži).

Lai ņemtu kvadrātsakni no daļskaitļa, jums ir atsevišķi jāizņem kvadrātsakne no skaitītāja un saucēja un jāatstāj iegūtās vērtības kā daļskaitlis vai jāaprēķina kā koeficients (ja iespējams, pēc nosacījuma).

Lai uzvarētu daļskaitļa kvadrātsakni, jāņem kvadrātsakne no skaitļu grāmatas un okremo reklāmkaroga un jāatņem daļskaitļa vērtība ar daļskaitli vai jāskaita kā daļa (kā tas prātam iespējams).

Koeficientu var izņemt no zem saknes zīmes un faktoru var ievadīt zem saknes zīmes. Kad faktors tiek izņemts, no tā tiek iegūta sakne, un, ievadot to, tā tiek pacelta līdz atbilstošajai jaudai.

3. saknes zīmi var reizināt un saknes zīmi var reizināt. Ar reizinātāja vainu saknes ir savītas, un ar ievadu saknes tiek uzceltas pie augstākām kājām.

Piemēri. Pieteikties

Lai pārvērstu kvadrātsakņu summu (starpību), saknes izteiksmes jāsaved līdz vienai pakāpes bāzei, ja iespējams, izvelciet no grādiem saknes un ierakstiet tās pirms sakņu zīmēm, bet atlikušās kvadrātsaknes ar var pievienot tās pašas saknes izteiksmes, kurām koeficientus saskaita pirms zīmju saknes un pievieno to pašu kvadrātsakni.

Lai pārtaisītu kvadrātsakņu summu (izmaksas), saknes saknes jānoved uz kādu no pakāpiena pamatiem, pēc iespējas jāņem soļu sakne un jāpieraksta pirms zīmēm. saknes, un kvadrātsakņu atrisinājums ar tiem pašiem saknes vārdiem, kurus varu salikt kopā, ko varu pievienot un pievienot to pašu kvadrātsakni.

Mēs visas radikālas izteiksmes pārnesam uz 2. bāzi.

No pāra pakāpes sakni izvelk pilnībā, no nepāra pakāpes pamatnes sakni 1. pakāpē atstāj zem saknes zīmes.

Mēs dodam līdzīgus veselus skaitļus un pievienojam koeficientus ar vienādām saknēm. Mēs rakstām binomālu kā skaitļa un summas binomālu reizinājumu.

Novietojiet visas virazi apakšsaknes uz bāzi 2.

No pāru stadijas saknes velk rindā, no nepāra posma pamatnes saknes 1. stadijā aizpilda zem saknes zīmes.

Ir ierosināts pievienot līdzīgus skaitļus un koeficientus vienām un tām pašām saknēm. Mēs rakstām binomiālu kā sumi binoma skaitļa i papildinājumu.

Radikālās izteiksmes mēs pārnesam uz mazāko bāzi vai pakāpju reizinājumu ar mazākajām bāzēm. Sakni izvelkam no pāra pakāpēm radikāļu izteiksmēm, atlikumus atstājam pakāpes bāzes formā ar rādītāju 1 vai šādu bāzu reizinājumu zem saknes zīmes. Mēs dodam līdzīgus terminus (pievienojam to pašu sakņu koeficientus).

Mēs vedam virazi sakni uz mazāko pamatni vai pakāpienu pievienošanu ar mazākajām pamatnēm. No tveicīgajiem pakāpieniem zem viraz saknēm tiek ņemtas saknes, pārpalikums pakāpiena pamatnē ar indikatoru 1 vai šādu bāzu pievienošana tiek aizpildīta zem saknes zīmes. Mēs piedāvājam līdzīgus terminus (mēs saskaitām to pašu sakņu koeficientus).

Aizstāsim daļskaitļu dalījumu ar reizināšanu (ar otrās daļas aizstāšanu ar apgriezto). Reiziniet skaitītājus un saucējus atsevišķi. Zem katras saknes zīmes mēs izceļam grādus. Atcelsim tos pašus faktorus skaitītājā un saucējā. Mēs iegūstam saknes no pat spējām.

Daļskaitļu dalījumu aizstājam ar reizināšanu (ar citas daļas aizstāšanu ar atdevi). Reiziniet okremo skaitļus un daļskaitļu banerus. Zem saknes ādas zīmes ir redzami soļi. Paātrināsim tos pašus reizinātājus skaitļu grāmatā un reklāmkarogā. Vaino dvīņu soļu sakni.

Lai salīdzinātu divas kvadrātsaknes, to radikālas izteiksmes jāsamazina līdz pakāpei ar vienu un to pašu bāzi, tad, jo vairāk tiek parādītas radikālas izteiksmes pakāpes, jo lielāka ir kvadrātsaknes vērtība.

Šajā piemērā radikālas izteiksmes nevar reducēt līdz vienai bāzei, jo pirmajā bāze ir 3, bet otrajā - 3 un 7.

Otrs salīdzināšanas veids ir radikāļu izteiksmē ievadīt saknes koeficientu un salīdzināt radikāļu izteiksmes skaitliskās vērtības. Kvadrātsaknei, jo lielāka ir saknes izteiksme, jo lielāka ir saknes vērtība.

Lai saskaņotu divas kvadrātsaknes, to apakšsaknes ir jānoved līdz līmenim ar tādu pašu pamatu, savukārt, jo lielāks ir vīrusa apakšsaknes pakāpes rādītājs, jo lielāka ir kvadrātsaknes vērtība.

