Tipisku uzdevumu risinājums. Funkciju apjoms eksāmena uzdevumos Kā meklēt funkciju vērtību kopu

Funkcija ir modelis. Definēsim X kā neatkarīga mainīgā vērtību kopu // neatkarīgs nozīmē jebkuru.

Funkcija ir noteikums, pēc kura katrai neatkarīgā mainīgā vērtībai no kopas X var atrast vienīgo atkarīgā mainīgā vērtību. // t.i. uz katru x ir viens y.

No definīcijas izriet, ka ir divi jēdzieni - neatkarīgais mainīgais (kuru mēs apzīmējam ar x un tas var iegūt jebkuru vērtību) un atkarīgais mainīgais (kuru mēs apzīmējam ar y vai f (x) un tas tiek aprēķināts no funkcijas, kad mēs aizstājam x).

PIEMĒRAM, y=5+x

1. Neatkarīgs ir x, tāpēc mēs pieņemam jebkuru vērtību, pieņemsim, ka x = 3

2. un tagad mēs aprēķinām y, tātad y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y ir atkarīgs no x, jo ar kuru x mēs aizstājam, mēs iegūstam tādu y)

Mēs sakām, ka mainīgais y ir funkcionāli atkarīgs no mainīgā x, un to apzīmē šādi: y = f (x).

PIEMĒRAM.

1.y=1/x. (saukta par hiperbolu)

2. y=x^2. (saukta par parabolu)

3.y=3x+7. (saukta par taisnu līniju)

4. y \u003d √ x. (saukts par parabolas zaru)

Neatkarīgo mainīgo (ko apzīmējam ar x) sauc par funkcijas argumentu.

Funkciju darbības joma

Visu vērtību kopu, ko izmanto funkcijas arguments, sauc par funkcijas domēnu un apzīmē ar D(f) vai D(y).

Apsveriet D(y) 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) un (0;+∞) //visa reālo skaitļu kopa, izņemot nulli.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / visi daudzie reālie skaitļi

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / visi daudzie reālie skaitļi

4. D (y) \u003d. Atrodiet lielāko un mazāko funkcijas vērtību šajā segmentā.

Atvasinājums ir pozitīvs visiem x no intervāla (-1; 1) , tas ir, arcsine funkcija palielinās visā definīcijas jomā. Tāpēc tam ir mazākā vērtība x=-1, un lielākais plkst x=1.

Mēs ieguvām arcsinusa funkcijas diapazonu .

Atrodiet funkciju vērtību kopu segmentā .

Risinājums.

Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību dotajā segmentā.

Nosakīsim segmentam piederošos galējības punktus :

Daudzi uzdevumi liek mums meklēt funkciju vērtību kopu noteiktā segmentā vai visā definīcijas domēnā. Pie šādiem uzdevumiem pieder dažādi izteiksmju izvērtējumi, nevienlīdzību risināšana.

Šajā rakstā mēs definēsim funkcijas diapazonu, apsvērsim tās atrašanas metodes un detalizēti analizēsim piemēru risinājumu no vienkārša līdz sarežģītākam. Viss materiāls skaidrības labad tiks nodrošināts ar grafiskām ilustrācijām. Tātad šis raksts ir detalizēta atbilde uz jautājumu par to, kā atrast funkcijas diapazonu.

Definīcija.

Funkcijas y = f(x) vērtību kopa intervālā X tiek saukta par visu funkcijas vērtību kopu, kas nepieciešama, atkārtojot visu .

Definīcija.

Funkcijas y = f(x) diapazons tiek saukta par visu funkcijas vērtību kopu, kas tai nepieciešama, atkārtojot visu x no definīcijas domēna.

Funkcijas diapazons ir apzīmēts kā E(f) .

Funkcijas diapazons un funkcijas vērtību kopa nav viens un tas pats. Šie jēdzieni tiks uzskatīti par līdzvērtīgiem, ja intervāls X, atrodot funkcijas y = f(x) vērtību kopu, sakrīt ar funkcijas domēnu.

Tāpat nejauciet funkcijas diapazonu ar mainīgo x izteiksmei vienādojuma y=f(x) labajā pusē. Mainīgā x atļauto vērtību apgabals izteiksmei f(x) ir funkcijas y=f(x) definīcijas laukums.

Attēlā parādīti daži piemēri.

Funkciju diagrammas ir parādītas ar treknām zilām līnijām, tievas sarkanās līnijas ir asimptotes, sarkani punkti un līnijas uz Oy ass parāda atbilstošās funkcijas diapazonu.

Kā redzat, funkcijas diapazons tiek iegūts, projicējot funkcijas grafiku uz y asi. Tas var būt viens cipars (pirmais gadījums), skaitļu kopa (otrais gadījums), segments (trešais gadījums), intervāls (ceturtais gadījums), atvērts stars (piektais gadījums), savienība (sestais gadījums) utt. .

Tātad, kas jums jādara, lai atrastu funkcijas diapazonu.

Sāksim ar vienkāršāko gadījumu: parādīsim, kā noteikt nepārtrauktas funkcijas y = f(x) vērtību kopu intervālā .

Ir zināms, ka funkcija, kas nepārtraukta segmentā, sasniedz maksimālo un minimālo vērtību. Tādējādi segmenta sākotnējās funkcijas vērtību kopa būs segments . Tāpēc mūsu uzdevums ir samazināts līdz lielākās un mazākās funkcijas vērtību atrašanai intervālā .

Piemēram, atradīsim arcsinusa funkcijas diapazonu.

Piemērs.

Norādiet funkcijas y = arcsinx diapazonu.

Risinājums.

Arksīna definīcijas apgabals ir segments [-1; viens]. Atrodiet lielāko un mazāko funkcijas vērtību šajā segmentā.

Atvasinājums ir pozitīvs visiem x no intervāla (-1; 1) , tas ir, arcsinusa funkcija palielinās visā definīcijas jomā. Tāpēc tā ņem mazāko vērtību pie x = -1 un lielāko vērtību pie x = 1.

Mēs ieguvām arcsinusa funkcijas diapazonu .

Piemērs.

