Trigonometrisko vienādojumu risināšanas piemēri. Trigonometriskie vienādojumi

Risinājuma metodes trigonometriskie vienādojumi

2. ievads

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes 5

Algebriskā 5

Vienādojumu risināšana, izmantojot tāda paša nosaukuma trigonometrisko funkciju vienādības nosacījumu 7

Faktorings 8

Reducēšana uz homogēnu vienādojumu 10

11. palīgleņķa ieviešana

Pārvērst produktu uz summu 14

Universāla aizstāšana 14

17. secinājums

Ievads

Līdz desmitajai klasei daudzu vingrinājumu, kas ved uz mērķi, darbību secība, kā likums, ir nepārprotami noteikta. Piemēram, lineārie un kvadrātvienādojumi un nevienādības, daļskaitļu vienādojumi un vienādojumi, kas reducējami uz kvadrātiem utt. Detalizēti neanalizējot katra minētā piemēra risināšanas principu, mēs atzīmējam vispārīgo, kas nepieciešams to veiksmīgam risinājumam.

Vairumā gadījumu jums ir jānosaka, kāda veida uzdevums ir, jāatceras darbību secība, kas noved pie mērķa sasniegšanas, un jāveic šīs darbības. Ir acīmredzams, ka studenta veiksme vai neveiksme vienādojumu risināšanas metožu apguvē galvenokārt ir atkarīga no tā, cik daudz viņš spēs pareizi noteikt vienādojuma veidu un atcerēties visu tā risināšanas posmu secību. Protams, tas paredz, ka skolēnam ir prasmes veikt identiskas pārvērtības un skaitļošanu.

Pavisam cita situācija rodas, kad skolēns sastopas ar trigonometriskiem vienādojumiem. Tajā pašā laikā nav grūti noteikt faktu, ka vienādojums ir trigonometrisks. Grūtības rodas, atrodot rīcības virzienu, kas novestu pie pozitīvs rezultāts. Un šeit students saskaras ar divām problēmām. Autors izskats vienādojumu veidu ir grūti noteikt. Un, nezinot veidu, ir gandrīz neiespējami izvēlēties vēlamo formulu no vairākiem desmitiem pieejamo.

Lai palīdzētu skolēniem orientēties sarežģītajā trigonometrisko vienādojumu labirintā, viņi vispirms tiek iepazīstināti ar vienādojumiem, kas pēc jauna mainīgā ieviešanas tiek reducēti uz kvadrātveida. Pēc tam atrisiniet viendabīgus vienādojumus un reducējiet uz tiem. Viss, kā likums, beidzas ar vienādojumiem, kuru atrisināšanai nepieciešams faktorizēt kreiso pusi, pēc tam katru no faktoriem pielīdzinot nullei.

Saprotot, ka ar pusotru duci stundās analizēto vienādojumu nepārprotami nepietiek, lai skolēns patstāvīgi brauktu pa trigonometrisko "jūru", skolotājs pievieno vēl dažus ieteikumus no sevis.

Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, mums jāmēģina:

Novietojiet visas vienādojumā iekļautās funkcijas "vienādos leņķos";

Apvienojiet vienādojumu ar "tādām pašām funkcijām";

Faktorizējiet vienādojuma kreiso pusi utt.

Bet, neskatoties uz zināšanām par galvenajiem trigonometrisko vienādojumu veidiem un vairākiem to risinājuma atrašanas principiem, daudzi studenti joprojām atrodas strupceļā katra vienādojuma priekšā, kas nedaudz atšķiras no tiem, kas tika atrisināti iepriekš. Joprojām nav skaidrs, uz ko jātiecas, ja ir tāds vai cits vienādojums, kāpēc vienā gadījumā ir jāpiemēro formulas dubults leņķis, citā - puse, bet trešajā - saskaitīšanas formulas utt.

1. definīcija. Trigonometriskais vienādojums ir vienādojums, kurā nezināmais ir ietverts trigonometrisko funkciju zīmē.