Šajā gadījumā nav iespējams vienā bāzē ievietot virazi saknes, jo pirmajā pamats ir 3, bet otrā - 3 un 7.

Vēl viens izlīdzināšanas veids ir saknes virāzes pievienošana saknes koeficientam un sakņu virāzes skaitliskās vērtības izlīdzināšana. Kvadrātsaknei ir vairāk apakšsaknes viraz, jo lielāka ir saknes vērtība.

Izmantojot reizināšanas sadales likumu un noteikumu par sakņu reizināšanu ar vienādiem eksponentiem (mūsu gadījumā kvadrātsaknēm), mēs ieguvām divu kvadrātsakņu summu ar reizinājumu zem saknes zīmes. Mēs sadalām 91 primārajos faktoros un izņemam sakni no iekavām ar kopīgiem radikālajiem faktoriem (13 * 5).

Esam ieguvuši saknes un binoma reizinājumu, kurā viens no monomiem ir vesels skaitlis (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny reizināšanas likums un sakņu reizināšanas noteikums ar tādiem pašiem rādītājiem (mūsu gadījumā - kvadrātsaknes), ņēma divu kvadrātsakņu summu ar papildu sakni zem saknes zīmes. Mēs varam vienkāršā izteiksmē izkārtot 91 reizinātāju un ņemt sakni arkām no sakņu reizinātājiem (13 * 5).

Mēs pievienojām sakni un bināro vērtību, kurai ir viens no mononomiem veselajā skaitlī (1).

9. piemērs:

Radikālajās izteiksmēs mēs pēc faktoriem izvēlamies skaitļus, no kuriem varam iegūt visu kvadrātsakni. Mēs izņemam kvadrātsaknes no pakāpēm un saliekam skaitļus pēc kvadrātsakņu koeficientiem.

Šī polinoma vārdiem ir kopīgs koeficients √3, ko var izņemt no iekavām. Iesniegsim līdzīgus terminus.

Apakšsakņu virāzēs tas tiek uzskatīts par skaitļa reizinātāju, no kura var ņemt kvadrātsakni. Mēs vainojam soļu kvadrātsaknes un saliekam skaitļus pēc kvadrātsakņu koeficientiem.

Šī polinoma vārdiem ir kopīgs reizinātājs √3, ko var vainot rokās. Mēs iesakām līdzīgus papildinājumus.

Divu summas un starpības reizinājums tās pašas bāzes(3 un √5), izmantojot saīsināto reizināšanas formulu, var uzrakstīt kā bāzu kvadrātu starpību.

Kvadrātsakne kvadrātā vienmēr ir vienāda ar radikāļu izteiksmi, tāpēc izteiksmē atbrīvosimies no radikālas (saknes zīmes).

Divu vienādu bāzu (3 і √5) Dobutok summu un starpību no ātrās reizināšanas formulas var uzrakstīt kā kvadrātbāzu starpību.

Kvadrātsakne zavzhd ir vienāda ar apakšsaknes virāzi, tāpēc mēs sauksim virāzes radikāli (saknes zīmi).

Atpakaļ uz skolu. Sakņu pievienošana

Mūsu laikā mūsdienu elektroniskajos datoros skaitļa saknes aprēķins nav attēlots izaicinošs uzdevums. Piemēram, √2704=52, jebkurš kalkulators to aprēķinās jūsu vietā. Par laimi, kalkulators ir ne tikai Windows, bet arī parastā, pat visvienkāršākajā tālrunī. Tiesa, ja pēkšņi (ar nelielu varbūtības pakāpi, kuras aprēķinā, starp citu, ir iekļauta sakņu pievienošana) jūs nonākat bez pieejamie līdzekļi, tad, diemžēl, būs jāpaļaujas tikai uz savām smadzenēm.

Prāta apmācība nekad neizdodas. Īpaši tiem, kas tik bieži nestrādā ar cipariem un vēl jo vairāk ar saknēm. Sakņu pievienošana un atņemšana ir labs treniņš garlaikotam prātam. Un es jums parādīšu sakņu pievienošanu soli pa solim. Izteicienu piemēri var būt šādi.

Vienkāršojamais vienādojums ir šāds:

Tas ir neracionāls izteiciens. Lai to vienkāršotu, visas radikālas izteiksmes jāsamazina uz vispārējs skats. Mēs to darām pa posmiem:

Pirmo numuru vairs nevar vienkāršot. Pārejam pie otrā termiņa.

3√48 mēs faktorizējam 48: 48=2×24 vai 48=3×16. Kvadrātsakne no 24 nav vesels skaitlis, t.i. ir daļēja atlikums. Tā kā mums vajag precīza vērtība, tad aptuvenās saknes mums neder. Kvadrātsakne no 16 ir 4, izņemiet to zem saknes zīmes. Iegūstam: 3×4×√3=12×√3

Mūsu nākamā izteiksme ir negatīva, t.i. rakstīts ar mīnusa zīmi -4×√(27.) Faktorings 27. Mēs iegūstam 27 = 3 × 9. Mēs neizmantojam daļskaitļus, jo kvadrātsakni ir grūtāk aprēķināt no daļām. No zem zīmes izņemam 9, t.i. aprēķiniet kvadrātsakni. Iegūstam šādu izteiksmi: -4×3×√3 = -12×√3

Nākamais termins √128 aprēķina daļu, kuru var izņemt no saknes. 128=64×2, kur √64=8. Ja tas jums atvieglo, varat attēlot šo izteiksmi šādi: √128=√(8^2×2)

Mēs pārrakstām izteiksmi ar vienkāršotiem terminiem:

Tagad mēs pievienojam skaitļus ar tādu pašu radikālo izteiksmi. Jūs nevarat pievienot vai atņemt izteiksmes ar dažādām radikālām izteiksmēm. Sakņu pievienošanai ir jāievēro šis noteikums.

Mēs saņemam šādu atbildi:

√2=1×√2 - Ceru, ka algebrā pieņemts šādus elementus izlaist, tev nebūs jaunums.

Izteiksmes var attēlot ne tikai ar kvadrātsaknēm, bet arī ar kubu vai n-to sakni.

Sakņu saskaitīšana un atņemšana ar dažādiem eksponentiem, bet ar līdzvērtīgu saknes izteiksmi, notiek šādi:

Ja mums ir tāda izteiksme kā √a+∛b+∜b, tad mēs varam vienkāršot šo izteiksmi šādi:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Mēs esam samazinājuši divus līdzīgus vārdus līdz saknes kopējam eksponentam. Šeit tika izmantota sakņu īpašība, kas saka: ja radikāļu izteiksmes pakāpes skaitli un saknes eksponenta skaitli reizina ar vienu un to pašu skaitli, tad tā aprēķins paliks nemainīgs.

Piezīme: eksponenti tiek pievienoti tikai tad, kad tie tiek reizināti.

Apsveriet piemēru, kur izteiksmē ir daļskaitļi.

Atrisināsim to soli pa solim:

5√8=5*2√2 - izņemam no saknes apakšas izvilkto daļu.

Ja saknes ķermeni attēlo daļskaitlis, tad bieži šī daļa nemainīsies, ja tiek ņemta dividendes un dalītāja kvadrātsakne. Rezultātā mēs esam ieguvuši iepriekš aprakstīto vienlīdzību.

Lūk, atbilde.

Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka sakne ar pāra eksponentu netiek iegūta no negatīviem skaitļiem. Ja pāra pakāpes radikālas izteiksme ir negatīva, tad izteiksme nav atrisināma.

Sakņu pievienošana ir iespējama tikai tad, ja radikālās izteiksmes sakrīt, jo tie ir līdzīgi termini. Tas pats attiecas uz atšķirību.

Sakņu pievienošana ar dažādiem skaitliskiem eksponentiem tiek veikta, samazinot abus terminus līdz kopējai saknes pakāpei. Šis likums darbojas tāpat kā samazināšana līdz kopsaucējam, saskaitot vai atņemot daļskaitļus.

Ja radikālajā izteiksmē ir skaitlis, kas palielināts līdz pakāpei, tad šo izteiksmi var vienkāršot ar nosacījumu, ka starp sakni un eksponentu ir kopsaucējs.

Produkta un daļskaitļa kvadrātsakne

A kvadrātsakne ir skaitlis, kura kvadrāts ir a. Piemēram, skaitļi -5 un 5 ir skaitļa 25 kvadrātsaknes. Tas ir, vienādojuma x^2=25 saknes ir skaitļa 25 kvadrātsaknes. Tagad jums jāiemācās strādāt ar kvadrātsaknes darbība: izpētiet tās pamatīpašības.

Produkta kvadrātsakne

√(a*b)=√a*√b

Divu nenegatīvu skaitļu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar šo skaitļu kvadrātsakņu reizinājumu. Piemēram, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Ir svarīgi saprast, ka šī īpašība attiecas arī uz gadījumu, kad radikālā izteiksme ir trīs, četru utt. nenegatīvie reizinātāji.

Dažreiz ir cits šī īpašuma formulējums. Ja a un b ir nenegatīvi skaitļi, tad spēkā ir šāda vienādība: √(a*b) =√a*√b. Starp tiem nav absolūti nekādas atšķirības, varat izmantot vai nu vienu, vai otru formulējumu (kuru ērtāk atcerēties).

Daļas kvadrātsakne

Ja a>=0 un b>0, tad ir patiesa šāda vienādība:

√(a/b)=√a/√b.

Piemēram, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Šim īpašumam ir arī cits formulējums, manuprāt, ērtāk atcerēties.
Koeficienta kvadrātsakne ir vienāda ar sakņu koeficientu.

Ir vērts atzīmēt, ka šīs formulas darbojas gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso pusi. Tas ir, ja nepieciešams, mēs varam pārstāvēt sakņu produktu kā produkta sakni. Tas pats attiecas uz otro īpašumu.

Kā redzat, šie rekvizīti ir ļoti ērti, un es vēlētos, lai saskaitīšanai un atņemšanai būtu tādas pašas īpašības:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Bet diemžēl šādi īpašumi ir kvadrātveida nav sakņu, un tā to nevar izdarīt aprēķinos..

• 13. Braukšana pa satiksmes krustojumiem 2018 ar komentāriem tiešsaistē 13.1. Nogriežoties pa labi vai pa kreisi, vadītājam jādod ceļš gājējiem un velosipēdistiem, kas šķērso krustojumu brauktuve ceļš, pa kuru tas pagriežas. Šī instrukcija attiecas uz visiem […]
• Vecāku sapulce "Vecāku tiesības, pienākumi un atbildība" Prezentācija nodarbībai Lejupielādēt prezentāciju (536,6 kB) Uzmanību! Slaida priekšskatījums ir paredzēts tikai informatīviem nolūkiem, un tas var neatspoguļot visu […]
• Reģionālais maternitātes kapitāls Orelas reģionā Reģionālais maternitātes kapitāls (MC) Orelā un Oriolas reģionā tika izveidots 2011. gadā. Tagad tas ir papildu pasākums sociālais atbalsts daudzbērnu ģimenes vienreizējas skaidras naudas veidā [...]
• Vienreizējā pabalsta summa, reģistrējoties agri datumi 2018. gadā Jūsu pieprasītā lapa netika atrasta. Iespējams, esat ievadījis nepareizu adresi vai lapa ir noņemta. Izmantojiet […]
• Jurists saimnieciskajās lietās ekonomikas sfērā ir diezgan plašs jēdziens. Šīs darbības ietver krāpšanu, nelegāls bizness, legalizācija Nauda iegūta nelegāli, nelikumīga banku darbība […]
• Centrālās bankas preses dienests Krievijas Federācija(Krievijas Banka) Preses dienests 107016, Maskava, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Par pagaidu administrācijas iecelšanu Krievijas Bankas Ārējo un sabiedrisko attiecību departaments informē, ka saskaņā ar 2. punktu […]
• vispārīgās īpašības Un īss apskatsūdensceļi Ūdens baseinu klasifikācija Izpriecu (mazo) kuģu kuģošanai paredzēto ūdens baseinu klasifikācija, ko uzrauga Krievijas GIMS, tiek veikta atkarībā no […]
• Kučerena = Viktora Coja advokāts Un tas ir izņēmums: Anatolija Kučerenas šodienas vēstule. Tēmas turpinājumā. Šo vēstuli vēl neviens nav publicējis. Un tā vajadzētu, manuprāt. Pagaidām 1.daļa. Drīzumā publicēšu otro daļu, ko parakstījis slavenais jurists. Kāpēc tas ir svarīgi? […]

Sveiki kaķēni! Pēdējo reizi mēs detalizēti analizējām, kas ir saknes (ja neatceraties, iesaku izlasīt). Šīs nodarbības galvenais secinājums: ir tikai viena universāla sakņu definīcija, kas jums jāzina. Pārējais ir muļķības un laika izšķiešana.

Šodien mēs ejam tālāk. Mācīsimies reizināt saknes, pētīsim dažas problēmas, kas saistītas ar reizināšanu (ja šīs problēmas netiks atrisinātas, tad eksāmenā tās var kļūt liktenīgas) un pareizi trenēsimies. Tāpēc uzkrājiet popkornu, iekārtojieties ērti - un mēs sāksim. :)

Tu vēl neesi smēķējis, vai ne?

Nodarbība izrādījās diezgan liela, tāpēc es to sadalīju divās daļās:

1. Pirmkārt, mēs apskatīsim reizināšanas noteikumus. Šķiet, ka vāciņš ir mājiens: tas ir tad, kad ir divas saknes, starp tām ir zīme “reizināt” - un mēs vēlamies ar to kaut ko darīt.
2. Tad mēs analizēsim apgriezto situāciju: ir viena liela sakne, un mēs bijām nepacietīgi to pasniegt kā divu sakņu produktu vienkāršāk. Ar kādām bailēm tas ir nepieciešams, ir atsevišķs jautājums. Mēs analizēsim tikai algoritmu.

Tie, kas nevar sagaidīt, kad varēs ieiet 2. daļā, laipni lūdzam. Sāksim ar pārējo secībā.

Pamata reizināšanas noteikums

Sāksim ar vienkāršāko – klasiskajām kvadrātsaknēm. Tie, kas apzīmēti ar $\sqrt(a)$ un $\sqrt(b)$. Viņiem viss kopumā ir skaidrs:

reizināšanas noteikums. Lai reizinātu vienu kvadrātsakni ar otru, jums vienkārši jāreizina to radikālās izteiksmes un rezultāts jāieraksta zem kopējā radikāļa:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Cipariem labajā vai kreisajā pusē netiek noteikti nekādi papildu ierobežojumi: ja pastāv reizinātāja saknes, tad pastāv arī reizinājums.

Piemēri. Apsveriet četrus piemērus ar skaitļiem vienlaikus:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(līdzināt)\]

Kā redzat, šī noteikuma galvenā nozīme ir iracionālu izteicienu vienkāršošana. Un, ja pirmajā piemērā mēs būtu izvilkuši saknes no 25 un 4 bez jauniem noteikumiem, tad sākas alva: $\sqrt(32)$ un $\sqrt(2)$ neskaitās paši, bet to reizinājums izrādās precīzs kvadrāts, tāpēc tā sakne ir vienāda ar racionālu skaitli.

Atsevišķi es vēlos atzīmēt pēdējo rindiņu. Tur abas radikālas izteiksmes ir daļskaitļi. Pateicoties produktam, daudzi faktori tiek atcelti, un visa izteiksme pārvēršas par atbilstošu skaitli.

Protams, ne vienmēr viss būs tik skaisti. Reizēm zem saknēm būs pilnīgas švakas - nav skaidrs, ko ar to darīt un kā pārveidot pēc pavairošanas. Nedaudz vēlāk, kad sāksi mācīties iracionālie vienādojumi un nevienlīdzības, parasti būs visdažādākie mainīgie un funkcijas. Un ļoti bieži problēmu sastādītāji tikai rēķinās ar to, ka jūs atradīsiet dažus līguma nosacījumus vai faktorus, pēc kuriem uzdevums tiks ievērojami vienkāršots.

Turklāt nav nepieciešams pavairot tieši divas saknes. Var reizināt trīs uzreiz, četrus - jā, pat desmit! Tas nemainīs noteikumu. Paskaties:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(līdzināt)\]

Un atkal neliela piebilde par otro piemēru. Kā redzat, trešajā reizinātājā zem saknes ir decimāldaļdaļa - aprēķinu procesā mēs to aizstājam ar parasto, pēc kura viss tiek viegli samazināts. Tātad: es ļoti iesaku atbrīvoties no decimāldaļskaitļiem jebkurās neracionālās izteiksmēs (tas ir, satur vismaz vienu radikāļu ikonu). Tas nākotnē ietaupīs daudz laika un nervu.

Bet tā bija liriska atkāpe. Tagad aplūkosim vispārīgāku gadījumu - kad saknes eksponents satur patvaļīgu skaitli $n$, nevis tikai "klasiskos" divus.

Patvaļīga rādītāja gadījums

Tātad, mēs izdomājām kvadrātsaknes. Un ko darīt ar kubiņiem? Vai vispār ar patvaļīgas pakāpes saknēm $n$? Jā, viss ir vienāds. Noteikums paliek nemainīgs:

Lai reizinātu divas saknes ar pakāpi $n$, pietiek ar to radikāļu izteiksmes reizināšanu, pēc kuras rezultāts tiek ierakstīts zem viena radikāļa.

Kopumā nekas sarežģīts. Ja vien aprēķinu apjoms var būt lielāks. Apskatīsim pāris piemērus:

Piemēri. Aprēķināt produktus:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= pieci; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(līdzināt)\]

Un atkal uzmanība otrajam izteicienam. Sareizinām kuba saknes, atbrīvojamies no decimāldaļskaitļa, un rezultātā saucējā iegūstam skaitļu 625 un 25 reizinājumu.. Tas ir diezgan liels skaitlis- Personīgi es uzreiz neapdomāju, ar ko tas ir vienāds.

Tāpēc mēs vienkārši atlasījām precīzu kubu skaitītājā un saucējā un pēc tam izmantojām vienu no $n$th pakāpes saknes galvenajām īpašībām (vai, ja vēlaties, definīciju):

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \end(līdzināt)\]

Šādas "krāpniecības" var ietaupīt daudz laika eksāmenā vai kontroles darbs tāpēc atceries:

Nesteidzieties reizināt skaitļus radikālajā izteiksmē. Vispirms pārbaudiet: ja nu tur ir “šifrēta” precīza jebkuras izteiksmes pakāpe?

Ar visu šīs piezīmes acīmredzamību jāatzīst, ka lielākā daļa nesagatavotu studentu neredz precīzus grādus. Tā vietā viņi reizina visu priekšā un tad brīnās: kāpēc viņi ieguva tik brutālus skaitļus? :)

Tomēr tas viss ir bērnu spēle, salīdzinot ar to, ko mēs tagad pētīsim.

Sakņu reizināšana ar dažādiem eksponentiem

Nu, tagad mēs varam reizināt saknes ar tiem pašiem eksponentiem. Ko darīt, ja rādītāji atšķiras? Sakiet, kā reizināt parastu $\sqrt(2)$ ar tādām stulbām kā $\sqrt(23)$? Vai to vispār ir iespējams izdarīt?

Jā, protams, ka vari. Viss tiek darīts pēc šādas formulas:

Sakņu reizināšanas noteikums. Lai reizinātu $\sqrt[n](a)$ ar $\sqrt[p](b)$, vienkārši veiciet šādu pārveidošanu:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tomēr šī formula darbojas tikai tad, ja radikālas izteiksmes nav negatīvas. Šī ir ļoti svarīga piezīme, pie kuras mēs atgriezīsimies nedaudz vēlāk.

Pagaidām apskatīsim pāris piemērus:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(līdzināt)\]

Kā redzat, nekas sarežģīts. Tagad izdomāsim, no kurienes radās nenegatīvisma prasība un kas notiks, ja mēs to pārkāpsim. :)

Ir viegli pavairot saknes.

Kāpēc radikālām izteiksmēm ir jābūt nenegatīvām?

Protams, jūs varat būt līdzīgi skolas skolotāji un gudri citē mācību grāmatu:

Nenegatīvisma prasība ir saistīta ar dažādām pāra un nepāra pakāpju sakņu definīcijām (attiecīgi arī to definīcijas jomas ir atšķirīgas).

Nu kļuva skaidrāks? Personīgi, lasot šo muļķību 8. klasē, es pats sapratu apmēram tā: "Nenegatīvisma prasība ir saistīta ar *#&^@(*#@^#)~%" - īsi sakot, es toreiz neko nesapratu. :)

Tāpēc tagad es visu izskaidrošu normālā veidā.

Vispirms noskaidrosim, no kurienes nāk iepriekš minētā reizināšanas formula. Lai to izdarītu, ļaujiet man atgādināt vienu svarīgu saknes īpašību:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Citiem vārdiem sakot, saknes izteiksmi varam droši paaugstināt līdz jebkuram dabiskajam pakāpei $k$ – šajā gadījumā saknes indekss būs jāreizina ar tādu pašu jaudu. Tāpēc mēs varam viegli samazināt jebkuras saknes līdz kopējam rādītājam, pēc kura mēs reizināmies. Šeit nāk reizināšanas formula:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Taču ir viena problēma, kas ļoti ierobežo visu šo formulu piemērošanu. Apsveriet šo skaitli:

Saskaņā ar tikko doto formulu mēs varam pievienot jebkuru grādu. Mēģināsim pievienot $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Mīnusu noņēmām tieši tāpēc, ka kvadrāts sadedzina mīnusu (kā jebkurš cits pāra grāds). Un tagad veiksim apgriezto transformāciju: "samazināt" divus eksponentā un pakāpē. Galu galā jebkuru vienlīdzību var lasīt gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\bultiņa pa labi \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(līdzināt)\]

Bet tad notiek kaut kas traks:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Tas nevar būt tāpēc, ka $\sqrt(-5) \lt 0$ un $\sqrt(5) \gt 0$. Tas nozīmē, ka pāra pakāpēm un negatīviem skaitļiem mūsu formula vairs nedarbojas. Pēc tam mums ir divas iespējas:

1. Cīnīties pret sienu apgalvot, ka matemātika ir stulba zinātne, kur “ir daži noteikumi, bet tas ir neprecīzi”;
2. Ieviest papildu ierobežojumus, saskaņā ar kuriem formula darbosies 100% apmērā.

Pirmajā variantā mums būs pastāvīgi jāķer “nestrādājoši” gadījumi - tas ir sarežģīti, ilgi un parasti fu. Tāpēc matemātiķi deva priekšroku otrajam variantam. :)

Bet neuztraucieties! Praksē šis ierobežojums nekādi neietekmē aprēķinus, jo visas aprakstītās problēmas attiecas tikai uz nepāra pakāpes saknēm, un no tām var izņemt mīnusus.

Tāpēc mēs formulējam vēl vienu noteikumu, kas kopumā attiecas uz visām darbībām ar saknēm:

Pirms sakņu pavairošanas pārliecinieties, ka radikālās izteiksmes nav negatīvas.

Piemērs. Skaitlī $\sqrt(-5)$ varat izņemt mīnusu no zem saknes zīmes - tad viss būs kārtībā:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\bultiņa pa labi \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(līdzināt)\]

Vai jūtat atšķirību? Ja atstājat mīnusu zem saknes, tad, kad radikālā izteiksme ir kvadrātā, tā pazudīs, un sāksies blēņas. Un, ja vispirms izņemat mīnusu, tad varat pat pacelt / noņemt kvadrātu, līdz esat zils sejā - skaitlis paliks negatīvs. :)

Tādējādi vispareizākais un uzticamākais veids, kā pavairot saknes, ir šāds:

1. Noņemiet visus mīnusus no zem radikāļiem. Mīnusi ir tikai nepāra daudzveidības saknēs - tos var novietot saknes priekšā un, ja nepieciešams, samazināt (piemēram, ja ir divi no šiem mīnusiem).
2. Veiciet reizināšanu saskaņā ar noteikumiem, kas tika apspriesti iepriekš šodienas nodarbībā. Ja sakņu indeksi ir vienādi, vienkārši reiziniet saknes izteiksmes. Un, ja tie atšķiras, mēs izmantojam ļaunuma formulu \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Mēs priecājamies par rezultātu un labām atzīmēm. :)

Nu? Trenēsimies?

1. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(līdzināt)\]

Šī ir vienkāršākā iespēja: sakņu rādītāji ir vienādi un nepāra, problēma ir tikai otrā reizinātāja mīnusā. Paciešam šo mīnusu nafig, pēc kura viss viegli pārdomājams.

2. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( līdzināt)\]

Šeit daudzi būtu neizpratnē par to, kas izrādījās rezultāts neracionāls skaitlis. Jā, tas notiek: mēs nevarējām pilnībā atbrīvoties no saknes, bet mēs vismaz ievērojami vienkāršojām izteiksmi.

3. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((() a)^(4)) \labais))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(līdzināt)\]

Lūk, uz ko es vēlos vērst jūsu uzmanību. Šeit ir divi punkti:

1. Zem saknes atrodas nevis konkrēts skaitlis vai pakāpe, bet gan mainīgais $a$. No pirmā acu uzmetiena tas ir nedaudz neparasti, taču patiesībā, risinot matemātikas uzdevumus, visbiežāk nāksies saskarties ar mainīgajiem.
2. Galu galā mums izdevās “samazināt” saknes eksponentu un pakāpi radikālajā izteiksmē. Tas notiek diezgan bieži. Un tas nozīmē, ka bija iespējams ievērojami vienkāršot aprēķinus, ja neizmantojat galveno formulu.

Piemēram, jūs varētu rīkoties šādi:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \labais))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(līdzināt)\]

Faktiski visas transformācijas tika veiktas tikai ar otro radikāli. Un, ja jūs nekrāsojat detalizēti visus starpposmus, tad galu galā aprēķinu apjoms ievērojami samazināsies.

Faktiski mēs jau esam saskārušies ar līdzīgu uzdevumu iepriekš, risinot $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ piemēru. Tagad to var uzrakstīt daudz vienkāršāk:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(līdzināt)\]

Nu, mēs izdomājām sakņu pavairošanu. Tagad apsveriet apgriezto darbību: ko darīt, ja zem saknes ir darbs?

Matemātikā saknes var būt kvadrātveida, kubiskas vai ar jebkuru citu eksponentu (pakāpju), kas ir rakstīts kreisajā pusē virs saknes zīmes. Izteicienu zem saknes zīmes sauc par saknes izteiksmi. Saknes pievienošana ir līdzīga termina pievienošanai. algebriskā izteiksme, tas ir, tas prasa līdzīgu sakņu definīciju.

Soļi

1. daļa no 2: Sakņu atrašana

Saknes apzīmējums. Izteiksme zem saknes zīmes () nozīmē, ka no šīs izteiksmes ir jāizņem noteiktas pakāpes sakne.

• Sakni apzīmē ar zīmi.
• Saknes indeksu (grādu) raksta kreisajā pusē virs saknes zīmes. Piemēram, skaitļa 27 kuba sakne ir rakstīta šādi: (27)
• Ja saknes eksponenta (pakāpes) nav, tad eksponents tiek uzskatīts par vienādu ar 2, tas ir, tā ir kvadrātsakne (vai otrās pakāpes sakne).
• Skaitli, kas rakstīts pirms saknes zīmes, sauc par reizinātāju (tas ir, šis skaitlis tiek reizināts ar sakni), piemēram, 5 (2)
• Ja saknes priekšā nav faktora, tad tas ir vienāds ar 1 (atgādiniet, ka jebkurš skaitlis, kas reizināts ar 1, ir vienāds ar sevi).
• Ja strādājat ar saknēm pirmo reizi, veiciet atbilstošas ​​piezīmes par saknes reizinātāju un eksponentu, lai neapjuktu un labāk izprastu to mērķi.

Atcerieties, kuras saknes var salocīt un kuras nevar. Tāpat kā jūs nevarat pievienot dažādus izteiksmes terminus, piemēram, 2a + 2b 4ab, jūs nevarat pievienot dažādas saknes.

Jūs nevarat pievienot saknes ar dažādām sakņu izteiksmēm, piemēram, (2) + (3) (5). Bet jūs varat pievienot skaitļus zem vienas saknes, piemēram, (2 + 3) = (5) (2 kvadrātsakne ir aptuveni 1,414, kvadrātsakne no 3 ir aptuveni 1,732 un kvadrātsakne no 5 ir aptuveni 2,236 ).

Jūs nevarat pievienot saknes ar vienādām saknes izteiksmēm, bet dažādiem eksponentiem, piemēram, (64) + (64) (šī summa nav vienāda ar (64), jo 64 kvadrātsakne ir 8, kubsakne no 64 ir 4, 8 + 4 = 12, kas ir daudz lielāks par 64 piekto sakni, kas ir aptuveni 2,297).

2. daļa no 2: sakņu vienkāršošana un pievienošana

Nosakiet un grupējiet līdzīgas saknes. Līdzīgas saknes ir saknes, kurām ir vienādi eksponenti un vienādas saknes izteiksmes. Piemēram, apsveriet izteicienu:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Vispirms pārrakstiet izteiksmi tā, lai saknes ar tādu pašu eksponentu būtu virknē.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Pēc tam pārrakstiet izteiksmi tā, lai saknes ar tādu pašu eksponentu un vienu un to pašu saknes izteiksmi būtu virknē.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Vienkāršojiet savas saknes. Lai to izdarītu, sadaliet (ja iespējams) radikālas izteiksmes divos faktoros, no kuriem viens tiek izņemts no saknes. Šajā gadījumā tiek reizināts renderētais skaitlis un saknes koeficients.

Iepriekš minētajā piemērā koeficientu 50 uz 2*25 un skaitli 32 uz 2*16. No 25 un 16 jūs varat izvilkt kvadrātsaknes (attiecīgi 5 un 4) un izņemt 5 un 4 no zem saknes, attiecīgi reizinot tos ar koeficientiem 2 un 1. Tādējādi jūs iegūstat vienkāršotu izteiksmi: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Skaitli 81 var ieskaitīt 3 * 27, un kuba sakni no 3 var ņemt no skaitļa 27. Šo skaitli 3 var izņemt no saknes apakšas. Tādējādi jūs iegūstat vēl vienkāršāku izteiksmi: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Pievienojiet līdzīgu sakņu faktorus. Mūsu piemērā ir līdzīgas kvadrātsaknes no 2 (tās var pievienot) un līdzīgas kvadrātsaknes no 3 (tās var arī pievienot). Plkst kuba sakne no 3 tādu sakņu nav.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Galīgā vienkāršotā izteiksme: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Nav vispārpieņemtu noteikumu par sakņu rakstīšanas secību izteiksmē. Tāpēc jūs varat rakstīt saknes to eksponentu augošā secībā un radikālo izteiksmju augošā secībā.

Uzmanību, tikai ŠODIEN!

Viss interesanti

Skaitlis, kas atrodas zem saknes zīmes, bieži vien traucē vienādojuma atrisināšanu, ar to ir neērti strādāt. Pat ja tas ir palielināts līdz pakāpei, daļskaitlim vai to nevar attēlot kā veselu skaitli līdz noteiktai pakāpei, var mēģināt to iegūt no…

Skaitļa x sakne ir skaitlis, kas, paaugstinot līdz saknes pakāpei, būs vienāds ar x. Reizinātājs ir skaitlis, kas tiek reizināts. Tas ir, tādā izteiksmē kā x*ª-&radic-y zem saknes ir jāpievieno x. 1. instrukcija Nosakiet grādu ...

Ja saknes izteiksme satur matemātisko darbību kopu ar mainīgajiem, tad dažkārt tās vienkāršošanas rezultātā var iegūt samērā vienkāršu vērtību, no kuras daļu var izņemt no saknes apakšas. Šis vienkāršojums ir noderīgs...

Aritmētiskās darbības ar dažādu pakāpju saknēm var ievērojami vienkāršot aprēķinus fizikā un tehnoloģijā un padarīt tos precīzākus. Reizinot un dalot, ērtāk ir neizvilkt sakni no katra faktora vai dividendes un dalītāja, bet vispirms ...

Skaitļa x kvadrātsakne ir skaitlis a, kuru reizinot ar sevi, iegūst skaitli x: a * a = a^2 = x, x = a. Tāpat kā ar jebkuru skaitli, jūs varat veikt saskaitīšanas un atņemšanas aritmētiskās darbības ar kvadrātsaknēm. Instrukcija...

Matemātikā saknei var būt divas nozīmes: tā ir aritmētiskā darbība un katrs no vienādojuma risinājumiem, algebriskais, parametriskais, diferenciālis vai jebkura cita. 1. instrukcija Skaitļa a n-tās pakāpes sakne ir tāds skaitlis, ka ...

Veicot dažādus aritmētiskās darbības ar saknēm, bieži vien ir jāspēj pārveidot radikālas izteiksmes. Lai vienkāršotu aprēķinus, var būt nepieciešams izņemt koeficientu no radikāļa zīmes vai novietot to zem tā. Šī darbība var...

Sakne ir ikona, kas apzīmē matemātiskā darbība atrodot tādu skaitli, kura konstrukcija uz pirms saknes zīmes norādīto jaudu jādod skaitlis, kas norādīts tieši zem šīs zīmes. Bieži vien, lai atrisinātu problēmas, kurās pastāv ...

Saknes zīmi matemātiskajās zinātnēs sauc simbols saknēm. Skaitli zem saknes zīmes sauc par radikālu izteiksmi. Ja nav eksponenta, sakne ir kvadrāts, pretējā gadījumā skaitlis norāda ...

Aritmētika n-tās saknes grādi no reālais skaitlis a ir tāds nenegatīvs skaitlis x, n-tā pakāpe kas ir vienāds ar skaitli a. Tie. (n) a = x, x^n = a. Pastāv dažādi veidi papildinājumiem aritmētiskā sakne un racionāls skaitlis...

Reāla skaitļa a n-tā sakne ir skaitlis b, kuram ir patiesa vienādība b^n = a. Negatīviem un pozitīviem skaitļiem pastāv nepāra saknes, un pāra saknes pastāv tikai pozitīviem skaitļiem.…

Skaitļa x kvadrātsakne ir skaitlis a, kuru reizinot ar sevi, iegūst skaitli x: a * a = a^2 = x, √x = a. Tāpat kā ar jebkuru skaitli, jūs varat veikt saskaitīšanas un atņemšanas aritmētiskās darbības ar kvadrātsaknēm.

Instrukcija

• Pirmkārt, pievienojot kvadrātsaknes, mēģiniet iegūt šīs saknes. Tas būs iespējams, ja skaitļi zem saknes zīmes ir ideāli kvadrāti. Piemēram, dota izteiksme √4 + √9. Pirmais skaitlis 4 ir skaitļa 2 kvadrāts. Otrais skaitlis 9 ir skaitļa 3 kvadrāts. Tātad sanāk, ka: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Ja zem saknes zīmes nav pilnu kvadrātu, mēģiniet izņemt skaitļa reizinātāju no zem saknes zīmes. Piemēram, pieņemsim, ka ir dots √24 + √54. Sakārtojiet skaitļus: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Skaitlim 24 ir koeficients 4, ko var izņemt no kvadrātsaknes zīmes. Skaitlim 54 ir koeficients 9. Tādējādi izrādās, ka: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . Šajā piemērā reizinātāja izņemšanas rezultātā no saknes zīmes izrādījās, ka dotā izteiksme ir vienkāršota.
• Lai divu kvadrātsakņu summa ir daļdaļas saucējs, piemēram, A / (√a + √b). Un lai jūsu uzdevums ir "atbrīvoties no saucējā iracionalitātes". Pēc tam varat izmantot šādu metodi. Daļas skaitītāju un saucēju reiziniet ar izteiksmi √a - √b. Tādējādi saucējā tiks iegūta saīsinātās reizināšanas formula: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Pēc analoģijas, ja saucējā ir norādīta sakņu starpība: √a - √b, tad daļskaitļa skaitītājs un saucējs jāreizina ar izteiksmi √a + √b. Piemēram, ņemot vērā daļu 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Apsveriet sarežģītāku piemēru, kā atbrīvoties no iracionalitātes saucējā. Daļa 12 / (√2 + √3 + √5) ir dota. Daļas skaitītājs un saucējs jāreizina ar izteiksmi √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Un visbeidzot, ja jums ir nepieciešama tikai aptuvenā vērtība, tad kalkulatorā varat aprēķināt kvadrātsaknes. Aprēķiniet vērtības katram skaitlim atsevišķi un pierakstiet ar nepieciešamo precizitāti (piemēram, divas zīmes aiz komata). Un pēc tam veiciet vajadzīgās aritmētiskās darbības, tāpat kā ar parastajiem skaitļiem. Piemēram, pieņemsim, ka vēlaties uzzināt izteiksmes aptuveno vērtību √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, ko var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja piedalāties izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas kārtību, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrības interešu mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.