Atrodiet funkciju vērtību kopu segmentā.

Risinājums.

Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību dotajā segmentā.

Definēsim segmentam piederošos galējos punktus:

Mēs aprēķinām sākotnējās funkcijas vērtības segmenta galos un punktos :

Tāpēc segmenta funkcijas vērtību kopa ir segments .

Tagad mēs parādīsim, kā atrast nepārtrauktas funkcijas vērtību kopu y = f(x) intervālos (a; b) , .

Pirmkārt, mēs nosakām galējos punktus, funkcijas ekstremālos punktus, funkcijas palielināšanas un samazināšanās intervālus noteiktā intervālā. Tālāk mēs aprēķinām intervāla galos un (vai) robežas bezgalībā (tas ir, mēs pētām funkcijas uzvedību pie intervāla robežām vai bezgalībā). Šī informācija ir pietiekama, lai šādos intervālos atrastu funkciju vērtību kopu.

Piemērs.

Nosakiet funkciju vērtību kopu intervālā (-2; 2) .

Risinājums.

Atradīsim funkcijas galējos punktus, kas ietilpst intervālā (-2; 2) :

Punkts x = 0 ir maksimālais punkts, jo, ejot cauri, atvasinājums maina zīmi no plus uz mīnusu, un funkcijas grafiks pāriet no pieaugošas uz samazinošu.

ir atbilstošais funkcijas maksimums.

Noskaidrosim funkcijas uzvedību, kad x tiecas uz -2 labajā pusē un kad x tiecas uz 2 kreisajā pusē, tas ir, mēs atrodam vienpusējas robežas:

Ko mēs ieguvām: kad arguments mainās no -2 uz nulli, funkcijas vērtības palielinās no mīnus bezgalības līdz mīnus vienai ceturtdaļai (funkcijas maksimums pie x = 0), kad arguments mainās no nulles uz 2, funkcija vērtības samazinās līdz mīnus bezgalībai. Tādējādi funkciju vērtību kopa intervālā (-2; 2) ir .

Piemērs.

Norādiet pieskares funkcijas vērtību kopu y = tgx intervālā.

Risinājums.

Intervāla pieskares funkcijas atvasinājums ir pozitīvs , kas norāda uz funkcijas palielināšanos. Mēs pētām funkcijas uzvedību uz intervāla robežām:

Tādējādi, mainoties argumentam no uz, funkcijas vērtības palielinās no mīnus bezgalības līdz plus bezgalībai, tas ir, pieskares vērtību kopa šajā intervālā ir visu reālo skaitļu kopa.

Piemērs.

Atrodiet naturālā logaritma funkcijas diapazonu y = lnx .

Risinājums.

Dabiskā logaritma funkcija ir definēta argumenta pozitīvajām vērtībām . Šajā intervālā atvasinājums ir pozitīvs , tas norāda uz tā funkcijas palielināšanos. Atradīsim funkcijas vienpusējo robežu, jo argumentam ir tendence uz nulli no labās puses, un robežai kā x ir tendence uz plus bezgalību:

Mēs redzam, ka x mainās no nulles uz plus bezgalību, funkcijas vērtības palielinās no mīnus bezgalības uz plus bezgalību. Tāpēc naturālā logaritma funkcijas diapazons ir visa reālo skaitļu kopa.

Piemērs.

Risinājums.

Šī funkcija ir definēta visām reālajām x vērtībām. Nosakīsim ekstrēma punktus, kā arī funkcijas pieauguma un samazināšanās intervālus.

Tāpēc funkcija samazinās pie , palielinās pie , x = 0 ir maksimālais punkts, atbilstošo funkcijas maksimumu.

Apskatīsim funkcijas uzvedību bezgalībā:

Tādējādi bezgalībā funkcijas vērtības asimptotiski tuvojas nullei.

Mēs atklājām, ka tad, kad arguments mainās no mīnus bezgalības uz nulli (maksimālais punkts), funkcijas vērtības palielinās no nulles līdz deviņām (līdz funkcijas maksimumam), un, kad x mainās no nulles uz plus bezgalību, funkcijas vērtības. samazināt no deviņiem līdz nullei.

Apskatiet shematisko zīmējumu.

Tagad ir skaidri redzams, ka funkcijas diapazons ir .

Lai atrastu funkcijas y = f(x) vērtību kopu uz intervāliem, ir nepieciešami līdzīgi pētījumi. Tagad mēs sīkāk neapspriedīsim šos gadījumus. Mēs tos redzēsim tālāk sniegtajos piemēros.

Lai funkcijas y = f(x) apgabals ir vairāku intervālu savienība. Atrodot šādas funkcijas diapazonu, katrā intervālā tiek noteiktas vērtību kopas un tiek ņemta to savienība.

Piemērs.

Atrodiet funkcijas diapazonu.

Risinājums.

Mūsu funkcijas saucējam nevajadzētu būt līdz nullei, tas ir, .

Vispirms atradīsim atvērtā stara funkcijas vērtību kopu.

Funkcijas atvasinājums ir negatīvs šajā intervālā, tas ir, funkcija tajā samazinās.

Mēs atklājām, ka, tā kā argumentam ir tendence mīnus bezgalība, funkcijas vērtības asimptotiski tuvojas vienotībai. Kad x mainās no mīnus bezgalības uz diviem, funkcijas vērtības samazinās no viena līdz mīnus bezgalībai, tas ir, aplūkotajā intervālā funkcija iegūst vērtību kopu. Mēs neiekļaujam vienotību, jo funkcijas vērtības to nesasniedz, bet tikai asimptotiski tiecas uz to mīnus bezgalībā.

Līdzīgi rīkojamies ar atvērtu staru kūli.

Funkcija arī samazinās šajā intervālā.

Funkciju vērtību kopa šajā intervālā ir kopa .

Tādējādi vēlamais funkciju vērtību diapazons ir kopu un .

Grafiska ilustrācija.

Atsevišķi mums vajadzētu pakavēties pie periodiskām funkcijām. Periodisko funkciju diapazons sakrīt ar vērtību kopu intervālā, kas atbilst šīs funkcijas periodam.

