Sarežģītu nevienlīdzību risinājums tiešsaistē. Daži punkti par to, kā tiek atrisinātas nevienlīdzības

Pirmkārt, daži dziesmu teksti, lai izjustu problēmu, ko atrisina intervāla metode. Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāda nevienlīdzība:

(x – 5) (x + 3) > 0

Kādas ir iespējas? Pirmā lieta, kas nāk prātā lielākajai daļai skolēnu, ir noteikumi "plus reizes plus rada plus" un "mīnus reizes mīnus padara plusu". Tāpēc pietiek aplūkot gadījumu, kad abas iekavas ir pozitīvas: x − 5 > 0 un x + 3 > 0. Tad arī aplūkojam gadījumu, kad abas iekavas ir negatīvas: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Progresīvāki studenti atcerēsies (iespējams), ka kreisajā pusē ir kvadrātfunkcija, kuras grafiks ir parabola. Turklāt šī parabola krusto OX asi punktos x = 5 un x = −3. Lai turpinātu darbu, jums ir jāatver kronšteini. Mums ir:

x 2 - 2x - 15 > 0

Tagad ir skaidrs, ka parabolas zari ir vērsti uz augšu, jo koeficients a = 1 > 0. Mēģināsim uzzīmēt šīs parabolas diagrammu:

Funkcija ir lielāka par nulli, ja tā iet virs OX ass. Mūsu gadījumā tie ir intervāli (−∞ −3) un (5; +∞) - šī ir atbilde.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka attēlā redzams precīzi funkciju diagramma, nevis viņas grafiks. Jo reālam grafikam ir jāaprēķina koordinātas, jāaprēķina nobīdes un citas muļķības, kuras mums tagad nemaz nav vajadzīgas.

Kāpēc šīs metodes ir neefektīvas?

Tātad, mēs esam apsvēruši divus vienas un tās pašas nevienlīdzības risinājumus. Abi izrādījās ļoti apgrūtinoši. Rodas pirmais lēmums – tikai padomā! ir nevienlīdzību sistēmu kopums. Otrs risinājums arī nav ļoti viegls: jums ir jāatceras parabola diagramma un virkne citu mazu faktu.

Tā bija ļoti vienkārša nevienlīdzība. Tam ir tikai 2 reizinātāji. Tagad iedomājieties, ka nebūs 2 reizinātāji, bet vismaz 4. Piemēram:

(x - 7) (x - 1) (x + 4) (x + 9)< 0

Kā atrisināt šādu nevienlīdzību? Iziet cauri visām iespējamām plusu un mīnusu kombinācijām? Jā, mēs aizmigsim ātrāk, nekā atradīsim risinājumu. Grafika zīmēšana arī nav iespējama, jo nav skaidrs, kā šāda funkcija darbojas koordinātu plaknē.

Šādām nevienādībām ir nepieciešams īpašs risinājuma algoritms, kuru mēs šodien apsvērsim.

Kas ir intervāla metode

Intervālu metode ir īpašs algoritms, kas izstrādāts, lai atrisinātu sarežģītas formas f (x) > 0 un f (x) nevienādības.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Atrisiniet vienādojumu f (x) \u003d 0. Tādējādi nevienādības vietā mēs iegūstam vienādojumu, kuru ir daudz vieglāk atrisināt;
2. Atzīmējiet visas iegūtās saknes uz koordinātu līnijas. Tādējādi taisne tiks sadalīta vairākos intervālos;
3. Noskaidrojiet funkcijas f (x) zīmi (plus vai mīnus) galējā labajā intervālā. Lai to izdarītu, pietiek ar f (x) aizstāt jebkuru skaitli, kas būs pa labi no visām atzīmētajām saknēm;
4. Atzīmējiet atzīmes citos intervālos. Lai to izdarītu, pietiek atcerēties, ka, izejot cauri katrai saknei, zīme mainās.

Tas ir viss! Pēc tam atliek tikai izrakstīt mūs interesējošos intervālus. Tie ir atzīmēti ar zīmi “+”, ja nevienādība bija formā f (x) > 0, vai ar “−” zīmi, ja nevienādība bija formā f (x).< 0.

No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka intervāla metode ir sava veida alva. Bet praksē viss būs ļoti vienkārši. Nepieciešama neliela prakse - un viss kļūs skaidrs. Apskatiet piemērus un pārliecinieties paši:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

(x – 2) (x + 7)< 0

Mēs strādājam pie intervālu metodes. 1. darbība: aizstājiet nevienlīdzību ar vienādojumu un atrisiniet to:

(x – 2) (x + 7) = 0

Produkts ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Ir divas saknes. Pārejiet uz 2. darbību: atzīmējiet šīs saknes uz koordinātu līnijas. Mums ir:

Tagad 3. darbība: mēs atrodam funkcijas zīmi galējā labajā intervālā (pa labi no atzīmētā punkta x = 2). Lai to izdarītu, jāņem jebkurš skaitlis, kas ir lielāks par skaitli x = 2. Piemēram, ņemsim x = 3 (bet neviens neaizliedz ņemt x = 4, x = 10 un pat x = 10 000). Mēs iegūstam:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 - 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

Mēs iegūstam, ka f (3) = 10 > 0, tāpēc mēs ievietojam plus zīmi vistālāk labajā intervālā.

Mēs pārejam uz pēdējo punktu - ir nepieciešams atzīmēt zīmes atlikušajos intervālos. Atcerieties, ka, izejot cauri katrai saknei, zīmei ir jāmainās. Piemēram, pa labi no saknes x = 2 ir plus (par to mēs pārliecinājāmies iepriekšējā solī), tāpēc kreisajā pusē ir jābūt mīnusam.

Šis mīnuss attiecas uz visu intervālu (-7; 2), tāpēc pa labi no saknes x = -7 ir mīnuss. Tāpēc pa kreisi no saknes x = −7 ir pluss. Atliek atzīmēt šīs zīmes uz koordinātu ass. Mums ir:

Atgriezīsimies pie sākotnējās nevienlīdzības, kas izskatījās šādi:

(x – 2) (x + 7)< 0

Tātad funkcijai jābūt mazākai par nulli. Tas nozīmē, ka mūs interesē mīnusa zīme, kas notiek tikai vienā intervālā: (−7; 2). Šī būs atbilde.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0

1. darbība: pielīdziniet kreiso pusi nullei:

(x + 9) (x - 3) (1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = -9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Atcerieties: produkts ir nulle, ja vismaz viens no faktoriem ir nulle. Tāpēc mums ir tiesības katru atsevišķu iekavu pielīdzināt nullei.

2. darbība: atzīmējiet visas saknes uz koordinātu līnijas:

3. solis: noskaidrojiet galējās labās spraugas zīmi. Mēs ņemam jebkuru skaitli, kas ir lielāks par x = 1. Piemēram, mēs varam ņemt x = 10. Mums ir:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9) (10 - 3) (1 - 10) = 19 7 (-9) = - 1197;
f(10) = -1197< 0.

4. darbība. Novietojiet pārējās zīmes. Atcerieties, ka, izejot cauri katrai saknei, zīme mainās. Rezultātā mūsu attēls izskatīsies šādi:

Tas ir viss. Atliek tikai uzrakstīt atbildi. Vēlreiz apskatiet sākotnējo nevienlīdzību:

(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0

Šī ir formas f (x) nevienādība< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (–9; 1) ∪ (3; +∞)

Šī ir atbilde.

Piezīme par funkciju zīmēm

Prakse rāda, ka lielākās grūtības intervāla metodē rodas pēdējos divos posmos, t.i. izvietojot zīmes. Daudzi skolēni sāk apjukt: kādus skaitļus ņemt un kur likt zīmes.

Lai beidzot saprastu intervāla metodi, apsveriet divas piezīmes, uz kurām tā ir balstīta:

1. Nepārtraukta funkcija maina zīmi tikai punktos kur tas ir vienāds ar nulli. Šādi punkti sadala koordinātu asi gabalos, kuru ietvaros funkcijas zīme nekad nemainās. Tāpēc atrisinām vienādojumu f (x) \u003d 0 un uz taisnas līnijas atzīmējam atrastās saknes. Atrastie skaitļi ir "robežpunkti", kas atdala plusus no mīnusiem.
2. Lai uzzinātu funkcijas zīmi jebkurā intervālā, pietiek ar to, lai funkcijā aizstātu jebkuru skaitli no šī intervāla. Piemēram, intervālam (-5; 6) mēs varam ņemt x = -4, x = 0, x = 4 un pat x = 1,29374, ja vēlamies. Kāpēc tas ir svarīgi? Jā, jo daudzus studentus sāk grauzt šaubas. Piemēram, ko darīt, ja x = −4 mēs iegūstam plus, bet x = 0 mēs saņemam mīnusu? Nekas tāds nekad nenotiks. Visi punkti vienā un tajā pašā intervālā dod vienu un to pašu zīmi. Atceries šo.

Tas ir viss, kas jums jāzina par intervāla metodi. Protams, mēs to esam izjaukuši visvienkāršākajā veidā. Ir sarežģītākas nevienlīdzības - nevienlīdzības, kas nav stingras, daļēja un ar atkārtotām saknēm. Viņiem var piemērot arī intervāla metodi, taču šī ir atsevišķas lielas nodarbības tēma.

Tagad es vēlētos analizēt progresīvu triku, kas krasi vienkāršo intervālu metodi. Precīzāk, vienkāršošana skar tikai trešo soli - zīmes aprēķinu līnijas vistālākajā daļā. Nez kāpēc skolās šī tehnika netiek turēta (vismaz man neviens to nepaskaidroja). Bet velti - patiesībā šis algoritms ir ļoti vienkāršs.

Tātad funkcijas zīme atrodas skaitliskās ass labajā pusē. Šim gabalam ir forma (a; +∞), kur a ir vienādojuma lielākā sakne f (x) = 0. Lai nesabojātu mūsu smadzenes, apsveriet konkrētu piemēru:

(x - 1) (2 + x ) (7 - x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1) (2 + x ) (7 - x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Mums ir 3 saknes. Mēs tos uzskaitām augošā secībā: x = −2, x = 1 un x = 7. Acīmredzot lielākā sakne ir x = 7.

Tiem, kam ir vieglāk argumentēt grafiski, atzīmēšu šīs saknes uz koordinātu līnijas. Paskatīsimies, kas notiks:

Vislabākajā intervālā jāatrod funkcijas f (x) zīme, t.i. ieslēgts (7; +∞). Bet, kā mēs jau atzīmējām, lai noteiktu zīmi, jūs varat ņemt jebkuru skaitli no šī intervāla. Piemēram, varat ņemt x = 8, x = 150 utt. Un tagad – tā pati tehnika, ko nemāca skolās: ņemsim bezgalību kā skaitli. Precīzāk, plus bezgalība, t.i. +∞.

"Vai tu esi nomētāts ar akmeņiem? Kā bezgalību var aizstāt ar funkciju? varbūt, tu jautā. Bet padomājiet par to: mums nav vajadzīga pašas funkcijas vērtība, mums ir vajadzīga tikai zīme. Tāpēc, piemēram, vērtības f (x) = −1 un f (x) = −938 740 576 215 nozīmē vienu un to pašu: funkcija šajā intervālā ir negatīva. Tāpēc viss, kas no jums tiek prasīts, ir atrast zīmi, kas rodas bezgalībā, nevis funkcijas vērtību.

Patiesībā bezgalības aizstāšana ir ļoti vienkārša. Atgriezīsimies pie mūsu funkcijas:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Iedomājieties, ka x ir ļoti liels skaitlis. Miljards vai pat triljons. Tagad redzēsim, kas notiek katrā iekavā.

Pirmā iekava: (x – 1). Kas notiek, ja no miljarda atņem vienu? Rezultāts būs skaitlis, kas daudz neatšķirsies no miljarda, un šis skaitlis būs pozitīvs. Līdzīgi ar otro iekava: (2 + x). Ja mēs pieskaitām miljardu pie diviem, mēs iegūstam miljardu ar kapeikām - tas ir pozitīvs skaitlis. Visbeidzot, trešā iekava: (7 − x ). Te būs mīnuss miljards, no kura “nograuzts” nožēlojams gabaliņš septītnieka formā. Tie. iegūtais skaitlis daudz neatšķirsies no mīnus miljarda - tas būs negatīvs.

