Nevienādību risinājums ar intervālu metodi. Kvadrātisko nevienādību risināšana ar intervālu metodi

Intervālu metode tiek uzskatīta par universālu nevienādību risināšanai. Dažreiz šo metodi sauc arī par spraugas metodi. To var izmantot gan racionālu nevienādību risināšanai ar vienu mainīgo, gan cita veida nevienādībām. Mūsu materiālā mēs centāmies pievērst uzmanību visiem problēmas aspektiem.

Kas jūs sagaida šajā sadaļā? Mēs analizēsim spraugas metodi un izskatīsim algoritmus nevienādību risināšanai, izmantojot to. Pieskaramies teorētiskie aspekti uz kuriem balstās metodes pielietojums.

Īpašu uzmanību pievēršam tēmas niansēm, kuras parasti netiek apskatītas skolas mācību programma. Piemēram, apsveriet noteikumus par zīmju ievietošanu intervālos un intervālu metodi vispārējs skats nesaistot to ar racionālu nevienlīdzību.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritms

Kurš atceras, kā skolas algebras kursā tiek ieviesta spraugu metode? Parasti viss sākas ar formas f (x) nevienādību atrisināšanu.< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >vai ≥). Šeit f(x) var būt polinoms vai polinomu attiecība. Savukārt polinomu var attēlot šādi:

lineāro binomiālu reizinājums ar koeficientu 1 mainīgajam x;
kvadrātveida trinomu reizinājums ar vadošo koeficientu 1 un to sakņu negatīvo diskriminantu.

Šeit ir daži šādas nevienlīdzības piemēri:

(x + 3) (x 2 - x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0,

(x – 5) (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

Mēs rakstām algoritmu šāda veida nevienādību risināšanai, kā norādīts piemēros, izmantojot intervāla metodi:

atrodam skaitītāja un saucēja nulles, šim nevienādības kreisajā pusē esošās izteiksmes skaitītāju un saucēju pielīdzinām nullei un atrisinām iegūtos vienādojumus;
nosaka punktus, kas atbilst atrastajām nullēm, un atzīmē tos ar domuzīmēm uz koordinātu ass;
definēt izteiksmes zīmes f(x) no katra intervāla atrisinātās nevienādības kreisās puses un ievieto tos grafikā;
uzklājiet izšķilšanos vēlamajām diagrammas sadaļām, vadoties pēc nākamais noteikums: ja nevienādībai ir zīmes< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >vai ≥ , tad ar ēnojumu atlasām apgabalus, kas atzīmēti ar “+” zīmi.

Zīmējums, ar kuru mēs strādāsim, var būt shematisks skats. Pārmērīgas detaļas var pārslogot zīmējumu un apgrūtināt lēmuma pieņemšanu. Mērogs mūs maz interesēs. Pietiks pielīmēt pareiza atrašanās vieta punktus, palielinoties to koordinātu vērtībām.

Strādājot ar stingrām nevienādībām, izmantosim punkta apzīmējumu apļa formā ar neaizpildītu (tukšu) centru. Nestingras nevienādības gadījumā punkti, kas atbilst saucēja nullēm, tiks parādīti kā tukši, bet visi pārējie kā parasti melni.

Atzīmētie punkti sadala koordinātu līniju vairākos ciparu intervālos. Tas ļauj iegūt skaitļu kopas ģeometrisku attēlojumu, kas faktiski ir dotās nevienādības risinājums.

Gap metodes zinātniskais pamatojums

Intervālu metodes pamatā esošā pieeja ir balstīta uz šādu nepārtrauktas funkcijas īpašību: funkcija saglabā nemainīgu zīmi intervālā (a, b), kurā šī funkcija ir nepārtraukta, un nepazūd. Tas pats īpašums ir raksturīgs skaitļu stari(−∞ , a) un (a , +∞).

Iepriekšminēto funkcijas īpašību apstiprina Bolcāno-Košī teorēma, kas sniegta daudzās rokasgrāmatās par sagatavošanos iestājpārbaudījumiem.

Zīmes noturību intervālos var pamatot arī, pamatojoties uz skaitlisko nevienādību īpašībām. Piemēram, ņemam nevienādību x - 5 x + 1 > 0 . Ja mēs atrodam skaitītāja un saucēja nulles un ievietojam tās skaitļu rindā, mēs iegūstam atstarpju sēriju: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) un (5 , + ∞) .

Ņemsim jebkuru no intervāliem un parādīsim uz tā, ka visā intervālā izteiksmei no nevienādības kreisās puses būs nemainīga zīme. Lai tas ir intervāls (− ∞ , − 1) . No šī intervāla ņemsim jebkuru skaitli t. Tas apmierinās nosacījumus t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Izmantojot gan iegūtās nevienādības, gan skaitlisko nevienādību īpašību, varam pieņemt, ka t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t uz intervālu (− ∞ , − 1) .

Izmantojot negatīvu skaitļu dalīšanas noteikumu, varam apgalvot, ka izteiksmes vērtība t - 5 t + 1 būs pozitīva. Tas nozīmē, ka izteiksmes vērtība x - 5 x + 1 būs pozitīva jebkurai vērtībai x no spraugas (− ∞ , − 1) . Tas viss ļauj mums apgalvot, ka intervālā, kas ņemts kā piemērs, izteiksmei ir nemainīga zīme. Mūsu gadījumā šī ir “+” zīme.

Skaitītāja un saucēja nulles atrašana

Nulles atrašanas algoritms ir vienkāršs: izteiksmes no skaitītāja un saucēja pielīdzinām nullei un atrisinām iegūtos vienādojumus. Ja jums ir kādas grūtības, varat atsaukties uz tēmu "Vienādojumu risināšana, izmantojot faktoringu". Šajā sadaļā mēs aprobežojamies ar piemēru.

Apsveriet daļu x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Lai atrastu skaitītāja un saucēja nulles, mēs tās pielīdzinām nullei, lai iegūtu un atrisinātu vienādojumus: x (x − 0, 6) = 0 un x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Pirmajā gadījumā mēs varam pāriet uz divu vienādojumu kopu x = 0 un x − 0 , 6 = 0 , kas dod mums divas saknes 0 un 0 , 6 . Tās ir skaitītāja nulles.

Otrais vienādojums ir līdzvērtīgs trīs vienādojumu kopai x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Mēs veicam virkni transformāciju un iegūstam x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. Pirmā vienādojuma sakne ir 0, otrajam vienādojumam nav sakņu, jo tam ir negatīvs diskriminants, trešā vienādojuma sakne ir 5. Tās ir saucēja nulles.

0 šajā gadījumā ir gan skaitītāja nulle, gan saucēja nulle.

Parasti, ja nevienlīdzības kreisajā pusē ir daļa, kas ne vienmēr ir racionāla, skaitītājs un saucējs arī tiek pielīdzināti nullei, lai iegūtu vienādojumus. Vienādojumu risināšana ļauj atrast skaitītāja un saucēja nulles.

Intervāla zīmes noteikšana ir vienkārša. Lai to izdarītu, jūs varat atrast izteiksmes vērtību no nevienādības kreisās puses jebkuram patvaļīgi izvēlētam punktam no dotā intervāla. Rezultātā iegūtā izteiksmes vērtības zīme patvaļīgi izvēlētā intervāla punktā sakritīs ar visa intervāla zīmi.

Apskatīsim šo apgalvojumu ar piemēru.

Ņemiet nevienādību x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . Izteiksmei, kas atrodas nevienādības kreisajā pusē, skaitītājā nav nulles. Nulles saucējs būs skaitlis - 3 . Mēs iegūstam divas atstarpes uz skaitļu līnijas (− ∞ , − 3) un (- 3 , + ∞) .

Lai noteiktu intervālu zīmes, mēs aprēķinām izteiksmes vērtību x 2 - x + 4 x + 3 punktiem, kas patvaļīgi ņemti katrā no intervāliem.

No pirmā intervāla (− ∞ , − 3) ņem - 4 . Plkst x = -4 mums ir (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Mēs saņēmām negatīva nozīme, tāpēc viss intervāls būs ar zīmi "-".

Par span (− 3 , + ∞) veiksim aprēķinus ar punktu, kuram ir nulles koordināte. Ja x = 0, mums ir 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Mēs saņēmām pozitīvu vērtību, kas nozīmē, ka visam intervālam būs “+” zīme.

Varat izmantot citu veidu, lai definētu zīmes. Lai to izdarītu, mēs varam atrast zīmi vienā no intervāliem un saglabāt to vai mainīt to, izejot cauri nullei. Lai visu izdarītu pareizi, ir jāievēro noteikums: izejot cauri saucēja nullei, bet ne skaitītājam, vai skaitītājam, bet ne saucējam, mēs varam mainīt zīmi uz pretējo, ja izteiksme, kas dod šo nulli, ir nepāra, un mēs nevaram mainīt zīmi, ja pakāpe ir pāra. Ja mēs iegūstam punktu, kas ir gan skaitītāja, gan saucēja nulle, tad zīmi var mainīt uz pretējo tikai tad, ja šo nulli dodošo izteiksmju pakāpju summa ir nepāra.

Ja atceramies nevienlīdzību, ko mēs apsvērām šī materiāla pirmās rindkopas sākumā, tad galējā labajā intervālā mēs varam ievietot zīmi “+”.

Tagad pievērsīsimies piemēriem.

Ņemiet nevienādību (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 un atrisiniet to, izmantojot intervāla metodi. Lai to izdarītu, mums jāatrod skaitītāja un saucēja nulles un jāatzīmē tās uz koordinātu līnijas. Skaitītāja nulles būs punkti 2 , 3 , 4 , punkta saucējs 1 , 3 , 4 . Mēs tos atzīmējam uz koordinātu ass ar domuzīmēm.

Saucēja nulles ir atzīmētas ar tukšiem punktiem.

Tā kā mums ir darīšana ar nevienlīdzību, kas nav strikta, mēs aizstājam atlikušās domuzīmes ar parastiem punktiem.

Tagad novietosim punktus uz intervāliem. Vislabākais laidums (4, +∞) būs + zīme.

Pārejot no labās puses uz kreiso, mēs atzīmēsim atlikušās spraugas. Izejam caur punktu ar koordinātu 4 . Tā ir gan skaitītāja, gan saucēja nulle. Kopumā šīs nulles dod izteiksmes (x – 4) 2 un x-4. Mēs pievienojam to pilnvaras 2 + 1 = 3 un iegūstam nepāra skaitlis. Tas nozīmē, ka zīme pārejā šajā gadījumā mainās uz pretējo. Intervālā (3, 4) būs mīnusa zīme.

Mēs pārejam uz intervālu (2, 3) caur punktu ar koordinātu 3. Tas ir arī nulle gan skaitītājam, gan saucējam. Mēs to ieguvām, pateicoties divām izteiksmēm (x − 3) 3 un (x – 3) 5, kuras pakāpju summa ir 3 + 5 = 8 . Pāra skaitļa iegūšana ļauj mums atstāt intervāla zīmi nemainīgu.

Punkts ar koordinātu 2 ir skaitītāja nulle. Izteiksmes pakāpe x - 2 ir vienāda ar 1 (nepāra). Tas nozīmē, ka, ejot cauri šim punktam, zīme ir jāapgriež otrādi.

Mums paliek pēdējais intervāls (− ∞ , 1) . Punkts ar koordinātu 1 ir nulles saucējs. Tas tika iegūts no izteiksmes (x – 1) 4, ar vienmērīgu grādu 4 . Tāpēc zīme paliek nemainīga. Galīgais zīmējums izskatīsies šādi:

Intervālu metodes izmantošana ir īpaši efektīva gadījumos, kad izteiksmes vērtības aprēķināšana ir saistīta ar lielu darba apjomu. Piemērs varētu būt nepieciešamība novērtēt izteiksmes vērtību

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

jebkurā intervāla punktā 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .

Tagad iegūtās zināšanas un prasmes pielietosim praksē.

1. piemērs

Atrisiniet nevienādību (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 .

Lēmums

Nevienlīdzības risināšanai ieteicams izmantot intervālu metodi. Atrodiet skaitītāja un saucēja nulles. Skaitītāja nulles ir 1 un -5, saucēja nulles ir 7 un 1. Atzīmēsim tos uz skaitļu līnijas. Mums ir darīšana ar nestingru nevienādību, tāpēc saucēja nulles atzīmēsim ar tukšiem punktiem, skaitītāja nulli - 5 atzīmēsim ar parastu aizpildītu punktu.

Mēs noliekam atstarpju zīmes, izmantojot zīmes maiņas noteikumus, izejot cauri nullei. Sāksim ar galējo labo intervālu, kuram mēs aprēķinām izteiksmes vērtību no nevienādības kreisās puses punktā, kas patvaļīgi ņemts no intervāla. Mēs iegūstam zīmi "+". Izejam secīgi cauri visiem punktiem uz koordinātu līnijas, novietojot zīmes un iegūstam:

Mēs strādājam ar nevienlīdzību ar zīmi ≤ . Tas nozīmē, ka ar zīmi “-” atzīmētās spraugas ir jāatzīmē ar ēnojumu.

Atbilde: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Racionālo nevienlīdzību risinājums vairumā gadījumu prasa to iepriekšēju pārveidošanu pareizais veids. Tikai tad kļūst iespējams izmantot intervāla metodi. Algoritmi šādu pārveidojumu veikšanai ir aplūkoti materiālā "Racionālo nevienlīdzību risinājums".

Apsveriet piemēru kvadrātveida trinomu pārvēršanai nevienādībās.

2. piemērs

Atrodiet risinājumu nevienādībai (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 .

Lēmums

Redzēsim, vai kvadrātveida trinomu diskriminanti nevienlīdzības ierakstā patiešām ir negatīvi. Tas ļaus mums noteikt, vai šīs nevienlīdzības forma ļauj risinājumam piemērot intervāla metodi.

Aprēķiniet trinoma diskriminantu x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0 . Tagad aprēķināsim diskriminantu trinomam x 2 + 2 x - 8: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Kā redzat, nevienlīdzībai ir nepieciešama iepriekšēja transformācija. Lai to izdarītu, mēs attēlojam trinomu x 2 + 2 x − 8 kā (x + 4) (x - 2), un pēc tam pielietojiet intervāla metodi, lai atrisinātu nevienādību (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .

Atbilde: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Vispārinātās spraugas metode tiek izmantota, lai atrisinātu formas f (x) nevienādības.< 0 (≤ , >, ≥) , kur f (x) ir patvaļīga izteiksme ar vienu mainīgo x.

Visas darbības tiek veiktas saskaņā ar noteiktu algoritmu. Šajā gadījumā nevienādību risināšanas algoritms ar vispārināto intervālu metodi nedaudz atšķirsies no iepriekš analizētā:

atrast funkcijas f domēnu un šīs funkcijas nulles;
atzīmēt robežpunktus uz koordinātu ass;
skaitļu taisnē attēlo funkcijas nulles;
noteikt intervālu pazīmes;
uzliekam izšķilšanos;
pieraksti atbildi.

Uz skaitļu līnijas ir jāatzīmē arī atsevišķi definīcijas domēna punkti. Piemēram, funkcijas domēns ir kopa (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Tas nozīmē, ka mums ir jāatzīmē punkti ar koordinātām − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 un 10 . punktus − 5 un 7 ir parādīti kā tukši, pārējos var izcelt ar krāsainu zīmuli, lai tos atšķirtu no funkcijas nullēm.

Funkcijas nulles nevienādību gadījumā tiek apzīmētas ar parastiem (ēnotiem) punktiem, bet stingrām nevienādībām – ar tukšiem punktiem. Ja nulles sakrīt ar definīcijas apgabala robežpunktiem vai atsevišķiem punktiem, tad tās var pārkrāsot melnā krāsā, padarot tās tukšas vai aizpildītas atkarībā no nevienlīdzības veida.

Atbildes ieraksts ir numuru komplekts kas iekļauj:

izšķīlušās spraugas;
atdaliet domēna punktus ar plus zīmi, ja ir darīšana ar nevienādību, kuras zīme ir > vai ≥ vai ar mīnus zīmi, ja nevienādībā ir zīmes< или ≤ .

Tagad kļuva skaidrs, ka algoritms, ko mēs prezentējām pašā tēmas sākumā, ir īpašs algoritma gadījums vispārinātās intervālu metodes pielietošanai.

Apsveriet vispārinātās intervālu metodes piemērošanas piemēru.

3. piemērs

Atrisiniet nevienādību x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Lēmums

Mēs ieviešam tādu funkciju f, ka f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Atrodiet funkcijas domēnu f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Tagad atradīsim funkcijas nulles. Lai to izdarītu, mēs atrisināsim iracionālo vienādojumu:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Mēs iegūstam sakni x = 12 .

Lai norādītu robežpunktus uz koordinātu ass, mēs izmantojam oranža krāsa. Punkti - 6, 4 tiks aizpildīti, un 7 paliks tukši. Mēs iegūstam:

Funkcijas nulli atzīmējam ar tukšu melnu punktu, jo strādājam ar stingru nevienlīdzību.

Mēs nosakām zīmes atsevišķos intervālos. Lai to izdarītu, paņemiet vienu punktu no katra intervāla, piemēram, 16 , 8 , 6 un − 8 , un aprēķiniet tajos esošās funkcijas vērtību f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56-9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Novietojam tikko definētās zīmes un uz spraugām uzliekam izšķilšanos ar mīnusa zīmi:

Atbilde būs divu intervālu savienība ar zīmi "-": (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Atbildot uz to, esam iekļāvuši punktu ar koordinātu - 6 . Tā nav funkcijas nulle, kuru, risinot stingru nevienādību, atbildē neiekļautu, bet definīcijas apgabala robežpunkts, kas ietilpst definīcijas jomā. Funkcijas vērtība šajā punktā ir negatīva, kas nozīmē, ka tā apmierina nevienlīdzību.

Atbildē neiekļāvām 4. punktu, tāpat kā neiekļāvām visu intervālu [4, 7) . Šajā brīdī, tāpat kā visā norādītajā intervālā, funkcijas vērtība ir pozitīva, kas neapmierina risināmo nevienlīdzību.

Pierakstīsim vēlreiz skaidrākai izpratnei: krāsaini punkti atbildē ir jāiekļauj šādos gadījumos:

šie punkti ir daļa no iezīmētas atstarpes,
šie punkti ir atsevišķi funkcijas apgabala punkti, kuru funkcijas vērtības apmierina nevienlīdzību.

Atbilde: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Atstarpes metode ir vienkāršs veids, kā atrisināt daļējas racionālās nevienādības. Šis ir nevienādību nosaukums, kas satur racionālas (vai daļēja-racionālas) izteiksmes, kas ir atkarīgas no mainīgā.

1. Apsveriet, piemēram, šādu nevienlīdzību

Intervālu metode ļauj to atrisināt pāris minūtēs.

Šīs nevienlīdzības kreisajā pusē ir daļēja racionāla funkcija. Racionāls, jo nesatur ne saknes, ne sinusus, ne logaritmus – tikai racionālas izteiksmes. Labajā pusē ir nulle.

Intervālu metode ir balstīta uz šādu daļējas racionālas funkcijas īpašību.

Daļēja racionāla funkcija var mainīt zīmi tikai tajos punktos, kur tā ir vienāda ar nulli vai neeksistē.

Atgādiniet, kā faktorizēt kvadrātveida trinomāls, tas ir, formas izteiksme.

Kur un ir saknes kvadrātvienādojums.

Mēs uzzīmējam asi un sakārtojam punktus, kuros pazūd skaitītājs un saucējs.

Saucēja un nulles ir caurdurti punkti, jo šajos punktos funkcija nevienādības kreisajā pusē nav definēta (nevar dalīt ar nulli). Skaitītāja un - nulles ir ieēnotas, jo nevienlīdzība nav stingra. Par un mūsu nevienlīdzība ir apmierināta, jo abas tās daļas ir vienādas ar nulli.

Šie punkti sadala asi intervālos.

Noteiksim daļskaitļu-racionālās funkcijas zīmi mūsu nevienlīdzības kreisajā pusē katrā no šiem intervāliem. Mēs atceramies, ka daļēja racionāla funkcija var mainīt zīmi tikai tajos punktos, kur tā ir vienāda ar nulli vai neeksistē. Tas nozīmē, ka katrā no intervāliem starp punktiem, kur skaitītājs vai saucējs pazūd, izteiksmes zīme nevienlīdzības kreisajā pusē būs nemainīga - vai nu "plus" vai "mīnus".

Un tāpēc, lai noteiktu funkcijas zīmi katrā šādā intervālā, mēs ņemam jebkuru punktu, kas pieder šim intervālam. Tādu, kas mums der.
. Ņemiet, piemēram, un pārbaudiet izteiksmes zīmi nevienādības kreisajā pusē. Katra no "iekavām" ir negatīva. Kreisajā pusē ir zīme.

Nākamais intervāls: . Pārbaudīsim zīmi . Mēs iegūstam, ka kreisā puse ir mainījusi zīmi uz .

Ņemsim. Ja izteiksme ir pozitīva, tātad tā ir pozitīva visā intervālā no līdz .

Attiecībā uz , nevienlīdzības kreisā puse ir negatīva.

Un visbeidzot class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Mēs esam noskaidrojuši, kādos intervālos izteiksme ir pozitīva. Atliek uzrakstīt atbildi:

Atbilde:.

Lūdzu, ņemiet vērā: zīmes uz intervāliem mainās. Tas notika tāpēc, izejot cauri katram punktam, tieši viens no lineārajiem faktoriem mainīja zīmi, bet pārējie saglabāja to nemainīgu.

Mēs redzam, ka intervāla metode ir ļoti vienkārša. Lai atrisinātu daļēju racionālu nevienādību ar intervālu metodi, mēs to ievietojam formā:

Or class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, vai vai .

(kreisajā pusē - daļēja-racionāla funkcija, labajā pusē - nulle).

Tad - atzīmējam uz skaitļu līnijas punktus, kuros skaitītājs vai saucējs pazūd.
Šie punkti sadala visu skaitļu līniju intervālos, uz kuriem katra daļskaitļa-racionālā funkcija saglabā savu zīmi.
Atliek tikai noskaidrot tā zīmi katrā intervālā.
Mēs to darām, pārbaudot izteiksmes zīmi jebkurā punktā noteiktā intervālā. Pēc tam mēs pierakstām atbildi. Tas ir viss.

Bet rodas jautājums: vai zīmes vienmēr mainās? Nē ne vienmēr! Jāuzmanās, lai zīmes netiktu izvietotas mehāniski un nepārdomāti.

2. Apskatīsim vēl vienu nevienlīdzību.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

Mēs atkal novietojam punktus uz ass. Punkti un ir pārdurti, jo tie ir saucēja nulles. Punkts ir arī caurdurts, jo nevienlīdzība ir stingra.

Ja skaitītājs ir pozitīvs, abi saucēja faktori ir negatīvi. To ir viegli pārbaudīt, ņemot jebkuru skaitli no noteiktā intervāla, piemēram, . Kreisajā pusē ir zīme:

Kad skaitītājs ir pozitīvs; pirmais faktors saucējā ir pozitīvs, otrais faktors ir negatīvs. Kreisajā pusē ir zīme:

Kad situācija ir tāda pati! Skaitītājs ir pozitīvs, pirmais faktors saucējā ir pozitīvs, otrais ir negatīvs. Kreisajā pusē ir zīme:

Visbeidzot, ar class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Atbilde:.

Kāpēc tika pārtraukta varoņu maiņa? Jo, ejot cauri punktam, par to "atbild" reizinātājs zīmi nemainīja. Līdz ar to arī visa mūsu nevienlīdzības kreisā puse nemainīja zīmi.

Secinājums: ja lineārais koeficients ir pāra pakāpē (piemēram, kvadrātā), tad, ejot caur punktu, izteiksmes zīme kreisajā pusē nemainās. Nepāra pakāpes gadījumā zīme, protams, mainās.

3. Apsveriet vairāk grūts gadījums. Tas atšķiras no iepriekšējās ar to, ka nevienlīdzība nav stingra:

Kreisā puse ir tāda pati kā iepriekšējā uzdevumā. Zīmju attēls būs tāds pats:

Varbūt atbilde būs tāda pati? Nē! Risinājums ir pievienots Tas ir tāpēc, ka gan kreisajā, gan labajā nevienādības daļa ir vienāda ar nulli, tāpēc šis punkts ir risinājums.

Atbilde:.

Problēmā par matemātikas eksāmenu ar šo situāciju bieži nākas saskarties. Šeit pretendenti iekrīt slazdā un zaudē punktus. Esi uzmanīgs!

4. Ko darīt, ja skaitītāju vai saucēju nevar iekļaut lineārajos faktoros? Apsveriet šo nevienlīdzību:

Kvadrātveida trinomu nevar faktorizēt: diskriminants ir negatīvs, nav sakņu. Bet šis ir labs! Tas nozīmē, ka izteiksmes zīme visiem ir vienāda un konkrēti tā ir pozitīva. Vairāk par to varat lasīt rakstā par rekvizītiem. kvadrātiskā funkcija.

Un tagad mēs varam sadalīt abas mūsu nevienlīdzības puses ar vērtību, kas ir pozitīva visiem. Mēs nonākam pie līdzvērtīgas nevienlīdzības:

Kas ir viegli atrisināms ar intervāla metodi.

Pievērsiet uzmanību – abas nevienlīdzības puses sadalījām ar vērtību, par kuru droši zinājām, ka tā ir pozitīva. Protams, vispārīgā gadījumā nevajadzētu nevienlīdzību reizināt vai dalīt ar mainīgs, kura zīme nav zināma.

5 . Apsveriet citu nevienlīdzību, kas šķiet diezgan vienkārša:

Tāpēc es vēlos to reizināt ar . Bet mēs jau esam gudri, un mēs to nedarīsim. Galu galā tas var būt gan pozitīvs, gan negatīvs. Un mēs zinām, ka, ja abas nevienlīdzības daļas reizina ar negatīvu vērtību, nevienlīdzības zīme mainās.

Mēs rīkosimies savādāk - savāksim visu vienā daļā un savedīsim līdz kopsaucējam. Labajā pusē paliks nulle:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Un pēc tam - piemērojams intervāla metode.

1. Apsveriet, piemēram, šādu nevienlīdzību

Intervālu metode ļauj to atrisināt pāris minūtēs.

Šīs nevienlīdzības kreisajā pusē ir daļēja racionāla funkcija. Racionāls, jo nesatur ne saknes, ne sinusus, ne logaritmus – tikai racionālas izteiksmes. Labajā pusē ir nulle.

Intervālu metode ir balstīta uz šādu daļējas racionālas funkcijas īpašību.

Daļēja racionāla funkcija var mainīt zīmi tikai tajos punktos, kur tā ir vienāda ar nulli vai neeksistē.

Atgādiniet, kā tiek faktorēts kvadrātveida trinomāls, tas ir, formas izteiksme.

Kur un ir kvadrātvienādojuma saknes.

Mēs uzzīmējam asi un sakārtojam punktus, kuros pazūd skaitītājs un saucējs.

Šie punkti sadala asi intervālos.

Nākamais intervāls: . Pārbaudīsim zīmi . Mēs iegūstam, ka kreisā puse ir mainījusi zīmi uz .

Ņemsim. Ja izteiksme ir pozitīva, tātad tā ir pozitīva visā intervālā no līdz .

Attiecībā uz , nevienlīdzības kreisā puse ir negatīva.

Mēs esam noskaidrojuši, kādos intervālos izteiksme ir pozitīva. Atliek uzrakstīt atbildi:

Atbilde:.

Mēs redzam, ka intervāla metode ir ļoti vienkārša. Lai atrisinātu daļēju racionālu nevienādību ar intervālu metodi, mēs to ievietojam formā:

Or class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, vai vai .

(kreisajā pusē - daļēja-racionāla funkcija, labajā pusē - nulle).

Bet rodas jautājums: vai zīmes vienmēr mainās? Nē ne vienmēr! Jāuzmanās, lai zīmes netiktu izvietotas mehāniski un nepārdomāti.

2. Apskatīsim vēl vienu nevienlīdzību.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

Mēs atkal novietojam punktus uz ass. Punkti un ir pārdurti, jo tie ir saucēja nulles. Punkts ir arī caurdurts, jo nevienlīdzība ir stingra.

Ja skaitītājs ir pozitīvs, abi saucēja faktori ir negatīvi. To ir viegli pārbaudīt, ņemot jebkuru skaitli no noteiktā intervāla, piemēram, . Kreisajā pusē ir zīme:

Kad skaitītājs ir pozitīvs; pirmais faktors saucējā ir pozitīvs, otrais faktors ir negatīvs. Kreisajā pusē ir zīme:

Kad situācija ir tāda pati! Skaitītājs ir pozitīvs, pirmais faktors saucējā ir pozitīvs, otrais ir negatīvs. Kreisajā pusē ir zīme:

Visbeidzot, ar class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Atbilde:.

Kāpēc tika pārtraukta varoņu maiņa? Jo, ejot cauri punktam, par to "atbild" reizinātājs zīmi nemainīja. Līdz ar to arī visa mūsu nevienlīdzības kreisā puse nemainīja zīmi.

3. Apskatīsim sarežģītāku gadījumu. Tas atšķiras no iepriekšējās ar to, ka nevienlīdzība nav stingra:

Kreisā puse ir tāda pati kā iepriekšējā uzdevumā. Zīmju attēls būs tāds pats:

Varbūt atbilde būs tāda pati? Nē! Risinājums ir pievienots Tas ir tāpēc, ka gan kreisajā, gan labajā nevienādības daļa ir vienāda ar nulli, tāpēc šis punkts ir risinājums.

Atbilde:.

Problēmā par matemātikas eksāmenu ar šo situāciju bieži nākas saskarties. Šeit pretendenti iekrīt slazdā un zaudē punktus. Esi uzmanīgs!

4. Ko darīt, ja skaitītāju vai saucēju nevar iekļaut lineārajos faktoros? Apsveriet šo nevienlīdzību:

Un tagad mēs varam sadalīt abas mūsu nevienlīdzības puses ar vērtību, kas ir pozitīva visiem. Mēs nonākam pie līdzvērtīgas nevienlīdzības:

Kas ir viegli atrisināms ar intervāla metodi.

Pievērsiet uzmanību – abas nevienlīdzības puses sadalījām ar vērtību, par kuru droši zinājām, ka tā ir pozitīva. Protams, vispārīgā gadījumā nevajadzētu reizināt vai dalīt nevienādību ar mainīgo, kura zīme nav zināma.

5 . Apsveriet citu nevienlīdzību, kas šķiet diezgan vienkārša:

Mēs rīkosimies savādāk - savāksim visu vienā daļā un savedīsim līdz kopsaucējam. Labajā pusē paliks nulle:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Un pēc tam - piemērojams intervāla metode.

Kā atrisināt nevienādības, izmantojot intervālu metodi (algoritms ar piemēriem)

Piemērs . (uzdevums no OGE) Atrisiniet nevienādību ar intervāla metodi \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Lēmums:

Atbilde : \((7;7+\sqrt(11))\)

Piemērs . Atrisiniet nevienādību ar intervāla metodi \(≥0\)
Lēmums:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Šeit no pirmā acu uzmetiena viss šķiet normāli, un nevienlīdzība sākotnēji tiek samazināta līdz vēlamajai formai. Bet tas tā nav - galu galā skaitītāja pirmajā un trešajā iekavās x ir ar mīnusa zīmi. Mēs pārveidojam iekavas, ņemot vērā faktu, ka ceturtā pakāpe ir pāra (tas ir, tas noņems mīnusa zīmi), bet trešais ir nepāra (tas ir, tas to nenoņems). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Kā šis. Tagad mēs atgriežam iekavas “vietā”, kas jau ir pārveidotas.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Tagad visas iekavas izskatās kā nākas (vispirms nāk neparakstītais uzvalks, un tikai tad numurs). Bet pirms skaitītāja bija mīnuss. Mēs to noņemam, reizinot nevienādību ar \(-1\), neaizmirstot apgriezt salīdzināšanas zīmi
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Gatavs. Tagad nevienlīdzība izskatās pareizi. Varat izmantot intervāla metodi.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Uzliksim punktus uz ass, zīmes un pārkrāsosim nepieciešamās spraugas.
		Intervālā no \(4\) līdz \(6\) zīme nav jāmaina, jo iekava \((x-6)\) ir vienmērīgā pakāpē (skat. algoritma 4. punktu) . Karogs būs atgādinājums, ka sešinieks ir arī risinājums nevienlīdzībai. Pierakstīsim atbildi.

Atbilde : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\left\(6\right\)\)

Piemērs.(Uzdevums no OGE) Atrisiniet nevienādību, izmantojot intervāla metodi \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Lēmums:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Kreisais un labais ir vienādi - tas noteikti nav nejaušs. Pirmā vēlme ir dalīt ar \(-x^2-64\), taču tā ir kļūda, jo pastāv iespēja pazaudēt sakni. Tā vietā pārvietojiet \(64(-x^2-64)\) uz kreisā puse
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Izņemiet mīnusu pirmajā iekavā un faktorējiet otro
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Ņemiet vērā, ka \(x^2\) ir nulle vai lielāka par nulli. Tas nozīmē, ka \(x^2+64\) ir unikāli pozitīvs jebkurai x vērtībai, tas ir, šī izteiksme nekādā veidā neietekmē kreisās puses zīmi. Tāpēc ar šo izteiksmi varam droši dalīt abas nevienlīdzības daļas. Sadalīsim arī nevienādību ar \(-1\), lai atbrīvotos no mīnusa.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Tagad jūs varat izmantot intervāla metodi
\(x=8;\) \(x=-8\)		Pierakstīsim atbildi