Piemērs.

Atrodiet sinusa funkcijas diapazonu y = sinx .

Risinājums.

Šī funkcija ir periodiska ar divu pi periodu. Paņemsim segmentu un definēsim tā vērtību kopu.

Segments satur divus galējības punktus un .

Mēs aprēķinām funkcijas vērtības šajos punktos un uz segmenta robežām, izvēlamies mazāko un lielāko vērtību:

Sekojoši, .

Piemērs.

Atrodiet funkcijas diapazonu .

Risinājums.

Mēs zinām, ka arkosīna diapazons ir segments no nulles līdz pi, tas ir, vai citā ierakstā. Funkcija var iegūt no arccosx, pārbīdot un izstiepjot pa x asi. Šādas transformācijas neietekmē diapazonu, tāpēc . Funkcija nāk no stiepjas trīs reizes pa Oy asi, tas ir, . Un pēdējais transformāciju posms ir nobīde par četrām vienībām uz leju pa y asi. Tas noved mūs pie dubultās nevienlīdzības

Tādējādi vēlamais vērtību diapazons ir .

Sniegsim risinājumu citam piemēram, bet bez paskaidrojumiem (tie nav nepieciešami, jo ir pilnīgi līdzīgi).

Piemērs.

Definējiet funkciju diapazonu .

Risinājums.

Formā ierakstām sākotnējo funkciju . Eksponenciālās funkcijas diapazons ir intervāls . T.i., . Tad

Sekojoši, .

Lai pabeigtu attēlu, mums vajadzētu runāt par tādas funkcijas diapazona atrašanu, kas definīcijas jomā nav nepārtraukta. Šajā gadījumā definīcijas domēns tiek sadalīts ar pārtraukuma punktiem intervālos, un mēs atrodam vērtību kopas katrā no tām. Apvienojot iegūtās vērtību kopas, mēs iegūstam sākotnējās funkcijas vērtību diapazonu. Mēs iesakām atcerēties 3 kreisajā pusē, funkcijas vērtībām ir tendence mīnus viens, un, kad x ir 3 labajā pusē, funkcijas vērtībām ir tendence palielināties ar bezgalību.

Tādējādi funkcijas definīcijas apgabals ir sadalīts trīs intervālos.

Intervālā mums ir funkcija . Kopš tā laika

Tādējādi sākotnējās funkcijas vērtību kopa intervālā ir [-6;2].

Pusintervālā mums ir nemainīga funkcija y = -1 . Tas ir, sākotnējās funkcijas vērtību kopa intervālā sastāv no viena elementa .

Funkcija ir definēta visām derīgajām argumenta vērtībām. Noskaidrojiet funkcijas palielināšanas un samazināšanas intervālus.

Atvasinājums pazūd pie x=-1 un x=3. Atzīmējam šos punktus uz reālās ass un uz iegūtajiem intervāliem nosakām atvasinājuma zīmes.

Funkcija samazinās par , palielinās par [-1; 3] , x=-1 minimālais punkts, x=3 maksimālais punkts.

Mēs aprēķinām atbilstošās minimālās un maksimālās funkcijas:

Pārbaudīsim funkcijas uzvedību bezgalībā:

Otrais limits tika aprēķināts no .

Izveidosim shematisku zīmējumu.

Kad arguments mainās no mīnus bezgalības uz -1, funkcijas vērtības samazinās no plus bezgalības līdz -2e, kad arguments mainās no -1 uz 3, funkcijas vērtības palielinās no -2e līdz , kad arguments mainās no 3 līdz plus bezgalībai, funkciju vērtības samazinās no līdz nullei, taču tās nesasniedz nulli.

Bieži vien problēmu risināšanas ietvaros mums ir jāmeklē funkcijas vērtību kopa definīcijas jomā vai segmentā. Piemēram, tas jādara, risinot dažāda veida nevienlīdzības, vērtējot izteiksmes utt.

Šī materiāla ietvaros mēs jums pateiksim, kāds ir funkcijas diapazons, sniegsim galvenās metodes, ar kurām to var aprēķināt, un analizēsim dažādas sarežģītības pakāpes problēmas. Skaidrības labad atsevišķas pozīcijas ir ilustrētas ar grafikiem. Pēc šī raksta izlasīšanas jūs iegūsit visaptverošu izpratni par funkcijas darbības jomu.

Sāksim ar pamata definīcijām.

1. definīcija

Funkcijas y = f (x) vērtību kopa kādā intervālā x ir visu vērtību kopa, ko šī funkcija izmanto, atkārtojot visas vērtības x ∈ X .

2. definīcija

Funkcijas y = f (x) diapazons ir visu tās vērtību kopa, ko tā var iegūt, atkārtojot vērtības x no apgabala x ∈ (f) .

Dažas funkcijas diapazonu parasti apzīmē ar E (f) .

Lūdzu, ņemiet vērā, ka funkcijas vērtību kopas jēdziens ne vienmēr ir identisks tās vērtību apgabalam. Šie jēdzieni būs līdzvērtīgi tikai tad, ja vērtību diapazons x, atrodot vērtību kopu, sakrīt ar funkcijas domēnu.

Ir svarīgi arī atšķirt mainīgā x diapazonu un diapazonu izteiksmei labajā pusē y = f (x) . Izteiksmes f (x) pieņemamo vērtību apgabals x būs šīs funkcijas definīcijas apgabals.

Zemāk ir ilustrācija, kurā parādīti daži piemēri. Zilas līnijas ir funkciju grafiki, sarkanās ir asimptotes, sarkanie punkti un līnijas uz y ass ir funkcijas diapazoni.

Acīmredzot funkcijas diapazonu var iegūt, projicējot funkcijas grafiku uz asi O y . Turklāt tas var būt vai nu viens cipars, vai skaitļu kopa, segments, intervāls, atvērts stars, skaitlisku intervālu savienība utt.

Apsveriet galvenos veidus, kā atrast funkcijas diapazonu.