Atliek atrast visa darba zīmi. Tā kā pirmajās iekavās mums bija pluss, bet pēdējā – mīnuss, mēs iegūstam šādu konstrukciju:

(+) · (+) · (−) = (−)

Pēdējā zīme ir mīnuss! Nav svarīgi, kāda ir pašas funkcijas vērtība. Galvenais, lai šī vērtība būtu negatīva, t.i. galējā labajā intervālā ir mīnusa zīme. Atliek pabeigt intervāla metodes ceturto soli: sakārtot visas zīmes. Mums ir:

Sākotnējā nevienlīdzība izskatījās šādi:

(x - 1) (2 + x ) (7 - x )< 0

Tāpēc mūs interesē intervāli, kas atzīmēti ar mīnusa zīmi. Mēs uzrakstām atbildi:

x ∈ (–2; 1) ∪ (7; +∞)

Tas ir viss triks, ko es gribēju pastāstīt. Noslēgumā ir vēl viena nevienādība, kas tiek atrisināta ar intervāla metodi, izmantojot bezgalību. Lai vizuāli saīsinātu risinājumu, soļu numurus un detalizētus komentārus nerakstīšu. Es rakstīšu tikai to, kas patiešām ir jāuzraksta, risinot reālas problēmas:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

x (2x + 8) (x - 3) > 0

Nevienādību aizstājam ar vienādojumu un atrisinām:

x (2x + 8) (x - 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = -4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Mēs atzīmējam visas trīs saknes uz koordinātu līnijas (tūlīt ar zīmēm):

Koordinātu ass labajā pusē ir pluss, jo funkcija izskatās šādi:

f(x) = x(2x + 8) (x − 3)

Un, ja mēs aizstājam bezgalību (piemēram, miljardu), mēs iegūstam trīs pozitīvas iekavas. Tā kā sākotnējai izteiksmei jābūt lielākai par nulli, mūs interesē tikai plusi. Atliek uzrakstīt atbildi:

x ∈ (–4; 0) ∪ (3; +∞)

Un šodien ne visi var atrisināt racionālu nevienlīdzību. Precīzāk, ne tikai katrs var izlemt. Tikai daži cilvēki to var izdarīt.
Kļičko

Šī nodarbība būs smaga. Tik grūts, ka tikai Izredzētie sasniegs tā beigas. Tāpēc pirms lasīšanas iesaku izņemt sievietes, kaķus, grūtnieces un ...

Labi, patiesībā tas ir pavisam vienkārši. Pieņemsim, ka esat apguvis intervāla metodi (ja neesat to apguvis, iesaku atgriezties un izlasīt) un iemācījies atrisināt nevienādības formā $P\left(x \right) \gt 0$, kur $P \left(x \right)$ ir polinoms vai polinomu reizinājums.

Es ticu, ka jums nebūs grūti atrisināt, piemēram, šādu spēli (starp citu, izmēģiniet to iesildīšanai):

\[\begin(līdzināt) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(līdzināt)\]

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu un ņemsim vērā ne tikai polinomus, bet arī tā sauktās formas racionālās daļas:

kur $P\left(x \right)$ un $Q\left(x \right)$ ir tie paši polinomi formā $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(a)_(0))$ vai šādu polinomu reizinājums.

Tā būs racionāla nevienlīdzība. Pamatpunkts ir mainīgā $x$ klātbūtne saucējā. Piemēram, šeit ir racionālas nevienlīdzības:

\[\begin(līdzināt) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(līdzināt)\]

Un šī nav racionāla, bet visizplatītākā nevienlīdzība, kas tiek atrisināta ar intervāla metodi:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Raugoties uz priekšu, es teikšu uzreiz: ir vismaz divi veidi, kā atrisināt racionālas nevienlīdzības, taču tie visi vienā vai otrā veidā tiek reducēti uz mums jau zināmo intervālu metodi. Tāpēc pirms šo metožu analīzes atcerēsimies vecos faktus, pretējā gadījumā no jaunā materiāla nebūs jēgas.

Kas jums jau ir jāzina

Nav daudz svarīgu faktu. Mums tiešām vajag tikai četrus.

Saīsinātās reizināšanas formulas

Jā, jā: tie mūs vajā visā skolas matemātikas programmā. Un arī universitātē. Šo formulu ir diezgan daudz, taču mums ir nepieciešams tikai šāds:

\[\begin(līdzināt) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\pa labi). \\ \end(līdzināt)\]

Pievērsiet uzmanību pēdējām divām formulām - tā ir kubu summa un starpība (nevis summas vai starpības kubs!). Tos ir viegli atcerēties, ja pamanāt, ka zīme pirmajā iekavā ir tāda pati kā zīme sākotnējā izteiksmē, bet otrajā iekavā tā ir pretēja zīmei sākotnējā izteiksmē.

Lineārie vienādojumi

Šie ir vienkāršākie vienādojumi formā $ax+b=0$, kur $a$ un $b$ ir parastie skaitļi un $a\ne 0$. Šo vienādojumu ir viegli atrisināt:

\[\begin(līdzināt) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(līdzināt)\]

Atzīmēju, ka mums ir tiesības dalīt ar koeficientu $a$, jo $a\ne 0$. Šī prasība ir diezgan loģiska, jo ar $a=0$ mēs iegūstam šo:

Pirmkārt, šajā vienādojumā nav mainīgā $x$. Vispārīgi runājot, tam nevajadzētu mūs mulsināt (tas notiek, teiksim, ģeometrijā un diezgan bieži), bet tomēr mēs vairs neesam lineārs vienādojums.

Otrkārt, šī vienādojuma risinājums ir atkarīgs tikai no koeficienta $b$. Ja arī $b$ ir nulle, tad mūsu vienādojums ir $0=0$. Šī vienlīdzība vienmēr ir patiesa; tāpēc $x$ ir jebkurš skaitlis (parasti raksta kā $x\in \mathbb(R)$). Ja koeficients $b$ nav vienāds ar nulli, tad vienādība $b=0$ nekad nav izpildīta, t.i. nav atbilžu (rakstīts $x\in \varnothing $ un lasīts "risinājumu kopa ir tukša").

Lai izvairītos no visām šīm sarežģītībām, mēs vienkārši pieņemam $a\ne 0$, kas nekādā veidā neierobežo mūs no turpmākām pārdomām.

Kvadrātvienādojumi

Atgādināšu, ka to sauc par kvadrātvienādojumu:

Šeit pa kreisi ir otrās pakāpes polinoms un atkal $a\ne 0$ (pretējā gadījumā kvadrātvienādojuma vietā iegūstam lineāru). Izmantojot diskriminantu, tiek atrisināti šādi vienādojumi:

1. Ja $D \gt 0$, mēs iegūstam divas dažādas saknes;
2. Ja $D=0$, tad sakne būs viena, bet otrās daudzkārtības (kas tas par daudzkārtību un kā to ņemt vērā - par to vēlāk). Vai arī mēs varam teikt, ka vienādojumam ir divas identiskas saknes;
3. $D \lt 0$ vispār nav sakņu, un polinoma $a((x)^(2))+bx+c$ zīme jebkuram $x$ sakrīt ar koeficienta $a zīmi. $. Tas, starp citu, ir ļoti noderīgs fakts, ko algebras nodarbībās nez kāpēc aizmirst pateikt.

Pašas saknes aprēķina pēc labi zināmas formulas:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Līdz ar to, starp citu, ierobežojumi attiecībā uz diskriminantu. Galu galā negatīva skaitļa kvadrātsakne neeksistē. Kas attiecas uz saknēm, tad daudziem skolēniem galvā ir baigais bardaks, tāpēc speciāli ierakstīju veselu stundu: kas ir sakne algebrā un kā to aprēķināt - ļoti iesaku izlasīt. :)

Darbības ar racionālām daļām

Viss, kas tika rakstīts iepriekš, jūs jau zināt, ja esat pētījis intervālu metodi. Bet tam, ko mēs tagad analizēsim, pagātnē nav analogu - tas ir pilnīgi jauns fakts.

Definīcija. Racionālā daļa ir formas izteiksme

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

kur $P\left(x \right)$ un $Q\left(x \right)$ ir polinomi.

Ir skaidrs, ka no šādas daļskaitļa ir viegli iegūt nevienādību - pietiek tikai piedēvēt zīmi “lielāks par” vai “mazāks par”. Un nedaudz tālāk mēs atklāsim, ka šādu problēmu risināšana ir prieks, tur viss ir ļoti vienkārši.

Problēmas sākas, ja vienā izteiksmē ir vairākas šādas daļskaitļus. Tās ir jāsamazina līdz kopsaucējam – un tieši šajā brīdī tiek pieļauts liels skaits aizskarošu kļūdu.

Tāpēc, lai veiksmīgi atrisinātu racionālus vienādojumus, ir stingri jāapgūst divas prasmes:

1. Polinoma $P\left(x \right)$ faktorizācija;
2. Faktiski daļskaitļu apvienošana līdz kopsaucējam.

Kā faktorizēt polinomu? Ļoti vienkārši. Ļaujiet mums iegūt formas polinomu

Pielīdzināsim to nullei. Mēs iegūstam $n$-tās pakāpes vienādojumu:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+(a)_(0))=0\]

Pieņemsim, ka mēs atrisinājām šo vienādojumu un ieguvām saknes $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (neuztraucieties: vairumā gadījumu nebūs vairāk nekā divas no šīm saknēm). Šajā gadījumā mūsu sākotnējo polinomu var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x) -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(līdzināt)\]

Tas ir viss! Lūdzu, ņemiet vērā: vadošais koeficients $((a)_(n))$ nekur nav pazudis - tas būs atsevišķs faktors iekavu priekšā, un nepieciešamības gadījumā to var ievietot jebkurā no šīm iekavām (prakse rāda ka ar $((a)_ (n))\ne \pm 1$ starp saknēm gandrīz vienmēr ir daļskaitļi).

Uzdevums. Vienkāršojiet izteicienu:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Lēmums. Vispirms apskatīsim saucējus: tie visi ir lineāri binomiāli, un šeit nav ko faktorizēt. Tātad skaitītājus faktorizēsim:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\right)\left(x-1\right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x) +2 \labais)\kreisais (2-5x \labais). \\\beigas(līdzināt)\]

Lūdzu, ņemiet vērā: otrajā polinomā vecākais koeficients "2", pilnībā saskaņā ar mūsu shēmu, vispirms parādījās iekavas priekšā un pēc tam tika iekļauts pirmajā iekavā, jo tur iznāca daļa.

Tas pats notika arī trešajā polinomā, tikai tur arī terminu secība ir sajaukta. Tomēr koeficients “−5” tika iekļauts otrajā iekavā (atcerieties: jūs varat ievadīt koeficientu vienā un tikai vienā iekava!), kas mūs pasargāja no neērtībām, kas saistītas ar daļveida saknēm.

Kas attiecas uz pirmo polinomu, tur viss ir vienkārši: tā saknes tiek meklētas vai nu standarta veidā, izmantojot diskriminantu, vai arī izmantojot Vieta teorēmu.

Atgriezīsimies pie sākotnējās izteiksmes un pārrakstīsim to ar skaitītājiem, kas sadalīti faktoros:

\[\begin(matrica) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5) \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrica)\]

Atbilde: $5x+4$.

Kā redzat, nekas sarežģīts. Mazliet no 7.-8.klases matemātikas un viss. Visu transformāciju jēga ir pārvērst sarežģītu un biedējošu izteiksmi par kaut ko vienkāršu un viegli lietojamu.

Tomēr ne vienmēr tas tā būs. Tāpēc tagad mēs apsvērsim nopietnāku problēmu.

Bet vispirms izdomāsim, kā divas daļskaitļus apvienot līdz kopsaucējam. Algoritms ir ļoti vienkāršs:

1. Faktorizēt abus saucējus;
2. Apsveriet pirmo saucēju un pievienojiet tam faktorus, kas atrodas otrajā saucējā, bet ne pirmajā. Rezultātā iegūtais produkts būs kopsaucējs;
3. Uzziniet, kādu faktoru trūkst katrai no sākotnējām daļskaitļiem, lai saucēji kļūtu vienādi ar kopējo.

Varbūt šis algoritms jums šķitīs tikai teksts, kurā ir “daudz burtu”. Tāpēc apskatīsim konkrētu piemēru.

Uzdevums. Vienkāršojiet izteicienu:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Lēmums. Šādus apjomīgus uzdevumus vislabāk atrisināt pa daļām. Uzrakstīsim, kas ir pirmajā iekavā:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Atšķirībā no iepriekšējās problēmas, šeit saucēji nav tik vienkārši. Faktorizēsim katru no tiem.

Kvadrātveida trinomu $((x)^(2))+2x+4$ nevar faktorizēt, jo vienādojumam $((x)^(2))+2x+4=0$ nav sakņu (diskriminants ir negatīvs) . Mēs atstājam to nemainīgu.

