"daļējo racionālo vienādojumu risinājums". Racionālie vienādojumi

Vienkāršošanai tiek izmantots mazākais kopsaucējs dots vienādojums. Šo metodi izmanto, ja jūs nevarat uzrakstīt doto vienādojumu ar vienu racionālu izteiksmi katrā vienādojuma pusē (un izmantojiet krusteniskās reizināšanas metodi). Šo metodi izmanto, ja tiek dots racionāls vienādojums ar 3 vai vairāk daļskaitļiem (divu daļskaitļu gadījumā labāka ir krusteniskā reizināšana).

Atrodiet daļskaitļu mazāko kopsaucēju (vai mazāko kopīgo reizinātāju). NOZ ir mazākais skaitlis, kas vienmērīgi dalās ar katru saucēju.

• Dažreiz NOZ ir acīmredzams skaitlis. Piemēram, ja ir dots vienādojums: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, tad ir acīmredzams, ka skaitļu 3, 2 un 6 mazākais kopīgais daudzkārtnis būs 6.
• Ja NOD nav acīmredzams, pierakstiet lielākā saucēja daudzkārtņus un atrodiet starp tiem arī tādu, kas ir arī citu saucēju daudzkārtnis. Bieži vien NOD var atrast, vienkārši reizinot divus saucējus. Piemēram, ja ir dots vienādojums x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, tad NOZ = 8*9 = 72.
• Ja viens vai vairāki saucēji satur mainīgo, process ir nedaudz sarežģītāks (bet ne neiespējams). Šajā gadījumā NOZ ir izteiksme (kas satur mainīgo), kas dalās ar katru saucēju. Piemēram, vienādojumā 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), jo šī izteiksme dalās ar katru saucēju: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Katras daļas skaitītāju un saucēju reiziniet ar skaitli, kas vienāds ar NOZ dalīšanas ar katras daļas atbilstošo saucēju. Tā kā jūs reizinat gan skaitītāju, gan saucēju ar vienu un to pašu skaitli, jūs faktiski reizinat daļu ar 1 (piemēram, 2/2 = 1 vai 3/3 = 1).

• Tātad mūsu piemērā reiziniet x/3 ar 2/2, lai iegūtu 2x/6, un reiziniet 1/2 ar 3/3, lai iegūtu 3/6 (3x + 1/6 nav jāreizina, jo tas ir saucējs 6).
• Rīkojieties līdzīgi, ja mainīgais ir saucējā. Mūsu otrajā piemērā NOZ = 3x(x-1), tātad 5/(x-1) reizes (3x)/(3x) ir 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x reiz 3(x-1)/3(x-1), lai iegūtu 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) reiziniet ar (x-1)/(x-1) un iegūstiet 2(x-1)/3x(x-1).

Atrodi x. Tagad, kad esat samazinājis daļskaitļus līdz kopsaucējam, varat atbrīvoties no saucēja. Lai to izdarītu, reiziniet katru vienādojuma pusi ar kopsaucēju. Pēc tam atrisiniet iegūto vienādojumu, tas ir, atrodiet "x". Lai to izdarītu, izolējiet mainīgo vienādojuma vienā pusē.

• Mūsu piemērā: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Jūs varat pievienot 2 frakcijas ar tas pats saucējs, tāpēc ierakstiet vienādojumu šādi: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 6 un atbrīvojieties no saucējiem: 2x+3 = 3x +1. Atrisiniet un iegūstiet x = 2.
• Mūsu otrajā piemērā (ar mainīgo saucējā) vienādojums izskatās šādi (pēc reducēšanas līdz kopsaucējam): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x (x-1). Reizinot abas vienādojuma puses ar NOZ, jūs atbrīvojaties no saucēja un iegūstat: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), vai 15x = 3x - 3 + 2x -2, vai 15x = x - 5 Atrisiniet un iegūstiet: x = -5/14.

Vienkārši sakot, tie ir vienādojumi, kuros ir vismaz viens ar mainīgo saucējā.

Piemēram:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Piemērs nē daļēja racionālie vienādojumi:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kā tiek atrisināti racionālie vienādojumi?

Galvenais, kas jāatceras par racionālajiem vienādojumiem, ir tas, ka tajos ir jāieraksta. Un pēc sakņu atrašanas noteikti pārbaudiet to pieļaujamību. Pretējā gadījumā var parādīties svešas saknes, un viss risinājums tiks uzskatīts par nepareizu.

Algoritms daļēja racionāla vienādojuma risināšanai:

Izrakstiet un "atrisiniet" ODZ.

Reiziniet katru vienādojuma vārdu ar kopsaucēju un samaziniet iegūtās daļas. Saucēji pazudīs.

Uzrakstiet vienādojumu, neatverot iekavas.

Atrisiniet iegūto vienādojumu.

Pārbaudiet atrastās saknes ar ODZ.

Atbildot uz to, pierakstiet saknes, kas izturēja pārbaudi 7. darbībā.

Neatcerieties algoritmu, 3-5 atrisinātus vienādojumus - un tas pats par sevi atcerēsies.

Piemērs . Atrisiniet daļējo racionālo vienādojumu \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Lēmums:

Atbilde: \(3\).

Piemērs . Atrodiet daļējā racionālā vienādojuma \(=0\) saknes

Lēmums:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Mēs pierakstām un "atrisinām" ODZ. Izvērsiet \(x^2+7x+10\) formulā: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Par laimi \(x_1\) un \(x_2\) mēs jau esam atraduši.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Acīmredzot daļskaitļu kopsaucējs: \((x+2)(x+5)\). Mēs ar to reizinām visu vienādojumu.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Mēs samazinām frakcijas
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Atverot kronšteinus
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Mēs sniedzam līdzīgus noteikumus
\(2x^2+9x-5=0\)		Vienādojuma sakņu atrašana
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Viena no saknēm neietilpst zem ODZ, tāpēc atbildē mēs pierakstām tikai otro sakni.

Atbilde: \(\frac(1)(2)\).

Nodarbības mērķi:

Apmācība:

• daļējo racionālo vienādojumu jēdziena veidošana;
• apsvērt dažādus daļējo racionālo vienādojumu risināšanas veidus;
• apsvērt daļskaitļu racionālu vienādojumu risināšanas algoritmu, iekļaujot nosacījumu, ka daļa ir vienāda ar nulli;
• iemācīt daļskaitļu racionālu vienādojumu atrisināšanu pēc algoritma;
• tēmas asimilācijas līmeņa pārbaude, veicot pārbaudes darbu.

Attīstās:

• attīstīt spēju pareizi operēt ar iegūtajām zināšanām, loģiski domāt;
• intelektuālo prasmju un prāta operāciju attīstība - analīze, sintēze, salīdzināšana un vispārināšana;
• iniciatīvas attīstība, spēja pieņemt lēmumus, neapstāties pie tā;
• attīstību kritiskā domāšana;
• pētniecisko prasmju attīstība.

Audzēšana:

• audzināšana kognitīvā interese uz tēmu;
• patstāvības audzināšana izglītības problēmu risināšanā;
• gribas un neatlaidības audzināšana gala rezultātu sasniegšanai.

Nodarbības veids: nodarbība - jaunā materiāla skaidrojums.

Nodarbību laikā

1. Organizatoriskais moments.

Sveiki puiši! Vienādojumi ir uzrakstīti uz tāfeles, uzmanīgi apskatiet tos. Vai jūs varat atrisināt visus šos vienādojumus? Kuras nav un kāpēc?

Vienādojumus, kuros kreisā un labā puse ir daļējas racionālas izteiksmes, sauc par daļējiem racionālajiem vienādojumiem. Kā jūs domājat, ko mēs šodien mācīsim stundā? Formulējiet nodarbības tēmu. Tātad, mēs atveram piezīmju grāmatiņas un pierakstām nodarbības tēmu “Daļējo racionālo vienādojumu risinājums”.

2. Zināšanu aktualizēšana. Frontālā aptauja, mutisks darbs ar klasi.

Un tagad mēs atkārtosim galveno teorētisko materiālu, kas mums ir jāizpēta jauna tēma. Lūdzu, atbildiet uz šādiem jautājumiem:

1. Kas ir vienādojums? ( Vienlīdzība ar mainīgo vai mainīgajiem.)
2. Kā sauc vienādojumu #1? ( Lineārs.) Lineāro vienādojumu risināšanas metode. ( Pārvietojiet visu ar nezināmo uz vienādojuma kreiso pusi, visus skaitļus pa labi. Atnesiet līdzīgus nosacījumus. Atrodiet nezināmo reizinātāju).
3. Kā sauc 3. vienādojumu? ( Kvadrāts.) Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes. ( Pilna kvadrāta izvēle pēc formulām, izmantojot Vietas teorēmu un tās sekas.)
4. Kas ir proporcija? ( Divu attiecību vienlīdzība.) Galvenā proporcijas īpašība. ( Ja proporcija ir patiesa, tad tās galējo daļu reizinājums ir vienāds ar vidējo vārdu reizinājumu.)
5. Kādas īpašības izmanto vienādojumu risināšanai? ( 1. Ja vienādojumā pārnesam terminu no vienas daļas uz otru, mainot tā zīmi, tad iegūstam vienādojumu, kas līdzvērtīgs dotajam. 2. Ja abas vienādojuma daļas reizina vai dala ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle, tad tiks iegūts vienādojums, kas ir līdzvērtīgs dotajam.)
6. Kad daļa ir vienāda ar nulli? ( Daļa ir nulle, ja skaitītājs nulle, un saucējs nav vienāds ar nulli.)

3. Jaunā materiāla skaidrojums.

Atrisiniet vienādojumu Nr.2 burtnīcās un uz tāfeles.

Atbilde: 10.

Kādu daļēju racionālu vienādojumu jūs varat mēģināt atrisināt, izmantojot proporcijas pamatīpašību? (Nr. 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Atrisiniet vienādojumu Nr.4 burtnīcās un uz tāfeles.

Atbilde: 1,5.

Kādu daļēju racionālu vienādojumu jūs varat mēģināt atrisināt, reizinot abas vienādojuma puses ar saucēju? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Atbilde: 3;4.

Tagad mēģiniet atrisināt vienādojumu #7 kādā no veidiem.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 = 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Atbilde: 0;5;-2.			Atbilde: 5;-2.

Paskaidrojiet, kāpēc tas notika? Kāpēc vienā gadījumā ir trīs saknes, bet otrā – divas? Kādi skaitļi ir šī daļējā racionālā vienādojuma saknes?

Līdz šim skolēni nav satikuši svešas saknes jēdzienu, viņiem tiešām ir ļoti grūti saprast, kāpēc tas notika. Ja klasē neviens nevar sniegt skaidru skaidrojumu par šo situāciju, tad skolotājs uzdod vadošus jautājumus.

• Kā vienādojumi Nr.2 un 4 atšķiras no vienādojumiem Nr.5,6,7? ( Vienādojumos Nr.2 un 4 skaitļa saucējā, Nr.5-7 - izteiksmes ar mainīgo.)
• Kāda ir vienādojuma sakne? ( Mainīgā lieluma vērtība, pie kuras vienādojums kļūst par patiesu vienādību.)
• Kā uzzināt, vai skaitlis ir vienādojuma sakne? ( Veikt pārbaudi.)

Veicot kontroldarbu, daži skolēni ievēro, ka jādala ar nulli. Viņi secina, ka skaitļi 0 un 5 nav šī vienādojuma saknes. Rodas jautājums: vai ir veids, kā atrisināt daļējus racionālos vienādojumus, kas novērš šo kļūdu? Jā, šīs metodes pamatā ir nosacījums, ka daļa ir vienāda ar nulli.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Ja x=5, tad x(x-5)=0, tātad 5 ir sveša sakne.

Ja x=-2, tad x(x-5)≠0.

Atbilde: -2.

Mēģināsim noformulēt algoritmu frakcionētu racionālu vienādojumu risināšanai šādā veidā. Bērni paši formulē algoritmu.

Algoritms frakcionētu racionālu vienādojumu risināšanai:

1. Pārvietojiet visu pa kreisi.
2. Saved daļskaitļus līdz kopsaucējam.
3. Izveidojiet sistēmu: daļskaitlis ir nulle, ja skaitītājs ir nulle un saucējs nav nulle.
4. Atrisiniet vienādojumu.
5. Pārbaudiet nevienlīdzību, lai izslēgtu svešas saknes.
6. Pierakstiet atbildi.

Diskusija: kā formalizēt risinājumu, ja tiek izmantota proporcijas pamatīpašība un vienādojuma abu pušu reizināšana ar kopsaucēju. (Papildiniet risinājumu: izslēdziet no tā saknēm tos, kas kopsaucēju pārvērš uz nulli).

4. Jaunā materiāla primārā izpratne.

Strādāt pāros. Studenti paši izvēlas, kā atrisināt vienādojumu, atkarībā no vienādojuma veida. Uzdevumi no mācību grāmatas "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600 (b, c, i); Nr. 601(a, e, g). Skolotājs kontrolē uzdevuma izpildi, atbild uz radušajiem jautājumiem, sniedz palīdzību slikti veicošajiem skolēniem. Pašpārbaude: atbildes ir uzrakstītas uz tāfeles.

b) 2 ir sveša sakne. Atbilde: 3.

c) 2 ir sveša sakne. Atbilde: 1.5.

a) Atbilde: -12.5.

g) Atbilde: 1; 1.5.

5. Mājas darbu izraksts.

1. Izlasiet mācību grāmatas 25. punktu, analizējiet piemērus 1-3.
2. Apgūstiet daļējo racionālo vienādojumu risināšanas algoritmu.
3. Atrisināt burtnīcās Nr.600 (a, d, e); Nr. 601 (g, h).
4. Mēģiniet atrisināt #696(a) (pēc izvēles).

6. Kontroluzdevuma izpilde par pētāmo tēmu.

Darbs tiek veikts uz loksnēm.

Darba piemērs:

A) Kuri no vienādojumiem ir daļēji racionāli?

B) Daļa ir nulle, ja skaitītājs ir ______________________ un saucējs ir ___________________________.

J) Vai skaitlis -3 ir 6. vienādojuma sakne?

D) Atrisiniet vienādojumu Nr.7.

Uzdevuma vērtēšanas kritēriji:

• "5" tiek dota, ja skolēns pareizi izpildījis vairāk nekā 90% no uzdevuma.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" tiek piešķirts skolēnam, kurš izpildījis mazāk par 50% no uzdevuma.
• 2. pakāpi žurnālā neieliek, 3. ir pēc izvēles.

7. Atspulgs.

Uz brošūrām ar patstāvīgu darbu ievietojiet:

• 1 - ja nodarbība jums bija interesanta un saprotama;
• 2 - interesanti, bet nav skaidrs;
• 3 - nav interesanti, bet saprotami;
• 4 - nav interesanti, nav skaidrs.

8. Nodarbības rezumēšana.

Tātad, šodien nodarbībā mēs iepazināmies ar daļskaitļu racionālajiem vienādojumiem, mācījāmies, kā atrisināt šos vienādojumus Dažādi ceļi, pārbaudīja savas zināšanas ar apmācību palīdzību patstāvīgs darbs. Patstāvīgā darba rezultātus uzzināsiet nākamajā nodarbībā, mājās būs iespēja nostiprināt iegūtās zināšanas.

Kāda daļējo racionālo vienādojumu risināšanas metode, jūsuprāt, ir vieglāka, pieejamāka, racionālāka? Neatkarīgi no daļējo racionālo vienādojumu risināšanas metodes, ko nevajadzētu aizmirst? Kāda ir daļējo racionālo vienādojumu "viltība"?

Paldies visiem, nodarbība ir beigusies.

Iepazīsimies ar racionālajiem un daļējiem racionālajiem vienādojumiem, sniegsim to definīcijas, sniegsim piemērus, kā arī analizēsim biežāk sastopamos problēmu veidus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionālais vienādojums: definīcija un piemēri

Iepazīšanās ar racionāliem izteicieniem sākas skolas 8. klasē. Šajā laikā algebras stundās skolēni arvien biežāk sāk izpildīt uzdevumus ar vienādojumiem, kas satur racionālas izpausmes jūsu piezīmēs. Atsvaidzināsim savu atmiņu par to, kas tas ir.

1. definīcija

racionāls vienādojums ir vienādojums, kurā abas puses satur racionālas izteiksmes.

Dažādās rokasgrāmatās jūs varat atrast citu formulējumu.

2. definīcija

racionāls vienādojums- tas ir vienādojums, kura kreisās puses ierakstā ir racionāla izteiksme, bet labajā - nulle.

Racionālo vienādojumu definīcijas ir līdzvērtīgas, jo tās nozīmē vienu un to pašu. Mūsu vārdu pareizību apstiprina fakts, ka jebkurai racionālai izteiksmei P un J vienādojumi P=Q un P - Q = 0 būs līdzvērtīgi izteicieni.

Tagad pievērsīsimies piemēriem.

1. piemērs

Racionālie vienādojumi:

x = 1, 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

Racionālie vienādojumi, tāpat kā cita veida vienādojumi, var saturēt jebkuru mainīgo skaitu no 1 līdz vairākiem. Sākumā mēs apsvērsim vienkārši piemēri, kurā vienādojumos būs tikai viens mainīgais. Un tad mēs sākam pakāpeniski sarežģīt uzdevumu.

Racionālie vienādojumi ir sadalīti divās lielās grupās: veselos skaitļos un daļskaitļos. Apskatīsim, kuri vienādojumi attieksies uz katru no grupām.

3. definīcija

Racionālais vienādojums būs vesels skaitlis, ja tā kreisās un labās daļas ieraksts satur veselas racionālas izteiksmes.

4. definīcija

Racionālais vienādojums būs daļskaitlis, ja vienā vai abās tā daļās ir daļa.

Daļēji racionālie vienādojumi obligāti satur dalījumu ar mainīgo, vai arī mainīgais ir iekļauts saucējā. Veselo skaitļu vienādojumu rakstīšanā šāda dalījuma nav.

2. piemērs

3 x + 2 = 0 un (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0, 5 ir veseli racionāli vienādojumi. Šeit abas vienādojuma daļas ir attēlotas ar veselu skaitļu izteiksmēm.

1 x - 1 = x 3 un x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5 ir daļēji racionāli vienādojumi.

Visi racionālie vienādojumi ietver lineāros un kvadrātvienādojumus.

Veselo skaitļu vienādojumu atrisināšana

Šādu vienādojumu risinājums parasti tiek reducēts līdz to pārveidošanai līdzvērtīgos algebriskos vienādojumos. To var panākt, veicot līdzvērtīgas vienādojumu transformācijas saskaņā ar šādu algoritmu:

• vispirms vienādojuma labajā pusē iegūstam nulli, šim nolūkam ir jāpārnes izteiksme, kas atrodas vienādojuma labajā pusē, uz tā kreiso pusi un jāmaina zīme;
• tad vienādojuma kreisajā pusē esošo izteiksmi pārveidojam par polinomu standarta skats.

Mums ir jāiegūst algebriskais vienādojums. Šis vienādojums būs līdzvērtīgs sākotnējam vienādojumam. Vienkārši gadījumi ļauj mums atrisināt problēmu, samazinot visu vienādojumu līdz lineāram vai kvadrātiskam. Vispārīgā gadījumā mēs atrisinām pakāpes algebrisko vienādojumu n.

3. piemērs

Ir jāatrod visa vienādojuma saknes 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Lēmums

Pārveidosim sākotnējo izteiksmi, lai iegūtu tai ekvivalentu algebrisko vienādojumu. Lai to izdarītu, vienādojuma labajā pusē esošo izteiksmi pārnesim uz kreiso pusi un mainīsim zīmi uz pretējo. Rezultātā mēs iegūstam: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Tagad mēs pārveidosim izteiksmi, kas atrodas kreisajā pusē, par standarta formas polinomu un izpildīsim nepieciešamās darbības ar šo polinomu:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Mums izdevās reducēt sākotnējā vienādojuma atrisinājumu līdz kvadrātvienādojuma formas atrisinājumam x 2 - 5 x - 6 = 0. Šī vienādojuma diskriminants ir pozitīvs: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Tas nozīmē, ka būs divas īstas saknes. Atradīsim tos, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 vai x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 vai x 2 = - 1

Pārbaudīsim risinājuma gaitā atrastā vienādojuma sakņu pareizību. Šo skaitli, ko mēs saņēmām, mēs aizstājam ar sākotnējo vienādojumu: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 un 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Pirmajā gadījumā 63 = 63 , otrajā 0 = 0 . Saknes x=6 un x = – 1 patiešām ir vienādojuma saknes, kas norādītas piemēra nosacījumā.

Atbilde: 6 , − 1 .

Apskatīsim, ko nozīmē "visa vienādojuma spēks". Mēs bieži sastopamies ar šo terminu gadījumos, kad mums ir jāattēlo viss vienādojums algebriskā formā. Definēsim jēdzienu.

5. definīcija

Vesela skaitļa vienādojuma pakāpe ir algebriskā vienādojuma pakāpe, kas līdzvērtīga sākotnējam veselam vienādojumam.

Ja aplūkojat vienādojumus no iepriekš minētā piemēra, varat noteikt: visa šī vienādojuma pakāpe ir otrā.

Ja mūsu kurss aprobežotos ar otrās pakāpes vienādojumu risināšanu, tad tēmas izskatīšanu varētu pabeigt šeit. Bet viss nav tik vienkārši. Trešās pakāpes vienādojumu risināšana ir saistīta ar grūtībām. Un vienādojumiem virs ceturtās pakāpes tas vispār nepastāv vispārīgas formulas saknes. Šajā sakarā veselu trešās, ceturtās un citu grādu vienādojumu risināšanai ir jāizmanto vairākas citas metodes un metodes.

Visbiežāk izmantotā pieeja visu racionālo vienādojumu risināšanai ir balstīta uz faktorizācijas metodi. Darbību algoritms šajā gadījumā ir šāds:

• mēs pārnesam izteiksmi no labās puses uz kreiso pusi, lai ieraksta labajā pusē paliktu nulle;
• mēs attēlojam izteiksmi kreisajā pusē kā faktoru reizinājumu, un tad mēs pārejam pie vairāku vienkāršāku vienādojumu kopas.

4. piemērs

Atrodiet atrisinājumu vienādojumam (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) = 2 x (x 2 - 10 x + 13) .

Lēmums

Mēs pārnesam izteiksmi no ieraksta labās puses uz kreiso pusi ar pretēju zīmi: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. Kreisās puses pārvēršana par standarta formas polinomu ir nepraktiska, jo tādējādi tiks iegūts ceturtās pakāpes algebriskais vienādojums: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Pārveidošanas vieglums neattaisno visas grūtības, kas rodas, risinot šādu vienādojumu.

Ir daudz vieglāk iet citu ceļu: mēs izņemam kopējo faktoru x 2 – 10 x + 13 . Tādējādi mēs nonākam pie formas vienādojuma (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Tagad iegūto vienādojumu aizstājam ar divu kvadrātvienādojumu kopu x 2 – 10 x + 13 = 0 un x 2 - 2 x - 1 = 0 un atrodiet to saknes, izmantojot diskriminantu: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Atbilde: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Līdzīgi mēs varam izmantot jauna mainīgā ieviešanas metodi. Šī metode ļauj mums pāriet uz līdzvērtīgiem vienādojumiem ar jaudām, kas ir mazākas nekā sākotnējā vienādojumā.

5. piemērs

Vai vienādojumam ir saknes? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Lēmums

Ja tagad mēģināsim reducēt veselu racionālu vienādojumu uz algebrisku, mēs iegūsim 4. pakāpes vienādojumu, kuram nav racionālu sakņu. Tāpēc mums būs vieglāk iet citu ceļu: ieviest jaunu mainīgo y, kas aizstās izteiksmi vienādojumā x 2 + 3 x.

Tagad mēs strādāsim ar visu vienādojumu (y + 1) 2 + 10 = – 2 (y – 4). Mēs pārnesam vienādojuma labo pusi uz kreiso pusi ar pretējo zīmi un veicam nepieciešamās transformācijas. Mēs iegūstam: y 2 + 4 y + 3 = 0. Atradīsim kvadrātvienādojuma saknes: y = – 1 un y = – 3.

Tagad veiksim apgriezto aizstāšanu. Mēs iegūstam divus vienādojumus x 2 + 3 x = – 1 un x 2 + 3 x = - 3 . Pārrakstīsim tos kā x 2 + 3 x + 1 = 0 un x 2 + 3 x + 3 = 0. Lai atrastu pirmā iegūtā vienādojuma saknes, mēs izmantojam kvadrātvienādojuma sakņu formulu: - 3 ± 5 2 . Otrā vienādojuma diskriminants ir negatīvs. Tas nozīmē, ka otrajam vienādojumam nav reālu sakņu.

Atbilde:- 3 ± 5 2

Augstu pakāpju veselu skaitļu vienādojumi problēmās sastopami diezgan bieži. No tiem nav jābaidās. To risināšanai jābūt gatavam pielietot nestandarta metodi, ieskaitot vairākas mākslīgas pārvērtības.

Daļēji racionālu vienādojumu risinājums

Mēs sākam šīs apakštēmas apskatu ar algoritmu daļēji racionālu vienādojumu risināšanai formā p (x) q (x) = 0 , kur p(x) un q(x) ir veselu skaitļu racionālas izteiksmes. Citu daļēji racionālu vienādojumu atrisinājumu vienmēr var reducēt uz norādītās formas vienādojumu atrisinājumu.

Visbiežāk izmantotā metode vienādojumu p (x) q (x) = 0 risināšanai ir balstīta uz šādu apgalvojumu: skaitliskā daļa u v, kur v ir skaitlis, kas atšķiras no nulles, vienāds ar nulli tikai gadījumos, kad daļdaļas skaitītājs ir vienāds ar nulli. Sekojot iepriekšminētā apgalvojuma loģikai, mēs varam apgalvot, ka vienādojuma p (x) q (x) = 0 atrisinājumu var reducēt līdz divu nosacījumu izpildei: p(x)=0 un q(x) ≠ 0. Uz tā tiek izveidots algoritms daļēju racionālu vienādojumu risināšanai formā p (x) q (x) = 0:

• mēs atrodam visa racionālā vienādojuma atrisinājumu p(x)=0;
• pārbaudām, vai nosacījums ir izpildīts risinājuma laikā atrastajām saknēm q(x) ≠ 0.

Ja šis nosacījums ir izpildīts, tad atrastā sakne.Ja nē, tad sakne nav problēmas risinājums.

6. piemērs

Atrodiet vienādojuma 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 saknes.

Lēmums

Mums ir darīšana ar daļēju racionālu vienādojumu formā p (x) q (x) = 0 , kurā p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Sāksim risināt lineāro vienādojumu 3 x - 2 = 0. Šī vienādojuma sakne būs x = 2 3.

Pārbaudīsim atrasto sakni, vai tā apmierina nosacījumu 5 x 2 - 2 ≠ 0. Lai to izdarītu, izteiksmē aizstājiet skaitlisku vērtību. Mēs iegūstam: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Nosacījums ir izpildīts. Tas nozīmē, ka x = 2 3 ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde: 2 3 .

Ir vēl viena iespēja daļējo racionālo vienādojumu atrisināšanai p (x) q (x) = 0 . Atcerieties, ka šis vienādojums ir līdzvērtīgs visam vienādojumam p(x)=0 uz sākotnējā vienādojuma mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazonu. Tas ļauj mums izmantot šādu algoritmu, risinot vienādojumus p(x) q(x) = 0:

• atrisināt vienādojumu p(x)=0;
• atrodiet mainīgā x pieņemamo vērtību diapazonu;
• mēs ņemam saknes, kas atrodas mainīgā x pieļaujamo vērtību apgabalā, kā sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma vēlamās saknes.

7. piemērs

Atrisiniet vienādojumu x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Lēmums

Lai sāktu, pieņemsim lēmumu kvadrātvienādojums x 2 - 2 x - 11 = 0. Lai aprēķinātu tā saknes, mēs izmantojam saknes formulu pāra otrajam koeficientam. Mēs saņemam D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 un x = 1 ± 2 3 .

Tagad mēs varam atrast sākotnējā vienādojuma x ODV. Tie visi ir skaitļi, kuriem x 2 + 3 x ≠ 0. Tas ir tas pats, kas x (x + 3) ≠ 0, no kurienes x ≠ 0, x ≠ − 3 .

Tagad pārbaudīsim, vai risinājuma pirmajā posmā iegūtās saknes x = 1 ± 2 3 ir mainīgā x pieņemamo vērtību diapazonā. Mēs redzam, kas nāk iekšā. Tas nozīmē, ka sākotnējam daļējai racionālajam vienādojumam ir divas saknes x = 1 ± 2 3 .

Atbilde: x = 1 ± 2 3

Aprakstītā otrā risinājuma metode vieglāk nekā pirmais gadījumos, kad ir viegli atrast mainīgā x pieļaujamo vērtību laukumu un vienādojuma saknes p(x)=0 neracionāli. Piemēram, 7 ± 4 26 9 . Saknes var būt racionālas, bet ar lielu skaitītāju vai saucēju. Piemēram, 127 1101 un − 31 59 . Tas ietaupa laiku stāvokļa pārbaudei. q(x) ≠ 0: saskaņā ar ODZ ir daudz vieglāk izslēgt saknes, kas neatbilst.

Kad vienādojuma saknes p(x)=0 ir veseli skaitļi, p (x) q (x) = 0 formas vienādojumu risināšanai lietderīgāk ir izmantot pirmo no aprakstītajiem algoritmiem. Ātrāka visa vienādojuma sakņu atrašana p(x)=0, un pēc tam pārbaudiet, vai tiem ir izpildīts nosacījums q(x) ≠ 0, un neatrodiet ODZ, un pēc tam atrisiniet vienādojumu p(x)=0 par šo ODZ. Tas ir saistīts ar faktu, ka šādos gadījumos parasti ir vieglāk veikt pārbaudi, nekā atrast ODZ.

8. piemērs

Atrodiet vienādojuma (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 saknes. = 0.

Lēmums

Mēs sākam, apsverot visu vienādojumu (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 un atrast tās saknes. Lai to izdarītu, mēs izmantojam vienādojumu risināšanas metodi, izmantojot faktorizāciju. Izrādās, ka sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs četru vienādojumu kopai 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, no kuriem trīs ir lineāri un viens ir kvadrātveida. Mēs atrodam saknes: no pirmā vienādojuma x = 12, no otrā x=6, no trešās - x \u003d 7, x \u003d - 2, no ceturtās - x = – 1.

Pārbaudīsim iegūtās saknes. Šajā gadījumā mums ir grūti noteikt ODZ, jo šim nolūkam mums būs jāatrisina piektās pakāpes algebriskais vienādojums. Būs vieglāk pārbaudīt nosacījumu, saskaņā ar kuru daļskaitļa saucējam, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, nevajadzētu pazust.

Savukārt izteiksmē mainīgā x vietā aizstājiet saknes x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 un aprēķiniet tā vērtību:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Veiktā pārbaude ļauj noteikt, ka sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma saknes ir 1 2 , 6 un − 2 .

Atbilde: 1 2 , 6 , - 2

9. piemērs

Atrodiet daļējā racionālā vienādojuma saknes 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Lēmums

Sāksim ar vienādojumu (5 x 2 — 7 x - 1) (x - 2) = 0. Atradīsim tās saknes. Mums ir vieglāk attēlot šo vienādojumu kā kvadrātvienādojumu un lineāro vienādojumu kombināciju 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 un x − 2 = 0.

Mēs izmantojam kvadrātvienādojuma sakņu formulu, lai atrastu saknes. Mēs iegūstam divas saknes x = 7 ± 69 10 no pirmā vienādojuma un no otrā vienādojuma x=2.

Aizvietot sakņu vērtību sākotnējā vienādojumā, lai pārbaudītu apstākļus, mums būs diezgan grūti. Mainīgā x LPV būs vieglāk noteikt. Šajā gadījumā mainīgā x DPV ir visi skaitļi, izņemot tos, kuriem nosacījums ir izpildīts x 2 + 5 x - 14 = 0. Iegūstam: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Tagad pārbaudīsim, vai atrastās saknes pieder mainīgā x pieņemamo vērtību diapazonam.

Saknes x = 7 ± 69 10 - pieder, tāpēc tās ir sākotnējā vienādojuma saknes, un x=2- nepieder, tāpēc tā ir sveša sakne.

Atbilde: x = 7 ± 69 10 .

Atsevišķi apskatīsim gadījumus, kad daļēja racionāla vienādojuma formas p (x) q (x) = 0 skaitītājs satur skaitli. Šādos gadījumos, ja skaitītājs satur skaitli, kas nav nulle, tad vienādojumam nebūs sakņu. Ja šis skaitlis ir vienāds ar nulli, tad vienādojuma sakne būs jebkurš skaitlis no ODZ.

10. piemērs

Atrisiniet daļējo racionālo vienādojumu - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Lēmums

Šim vienādojumam nebūs sakņu, jo vienādojuma kreisās puses daļas skaitītājs satur skaitli, kas nav nulle. Tas nozīmē, ka jebkurai x vērtībai uzdevuma nosacījumā norādītās daļas vērtība nebūs vienāda ar nulli.

Atbilde: nav sakņu.

11. piemērs

Atrisiniet vienādojumu 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Lēmums

Tā kā daļas skaitītājs ir nulle, vienādojuma risinājums būs jebkura x vērtība no ODZ mainīgā x.

Tagad definēsim ODZ. Tas ietvers visas x vērtības, kurām x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Vienādojumu risinājumi x 4 + 5 x 3 = 0 ir 0 un − 5 , jo šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam x 3 (x + 5) = 0, un tas, savukārt, ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kopai x 3 = 0 un x + 5 = 0 kur šīs saknes ir redzamas. Mēs nonākam pie secinājuma, ka vēlamais pieņemamo vērtību diapazons ir jebkurš x , izņemot x=0 un x = -5.

Izrādās, ka daļējai racionālajam vienādojumam 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ir bezgalīgs atrisinājumu skaits, kas ir jebkuri skaitļi, izņemot nulli un -5.

Atbilde: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Tagad parunāsim par patvaļīgas formas daļējiem racionālajiem vienādojumiem un to risināšanas metodēm. Tos var rakstīt kā r(x) = s(x), kur r(x) un s(x) ir racionālas izteiksmes, un vismaz viena no tām ir daļēja. Šādu vienādojumu atrisinājums tiek reducēts līdz vienādojumu atrisinājumam formā p (x) q (x) = 0 .

Mēs jau zinām, ka mēs varam iegūt līdzvērtīgu vienādojumu, pārnesot izteiksmi no vienādojuma labās puses uz kreiso pusi ar pretējo zīmi. Tas nozīmē, ka vienādojums r(x) = s(x) ir līdzvērtīgs vienādojumam r (x) − s (x) = 0. Mēs arī jau esam apsprieduši, kā racionālu izteiksmi pārvērst racionālā daļskaitlī. Pateicoties tam, mēs varam viegli pārveidot vienādojumu r (x) − s (x) = 0 tās identiskajā formas p (x) q (x) racionālajā daļā.

Tātad mēs pārejam no sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma r(x) = s(x) uz vienādojumu formā p (x) q (x) = 0 , kuru mēs jau esam iemācījušies atrisināt.

Jāņem vērā, ka, veicot pārejas no r (x) − s (x) = 0 uz p (x) q (x) = 0 un pēc tam uz p(x)=0 mēs varam neņemt vērā mainīgā x derīgo vērtību diapazona paplašināšanos.

Tas ir diezgan reāli, ka sākotnējais vienādojums r(x) = s(x) un vienādojums p(x)=0 pārvērtību rezultātā tās pārstās būt līdzvērtīgas. Tad vienādojuma atrisinājums p(x)=0 var dot mums saknes, kas būs svešas r(x) = s(x). Šajā sakarā katrā gadījumā ir jāveic pārbaude, izmantojot kādu no iepriekš aprakstītajām metodēm.

Lai atvieglotu tēmas izpēti, mēs visu informāciju esam vispārinājuši algoritmā formas daļēja racionāla vienādojuma risināšanai. r(x) = s(x):

• mēs pārnesam izteiksmi no labās puses ar pretējo zīmi un labajā pusē iegūstam nulli;
• sākotnējo izteiksmi pārveidojam par racionālu daļskaitli p (x) q (x), secīgi veicot darbības ar daļām un polinomiem;
• atrisināt vienādojumu p(x)=0;
• mēs atklājam svešas saknes, pārbaudot to piederību ODZ vai aizstājot sākotnējā vienādojumā.

Vizuāli darbību ķēde izskatīsies šādi:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → pamešanas r o n d e r o o s

12. piemērs

Atrisiniet daļējo racionālo vienādojumu x x + 1 = 1 x + 1 .

Lēmums

Pārejam uz vienādojumu x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Pārveidosim vienādojuma kreisajā pusē esošo daļējo racionālo izteiksmi formā p (x) q (x) .

Šim nolūkam mums ir jāatved racionālās daļas uz kopsaucēju un vienkāršot izteiksmi:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Lai atrastu vienādojuma saknes - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, mums jāatrisina vienādojums − 2 x − 1 = 0. Mēs iegūstam vienu sakni x = - 1 2.

Mums atliek veikt pārbaudi ar kādu no metodēm. Apskatīsim tos abus.

Aizstājiet iegūto vērtību sākotnējā vienādojumā. Mēs iegūstam - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Mēs esam nonākuši pie pareizas skaitliskās vienlīdzības − 1 = − 1 . Tas nozīmē, ka x = – 1 2 ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Tagad mēs pārbaudīsim, izmantojot ODZ. Definēsim mainīgā x pieņemamo vērtību diapazonu. Tā būs visa skaitļu kopa, izņemot −1 un 0 (ja x = −1 un x = 0, daļskaitļu saucēji pazūd). Sakne, ko ieguvām x = – 1 2 pieder ODZ. Tas nozīmē, ka tā ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde: − 1 2 .

13. piemērs

Atrodiet vienādojuma saknes x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Lēmums

Mums ir darīšana ar daļēju racionālu vienādojumu. Tāpēc mēs rīkosimies saskaņā ar algoritmu.

Pārvietosim izteiksmi no labās puses uz kreiso pusi ar pretējo zīmi: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Veiksim nepieciešamās transformācijas: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Mēs nonākam pie vienādojuma x=0. Šī vienādojuma sakne ir nulle.

Pārbaudīsim, vai šī sakne ir svešzemju sakne sākotnējam vienādojumam. Aizstājiet vērtību sākotnējā vienādojumā: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Kā redzat, iegūtajam vienādojumam nav jēgas. Tas nozīmē, ka 0 ir sveša sakne, un sākotnējam daļējam racionālajam vienādojumam nav sakņu.

Atbilde: nav sakņu.

Ja algoritmā neesam iekļāvuši citas līdzvērtīgas transformācijas, tas nebūt nenozīmē, ka tās nevar izmantot. Algoritms ir universāls, taču paredzēts, lai palīdzētu, nevis ierobežotu.

14. piemērs

Atrisiniet vienādojumu 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Lēmums

Vienkāršākais veids ir atrisināt doto daļējo racionālo vienādojumu saskaņā ar algoritmu. Bet ir arī cits veids. Apsvērsim to.

Atņemiet no labās un kreisās daļas 7, iegūstam: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

No tā mēs varam secināt, ka izteiksmei kreisās puses saucējā jābūt vienādai ar skaitļa apgriezto skaitli no labās puses, tas ir, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Atņemiet no abām daļām 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Pēc analoģijas 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, no kurienes 1 5 - x 2 \u003d 1 3 un tālāk 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Pārbaudīsim, vai atrastās saknes ir sākotnējā vienādojuma saknes.

Atbilde: x = ± 2

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Mēs ieviesām vienādojumu iepriekš 7. §. Pirmkārt, mēs atceramies, kas ir racionāla izteiksme. Tas ir - algebriskā izteiksme, kas sastāv no skaitļiem un mainīgā x, izmantojot saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas un kāpināšanas darbības ar naturālo eksponentu.

Ja r(x) ir racionāla izteiksme, tad vienādojumu r(x) = 0 sauc par racionālu vienādojumu.

Tomēr praksē ērtāk ir izmantot nedaudz vairāk plaša interpretācija termins "racionālais vienādojums": šis ir vienādojums formā h(x) = q(x), kur h(x) un q(x) ir racionālas izteiksmes.

Līdz šim mēs nevarējām atrisināt nevienu racionālu vienādojumu, bet tikai tādu, kas dažādu transformāciju un spriešanas rezultātā tika samazināts līdz lineārais vienādojums. Tagad mūsu iespējas ir daudz lielākas: mēs varēsim atrisināt racionālu vienādojumu, kas reducējas ne tikai uz lineāru
mu, bet arī kvadrātvienādojumam.

Atgādiniet, kā mēs agrāk atrisinājām racionālos vienādojumus, un mēģiniet formulēt risinājuma algoritmu.

1. piemērs atrisināt vienādojumu

Lēmums. Mēs pārrakstām vienādojumu formā

Šajā gadījumā, kā parasti, mēs izmantojam faktu, ka vienādības A \u003d B un A - B \u003d 0 izsaka tādas pašas attiecības starp A un B. Tas ļāva mums pārnest terminu uz vienādojuma kreiso pusi ar pretēja zīme.

Veiksim vienādojuma kreisās puses transformācijas. Mums ir

Atcerieties vienlīdzības nosacījumus frakcijas nulle: ja un tikai tad, ja vienlaikus ir izpildītas divas attiecības:

1) daļdaļas skaitītājs ir nulle (a = 0); 2) daļdaļas saucējs atšķiras no nulles).
Pielīdzinot nullei daļas skaitītāju vienādojuma (1) kreisajā pusē, mēs iegūstam

Atliek pārbaudīt otrā iepriekš minētā nosacījuma izpildi. Attiecība vienādojumam (1) nozīmē, ka . Vērtības x 1 = 2 un x 2 = 0,6 apmierina norādītās attiecības un tāpēc kalpo kā (1) vienādojuma saknes un tajā pašā laikā dotā vienādojuma saknes.

1) Pārveidosim vienādojumu formā

2) Veiksim šī vienādojuma kreisās puses transformācijas:

(vienlaikus mainīja zīmes skaitītājā un
frakcijas).
Tādējādi dots vienādojums ieņem formu

3) Atrisiniet vienādojumu x 2 - 6x + 8 = 0. Atrast

4) Atrastajām vērtībām pārbaudiet stāvokli . Skaitlis 4 atbilst šim nosacījumam, bet skaitlis 2 neatbilst. Tātad 4 ir dotā vienādojuma sakne, bet 2 ir sveša sakne.
Atbilde: 4.

2. Racionālu vienādojumu atrisināšana, ieviešot jaunu mainīgo

Jauna mainīgā ieviešanas metode jums ir pazīstama, mēs to esam izmantojuši vairāk nekā vienu reizi. Ar piemēriem parādīsim, kā tas tiek izmantots racionālu vienādojumu risināšanā.

3. piemērs Atrisiniet vienādojumu x 4 + x 2 - 20 = 0.

Lēmums. Mēs ieviešam jaunu mainīgo y \u003d x 2. Tā kā x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, tad doto vienādojumu var pārrakstīt formā

y 2 + y - 20 = 0.

Šis ir kvadrātvienādojums, kura saknes mēs atradīsim, izmantojot zināmo formulas; mēs iegūstam y 1 = 4, y 2 = - 5.
Bet y \u003d x 2, kas nozīmē, ka problēma ir samazināta līdz divu vienādojumu atrisināšanai:
x2=4; x 2 \u003d -5.

No pirmā vienādojuma mēs atklājam, ka otrajam vienādojumam nav sakņu.
Atbilde:.
Vienādojumu formā ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 sauc par bikvadrātisku vienādojumu (“bi” - divi, t.i., “divreiz kvadrātveida” vienādojums). Tikko atrisinātais vienādojums bija tieši bikvadrātisks. Jebkurš bikvadrātiskais vienādojums tiek atrisināts tādā pašā veidā kā vienādojums no 3. piemēra: tiek ieviests jauns mainīgais y \u003d x 2, iegūtais kvadrātvienādojums tiek atrisināts attiecībā pret mainīgo y un pēc tam tiek atgriezts pie mainīgā x.

4. piemērs atrisināt vienādojumu

Lēmums. Ņemiet vērā, ka šeit viena un tā pati izteiksme x 2 + 3x notiek divas reizes. Tādējādi ir lietderīgi ieviest jaunu mainīgo y = x 2 + Zx. Tas ļaus mums pārrakstīt vienādojumu vienkāršākā un patīkamākā formā (kas patiesībā ir mērķis ieviest jaunu mainīgs- un ierakstīšana ir vienkāršāka
, un vienādojuma struktūra kļūst skaidrāka):

Un tagad mēs izmantosim algoritmu racionāla vienādojuma risināšanai.

1) Pārvietosim visus vienādojuma nosacījumus vienā daļā:

= 0
2) Pārveidosim vienādojuma kreiso pusi

Tātad, mēs esam pārveidojuši doto vienādojumu formā

3) No vienādojuma - 7y 2 + 29y -4 = 0 mēs atrodam (mēs jau esam atrisinājuši diezgan daudz kvadrātvienādojumu, tāpēc, iespējams, nav vērts vienmēr mācību grāmatā sniegt detalizētus aprēķinus).

4) Pārbaudīsim atrastās saknes, izmantojot nosacījumu 5 (y - 3) (y + 1). Abas saknes atbilst šim nosacījumam.
Tātad jaunā mainīgā y kvadrātvienādojums ir atrisināts:
Tā kā y \u003d x 2 + Zx un y, kā mēs esam noskaidrojuši, ņem divas vērtības: 4 un, - mums joprojām ir jāatrisina divi vienādojumi: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Pirmā vienādojuma saknes ir skaitļi 1 un - 4, otrā vienādojuma saknes ir skaitļi

Aplūkotajos piemēros jauna mainīgā ieviešanas metode, kā matemātiķi mēdz teikt, bija situācijai adekvāta, proti, tai labi atbilda. Kāpēc? Jā, jo viena un tā pati izteiksme bija nepārprotami sastapta vienādojuma ierakstā vairākas reizes un bija saprātīgi šo izteiksmi apzīmēt ar jaunu burtu. Bet ne vienmēr tā ir, dažkārt jauns mainīgais "parādās" tikai transformāciju procesā. Tieši tas notiks nākamajā piemērā.

5. piemērs atrisināt vienādojumu
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Lēmums. Mums ir
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Tātad doto vienādojumu var pārrakstīt formā

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Tagad ir "parādījies" jauns mainīgais: y = x 2 - Zx.

Ar tā palīdzību vienādojumu var pārrakstīt formā y (y + 2) \u003d 24 un pēc tam y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Šī vienādojuma saknes ir skaitļi 4 un -6.

Atgriežoties pie sākotnējā mainīgā x, mēs iegūstam divus vienādojumus x 2 - Zx \u003d 4 un x 2 - Zx \u003d - 6. No pirmā vienādojuma atrodam x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; otrajam vienādojumam nav sakņu.

Atbilde: 4, - 1.

Nodarbības saturs nodarbības kopsavilkums atbalsta rāmis nodarbības prezentācijas akseleratīvas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, lietas, uzdevumi mājasdarbi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli, grafika, tabulas, shēmas, humors, anekdotes, joki, komiksi līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti mikroshēmas zinātkāriem apkrāptu lapas mācību grāmatas pamata un papildu terminu glosārijs cits Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labošana mācību grāmatā Inovācijas elementu fragmenta atjaunošana mācību grāmatā mācību stundā novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendāra plāns uz gadu vadlīnijas diskusiju programmas Integrētās nodarbības