Sāksim ar nepārtrauktas funkcijas y = f (x) vērtību kopas definēšanu noteiktā segmentā, kas apzīmēts ar [ a ; b]. Mēs zinām, ka funkcija, kas ir nepārtraukta noteiktā intervālā, sasniedz savu minimumu un maksimumu, tas ir, maksimumu m a x x ∈ a ; b f (x) un mazākā vērtība m i n x ∈ a ; b f (x) . Tātad, mēs iegūstam segmentu m i n x ∈ a ; bf(x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , kurā būs sākotnējās funkcijas vērtību kopas. Tad viss, kas mums jādara, ir jāatrod norādītais minimālais un maksimālais punkts šajā segmentā.

Ņemsim problēmu, kurā ir jānosaka arksīna vērtību diapazons.

1. piemērs

Stāvoklis: atrast diapazonu y = a r c sin x .

Risinājums

Vispārīgā gadījumā arcsīna definīcijas domēns atrodas uz intervāla [ - 1 ; viens]. Mums ir jānosaka tajā norādītās funkcijas lielākā un mazākā vērtība.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Mēs zinām, ka funkcijas atvasinājums būs pozitīvs visām x vērtībām, kas atrodas intervālā [-1; 1 ] , tas ir, visā definīcijas apgabalā, arcsinusa funkcija palielināsies. Tas nozīmē, ka tam būs mazākā vērtība, ja x ir vienāds ar - 1, un lielākā - ja x ir vienāds ar 1.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Tādējādi arcsinusa funkcijas diapazons būs vienāds ar E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Atbilde: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

2. piemērs

Stāvoklis: aprēķina diapazonu y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 uz dotā segmenta [ 1 ; 4 ] .

Risinājums

Viss, kas mums jādara, ir aprēķināt lielāko un mazāko funkcijas vērtību dotajā intervālā.

Lai noteiktu ekstremālos punktus, ir jāveic šādi aprēķini:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 un l un 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4

Tagad atradīsim dotās funkcijas vērtības segmenta galos un punktos x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 ≉ + 165 33 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 g (4) = 4 4 — 5 43 + 6 4 2 = 32

Tas nozīmē, ka funkciju vērtību kopu noteiks segments 117 - 165 33 512 ; 32 .

Atbilde: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Pāriesim pie nepārtrauktas funkcijas y = f (x) vērtību kopas atrašanas intervālos (a ; b) un a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

Sāksim ar lielāko un mazāko punktu, kā arī pieauguma un samazinājuma intervālu noteikšanu dotajā intervālā. Pēc tam mums būs jāaprēķina vienpusējās robežas intervāla galos un/vai robežas bezgalībā. Citiem vārdiem sakot, mums ir jānosaka funkcijas uzvedība noteiktos apstākļos. Šim nolūkam mums ir visi nepieciešamie dati.

3. piemērs

Stāvoklis: aprēķiniet funkcijas y = 1 x 2 - 4 diapazonu intervālā (- 2 ; 2) .

Risinājums

Nosakiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību noteiktā intervālā

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Mēs saņēmām maksimālo vērtību, kas vienāda ar 0, jo tieši šajā brīdī mainās funkcijas zīme un grafiks sāk samazināties. Skatīt ilustrāciju:

Tas nozīmē, ka y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 būs funkcijas maksimālā vērtība.

Tagad definēsim funkcijas uzvedību x, kas mēdz būt - 2 labajā pusē un + 2 kreisajā pusē. Citiem vārdiem sakot, mēs atrodam vienpusējus ierobežojumus:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = limits x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Mēs saņēmām, ka funkcijas vērtības palielināsies no mīnus bezgalības līdz -1 4, kad arguments mainīsies no -2 uz 0. Un, kad arguments mainās no 0 uz 2, funkcijas vērtības samazinās līdz mīnus bezgalībai. Tāpēc dotās funkcijas vērtību kopa mums vajadzīgajā intervālā būs (- ∞ ; - 1 4 ] .

Atbilde: (- ∞ ; - 1 4 ] .

4. piemērs

Stāvoklis: norādīt vērtību kopu y = t g x dotajā intervālā - π 2 ; π 2 .

Risinājums

Mēs zinām, ka kopumā pieskares atvasinājums in - π 2; π 2 būs pozitīvs, tas ir, funkcija palielināsies. Tagad definēsim, kā funkcija darbojas norādītajās robežās:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Mēs esam ieguvuši funkcijas vērtību pieaugumu no mīnus bezgalības uz plus bezgalību, kad arguments mainās no - π 2 uz π 2, un mēs varam teikt, ka šīs funkcijas risinājumu kopa būs visu reālo kopa. cipariem.

Atbilde: - ∞ ; + ∞ .

5. piemērs

Stāvoklis: noteikt, kāds ir naturālā logaritma funkcijas diapazons y = ln x .

Risinājums

Mēs zinām, ka šī funkcija ir definēta argumenta D (y) = 0 pozitīvajām vērtībām; +∞ . Atvasinājums dotajā intervālā būs pozitīvs: y " = ln x " = 1 x . Tas nozīmē, ka funkcija tajā palielinās. Tālāk mums ir jādefinē vienpusējs ierobežojums gadījumam, kad arguments iet uz 0 (labajā pusē) un kad x iet uz bezgalību:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Mēs esam noskaidrojuši, ka funkcijas vērtības palielināsies no mīnus bezgalības līdz plus bezgalībai, kad x vērtības mainās no nulles uz plus bezgalību. Tas nozīmē, ka visu reālo skaitļu kopa ir naturālā logaritma funkcijas diapazons.

Atbilde: visu reālo skaitļu kopa ir naturālā logaritma funkcijas diapazons.

6. piemērs

Stāvoklis: nosaka, kāds ir funkcijas y = 9 x 2 + 1 diapazons.

Risinājums

Šī funkcija ir definēta, ja x ir reāls skaitlis. Aprēķināsim funkcijas lielāko un mazāko vērtību, kā arī tās palielināšanas un samazināšanās intervālus:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Rezultātā esam noteikuši, ka šī funkcija samazināsies, ja x ≥ 0; palielināt, ja x ≤ 0 ; tam ir maksimālais punkts y (0) = 9 0 2 + 1 = 9, ja mainīgais ir 0 .

Apskatīsim, kā funkcija darbojas bezgalībā:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

No ieraksta var redzēt, ka funkcijas vērtības šajā gadījumā asimptotiski tuvosies 0.

Rezumējot: kad arguments mainās no mīnus bezgalības uz nulli, tad funkcijas vērtības palielinās no 0 līdz 9. Argumentu vērtībām mainoties no 0 līdz plus bezgalībai, atbilstošās funkcijas vērtības samazināsies no 9 līdz 0. Mēs to esam attēlojuši attēlā:

Tas parāda, ka funkcijas diapazons būs intervāls E (y) = (0 ; 9 ]

Atbilde: E (y) = (0 ; 9 ]

Ja mums ir jānosaka funkcijas y = f (x) vērtību kopa intervālos [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , tad vajadzēs veikt tieši tādus pašus pētījumus.Šos gadījumus pagaidām neanalizēsim: vēlāk tiksimies problēmās .

Bet ko tad, ja noteiktas funkcijas domēns ir vairāku intervālu savienība? Tad mums ir jāaprēķina vērtību kopas katram no šiem intervāliem un jāapvieno.

7. piemērs

Stāvoklis: noteikt, kāds būs diapazons y = x x - 2 .

Risinājums

Tā kā funkcijas saucēju nevajadzētu pārvērst par 0, tad D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2; +∞ .

Sāksim ar funkciju vērtību kopas definēšanu pirmajā segmentā - ∞ ; 2, kas ir atvērta sija. Mēs zinām, ka funkcija uz tā samazināsies, tas ir, šīs funkcijas atvasinājums būs negatīvs.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Tad gadījumos, kad arguments mainās virzienā uz mīnus bezgalību, funkcijas vērtības asimptotiski tuvosies 1. Ja x vērtības mainās no mīnus bezgalības uz 2, tad vērtības samazināsies no 1 uz mīnus bezgalību, t.i. funkcija šajā segmentā ņems vērtības no intervāla - ∞ ; viens . Mēs izslēdzam vienotību no mūsu argumentācijas, jo funkcijas vērtības to nesasniedz, bet tikai asimptotiski tuvojas tai.

Atvērtai sijai 2 ; + ∞ veicam tieši tādas pašas darbības. Funkcija tajā arī samazinās:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Funkcijas vērtības šajā segmentā nosaka kopa 1 ; +∞ . Tas nozīmē, ka mums vajadzīgajā stāvoklī norādītās funkcijas vērtību diapazons būs kopu savienība - ∞; 1 un 1; +∞ .

Atbilde: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1; +∞ .

To var redzēt diagrammā:

Īpašs gadījums ir periodiskas funkcijas. To vērtību apgabals sakrīt ar vērtību kopu intervālā, kas atbilst šīs funkcijas periodam.

8. piemērs

Stāvoklis: nosaka sinusa y = sin x diapazonu.

Risinājums

Sinuss attiecas uz periodisku funkciju, un tā periods ir 2 pi. Mēs ņemam segmentu 0 ; 2 π un redziet, kāda būs vērtību kopa uz tā.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

0 robežās; 2 π funkcijai būs galējie punkti π 2 un x = 3 π 2 . Aprēķināsim, ar kādām funkcijas vērtības tajās būs vienādas, kā arī uz segmenta robežām, pēc kuras izvēlamies lielāko un mazāko vērtību.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Atbilde: E (sinx) = -1; viens .

Ja jums jāzina tādu funkciju diapazoni kā eksponenciāls, eksponenciāls, logaritmisks, trigonometriskais, apgrieztais trigonometriskais, iesakām vēlreiz izlasīt rakstu par pamata elementārajām funkcijām. Šeit piedāvātā teorija ļauj mums pārbaudīt tur norādītās vērtības. Vēlams tos apgūt, jo tie bieži vien ir nepieciešami problēmu risināšanā. Ja jūs zināt galveno funkciju diapazonus, tad varat viegli atrast funkciju diapazonus, kas tiek iegūti no elementārajām, izmantojot ģeometrisko transformāciju.

9. piemērs

Stāvoklis: nosaka diapazonu y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Risinājums

Mēs zinām, ka segments no 0 līdz pi ir apgrieztā kosinusa diapazons. Citiem vārdiem sakot, E (a r c cos x) = 0 ; π vai 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Funkciju a r c cos x 3 + 5 π 7 varam iegūt no loka kosinusa, pārbīdot un izstiepjot to pa O x asi, taču šādas transformācijas mums neko nedos. Tādējādi 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Funkciju 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 var iegūt no apgrieztā kosinusa a r c cos x 3 + 5 π 7, stiepjot pa y asi, t.i. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Galīgā transformācija ir nobīde pa O y asi par 4 vērtībām. Rezultātā mēs iegūstam dubultu nevienlīdzību:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 loki x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Mēs saņēmām, ka mums vajadzīgais diapazons būs vienāds ar E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Atbilde: E (y) = -4; 3 pi - 4 .

Uzrakstīsim vēl vienu piemēru bez paskaidrojumiem, jo tas ir pilnīgi līdzīgs iepriekšējam.

10. piemērs

Stāvoklis: aprēķiniet, kāds būs funkcijas y = 2 2 x - 1 + 3 diapazons.

Risinājums

Pārrakstīsim nosacījumā doto funkciju kā y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . Jaudas funkcijai y = x-1 2 diapazons tiks definēts intervālā 0; + ∞ , t.i. x - 1 2 > 0 . Šajā gadījumā:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Tātad E (y) = 3 ; +∞ .

Atbilde: E (y) = 3; +∞ .

Tagad apskatīsim, kā atrast funkcijas diapazonu, kas nav nepārtraukts. Lai to izdarītu, mums viss laukums ir jāsadala intervālos un jāatrod vērtību kopas katrā no tām, un pēc tam jāapvieno iegūtais. Lai to labāk izprastu, iesakām pārskatīt galvenos funkciju pārtraukuma punktu veidus.

11. piemērs

Stāvoklis: dota funkcija y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Aprēķiniet tā diapazonu.

Risinājums

Šī funkcija ir definēta visām x vērtībām. Analizēsim to nepārtrauktībai ar argumenta vērtībām, kas vienādas ar - 3 un 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Mums ir neatgriezenisks pirmā veida pārtraukums ar argumenta vērtību - 3 . Tuvojoties tam, funkcijas vērtībām ir tendence uz - 2 sin 3 2 - 4 , un, ja x tiecas uz - 3 labajā pusē, vērtības mēdz būt - 1 .

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Mums ir nenovēršams otrā veida pārtraukums 3. punktā. Kad funkcija tiecas uz to, tās vērtības tuvojas - 1, bet tiecas uz to pašu punktu labajā pusē - līdz mīnus bezgalībai.

Tas nozīmē, ka viss šīs funkcijas definīcijas apgabals ir sadalīts 3 intervālos (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) ).

Pirmajā no tām mēs saņēmām funkciju y \u003d 2 sin x 2 - 4. Tā kā - 1 ≤ sin x ≤ 1 , mēs iegūstam:

1 ≤ grēks x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Tas nozīmē, ka šajā intervālā (- ∞ ; - 3 ] funkcijas vērtību kopa ir [ - 6 ; 2 ] .

Pusintervālā (- 3 ; 3 ] mēs iegūstam nemainīgu funkciju y = - 1 . Līdz ar to visa tās vērtību kopa šajā gadījumā tiks samazināta līdz vienam skaitlim - 1 .

Otrajā intervālā 3 ; + ∞ mums ir funkcija y = 1 x - 3 . Tas samazinās, jo y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Tādējādi sākotnējās funkcijas vērtību kopa x > 3 ir kopa 0 ; +∞ . Tagad apvienosim rezultātus: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞ .

Atbilde: E (y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞ .

Risinājums ir parādīts diagrammā:

12. piemērs

Nosacījums: ir funkcija y = x 2 - 3 e x . Nosakiet tā vērtību kopu.

Risinājums

Tas ir definēts visām argumentu vērtībām, kas ir reāli skaitļi. Noskaidrosim, kādos intervālos šī funkcija palielināsies un kādos samazināsies:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Mēs zinām, ka atvasinājums kļūs par 0, ja x = - 1 un x = 3. Novietojam šos divus punktus uz ass un uzzinām, kādas zīmes atvasinātajam būs iegūtajos intervālos.

Funkcija samazināsies par (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) un palielinās par [ - 1 ; 3]. Minimālais punkts būs -1, maksimālais -3.

Tagad atradīsim atbilstošās funkcijas vērtības:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Apskatīsim funkcijas uzvedību bezgalībā:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = lim x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Lai aprēķinātu otro robežu, tika izmantots L'Hopital likums. Uzzīmēsim savu risinājumu grafikā.

Tas parāda, ka funkcijas vērtības samazināsies no plus bezgalības līdz -2e, kad arguments mainīsies no mīnus bezgalības uz -1. Ja tas mainās no 3 uz plus bezgalību, tad vērtības samazināsies no 6 e - 3 līdz 0, bet 0 netiks sasniegts.

Tādējādi E (y) = [ - 2 e ; +∞) .

Atbilde: E(y) = [-2e; +∞)

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Funkcijas jēdziens un viss ar to saistītais tradicionāli ir sarežģīts, līdz galam neizprotams. Īpašs klupšanas akmens funkcijas izpētē un sagatavošanās eksāmenam ir definīcijas joma un funkcijas vērtību (izmaiņu) diapazons.
Bieži vien skolēni neredz atšķirību starp funkcijas domēnu un tās vērtību jomu.
Un, ja studentiem izdodas apgūt funkcijas definīcijas apgabala atrašanas uzdevumus, tad uzdevumi par funkcijas vērtību kopas atrašanu viņiem sagādā ievērojamas grūtības.
Šī raksta mērķis: iepazīšanās ar metodes vērtību noteikšanas metodēm.
Šīs tēmas izskatīšanas rezultātā tika pētīts teorētiskais materiāls, apskatītas uzdevumu risināšanas metodes funkciju vērtību kopu atrašanai, atlasīts didaktiskais materiāls studentu patstāvīgajam darbam.
Šo rakstu skolotājs var izmantot, gatavojot skolēnus gala un iestājeksāmeniem, apgūstot tēmu “Funkciju apjoms” izvēles nodarbībās matemātikas izvēles kursos.

I. Funkcijas apjoma noteikšana.

Funkcijas y = f(x) vērtību E(y) laukums (kopa) ir tādu skaitļu kopa y 0 , kuriem katram ir tāds skaitlis x 0, ka: f(x 0) = g 0 .

Atcerēsimies galveno elementāro funkciju diapazonus.

Apsveriet tabulu.

Funkcija	Daudzas vērtības
y = kx + b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2 ; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arctan x	E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Ņemiet vērā arī to, ka jebkura pāra pakāpes polinoma diapazons ir intervāls , kur n ir šī polinoma lielākā vērtība.

II. Funkcijas īpašības, ko izmanto, lai atrastu funkcijas diapazonu

Lai veiksmīgi atrastu funkcijas vērtību kopu, ir jābūt labām zināšanām par pamata elementārfunkciju īpašībām, īpaši to definīcijas jomām, vērtību diapazoniem un monotonitātes būtību. Piedāvāsim nepārtrauktu, monotoni diferencējamu funkciju īpašības, kuras visbiežāk izmanto funkciju vērtību kopas atrašanā.

Īpašības 2 un 3 parasti tiek lietotas kopā ar elementāras funkcijas īpašību būt nepārtrauktai savā jomā. Šajā gadījumā vienkāršākais un īsākais funkcijas vērtību kopas atrašanas problēmas risinājums tiek sasniegts, pamatojoties uz īpašību 1, ja ir iespējams noteikt funkcijas monotonitāti, izmantojot vienkāršas metodes. Problēmas risinājums tiek vēl vairāk vienkāršots, ja funkcija turklāt ir pāra vai nepāra, periodiska utt. Tādējādi, risinot funkciju vērtību kopu atrašanas problēmas, ir jāpārbauda un pēc vajadzības jāizmanto šādas funkcijas īpašības:

• nepārtrauktība;
• monotons;
• atšķirtspēja;
• pāra, nepāra, periodiska utt.