Otrais saucējs, kubiskais polinoms $((x)^(3))-8$, pēc rūpīgākas pārbaudes ir kubu atšķirība, un to var viegli sadalīt, izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\kreisais(x-2 \labais)\kreisais(((x) ^(2))+2x+4 \pa labi)\]

Neko citu nevar ņemt vērā, jo pirmajā iekava satur lineāro binomiālu, bet otrajā – mums jau pazīstamu konstrukciju, kurai nav īstu sakņu.

Visbeidzot, trešais saucējs ir lineārs binomiāls, ko nevar sadalīt. Tādējādi mūsu vienādojums būs šāds:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \pa labi))-\frac(1)(x-2)\]

Ir pilnīgi skaidrs, ka $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ būs kopsaucējs, un, lai samazinātu visas daļskaitļus līdz tam, jūs jāreizina pirmā daļa ar $\left(x-2 \right)$ un pēdējā ar $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Tad atliek tikai paņemt līdzi:

\[\begin(matrica) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ pa labi))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \labais))(\kreisais(x-2 \labais)\kreisais(((x)^(2))+2x+4 \labais))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \labais))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ pa kreisi(((x)^(2))+2x+4 \pa labi)). \\ \end(matrica)\]

Pievērsiet uzmanību otrajai rindai: kad saucējs jau ir kopīgs, t.i. trīs atsevišķu daļskaitļu vietā mēs rakstījām vienu lielu, nevajadzētu uzreiz atbrīvoties no iekavām. Labāk ir uzrakstīt papildu rindiņu un atzīmēt, ka, teiksim, pirms trešās daļskaitļa bija mīnuss - un tas nekur nepazudīs, bet “uzkarās” skaitītājā iekavas priekšā. Tas ietaupīs no daudzām kļūdām.

Nu, pēdējā rindā ir lietderīgi skaitītāju faktorizēt. Turklāt šis ir precīzs kvadrāts, un mums atkal nāk palīgā saīsinātās reizināšanas formulas. Mums ir:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Tagad rīkosimies ar otro kronšteinu tādā pašā veidā. Šeit es vienkārši uzrakstīšu vienādību ķēdi:

\[\begin(matrica) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((() x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrica)\]

Mēs atgriežamies pie sākotnējās problēmas un aplūkojam produktu:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Atbilde: \[\frac(1)(x+2)\].

Šīs problēmas nozīme ir tāda pati kā iepriekšējai: parādīt, cik daudz racionālas izteiksmes var vienkāršot, ja saprātīgi pieiet to transformācijai.

Un tagad, kad jūs to visu zināt, pāriesim pie galvenās šīsdienas nodarbības tēmas - daļēju racionālu nevienlīdzību risināšanas. Turklāt pēc šādas sagatavošanās pašas nevienlīdzības klikšķinās kā rieksti. :)

Galvenais racionālo nevienlīdzību risināšanas veids

Ir vismaz divas pieejas racionālu nevienlīdzību risināšanai. Tagad mēs apsvērsim vienu no tiem - to, kas ir vispārpieņemts skolas matemātikas kursā.

Bet vispirms atzīmēsim svarīgu detaļu. Visas nevienlīdzības ir sadalītas divos veidos:

1. Stingri: $f\left(x \right) \gt 0$ vai $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Nestingrs: $f\left(x \right)\ge 0$ vai $f\left(x \right)\le 0$.

Otrā tipa nevienlīdzības ir viegli reducētas uz pirmo, kā arī vienādojums:

Šis mazais "papildinājums" $f\left(x \right)=0$ noved pie tādas nepatīkamas lietas kā aizpildītie punkti - mēs tos satikām atpakaļ intervāla metodē. Pretējā gadījumā starp stingru un nevienlīdzību nav atšķirību, tāpēc analizēsim universālo algoritmu:

1. Savāc visus elementus, kas nav nulle, vienā nevienlīdzības zīmes pusē. Piemēram, pa kreisi;
2. Visas daļskaitļus saliek kopsaucējā (ja tādas ir vairākas daļdaļas), saliek līdzīgas. Pēc tam, ja iespējams, ieskaitiet skaitītāju un saucēju. Tā vai citādi mēs iegūstam nevienādību formā $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, kur atzīme ir nevienlīdzības zīme.
3. Pielīdziniet skaitītāju nullei: $P\left(x \right)=0$. Mēs atrisinām šo vienādojumu un iegūstam saknes $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Tad mēs prasām ka saucējs nebija vienāds ar nulli: $Q\left(x \right)\ne 0$. Protams, būtībā mums ir jāatrisina vienādojums $Q\left(x \right)=0$, un mēs iegūstam saknes $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (reālos uzdevumos diez vai būs vairāk par trim šādām saknēm).
4. Mēs atzīmējam visas šīs saknes (gan ar zvaigznītēm, gan bez tām) uz vienas skaitļu līnijas, un saknes bez zvaigznēm tiek nokrāsotas, un tās ar zvaigznēm tiek izspiestas.
5. Mēs ievietojam plusa un mīnusa zīmes, atlasām vajadzīgos intervālus. Ja nevienādībai ir forma $f\left(x \right) \gt 0$, tad atbilde būs intervāli, kas atzīmēti ar "plus". Ja $f\left(x \right) \lt 0$, tad mēs skatāmies intervālus ar "mīnusiem".

Prakse rāda, ka vislielākās grūtības rada 2. un 4. punkts - kompetentas transformācijas un pareiza skaitļu sakārtošana augošā secībā. Pēdējā posmā esiet īpaši uzmanīgs: mēs vienmēr izvietojam zīmes, pamatojoties uz pēdējā uzrakstītā nevienādība, pirms pāriet uz vienādojumiem. Šis ir universāls noteikums, kas mantots no intervāla metodes.

Tātad ir shēma. Trenējamies.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Lēmums. Mums ir stingra nevienādība formā $f\left(x \right) \lt 0$. Acīmredzot mūsu shēmas 1. un 2. punkts jau ir pabeigts: visi nevienlīdzības elementi ir savākti kreisajā pusē, nekas nav jāsamazina līdz kopsaucējam. Tātad pāriesim pie trešā punkta.

Iestatiet skaitītāju uz nulli:

\[\begin(līdzināt) & x-3=0; \\ &x=3. \end(līdzināt)\]

Un saucējs:

\[\begin(līdzināt) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(līdzināt)\]

Šajā vietā daudzi iestrēgst, jo teorētiski jāpieraksta $x+7\ne 0$, kā to prasa ODZ (ar nulli dalīt nevar, tas arī viss). Bet galu galā nākotnē mēs izliksim punktus, kas nāca no saucēja, tāpēc jums nevajadzētu vēlreiz sarežģīt aprēķinus - visur rakstiet vienādības zīmi un neuztraucieties. Neviens par to punktus neatņems. :)

Ceturtais punkts. Iegūtās saknes atzīmējam uz skaitļu līnijas:

Visi punkti ir pārdurti, jo nevienlīdzība ir stingra

Piezīme: visi punkti ir caurdurti, jo sākotnējā nevienlīdzība ir stingra. Un šeit vairs nav nozīmes: šie punkti nāca no skaitītāja vai no saucēja.

Nu, paskaties uz zīmēm. Ņemiet jebkuru skaitli $((x)_(0)) \gt 3$. Piemēram, $((x)_(0))=100$ (bet jūs tikpat labi varēja ņemt $((x)_(0))=3,1$ vai $((x)_(0)) = 1 000 000 $). Mēs iegūstam:

Tātad pa labi no visām saknēm mums ir pozitīva zona. Un, izejot cauri katrai saknei, zīme mainās (ne vienmēr tā būs, bet par to vēlāk). Tāpēc mēs pārejam pie piektā punkta: ievietojam zīmes un izvēlamies pareizo:

Mēs atgriežamies pie pēdējās nevienādības, kas bija pirms vienādojumu risināšanas. Patiesībā tas sakrīt ar sākotnējo, jo šajā uzdevumā mēs neveicām nekādas transformācijas.

Tā kā ir jāatrisina nevienādība formā $f\left(x \right) \lt 0$, es ieēnoju intervālu $x\in \left(-7;3 \right)$ - tas ir vienīgais. atzīmēts ar mīnusa zīmi. Šī ir atbilde.

Atbilde: $x\in \left(-7;3 \right)$

Tas ir viss! Vai tas ir grūti? Nē, tas nav grūti. Patiešām, tas bija viegls uzdevums. Tagad nedaudz sarežģīsim misiju un apsvērsim "iedomātāku" nevienlīdzību. Risinot to, es vairs nesniegšu tik detalizētus aprēķinus - es vienkārši iezīmēšu galvenos punktus. Kopumā sakārtosim tā, kā to būtu darījuši patstāvīgā darbā vai eksāmenā. :)

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Lēmums. Šī ir nevienādība formā $f\left(x \right)\ge 0$. Visi elementi, kas nav nulle, tiek savākti kreisajā pusē, nav dažādu saucēju. Pāriesim pie vienādojumiem.

Skaitītājs:

\[\begin(līdzināt) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\labā bultiņa ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\labā bultiņa ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(līdzināt)\]

Saucējs:

\[\begin(līdzināt) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(līdzināt)\]

Nezinu, kāds izvirtulis radīja šo problēmu, bet saknes nebija tik labi: tās būs grūti sakārtot skaitļu rindā. Un, ja ar sakni $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ viss ir vairāk vai mazāk skaidrs (tas ir vienīgais pozitīvais skaitlis - tas būs labajā pusē), tad $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ un $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ nepieciešama papildu izpēte: kurš no tiem ir lielāks?

To var uzzināt, piemēram:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Es ceru, ka nav nepieciešams paskaidrot, kāpēc skaitliskā daļa $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Ja nepieciešams, iesaku atcerēties, kā veikt darbības ar daļskaitļiem.

Un mēs atzīmējam visas trīs saknes uz skaitļu līnijas:

Punkti no skaitītāja ir noēnoti, no saucēja tie ir izgriezti

Mēs izlikām zīmes. Piemēram, varat ņemt $((x)_(0))=1$ un uzzināt zīmi šajā vietā:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(līdzināt)\]

Pēdējā nevienādība pirms vienādojumiem bija $f\left(x \right)\ge 0$, tāpēc mūs interesē plus zīme.

Mēs saņēmām divus komplektus: viens ir parasts segments, bet otrs ir atvērts stars uz skaitļu līnijas.

Atbilde: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Svarīga piezīme par skaitļiem, kurus mēs aizstājam, lai noskaidrotu zīmi galējā labajā intervālā. Nav nepieciešams aizstāt skaitli, kas atrodas tuvāk galējai labējai saknei. Varat ņemt miljardus vai pat "plus-bezgalību" - šajā gadījumā polinoma zīmi iekavās, skaitītājā vai saucējā nosaka tikai vadošā koeficienta zīme.

Vēlreiz apskatīsim funkciju $f\left(x \right)$ no pēdējās nevienādības:

Tas satur trīs polinomus:

\[\begin(līdzināt) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(līdzināt)\]

Tie visi ir lineāri binomi, un tiem visiem ir pozitīvi koeficienti (7, 11 un 13). Tāpēc, aizvietojot ļoti lielus skaitļus, arī paši polinomi būs pozitīvi. :)

Šis noteikums var šķist pārāk sarežģīts, bet tikai sākumā, kad analizējam ļoti vienkāršas problēmas. Nopietnās nevienlīdzībās "plus-bezgalības" aizstāšana ļaus mums izdomāt zīmes daudz ātrāk nekā standarta $((x)_(0))=100 $.

Ar šādiem izaicinājumiem mēs saskarsimies pavisam drīz. Bet vispirms apskatīsim alternatīvu veidu, kā atrisināt daļējas racionālās nevienlīdzības.

Alternatīvs veids

Šo tehniku ​​man ieteica viens no maniem studentiem. Pats to nekad neesmu lietojis, bet prakse ir parādījusi, ka daudziem skolēniem tiešām ir ērtāk šādi risināt nevienlīdzības.

Tātad sākotnējie dati ir tādi paši. Mums ir jāatrisina daļēja racionāla nevienlīdzība:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Padomāsim: kāpēc polinoms $Q\left(x \right)$ ir "sliktāks" par polinomu $P\left(x \right)$? Kāpēc mums ir jāņem vērā atsevišķas sakņu grupas (ar un bez zvaigznītes), jādomā par štancēšanas punktiem utt.? Tas ir vienkārši: daļskaitlim ir definīcijas apgabals, saskaņā ar kuru daļai ir jēga tikai tad, ja tās saucējs atšķiras no nulles.

