Vienkārši sakot, tie ir vienādojumi, kuros ir vismaz viens ar mainīgo saucējā.

Piemēram:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Piemērs nē daļēja racionālie vienādojumi:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kā tiek atrisināti racionālie vienādojumi?

Galvenais, kas jāatceras par racionālajiem vienādojumiem, ir tas, ka tajos ir jāieraksta. Un pēc sakņu atrašanas noteikti pārbaudiet to pieļaujamību. Pretējā gadījumā var parādīties svešas saknes, un viss risinājums tiks uzskatīts par nepareizu.

Algoritms daļēja racionāla vienādojuma risināšanai:

Izrakstiet un "atrisiniet" ODZ.

Reiziniet katru vienādojuma vārdu ar kopsaucēju un samaziniet iegūtās daļas. Saucēji pazudīs.

Uzrakstiet vienādojumu, neatverot iekavas.

Atrisiniet iegūto vienādojumu.

Pārbaudiet atrastās saknes ar ODZ.

Atbildot uz to, pierakstiet saknes, kas izturēja pārbaudi 7. darbībā.

Neatcerieties algoritmu, 3-5 atrisinātus vienādojumus - un tas pats par sevi atcerēsies.

Piemērs . Atrisiniet daļējo racionālo vienādojumu \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Lēmums:

Atbilde: \(3\).

Piemērs . Atrodiet daļējā racionālā vienādojuma \(=0\) saknes

Lēmums:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Mēs pierakstām un "atrisinām" ODZ. Izvērsiet \(x^2+7x+10\) formulā: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Par laimi \(x_1\) un \(x_2\) mēs jau esam atraduši.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Acīmredzot daļskaitļu kopsaucējs: \((x+2)(x+5)\). Mēs ar to reizinām visu vienādojumu.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Mēs samazinām frakcijas
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Atverot kronšteinus
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Mēs sniedzam līdzīgus noteikumus
\(2x^2+9x-5=0\)		Vienādojuma sakņu atrašana
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Viena no saknēm neietilpst zem ODZ, tāpēc atbildē mēs pierakstām tikai otro sakni.

Atbilde: \(\frac(1)(2)\).

Lēmums frakcionēti racionālie vienādojumi

Palīdzības ceļvedis

Racionālie vienādojumi ir vienādojumi, kuros ir gan kreisā, gan labā puse racionālas izpausmes.

(Atcerieties, ka racionālas izteiksmes ir veseli skaitļi un daļskaitļu izteiksmes bez radikāļiem, ieskaitot saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas vai dalīšanas darbības - piemēram: 6x; (m – n)2; x/3g utt.)

Daļēji racionālie vienādojumi, kā likums, tiek reducēti līdz formai:

Kur P(x) un J(x) ir polinomi.

Lai atrisinātu šādus vienādojumus, reiziniet abas vienādojuma puses ar Q(x), kas var izraisīt svešu sakņu parādīšanos. Tāpēc, risinot frakcionētus racionālos vienādojumus, ir jāpārbauda atrastās saknes.

Racionālu vienādojumu sauc par veselu skaitli vai algebrisko vienādojumu, ja tam nav dalījuma ar izteiksmi, kas satur mainīgo.

Visa racionāla vienādojuma piemēri:

5x - 10 = 3 (10 - x)

3x
-=2x-10
4

Ja racionālā vienādojumā ir dalījums ar izteiksmi, kas satur mainīgo (x), tad vienādojumu sauc par daļējo racionālo.

Daļēja racionāla vienādojuma piemērs:

15
x + - = 5x - 17
x

Daļējos racionālos vienādojumus parasti risina šādi:

1) atrod daļskaitļu kopsaucēju un reizina ar to abas vienādojuma daļas;

2) atrisina iegūto veselo vienādojumu;

3) izslēgt no tās saknēm tos, kas daļskaitļu kopsaucēju pārvērš uz nulli.

Veselo skaitļu un daļskaitļu racionālo vienādojumu risināšanas piemēri.

Piemērs 1. Atrisiniet visu vienādojumu

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Lēmums:

Zemākā kopsaucēja atrašana. Tas ir 6. Sadaliet 6 ar saucēju un reiziniet rezultātu ar katras daļas skaitītāju. Mēs iegūstam vienādojumu, kas līdzvērtīgs šim:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Kopš kreisās un labās puses tas pats saucējs, to var izlaist. Tad mums ir vienkāršāks vienādojums:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Mēs to atrisinām, atverot iekavas un samazinot līdzīgus terminus:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Piemērs atrisināts.

Piemērs 2. Atrisiniet daļēju racionālu vienādojumu

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Mēs atrodam kopsaucēju. Tas ir x(x - 5). Tātad:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x-5) x(x-5) x(x-5)

Tagad mēs atkal atbrīvojamies no saucēja, jo tas ir vienāds visām izteiksmēm. Mēs samazinām līdzīgus vārdus, pielīdzinām vienādojumu nullei un iegūstam kvadrātvienādojums:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Atrisinot kvadrātvienādojumu, mēs atrodam tā saknes: -2 un 5.

Pārbaudīsim, vai šie skaitļi ir sākotnējā vienādojuma saknes.

Ja x = –2, kopsaucējs x(x – 5) nepazūd. Tātad -2 ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Ja x = 5, kopsaucējs pazūd, un divi no trim izteiksmēm zaudē nozīmi. Tātad skaitlis 5 nav sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde: x = -2

Vairāk piemēru

1. piemērs

x 1 \u003d 6, x 2 = 2,2.

Atbilde: -2,2; 6.

2. piemērs

T. Kosjakova,
skola N№ 80, Krasnodara

Parametrus saturošu kvadrātvienādojumu un daļracionālo vienādojumu atrisināšana

4. nodarbība

Nodarbības tēma:

Nodarbības mērķis: veidot spēju atrisināt daļracionālos vienādojumus, kas satur parametrus.

Nodarbības veids: jauna materiāla ieviešana.

1. (Mutiski.) Atrisiniet vienādojumus:

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums.

Atrodiet nederīgas vērtības a:

Atbilde. Ja ja a = – 19 , tad nav sakņu.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums.

Atrodiet nederīgas parametru vērtības a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Atbilde. Ja a = 5 a № 5 , tad x=10– a .

3. piemērs. Pie kādām parametra vērtībām b vienādojums Tam ir:

a) divas saknes b) vienīgā sakne?

Lēmums.

1) Atrodiet nederīgas parametru vērtības b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 vai b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 vai b = – 2.

2) Atrisiniet vienādojumu x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2–1), D = 4 b 2 .

a)

Nederīgu parametru vērtību izslēgšana b , mēs iegūstam, ka vienādojumam ir divas saknes, ja b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, bet šī ir nederīga parametra vērtība b ; ja b 2 –1=0 , t.i. b=1 vai.

Atbilde: a) ja b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , tad divas saknes; b) ja b=1 vai b=-1 , tad vienīgā sakne.

Patstāvīgs darbs

1. iespēja

Atrisiniet vienādojumus:

2. iespēja

Atrisiniet vienādojumus:

Atbildes

1. un ja a=3 , tad nav sakņu; ja b) ja ja a № 2 , tad nav sakņu.

2. Ja a=2 , tad nav sakņu; ja a=0 , tad nav sakņu; ja
b) ja a=– 1 , tad vienādojums zaudē nozīmi; ja tad nav sakņu;
ja

Mājas darba uzdevums.

Atrisiniet vienādojumus:

Atbildes: a) Ja a № –2 , tad x= a ; ja a=–2 , tad risinājumu nav; b) ja a № –2 , tad x=2; ja a=–2 , tad risinājumu nav; c) ja a=–2 , tad x- jebkurš cits numurs, izņemot 3 ; ja a № –2 , tad x=2; d) ja a=–8 , tad nav sakņu; ja a=2 , tad nav sakņu; ja

5. nodarbība

Nodarbības tēma:"Parametrus saturošu daļskaitļu-racionālu vienādojumu risinājums".

Nodarbības mērķi:

mācīšanās atrisināt vienādojumus ar nestandarta nosacījumu;
studentu apzināta algebrisko jēdzienu asimilācija un attiecības starp tiem.

Nodarbības veids: sistematizēšana un vispārināšana.

Mājas darbu pārbaude.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

a) attiecībā pret x; b) attiecībā pret y.

Lēmums.

a) Atrodiet nederīgas vērtības y: y=0, x=y, y2=y2–2y,

y=0– nederīga parametra vērtība y.

Ja y№ 0 , tad x=y-2; ja y=0, tad vienādojums zaudē savu nozīmi.

b) Atrodiet nederīgas parametru vērtības x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– nederīga parametra vērtība x; y(2+x-y)=0, y=0 vai y=2+x;

y=0 neapmierina nosacījumu y(y–x)№ 0 .

Atbilde: a) ja y=0, tad vienādojums zaudē nozīmi; ja y№ 0 , tad x=y-2; b) ja x=0 x№ 0 , tad y=2+x .

2. piemērs. Kurām parametra a veselām vērtībām ir vienādojuma saknes pieder pie intervāla

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Ja a № 0 vai a № – 1 , tad

Atbilde: 5 .

3. piemērs. Atrast salīdzinoši x veseli vienādojuma risinājumi

Atbilde. Ja y=0, tad vienādojumam nav jēgas; ja y=–1, tad x- jebkurš vesels skaitlis, kas nav nulle; ja y# 0, y# – 1, tad risinājumu nav.

4. piemērs Atrisiniet vienādojumu ar parametriem a un b .

Ja a№ – b , tad

Atbilde. Ja a= 0 vai b= 0 , tad vienādojums zaudē nozīmi; ja a№ 0,b№ 0, a=-b , tad x- jebkurš skaitlis, kas nav nulle; ja a№ 0,b№ 0,a№ -b tad x=-a, x=-b .

5. piemērs. Pierādiet, ka jebkurai parametra n vērtībai, kas nav nulle, vienādojums ir viena sakne, kas vienāda ar – n .

Lēmums.

t.i. x=-n, kas bija jāpierāda.

Mājas darba uzdevums.

1. Atrodiet veselus vienādojuma atrisinājumus

2. Pie kādām parametra vērtībām c vienādojums Tam ir:
a) divas saknes b) vienīgā sakne?

3. Atrodiet visas vienādojuma veselo skaitļu saknes ja a O N .

4. Atrisiniet vienādojumu 3xy - 5x + 5y = 7: a) relatīvi y; b) relatīvi x .

1. Vienādojumu apmierina jebkurš vesels skaitlis, kas vienāds ar x un y vērtībām, kas nav nulle.
2. a) Kad
b) pie vai
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ja tad nav sakņu; ja
b) ja tad nav sakņu; ja

Pārbaude

1. iespēja

1. Nosakiet vienādojuma veidu 7c(c + 3)x 2 +(c-2)x-8=0 pie: a) c=-3; b) c=2; iekšā) c=4 .

2. Atrisiniet vienādojumus: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; iekšā)

3. Atrisiniet vienādojumu 3x-xy-2y=1:

a) relatīvi x ;
b) relatīvi y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, zinot, ka parametram n ir tikai veselas vērtības.

5. Kurām b vērtībām tiek piemērots vienādojums Tam ir:

a) divas saknes
b) vienīgā sakne?

2. iespēja

1. Nosakiet vienādojuma veidu 5c(c+4)x2 +(c–7)x+7=0 pie: a) c=-4; b) c=7; iekšā) c=1 .

2. Atrisiniet vienādojumus: a) y 2 +cy=0; b) ny2 –8y+2=0; iekšā)

3. Atrisiniet vienādojumu 6x-xy+2y=5:

a) relatīvi x ;
b) relatīvi y .

4. Atrodiet vienādojuma veselo skaitļu saknes nx 2 -22x+2n=0, zinot, ka parametram n ir tikai veselas vērtības.

5. Kurām parametra vērtībām ir vienādojums Tam ir:

a) divas saknes
b) vienīgā sakne?

Atbildes

1. 1. a) Lineārais vienādojums;
b) nepilnīgs kvadrātvienādojums; c) kvadrātvienādojums.
2. a) Ja b=0, tad x=0; ja b#0, tad x=0, x=b;
b) ja cО (9;+Ґ ), tad nav sakņu;
c) ja a=–4 , tad vienādojums zaudē nozīmi; ja a№ –4 , tad x=- a .
3. a) Ja y=3, tad nav sakņu; ja);
b) a=–3, a=1.

Papildu uzdevumi

Atrisiniet vienādojumus:

Literatūra

1. Golubevs V.I., Goldmens A.M., Dorofejevs G.V. Par parametriem no paša sākuma. - Skolotājs, Nr. 2/1991, lpp. 3.–13.
2. Gronšteins P.I., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Nepieciešamie nosacījumi uzdevumos ar parametriem. – Kvant, Nr.11/1991, 1. lpp. 44–49.
3. Dorofejevs G.V., Zatakavai V.V. Problēmu risināšana, kas satur parametrus. 2. daļa. - M., Perspektīva, 1990, lpp. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Pieci simti četrpadsmit uzdevumi ar parametriem. - Volgograda, 1991. gads.
5. Yastrebinetsky G.A. Uzdevumi ar parametriem. - M., Izglītība, 1986.g.

Šajā rakstā es jums parādīšu septiņu veidu racionālu vienādojumu risināšanas algoritmi, kas, mainot mainīgos, tiek reducēti līdz kvadrātiem. Vairumā gadījumu pārvērtības, kas noved pie nomaiņas, ir ļoti nenozīmīgas, un ir diezgan grūti par tām uzminēt pašam.

Katram vienādojuma veidam es paskaidrošu, kā tajā veikt mainīgā lieluma izmaiņas, un pēc tam attiecīgajā video pamācībā parādīšu detalizētu risinājumu.

Jums ir iespēja pašam turpināt vienādojumu risināšanu un pēc tam pārbaudīt risinājumu, izmantojot video pamācību.

Tātad, sāksim.

1 . (x-1) (x-7) (x-4) (x+2) = 40

Ņemiet vērā, ka četru iekavu reizinājums atrodas vienādojuma kreisajā pusē, bet skaitlis - labajā pusē.

1. Grupējiet iekavas pa diviem, lai brīvo terminu summa būtu vienāda.

2. Reiziniet tos.

3. Ieviesīsim mainīgā lieluma maiņu.

Savā vienādojumā mēs grupējam pirmo iekava ar trešo un otro ar ceturto, jo (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

Šajā brīdī mainīgā izmaiņas kļūst acīmredzamas:

Mēs iegūstam vienādojumu

Atbilde:

2 .

Šāda veida vienādojums ir līdzīgs iepriekšējam ar vienu atšķirību: vienādojuma labajā pusē ir skaitļa reizinājums ar. Un tas tiek atrisināts pavisam citā veidā:

1. Mēs grupējam iekavas pa diviem, lai brīvo terminu reizinājums būtu vienāds.

2. Mēs reizinām katru iekavu pāri.

3. No katra faktora mēs izņemam x no iekavas.

4. Sadaliet abas vienādojuma puses ar .

5. Mēs ieviešam mainīgā lieluma maiņu.

Šajā vienādojumā mēs grupējam pirmo iekava ar ceturto un otro ar trešo, jo:

Ņemiet vērā, ka katrā iekavā koeficients pie un brīvais termins ir vienādi. Izņemsim reizinātāju no katras iekavas:

Tā kā x=0 nav sākotnējā vienādojuma sakne, mēs sadalām abas vienādojuma puses ar . Mēs iegūstam:

Mēs iegūstam vienādojumu:

Atbilde:

3 .

Ņemiet vērā, ka abu daļu saucēji satur kvadrātveida trinomiāli, kuras vadošais koeficients un brīvais termiņš ir vienādi. Mēs, tāpat kā otrā tipa vienādojumā, izņemam x no iekavas. Mēs iegūstam:

Sadaliet katras daļas skaitītāju un saucēju ar x:

Tagad mēs varam ieviest mainīgā lieluma izmaiņas:

Mēs iegūstam mainīgā t vienādojumu:

4 .

Ņemiet vērā, ka vienādojuma koeficienti ir simetriski attiecībā pret centrālo. Tādu vienādojumu sauc atgriežams .

Lai to atrisinātu

1. Sadaliet abas vienādojuma puses ar (to varam izdarīt, jo x=0 nav vienādojuma sakne.) Iegūstam:

2. Grupējiet terminus šādi:

3. Katrā grupā mēs izņemam kopējo faktoru:

4. Ieviesīsim aizstājēju:

5. Izteiksim izteiksmi t izteiksmē:

No šejienes

Mēs iegūstam t vienādojumu:

Atbilde:

5. Homogēni vienādojumi.

Vienādojumus, kuriem ir viendabīga struktūra, var sastapt, risinot eksponenciālos, logaritmiskos un trigonometriskie vienādojumi, tāpēc tas ir jāatzīst.

Homogēniem vienādojumiem ir šāda struktūra:

Šajā vienādībā A, B un C ir skaitļi, un tās pašas izteiksmes ir apzīmētas ar kvadrātu un apli. Tas ir, viendabīgā vienādojuma kreisajā pusē ir to monomu summa, kuriem ir vienāda pakāpe (šajā gadījumā monomu pakāpe ir 2), un nav brīva termina.

Lai atrisinātu viendabīgo vienādojumu, abas puses sadalām ar

Uzmanību! Sadalot vienādojuma labo un kreiso pusi ar izteiksmi, kas satur nezināmu, jūs varat zaudēt saknes. Tāpēc ir jāpārbauda, ​​vai izteiksmes saknes, ar kurām mēs sadalām abas vienādojuma daļas, ir sākotnējā vienādojuma saknes.

Ejam pa pirmo ceļu. Mēs iegūstam vienādojumu:

Tagad mēs ieviešam mainīgo aizstāšanu:

Vienkāršojiet izteiksmi un iegūstiet bikvadrātisku vienādojumu t:

Atbilde: vai

7 .

Šim vienādojumam ir šāda struktūra:

Lai to atrisinātu, vienādojuma kreisajā pusē ir jāizvēlas pilns kvadrāts.

Lai atlasītu pilnu kvadrātu, jums ir jāpievieno vai jāatņem dubultais produkts. Tad mēs iegūstam summas vai starpības kvadrātu. Tas ir ļoti svarīgi veiksmīgai mainīgā aizstāšanai.

Sāksim ar dubultprodukta atrašanu. Tā būs atslēga mainīgā lieluma aizstāšanai. Mūsu vienādojumā dubultais produkts ir

Tagad izdomāsim, kas mums ir ērtāk - summas vai starpības kvadrāts. Vispirms apsveriet izteiksmju summu:

labi! šī izteiksme ir tieši vienāda ar divkāršu reizinājumu. Pēc tam, lai iekavās iegūtu summas kvadrātu, jums jāsaskaita un jāatņem dubultais reizinājums:

Paši vienādojumi ar daļdaļām nav grūti un ļoti interesanti. Apsveriet veidus daļskaitļu vienādojumi un veidi, kā tos atrisināt.

Kā atrisināt vienādojumus ar daļām - x skaitītājā

Ja ir dots daļvienādojums, kur skaitītājā ir nezināmais, risinājumam nav nepieciešami papildu nosacījumi un tas tiek atrisināts bez papildu apgrūtinājumi. Vispārējā formašāds vienādojums ir x/a + b = c, kur x ir nezināms, a, b un c ir parastie skaitļi.

Atrodiet x: x/5 + 10 = 70.

Lai atrisinātu vienādojumu, jums ir jāatbrīvojas no daļskaitļiem. Reiziniet katru vienādojuma vārdu ar 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x un 5 tiek samazināts, 10 un 70 tiek reizināti ar 5, un mēs iegūstam: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Atrodiet x: x/5 + x/10 = 90.

Šis piemērs ir nedaudz sarežģītāka pirmā versija. Šeit ir divi risinājumi.

• 1. iespēja. Atbrīvojieties no daļām, reizinot visus vienādojuma nosacījumus ar lielāku saucēju, tas ir, ar 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• 2. iespēja: pievienojiet vienādojuma kreiso pusi. x/5 + x/10 = 90. Kopsaucējs ir 10. Sadalot 10 ar 5, reizinot ar x, iegūstam 2x. 10 dalīts ar 10, reizināts ar x, mēs iegūstam x: 2x+x/10 = 90. Tādējādi 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Bieži vien ir daļvienādojumi, kuros x atrodas vienādības zīmes pretējās pusēs. Šādā situācijā ir nepieciešams pārsūtīt visas daļskaitļus ar x vienā virzienā, bet skaitļus citā.

• Atrast x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Pārvietojieties 2x/5 pa labi ar pretēju zīmi: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Mēs samazinām 5x/5 un iegūstam: x = 130.

Kā atrisināt vienādojumu ar daļām - x saucējā

Šāda veida daļvienādojumiem ir jāieraksta papildu nosacījumi. Šo nosacījumu norādīšana ir obligāta un neatņemama sastāvdaļa pareizs lēmums. Neattiecinot tos, jūs riskējat, jo atbilde (pat ja tā ir pareiza) var vienkārši netikt ieskaitīta.

Daļējo vienādojumu vispārīgā forma, kur x ir saucējā, ir: a/x + b = c, kur x ir nezināms, a, b, c ir parastie skaitļi. Ņemiet vērā, ka x var nebūt neviens skaitlis. Piemēram, x nevar būt nulle, jo nevar dalīt ar 0. Tas ir tas, kas ir papildu nosacījums, kas mums ir jāprecizē. To sauc par pieņemamo vērtību diapazonu, saīsināti - ODZ.

Atrodiet x: 15/x + 18 = 21.

Mēs nekavējoties rakstām ODZ x: x ≠ 0. Tagad, kad ir norādīts ODZ, mēs atrisinām vienādojumu, izmantojot standarta shēma atbrīvošanās no frakcijām. Mēs reizinām visus vienādojuma nosacījumus ar x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Bieži vien ir vienādojumi, kur saucējs satur ne tikai x, bet arī kādu citu darbību ar to, piemēram, saskaitīšanu vai atņemšanu.

Atrodiet x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Mēs jau zinām, ka saucējs nevar būt vienāds ar nulli, kas nozīmē x-3 ≠ 0. Pārnesam -3 uz labo pusi, vienlaikus mainot “-” zīmi uz “+” un iegūstam, ka x ≠ 3. ODZ ir norādīts.

Atrisiniet vienādojumu, reiziniet visu ar x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Pārvietojiet x pa labi, skaitļus pa kreisi: 24 = 3x => x = 8.