Kvadrātveida grafiku risinājums. Kā aprēķināt minimālo vai maksimālo summu, izmantojot matemātikas operācijas

Ikviens zina, kas ir parabola. Bet kā to pareizi izmantot, kompetenti risinot dažādas praktiskas problēmas, mēs sapratīsim tālāk.

Pirmkārt, apzīmēsim pamatjēdzienus, ko algebra un ģeometrija piešķir šim terminam. Apsveriet visu iespējamie veidišī diagramma.

Mēs apgūstam visas šīs funkcijas galvenās īpašības. Izpratīsim līknes (ģeometrijas) konstruēšanas pamatus. Uzzināsim, kā atrast augšējo, citas šāda veida diagrammas pamatvērtības.

Mēs noskaidrosim: kā pareizi tiek izveidota vēlamā līkne pēc vienādojuma, kam jāpievērš uzmanība. Apskatīsim galveno praktiska izmantošanašī unikālā vērtība cilvēka dzīvē.

Kas ir parabola un kā tā izskatās

Algebra: šis termins attiecas uz grafiku kvadrātiskā funkcija.

Ģeometrija: šī ir otrās kārtas līkne, kurai ir vairākas īpašas iezīmes:

Kanoniskais parabolas vienādojums

Attēlā parādīta taisnstūra koordinātu sistēma (XOY), ekstrēma, funkcijas virziens, kas zīmē zarus pa abscisu asi.

Kanoniskais vienādojums ir:

y 2 \u003d 2 * p * x,

kur koeficients p ir parabolas (AF) fokusa parametrs.

Algebrā tas tiek rakstīts savādāk:

y = a x 2 + b x + c (atpazīstams modelis: y = x 2).

Kvadrātfunkcijas īpašības un grafiks

Funkcijai ir simetrijas ass un centrs (ekstrēmums). Definīcijas domēns ir visas x ass vērtības.

Funkcijas vērtību diapazons - (-∞, M) vai (M, +∞) ir atkarīgs no līknes zaru virziena. Parametrs M šeit nozīmē funkcijas vērtību rindas augšpusē.

Kā noteikt, kur ir vērsti parabolas zari

Lai pēc izteiksmes atrastu šāda veida līknes virzienu, pirmā parametra priekšā jānorāda zīme algebriskā izteiksme. Ja a ˃ 0, tad tie ir vērsti uz augšu. Pretējā gadījumā uz leju.

Kā atrast parabolas virsotni, izmantojot formulu

Ekstrēma atrašana ir galvenais solis daudzu praktisku problēmu risināšanā. Protams, jūs varat atvērt īpašu tiešsaistes kalkulatori bet labāk to izdarīt pašam.

Kā to definēt? Ir īpaša formula. Ja b nav vienāds ar 0, mums ir jāmeklē šī punkta koordinātas.

Formulas topu atrašanai:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Piemērs.

Ir funkcija y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Atradīsim šīs funkcijas virsotnes.

Šādai līnijai:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Mēs iegūstam virsotnes koordinātas (-2, -41).

Parabolas nobīde

Klasiskais gadījums ir, kad kvadrātfunkcijā y = a x 2 + b x + c otrais un trešais parametrs ir 0, un = 1 - virsotne atrodas punktā (0; 0).

Kustība pa abscisu vai ordinātu asīm ir saistīta ar attiecīgi parametru b un c izmaiņām. Līnijas nobīde plaknē tiks veikta tieši ar vienību skaitu, kas ir vienāds ar parametra vērtību.

Piemērs.

Mums ir: b = 2, c = 3.

Tas nozīmē, ka klasiskais līknes skats nobīdīsies par 2 vienībām pa abscisu asi un par 3 pa ordinātu asi.

Kā izveidot parabolu, izmantojot kvadrātvienādojumu

Skolēniem ir svarīgi iemācīties pareizi uzzīmēt parabolu atbilstoši dotajiem parametriem.

Analizējot izteiksmes un vienādojumus, varat redzēt:

Vēlamās taisnes krustpunktam ar ordinātu vektoru būs vērtība, kas vienāda ar c.
Visi grafika punkti (gar x asi) būs simetriski attiecībā pret funkcijas galveno galējību.

Turklāt krustojumus ar OX var atrast, zinot šādas funkcijas diskriminantu (D):

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Lai to izdarītu, izteiksme ir jāpielīdzina nullei.

Parabolas sakņu klātbūtne ir atkarīga no rezultāta:

D ˃ 0, tad x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, tad x 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0, tad nav krustošanās punktu ar vektoru OX.

Mēs iegūstam parabolas konstruēšanas algoritmu:

noteikt zaru virzienu;
atrast virsotnes koordinātas;
atrast krustpunktu ar y asi;
atrodiet krustojumu ar x asi.

1. piemērs

Dota funkcija y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Ir nepieciešams izveidot parabolu. Mēs rīkojamies pēc algoritma:

a \u003d 1, tāpēc zari ir vērsti uz augšu;
galējās koordinātas: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
krustojas ar y asi pie vērtības y = 4;
atrodi diskriminantu: D = 25 - 16 = 9;
meklē saknes

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (desmit).

2. piemērs

Funkcijai y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 jums ir jāveido parabola. Mēs rīkojamies saskaņā ar iepriekš minēto algoritmu:

a \u003d 3, tāpēc zari ir vērsti uz augšu;
galējās koordinātas: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
ar y asi krustosies ar vērtību y \u003d -1;
atrodiet diskriminantu: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Tātad saknes:

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

No iegūtajiem punktiem var uzbūvēt parabolu.

Virziens, ekscentriskums, parabolas fokuss

Pamatojoties uz kanonisko vienādojumu, fokusam F ir koordinātas (p/2, 0).

Taisnā līnija AB ir virziens (noteikta garuma parabolas akords). Viņas vienādojums ir x = -p/2.

Ekscentriskums (konstante) = 1.

Secinājums

Mēs izskatījām tēmu, kurā studenti mācās vidusskola. Tagad, aplūkojot parabolas kvadrātfunkciju, jūs zināt, kā atrast tās virsotni, kurā virzienā tiks virzīti zari, vai ir nobīde gar asīm, un, izmantojot konstruēšanas algoritmu, varat uzzīmēt tās grafiku.