Citādi starp skaitītāju un saucēju nav atšķirību: arī to pielīdzinām nullei, meklējam saknes, pēc tam atzīmējam skaitļa rindā. Tad kāpēc gan neaizstāt daļskaitļu joslu (patiesībā dalījuma zīmi) ar parasto reizināšanu un visas IDD prasības neuzrakstīt kā atsevišķu nevienādību? Piemēram, šādi:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\(\begin(līdzināt) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(līdzināt) \right.\]

Lūdzu, ņemiet vērā: šī pieeja ļaus samazināt problēmu līdz intervālu metodei, taču tā nemaz nesarežģīs risinājumu. Galu galā, jebkurā gadījumā, mēs pielīdzināsim polinomu $Q\left(x \right)$ ar nulli.

Apskatīsim, kā tas darbojas reālos uzdevumos.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Lēmums. Tātad, pāriesim pie intervāla metodes:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\labā bultiņa \pa kreisi\( \begin (līdzināt) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(līdzināt) \right.\]

Pirmā nevienlīdzība tiek atrisināta elementāri. Vienkārši iestatiet katru iekava uz nulli:

\[\begin(līdzināt) & x+8=0\bultiņa pa labi ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Labā bultiņa ((x)_(2))=11. \\ \end(līdzināt)\]

Ar otro nevienlīdzību viss ir arī vienkāršs:

Uz reālās līnijas atzīmējam punktus $((x)_(1))$ un $((x)_(2))$. Tie visi ir caurdurti, jo nevienlīdzība ir stingra:

Pareizais punkts izrādījās divreiz pārdurts. Tas ir labi.

Pievērsiet uzmanību punktam $x=11$. Izrādās, ka tas ir “divreiz izgrauzts”: no vienas puses, mēs to izgrebjam nevienlīdzības smaguma dēļ, no otras puses, ODZ papildu prasības dēļ.

Jebkurā gadījumā tas būs tikai caurdurts punkts. Tāpēc mēs ievietojām zīmes nevienādībai $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - pēdējo, ko redzējām pirms vienādojumu risināšanas:

Mūs interesē pozitīvie reģioni, jo mēs atrisinām formas $f\left(x \right) \gt 0$ nevienādību un tos iekrāsosim. Atliek tikai pierakstīt atbildi.

Atbilde. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Izmantojot šo risinājumu kā piemēru, es vēlos jūs brīdināt par izplatītu kļūdu iesācēju studentu vidū. Proti: nekad neatveriet iekavas nevienlīdzībās! Gluži pretēji, mēģiniet visu ņemt vērā - tas vienkāršos risinājumu un ietaupīs no daudzām problēmām.

Tagad mēģināsim kaut ko grūtāku.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Lēmums. Šī ir nevienādība formā $f\left(x \right)\le 0$, tāpēc šeit rūpīgi jāuzrauga aizpildītie punkti.

Pāriesim pie intervāla metodes:

\[\left\( \begin(līdzināt) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(līdzināt) \right.\]

Pārejam pie vienādojuma:

\[\begin(līdzināt) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\bultiņa pa labi ((x) )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\labā bultiņa ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\labā bultiņa ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(līdzināt)\]

Mēs ņemam vērā papildu prasību:

Mēs atzīmējam visas iegūtās saknes uz skaitļu līnijas:

Ja punkts ir gan izspiests, gan aizpildīts vienlaikus, tas tiek uzskatīts par perforētu.

Atkal divi punkti "pārklājas" viens ar otru - tas ir normāli, tā būs vienmēr. Ir tikai svarīgi saprast, ka punkts, kas atzīmēts gan kā izspiests, gan aizpildīts, patiesībā ir izspiešanas punkts. Tie. "Izgrauzt" ir spēcīgāka darbība nekā "pārkrāsošana".

Tas ir absolūti loģiski, jo ar punkciju mēs atzīmējam punktus, kas ietekmē funkcijas zīmi, bet paši nepiedalās atbildē. Un, ja kādā brīdī numurs vairs neatbilst mums (piemēram, tas neietilpst ODZ), mēs to izdzēšam no izskatīšanas līdz pašām uzdevuma beigām.

Vispār beidziet filozofēt. Mēs sakārtojam zīmes un krāsojam tos intervālus, kas atzīmēti ar mīnusa zīmi:

Atbilde. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Un vēlreiz es gribēju pievērst jūsu uzmanību šim vienādojumam:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Vēlreiz: nekad neatveriet iekavas šādos vienādojumos! Jūs tikai padarāt to grūtāku sev. Atcerieties: produkts ir nulle, ja vismaz viens no faktoriem ir nulle. Līdz ar to šis vienādojums vienkārši “sairst” vairākos mazākos, ko mēs atrisinājām iepriekšējā uzdevumā.

Ņemot vērā sakņu daudzveidību

No iepriekšējām problēmām labi redzams, ka tieši ne stingrās nevienādības ir visgrūtākās, jo tajās jāseko līdzi aizpildītajiem punktiem.

Bet pasaulē ir vēl lielāks ļaunums – tās ir vairākas nevienlīdzības saknes. Te jau ir jāseko nevis kādiem tur aizpildītiem punktiem - te nevienlīdzības zīme var pēkšņi nemainīties, ejot cauri šiem pašiem punktiem.

Mēs šajā nodarbībā neko tādu vēl neesam apsvēruši (lai gan līdzīga problēma bieži tika sastapta intervāla metodē). Tātad, ieviesīsim jaunu definīciju:

Definīcija. Vienādojuma sakne $((\left(x-a \right))^(n))=0$ ir vienāda ar $x=a$ un tiek saukta par $n$th daudzkārtības sakni.

Patiesībā mūs īpaši neinteresē precīza daudzveidības vērtība. Svarīgi ir tikai tas, vai šis skaitlis $n$ ir pāra vai nepāra. Jo:

1. Ja $x=a$ ir pāra daudzkārtības sakne, tad, ejot cauri, funkcijas zīme nemainās;
2. Un otrādi, ja $x=a$ ir nepāra daudzveidības sakne, tad funkcijas zīme mainīsies.

Īpašs nepāra daudzveidības saknes gadījums ir visas iepriekšējās šajā nodarbībā aplūkotās problēmas: tur daudzkārtība visur ir vienāda ar vienu.

Un tālāk. Pirms sākam risināt problēmas, es vēlos vērst jūsu uzmanību uz vienu smalkumu, kas pieredzējušam studentam šķiet pašsaprotams, bet daudzus iesācējus iedzen stuporā. Proti:

Daudzkārtības sakne $n$ rodas tikai tad, ja visa izteiksme tiek palielināta līdz šādai pakāpei: $((\left(x-a \right))^(n))$, nevis $\left(((x)^( n) )-a\right)$.

Vēlreiz: iekava $((\left(x-a \right))^(n))$ dod mums daudzkārtības $n$ sakni $x=a$, bet iekava $\left(((x)^( n)) -a \right)$ vai, kā tas bieži notiek, $(a-((x)^(n)))$ dod mums sakni (vai divas saknes, ja $n$ ir pāra) no pirmās reizinājuma , neatkarīgi no tā, kas ir vienāds ar $n$.

Salīdzināt:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Šeit viss ir skaidrs: visa kronšteina tika pacelta līdz piektajai pakāpei, tāpēc izejā mēs ieguvām piektās pakāpes sakni. Un tagad:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Mums ir divas saknes, bet abām ir pirmā daudzveidība. Vai arī šeit ir vēl viens:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\RightArrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Un nemulsina desmitā pakāpe. Galvenais ir tas, ka 10 ir pāra skaitlis, tāpēc izejā ir divas saknes, un abām atkal ir pirmā reizinājums.

Kopumā esiet piesardzīgs: daudzveidība notiek tikai tad, kad pakāpe attiecas uz visu iekavu, nevis tikai mainīgo.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \pa labi))^(5)))\ge 0\]

Lēmums. Mēģināsim to atrisināt alternatīvā veidā – pārejot no konkrētā uz preci:

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(līdzināt )\pa labi.\]

Mēs apstrādājam pirmo nevienlīdzību, izmantojot intervāla metodi:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left() x+7 \pa labi))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Labā bultiņa x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Labā bultiņa x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\labā bultiņa x=-7\left(5k \right). \\ \end(līdzināt)\]

Turklāt mēs atrisinām otro nevienlīdzību. Patiesībā mēs to jau esam atrisinājuši, bet, lai recenzenti risinājumā neatrastu vainas, labāk to atrisināt vēlreiz:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Ņemiet vērā, ka pēdējā nevienādībā nav daudzkārtību. Patiešām: kāda starpība, cik reižu skaitļu rindā izsvītrot punktu $x=-7$? Vismaz vienu reizi, vismaz piecas reizes - rezultāts būs tāds pats: caurdurts punkts.

Atzīmēsim visu, ko ieguvām skaitļu rindā:

Kā jau teicu, punkts $x=-7$ galu galā tiks izsists. Daudzkārtības ir sakārtotas, pamatojoties uz nevienādības atrisinājumu ar intervālu metodi.

Atliek novietot zīmes:

Tā kā punkts $x=0$ ir pāra daudzveidības sakne, zīme, ejot cauri tam, nemainās. Atlikušajiem punktiem ir nepāra daudzveidība, un ar tiem viss ir vienkārši.

Atbilde. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Vēlreiz pievērsiet uzmanību $x=0$. Vienmērīgās daudzveidības dēļ rodas interesants efekts: viss pa kreisi no tā ir pārkrāsots, pa labi - arī, un pats punkts ir pilnībā nokrāsots.

Līdz ar to, ierakstot atbildi, tas nav jāizolē. Tie. nav jāraksta kaut kas līdzīgs $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (lai gan formāli šāda atbilde arī būtu pareiza). Tā vietā mēs nekavējoties ierakstām $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Šāda ietekme ir iespējama tikai vienmērīgu daudzveidību saknēm. Un nākamajā uzdevumā mēs saskarsimies ar šī efekta apgriezto "izpausmi". Vai esat gatavs?

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Lēmums. Šoreiz sekosim standarta shēmai. Iestatiet skaitītāju uz nulli:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightbult ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Labā bultiņa ((x)_(2))=4. \\ \end(līdzināt)\]

Un saucējs:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\bultiņa pa labi x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(līdzināt)\]

Tā kā mēs atrisinām nevienādību formā $f\left(x \right)\ge 0$, saknes no saucēja (kurām ir zvaigznītes) tiks izgrieztas, bet saknes no skaitītāja tiks pārkrāsotas. .

Sakārtojam zīmes un noglāstām ar "plusiņu" atzīmētās vietas:

Punkts $x=3$ ir izolēts. Šī ir daļa no atbildes

Pirms rakstat galīgo atbildi, uzmanīgi apskatiet attēlu:

1. Punktam $x=1$ ir pāra reizinājums, bet pats tas ir caurdurts. Tāpēc atbildē tas būs jāizolē: jāraksta $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nevis $x\in. \left(-\ infty ;2\right)$.
2. Punktam $x=3$ arī ir vienmērīgs reizinājums, un tas ir iekrāsots. Zīmju izkārtojums norāda, ka mums piestāv pats punkts, bet solis pa kreisi un pa labi - un atrodamies apgabalā, kas mums galīgi neder. Šādus punktus sauc par izolētiem un raksta kā $x\in \left\(3 \right\)$.

Visus iegūtos gabalus apvienojam kopējā komplektā un pierakstām atbildi.

Atbilde: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definīcija. Nevienlīdzības risināšana nozīmē atrast visu tā risinājumu kopu, vai pierādīt, ka šī kopa ir tukša.

Šķiet: kas gan šeit var būt nesaprotams? Jā, lieta ir tāda, ka kopas var norādīt dažādos veidos. Pārrakstīsim atbildi uz pēdējo uzdevumu:

Mēs burtiski lasām rakstīto. Mainīgais "x" pieder noteiktai kopai, ko iegūst, apvienojot četras atsevišķas kopas (simbols "U"):

• Intervāls $\left(-\infty ;1 \right)$, kas burtiski nozīmē "visi skaitļi, kas ir mazāki par vienu, bet pats ne viens";
• Intervāls ir $\left(1;2 \right)$, t.i. "visi skaitļi starp 1 un 2, bet ne paši skaitļi 1 un 2";
• Kopa $\left\( 3 \right\)$, kas sastāv no viena skaitļa - trīs;
• Intervāls $\left[ 4;5 \right)$, kas satur visus skaitļus no 4 līdz 5, kā arī pašu 4, bet ne 5.

Trešais punkts šeit ir interesants. Atšķirībā no intervāliem, kas definē bezgalīgas skaitļu kopas un apzīmē tikai šo kopu robežas, kopa $\left\(3 \right\)$ definē tieši vienu skaitli, uzskaitot.

Lai saprastu, ka mēs uzskaitām konkrētos komplektā iekļautos skaitļus (nevis nosakām robežas vai ko citu), tiek izmantotas cirtainas breketes. Piemēram, apzīmējums $\left\( 1;2 \right\)$ nozīmē tieši "kopu, kas sastāv no diviem skaitļiem: 1 un 2", bet ne segmentu no 1 līdz 2. Nekādā gadījumā nejauciet šos jēdzienus. .

Daudzkārtības saskaitīšanas noteikums

Nu ko, šodienas nodarbības noslēgumā nedaudz skārda no Pāvela Berdova. :)

Vērīgie skolēni droši vien jau ir uzdevuši sev jautājumu: kas notiks, ja skaitītājā un saucējā atradīsies vienas un tās pašas saknes? Tātad darbojas šāds noteikums:

Tiek pievienotas identisku sakņu daudzveidības. Vienmēr. Pat ja šī sakne sastopama gan skaitītājā, gan saucējā.

Dažreiz ir labāk izlemt, nekā runāt. Tāpēc mēs atrisinām šādu problēmu:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \pa labi))\ge 0\]

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(līdzināt)\]

Pagaidām nekas īpašs. Iestatiet saucēju uz nulli:

\[\begin(līdzināt) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Labā bultiņa x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\bultiņa pa labi x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(līdzināt)\]

Tiek atrastas divas identiskas saknes: $((x)_(1))=-2$ un $x_(4)^(*)=-2$. Abiem ir pirmā daudzveidība. Tāpēc mēs tos aizstājam ar vienu sakni $x_(4)^(*)=-2$, bet ar reizinājumu 1+1=2.

Turklāt ir arī identiskas saknes: $((x)_(2))=-4$ un $x_(2)^(*)=-4$. Tās ir arī pirmās daudzkārtības, tāpēc no daudzkārtības 1+1=2 paliek tikai $x_(2)^(*)=-4$.

Lūdzu, ņemiet vērā: abos gadījumos mēs atstājām tieši “izgriezto” sakni, bet “pārkrāsoto” izmetām no izskatīšanas. Jo jau nodarbības sākumā bijām vienisprātis: ja punkts ir vienlaikus gan izdurts, gan pārkrāsots, tad tomēr uzskatām, ka tas ir štancēts.

Rezultātā mums ir četras saknes, un visas izrādījās izkapotas:

\[\begin(līdzināt) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(līdzināt)\]

Mēs atzīmējam tos uz skaitļu līnijas, ņemot vērā daudzveidību:

Mēs izvietojam zīmes un krāsojam mūs interesējošās vietas:

Viss. Nav izolētu punktu un citu perversiju. Jūs varat pierakstīt atbildi.

Atbilde. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

reizināšanas noteikums

Dažreiz rodas vēl nepatīkamāka situācija: vienādojums, kuram ir vairākas saknes, pats tiek pacelts līdz noteiktam pakāpēm. Tas maina visu sākotnējo sakņu daudzveidību.

Tas notiek reti, tāpēc lielākajai daļai skolēnu nav pieredzes šādu problēmu risināšanā. Un noteikums šeit ir šāds:

Paaugstinot vienādojumu līdz pakāpei $n$, arī visu tā sakņu daudzveidība palielinās par koeficientu $n$.

Citiem vārdiem sakot, paaugstinot līdz jaudu, reizinātāji tiek reizināti ar to pašu jaudu. Ņemsim šo noteikumu kā piemēru:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Lēmums. Iestatiet skaitītāju uz nulli:

Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Ar pirmo reizinātāju viss ir skaidrs: $x=0$. Un šeit sākas problēmas:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(līdzināt)\]

Kā redzat, vienādojumam $((x)^(2))-6x+9=0$ ir unikāla otrās daudzveidības sakne: $x=3$. Pēc tam visu vienādojumu izliek kvadrātā. Tāpēc saknes daudzveidība būs $2\cdot 2=4$, ko mēs beidzot pierakstījām.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Nav problēmu arī ar saucēju:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\labā bultiņa x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(līdzināt)\]

Kopumā ieguvām piecus punktus: divus izsita un trīs aizpildīti. Skaitītājā un saucējā nav sakņu, kas sakrīt, tāpēc mēs tās vienkārši atzīmējam skaitļu rindā:

Mēs sakārtojam zīmes, ņemot vērā daudzveidību, un krāsojam mūs interesējošos intervālus:

Atkal viens izolēts punkts un viens caurdurts

Vienmērīgas daudzveidības sakņu dēļ mēs atkal saņēmām pāris “nestandarta” elementus. Tas ir $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nevis $x\in \left[ 0;2 \right)$, kā arī izolēts punkts $ x\in \left\( 3 \right\)$.

Atbilde. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Kā redzat, viss nav tik grūti. Galvenais ir uzmanība. Šīs nodarbības pēdējā sadaļa ir veltīta pārvērtībām – tām pašām, kuras mēs apspriedām pašā sākumā.

Pirmskonversijas

Nevienlīdzības, par kurām mēs runāsim šajā sadaļā, nav sarežģītas. Taču, atšķirībā no iepriekšējiem uzdevumiem, šeit būs jāpielieto prasmes no racionālo daļskaitļu teorijas - faktorizācijas un redukcijas līdz kopsaucējam.

Mēs šo jautājumu detalizēti apspriedām pašā šodienas nodarbības sākumā. Ja neesat pārliecināts, ka saprotat, par ko ir runa, es ļoti iesaku atgriezties un atkārtot. Jo nav jēgas piebāzt nevienādību risināšanas metodes, ja "peldat" daļskaitļu pārvēršanā.

Mājas darbos, starp citu, arī būs daudz līdzīgu uzdevumu. Tie ir ievietoti atsevišķā apakšnodaļā. Un tur jūs atradīsit ļoti netriviālus piemērus. Bet tas būs mājasdarbā, bet tagad analizēsim pāris šādas nevienlīdzības.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Lēmums. Pārvietojot visu pa kreisi:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Mēs samazinām līdz kopsaucējam, atveram iekavas, skaitītājā dodam līdzīgus terminus:

\[\begin(līdzināt) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ pa labi))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(līdzināt)\]

Tagad mums ir klasiska daļēja racionālā nevienlīdzība, kuras atrisināšana vairs nav grūta. Es ierosinu to atrisināt ar alternatīvu metodi - izmantojot intervālu metodi:

\[\begin(līdzināt) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(līdzināt)\]

Neaizmirstiet ierobežojumu, kas izriet no saucēja:

Mēs atzīmējam visus skaitļus un ierobežojumus skaitļu rindā:

Visām saknēm ir pirmā daudzveidība. Nekādu problēmu. Mēs vienkārši novietojam zīmes un krāsojam mums nepieciešamās vietas:

Tas viss. Jūs varat pierakstīt atbildi.

Atbilde. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Protams, šis bija ļoti vienkāršs piemērs. Tāpēc tagad pievērsīsimies problēmai tuvāk. Un, starp citu, šī uzdevuma līmenis ir diezgan atbilstošs patstāvīgajam un kontroles darbam par šo tēmu 8. klasē.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Lēmums. Pārvietojot visu pa kreisi:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Pirms abu daļskaitļu apvienošanas līdz kopsaucējam, mēs sadalām šos saucējus faktoros. Pēkšņi iznāks tie paši kronšteini? Ar pirmo saucēju tas ir vienkārši:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Otrais ir nedaudz grūtāks. Jūtieties brīvi pievienot konstantu reizinātāju iekavai, kurā tika atrasta daļa. Atcerieties: sākotnējam polinomam bija veselu skaitļu koeficienti, tāpēc ļoti iespējams, ka faktorizācijai būs arī veselu skaitļu koeficienti (patiesībā tā būs vienmēr, izņemot gadījumus, kad diskriminants ir neracionāls).

\[\begin(līdzināt) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(līdzināt)\]

Kā redzat, ir izplatīta iekava: $\left(x-1 \right)$. Mēs atgriežamies pie nevienlīdzības un apvienojam abas daļas pie kopsaucēja:

\[\begin(līdzināt) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ pa kreisi(3x-2\labais))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(līdzināt)\]

Iestatiet saucēju uz nulli:

\[\begin(līdzināt) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( līdzināt)\]

Nav daudzveidību un nesakrītošu sakņu. Mēs atzīmējam četrus skaitļus uz taisnas līnijas:

Mēs ievietojam zīmes:

Mēs pierakstām atbildi.

Atbilde: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ pa labi) $.

Viss! Tā es izlasīju līdz šai rindai. :)

Rakstā mēs apsvērsim nevienādību risinājums. Parunāsim skaidri par kā izveidot risinājumu nevienlīdzībai ar skaidriem piemēriem!

Pirms apsvērt nevienlīdzību risinājumu ar piemēriem, aplūkosim pamatjēdzienus.

Ievads nevienlīdzībā

nevienlīdzība sauc par izteiksmi, kurā funkcijas ir savienotas ar relāciju zīmēm >, . Nevienādības var būt gan skaitliskās, gan alfabētiskās.
Nevienādības ar divām relācijas zīmēm sauc par dubultām, ar trīs - trīskāršām utt. Piemēram:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nevienādības, kas satur zīmi > vai vai, nav stingras.
Nevienlīdzības risinājums ir jebkura mainīgā vērtība, kurai šī nevienlīdzība ir patiesa.
"Atrisiniet nevienlīdzību" nozīmē, ka jums ir jāatrod visu tā risinājumu kopa. Ir dažādi nevienlīdzību risināšanas metodes. Priekš nevienlīdzības risinājumi izmantojiet bezgalīgu skaitļu līniju. Piemēram, nevienlīdzības atrisināšana x > 3 ir intervāls no 3 līdz +, un skaitlis 3 nav iekļauts šajā intervālā, tāpēc punkts uz līnijas tiek apzīmēts ar tukšu apli, jo nevienlīdzība ir stingra.
+
Atbilde būs: x (3; +).
Vērtība x=3 nav iekļauta atrisinājumu kopā, tāpēc iekavas ir apaļas. Bezgalības zīme vienmēr ir ievietota iekavās. Zīme nozīmē "piederēt".
Apsveriet, kā atrisināt nevienlīdzības, izmantojot citu piemēru ar zīmi:
x2
-+
Vērtība x=2 ir iekļauta risinājumu kopā, tāpēc kvadrātiekava un punkts uz līnijas tiek apzīmētas ar aizpildītu apli.
Atbilde būs: x

Vienkārši izsakoties, modulis ir "skaitlis bez mīnusa". Un tieši šajā dualitātē (kaut kur nekas nav jādara ar sākotnējo numuru, bet kaut kur ir jānoņem kāds mīnuss) un visas grūtības iesācējiem ir.

Ir arī ģeometriskā definīcija. Ir arī noderīgi to zināt, bet mēs uz to atsauksimies tikai sarežģītos un dažos īpašos gadījumos, kad ģeometriskā pieeja ir ērtāka nekā algebriskā (spoileris: ne šodien).

Definīcija. Ļaujiet, lai uz reālās līnijas tiktu atzīmēts punkts $a$. Pēc tam modulis $\left| x-a \right|$ ir attālums no punkta $x$ līdz punktam $a$ šajā taisnē.

Ja zīmējat attēlu, jūs iegūstat kaut ko līdzīgu:

Grafiskā moduļa definīcija

Tā vai citādi tā galvenā īpašība uzreiz izriet no moduļa definīcijas: skaitļa modulis vienmēr ir nenegatīva vērtība. Šis fakts būs sarkans pavediens cauri visam mūsu šodienas stāstam.

Nevienādību risinājums. Atstarpes metode

Tagad tiksim galā ar nevienlīdzību. To ir ļoti daudz, bet mūsu uzdevums šobrīd ir spēt atrisināt vismaz vienkāršāko no tiem. Tie, kas tiek reducēti uz lineārām nevienādībām, kā arī uz intervālu metodi.

Man ir divas lielas pamācības par šo tēmu (starp citu, ļoti, ĻOTI noderīgas - iesaku studēt):

1. Intervālu metode nevienādībām (īpaši skatieties video);
2. Frakcionālā-racionālā nevienlīdzība ir ļoti apjomīga mācība, taču pēc tās jums vairs nepaliks nekādu jautājumu.

Ja jūs to visu zināt, ja frāze "pāriesim no nevienlīdzības uz vienādojumu" nerada neskaidru vēlmi nogalināt sevi pret sienu, tad esat gatavs: laipni lūdzam ellē stundas galvenajā tēmā. :)

1. Formas "Modulis mazāks par funkciju" nevienādības

Šis ir viens no visbiežāk sastopamajiem moduļu uzdevumiem. Ir nepieciešams atrisināt formas nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| f\right| \ltg\]

Jebkas var darboties kā funkcijas $f$ un $g$, taču parasti tie ir polinomi. Šādas nevienlīdzības piemēri:

\[\begin(līdzināt) & \left| 2x+3\pa labi| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(līdzināt)\]

Visi tie tiek atrisināti burtiski vienā rindā saskaņā ar shēmu:

\[\pa kreisi| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(līdzināt) \pa labi.\pa labi)\]

Ir viegli redzēt, ka mēs atbrīvojamies no moduļa, bet tā vietā mēs iegūstam dubultu nevienādību (vai, kas ir tas pats, divu nevienādību sistēmu). Bet šī pāreja ņem vērā pilnīgi visas iespējamās problēmas: ja skaitlis zem moduļa ir pozitīvs, metode darbojas; ja tas ir negatīvs, tas joprojām darbojas; un pat ar visneadekvātāko funkciju $f$ vai $g$ vietā, metode joprojām darbosies.

Protams, rodas jautājums: vai tas nav vieglāk? Diemžēl jūs nevarat. Šī ir visa moduļa būtība.

Bet pietiks ar filozofēšanu. Atrisināsim pāris problēmas:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| 2x+3\pa labi| \ltx+7\]

Lēmums. Tātad mums ir klasiska nevienlīdzība formā “modulis ir mazāks par” - pat nav ko pārveidot. Mēs strādājam pēc algoritma:

\[\begin(līdzināt) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\pa labi| \lt x+7\Labā bultiņa -\pa kreisi (x+7 \pa labi) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(līdzināt)\]

Nesteidzieties atvērt iekavas, kurām priekšā ir “mīnuss”: ir pilnīgi iespējams, ka steigas dēļ jūs pieļausit aizskarošu kļūdu.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin (līdzināt) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(līdzināt) \right.\]

\[\left\( \begin (līdzināt) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(līdzināt) \right.\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(līdzināt) \right.\]

Problēma ir samazināta līdz divām elementārām nevienlīdzībām. Mēs atzīmējam viņu risinājumus paralēlās reālās līnijās:

Daudzu krustojums

Atbilde būs šo kopu krustpunkts.

Atbilde: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Lēmums. Šis uzdevums ir nedaudz grūtāks. Sākumā mēs izolējam moduli, pārvietojot otro terminu pa labi:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Acīmredzot mums atkal ir nevienlīdzība formā “modulis ir mazāks”, tāpēc mēs atbrīvojamies no moduļa saskaņā ar jau zināmo algoritmu:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Tagad uzmanību: kāds teiks, ka esmu mazliet izvirtulis ar visām šīm iekavām. Taču vēlreiz atgādinu, ka mūsu galvenais mērķis ir pareizi atrisināt nevienlīdzību un saņemt atbildi. Vēlāk, kad būsi lieliski apguvis visu, kas ir aprakstīts šajā nodarbībā, vari sevi izkropļot kā gribi: atvērt iekavas, pievienot mīnusus utt.

Un iesākumam mēs vienkārši atbrīvojamies no dubultā mīnusa kreisajā pusē:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]

Tagad atvērsim visas dubultās nevienlīdzības iekavas:

Pāriesim pie dubultās nevienlīdzības. Šoreiz aprēķini būs nopietnāki:

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(līdzināt) \pa labi.\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( līdzināt)\pa labi.\]

Abas nevienādības ir kvadrātveida un tiek atrisinātas ar intervāla metodi (tāpēc es saku: ja nezini, kas tas ir, labāk moduļus vēl neuzņemties). Mēs pārejam uz vienādojumu pirmajā nevienādībā:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\beigas(līdzināt)\]

Kā redzat, izvade izrādījās nepilnīgs kvadrātvienādojums, kas tiek atrisināts elementāri. Tagad tiksim galā ar sistēmas otro nevienlīdzību. Tur jāpielieto Vietas teorēma:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\beigas(līdzināt)\]

Iegūtos skaitļus atzīmējam uz divām paralēlām līnijām (atsevišķi pirmajai nevienādībai un atsevišķi otrajai):

Atkal, tā kā mēs risinām nevienādību sistēmu, mūs interesē iekrāsoto kopu krustpunkts: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Šī ir atbilde.

Atbilde: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Es domāju, ka pēc šiem piemēriem risinājuma shēma ir ļoti skaidra:

1. Izolējiet moduli, pārvietojot visus pārējos terminus uz nevienlīdzības pretējo pusi. Tādējādi iegūstam formas $\left| nevienādību f\right| \ltg$.
2. Atrisiniet šo nevienlīdzību, atbrīvojoties no moduļa, kā aprakstīts iepriekš. Kādā brīdī būs jāpāriet no dubultās nevienlīdzības uz divu neatkarīgu izteiksmju sistēmu, no kurām katru jau var atrisināt atsevišķi.
3. Visbeidzot, atliek tikai šķērsot šo divu neatkarīgo izteiksmju atrisinājumus - un tas ir viss, mēs saņemsim galīgo atbildi.

Līdzīgs algoritms pastāv arī šāda veida nevienādībām, ja modulis ir lielāks par funkciju. Tomēr ir pāris nopietnu "bet". Mēs tagad runāsim par šiem "bet".

2. Formas "Modulis ir lielāks par funkciju" nevienādības

Tie izskatās šādi:

\[\pa kreisi| f\right| \gt g\]

Līdzīgs iepriekšējam? Šķiet, ka ir. Neskatoties uz to, šādi uzdevumi tiek risināti pavisam savādāk. Formāli shēma ir šāda:

\[\pa kreisi| f\right| \gt g\Labā bultiņa \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(līdzināt) \right.\]

Citiem vārdiem sakot, mēs aplūkojam divus gadījumus:

1. Pirmkārt, mēs vienkārši ignorējam moduli - mēs atrisinām parasto nevienlīdzību;
2. Pēc tam mēs atveram moduli ar mīnusa zīmi, un tad mēs reizinām abas nevienādības daļas ar −1 ar zīmi.

Šajā gadījumā opcijas tiek apvienotas ar kvadrātiekava, t.i. Mums ir divu prasību kombinācija.

Vēlreiz pievērsiet uzmanību: mūsu priekšā ir nevis sistēma, bet gan kopums, tāpēc atbildē kopas ir apvienotas, nevis krustotas. Tā ir būtiska atšķirība no iepriekšējās rindkopas!

Kopumā daudziem studentiem ir daudz neskaidrību ar arodbiedrībām un krustojumiem, tāpēc pievērsīsimies šim jautājumam reizi par visām reizēm:

• "∪" ir savienojuma zīme. Faktiski tas ir stilizēts burts "U", kas mums nāca no angļu valodas un ir saīsinājums no "Union", t.i. "Asociācijas".
• "∩" ir krustojuma zīme. Šīs švakas ne no kurienes nāca, bet tikai parādījās kā opozīcija "∪".

Lai to būtu vēl vieglāk atcerēties, vienkārši pievienojiet šīm zīmēm kājas, lai izgatavotu brilles (tikai tagad nepārmetiet man narkomānijas un alkoholisma veicināšanu: ja jūs nopietni mācāties šo stundu, tad jūs jau esat narkomāns):

Atšķirība starp krustojumu un kopu savienību

Tulkojumā krievu valodā tas nozīmē sekojošo: savienībā (kolekcijā) ir iekļauti elementi no abām kopām, tāpēc ne mazāk par katru no tiem; bet krustpunktā (sistēmā) ietilpst tikai tie elementi, kas ir gan pirmajā kopā, gan otrajā. Tāpēc kopu krustpunkts nekad nav lielāks par avota kopām.

Tātad kļuva skaidrāks? Tas ir lieliski. Pāriesim pie prakses.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| 3x+1 \pa labi| \gt 5-4x\]

Lēmums. Mēs rīkojamies saskaņā ar shēmu:

\[\pa kreisi| 3x+1 \pa labi| \gt 5-4x\Labā bultiņa \pa kreisi[ \begin(līdzināt) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(līdzināt) \ pa labi.\]

Mēs atrisinām katru iedzīvotāju nevienlīdzību:

\[\left[ \begin(līdzināt) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(līdzināt) \right.\]

\[\left[ \begin(līdzināt) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(līdzināt) \right.\]

\[\left[ \begin (līdzināt) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(līdzināt) \right.\]

Mēs atzīmējam katru iegūto kopu skaitļu rindā un pēc tam apvienojam:

Komplektu savienība

Acīmredzot atbilde ir $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Atbilde: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \gtx\]

Lēmums. Nu? Nē, viss ir vienādi. Mēs pārejam no nevienādības ar moduli uz divu nevienādību kopu:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \gt x\Labā bultiņa \left[ \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\beigas(līdzināt) \pa labi.\]

Mēs atrisinām katru nevienlīdzību. Diemžēl saknes tur nebūs īpaši labas:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\beigas(līdzināt)\]

Otrajā nevienlīdzībā ir arī mazliet spēles:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\beigas(līdzināt)\]

Tagad mums šie skaitļi jāatzīmē uz divām asīm - katrai nevienādībai viena ass. Tomēr punkti jāatzīmē pareizā secībā: jo lielāks skaitlis, jo tālāk punkts nobīdās pa labi.

Un šeit mēs gaidām iestatīšanu. Ja viss ir skaidrs ar cipariem $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termiņi pirmā skaitītājā daļskaitlis ir mazāks par otrās skaitītāja vārdiem, tātad arī summa ir mazāka), ar skaitļiem $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ arī nebūs nekādu grūtību (pozitīvs skaitlis acīmredzot vairāk negatīvs), bet ar pēdējo pāris viss nav tik vienkārši. Kurš ir lielāks: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ vai $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? No atbildes uz šo jautājumu būs atkarīgs punktu izkārtojums uz skaitļu taisnēm un patiesībā arī atbilde.

Tātad salīdzināsim:

\[\begin(matrica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]

Mēs izolējām sakni, saņēmām nenegatīvus skaitļus abās nevienlīdzības pusēs, tāpēc mums ir tiesības kvadrātā abas puses:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]

Manuprāt, nav prāta, ka $4\sqrt(13) \gt 3$, tātad $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, beidzot punkti uz asīm tiks sakārtoti šādi:

Neglītu sakņu gadījums

Atgādināšu, ka mēs risinām kopu, tāpēc atbilde būs savienība, nevis ēnoto kopu krustpunkts.

Atbilde: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Kā redzat, mūsu shēma lieliski darbojas gan vienkāršu, gan ļoti grūtu uzdevumu veikšanai. Vienīgā "vājā vieta" šajā pieejā ir tāda, ka jums ir pareizi jāsalīdzina neracionālie skaitļi (un ticiet man: tās nav tikai saknes). Bet salīdzināšanas jautājumiem tiks veltīta atsevišķa (un ļoti nopietna nodarbība). Un mēs ejam tālāk.

3. Nevienlīdzības ar nenegatīvām "astēm"

Tātad mēs nonācām pie interesantākā. Šīs ir formas nevienlīdzības:

\[\pa kreisi| f\right| \gt\left| g\right|\]

Vispārīgi runājot, algoritms, par kuru mēs tagad runāsim, attiecas tikai uz moduli. Tas darbojas visās nevienlīdzībās, kur ir garantētas nenegatīvas izteiksmes kreisajā un labajā pusē:

Ko darīt ar šiem uzdevumiem? Tikai atceries:

Nevienlīdzībās ar nenegatīvām astēm abas puses var pacelt uz jebkuru dabisko spēku. Papildu ierobežojumu nebūs.

Pirmkārt, mūs interesēs kvadrātošana - tas sadedzina moduļus un saknes:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\beigas(līdzināt)\]

Vienkārši nejauciet to ar kvadrāta saknes ņemšanu:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Tika pieļautas neskaitāmas kļūdas, kad students aizmirsa uzstādīt moduli! Bet tas ir pavisam cits stāsts (tie it kā iracionāli vienādojumi), tāpēc tagad tajā neiedziļināsimies. Labāk atrisināsim pāris problēmas:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Lēmums. Mēs uzreiz pamanām divas lietas:

1. Tā ir stingra nevienlīdzība. Punkti uz skaitļu līnijas tiks izspiesti.
2. Abas nevienlīdzības puses acīmredzami nav negatīvas (tā ir moduļa īpašība: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Tāpēc mēs varam kvadrātizēt abas nevienādības puses, lai atbrīvotos no moduļa un atrisinātu problēmu, izmantojot parasto intervāla metodi:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\beigas(līdzināt)\]

Pēdējā solī es nedaudz krāpjos: mainīju terminu secību, izmantojot moduļa paritāti (faktiski izteiksmi $1-2x$ reizināju ar −1).

\[\begin(līdzināt) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \) pa labi)\labie)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(līdzināt)\]

Atrisinām ar intervāla metodi. Pārejam no nevienlīdzības uz vienādojumu:

\[\begin(līdzināt) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\beigas(līdzināt)\]

Atrastās saknes atzīmējam uz skaitļu līnijas. Vēlreiz: visi punkti ir noēnoti, jo sākotnējā nevienlīdzība nav stingra!

Atbrīvošanās no moduļa zīmes

Atgādināšu īpaši spītīgajiem: mēs ņemam zīmes no pēdējās nevienlīdzības, kas tika pierakstīta pirms pāriešanas uz vienādojumu. Un mēs krāsojam tajā pašā nevienlīdzībā nepieciešamās platības. Mūsu gadījumā tas ir $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Tieši tā. Problēma atrisināta.

Atbilde: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Lēmums. Mēs visu darām tāpat. Es nekomentēšu - paskatieties uz darbību secību.

Izlīdzināsim kvadrātā:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \labais| \labais))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \pa labi))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ pa labi))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(līdzināt)\]

Atstarpes metode:

\[\begin(līdzināt) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Labā bultiņa x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\beigas(līdzināt)\]

Skaitļa rindā ir tikai viena sakne:

Atbilde ir vesela virkne

Atbilde: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Neliela piezīme par pēdējo uzdevumu. Kā precīzi atzīmēja viens no maniem studentiem, abas apakšmoduļu izteiksmes šajā nevienlīdzībā ir acīmredzami pozitīvas, tāpēc moduļa zīmi var izlaist, nekaitējot veselībai.

Bet tas jau ir pavisam cits domāšanas līmenis un cita pieeja – to nosacīti var saukt par seku metodi. Par viņu - atsevišķā nodarbībā. Un tagad pāriesim uz šodienas nodarbības pēdējo daļu un apsvērsim universālu algoritmu, kas vienmēr darbojas. Pat tad, kad visas iepriekšējās pieejas bija bezspēcīgas. :)

4. Opciju uzskaitīšanas metode

Ko darīt, ja visi šie triki nedarbojas? Ja nevienlīdzība nesamazinās līdz nenegatīvām astēm, ja nav iespējams izolēt moduli, ja vispār sāpes-skumjas-ilgas?

Tad uz skatuves ienāk visas matemātikas “smagā artilērija” - uzskaites metode. Attiecībā uz nevienādībām ar moduli tas izskatās šādi:

1. Izrakstiet visas apakšmoduļu izteiksmes un pielīdziniet tās nullei;
2. Atrisiniet iegūtos vienādojumus un atzīmējiet atrastās saknes uz vienas skaitļa līnijas;
3. Taisne tiks sadalīta vairākās sekcijās, kuru ietvaros katram modulim ir fiksēta zīme un tāpēc viennozīmīgi paplašinās;
4. Atrisiniet nevienlīdzību katrā šādā sadaļā (var atsevišķi ņemt vērā 2. punktā iegūtās robežsaknes - uzticamības labad). Apvienojiet rezultātus - šī būs atbilde. :)

Nu kā? Vāji? Viegli! Tikai uz ilgu laiku. Apskatīsim praksē:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| x+2 \pa labi| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3) (2)\]

Lēmums. Šīs muļķības nenotiek līdz tādai nevienlīdzībai kā $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ vai $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, tāpēc turpināsim.

Mēs izrakstām apakšmoduļu izteiksmes, pielīdzinām tās nullei un atrodam saknes:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightrow x=-2; \\ & x-1=0\Labā bultiņa x=1. \\\beigas(līdzināt)\]

Kopumā mums ir divas saknes, kas sadala skaitļa līniju trīs daļās, kurās katrs modulis tiek atklāts unikāli:

Skaitļa līnijas sadalīšana ar submodulāru funkciju nullēm

Apskatīsim katru sadaļu atsevišķi.

1. Ļaujiet $x \lt -2 $. Tad abas apakšmoduļa izteiksmes ir negatīvas, un sākotnējā nevienādība tiek pārrakstīta šādi:

\[\begin(līdzināt) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(līdzināt)\]

Mēs saņēmām diezgan vienkāršu ierobežojumu. Krustosim to ar sākotnējo pieņēmumu, ka $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(līdzināt) \right.\Rightrow x\in \varnothing \]

Acīmredzot mainīgais $x$ nevar vienlaikus būt mazāks par −2, bet lielāks par 1,5. Risinājumu šajā jomā nav.

1.1. Atsevišķi aplūkosim robežgadījumu: $x=-2$. Vienkārši aizstāsim šo skaitli ar sākotnējo nevienlīdzību un pārbaudīsim: vai tas ir spēkā?

\[\begin(līdzināt) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \labais|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\beigas(līdzināt)\]

Acīmredzot aprēķinu ķēde mūs ir novedusi pie nepareizas nevienlīdzības. Tāpēc arī sākotnējā nevienādība ir nepatiesa, un atbildē nav iekļauta $x=-2$.

2. Tagad ļaujiet $-2 \lt x \lt 1 $. Kreisais modulis jau atvērsies ar "plusu", bet labais joprojām ir ar "mīnusu". Mums ir:

\[\begin(līdzināt) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(līdzināt)\]

Atkal mēs krustojamies ar sākotnējo prasību:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(līdzināt) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Un atkal tukšā risinājumu kopa, jo nav skaitļu, kas būtu gan mazāki par –2,5, gan lielāki par –2.

2.1. Un atkal īpašs gadījums: $x=1$. Mēs aizstājam sākotnējo nevienlīdzību:

\[\begin(līdzināt) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\pa labi| \lt\left| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\beigas(līdzināt)\]

Līdzīgi kā iepriekšējā "īpašā gadījuma" atbildē nepārprotami nav iekļauts skaitlis $x=1$.

3. Pēdējais rindas fragments: $x \gt 1$. Šeit visi moduļi tiek paplašināti ar plus zīmi:

\[\begin(līdzināt) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(līdzināt)\ ]

Un atkal mēs krustojam atrasto kopu ar sākotnējo ierobežojumu:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(līdzināt) \right.\Rightbultiņa x\in \left(4,5;+\infty \pa labi)\]

Beidzot! Mēs esam atraduši intervālu, kas būs atbilde.

Atbilde: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Visbeidzot, viena piezīme, kas var pasargāt jūs no muļķīgām kļūdām, risinot reālas problēmas:

Nevienādību risinājumi ar moduļiem parasti ir nepārtrauktas kopas uz skaitļu līnijas - intervāli un segmenti. Izolēti punkti ir daudz retāk. Un vēl retāk gadās, ka risinājuma robežas (segmenta beigas) sakrīt ar aplūkojamā diapazona robežu.

Tāpēc, ja atbildē nav iekļautas robežas (tie ļoti “īpašie gadījumi”), tad arī laukumi pa kreisi-pa labi no šīm robežām atbildē gandrīz noteikti netiks iekļauti. Un otrādi: robeža ienāca kā atbilde, kas nozīmē, ka daži apgabali ap to arī būs atbildes.

Paturiet to prātā, pārbaudot risinājumus.

Pēc sākotnējās informācijas saņemšanas par nevienādībām ar mainīgajiem, mēs pievēršamies jautājumam par to risinājumu. Analizēsim lineāro nevienādību risinājumu ar vienu mainīgo un visas metodes to atrisināšanai ar algoritmiem un piemēriem. Tiks ņemti vērā tikai lineāri vienādojumi ar vienu mainīgo.

Kas ir lineārā nevienlīdzība?

Vispirms jādefinē lineārais vienādojums un jānoskaidro tā standarta forma un kā tas atšķirsies no citiem. No skolas kursa mēs esam atklājuši, ka nevienlīdzībām nav būtiskas atšķirības, tāpēc ir jāizmanto vairākas definīcijas.

1. definīcija

Lineārā nevienādība ar vienu mainīgo x ir nevienādība formā a x + b > 0, ja > vietā tiek izmantota jebkura nevienlīdzības zīme< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

2. definīcija

Nevienādības a x< c или a · x >c , kur x ir mainīgais un a un c ir daži skaitļi, tiek izsaukts lineāras nevienādības ar vienu mainīgo.

Tā kā nekas nav teikts par to, vai koeficients var būt vienāds ar 0, tad stingra nevienādība formā 0 x > c un 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

To atšķirības ir šādas:

• apzīmējums a · x + b > 0 pirmajā, bet a · x > c – otrajā;
• nulles koeficienta a pieļaujamība, a ≠ 0 - pirmajā un a = 0 - otrajā.

Tiek uzskatīts, ka nevienādības a x + b > 0 un a x > c ir ekvivalentas, jo tās iegūst, pārnesot terminu no vienas daļas uz otru. Nevienādības 0 · x + 5 > 0 atrisināšana novedīs pie tā, ka tā būs jāatrisina, un gadījums a = 0 nedarbosies.

3. definīcija

Tiek uzskatīts, ka lineārās nevienādības vienā mainīgajā x ir formas nevienādības a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 un a x + b ≥ 0, kur a un b ir reāli skaitļi. X vietā var būt parasts skaitlis.

Pamatojoties uz noteikumu, mums ir, ka 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 sauc par lineāriem.

Kā atrisināt lineāro nevienlīdzību

Galvenais veids, kā atrisināt šādas nevienādības, ir izmantot ekvivalentas transformācijas, lai atrastu elementārās nevienādības x< p (≤ , >, ≥) , p ir kāds skaitlis, ja a ≠ 0 , un forma a< p (≤ , >, ≥), ja a = 0 .

Lai atrisinātu nevienādību ar vienu mainīgo, varat izmantot intervāla metodi vai attēlot to grafiski. Jebkuru no tiem var izmantot atsevišķi.

Izmantojot līdzvērtīgas transformācijas

Atrisināt formas a x + b lineāro nevienādību< 0 (≤ , >, ≥) , nepieciešams piemērot ekvivalentas nevienādības transformācijas. Koeficients var būt nulle vai nebūt nulle. Apskatīsim abus gadījumus. Lai precizētu, ir jāpieturas pie shēmas, kas sastāv no 3 punktiem: procesa būtība, algoritms, pats risinājums.

4. definīcija

Lineārās nevienādības risināšanas algoritms a x + b< 0 (≤ , >, ≥), ja ≠ 0

• skaitlis b tiks pārcelts uz nevienādības labo pusi ar pretējo zīmi, kas ļaus nonākt pie ekvivalenta a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• abas nevienādības daļas tiks dalītas ar skaitli, kas nav vienāds ar 0. Turklāt, kad a ir pozitīva, zīme paliek, kad a ir negatīva, tā mainās uz pretējo.

Apsveriet šī algoritma pielietojumu piemēru risināšanai.

1. piemērs

Atrisiniet formas 3 · x + 12 ≤ 0 nevienādību.

Lēmums

Šai lineārajai nevienādībai ir a = 3 un b = 12 . Tādējādi x koeficients a nav vienāds ar nulli. Pielietosim iepriekš minētos algoritmus un atrisināsim.

Nepieciešams pārcelt terminu 12 uz citu nevienlīdzības daļu ar zīmes maiņu tās priekšā. Tad iegūstam nevienādību formā 3 · x ≤ − 12 . Ir nepieciešams dalīt abas daļas ar 3. Zīme nemainīsies, jo 3 ir pozitīvs skaitlis. Iegūstam, ka (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , kas dos rezultātu x ≤ − 4 .

Nevienādība formā x ≤ − 4 ir ekvivalenta. Tas nozīmē, ka atrisinājums 3 x + 12 ≤ 0 ir jebkurš reāls skaitlis, kas ir mazāks vai vienāds ar 4 . Atbildi raksta kā nevienādību x ≤ − 4 vai formas (− ∞ , − 4 ] skaitlisko intervālu).

Viss iepriekš aprakstītais algoritms ir uzrakstīts šādi:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ – 12; x ≤ – 4 .

Atbilde: x ≤ − 4 vai (− ∞ , − 4 ] .

2. piemērs

Norādīt visus pieejamos nevienādības − 2 , 7 · z > 0 atrisinājumus.

Lēmums

No nosacījuma mēs redzam, ka koeficients a pie z ir vienāds ar - 2, 7 un b nepārprotami nav vai ir vienāds ar nulli. Jūs nevarat izmantot pirmo algoritma soli, bet nekavējoties doties uz otro.

Mēs sadalām abas vienādojuma daļas ar skaitli - 2, 7. Tā kā skaitlis ir negatīvs, ir jāmaina nevienlīdzības zīme uz pretējo. Tas ir, mēs iegūstam, ka (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Mēs uzrakstām visu algoritmu īsā formā:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Atbilde: z< 0 или (− ∞ , 0) .

3. piemērs

Atrisiniet nevienādību - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Lēmums

Atbilstoši nosacījumam redzam, ka ir nepieciešams atrisināt nevienādību ar koeficientu a mainīgajam x, kas ir vienāds ar - 5, ar koeficientu b, kas atbilst daļai - 15 22 . Nevienādība jāatrisina pēc algoritma, tas ir: pārvietot - 15 22 uz citu daļu ar pretēju zīmi, abas daļas dalīt ar - 5, mainīt nevienlīdzības zīmi:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Pēdējā pārejā labajā pusē tiek izmantots noteikums skaitļa dalīšanai ar dažādām zīmēm 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, pēc kura parasto daļu dalām ar naturālu skaitli - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Atbilde: x ≥ - 3 22 un [ - 3 22 + ∞) .

Apsveriet gadījumu, kad a = 0. Formas a x + b lineāra izteiksme< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Visa pamatā ir nevienlīdzības risinājuma definīcija. Jebkurai x vērtībai iegūstam b formas skaitlisko nevienādību< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Mēs izskatām visus spriedumus lineāro nevienādību 0 x + b atrisināšanas algoritma veidā< 0 (≤ , > , ≥) :

5. definīcija

Formas skaitliskā nevienādība b< 0 (≤ , >, ≥) ir patiess, tad sākotnējai nevienādībai ir risinājums jebkurai vērtībai, un nepatiesa, ja sākotnējai nevienādībai nav atrisinājumu.

4. piemērs

Atrisiniet nevienādību 0 · x + 7 > 0 .

Lēmums

Šai lineārajai nevienādībai 0 · x + 7 > 0 var būt jebkura vērtība x . Tad iegūstam formas 7 > 0 nevienādību. Pēdējā nevienādība tiek uzskatīta par patiesu, tāpēc tās risinājums var būt jebkurš skaitlis.

Atbilde: intervāls (− ∞ , + ∞) .

5. piemērs

Atrodiet risinājumu nevienādībai 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Lēmums

Aizvietojot mainīgo x ar jebkuru skaitli, mēs iegūstam, ka nevienādība būs − 12 , 7 ≥ 0 . Tas ir nepareizi. Tas ir, 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nav atrisinājumu.

Atbilde: risinājumu nav.

Apsveriet lineāro nevienādību risinājumu, kur abi koeficienti ir vienādi ar nulli.

6. piemērs

Nosakiet neatrisināmu nevienādību no 0 · x + 0 > 0 un 0 · x + 0 ≥ 0 .

Lēmums

Aizvietojot jebkuru skaitli x vietā, iegūstam divas nevienādības formā 0 > 0 un 0 ≥ 0 . Pirmais ir nepareizs. Tas nozīmē, ka 0 x + 0 > 0 nav atrisinājumu, un 0 x + 0 ≥ 0 ir bezgalīgs atrisinājumu skaits, tas ir, jebkurš skaitlis.

Atbilde: nevienādībai 0 x + 0 > 0 nav atrisinājumu, un 0 x + 0 ≥ 0 ir atrisinājumi.

Šī metode tiek aplūkota skolas matemātikas kursā. Intervālu metode spēj atrisināt dažāda veida nevienādības, arī lineārās.

Intervālu metodi izmanto lineārām nevienādībām, ja koeficienta x vērtība nav vienāda ar 0 . Pretējā gadījumā jums būs jāaprēķina, izmantojot citu metodi.

6. definīcija

Atstatuma metode ir šāda:

• funkcijas y = a x + b ievads;
• meklēt nulles, lai sadalītu definīcijas domēnu intervālos;
• zīmju noteikšana to jēdzienam uz intervāliem.

Saliksim algoritmu lineāro vienādojumu a x + b risināšanai< 0 (≤ , >, ≥) ja ≠ 0, izmantojot intervāla metodi:

• funkcijas y = a · x + b nulles atrašana, lai atrisinātu vienādojumu formā a · x + b = 0 . Ja a ≠ 0, tad risinājums būs vienīgā sakne, kas pieņems apzīmējumu x 0;
• koordinātu taisnes konstruēšana ar punkta attēlu ar koordinātu x 0, ar stingru nevienādību, punkts norādīts ar štancētu, ar nestingru nevienādību tas ir noēnots;
• funkcijas y = a x + b zīmju noteikšana intervālos, šim nolūkam ir jāatrod funkcijas vērtības intervāla punktos;
• nevienādības atrisinājums ar zīmēm > vai ≥ koordinātu taisnē, izšķilšanās tiek pievienota virs pozitīvās atstarpes,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Apsveriet vairākus piemērus, kā atrisināt lineāro nevienādību, izmantojot intervālu metodi.

6. piemērs

Atrisiniet nevienādību − 3 · x + 12 > 0 .

Lēmums

No algoritma izriet, ka vispirms jāatrod vienādojuma sakne − 3 · x + 12 = 0 . Mēs iegūstam, ka − 3 · x = − 12 , x = 4 . Nepieciešams attēlot koordinātu līniju, kurā atzīmējam punktu 4. Tas tiks pārdurts, jo nevienlīdzība ir stingra. Apsveriet tālāk redzamo zīmējumu.

Ir nepieciešams noteikt zīmes uz intervāliem. Lai to noteiktu intervālā (− ∞ , 4) , jāaprēķina funkcija y = − 3 · x + 12 pie x = 3 . No šejienes mēs iegūstam, ka − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Zīme uz spraugas ir pozitīva.

Mēs nosakām zīmi no intervāla (4, + ∞), pēc tam aizstājam vērtību x \u003d 5. Mums ir − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Nevienādības atrisinājumu veicam ar zīmi > , un izšķilšanās tiek veikta virs pozitīvās spraugas. Apsveriet tālāk redzamo zīmējumu.

No zīmējuma redzams, ka vēlamajam risinājumam ir forma (− ∞ , 4) vai x< 4 .

Atbilde: (− ∞ , 4) vai x< 4 .

Lai saprastu, kā attēlot grafiski, ir jāņem vērā 4 lineārās nevienādības kā piemērs: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 un 0 , 5 x - 1 ≥ 0 . Viņu risinājumi būs x< 2 , x ≤ 2 , x >2 un x ≥ 2 . Lai to izdarītu, zemāk uzzīmējiet lineārās funkcijas y = 0 , 5 · x − 1 grafiku.

Tas ir skaidrs

7. definīcija

• nevienādības 0 , 5 x − 1 atrisinājums< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• risinājums 0 , 5 x − 1 ≤ 0 ir intervāls, kurā funkcija y = 0, 5 x − 1 ir mazāka par 0 x vai sakrīt;
• risinājumu 0 , 5 x − 1 > 0 uzskata par intervālu, kur funkcija atrodas virs O x;
• risinājums 0 , 5 x − 1 ≥ 0 ir intervāls, kurā grafiks ir augstāks par O x vai sakrīt.

Nevienādību grafiskā risinājuma jēga ir atrast spraugas, kuras jāattēlo grafikā. Šajā gadījumā mēs iegūstam, ka kreisajā pusē ir y \u003d a x + b, bet labajā pusē ir y \u003d 0, un tas sakrīt ar aptuveni x.

8. definīcija

Tiek veikta funkcijas y = a x + b diagramma:

• vienlaikus risinot nevienādību a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• risinot nevienādību a x + b ≤ 0, nosaka intervālu, kur grafiks ir attēlots zem O x ass vai sakrīt;
• risinot nevienādību a x + b > 0, tiek noteikts intervāls, kur grafiks attēlots virs O x;
• risinot nevienādību a x + b ≥ 0, nosaka intervālu, kur grafiks atrodas virs O x vai sakrīt.

7. piemērs

Izmantojot grafiku, atrisiniet nevienādību - 5 · x - 3 > 0.

Lēmums

Nepieciešams izveidot lineāras funkcijas grafiku - 5 · x - 3 > 0 . Šī līnija samazinās, jo koeficients x ir negatīvs. Lai noteiktu tā krustošanās punkta koordinātas ar O x - 5 · x - 3 > 0, iegūstam vērtību - 3 5 . Iezīmēsim to grafiku.

Nevienādības atrisinājums ar zīmi >, tad jāpievērš uzmanība intervālam virs O x. Mēs iezīmējam vajadzīgo plaknes daļu sarkanā krāsā un iegūstam to

Nepieciešamā atstarpe ir sarkanās krāsas O x daļa. Tādējādi atvērtais skaitļu stars - ∞ , - 3 5 būs nevienādības atrisinājums. Ja pēc nosacījuma viņiem būtu nevienlīdzība, tad arī punkta vērtība - 3 5 būtu nevienlīdzības risinājums. Un sakristu ar O x.

Atbilde: - ∞ , - 3 5 vai x< - 3 5 .

Grafiskais risinājums tiek izmantots, ja kreisā puse atbildīs funkcijai y = 0 x + b , tas ir, y = b . Tad līnija būs paralēla O x vai sakritīs ar b \u003d 0. Šie gadījumi parāda, ka nevienlīdzībai var nebūt atrisinājumu vai risinājums var būt jebkurš skaitlis.

8. piemērs

Nosakiet no nevienādībām 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Lēmums

Attēlojums y = 0 x + 7 ir y = 7 , tad tiks dota koordinātu plakne ar taisni paralēli O x un virs O x. Tātad 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Funkcijas y \u003d 0 x + 0 grafiks tiek uzskatīts par y \u003d 0, tas ir, līnija sakrīt ar O x. Tādējādi nevienādībai 0 · x + 0 ≥ 0 ir daudz atrisinājumu.

Atbilde: otrajai nevienādībai ir risinājums jebkurai x vērtībai.

Lineārās nevienādības

Nevienādību atrisinājumu var reducēt līdz lineāra vienādojuma atrisinājumam, ko sauc par lineārām nevienādībām.

Šīs nevienlīdzības tika aplūkotas skolas kursā, jo tās bija īpašs nevienlīdzību risināšanas gadījums, kā rezultātā tika atvērtas iekavas un samazināti līdzīgi termini. Piemēram, ņemiet vērā, ka 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Iepriekš norādītās nevienādības vienmēr tiek reducētas līdz lineāra vienādojuma formai. Pēc tam tiek atvērtas iekavas un doti līdzīgi termini, kas pārnesti no dažādām daļām, mainot zīmi uz pretējo.

Reducējot nevienādību 5 − 2 x > 0 uz lineāru, mēs to attēlojam tā, lai tai būtu forma − 2 x + 5 > 0 , un, lai samazinātu otro, iegūstam 7 (x − 1 ) + 3 ≤ 4 x - 2 + x . Jāatver iekavas, jānes līdzīgi termini, jāpārvieto visi termini uz kreiso pusi un jāatnes līdzīgi termini. Tas izskatās šādi:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Tas rada lineāras nevienlīdzības risinājumu.

Šīs nevienādības tiek uzskatītas par lineārām, jo ​​tām ir vienāds risināšanas princips, pēc kura tās var reducēt līdz elementārām nevienādībām.

Lai atrisinātu šāda veida nevienlīdzību, ir nepieciešams to reducēt uz lineāru. Tas jādara šādi:

9. definīcija

• atvērtas iekavas;
• savāc mainīgos pa kreisi un skaitļus labajā pusē;
• celt līdzīgus noteikumus;
• sadaliet abas daļas ar koeficientu x .

9. piemērs

Atrisiniet nevienādību 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Lēmums

Izvēršam iekavas, tad iegūstam formas 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 nevienādību. Pēc līdzīgu terminu samazināšanas iegūstam, ka 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Pēc terminu pārvietošanas no kreisās puses uz labo, iegūstam, ka 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Līdz ar to tai ir nevienādība formā 32 ≤ 0 no aprēķinos iegūtā rezultāta 0 · x + 32 ≤ 0 . Var redzēt, ka nevienādība ir nepatiesa, kas nozīmē, ka nosacījuma dotajai nevienādībai nav atrisinājumu.

Atbilde: nav risinājumu.

Ir vērts atzīmēt, ka pastāv daudzas cita veida nevienlīdzības, kuras var reducēt līdz lineārai vai iepriekš parādītajai nevienādībai. Piemēram, 5 2 x − 1 ≥ 1 ir eksponenciālais vienādojums, kas reducējas līdz lineāram risinājumam 2 · x − 1 ≥ 0 . Šie gadījumi tiks ņemti vērā, risinot šāda veida nevienādības.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter