C 14 aritmētiskā kvadrātsakne. Kā manuāli atrast skaitļa kvadrātsakni

Matemātika radās, kad cilvēks apzinājās sevi un sāka pozicionēt sevi kā autonomu pasaules vienību. Vēlme izmērīt, salīdzināt, aprēķināt to, kas jūs ieskauj, ir viena no mūsdienu fundamentālajām zinātnēm. Sākumā tās bija elementārās matemātikas daļiņas, kas ļāva skaitļus savienot ar to fiziskajām izteiksmēm, vēlāk secinājumus sāka pasniegt tikai teorētiski (to abstraktuma dēļ), bet pēc kāda laika, kā izteicās viens zinātnieks, " matemātika sasniedza sarežģītības griestus, kad visi skaitļi. Jēdziens " Kvadrātsakne"parādījās laikā, kad to varēja viegli dublēt ar empīriskiem datiem, pārsniedzot aprēķinu plānu.

Kā tas viss sākās

Pirmā saknes pieminēšana, kas uz Šis brīdis apzīmēts kā √, tika ierakstīts Babilonijas matemātiķu rakstos, kuri lika pamatus mūsdienu aritmētikai. Protams, tie izskatījās nedaudz līdzīgi pašreizējai formai - to gadu zinātnieki vispirms izmantoja lielgabarīta tabletes. Bet otrajā tūkstošgadē pirms mūsu ēras. e. viņi izdomāja aptuvenu aprēķina formulu, kas parādīja, kā ņemt kvadrātsakni. Zemāk esošajā fotoattēlā ir redzams akmens, uz kura Babilonijas zinātnieki izgrieza izvades procesu √2, un tas izrādījās tik pareizs, ka neatbilstība atbildē tika konstatēta tikai desmitajā zīmē aiz komata.

Turklāt sakne tika izmantota, ja bija nepieciešams atrast trijstūra malu, ja ir zināmas pārējās divas. Nu, risinot kvadrātvienādojumus, nav iespējams izvairīties no saknes iegūšanas.

Paralēli babiloniešu darbiem raksta objekts tika pētīts arī ķīniešu darbā "Matemātika deviņās grāmatās", un senie grieķi nonāca pie secinājuma, ka jebkurš skaitlis, no kura sakne netiek izvilkta bez atlikuma, dod iracionālu rezultātu. .

Šī termina izcelsme ir saistīta ar skaitļa attēlojumu arābu valodā: senie zinātnieki uzskatīja, ka patvaļīga skaitļa kvadrāts izaug no saknes kā augs. Latīņu valodā šis vārds izklausās kā radix (var izsekot modeli - viss, kam ir "saknes" semantiskā slodze, ir līdzskaņi, vai tas būtu redīsi vai išiass).

Nākamo paaudžu zinātnieki izvēlējās šo ideju, apzīmējot to kā Rx. Piemēram, 15. gadsimtā, lai norādītu, ka kvadrātsakne ir ņemta no patvaļīga skaitļa a, viņi rakstīja R 2 a. Pierasts moderns izskats"ķeksītis" √ parādījās tikai 17. gadsimtā, pateicoties Renē Dekartam.

Mūsu dienas

Matemātiski y kvadrātsakne ir skaitlis z, kura kvadrāts ir y. Citiem vārdiem sakot, z 2 =y ir ekvivalents √y=z. Tomēr šī definīcija attiecas tikai uz aritmētisko sakni, jo tā nozīmē izteiksmes nenegatīvu vērtību. Citiem vārdiem sakot, √y=z, kur z ir lielāks vai vienāds ar 0.

Kopumā, kas ir derīga algebriskās saknes noteikšanai, izteiksmes vērtība var būt pozitīva vai negatīva. Tādējādi, pateicoties tam, ka z 2 =y un (-z) 2 =y, mums ir: √y=±z vai √y=|z|.

Tā kā, attīstoties zinātnei, mīlestība pret matemātiku ir tikai pieaugusi, tad ir dažādas, sausos aprēķinos neizpaužas pieķeršanās izpausmes pret to. Piemēram, līdzās tādiem interesantiem notikumiem kā Pī diena tiek svinēti arī kvadrātsaknes svētki. Tos svin deviņas reizes simts gados, un tos nosaka pēc šāda principa: cipariem, kas secībā apzīmē dienu un mēnesi, jābūt gada kvadrātsaknei. Jā, iekšā nākamreizŠie svētki tiks svinēti 2016. gada 4. aprīlī.

Kvadrātsaknes īpašības uz lauka R

Gandrīz visām matemātiskajām izteiksmēm ir ģeometrisks pamats, šis liktenis nav pagājis un √y, kas tiek definēta kā kvadrāta mala ar laukumu y.

Kā atrast skaitļa sakni?

Ir vairāki aprēķinu algoritmi. Vienkāršākais, bet tajā pašā laikā diezgan apgrūtinošs ir parastais aritmētiskais aprēķins, kas ir šāds:

1) no skaitļa, kura sakne mums ir vajadzīga, pēc kārtas tiek atņemti nepāra skaitļi - līdz atlikums izejā ir mazāks par atņemto vai pāra nulle. Kustību skaits galu galā kļūs par vēlamo skaitli. Piemēram, aprēķinot kvadrātsakni no 25:

Sekojošs nepāra skaitlis ir 11, mums ir šāds atlikums: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Šādos gadījumos ir Taylor sērijas paplašinājums:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n ņem vērtības no 0 līdz

+∞ un |y|≤1.

Funkcijas z=√y grafiskais attēlojums

Aplūkosim elementāru funkciju z=√y reālo skaitļu laukā R, kur y ir lielāks par nulli vai vienāds ar to. Viņas diagramma izskatās šādi:

Līkne aug no sākuma un obligāti šķērso punktu (1; 1).

Funkcijas z=√y īpašības reālo skaitļu laukā R

1. Aplūkojamās funkcijas definīcijas apgabals ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (nulle ir iekļauta).

2. Aplūkojamās funkcijas vērtību diapazons ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (atkal ir iekļauta nulle).

3. Funkcija iegūst minimālo vērtību (0) tikai punktā (0; 0). Maksimālās vērtības nav.

4. Funkcija z=√y nav ne pāra, ne nepāra.

5. Funkcija z=√y nav periodiska.

6. Funkcijas z=√y grafikam ir tikai viens krustpunkts ar koordinātu asīm: (0; 0).

7. Funkcijas z=√y grafika krustpunkts ir arī šīs funkcijas nulle.

8. Funkcija z=√y nepārtraukti pieaug.

9. Funkcijai z=√y ir tikai pozitīvas vērtības, tāpēc tās grafiks aizņem pirmo koordinātu leņķi.

Funkcijas z=√y parādīšanas iespējas

Matemātikā, lai atvieglotu sarežģītu izteiksmju aprēķināšanu, dažreiz tiek izmantota kvadrātsaknes rakstīšanas jaudas forma: √y=y 1/2. Šī opcija ir ērta, piemēram, paaugstinot funkciju līdz pakāpei: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Šī metode ir arī labs attēlojums diferencēšanai ar integrāciju, jo, pateicoties tai, kvadrātsakne tiek attēlota ar parastu jaudas funkciju.

Un programmēšanā simbola √ aizstāšana ir burtu kombinācija sqrt.

Ir vērts atzīmēt, ka šajā jomā kvadrātsakne ir ļoti pieprasīta, jo tā ir daļa no vairuma aprēķiniem nepieciešamo ģeometrisko formulu. Pats skaitīšanas algoritms ir diezgan sarežģīts un ir balstīts uz rekursiju (funkciju, kas izsauc sevi).

Kvadrātsakne kompleksajā laukā C

Kopumā šī raksta tēma stimulēja komplekso skaitļu lauka C atklāšanu, jo matemātiķus vajāja jautājums par pāra pakāpes saknes iegūšanu no negatīva skaitļa. Tā radās iedomātā vienība i, kurai raksturīga ļoti interesanta īpašība: tās kvadrāts ir -1. Pateicoties tam, kvadrātvienādojumi un ar negatīvu diskriminantu ieguva risinājumu. C valodā kvadrātsaknei ir svarīgas tās pašas īpašības kā R, vienīgais ir tas, ka saknes izteiksmes ierobežojumi tiek noņemti.

Šajā rakstā mēs iepazīstināsim skaitļa saknes jēdziens. Mēs rīkosimies secīgi: sāksim ar kvadrātsakni, no tās pāriesim uz aprakstu kuba sakne, pēc tam saknes jēdzienu vispārinām, definējot n-tās pakāpes sakni. Tajā pašā laikā mēs iepazīstināsim ar definīcijām, apzīmējumiem, sniegsim sakņu piemērus un sniegsim nepieciešamos paskaidrojumus un komentārus.

Kvadrātsakne, aritmētiskā kvadrātsakne

Lai saprastu skaitļa saknes definīciju un jo īpaši kvadrātsakni, ir jābūt . Šajā brīdī mēs bieži saskarsimies ar skaitļa otro pakāpi – skaitļa kvadrātu.

Sāksim ar kvadrātsaknes definīcijas.

Definīcija

Kvadrātsakne no a ir skaitlis, kura kvadrāts ir .

Lai atvestu piemēri kvadrātsaknes , ņemiet vairākus skaitļus, piemēram, 5 , -0,3 , 0,3 , 0 un salieciet tos kvadrātā, iegūstam attiecīgi skaitļus 25 , 0,09 , 0,09 un 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (-0,3) 2 = (-0,3) (-0,3) = 0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 un 0 2 =0 0 = 0). Tad saskaņā ar iepriekš minēto definīciju 5 ir kvadrātsakne no 25, −0,3 un 0,3 ir kvadrātsakne no 0,09, un 0 ir kvadrātsakne no nulles.

Jāņem vērā, ka neeksistē nevienam skaitlim a , kura kvadrāts ir vienāds ar a . Proti, jebkuram negatīvam skaitlim a nav neviena reālais skaitlis b , kura kvadrāts būtu vienāds ar a . Patiešām, vienādība a=b 2 nav iespējama nevienam negatīvam a , jo b 2 ir nenegatīvs skaitlis jebkuram b . Tādējādi reālo skaitļu kopā nav negatīva skaitļa kvadrātsaknes. Citiem vārdiem sakot, reālo skaitļu kopā negatīva skaitļa kvadrātsakne nav definēta un tai nav nozīmes.

Tas noved pie loģiska jautājuma: “Vai jebkuram nenegatīvam a ir kvadrātsakne no a”? Atbilde ir jā. Šī fakta pamatojumu var uzskatīt par konstruktīvu metodi, ko izmanto kvadrātsaknes vērtības noteikšanai.

Tad rodas šāds loģisks jautājums: "Kāds ir dotā nenegatīvā skaitļa a visu kvadrātsakņu skaits - viens, divi, trīs vai pat vairāk"? Šeit ir atbilde uz to: ja a ir nulle, tad vienīgā kvadrātsakne no nulles ir nulle; ja a ir kāds pozitīvs skaitlis, tad kvadrātsakņu skaits no skaitļa a ir vienāds ar divi, un saknes ir . Pamatosim to.

Sāksim ar gadījumu a=0 . Vispirms parādīsim, ka nulle patiešām ir nulles kvadrātsakne. Tas izriet no acīmredzamās vienādības 0 2 =0·0=0 un kvadrātsaknes definīcijas.

Tagad pierādīsim, ka 0 ir vienīgā kvadrātsakne no nulles. Izmantosim pretējo metodi. Pieņemsim, ka ir kāds skaitlis b, kas atšķiras no nulles un ir nulles kvadrātsakne. Tad ir jāizpilda nosacījums b 2 =0, kas nav iespējams, jo jebkurai b 2 izteiksmei, kas nav vienāda ar nulli, vērtība ir pozitīva. Mēs esam nonākuši pie pretrunas. Tas pierāda, ka 0 ir vienīgā kvadrātsakne no nulles.

Pāriesim pie gadījumiem, kad a ir pozitīvs skaitlis. Iepriekš mēs teicām, ka vienmēr ir kvadrātsakne no jebkura nenegatīva skaitļa, pieņemsim, ka b ir a kvadrātsakne. Pieņemsim, ka ir skaitlis c , kas ir arī kvadrātsakne no a . Tad pēc kvadrātsaknes definīcijas ir spēkā vienādības b 2 =a un c 2 =a, no kā izriet, ka b 2 −c 2 =a−a=0, bet tā kā b 2 −c 2 =( b–c) ( b+c) , tad (b–c) (b+c)=0 . Rezultātā spēkā esošā vienlīdzība darbību īpašības ar reāliem skaitļiem iespējams tikai tad, ja b–c=0 vai b+c=0 . Tādējādi skaitļi b un c ir vienādi vai pretēji.

Ja pieņemam, ka ir skaitlis d, kas ir vēl viena kvadrātsakne no skaitļa a, tad, spriežot līdzīgi jau dotajiem, tiek pierādīts, ka d ir vienāds ar skaitli b vai skaitli c. Tātad pozitīva skaitļa kvadrātsakņu skaits ir divi, un kvadrātsaknes ir pretēji skaitļi.

Lai ērtāk strādātu ar kvadrātsaknēm, negatīvā sakne tiek "atdalīta" no pozitīvās. Šim nolūkam tas ievieš aritmētiskās kvadrātsaknes definīcija.

Definīcija

Nenegatīva skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne a ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar .

Skaitļa a aritmētiskajai kvadrātsaknei tiek pieņemts apzīmējums. Zīmi sauc par aritmētisko kvadrātsaknes zīmi. To sauc arī par radikāļu zīmi. Tāpēc daļēji var dzirdēt gan "sakne", gan "radikāls", kas nozīmē vienu un to pašu objektu.

Tiek izsaukts skaitlis zem aritmētiskās kvadrātsaknes zīmes saknes numurs, un izteiksme zem saknes zīmes - radikāla izpausme, savukārt termins "radikālais skaitlis" bieži tiek aizstāts ar "radikāla izteiksme". Piemēram, apzīmējumā skaitlis 151 ir radikāls skaitlis, bet apzīmējumā izteiksme a ir radikāls izteiksme.

Lasot, vārds "aritmētika" bieži tiek izlaists, piemēram, ieraksts tiek lasīts kā "kvadrātsakne no septiņām komata divdesmit deviņām simtdaļām". Vārds "aritmētika" tiek izrunāts tikai tad, kad viņi vēlas uzsvērt, ka mēs runājam par skaitļa pozitīvo kvadrātsakni.

Ņemot vērā ieviesto apzīmējumu, no aritmētiskās kvadrātsaknes definīcijas izriet, ka jebkuram nenegatīvam skaitlim a .

Pozitīva skaitļa kvadrātsaknes raksta, izmantojot aritmētisko kvadrātsaknes zīmi kā un . Piemēram, 13 kvadrātsaknes ir un . Nulles aritmētiskā kvadrātsakne ir nulle, tas ir, . Negatīviem skaitļiem a mēs nepiešķirsim nozīmi ierakstiem, kamēr mēs neizpētīsim kompleksie skaitļi. Piemēram, izteicieni un ir bezjēdzīgi.

Pamatojoties uz kvadrātsaknes definīciju, tiek pierādītas kvadrātsakņu īpašības, kuras bieži izmanto praksē.

Šīs apakšnodaļas noslēgumā atzīmējam, ka skaitļa a kvadrātsaknes ir formas x 2 =a atrisinājumi attiecībā pret mainīgo x.

kuba sakne no

Kuba saknes definīcija skaitļa a ir dota līdzīgi kvadrātsaknes definīcijai. Tikai tā pamatā ir skaitļa, nevis kvadrāta kuba jēdziens.

Definīcija

Kuba sakne no a tiek izsaukts skaitlis, kura kubs ir vienāds ar a.

Atvedīsim kubu sakņu piemēri. Lai to izdarītu, ņemiet vairākus skaitļus, piemēram, 7 , 0 , −2/3 , un sagrieziet tos kubā: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Pēc tam, pamatojoties uz kuba saknes definīciju, mēs varam teikt, ka skaitlis 7 ir 343 kuba sakne, 0 ir nulles kuba sakne un −2/3 ir −8/27 kuba sakne.

Var parādīt, ka skaitļa a kubsakne atšķirībā no kvadrātsaknes pastāv vienmēr, un ne tikai nenegatīvam a, bet arī jebkuram reālam skaitlim a. Lai to izdarītu, varat izmantot to pašu metodi, ko mēs minējām, pētot kvadrātsakni.

Turklāt no dotā skaitļa a ir tikai viena kubsakne. Pierādīsim pēdējo apgalvojumu. Lai to izdarītu, aplūkojiet trīs gadījumus atsevišķi: a ir pozitīvs skaitlis, a=0 un a ir negatīvs skaitlis.

Ir viegli parādīt, ka pozitīvam a kuba sakne nevar būt ne negatīva, ne nulle. Patiešām, pieņemsim, ka b ir a kuba sakne, tad pēc definīcijas mēs varam uzrakstīt vienādību b 3 =a . Ir skaidrs, ka šī vienādība nevar būt patiesa negatīvam b un b=0, jo šajos gadījumos b 3 =b·b·b būs attiecīgi negatīvs skaitlis vai nulle. Tātad pozitīva skaitļa a kuba sakne ir pozitīvs skaitlis.

Tagad pieņemsim, ka bez skaitļa b ir vēl viena kuba sakne no skaitļa a, apzīmēsim to ar c. Tad c 3 =a. Tāpēc b 3 −c 3 =a−a=0 , bet b 3 - c 3 = (b - c) (b 2 + b c + c 2)(šī ir saīsinātā reizināšanas formula kubu atšķirība), no kurienes (b–c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Iegūtā vienādība ir iespējama tikai tad, ja b–c=0 vai b 2 +b c+c 2 =0 . No pirmās vienādības mums ir b=c , bet otrajai vienādībai nav atrisinājumu, jo tās kreisā puse ir pozitīvs skaitlis jebkuriem pozitīviem skaitļiem b un c kā trīs pozitīvo vārdu b 2 , b c un c 2 summa. Tas pierāda pozitīva skaitļa a kuba saknes unikalitāti.

Ja a=0, vienīgā a kuba sakne ir nulle. Patiešām, ja pieņemam, ka ir skaitlis b , kas ir nulles kuba sakne no nulles, tad ir jāpastāv vienādībai b 3 =0, kas ir iespējama tikai tad, ja b=0 .

Par negatīvo a var strīdēties līdzīgi kā par pozitīvo a. Pirmkārt, mēs parādām, ka negatīva skaitļa kuba sakne nevar būt vienāda ar pozitīvu skaitli vai nulli. Otrkārt, mēs pieņemam, ka ir otra negatīva skaitļa kuba sakne, un parādām, ka tā noteikti sakritīs ar pirmo.

Tātad jebkuram reālajam skaitļam a vienmēr ir kubsakne un tikai viens.

Dosim aritmētiskā kuba saknes definīcija.

Definīcija

Nenegatīva skaitļa aritmētiskā kuba sakne a tiek izsaukts nenegatīvs skaitlis, kura kubs ir vienāds ar a.

Nenegatīva skaitļa a aritmētiskā kuba sakne tiek apzīmēta kā , zīmi sauc par aritmētiskā kuba saknes zīmi, skaitli 3 šajā apzīmējumā sauc saknes indikators. Skaitlis zem saknes zīmes ir saknes numurs, izteiksme zem saknes zīmes ir radikāla izpausme.

Lai gan aritmētiskā kuba sakne ir definēta tikai nenegatīviem skaitļiem a, ir ērti izmantot arī ierakstus, kuros negatīvi skaitļi atrodas zem aritmētiskā kuba saknes zīmes. Mēs tos sapratīsim šādi: , kur a ir pozitīvs skaitlis. Piemēram, .

Par kubu sakņu īpašībām mēs runāsim vispārīgajos sakņu rakstu īpašībās.

Kuba saknes vērtības aprēķināšanu sauc par kuba saknes izvilkšanu, šī darbība ir apskatīta rakstā sakņu iegūšana: metodes, piemēri, risinājumi.

Noslēdzot šo apakšnodaļu, sakām, ka a kuba sakne ir formas x 3 =a risinājums.

N. sakne, n aritmētiskā sakne

Mēs vispārinām saknes jēdzienu no skaitļa - mēs ieviešam n-tās saknes noteikšana par n.

Definīcija

n-tā sakne no a ir skaitlis, kura n-tā pakāpe ir vienāda ar a.

No šīs definīcijas ir skaidrs, ka pirmās pakāpes sakne no skaitļa a ir pats skaitlis a, jo, pētot pakāpi ar naturālo rādītāju, mēs ņēmām 1 = a.

Iepriekš mēs aplūkojām īpašos n-tās pakāpes saknes gadījumus n=2 un n=3 - kvadrātsakni un kubsakni. Tas ir, kvadrātsakne ir otrās pakāpes sakne, bet kubsakne ir trešās pakāpes sakne. Lai izpētītu n-tās pakāpes saknes n=4, 5, 6, ..., ir ērti tās iedalīt divās grupās: pirmā grupa - pāra grādu saknes (tas ir, n=4, 6). , 8, ...), otrā grupa - saknes nepāra pakāpes (tas ir, ja n=5, 7, 9, ... ). Tas ir saistīts ar faktu, ka pāra grādu saknes ir līdzīgas kvadrātsaknei, bet nepāra grādu saknes ir līdzīgas kubiksaknei. Tiksimies ar tiem galā.

Sāksim ar saknēm, kuru pakāpes ir pāra skaitļi 4, 6, 8, ... Kā jau teicām, tie ir līdzīgi skaitļa a kvadrātsaknei. Tas nozīmē, ka jebkura pāra pakāpes sakne no skaitļa a pastāv tikai nenegatīvam a. Turklāt, ja a=0, tad a sakne ir unikāla un vienāda ar nulli, un ja a>0, tad no skaitļa a ir divas pāra pakāpes saknes, un tās ir pretēji skaitļi.

Pamatosim pēdējo apgalvojumu. Lai b ir pāra pakāpes sakne (mēs to apzīmējam kā 2 m, kur m ir daži dabiskais skaitlis) no numura a . Pieņemsim, ka ir skaitlis c — vēl 2 m sakne no a . Tad b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Bet mēs zinām formu b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2), tad (b–c) (b+c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2)=0. No šīs vienādības izriet, ka b−c=0 , vai b+c=0 , vai b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2 =0. Pirmās divas vienādības nozīmē, ka skaitļi b un c ir vienādi vai b un c ir pretēji. Un pēdējā vienādība ir spēkā tikai b=c=0, jo tās kreisajā pusē ir izteiksme, kas nav negatīva jebkuram b un c kā nenegatīvu skaitļu summa.

Kas attiecas uz n-tās pakāpes saknēm nepāra n, tās ir līdzīgas kuba saknei. Tas ir, jebkuras nepāra pakāpes sakne no skaitļa a pastāv jebkuram reālam skaitlim a, un noteiktam skaitlim a tā ir unikāla.

Nepāra pakāpes 2·m+1 saknes unikalitāte no skaitļa a tiek pierādīta pēc analoģijas ar kuba saknes unikalitātes pierādījumu no a . Tikai šeit vienlīdzības vietā a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) formas b 2 m+1 −c 2 m+1 = vienādība (b–c) (b 2 m + b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… + c 2 m). Izteicienu pēdējā iekavās var pārrakstīt kā b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m-2 + c 2 m-2 + b c (b 2 m–4 + c 2 m–4 + b c (…+ (b 2 + c 2 + b c)))). Piemēram, m=2 mums ir b 5 - c 5 = (b - c) (b 4 + b 3 c + b 2 c 2 + b c 3 + c 4)= (b–c) (b 4 + c 4 + b c ( b 2 + c 2 + b c)). Ja a un b abi ir pozitīvi vai abi negatīvi, to reizinājums ir pozitīvs skaitlis, tad izteiksme b 2 +c 2 +b·c , kas atrodas iekavās augstākajai ligzdošanas pakāpei, ir pozitīva kā pozitīvā summa. cipariem. Tagad, secīgi pārejot uz iepriekšējo ligzdošanas pakāpju izteiksmēm iekavās, mēs pārliecināmies, ka tās ir pozitīvas arī kā pozitīvo skaitļu summas. Rezultātā iegūstam, ka vienādība b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b–c) (b 2 m + b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… +c 2 m)=0 iespējams tikai tad, ja b–c=0, tas ir, ja skaitlis b ir vienāds ar skaitli c .

Ir pienācis laiks nodarboties ar n-tās pakāpes sakņu apzīmējumu. Šim nolūkam tas tiek dots n-tās pakāpes aritmētiskās saknes noteikšana.

Definīcija

aritmētiskā sakne nenegatīva skaitļa n-tā pakāpe a tiek izsaukts nenegatīvs skaitlis, kura n-tā pakāpe ir vienāda ar a.

Kas ir kvadrātsakne?

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Šī koncepcija ir ļoti vienkārša. Dabiski, es teiktu. Matemātiķi katrai darbībai cenšas atrast reakciju. Ir saskaitīšana un ir atņemšana. Ir reizināšana un dalīšana. Ir kvadrātošana ... Tātad ir arī kvadrātsaknes iegūšana! Tas ir viss. Šī darbība ( ņemot kvadrātsakni) matemātikā ir apzīmēts ar šo ikonu:

Pati ikona tiek saukta skaists vārds "radikāls".

Kā izvilkt sakni? Labāk ir apsvērt piemēri.

Kāda ir kvadrātsakne no 9? Un kāds skaitlis kvadrātā dos mums 9? 3 kvadrātā dod mums 9! Tie:

Kas ir kvadrātsakne no nulles? Nekādu problēmu! Kādu skaitli dod nulles kvadrātā? Jā, viņš pats dod nulli! Līdzekļi:

Noķerts kas ir kvadrātsakne? Tad apsveram piemēri:

Atbildes (nekārtīgi): 6; viens; 4; deviņi; 5.

Izlemts? Patiešām, tas ir daudz vieglāk!

Bet... Ko dara cilvēks, redzot kādu uzdevumu ar saknēm?

Cilvēks sāk ilgoties... Viņš netic sakņu vienkāršībai un vieglumam. Lai gan šķiet, ka viņš zina kas ir kvadrātsakne...

Tas ir tāpēc, ka cilvēks, pētot saknes, ir ignorējis vairākus svarīgus punktus. Tad šie iedomi brutāli atriebjas par ieskaitēm un eksāmeniem ...

Punkts viens. Saknes ir jāatpazīst pēc skata!

Kāda ir kvadrātsakne no 49? Septiņi? Pa labi! Kā tu zināji, ka ir septiņi? Laukumā septiņi un ieguva 49? Pareizi! Lūdzu, ņemiet vērā, ka izvelciet sakni no 49 mums bija jāveic apgrieztā darbība - 7. laukums! Un pārliecinieties, ka nepalaižam garām. Vai arī viņi var palaist garām...

Tur slēpjas grūtības sakņu ekstrakcija. Kvadrātēšana jebkurš numurs ir iespējams bez problēmām. Reiziniet skaitli ar sevi kolonnā - un tas arī viss. Bet priekš sakņu ekstrakcija nav tik vienkāršas un bezproblēmas tehnoloģijas. kontu pacelt atbildiet un pārbaudiet, vai tas ir skāris kvadrātā.

Šis sarežģītais radošais process - atbildes izvēle - ir ievērojami vienkāršots, ja jūs atceries populāru skaitļu kvadrāti. Kā reizināšanas tabula. Ja, teiksim, jums jāreizina 4 ar 6 - jūs nepievienojat četrus 6 reizes, vai ne? Atbilde uzreiz parādās 24. Lai gan ne visiem tā ir, jā...

Brīvam un veiksmīgam darbam ar saknēm pietiek zināt skaitļu kvadrātus no 1 līdz 20. Turklāt, tur un atpakaļ. Tie. jums vajadzētu būt iespējai viegli nosaukt, piemēram, 11 kvadrātā un kvadrātsakni no 121. Lai panāktu šo iegaumēšanu, ir divi veidi. Pirmais ir iemācīties kvadrātu tabulu. Tas ļoti palīdzēs ar piemēriem. Otrkārt, izlemiet vairāk piemēru. Ir lieliski atcerēties kvadrātu tabulu.

Un nekādu kalkulatoru! Tikai pārbaudei. Pretējā gadījumā eksāmena laikā jūs nežēlīgi palēnināsit ātrumu ...

Tātad, kas ir kvadrātsakne Un kā ekstrakts saknes– Es domāju, ka tas ir saprotami. Tagad noskaidrosim, no kā jūs varat tos iegūt.

Otrais punkts. Sakne, es tevi nepazīstu!

No kādiem skaitļiem var ņemt kvadrātsaknes? Jā, gandrīz jebkura. Vieglāk saprast, ko tas ir aizliegts izvilkt tos.

Mēģināsim aprēķināt šo sakni:

Lai to izdarītu, jums ir jāizvēlas skaitlis, kas kvadrātā dos mums -4. Mēs izvēlamies.

Kas nav atlasīts? 2 2 dod +4. (-2) 2 atkal dod +4! Tas ir viss... Nav skaitļu, kurus kvadrātā saliekot, mēs iegūtu negatīvu skaitli! Lai gan es zinu skaitļus. Bet es tev neteikšu.) Dodieties uz koledžu un uzziniet pats.

Tas pats stāsts būs ar jebkuru negatīvu skaitli. Līdz ar to secinājums:

Izteiksme, kurā negatīvs skaitlis atrodas zem kvadrātsaknes zīmes - nav jēgas! Tā ir aizliegta darbība. Tikpat aizliegts kā dalīt ar nulli. Paturiet prātā šo faktu! Vai, citiem vārdiem sakot:

Jūs nevarat izvilkt kvadrātsaknes no negatīviem skaitļiem!

Bet par visu pārējo - jūs varat. Piemēram, ir iespējams aprēķināt

No pirmā acu uzmetiena tas ir ļoti grūti. Paņemiet frakcijas, bet uzlieciet kvadrātā ... Neuztraucieties. Kad mēs aplūkosim sakņu īpašības, šādi piemēri tiks reducēti uz to pašu kvadrātu tabulu. Dzīve kļūs vieglāka!

Labi, frakcijas. Bet mēs joprojām sastopamies ar tādiem izteicieniem kā:

Ir labi. Viss tas pats. Kvadrātsakne no diviem ir skaitlis, kuru kvadrātā saliekot, mēs iegūstam divnieku. Tikai skaitlis ir pilnīgi nevienmērīgs ... Šeit tas ir:

Interesanti, ka šī daļa nekad nebeidzas... Tādus skaitļus sauc par iracionāliem. Kvadrātsaknēs tā ir visizplatītākā lieta. Starp citu, tāpēc tiek saukti izteicieni ar saknēm neracionāli. Skaidrs, ka visu laiku rakstīt tik bezgalīgu daļu ir neērti. Tāpēc bezgalīgas daļas vietā viņi to atstāj šādi:

Ja, risinot piemēru, jūs iegūstat kaut ko tādu, kas nav izdalāms, piemēram:

tad atstājam to tā. Šī būs atbilde.

Jums ir skaidri jāsaprot, kas atrodas zem ikonām

Protams, ja tiek ņemta skaitļa sakne gluda, jums tas jādara. Uzdevuma atbilde formā, piemēram

diezgan pilnīga atbilde.

Un, protams, jums ir jāzina aptuvenās vērtības no atmiņas:

Šīs zināšanas ļoti palīdz novērtēt situāciju sarežģītos uzdevumos.

Trešais punkts. Visviltīgākais.

Galveno apjukumu darbā ar saknēm ienes tieši šī iedoma. Tas ir viņš, kurš dod pārliecību pašu spēkiem... Tiksim kārtīgi ar šo iedomu galā!

Sākumā mēs atkal iegūstam kvadrātsakni no to četriem. Ko, vai es tevi jau ar šo sakni dabūju?) Nekas, tagad būs interesanti!

Kāds skaitlis dos kvadrātā 4? Nu divi, divi - dzirdu neapmierinātas atbildes...

Pa labi. Divas. Bet arī mīnus divi dos 4 kvadrātā ... Tikmēr atbilde

pareizi un atbilde

rupjākā kļūda. Kā šis.

Tātad, kāds ir darījums?

Patiešām, (-2) 2 = 4. Un saskaņā ar četru kvadrātsaknes definīciju mīnus divi diezgan piemērots ... Šī ir arī kvadrātsakne no četriem.

Bet! Skolas matemātikas kursā ir ierasts uzskatīt kvadrātsaknes tikai nenegatīvi skaitļi! Ti nulle un viss pozitīvi. Tika izdomāts pat īpašs termins: no numura a-Šo nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir a. Negatīvie rezultāti, iegūstot aritmētisko kvadrātsakni, tiek vienkārši izmesti. Skolā visas kvadrātsaknes - aritmētika. Lai gan tas nav īpaši minēts.

Labi, tas ir saprotams. Vēl labāk nejaukāties ar negatīviem rezultātiem... Tas vēl nav apjukums.

Apjukums sākas, risinot kvadrātvienādojumus. Piemēram, jums ir jāatrisina šāds vienādojums.

Vienādojums ir vienkāršs, mēs rakstām atbildi (kā mācīts):

Šī atbilde (starp citu, diezgan pareiza) ir tikai saīsināts apzīmējums divi atbildes:

Beidz stop! Nedaudz augstāk uzrakstīju, ka kvadrātsakne ir skaitlis vienmēr nav negatīvs! Un šeit ir viena no atbildēm - negatīvs! Traucējumi. Šī ir pirmā (bet ne pēdējā) problēma, kas izraisa neuzticību saknēm... Atrisināsim šo problēmu. Pierakstīsim atbildes (tīri izpratnei!) šādi:

Iekavas nemaina atbildes būtību. Es tikko atdalīju ar iekavām zīmes no sakne. Tagad ir skaidri redzams, ka pati sakne (iekavās) joprojām ir nenegatīvs skaitlis! Un zīmes ir vienādojuma atrisināšanas rezultāts. Galu galā, risinot jebkuru vienādojumu, mums ir jāraksta visi x, kas, aizstājot sākotnējo vienādojumu, dos pareizo rezultātu. Pieci sakne (pozitīva!) ir piemērota mūsu vienādojumam gan ar plusu, gan mīnusu.

Kā šis. Ja jūs vienkārši ņemiet kvadrātsakni no jebko, ko tu vienmēr gūt viens nenegatīvs rezultāts. Piemēram:

Jo tas - aritmētiskā kvadrātsakne.

Bet, ja jūs izlemjat kvadrātvienādojums, ierakstiet:

tad vienmēr izrādās divi atbilde (ar plusu un mīnusu):

Jo tas ir vienādojuma risinājums.

ceru, kas ir kvadrātsakne jūs sapratāt pareizi ar saviem punktiem. Tagad atliek noskaidrot, ko var darīt ar saknēm, kādas ir to īpašības. Un kādas ir modes un zemūdens kastes ... atvainojiet, akmeņi!)

Tas viss - nākamajās nodarbībās.

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Starp daudzajām zināšanām, kas liecina par lasītprasmi, alfabēts ir pirmajā vietā. Nākamais, tas pats "zīmes" elements, ir saskaitīšanas-reizināšanas prasmes un tām blakus, bet apgrieztā nozīmē - atņemšanas-dalīšanas aritmētiskās darbības. Tālā skolas bērnībā apgūtās prasmes uzticami kalpo dienu un nakti: TV, avīze, SMS, Un visur, kur mēs lasām, rakstām, skaitam, saskaitām, atņemam, reizinam. Un, sakiet, vai jums bieži ir nācies iesakņoties dzīvē, izņemot laukos? Piemēram, tāda izklaidējoša problēma, piemēram, kvadrātsakne no skaitļa 12345 ... Vai pulvera kolbās joprojām ir šaujampulveris? Vai mēs to varam? Jā, nav nekā vieglāka! Kur ir mans kalkulators... Un bez tā, roku rokā, vājš?

Vispirms noskaidrosim, kas tas ir – skaitļa kvadrātsakne. Vispārīgi runājot, "no skaitļa izvilkt sakni" nozīmē veikt aritmētisko darbību, kas ir pretēja paaugstināšanai līdz pakāpei - šeit jums ir pretstatu vienotība dzīvē. pieņemsim, ka kvadrāts ir skaitļa reizinājums pats par sevi, t.i., kā mācīja skolā, X * X = A vai citā apzīmējumā X2 = A, un vārdos - “X kvadrātā ir vienāds ar A”. Tad apgrieztā problēma izklausās šādi: skaitļa A kvadrātsakne ir skaitlis X, kas kvadrātā ir vienāds ar A.

Kvadrātsaknes izvilkšana

No skolas aritmētikas kursa ir zināmas aprēķinu metodes "kolonnā", kas palīdz veikt jebkurus aprēķinus, izmantojot pirmos četrus aritmētiskās darbības. Diemžēl kvadrātveida, un ne tikai kvadrātveida, šādu algoritmu saknes nepastāv. Un kā šajā gadījumā izvilkt kvadrātsakni bez kalkulatora? Pamatojoties uz kvadrātsaknes definīciju, ir tikai viens secinājums - ir jāizvēlas rezultāta vērtība, secīgi uzskaitot skaitļus, kuru kvadrāts tuvojas saknes izteiksmes vērtībai. Tikai un viss! Stundai vai divām nebūs laika paiet, jo jūs varat aprēķināt, izmantojot labi zināmo metodi, reizinot "kolonnā", jebkuru kvadrātsakni. Ja jums ir prasmes, pietiek ar pāris minūtēm. Pat ne pārāk progresīvs kalkulators vai datora lietotājs to izdara vienā rāvienā - progress.

Bet, ja nopietni, kvadrātsaknes aprēķins bieži tiek veikts, izmantojot “artilērijas dakšas” tehniku: vispirms tiek ņemts skaitlis, kura kvadrāts aptuveni atbilst saknes izteiksmei. Labāk, ja "mūsu kvadrāts" ir nedaudz mazāks par šo izteiksmi. Tad viņi izlabo skaitli atbilstoši savām prasmēm-izpratnei, piemēram, reizina ar divi un ... vēlreiz kvadrātā. Ja rezultāts vairāk numuru zem saknes, secīgi pielāgojot sākotnējo numuru, pamazām tuvojoties savam "kolēģim" zem saknes. Kā redzams – bez kalkulatora, tikai iespēja saskaitīt "pa stabiņu". Protams, ir daudz zinātniski pamatotu un optimizētu algoritmu kvadrātsaknes aprēķināšanai, bet "lietošanai mājās" iepriekšminētā tehnika dod 100% pārliecību par rezultātu.

Jā, gandrīz aizmirsu, lai apstiprinātu mūsu paaugstināto lasītprasmi, mēs aprēķinām kvadrātsakni no iepriekš norādītā skaitļa 12345. Mēs to darām soli pa solim:

1. Tīri intuitīvi ņemiet X=100. Aprēķināsim: X * X = 10000. Intuīcija ir virsū - rezultāts ir mazāks par 12345.

2. Mēģināsim, arī tīri intuitīvi, X = 120. Tad: X * X = 14400. Un atkal ar intuīciju secība - rezultāts ir lielāks par 12345.

3. Augstāk tiek iegūta “dakša” 100 un 120. Izvēlamies jaunus skaitļus - 110 un 115. Iegūstam attiecīgi 12100 un 13225 - dakša sašaurinās.

4. Mēs izmēģinām "varbūt" X = 111. Iegūstam X * X = 12321. Šis skaitlis jau ir diezgan tuvu 12345. Atbilstoši nepieciešamajai precizitātei “piemērošanu” var turpināt vai pārtraukt pie iegūtā rezultāta. Tas ir viss. Kā solīts - viss ļoti vienkārši un bez kalkulatora.

Diezgan daudz vēstures...

Pat pitagorieši, skolas audzēkņi un Pitagora sekotāji, izdomāja izmantot kvadrātsaknes, 800. g.pmē. un tieši tur "ieskrēja" uz jauniem atklājumiem skaitļu jomā. Un no kurienes tas radās?

1. Uzdevuma atrisinājums ar saknes izvilkšanu, dod rezultātu jaunas klases skaitļu veidā. Tos sauca par iracionāliem, citiem vārdiem sakot, par "nesaprātīgiem", jo. tie nav rakstīti kā pilns skaitlis. Klasiskākais šāda veida piemērs ir kvadrātsakne no 2. Šis gadījums atbilst kvadrāta diagonāles aprēķinam, kura mala ir vienāda ar 1 - šeit tas ir Pitagora skolas ietekme. Izrādījās, ka trīsstūrī ar ļoti specifisku malu vienības izmēru hipotenūzai ir izmērs, kas izteikts ar skaitli, kuram "nav gala". Tātad parādījās matemātikā

2. Zināms, ka izrādījās, ka š matemātiskā darbība satur vēl vienu nozveju - izvelkot sakni, mēs nezinām, kurš skaitļa kvadrāts, pozitīvs vai negatīvs, ir saknes izteiksme. Šī nenoteiktība, vienas darbības dubultais rezultāts, tiek pierakstīts.

Ar šo parādību saistīto problēmu izpēte ir kļuvusi par matemātikas virzienu, ko sauc par kompleksā mainīgā teoriju, kam matemātiskajā fizikā ir liela praktiska nozīme.

Interesanti, ka saknes apzīmējumu - radikāls - savā "Universālajā aritmētikā" izmantoja tas pats visuresošais I. Ņūtons, bet tieši tā. moderns izskats Saknes ieraksts ir zināms kopš 1690. gada no francūža Rolla grāmatas "Algebras ceļvedis".