Vienkārši uzdevumi funkciju vērtību kopas atrašanai galvenokārt ir orientēti:

a) vienkāršāko aprēķinu un ierobežojumu izmantošana: (2 x > 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1 utt.);

b) lai atlasītu pilnu kvadrātu: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) trigonometrisko izteiksmju pārveidošanai: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) izmantojot funkcijas monotonitāti x 1/3 + 2 x-1 palielinās par R.

III. Apsveriet veidus, kā atrast funkciju diapazonu.

a) sarežģītu funkciju argumentu vērtību secīga atrašana;
b) novērtēšanas metode;
c) izmantojot funkcijas nepārtrauktības un monotonitātes īpašības;
d) atvasinājuma izmantošana;
e) funkcijas lielāko un mazāko vērtību izmantošana;
f) grafiskā metode;
g) parametru ievadīšanas metode;
h) apgrieztās funkcijas metode.

Mēs atklāsim šo metožu būtību konkrētos piemēros.

1. piemērs: atrodiet diapazonu E(y) funkcijas y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Atrisināsim šo piemēru, secīgi atrodot sarežģītu funkciju argumentu vērtības. Izvēloties pilnu kvadrātu zem logaritma, mēs pārveidojam funkciju

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

Un secīgi atrodiet tā sarežģīto argumentu vērtību kopas:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Apzīmē t= 5 – (3 x +1) 2 , kur -∞≤ t≤4. Tādējādi problēma tiek samazināta līdz funkcijas y = log 0,5 t vērtību kopas atrašanai starā (-∞;4) . Tā kā funkcija y = log 0,5 t ir definēta tikai pie, tad tās vērtību kopa uz stara (-∞;4) sakrīt ar funkciju vērtību kopu intervālā (0;4), kas ir stara (-∞;4) krustpunkts ar logaritmiskās funkcijas definīcijas apgabalu (0;+∞). Intervālā (0;4) šī funkcija ir nepārtraukta un samazinās. Plkst t> 0, tas mēdz +∞, un kad t = 4 ņem vērtību -2, tātad E(y) =(-2, +∞).

2. piemērs. Atrodiet funkcijas diapazonu

y = cos7x + 5cosx

Šo piemēru atrisināsim ar aplēšu metodi, kuras būtība ir novērtēt nepārtraukto funkciju no apakšas un no augšas un pierādīt, ka funkcija sasniedz aplēšu apakšējo un augšējo robežu. Šajā gadījumā funkcijas vērtību kopas sakritību ar intervālu no aplēses apakšējās robežas līdz augšējai nosaka funkcijas nepārtrauktība un citu vērtību neesamība tai.

No nevienādībām -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 iegūstam novērtējumu -6≤y?6. Ja x = p un x = 0, funkcija ņem vērtības -6 un 6, t.i. sasniedz apakšējo un augšējo robežu. Kā nepārtrauktu funkciju cos7x un cosx lineāra kombinācija, funkcija y ir nepārtraukta pa visu skaitļa asi, tāpēc pēc nepārtrauktas funkcijas īpašībām tiek ņemtas visas vērtības no -6 līdz 6 ieskaitot, un tikai tās, jo , nevienādību dēļ -6≤y?6, citas vērtības viņa nav iespējama. Sekojoši, E(y)= [-6;6].

3. piemērs. Atrodiet diapazonu E(f) funkcijas f(x)= cos2x + 2cosx.

Izmantojot dubultā leņķa kosinusa formulu, mēs pārveidojam funkciju f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 un apzīmē t= cosx. Tad f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Kopš E(cosx) =

[-1;1], tad funkcijas diapazons f(x) sakrīt ar funkcijas g vērtību kopu (t)\u003d 2t 2 + 2t - 1 segmentā [-1; 1], ko atradīsim ar grafisku metodi. Atzīmējot funkciju y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0,5) 2 - 1,5 uz intervāla [-1; 1], mēs atrodam E(f) = [-1,5; 3].

Piezīme - daudzas problēmas ar parametru tiek reducētas līdz funkcijas vērtību kopas atrašanai, galvenokārt saistītas ar vienādojuma un nevienādību atrisināmību un atrisinājumu skaitu. Piemēram, vienādojums f(x)= a ir atrisināms tad un tikai tad

aE(f) Līdzīgi, vienādojums f(x)= a ir vismaz viena sakne, kas atrodas kādā intervālā X, vai tai nav saknes šajā intervālā tad un tikai tad, ja a pieder vai nepieder funkcijas vērtību kopai f(x) uz intervālu X. Mēs arī pētām, izmantojot funkcijas vērtību kopu un nevienādības f(x)≠ bet, f(x)> a utt. It īpaši, f(x)≠ un visām pieļaujamajām x vērtībām, ja E(f)

4. piemērs. Kurām parametra a vērtībām vienādojumam (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) ir viena sakne intervālā [-4;-1].

Uzrakstīsim vienādojumu formā (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Pēdējam vienādojumam segmentā [-4;-1] ir vismaz viena sakne tad un tikai tad, ja a pieder funkcijas vērtību kopai f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) segmentā [-4;-1]. Atradīsim šo kopu, izmantojot funkcijas nepārtrauktības un monotonitātes īpašību.