2. definīcija. Tiek uzskatīts, ka trigonometriskajam vienādojumam ir vienādi leņķi, ja visām tajā iekļautajām trigonometriskajām funkcijām ir vienādi argumenti. Tiek uzskatīts, ka trigonometriskajam vienādojumam ir tādas pašas funkcijas, ja tajā ir tikai viena no trigonometriskajām funkcijām.

3. definīcija. Trigonometriskās funkcijas saturoša monoma pakāpe ir tajā iekļauto trigonometrisko funkciju pakāpju summa.

4. definīcija. Vienādojumu sauc par viendabīgu, ja visiem tajā esošajiem monomiem ir vienāda pakāpe. Šo pakāpi sauc par vienādojuma secību.

5. definīcija. Trigonometriskais vienādojums, kas satur tikai funkcijas grēks Un cos, sauc par viendabīgu, ja visiem monomiem attiecībā uz trigonometriskajām funkcijām ir vienāda pakāpe, pašām trigonometriskajām funkcijām ir vienādi leņķi un monomālu skaits ir par 1 lielāks par vienādojuma secību.

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes.

Trigonometrisko vienādojumu atrisināšana sastāv no diviem posmiem: vienādojuma pārveidošanas, lai iegūtu tā vienkāršāko formu, un iegūtā vienkāršākā trigonometriskā vienādojuma atrisināšanas. Ir septiņas pamata metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.

es. algebriskā metode.Šī metode ir labi zināma no algebras. (Mainīgo aizvietošanas un aizstāšanas metode).

Atrisiniet vienādojumus.

Ieviesīsim apzīmējumu x=2 grēks3 t, saņemam

Atrisinot šo vienādojumu, mēs iegūstam:
vai

tie. var uzrakstīt

Rakstot risinājumu, kas iegūts zīmju klātbūtnes dēļ grāds
nav jēgas rakstīt.

Atbilde:

Apzīmē

Mēs saņemam kvadrātvienādojums
. Tās saknes ir skaitļi
Un
. Tāpēc šis vienādojums tiek reducēts līdz vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem
Un
. Atrisinot tos, mēs to atklājam
vai
.

Atbilde:
;
.

Apzīmē

neapmierina nosacījumu

Līdzekļi

Atbilde:

Pārveidosim vienādojuma kreiso pusi:

Tādējādi šo sākotnējo vienādojumu var uzrakstīt šādi:

, t.i.

Apzīmējot
, saņemam
Atrisinot šo kvadrātvienādojumu, mums ir:

neapmierina nosacījumu

Mēs pierakstām sākotnējā vienādojuma risinājumu:

Atbilde:

Aizstāšana
samazina šo vienādojumu par kvadrātvienādojumu
. Tās saknes ir skaitļi
Un
. Jo
, tad dots vienādojums nav sakņu.

Atbilde: nav sakņu.

II. Vienādojumu atrisināšana, izmantojot tāda paša nosaukuma trigonometrisko funkciju vienādības nosacījumu.

bet)
, ja

b)
, ja

iekšā)
, ja

Izmantojot šos nosacījumus, apsveriet šādu vienādojumu risinājumu:

Izmantojot a) punktā teikto, mēs atklājam, ka vienādojumam ir risinājums tad un tikai tad
.

Atrisinot šo vienādojumu, mēs atrodam
.

Mums ir divas risinājumu grupas:

.

7) Atrisiniet vienādojumu:
.

Izmantojot b) daļas nosacījumu, mēs to secinām
.

Atrisinot šos kvadrātvienādojumus, mēs iegūstam:

8) Atrisiniet vienādojumu
.

No šī vienādojuma mēs secinām, ka . Atrisinot šo kvadrātvienādojumu, mēs to atklājam

.

III. Faktorizācija.

Mēs apsveram šo metodi ar piemēriem.

9) Atrisiniet vienādojumu
.

Risinājums. Pārvietosim visus vienādojuma nosacījumus pa kreisi: .

Mēs pārveidojam un faktorizējam izteiksmi vienādojuma kreisajā pusē:
.

1)
2)

Jo
Un
neņemiet vērtību null

tajā pašā laikā mēs atdalām abas daļas

vienādojumi priekš
,

Atbilde:

10) Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums.

vai

Atbilde:

11) Atrisiniet vienādojumu

Risinājums:

1)
2)
3)

Atbilde:

IV. Reducēšana uz homogēnu vienādojumu.

Lai atrisinātu homogēnu vienādojumu, jums ir nepieciešams:

Pārvietojiet visus tā dalībniekus uz kreiso pusi;

Izlieciet visus izplatītos faktorus iekavās;

Visus faktorus un iekavas pielīdzināt nullei;

Iekavas, kas vienādas ar nulli, dod mazākas pakāpes viendabīgu vienādojumu, kas jādala ar
(vai
) vecākajā pakāpē;

Atrisināt saņemts algebriskais vienādojums relatīvi
.

Apsveriet piemērus:

12) Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums.

Sadaliet abas vienādojuma puses ar
,

Iepazīstinām ar apzīmējumu
, vārds

šī vienādojuma saknes ir:

no šejienes 1)
2)

Atbilde:

13) Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums. Izmantojot dubultā leņķa formulas un pamata trigonometrisko identitāti, mēs samazinām šo vienādojumu līdz pusei argumenta:

Pēc līdzīgu terminu samazināšanas mums ir:

Viendabīgo pēdējo vienādojumu dalot ar
, saņemam

Es iecelšu
, mēs iegūstam kvadrātvienādojumu
, kuras saknes ir skaitļi

Pa šo ceļu

Izteiksme
pazūd plkst
, t.i. plkst
,
.

Mūsu vienādojuma risinājums neietver šos skaitļus.

Atbilde:
, .

V. Palīgleņķa ieviešana.

Apsveriet formas vienādojumu

Kur a, b, c- koeficienti, x- nezināms.

Sadaliet abas šī vienādojuma puses ar

Tagad vienādojuma koeficientiem ir sinusa un kosinusa īpašības, proti: katra no tiem modulis nepārsniedz vienību, un to kvadrātu summa ir vienāda ar 1.

Tad mēs varam tos attiecīgi marķēt
(šeit - palīgleņķis), un mūsu vienādojums ir šāds: .

Tad

Un viņa lēmums

Ņemiet vērā, ka ieviestais apzīmējums ir savstarpēji aizstājams.

14) Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums. Šeit
, tāpēc mēs sadalām abas vienādojuma puses ar

Atbilde:

15) Atrisiniet vienādojumu

Risinājums. Jo
, tad šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam

Jo
, tad ir tāds leņķis, ka
,
(tie.
).

Mums ir

Jo
, tad beidzot iegūstam:

Ņemiet vērā, ka formas vienādojumam ir risinājums tad un tikai tad

16) Atrisiniet vienādojumu:

Lai atrisinātu šo vienādojumu, mēs grupējam trigonometriskās funkcijas ar tiem pašiem argumentiem

Sadaliet abas vienādojuma puses ar diviem

Mēs pārveidojam trigonometrisko funkciju summu produktā:

Atbilde:

VI. Pārvērst produktu par summu.

Šeit tiek izmantotas atbilstošās formulas.

17) Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums. Pārvērsīsim kreiso pusi par summu:

VII.Universāla aizstāšana.

šīs formulas attiecas uz visiem

Aizstāšana
sauc par universālu.

18) Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums: nomainiet un
viņu izteiksmei cauri
un apzīmē
.

Mēs iegūstam racionālu vienādojumu
, kas tiek pārvērsts kvadrātā
.

Šī vienādojuma saknes ir skaitļi
.

Tāpēc problēma tika samazināta līdz divu vienādojumu atrisināšanai
.

Mēs to atrodam
.

Skatīt vērtību
neapmierina sākotnējo vienādojumu, ko pārbauda, pārbaudot - aizstāšanu dotā vērtība t sākotnējam vienādojumam.

Atbilde:
.

komentēt. 18. vienādojumu var atrisināt citādi.

Sadaliet abas šī vienādojuma puses ar 5 (t.i., ar
):
.

Jo
, tad ir skaitlis
, kas
Un
. Tātad vienādojums kļūst:
vai
. No šejienes mēs to atrodam
kur
.

19) Atrisiniet vienādojumu
.

Risinājums. Tā kā funkcijas
Un
ir augstākā vērtība vienāds ar 1, tad to summa ir vienāda ar 2, ja
Un
, tajā pašā laikā, tas ir
.

Atbilde:
.

Atrisinot šo vienādojumu, tika izmantota funkciju un robeža.

Secinājums.

Strādājot pie tēmas “Trigonometrisko vienādojumu risinājumi”, katram skolotājam ir lietderīgi ievērot šādus ieteikumus:

Sistematizēt metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.

Izvēlieties sev soļus, lai veiktu vienādojuma analīzi un vienas vai otras risināšanas metodes izmantošanas lietderības pazīmes.

Pārdomāt darbības paškontroles veidus metodes ieviešanā.

Iemācieties izveidot "savus" vienādojumus katrai no pētītajām metodēm.

Iesniegums Nr.1

Atrisiniet viendabīgus vai reducējamus vienādojumus.

1.	Rep.
	Rep.

	Rep.
5.	Rep.
	Rep.
7.	Rep.
	Rep.

Videokursā "Saņem A" ir iekļautas visas jums nepieciešamās tēmas veiksmīga piegāde LIETOJUMS matemātikā 60-65 punktiem. Pilnīgi visi uzdevumi 1-13 profila eksāmens matemātika. Piemērots arī matemātikas pamata USE nokārtošanai. Ja gribi nokārtot eksāmenu ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.

Visa nepieciešamā teorija. Ātrie veidi eksāmena risinājumi, lamatas un noslēpumi. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi triki risinājumi, noderīgas blēžu lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamatne risinājumam izaicinošus uzdevumus 2 eksāmena daļas.

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas jēdziens.

Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, pārveidojiet to par vienu vai vairākiem pamata trigonometriskajiem vienādojumiem. Trigonometriskā vienādojuma atrisināšana galu galā ir četru pamata trigonometrisko vienādojumu atrisināšana.

Trigonometrisko pamatvienādojumu atrisināšana.

Ir 4 trigonometrisko pamatvienādojumu veidi:
sin x = a; cos x = a
iedegums x = a; ctg x = a
Pamata trigonometrisko vienādojumu risināšana ietver dažādu x pozīciju apskati uz vienības apļa, kā arī konversijas tabulas (vai kalkulatora) izmantošanu.
Piemērs 1. sin x = 0,866. Izmantojot konvertēšanas tabulu (vai kalkulatoru), jūs saņemat atbildi: x = π/3. Vienības aplis sniedz citu atbildi: 2π/3. Atcerieties: visas trigonometriskās funkcijas ir periodiskas, tas ir, to vērtības tiek atkārtotas. Piemēram, sin x un cos x periodiskums ir 2πn, un tg x un ctg x periodiskums ir πn. Tātad atbilde ir uzrakstīta šādi:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
2. piemērs cos x = -1/2. Izmantojot konvertēšanas tabulu (vai kalkulatoru), jūs saņemat atbildi: x = 2π/3. Vienības aplis sniedz citu atbildi: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
3. piemērs. tg (x - π/4) = 0.
Atbilde: x \u003d π / 4 + πn.
4. piemērs. ctg 2x = 1,732.
Atbilde: x \u003d π / 12 + πn.

Trigonometrisko vienādojumu risināšanā izmantotās transformācijas.

Lai pārveidotu trigonometriskos vienādojumus, tiek izmantotas algebriskās transformācijas (faktorizācija, samazināšana viendabīgi locekļi utt.) un trigonometriskās identitātes.
5. piemērs. Izmantojot trigonometriskās identitātes, vienādojumu sin x + sin 2x + sin 3x = 0 pārvērš vienādojumā 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Tādējādi šādi trigonometriskie pamata vienādojumi jāatrisina: cos x = 0; grēks(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Leņķu atrašana pēc zināmās vērtības funkcijas.
- Pirms uzzināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus, jums jāiemācās atrast leņķus no zināmām funkciju vērtībām. To var izdarīt, izmantojot konvertēšanas tabulu vai kalkulatoru.
- Piemērs: cos x = 0,732. Kalkulators sniegs atbildi x = 42,95 grādi. Vienības aplis dos papildu leņķus, kuru kosinuss arī ir vienāds ar 0,732.
Novietojiet šķīdumu uz vienības apļa.
- Jūs varat ievietot trigonometriskā vienādojuma risinājumus uz vienības apļa. Vienības apļa trigonometriskā vienādojuma atrisinājumi ir regulāra daudzstūra virsotnes.
- Piemērs. Risinājumi x = π/3 + πn/2 uz vienības apļa ir kvadrāta virsotnes.
- Piemērs. Risinājumi x = π/4 + πn/3 uz vienības apļa ir regulāra sešstūra virsotnes.
Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes.
- Ja dotajā trigonometriskajā vienādojumā ir tikai viens trigonometriskā funkcija, atrisiniet šo vienādojumu kā trigonometrisko pamata vienādojumu. Ja šajā vienādojumā ir iekļautas divas vai vairākas trigonometriskās funkcijas, tad šāda vienādojuma risināšanai ir 2 metodes (atkarībā no tā pārveidošanas iespējas).
  - 1. metode
- Pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu šādā formā: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kur f(x), g(x), h(x) ir trigonometriskie pamatvienādojumi.
- 6. piemērs. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Risinājums. Izmantojot dubultā leņķa formulu sin 2x = 2*sin x*cos x, nomainiet sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos x = 0 un (sin x + 1) = 0.
- 7. piemērs cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Risinājums: izmantojot trigonometriskās identitātes, pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu ar šādu formu: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos 2x = 0 un (2cos x + 1) = 0.
- Piemērs 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Risinājums: izmantojot trigonometriskās identitātes, pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu šādā formā: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos 2x = 0 un (2sin x + 1) = 0.
  - 2. metode
- Pārvērtiet doto trigonometrisko vienādojumu par vienādojumu, kas satur tikai vienu trigonometrisko funkciju. Pēc tam aizstājiet šo trigonometrisko funkciju ar kādu nezināmu, piemēram, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t utt.).
- 9. piemērs. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Risinājums. IN dots vienādojums aizstāt (cos^2 x) ar (1 - sin^2 x) (pēc identitātes). Pārveidotais vienādojums izskatās šādi:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x aizstāj ar t. Tagad vienādojums izskatās šādi: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Šis ir kvadrātvienādojums ar divām saknēm: t1 = -1 un t2 = 9/5. Otrā sakne t2 neatbilst funkcijas diapazonam (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- 10. piemērs. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Risinājums. Aizstāt tg x ar t. Pārrakstiet sākotnējo vienādojumu šādi: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Tagad atrodiet t un pēc tam atrodiet x, ja t = tg x.

Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājums.

Jebkuras sarežģītības pakāpes trigonometrisko vienādojumu risinājums galu galā ir vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu atrisināšana. Un šajā gadījumā trigonometriskais aplis atkal izrādās labākais palīgs.

Atgādiniet kosinusa un sinusa definīcijas.

Leņķa kosinuss ir vienības apļa punkta abscisa (tas ir, koordinātas gar asi), kas atbilst rotācijai par noteiktu leņķi.

Leņķa sinuss ir vienības apļa punkta ordināta (tas ir, koordinātas gar asi), kas atbilst rotācijai par noteiktu leņķi.

Par pozitīvo kustības virzienu pa trigonometrisko apli uzskata kustību pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Pagriešana par 0 grādiem (vai 0 radiāniem) atbilst punktam ar koordinātām (1; 0)

Mēs izmantojam šīs definīcijas, lai atrisinātu vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus.

1. Atrisiniet vienādojumu

Šo vienādojumu apmierina visas tādas griešanās leņķa vērtības, kas atbilst apļa punktiem, kuru ordināta ir vienāda ar .

Atzīmēsim punktu ar ordinātām uz y ass:

Tērēsim horizontāla līnija paralēli x asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūsim divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir ordināta. Šie punkti atbilst griešanās leņķiem un radiāniem:

Ja mēs, atstājuši punktu, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu, apejam pilnu apli, tad nonāksim punktā, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu un kuram ir tāda pati ordināta. Tas ir, šis griešanās leņķis apmierina arī mūsu vienādojumu. Mēs varam veikt tik daudz "tukšgaitas" pagriezienu, cik mums patīk, atgriežoties tajā pašā punktā, un visas šīs leņķa vērtības apmierinās mūsu vienādojumu. "Tukšgaitas" apgriezienu skaits tiek apzīmēts ar burtu (vai). Tā kā mēs varam veikt šos apgriezienus gan pozitīvā, gan negatīvā virzienā, (vai ) var iegūt jebkuras veselas vērtības.

Tas nozīmē, ka sākotnējā vienādojuma pirmajai risinājumu sērijai ir šāda forma:

, , - veselu skaitļu kopa (1)

Līdzīgi otrajai risinājumu sērijai ir šāda forma:

, kur , . (2)

Kā jūs uzminējāt, šīs risinājumu sērijas pamatā ir apļa punkts, kas atbilst griešanās leņķim par .

Šīs divas risinājumu sērijas var apvienot vienā ierakstā:

Ja mēs uzņemsim šo ierakstu (tas ir, pat), tad mēs iegūsim pirmo risinājumu sēriju.

Ja mēs ņemam vērā šo ierakstu (tas ir, nepāra), tad mēs iegūsim otro risinājumu sēriju.

2. Tagad atrisināsim vienādojumu

Tā kā vienības apļa punkta abscisa ir iegūta, pagriežot leņķi, mēs atzīmējam uz ass punktu ar abscisu:

Novelciet vertikālu līniju, kas ir paralēla asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūsim divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir abscisa. Šie punkti atbilst griešanās leņķiem un radiāniem. Atgādiniet, ka, pārvietojoties pulksteņrādītāja virzienā, mēs iegūstam negatīvu griešanās leņķi:

Mēs pierakstām divas risinājumu sērijas:

(Mēs iekrītam vēlamais punkts, ejot no galvenā pilna apļa, tas ir .

Apvienosim šīs divas sērijas vienā ierakstā:

3. Atrisiniet vienādojumu

Pieskares līnija iet caur punktu ar koordinātām (1,0) vienības riņķī paralēli OY asij

Atzīmējiet uz tā punktu ar ordinātu, kas vienāds ar 1 (mēs meklējam pieskares leņķiem, kas ir 1):

Savienojiet šo punktu ar izcelsmi ar taisnu līniju un atzīmējiet līnijas krustošanās punktus ar vienības apli. Taisnes un apļa krustošanās punkti atbilst griešanās leņķiem uz un :

Tā kā punkti, kas atbilst griešanās leņķiem, kas atbilst mūsu vienādojumam, atrodas radiānu attālumā viens no otra, mēs varam uzrakstīt risinājumu šādi:

4. Atrisiniet vienādojumu

Kotangenšu līnija iet caur punktu ar vienības apļa koordinātām, kas ir paralēlas asij.

Mēs atzīmējam punktu ar abscisu -1 uz kotangentu līnijas:

Savienojiet šo punktu ar taisnes sākuma punktu un turpiniet to, līdz tas krustojas ar apli. Šī līnija krustos apli punktos, kas atbilst griešanās leņķiem un radiāniem: