Lineāro vienādojumu sistēmu sauc par locītavu, ja mti. Kā atrast vispārīgu un konkrētu risinājumu lineāro vienādojumu sistēmai

Mēs turpinām nodarboties ar lineāro vienādojumu sistēmām. Līdz šim esam apsvēruši sistēmas, kurām ir unikāls risinājums. Šādas sistēmas var atrisināt jebkurā veidā: aizstāšanas metode("skola") ar Krāmera formulām, matricas metodi, Gausa metode. Tomēr praksē ir plaši izplatīti vēl divi gadījumi, kad:

1) sistēma ir nekonsekventa (nav risinājumu);

2) sistēmai ir bezgala daudz risinājumu.

Šīm sistēmām tiek izmantota universālākā no visām risinājuma metodēm - Gausa metode. Faktiski “skolas” ceļš arī novedīs pie atbildes, bet iekšā augstākā matemātika Ir ierasts izmantot Gausa metodi secīgai nezināmo novēršanai. Tie, kas nav pazīstami ar Gausa metodes algoritmu, lūdzu, vispirms izpētiet stundu Gausa metode

Pašas elementārās matricas transformācijas ir tieši tādas pašas, atšķirība būs risinājuma beigās. Vispirms apsveriet dažus piemērus, kur sistēmai nav risinājumu (neatbilstoši).

1. piemērs

Kas šajā sistēmā uzreiz iekrīt jūsu acīs? Vienādojumu skaits ir mazāks par mainīgo skaitu. Ir teorēma, kas saka: “Ja vienādojumu skaits sistēmā mazāks daudzums mainīgie, tad sistēma ir vai nu nekonsekventa, vai arī tai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Un atliek tikai noskaidrot.

Risinājuma sākums ir diezgan parasts - mēs uzrakstām sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, ievietojam to soļu formā:

(viens). Augšējā kreisajā solī mums jāiegūst (+1) vai (-1). Pirmajā kolonnā šādu skaitļu nav, tāpēc rindu pārkārtošana nedarbosies. Vienība būs jāorganizē neatkarīgi, un to var izdarīt vairākos veidos. Mēs tā darījām. Pirmajai rindai pievienojam trešo rindiņu, kas reizināta ar (-1).

(2). Tagad mēs iegūstam divas nulles pirmajā kolonnā. Otrajai rindai pievienojiet pirmo rindiņu, kas reizināta ar 3. Trešajai rindai pievienojiet pirmo, kas reizināta ar 5.

(3). Pēc transformācijas veikšanas vienmēr ir ieteicams noskaidrot, vai ir iespējams vienkāršot iegūtās virknes? Var. Mēs sadalām otro rindu ar 2, vienlaikus iegūstot vēlamo (-1) otrajā solī. Sadaliet trešo rindiņu ar (-3).

(4). Pievienojiet otro rindu trešajai rindai. Droši vien visi pievērsa uzmanību sliktajai līnijai, kas izrādījās elementāru pārvērtību rezultātā:

. Ir skaidrs, ka tas tā nevar būt.

Patiešām, mēs pārrakstām iegūto matricu

atpakaļ uz lineāro vienādojumu sistēmu:

Ja elementāru pārveidojumu rezultātā formas virkne , kurλ ir skaitlis, kas nav nulle, tad sistēma ir nekonsekventa (nav risinājumu).

Kā ierakstīt uzdevuma beigas? Jums jāpieraksta frāze:

“Elementāru pārveidojumu rezultātā tiek iegūta formas virkne, kur λ ≠ 0 ". Atbilde: "Sistēmai nav risinājumu (neatbilstoši)."

Lūdzu, ņemiet vērā, ka šajā gadījumā nav Gausa algoritma apgrieztās kustības, nav risinājumu un vienkārši nav ko atrast.

2. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu

Šis ir “dari pats” piemērs. Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Vēlreiz atgādinām, ka jūsu risinājuma ceļš var atšķirties no mūsu risinājuma ceļa, Gausa metode nenosaka viennozīmīgu algoritmu, procedūra un pašas darbības katrā gadījumā jāuzmin pašiem.

Vēl vienu tehniskā īpašība risinājumi: elementāras pārvērtības var apturēt nekavējoties, tiklīdz rinda patīk , kur λ ≠ 0 . Apsveriet nosacīts piemērs: pieņemsim, ka pēc pirmās transformācijas mēs iegūstam matricu

Šī matrica vēl nav reducēta līdz pakāpeniskajai formai, taču tālākas elementāras transformācijas nav nepieciešamas, jo ir parādījusies formas rinda, kur λ ≠ 0 . Uzreiz būtu jāatbild, ka sistēma nav savietojama.

Ja lineāro vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu, tā ir gandrīz dāvana studentam, jo tiek iegūts īss risinājums, dažreiz burtiski 2-3 soļos. Bet viss šajā pasaulē ir līdzsvarots, un problēma, kurā sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, ir tikai garāka.

3. piemērs:

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu

Ir 4 vienādojumi un 4 nezināmie, tāpēc sistēmai var būt vai nu viens risinājums, vai bez atrisinājumiem, vai arī bezgalīgs atrisinājumu skaits. Lai kas tas arī būtu, bet Gausa metode jebkurā gadījumā mūs novedīs pie atbildes. Tā ir tā daudzpusība.

Sākums atkal ir standarta. Mēs uzrakstām sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, ievietojam to soļu formā:

Tas arī viss, un tev bija bail.

(viens). Lūdzu, ņemiet vērā, ka visi skaitļi pirmajā kolonnā dalās ar 2, tāpēc augšējā kreisajā solī mēs esam apmierināti arī ar divnieku. Otrajai rindai pievienojam pirmo rindiņu, kas reizināta ar (-4). Trešajai rindai mēs pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar (-2). Ceturtajai rindai pievienojam pirmo rindiņu, kas reizināta ar (-1).

Uzmanību! Daudzi var tikt kārdināti no ceturtās rindas atņemt pirmā līnija. To var izdarīt, bet tas nav nepieciešams, pieredze rāda, ka kļūdas iespējamība aprēķinos palielinās vairākas reizes. Mēs vienkārši pievienojam: ceturtajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar (-1) - tieši tā!

(2). Pēdējās trīs rindas ir proporcionālas, divas no tām var dzēst. Šeit atkal ir jāparāda pastiprināta uzmanība, bet vai līnijas tiešām ir proporcionālas? Pārapdrošināšanai nebūs lieki otro rindu reizināt ar (-1) un ceturto rindu dalīt ar 2, iegūstot trīs identiskas rindas. Un tikai pēc tam noņemiet divus no tiem. Elementāru pārveidojumu rezultātā sistēmas paplašinātā matrica tiek samazināta līdz pakāpeniskajai formai:

Pildot uzdevumu piezīmju grāmatiņā, skaidrības labad tās pašas piezīmes vēlams veikt ar zīmuli.

Mēs pārrakstām atbilstošo vienādojumu sistēmu:

Sistēmas “parastais” vienīgais risinājums te neož. Slikta līnija kur λ ≠ 0, arī nē. Līdz ar to šis ir trešais atlikušais gadījums – sistēmai ir bezgala daudz risinājumu.

Sistēmas bezgalīgā risinājumu kopa ir īsi uzrakstīta ts formā vispārējs sistēmas risinājums.

Sistēmas vispārīgo risinājumu atradīsim, izmantojot Gausa metodes apgriezto kustību. Vienādojumu sistēmām ar bezgalīgu risinājumu kopu parādās jauni jēdzieni: "pamata mainīgie" Un "brīvie mainīgie". Pirmkārt, definēsim, kādi mainīgie mums ir pamata, un kādi mainīgie - bezmaksas. Nav nepieciešams detalizēti izskaidrot lineārās algebras terminus, pietiek atcerēties, ka tādi ir bāzes mainīgie Un bezmaksas mainīgie.

Pamata mainīgie vienmēr "sēž" stingri uz matricas pakāpieniem. Šajā piemērā bāzes mainīgie ir x 1 un x 3 .

Bezmaksas mainīgie ir viss atlikušie mainīgie, kas nesaņēma soli. Mūsu gadījumā ir divi: x 2 un x 4 - brīvie mainīgie.

Tagad tev vajag visibāzes mainīgie izteikt tikai cauribezmaksas mainīgie. Gausa algoritma apgrieztā kustība tradicionāli darbojas no apakšas uz augšu. No sistēmas otrā vienādojuma mēs izsakām pamata mainīgo x 3:

Tagad apskatiet pirmo vienādojumu: . Pirmkārt, mēs tajā aizstājam atrasto izteiksmi:

Atliek izteikt pamata mainīgo x 1, izmantojot brīvos mainīgos x 2 un x 4:

Rezultāts ir tas, kas jums nepieciešams - visi bāzes mainīgie ( x 1 un x 3) izteikts tikai cauri brīvi mainīgie ( x 2 un x 4):

Patiesībā vispārējais risinājums ir gatavs:

Kā pierakstīt vispārējo risinājumu? Pirmkārt, brīvie mainīgie tiek ierakstīti vispārīgajā risinājumā “paši no sevis” un stingri savās vietās. Šajā gadījumā brīvie mainīgie x 2 un x 4 jāraksta otrajā un ceturtajā pozīcijā:

Iegūtās izteiksmes pamata mainīgajiem un acīmredzot jāraksta pirmajā un trešajā pozīcijā:

No sistēmas vispārējā risinājuma var atrast bezgalīgi daudz privātie lēmumi. Tas ir ļoti vienkārši. bezmaksas mainīgie x 2 un x 4 tā sauc, jo tos var dot jebkādas galīgās vērtības. Populārākās vērtības ir nulles vērtības, jo tas ir vienkāršākais veids, kā iegūt konkrētu risinājumu.

Aizstāšana ( x 2 = 0; x 4 = 0) vispārējā risinājumā iegūstam vienu no konkrētajiem risinājumiem:

vai ir konkrēts risinājums, kas atbilst brīviem mainīgajiem ar vērtībām ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Vieni ir vēl viens jauks pāris, aizstāsim ( x 2 = 1 un x 4 = 1) vispārējā risinājumā:

, t.i., (-1; 1; 1; 1) ir vēl viens konkrēts risinājums.

Ir viegli redzēt, ka vienādojumu sistēmai ir bezgala daudz risinājumu jo mēs varam dot brīvus mainīgos jebkura vērtības.

Katrs konkrētam risinājumam ir jāapmierina katram sistēmas vienādojums. Tas ir pamats “ātrai” risinājuma pareizības pārbaudei. Ņemiet, piemēram, konkrētu risinājumu (-1; 1; 1; 1) un aizstājiet to katra vienādojuma kreisajā pusē sākotnējā sistēmā:

Visam ir jāsanāk kopā. Un ar jebkuru konkrētu risinājumu, ko jūs saņemat, visam arī vajadzētu saplūst.

Stingri sakot, konkrēta risinājuma pārbaude dažkārt maldina, t.i. kāds konkrēts risinājums var apmierināt katru sistēmas vienādojumu, un pats vispārējais risinājums faktiski tiek atrasts nepareizi. Tāpēc, pirmkārt, vispārējā risinājuma pārbaude ir rūpīgāka un uzticamāka.

Kā pārbaudīt iegūto vispārīgo risinājumu ?

Tas nav grūti, bet tas prasa diezgan ilgu transformāciju. Mums ir jāņem izteiksmes pamata mainīgie, šajā gadījumā un , un aizstājiet tos katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē.

Sistēmas pirmā vienādojuma kreisajā pusē:

Tiek iegūta sistēmas sākotnējā pirmā vienādojuma labā puse.

Sistēmas otrā vienādojuma kreisajā pusē:

Tiek iegūta sistēmas sākotnējā otrā vienādojuma labā puse.

Un tālāk - uz sistēmas trešā un ceturtā vienādojuma kreiso daļu. Šī pārbaude ir garāka, taču tā garantē 100% kopējā risinājuma pareizību. Turklāt dažos uzdevumos ir jāpārbauda vispārīgais risinājums.

4. piemērs:

Atrisiniet sistēmu, izmantojot Gausa metodi. Atrodiet vispārīgu risinājumu un divus privātus. Pārbaudiet kopējo risinājumu.

Šis ir “dari pats” piemērs. Šeit, starp citu, atkal vienādojumu skaits ir mazāks par nezināmo skaitu, kas nozīmē, ka uzreiz ir skaidrs, ka sistēma būs vai nu nekonsekventa, vai arī tai būs bezgalīgi daudz atrisinājumu.

5. piemērs:

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu. Ja sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, atrodiet divus konkrētus risinājumus un pārbaudiet vispārējo risinājumu

Risinājums: Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un ar elementāru transformāciju palīdzību izveidosim to pakāpju formā:

(viens). Pievienojiet pirmo rindiņu otrajai rindai. Trešajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 2. Ceturtajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 3.

(2). Trešajai rindai mēs pievienojam otro rindu, kas reizināta ar (-5). Ceturtajai rindai mēs pievienojam otro rindu, kas reizināta ar (-7).

(3). Trešā un ceturtā rinda ir vienāda, mēs izdzēšam vienu no tām. Šeit ir šāds skaistums:

Pamata mainīgie atrodas uz pakāpieniem, tāpēc tie ir bāzes mainīgie.

Ir tikai viens brīvs mainīgais, kas nesaņēma soli: .

(4). Apgrieztā kustība. Mēs izsakām galvenos mainīgos kā brīvo mainīgo:

No trešā vienādojuma:

Apsveriet otro vienādojumu un aizstājiet tajā atrasto izteiksmi:

, , ,

Apsveriet pirmo vienādojumu un aizstājiet atrastās izteiksmes un tajā:

Tādējādi vispārīgais risinājums ar vienu brīvu mainīgo x 4:

Vēlreiz, kā tas notika? bezmaksas mainīgais x 4 atrodas vienatnē savā likumīgajā ceturtajā vietā. Rezultātā iegūtās izteiksmes pamata mainīgajiem , ir arī savās vietās.

Ļaujiet mums nekavējoties pārbaudīt vispārējo risinājumu.

Katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē mēs aizstājam pamata mainīgos , :

Tiek iegūtas atbilstošās vienādojumu labās puses, tādējādi tiek atrasts pareizais vispārīgais risinājums.

Tagad no atrastā vispārīgā risinājuma mēs iegūstam divus konkrētus risinājumus. Visi mainīgie šeit tiek izteikti ar vienu brīvais mainīgais x 4 . Nevajag lauzīt galvu.

Ļaujiet būt x 4 = 0, tad ir pirmais konkrētais risinājums.

Ļaujiet būt x 4 = 1, tad ir vēl viens īpašs risinājums.

Atbilde: Kopīgs lēmums: . Privātie risinājumi:

Un .

6. piemērs:

Atrast lineāro vienādojumu sistēmas vispārīgo risinājumu.

Mēs jau esam pārbaudījuši vispārējo risinājumu, atbildei var uzticēties. Jūsu rīcība var atšķirties no mūsu rīcības. Galvenais, lai vispārējie risinājumi sakrīt. Droši vien daudzi risinājumos pamanījuši kādu nepatīkamu momentu: ļoti bieži Gausa metodes apgrieztā kursa laikā nācies knibināt ar parastās frakcijas. Praksē tā ir taisnība, gadījumi, kad nav daļskaitļu, ir daudz retāk sastopami. Esiet gatavi garīgi un, pats galvenais, tehniski.

Pakavēsimies pie risinājuma iezīmēm, kas netika atrasti atrisinātajos piemēros. Sistēmas vispārējais risinājums dažkārt var ietvert konstanti (vai konstantes).

Piemēram, vispārīgais risinājums: . Šeit viens no pamata mainīgajiem ir vienāds ar nemainīgu skaitli: . Šajā nav nekā eksotiska, tā notiek. Acīmredzot šajā gadījumā jebkura konkrēta risinājuma pirmajā pozīcijā būs piecinieks.

Reti, bet ir sistēmas, kurās vienādojumu skaits ir lielāks par mainīgo skaitu. Tomēr Gausa metode darbojas vissmagākajos apstākļos. Jums vajadzētu mierīgi pārveidot sistēmas paplašināto matricu pakāpju formā saskaņā ar standarta algoritmu. Šāda sistēma var būt nekonsekventa, tai var būt bezgalīgi daudz risinājumu, un, dīvainā kārtā, tai var būt unikāls risinājums.

Atkārtojam savā ieteikumā – lai justos komfortabli, risinot sistēmu ar Gausa metodi, jāpiepilda roka un jāatrisina vismaz ducis sistēmu.

Risinājumi un atbildes:

2. piemērs:

Risinājums:Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpju formā.

Veiktas elementāras pārvērtības:

(1) Pirmā un trešā rinda ir apmainītas.

(2) Pirmā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar (-6). Pirmā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizināta ar (-7).

(3) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar (-1).

Elementāru pārvērtību rezultātā formas virkne, kur λ ≠ 0 .Tātad sistēma ir nekonsekventa.Atbilde: risinājumu nav.

4. piemērs:

Risinājums:Mēs uzrakstām sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, ievietojam to soļu formā:

Veiktie reklāmguvumi:

(viens). Pirmā rinda, kas reizināta ar 2, tika pievienota otrajai rindai. Pirmā rinda, kas reizināta ar 3, tika pievienota trešajai rindai.

Otrajam solim nav vienības , un transformācija (2) ir vērsta uz tā iegūšanu.

(2). Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizināta ar -3.

(3). Otrā un trešā rinda tika apmainīta (iegūtais -1 tika pārvietots uz otro soli)

(4). Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizināta ar 3.

(pieci). Pirmo divu rindu zīme tika mainīta (reizināta ar -1), trešā rinda tika dalīta ar 14.

Apgrieztā kustība:

(viens). Šeit ir pamata mainīgie (kas atrodas uz soļiem), un ir brīvi mainīgie (kas nesaņēma soli).

(2). Mēs izsakām galvenos mainīgos kā brīvos mainīgos:

No trešā vienādojuma: .

(3). Apsveriet otro vienādojumu:, īpaši risinājumi:

Atbilde: Kopīgs lēmums:

Kompleksie skaitļi

Šajā sadaļā mēs iepazīstināsim ar koncepciju kompleksais skaitlis, apsveriet algebriskā, trigonometrisks Un parādīt formu kompleksais skaitlis. Un arī iemācieties veikt darbības ar kompleksiem skaitļiem: saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu, kāpināšanu un sakņu ekstrakciju.

Lai apgūtu kompleksos skaitļus, jums nav nepieciešamas īpašas zināšanas no augstākās matemātikas kursa, un materiāls ir pieejams pat skolēnam. Pietiek, lai varētu veikt algebriskas darbības ar "parastajiem" skaitļiem, un atcerēties trigonometriju.

Pirmkārt, atcerēsimies "parastos" skaitļus. Matemātikā tos sauc daudzi reāli skaitļi un ir atzīmēti ar burtu R, vai R (biezs). Visi reālie skaitļi atrodas uz pazīstamās skaitļu līnijas:

Reālo skaitļu kompānija ir ļoti krāsaina – šeit ir veseli skaitļi, daļskaitļi un iracionāli skaitļi. Šajā gadījumā katrs skaitliskās ass punkts noteikti atbilst kādam reālam skaitlim.

Sistēmas m lineāri vienādojumi ar n nezināms.
Lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšana ir šāda skaitļu kopa ( x 1 , x 2 , …, x n), kuru aizvietojot katrā no sistēmas vienādojumiem, tiek iegūta pareizā vienādība.
kur a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n ir sistēmas koeficienti;
b i , i = 1, …, m- bezmaksas biedri;
x j , j = 1, …, n- nezināms.
Iepriekš minēto sistēmu var uzrakstīt matricas formā: A X = B,

kur ( A|B) ir sistēmas galvenā matrica;
A— sistēmas paplašinātā matrica;
X— nezināmo kolonna;
B ir bezmaksas dalībnieku kolonna.
Ja matrica B nav nulles matrica ∅, tad šo lineāro vienādojumu sistēmu sauc par nehomogēnu.
Ja matrica B= ∅, tad šo lineāro vienādojumu sistēmu sauc par homogēnu. Viendabīgai sistēmai vienmēr ir nulles (triviāls) risinājums: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
Savienota lineāro vienādojumu sistēma ir lineāru vienādojumu sistēma, kurai ir risinājums.
Nekonsekventa lineāro vienādojumu sistēma ir lineāru vienādojumu sistēma, kurai nav risinājuma.
Noteikta lineāro vienādojumu sistēma ir lineāru vienādojumu sistēma, kurai ir unikāls risinājums.
Nenoteikta lineāro vienādojumu sistēma ir lineāru vienādojumu sistēma, kurai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.
n lineāru vienādojumu sistēmas ar n nezināmajiem
Ja nezināmo skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu, tad matrica ir kvadrātveida. Matricas determinantu sauc par lineāro vienādojumu sistēmas galveno determinantu un apzīmē ar simbolu Δ.
Krāmera metode sistēmu risināšanai n lineāri vienādojumi ar n nezināms.
Krāmera likums.
Ja lineāro vienādojumu sistēmas galvenais determinants nav nulle, tad sistēma ir konsekventa un definēta, un unikālais risinājums tiek aprēķināts pēc Krāmera formulām:
kur Δ i ir determinanti, kas iegūti no sistēmas galvenā determinanta Δ, aizstājot i kolonnu uz brīvo dalībnieku kolonnu. .
M lineāro vienādojumu sistēmas ar n nezināmajiem
Kronekera-Kapella teorēma.

Lai šī lineāro vienādojumu sistēma būtu konsekventa, ir nepieciešams un pietiekami, lai sistēmas matricas rangs būtu vienāds ar sistēmas paplašinātās matricas rangu, rangs(Α) = rangs(Α|B).
Ja zvana(Α) ≠ zvana(Α|B), tad sistēmai acīmredzami nav risinājumu.
Ja rangs(Α) = rangs(Α|B), tad ir iespējami divi gadījumi:
1) zvana(Α) = n(nezināmo skaitam) - risinājums ir unikāls un to var iegūt ar Krāmera formulām;
2) rangs (Α)< n − risinājumu ir bezgala daudz.
Gausa metode lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai

Sastādām paplašināto matricu ( A|B) no dotās koeficientu sistēmas nezināmajā un labajā pusē.
Gausa metode jeb nezināmo izslēgšanas metode ir paplašinātās matricas samazināšana ( A|B) ar elementāru pārveidojumu palīdzību pār tās rindām uz diagonālo formu (uz augšējo trīsstūrveida formu). Atgriežoties pie vienādojumu sistēmas, tiek noteikti visi nezināmie.
Virkņu elementārās transformācijas ietver šādas:
1) divu rindu maiņa;
2) virknes reizināšanu ar skaitli, kas nav 0;
3) pievienojot virknei citu virkni, kas reizināta ar patvaļīgu skaitli;
4) nulles virknes atmešana.
Paplašināta matrica, kas reducēta līdz diagonālajai formai, atbilst dotajai līdzvērtīgai lineārai sistēmai, kuras atrisināšana nesagādā grūtības. .
Homogēnu lineāro vienādojumu sistēma.
Viendabīgai sistēmai ir šāda forma:

tas atbilst matricas vienādojumam A X = 0.
1) Viendabīga sistēma vienmēr ir konsekventa, jo r(A) = r(A|B), vienmēr ir nulles risinājums (0, 0, …, 0).
2) Lai homogēnai sistēmai būtu nulles atrisinājums, ir nepieciešams un pietiek ar to r = r(A)< n , kas ir ekvivalents Δ = 0.
3) Ja r< n , tad Δ = 0, tad ir brīvi nezināmie c 1 , c 2 , …, c n-r, sistēmai ir netriviāli risinājumi, un to ir bezgala daudz.
4) Vispārējs risinājums X plkst r< n var uzrakstīt matricas formā šādi:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
kur ir risinājumi X 1 , X 2 , …, X n-r veido fundamentālu risinājumu sistēmu.
5) Risinājumu pamatsistēmu var iegūt no homogēnās sistēmas vispārējā risinājuma:

,
ja secīgi pieņemsim, ka parametru vērtības ir (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Vispārējā risinājuma dekompozīcija risinājumu fundamentālās sistēmas izteiksmē ir vispārīgā risinājuma ieraksts kā pamata sistēmai piederošu risinājumu lineāra kombinācija.
Teorēma. Lai lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmai būtu risinājums, kas nav vienāds ar nulli, ir nepieciešams un pietiekami, lai Δ ≠ 0.
Tātad, ja determinants ir Δ ≠ 0, tad sistēmai ir unikāls risinājums.
Ja Δ ≠ 0, tad lineāro viendabīgo vienādojumu sistēmai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.
Teorēma. Lai homogēnai sistēmai būtu nulles atrisinājums, tas ir nepieciešams un pietiekams r(A)< n .
Pierādījums:
1) r nevar būt vairāk n(matricas rangs nepārsniedz kolonnu vai rindu skaitu);
2) r< n , jo ja r=n, tad sistēmas galvenais determinants Δ ≠ 0, un saskaņā ar Krāmera formulām ir unikāls triviāls risinājums x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, kas ir pretrunā ar nosacījumu. nozīmē, r(A)< n .
Sekas. Lai izveidotu viendabīgu sistēmu n lineāri vienādojumi ar n nezināmajiem ir risinājums, kas atšķiras no nulles, ir nepieciešams un pietiekams, lai Δ = 0.

Pakalpojuma uzdevums. Tiešsaistes kalkulators ir paredzēts lineāro vienādojumu sistēmas izpētei. Parasti problēmas stāvoklī tas ir jāatrod vispārējs un konkrēts sistēmas risinājums. Pētot lineāro vienādojumu sistēmas, tiek atrisinātas šādas problēmas:

vai sistēma ir sadarbīga;
ja sistēma ir konsekventa, tad tā ir noteikta vai nenoteikta (sistēmas saderības kritēriju nosaka teorēma);
ja sistēma ir definēta, tad kā atrast tās unikālo risinājumu (tiek izmantota Krāmera metode, apgrieztās matricas metode vai Džordana-Gausa metode);
ja sistēma ir nenoteikta, tad kā aprakstīt tās risinājumu kopu.

Lineāro vienādojumu sistēmu klasifikācija

Patvaļīgai lineāro vienādojumu sistēmai ir šāda forma:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

Lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmas (mainīgo skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu, m = n).
Patvaļīgas lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmas (m > n vai m< n).

Definīcija. Sistēmas risinājums ir jebkura skaitļu kopa c 1 ,c 2 ,...,c n , kuras aizstāšana sistēmā atbilstošo nezināmo vietā pārvērš katru sistēmas vienādojumu par identitāti.

Definīcija. Divas sistēmas tiek uzskatītas par līdzvērtīgām, ja pirmās ir risinājums otrajai un otrādi.

Definīcija. Tiek izsaukta sistēma, kurai ir vismaz viens risinājums locītavu. Sistēmu, kurai nav risinājuma, sauc par nekonsekventu.

Definīcija. Tiek saukta sistēma ar unikālu risinājumu noteikti, un vairāk nekā viens risinājums ir nenoteikts.

Algoritms lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai

Atrodiet galveno un paplašināto matricu rindas. Ja tie nav vienādi, tad saskaņā ar Kronecker-Capelli teorēmu sistēma ir nekonsekventa, un ar to arī beidzas pētījums.
Lai rangs(A) = rangs(B) . Mēs izvēlamies pamata minoru. Šajā gadījumā visas nezināmās lineāro vienādojumu sistēmas tiek sadalītas divās klasēs. Nezināmie, kuru koeficienti ir iekļauti pamatmazajā, tiek saukti par atkarīgiem, bet nezināmie, kuru koeficienti nav iekļauti pamata minorā, par brīvajiem. Ņemiet vērā, ka atkarīgo un brīvo nezināmo izvēle ne vienmēr ir unikāla.
Mēs izsvītrojam tos sistēmas vienādojumus, kuru koeficienti netika iekļauti pamata minorā, jo tie ir pārējā sekas (saskaņā ar pamata minora teorēmu).
Vienādojumu nosacījumi, kas satur brīvus nezināmos, tiks pārnesti uz labo pusi. Rezultātā iegūstam r vienādojumu sistēmu ar r nezināmajiem, ekvivalentu dotajam, kuras determinants atšķiras no nulles.
Iegūtā sistēma tiek atrisināta vienā no šādiem veidiem: Krāmera metode, apgrieztās matricas metode vai Džordana-Gausa metode. Tiek atrastas attiecības, kas atkarīgos mainīgos izsaka brīvo mainīgo izteiksmē.

M lineāru vienādojumu sistēma ar n nezināmajiem sauc par formu sistēmu

kur aij Un b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ir daži zināmi skaitļi un x 1,…,x n- nezināms. Koeficientu apzīmējumā aij pirmais indekss i apzīmē vienādojuma numuru un otro j ir nezināmā skaitlis, pie kura atrodas šis koeficients.

Koeficienti nezināmajiem tiks ierakstīti matricas veidā , ko mēs sauksim sistēmas matrica.

Skaitļi vienādojumu labajā pusē b 1 ,…, b m sauca bezmaksas dalībnieki.

Agregāts n cipariem c 1 ,…, c n sauca lēmumušīs sistēmas vienādojums, ja katrs sistēmas vienādojums kļūst par vienādību pēc skaitļu aizstāšanas tajā c 1 ,…, c n atbilstošo nezināmo vietā x 1,…,x n.

Mūsu uzdevums būs rast risinājumus sistēmai. Šajā gadījumā var rasties trīs situācijas:

Tiek saukta lineāro vienādojumu sistēma, kurai ir vismaz viens risinājums locītavu. Citādi, t.i. ja sistēmai nav risinājumu, tad to sauc nesaderīgi.

Apsveriet veidus, kā atrast risinājumus sistēmai.

MATRIKSAS METODE LINEĀRO VIENĀDĀJUMU SISTĒMU RISINĀŠANAI

Matricas ļauj īsi pierakstīt lineāro vienādojumu sistēmu. Dota 3 vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem:

Apsveriet sistēmas matricu un nezināmu un brīvu dalībnieku matricas kolonnas

Atradīsim preci

tie. reizinājuma rezultātā iegūstam šīs sistēmas vienādojumu kreisās puses. Pēc tam izmantojot matricas vienlīdzības definīciju šī sistēma var rakstīt formā

vai īsāks A∙X=B.

Šeit matricas A Un B ir zināmi, un matrica X nezināms. Viņa ir jāatrod, jo. tās elementi ir šīs sistēmas risinājums. Šo vienādojumu sauc matricas vienādojums.

Lai matricas determinants atšķiras no nulles | A| ≠ 0. Tad matricas vienādojumu atrisina šādi. Reiziniet abas vienādojuma puses kreisajā pusē ar matricu A-1, matricas apgrieztā vērtība A: . Ciktāl A -1 A = E Un E∙X=X, tad matricas vienādojuma atrisinājumu iegūstam formā X = A -1 B .

Ņemiet vērā, ka, tā kā apgriezto matricu var atrast tikai kvadrātveida matricām, matricas metode var atrisināt tikai tās sistēmas, kurās vienādojumu skaits ir tāds pats kā nezināmo skaits. Taču sistēmas matricas apzīmējums ir iespējams arī gadījumā, ja vienādojumu skaits nav vienāds ar nezināmo skaitu, tad matrica A nav kvadrātveida un tāpēc nav iespējams atrast sistēmas risinājumu formā X = A -1 B.

Piemēri. Atrisināt vienādojumu sistēmas.

KREIMERA NOTEIKUMI

Apsveriet 3 lineāru vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem:

Trešās kārtas determinants, kas atbilst sistēmas matricai, t.i. sastāv no koeficientiem pie nezināmajiem,

sauca sistēmas noteicējs.

Mēs veidojam vēl trīs determinantus šādi: secīgi aizstājam 1, 2 un 3 kolonnas determinantā D ar brīvo locekļu kolonnu.

Tad mēs varam pierādīt šādu rezultātu.

Teorēma (Kremera noteikums). Ja sistēmas determinants ir Δ ≠ 0, tad aplūkotajai sistēmai ir viens un tikai viens risinājums, un

Pierādījums. Tātad, apsveriet 3 vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem. Reiziniet sistēmas 1. vienādojumu ar algebrisko komplementu A 11 elements a 11, 2. vienādojums — ieslēgts A21 un 3. - uz A 31:

Pievienosim šos vienādojumus:

Apsveriet katru no iekavām un šī vienādojuma labo pusi. Ar teorēmu par determinanta paplašināšanos 1. kolonnas elementu izteiksmē

Līdzīgi var parādīt, ka un .

Visbeidzot, to ir viegli redzēt

Tādējādi mēs iegūstam vienādību: .

Sekojoši, .

Vienādības un tiek atvasinātas līdzīgi, no kurienes izriet teorēmas apgalvojums.

Tādējādi mēs atzīmējam, ka, ja sistēmas determinants ir Δ ≠ 0, tad sistēmai ir unikāls risinājums un otrādi. Ja sistēmas determinants ir vienāds ar nulli, tad sistēmai vai nu ir bezgalīga atrisinājumu kopa, vai arī nav atrisinājumu, t.i. nesaderīgi.

Piemēri. Atrisiniet vienādojumu sistēmu

GAUSA METODE

Iepriekš aplūkotās metodes var izmantot, lai atrisinātu tikai tās sistēmas, kurās vienādojumu skaits sakrīt ar nezināmo skaitu, un sistēmas determinantam ir jāatšķiras no nulles. Gausa metode ir universālāka un piemērota sistēmām ar jebkādu vienādojumu skaitu. Tas sastāv no secīgas nezināmo izslēgšanas no sistēmas vienādojumiem.

Vēlreiz apsveriet trīs vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem:

Pirmo vienādojumu atstājam nemainītu, un no 2. un 3. izslēdzam saturošos terminus x 1. Lai to izdarītu, mēs dalām otro vienādojumu ar bet 21 un reizināt ar - bet 11 un pēc tam pievienojiet ar 1. vienādojumu. Līdzīgi mēs sadalām trešo vienādojumu bet 31 un reizināt ar - bet 11 un pēc tam pievienojiet to pirmajam. Tā rezultātā sākotnējā sistēma būs šāda:

Tagad no pēdējā vienādojuma mēs izslēdzam terminu, kas satur x2. Lai to izdarītu, sadaliet trešo vienādojumu ar , reiziniet ar un pievienojiet otrajam. Tad mums būs vienādojumu sistēma:

Tādējādi no pēdējā vienādojuma to ir viegli atrast x 3, tad no 2. vienādojuma x2 un visbeidzot no 1. - x 1.

Izmantojot Gausa metodi, vienādojumus var apmainīt, ja nepieciešams.

Bieži tā vietā, lai rakstītu jauna sistēma vienādojumi aprobežojas ar sistēmas paplašinātās matricas izrakstīšanu:

un pēc tam izveidojiet to trīsstūrveida vai diagonālā formā, izmantojot elementāras pārvērtības.

UZ elementāras pārvērtības matricas ietver šādas transformācijas:

rindu vai kolonnu permutācija;
virknes reizināšana ar skaitli, kas nav nulle;
pievienojot vienai rindai citas rindas.

Piemēri: Atrisiniet vienādojumu sistēmas, izmantojot Gausa metodi.

Tādējādi sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Vienādojumu sistēmas tiek plaši izmantotas ekonomikas nozarē dažādu procesu matemātiskajā modelēšanā. Piemēram, risinot ražošanas vadības un plānošanas, loģistikas maršrutu (transporta problēma) vai iekārtu izvietošanas problēmas.

Vienādojumu sistēmas tiek izmantotas ne tikai matemātikas jomā, bet arī fizikā, ķīmijā un bioloģijā, risinot populācijas lieluma noteikšanas uzdevumus.

Lineāro vienādojumu sistēma ir termins diviem vai vairākiem vienādojumiem ar vairākiem mainīgajiem, kuriem jāatrod kopīgs risinājums. Tāda skaitļu virkne, kurai visi vienādojumi kļūst par patiesiem vienādībām vai pierāda, ka virkne neeksistē.

Lineārais vienādojums

Formas ax+by=c vienādojumus sauc par lineāriem. Apzīmējumi x, y ir nezināmie, kuru vērtība jāatrod, b, a ir mainīgo koeficienti, c ir vienādojuma brīvais loceklis.
Vienādojuma atrisināšana, uzzīmējot tā grafiku, izskatīsies kā taisne, kuras visi punkti ir polinoma atrisinājums.

Lineāro vienādojumu sistēmu veidi

Vienkāršākie ir lineāro vienādojumu sistēmu piemēri ar diviem mainīgajiem X un Y.

F1(x, y) = 0 un F2(x, y) = 0, kur F1,2 ir funkcijas un (x, y) ir funkciju mainīgie.

Atrisiniet vienādojumu sistēmu - tas nozīmē atrast tādas vērtības (x, y), pie kurām sistēma pārvēršas par patiesu vienādību vai noteikt, ka piemērotas vērtības x un y neeksistē.

Vērtību pāris (x, y), kas uzrakstīts kā punktu koordinātas, tiek saukts par lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu.

Ja sistēmām ir viens kopīgs risinājums vai risinājuma nav, tās sauc par līdzvērtīgām.

Homogēnas lineāro vienādojumu sistēmas ir sistēmas, kuru labā puse ir vienāda ar nulli. Ja labajai daļai aiz "vienādības" zīmes ir vērtība vai tā ir izteikta ar funkciju, šāda sistēma nav viendabīga.

Mainīgo lielumu skaits var būt daudz lielāks par diviem, tad mums vajadzētu runāt par lineāru vienādojumu sistēmas piemēru ar trim vai vairāk mainīgajiem.

Saskaroties ar sistēmām, skolēni pieņem, ka vienādojumu skaitam noteikti jāsakrīt ar nezināmo skaitu, taču tas tā nav. Vienādojumu skaits sistēmā nav atkarīgs no mainīgajiem, to skaits var būt patvaļīgi liels.

Vienkāršas un sarežģītas vienādojumu sistēmu risināšanas metodes

Nav vispārēja analītiska veida šādu sistēmu risināšanai, visas metodes ir balstītas uz skaitliskiem risinājumiem. Skolas matemātikas kursā detalizēti aprakstītas tādas metodes kā permutācija, algebriskā saskaitīšana, aizstāšana, kā arī grafiskā un matricas metode, risinājums ar Gausa metodi.

Risināšanas metožu mācīšanas galvenais uzdevums ir iemācīt pareizi analizēt sistēmu un atrast optimālais algoritms risinājumi katram piemēram. Galvenais ir nevis iegaumēt katras metodes noteikumu un darbību sistēmu, bet gan saprast konkrētas metodes pielietošanas principus.

Programmas 7. klases lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana vidusskola diezgan vienkārši un ļoti detalizēti izskaidrots. Jebkurā matemātikas mācību grāmatā šai sadaļai tiek pievērsta pietiekama uzmanība. Lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana ar Gausa un Krāmera metodi plašāk tiek pētīta augstāko mācību iestāžu pirmajos kursos.

Sistēmu risinājums ar aizstāšanas metodi

Aizvietošanas metodes darbības ir vērstas uz viena mainīgā lieluma vērtības izteikšanu ar otro. Izteiksme tiek aizstāta ar atlikušo vienādojumu, pēc tam tā tiek reducēta uz vienu mainīgo formu. Darbība tiek atkārtota atkarībā no nezināmo datu skaita sistēmā

Dosim piemēru 7. klases lineāro vienādojumu sistēmai ar aizstāšanas metodi:

Kā redzams no piemēra, mainīgais x tika izteikts ar F(X) = 7 + Y. Rezultātā iegūtā izteiksme, kas aizvietota sistēmas 2. vienādojumā X vietā, palīdzēja iegūt vienu mainīgo Y 2. vienādojumā. . Šī piemēra risinājums nesagādā grūtības un ļauj iegūt Y vērtību Pēdējais solis ir iegūto vērtību pārbaude.

Lineāro vienādojumu sistēmas piemēru ne vienmēr ir iespējams atrisināt ar aizstāšanu. Vienādojumi var būt sarežģīti, un mainīgā izteiksme otrā nezināmā izteiksmē būs pārāk apgrūtinoša turpmākiem aprēķiniem. Ja sistēmā ir vairāk nekā 3 nezināmie, arī aizstāšanas risinājums ir nepraktisks.

Lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmas piemēra risinājums:

Risinājums, izmantojot algebrisko saskaitīšanu

Meklējot sistēmu risinājumu ar saskaitīšanas metodi, vienādojumu saskaitīšanu un reizināšanu ar dažādi skaitļi. Matemātisko darbību galvenais mērķis ir vienādojums ar vienu mainīgo.

Šīs metodes pielietošanai nepieciešama prakse un novērojumi. Nav viegli atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot saskaitīšanas metodi ar mainīgo skaitu 3 vai vairāk. Algebriskā saskaitīšana ir noderīga, ja vienādojumos ir daļas un decimālskaitļi.

Risinājuma darbības algoritms:

Reiziniet abas vienādojuma puses ar kādu skaitli. Rezultātā aritmētiskā darbība vienam no mainīgā koeficientiem jākļūst vienādam ar 1.
Pievienojiet iegūto izteiksmi pēc vārda un atrodiet kādu no nezināmajiem.
Aizstājiet iegūto vērtību sistēmas 2. vienādojumā, lai atrastu atlikušo mainīgo.

Risinājuma metode, ieviešot jaunu mainīgo

Jaunu mainīgo var ieviest, ja sistēmai jāatrod risinājums ne vairāk kā diviem vienādojumiem, arī nezināmo skaitam jābūt ne vairāk kā diviem.

Metode tiek izmantota, lai vienkāršotu vienu no vienādojumiem, ieviešot jaunu mainīgo. Jaunais vienādojums tiek atrisināts attiecībā uz ievadīto nezināmo, un iegūtā vērtība tiek izmantota sākotnējā mainīgā noteikšanai.

Piemērā redzams, ka, ieviešot jaunu mainīgo t, bija iespējams reducēt sistēmas 1. vienādojumu līdz standartam kvadrātveida trinomāls. Polinomu var atrisināt, atrodot diskriminantu.

Ir nepieciešams atrast diskriminanta vērtību pēc labi zināma formula: D = b2 - 4*a*c, kur D ir vēlamais diskriminants, b, a, c ir polinoma reizinātāji. Dotajā piemērā a=1, b=16, c=39, tātad D=100. Ja diskriminants ir lielāks par nulli, tad ir divi atrisinājumi: t = -b±√D / 2*a, ja diskriminants ir mazāks par nulli, tad ir tikai viens risinājums: x= -b / 2*a.

Iegūto sistēmu risinājums tiek atrasts ar pievienošanas metodi.

Vizuāla metode sistēmu risināšanai

Piemērots sistēmām ar 3 vienādojumiem. Metode sastāv no katra sistēmā iekļautā vienādojuma grafiku uzzīmēšanas uz koordinātu ass. Līkņu krustošanās punktu koordinātas būs sistēmas vispārējais risinājums.

Grafiskajai metodei ir vairākas nianses. Apsveriet vairākus piemērus lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai vizuālā veidā.

Kā redzams no piemēra, katrai līnijai tika izveidoti divi punkti, mainīgā x vērtības tika izvēlētas patvaļīgi: 0 un 3. Pamatojoties uz x vērtībām, tika atrastas y vērtības: 3 un 0. Punkti ar koordinātām (0, 3) un (3, 0) tika atzīmēti grafikā un savienoti ar līniju.

Darbības ir jāatkārto otrajam vienādojumam. Līniju krustpunkts ir sistēmas risinājums.

Sekojošajā piemērā jāatrod grafisks risinājums lineāro vienādojumu sistēmai: 0.5x-y+2=0 un 0.5x-y-1=0.

Kā redzams no piemēra, sistēmai nav risinājuma, jo grafiki ir paralēli un nekrustojas visā to garumā.

Sistēmas no 2. un 3. piemēra ir līdzīgas, taču konstruējot kļūst acīmredzams, ka to risinājumi atšķiras. Jāatceras, ka ne vienmēr var pateikt, vai sistēmai ir risinājums vai nav, vienmēr ir nepieciešams izveidot grafu.

Matrica un tās šķirnes

Matricas izmanto, lai īsi pierakstītu lineāro vienādojumu sistēmu. Matrica ir īpašs tabulas veids, kas piepildīts ar cipariem. n*m ir n — rindas un m — kolonnas.

Matrica ir kvadrātveida, ja kolonnu un rindu skaits ir vienāds. Matricas vektors ir vienas kolonnas matrica ar bezgalīgi iespējamu rindu skaitu. Matricu ar mērvienībām gar vienu no diagonālēm un citiem nulles elementiem sauc par identitāti.

Apgrieztā matrica ir tāda matrica, kuru reizinot ar kuru sākotnējā pārvēršas par vienību, šāda matrica pastāv tikai sākotnējai kvadrātveida matricai.

Noteikumi vienādojumu sistēmas pārveidošanai matricā

Attiecībā uz vienādojumu sistēmām vienādojumu koeficientus un brīvos locekļus raksta kā matricas skaitļus, viens vienādojums ir viena matricas rinda.

Matricas rindu sauc par nulli, ja vismaz viens rindas elements nav vienāds ar nulli. Tāpēc, ja kādā no vienādojumiem mainīgo skaits atšķiras, tad trūkstošā nezināmā vietā jāievada nulle.

Matricas kolonnām stingri jāatbilst mainīgajiem. Tas nozīmē, ka mainīgā x koeficientus var ierakstīt tikai vienā kolonnā, piemēram, pirmajā, nezināmā y koeficientu - tikai otrajā.

Reizinot matricu, visi matricas elementi tiek secīgi reizināti ar skaitli.

Apgrieztās matricas atrašanas iespējas

Formula apgrieztās matricas atrašanai ir diezgan vienkārša: K -1 = 1 / |K|, kur K -1 ir apgrieztā matrica un |K| - matricas determinants. |K| nedrīkst būt vienāds ar nulli, tad sistēmai ir risinājums.

Determinants ir viegli izskaitļojams matricai divi reiz divi, ir nepieciešams tikai elementi pa diagonāli reizināt viens ar otru. Opcijai "trīs reiz trīs" ir formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Varat izmantot formulu vai arī atcerēties, ka no katras rindas un katras kolonnas ir jāņem viens elements, lai produktā neatkārtotos elementu kolonnu un rindu numuri.

Lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana ar matricas metodi

Risinājuma atrašanas matricas metode ļauj samazināt apgrūtinošos apzīmējumus, risinot sistēmas ar liela summa mainīgie un vienādojumi.

Piemērā a nm ir vienādojumu koeficienti, matrica ir vektors, x n ir mainīgie, un b n ir brīvie termini.

Sistēmu risinājums ar Gausa metodi

Augstākajā matemātikā Gausa metodi pēta kopā ar Krāmera metodi, un sistēmu risinājuma atrašanas procesu sauc par Gausa-Kramera risinājuma metodi. Šīs metodes izmanto, lai atrastu mainīgos lielumus sistēmām ar lielu skaitu lineāro vienādojumu.

Gausa metode ir ļoti līdzīga aizstāšanas un algebriskās saskaitīšanas risinājumiem, taču ir sistemātiskāka. Skolas kursā Gausa risinājumu izmanto 3 un 4 vienādojumu sistēmām. Metodes mērķis ir izveidot sistēmu apgrieztas trapeces formā. Ar algebriskām transformācijām un aizvietojumiem viena mainīgā lieluma vērtību atrod vienā no sistēmas vienādojumiem. Otrais vienādojums ir izteiksme ar 2 nezināmajiem, un 3 un 4 - ar attiecīgi 3 un 4 mainīgajiem.

Pēc sistēmas nogādāšanas aprakstītajā formā tālākais risinājums tiek reducēts līdz zināmo mainīgo secīgai aizstāšanai sistēmas vienādojumos.

Skolas mācību grāmatās 7. klasei Gausa risinājuma piemērs ir aprakstīts šādi:

Kā redzams no piemēra, solī (3) tika iegūti divi vienādojumi 3x 3 -2x 4 =11 un 3x 3 +2x 4 =7. Jebkura vienādojuma atrisinājums ļaus noskaidrot vienu no mainīgajiem x n.

5. teorēma, kas ir minēta tekstā, nosaka, ka, ja viens no sistēmas vienādojumiem tiek aizstāts ar ekvivalentu, tad iegūtā sistēma arī būs līdzvērtīga sākotnējai.

Gausa metodi skolēniem ir grūti saprast vidusskola, bet ir viens no visvairāk interesanti veidi attīstīt padziļinātajā studiju programmā uzņemto bērnu atjautību matemātikas un fizikas klasēs.

Lai atvieglotu ierakstīšanas aprēķinus, ir ierasts rīkoties šādi:

Vienādojumu koeficientus un brīvos terminus raksta matricas veidā, kur katra matricas rinda atbilst kādam no sistēmas vienādojumiem. atdala vienādojuma kreiso pusi no labās puses. Romiešu cipari apzīmē vienādojumu skaitļus sistēmā.

Pirmkārt, viņi pieraksta matricu, ar kuru strādāt, pēc tam visas darbības, kas veiktas ar vienu no rindām. Iegūtā matrica tiek rakstīta aiz "bultiņas" zīmes un turpina veikt nepieciešamās algebriskās darbības, līdz tiek sasniegts rezultāts.

Rezultātā jāiegūst matrica, kurā viena no diagonālēm ir 1, un visi pārējie koeficienti ir vienādi ar nulli, tas ir, matrica tiek reducēta līdz vienai formai. Mēs nedrīkstam aizmirst veikt aprēķinus ar vienādojuma abu pušu skaitļiem.

Šis apzīmējums ir mazāk apgrūtinošs un ļauj novērst uzmanību, uzskaitot daudzus nezināmus.

Jebkuras risinājuma metodes bezmaksas pielietošana prasīs rūpību un zināmu pieredzi. Ne visas metodes tiek izmantotas. Daži risinājumu atrašanas veidi ir vairāk piemēroti noteiktā cilvēka darbības jomā, savukārt citi pastāv mācību nolūkos.