Nogriežņā [-4;-1] funkcija y = xІ + 4 ir nepārtraukta, dilstoša un pozitīva, tāpēc funkcija g(x) = 1/(x 2 + 4) ir nepārtraukts un šajā segmentā palielinās, jo, dalot ar pozitīvu funkciju, funkcijas monotonitātes raksturs mainās uz pretējo. Funkcija h(x) =(x + 5) 1/2 ir nepārtraukts un palielinās savā jomā D(h) =[-5;+∞) un jo īpaši intervālā [-4;-1], kur arī tas ir pozitīvs. Pēc tam funkcija f(x)=g(x) h(x), kā divu nepārtrauktu, pieaugošu un pozitīvu funkciju reizinājums, ir arī nepārtraukts un palielinās segmentā [-4;-1], tāpēc tā vērtību kopa uz [-4;-1] ir segments [ f(-4); f(-1)] = . Tāpēc vienādojumam ir atrisinājums segmentā [-4;-1] un vienīgais (pēc nepārtrauktas monotonas funkcijas īpašības) 0,05 ≤ a ≤ 0,4

komentēt. Vienādojuma atrisināmība f(x) = a kādā intervālā X ir līdzvērtīgs parametra vērtību piederībai bet funkciju vērtību kopa f(x) uz X. Tāpēc funkcijas vērtību kopa f(x) intervālā X sakrīt ar parametru vērtību kopu bet, kuram vienādojums f(x) = a ir vismaz viena sakne intervālā X. Jo īpaši vērtību diapazons E(f) funkcijas f(x) atbilst parametru vērtību kopai bet, kuram vienādojums f(x) = a ir vismaz viena sakne.

5. piemērs. Atrodiet diapazonu E(f) funkcijas

Atrisināsim piemēru, ieviešot parametru, saskaņā ar kuru E(f) atbilst parametru vērtību kopai bet, kuram vienādojums

ir vismaz viena sakne.

Kad a=2, vienādojums ir lineārs - 4x - 5 = 0 ar koeficientu, kas nav nulle pie nezināma x, tāpēc tam ir risinājums. Attiecībā uz a≠2 vienādojums ir kvadrātisks, tāpēc tas ir atrisināms tad un tikai tad, ja tas ir diskriminants

Tā kā punkts a = 2 pieder segmentam

tad vēlamā parametru vērtību kopa bet, tātad vērtību diapazons E(f) būs viss segments.

Kā tiešu parametra ieviešanas metodes attīstību, atrodot funkcijas vērtību kopu, mēs varam apsvērt apgrieztās funkcijas metodi, kuras atrašanai ir nepieciešams atrisināt vienādojumu x. f(x)=y, ņemot vērā y kā parametru. Ja šim vienādojumam ir unikāls risinājums x=g(y), tad diapazons E(f) oriģinālā funkcija f(x) sakrīt ar definīcijas jomu D(g) apgrieztā funkcija g(y). Ja vienādojums f(x)=y ir vairāki risinājumi x = g 1 (y), x \u003d g 2 (y) utt., tad E(f) ir vienāds ar funkciju definīciju tvērumu savienību g 1 (y), g 2 (y) utt.

6. piemērs. Atrodiet diapazonu E(y) funkcijas y = 5 2/(1-3x).

No vienādojuma

atrast apgriezto funkciju x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) un tās domēnu D(x):

Tā kā vienādojumam x ir unikāls risinājums, tad

E(y) = D(x) = (0; 1) (25; +∞ ).

Ja funkcijas domēns sastāv no vairākiem intervāliem vai funkcija dažādos intervālos ir noteikta ar dažādām formulām, tad, lai atrastu funkcijas domēnu, jāatrod funkcijas vērtību kopas katrā intervālā un jāņem to savienība.

7. piemērs. Atrodiet diapazonus f(x) Un f(f(x)), kur

f(x) uz stara (-∞;1], kur tas sakrīt ar izteiksmi 4 x + 9 4 -x + 3. Apzīmē t = 4 x. Tad f(x) = t + 9/t + 3, kur 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) uz stara (-∞;1] sakrīt ar funkcijas vērtību kopu g(t) = t + 9/t + 3, uz intervāla (0;4]), ko atrodam, izmantojot atvasinājumu g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Intervālā (0;4] atvasinājums g'(t) tiek definēts un tur pazūd plkst t=3. 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) samazinās, un intervālā (3;4) tas palielinās, paliekot nepārtraukts visā intervālā (0;4), tāpēc g (3)= 9 — šīs funkcijas mazākā vērtība intervālā (0; 4], kamēr tās lielākā vērtība nepastāv, tāpēc, kad t→0 pareizā funkcija g(t)→+∞. Pēc tam, pēc nepārtrauktas funkcijas īpašībām, funkcijas vērtību kopa g(t) uz intervālu (0;4] un līdz ar to vērtību kopu f(x) uz (-∞;-1], būs stars .

Tagad, apvienojot intervālus - funkciju vērtību kopas f(f(x)), apzīmē t = f(x). Tad f(f(x)) = f(t), kur t funkcija f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 un atkal tiek ņemtas visas vērtības no 5 līdz 9 ieskaitot, t.i. diapazons E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Līdzīgi, apzīmējot z = f(f(x)), jūs varat atrast diapazonu E(f3) funkcijas f(f(f(x))) = f(z), kur 5 ≤ z ≤ 9 utt. Pārliecinies ka E(f 3) = .

Universālākā metode funkciju vērtību kopas atrašanai ir izmantot lielākās un mazākās funkcijas vērtības noteiktā intervālā.

Piemērs 8. Kurām parametra vērtībām R nevienlīdzība 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x attiecas uz visiem -1 ≤ x< 2.

Apzīmējot t = 2 x, mēs rakstām nevienlīdzību kā p ≠ t 3 - 2t 2 + t. Jo t = 2 x ir nepārtraukti pieaugoša funkcija R, tad -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R atšķiras no funkciju vērtībām f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + t pie 0,5 ≤ t< 4.

Vispirms atradīsim funkcijas vērtību kopu f(t) uz intervālu, kur tam visur ir atvasinājums f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Sekojoši, f(t) ir diferencējams un tāpēc nepārtraukts segmentā . No vienādojuma f'(t) = 0 atrast funkcijas kritiskos punktus t=1/3, t=1, no kuriem pirmais nepieder segmentam , bet otrais pieder tam. Jo f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, tad pēc diferencējamas funkcijas 0 ir mazākā un 36 ir lielākā funkcijas vērtība f(t) segmentā. Tad f(t), kā nepārtraukta funkcija segmentam tiek ņemtas visas vērtības no 0 līdz 36 ieskaitot, un vērtība 36 tiek ņemta tikai tad, ja t=4, tātad par 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка }