Kvadrātvienādojuma sakņu formulas. Tiek aplūkoti reālu, daudzkārtēju un sarežģītu sakņu gadījumi. Kvadrātveida trinoma faktorizācija. Ģeometriskā interpretācija. Sakņu noteikšanas un faktorizācijas piemēri.

Pamatformulas

Apsveriet kvadrātvienādojumu:
(1) .
Kvadrātvienādojuma saknes(1) nosaka pēc formulām:
; .
Šīs formulas var apvienot šādi:
.
Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma saknes, tad otrās pakāpes polinomu var attēlot kā faktoru reizinājumu (faktorizētu):
.

Turklāt mēs pieņemam, ka tie ir reāli skaitļi.
Apsveriet kvadrātvienādojuma diskriminants:
.
Ja diskriminants ir pozitīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas dažādas reālās saknes:
; .
Tad kvadrātveida trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.
Ja diskriminants ir nulle, tad kvadrātvienādojumam (1) ir divas vairākas (vienādas) reālās saknes:
.
Faktorizācija:
.
Ja diskriminants ir negatīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas sarežģītas konjugāta saknes:
;
.
Šeit ir iedomātā vienība, ;
un ir sakņu reālās un iedomātās daļas:
; .
Tad

.

Grafiskā interpretācija

Ja grafiski attēlojam funkciju
,
kas ir parabola, tad grafika krustošanās punkti ar asi būs vienādojuma saknes
.
Kad , grafiks divos punktos krustojas ar abscisu asi (asi).
Kad , grafiks pieskaras x asij vienā punktā.
Kad , grafiks nešķērso x asi.

Zemāk ir šādu grafiku piemēri.

Noderīgas formulas, kas saistītas ar kvadrātvienādojumu

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana

Veicam transformācijas un pielietojam formulas (f.1) un (f.3):




,
kur
; .

Tātad otrās pakāpes polinoma formulu ieguvām šādā formā:
.
No tā var redzēt, ka vienādojums

veikta plkst
Un .
Tas ir, un ir kvadrātvienādojuma saknes
.

Kvadrātvienādojuma sakņu noteikšanas piemēri

1. piemērs

(1.1) .

Risinājums

.
Salīdzinot ar mūsu vienādojumu (1.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Diskriminanta atrašana:
.
Tā kā diskriminants ir pozitīvs, vienādojumam ir divas reālas saknes:
;
;
.

No šejienes mēs iegūstam kvadrātveida trinoma sadalījumu faktoros:

.

Funkcijas y = grafiks 2 x 2 + 7 x + 3šķērso x asi divos punktos.

Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas šķērso x asi (asi) divos punktos:
Un .
Šie punkti ir sākotnējā vienādojuma (1.1) saknes.

Atbilde

;
;
.

2. piemērs

Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(2.1) .

Risinājums

Kvadrātvienādojumu rakstām vispārīgā formā:
.
Salīdzinot ar sākotnējo vienādojumu (2.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Diskriminanta atrašana:
.
Tā kā diskriminants ir nulle, vienādojumam ir divas vairākas (vienādas) saknes:
;
.

Tad trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.

Funkcijas y = x grafiks 2 - 4 x + 4 pieskaras x asij vienā punktā.

Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas pieskaras x asij (asij) vienā punktā:
.
Šis punkts ir sākotnējā vienādojuma (2.1) sakne. Tā kā šī sakne tiek aprēķināta divreiz:
,
tad šādu sakni sauc par daudzkārtni. Tas ir, viņi uzskata, ka ir divas vienādas saknes:
.

Atbilde

;
.

3. piemērs

Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(3.1) .

Risinājums

Kvadrātvienādojumu rakstām vispārīgā formā:
(1) .
Pārrakstīsim sākotnējo vienādojumu (3.1):
.
Salīdzinot ar (1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Diskriminanta atrašana:
.
Diskriminants ir negatīvs, . Tāpēc īstu sakņu nav.

Jūs varat atrast sarežģītas saknes:
;
;
.

Tad


.

Funkcijas grafiks nešķērso x asi. Īstu sakņu nav.

Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas nešķērso abscisu (asi). Tāpēc īstu sakņu nav.

Atbilde

Īstu sakņu nav. Sarežģītas saknes:
;
;
.

Bibliogrāfiskais apraksts: Gasanovs A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes // Jaunais zinātnieks. - 2016. - Nr.6.1. - S. 17-20..02.2019).



Mūsu projekts ir veltīts kvadrātvienādojumu risināšanas veidiem. Projekta mērķis: iemācīties atrisināt kvadrātvienādojumus tādos veidos, kas nav iekļauti skolas mācību programmā. Uzdevums: atrast visus iespējamos kvadrātvienādojumu risināšanas veidus un iemācīties tos izmantot pats un iepazīstināt ar šīm metodēm klasesbiedrus.

Kas ir "kvadrātvienādojumi"?

Kvadrātvienādojums- formas vienādojums cirvis2 + bx + c = 0, kur a, b, c- daži cipari ( a ≠ 0), x- nezināms.

Skaitļus a, b, c sauc par kvadrātvienādojuma koeficientiem.

• a sauc par pirmo koeficientu;
• b sauc par otro koeficientu;
• c - bezmaksas dalībnieks.

Un kurš bija pirmais, kurš "izgudroja" kvadrātvienādojumus?

Dažas algebriskās metodes lineāro un kvadrātvienādojumu risināšanai bija zināmas jau pirms 4000 gadiem Senajā Babilonā. Atrastās senās Babilonijas māla plāksnes, kas datētas starp 1800. un 1600. gadu pirms mūsu ēras, ir agrākie pierādījumi par kvadrātvienādojumu izpēti. Tajās pašās tabletēs ir atrodamas metodes noteikta veida kvadrātvienādojumu risināšanai.

Nepieciešamību risināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar militāra rakstura zemes platību un zemes darbu atrašanu, kā arī astronomijas un pati matemātika.

Šo vienādojumu risināšanas noteikums, kas minēts babiloniešu tekstos, būtībā sakrīt ar mūsdienu, taču nav zināms, kā babilonieši nonāca pie šī noteikuma. Gandrīz visi līdz šim atrastie ķīļrakstu teksti sniedz tikai problēmas ar recepšu veidā norādītiem risinājumiem, bez norādes par to, kā tie atrasti. Neskatoties uz augsto algebras attīstības līmeni Babilonijā, ķīļraksta tekstos trūkst negatīvā skaitļa jēdziena un vispārīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metožu.

Babilonijas matemātiķi aptuveni 4. gadsimtā p.m.ē. izmantoja kvadrātveida komplementa metodi, lai atrisinātu vienādojumus ar pozitīvām saknēm. Apmēram 300. gadu p.m.ē. Eiklīds nāca klajā ar vispārīgāku ģeometriskā risinājuma metodi. Pirmais matemātiķis, kurš atrada risinājumus vienādojumam ar negatīvām saknēm algebriskās formulas veidā, bija Indijas zinātnieks. Brahmagupta(Indija, 7. gadsimts AD).

Brahmagupta izklāstīja vispārīgu noteikumu kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti līdz vienai kanoniskai formai:

ax2 + bx = c, a>0

Šajā vienādojumā koeficienti var būt negatīvi. Brahmaguptas valdīšana būtībā sakrīt ar mūsējo.

Indijā publiski konkursi sarežģītu problēmu risināšanā bija izplatīti. Vienā no senajām indiešu grāmatām par šādām sacensībām ir teikts: "Kā saule ar savu spožumu pārspēj zvaigznes, tā izglītots cilvēks pārspēj slavu publiskās sanāksmēs, ierosinot un risinot algebriskas problēmas." Uzdevumi bieži bija ietērpti poētiskā formā.

Algebriskā traktātā Al-Khwarizmi ir dota lineāro un kvadrātvienādojumu klasifikācija. Autors uzskaita 6 vienādojumu veidus, izsakot tos šādi:

1) “Kvadrāti ir vienādi ar saknēm”, t.i., ax2 = bx.

2) “Kvadrāti ir vienādi ar skaitli”, t.i., ax2 = c.

3) "Saknes ir vienādas ar skaitli", t.i., ax2 = c.

4) “Kvadrāti un skaitļi ir vienādi ar saknēm”, t.i., ax2 + c = bx.

5) “Kvadrāti un saknes ir vienādi ar skaitli”, t.i., ax2 + bx = c.

6) “Saknes un skaitļi ir vienādi ar kvadrātiem”, t.i., bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi, kurš izvairījās no negatīvu skaitļu lietošanas, katra šī vienādojuma nosacījumi ir saskaitīšana, nevis atņemšana. Šajā gadījumā vienādojumi, kuriem nav pozitīvu atrisinājumu, acīmredzami netiek ņemti vērā. Autore ieskicē šo vienādojumu risināšanas metodes, izmantojot al-jabr un al-muqabala metodes. Viņa lēmums, protams, pilnībā nesakrīt ar mūsējo. Nemaz nerunājot par to, ka tas ir tīri retorisks, jāatzīmē, piemēram, ka, risinot nepilnu pirmā tipa kvadrātvienādojumu, Al-Khwarizmi, tāpat kā visi matemātiķi pirms 17. gadsimta, neņem vērā nulli. risinājums, iespējams, tāpēc, ka konkrētos praktiskos uzdevumos tam nav nozīmes. Atrisinot pilnīgus kvadrātvienādojumus, Al-Khwarizmi nosaka to risināšanas noteikumus, izmantojot konkrētus skaitliskos piemērus un pēc tam to ģeometriskos pierādījumus.

Formas kvadrātvienādojumu risināšanai pēc Al-Khwarizmi modeļa Eiropā pirmo reizi tika aprakstītas "Abakusa grāmatā", kas sarakstīta 1202. gadā. Itāļu matemātiķis Leonards Fibonači. Autors patstāvīgi izstrādāja dažus jaunus problēmu risināšanas algebriskos piemērus un bija pirmais Eiropā, kas piegāja negatīvu skaitļu ieviešanai.

Šī grāmata veicināja algebrisko zināšanu izplatību ne tikai Itālijā, bet arī Vācijā, Francijā un citās Eiropas valstīs. Daudzi uzdevumi no šīs grāmatas tika pārnesti uz gandrīz visām Eiropas 14.-17.gadsimta mācību grāmatām. Vispārīgais noteikums kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti līdz vienai kanoniskai formai x2 + bx = c ar visām iespējamām zīmju un koeficientu kombinācijām b, c, tika formulēts Eiropā 1544. gadā. M. Stīfels.

Vietai ir vispārīgs kvadrātvienādojuma risināšanas formulas atvasinājums, bet Vieta atpazina tikai pozitīvas saknes. itāļu matemātiķi Tartaglia, Cardano, Bombelli starp pirmajiem 16. gadsimtā. ņem vērā papildus pozitīvajām un negatīvajām saknēm. Tikai XVII gadsimtā. pateicoties darbam Žirārs, Dekarts, Ņūtons un citi zinātnieki, kvadrātvienādojumu risināšanas veids iegūst modernu formu.

Apsveriet vairākus kvadrātvienādojumu risināšanas veidus.

Standarta veidi, kā atrisināt kvadrātvienādojumus no skolas mācību programmas:

1. Vienādojuma kreisās puses faktorizācija.
2. Pilna kvadrāta atlases metode.
3. Kvadrātvienādojumu atrisināšana pēc formulas.
4. Kvadrātvienādojuma grafiskais atrisinājums.
5. Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu.

Sīkāk pakavēsimies pie reducētu un nereducētu kvadrātvienādojumu risinājuma, izmantojot Vietas teorēmu.

Atgādinām, ka, lai atrisinātu dotos kvadrātvienādojumus, pietiek atrast divus skaitļus, kuru reizinājums ir vienāds ar brīvo vārdu un summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi.

Piemērs.x 2 -5x+6=0

Jāatrod skaitļi, kuru reizinājums ir 6 un summa ir 5. Šie skaitļi būs 3 un 2.

Atbilde: x 1 =2, x 2 =3.

Bet jūs varat izmantot šo metodi vienādojumiem, kuru pirmais koeficients nav vienāds ar vienu.

Piemērs.3x 2 +2x-5=0

Ņemam pirmo koeficientu un reizinim ar brīvo termiņu: x 2 +2x-15=0

Šī vienādojuma saknes būs skaitļi, kuru reizinājums ir vienāds ar - 15, bet summa ir vienāda ar - 2. Šie skaitļi ir 5 un 3. Lai atrastu sākotnējā vienādojuma saknes, iegūtās saknes sadalām ar pirmo koeficientu. .

Atbilde: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Vienādojumu atrisināšana ar "pārsūtīšanas" metodi.

Aplūkosim kvadrātvienādojumu ax 2 + bx + c = 0, kur a≠0.

Reizinot abas tā daļas ar a, iegūstam vienādojumu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Lai ax = y, no kurienes x = y/a; tad mēs nonākam pie vienādojuma y 2 + ar + ac = 0, kas ir ekvivalents dotajam. Mēs atrodam tā saknes pie 1 un 2, izmantojot Vieta teorēmu.

Visbeidzot iegūstam x 1 = y 1 /a un x 2 = y 2 /a.

Ar šo metodi koeficients a tiek reizināts ar brīvo termiņu, it kā "pārnests" uz to, tāpēc to sauc par "pārsūtīšanas" metodi. Šo metodi izmanto, ja ir viegli atrast vienādojuma saknes, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Piemērs.2x 2 - 11x + 15 = 0.

"Pārnesim" koeficientu 2 uz brīvo terminu un, veicot aizstāšanu, iegūstam vienādojumu y 2 - 11y + 30 = 0.

Saskaņā ar Vietas apgriezto teorēmu

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Atbilde: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadrātvienādojuma koeficientu īpašības.

Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Ja a + b + c \u003d 0 (t.i., vienādojuma koeficientu summa ir nulle), tad x 1 \u003d 1.

2. Ja a - b + c \u003d 0 vai b \u003d a + c, tad x 1 = 1.

Piemērs.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Tā kā a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), tad x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Atbilde: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Piemērs.132x 2 + 247x + 115 = 0

Jo a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), pēc tam x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Atbilde: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Kvadrātvienādojuma koeficientiem ir arī citas īpašības. taču to lietošana ir sarežģītāka.

8. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot nomogrammu.

1. att. Nomogramma

Šī ir sena un šobrīd aizmirsta kvadrātvienādojumu risināšanas metode, kas ievietota krājuma 83. lpp.: Bradis V.M. Četru ciparu matemātiskās tabulas. - M., Izglītība, 1990.g.

XXII tabula. Nomogramma vienādojumu risināšanai z2 + pz + q = 0. Šī nomogramma ļauj, neatrisinot kvadrātvienādojumu, noteikt vienādojuma saknes pēc tā koeficientiem.

Nomogrammas līknes skala ir veidota pēc formulām (1. att.):

Pieņemot OS = p, ED = q, OE = a(visi cm), no 1. att. trīsstūru līdzība SAN Un CDF mēs iegūstam proporciju

no kurienes pēc aizstāšanas un vienkāršojumiem seko vienādojums z 2 + pz + q = 0, un vēstule z nozīmē jebkura punkta marķējumu izliektajā skalā.

Rīsi. 2 Kvadrātvienādojuma atrisināšana, izmantojot nomogrammu

Piemēri.

1) Vienādojumam z 2 - 9z + 8 = 0 nomogramma dod saknes z 1 = 8,0 un z 2 = 1,0

Atbilde: 8,0; 1.0.

2) Atrisiniet vienādojumu, izmantojot nomogrammu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Sadalot šī vienādojuma koeficientus ar 2, iegūstam vienādojumu z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogramma dod saknes z 1 = 4 un z 2 = 0,5.

Atbilde: 4; 0.5.

9. Ģeometriskā metode kvadrātvienādojumu risināšanai.

Piemērs.X 2 + 10x = 39.

Oriģinālā šī problēma ir formulēta šādi: "Kvadrāts un desmit saknes ir vienādi ar 39."

Apsveriet kvadrātu ar malu x, tā malās ir veidoti taisnstūri tā, lai katra otra puse būtu 2,5, tāpēc katras puses laukums ir 2,5x. Pēc tam iegūtais skaitlis tiek papildināts ar jaunu kvadrātu ABCD, aizpildot četrus vienādus kvadrātus stūros, katra mala ir 2,5 un laukums ir 6,25

Rīsi. 3 Grafisks veids, kā atrisināt vienādojumu x 2 + 10x = 39

Kvadrāta ABCD laukumu S var attēlot kā laukumu summu: sākotnējais kvadrāts x 2, četri taisnstūri (4∙2,5x = 10x) un četri pievienotie kvadrāti (6,25∙4 = 25), t.i. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Aizstājot x 2 + 10x ar skaitli 39, mēs iegūstam, ka S \u003d 39 + 25 \u003d 64, kas nozīmē, ka kvadrāta ABCD mala, t.i. segments AB \u003d 8. Sākotnējā kvadrāta vēlamajai malai x mēs iegūstam

10. Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Bezout teorēmu.

Bezout teorēma. Atlikums pēc polinoma P(x) dalīšanas ar binomiālu x - α ir vienāds ar P(α) (tas ir, P(x) vērtība pie x = α).

Ja skaitlis α ir polinoma P(x) sakne, tad šis polinoms dalās ar x -α bez atlikuma.

Piemērs.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Sadaliet P(x) ar (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 vai x-3=0, x=3; Atbilde: x1 =2, x2 =3.

Izvade: Spēja ātri un racionāli atrisināt kvadrātvienādojumus ir vienkārši nepieciešama, lai atrisinātu sarežģītākus vienādojumus, piemēram, daļējos racionālos vienādojumus, augstāku spēku vienādojumus, bikvadrātiskos vienādojumus un vidusskolā trigonometriskos, eksponenciālos un logaritmiskos vienādojumus. Izpētot visas atrastās kvadrātvienādojumu risināšanas metodes, mēs varam ieteikt klasesbiedriem papildus standarta metodēm atrisināt ar pārsūtīšanas metodi (6) un atrisināt vienādojumus pēc koeficientu īpašības (7), jo tie ir saprotamāki. .

Literatūra:

1. Bradis V.M. Četru ciparu matemātiskās tabulas. - M., Izglītība, 1990.g.
2. Algebra 8. klase: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teljakovskis, 15. izd., pārstrādāts. - M.: Apgaismība, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Matemātikas vēsture skolā. Rokasgrāmata skolotājiem. / Red. V.N. Jaunāks. - M.: Apgaismība, 1964. gads.

Vienādojumu izmantošana mūsu dzīvē ir plaši izplatīta. Tos izmanto daudzos aprēķinos, konstrukciju būvniecībā un pat sportā. Vienādojumus cilvēki ir izmantojuši kopš seniem laikiem, un kopš tā laika to lietojums ir tikai palielinājies. Diskriminants ļauj atrisināt jebkurus kvadrātvienādojumus, izmantojot vispārīgo formulu, kurai ir šāda forma:

Diskriminanta formula ir atkarīga no polinoma pakāpes. Iepriekš minētā formula ir piemērota, lai atrisinātu kvadrātvienādojumus šādā formā:

Diskriminantam ir šādas īpašības, kas jums jāzina:

* "D" ir 0, ja polinomam ir vairākas saknes (vienādas saknes);

* "D" ir simetrisks polinoms attiecībā pret polinoma saknēm un tāpēc ir polinoms tā koeficientos; turklāt šī polinoma koeficienti ir veseli skaitļi neatkarīgi no paplašinājuma, kurā ņemtas saknes.

Pieņemsim, ka mums ir dots kvadrātvienādojums ar šādu formu:

1 vienādojums

Saskaņā ar formulu mums ir:

Kopš \, tad vienādojumam ir 2 saknes. Definēsim tos:

Kur es varu atrisināt vienādojumu, izmantojot diskriminējošo tiešsaistes risinātāju?

Jūs varat atrisināt vienādojumu mūsu vietnē https: //. Bezmaksas tiešsaistes risinātājs ļaus jums dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuras sarežģītības tiešsaistes vienādojumu. Viss, kas jums jādara, ir tikai ievadīt savus datus risinātājā. Varat arī noskatīties video instrukciju un uzzināt, kā atrisināt vienādojumu mūsu vietnē. Un, ja jums ir kādi jautājumi, varat tos uzdot mūsu Vkontakte grupā http://vk.com/pocketteacher. Pievienojieties mūsu grupai, mēs vienmēr esam priecīgi jums palīdzēt.

Kvadrātvienādojumi. Diskriminējošais. Risinājums, piemēri.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls īpašajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Kvadrātvienādojumu veidi

Kas ir kvadrātvienādojums? Kā tas izskatās? Termiņā kvadrātvienādojums atslēgvārds ir "kvadrāts". Tas nozīmē, ka vienādojumā obligāti ir jābūt x kvadrātā. Papildus tam vienādojumā var būt (vai var nebūt!) Tikai x (līdz pirmajai pakāpei) un tikai skaitlis (bezmaksas dalībnieks). Un x nedrīkst būt grādos, kas ir lielāki par diviem.

Matemātiskā izteiksmē kvadrātvienādojums ir formas vienādojums:

Šeit a, b un c- daži skaitļi. b un c- pilnīgi jebkura, bet bet- jebkas, izņemot nulli. Piemēram:

Šeit bet =1; b = 3; c = -4

Šeit bet =2; b = -0,5; c = 2,2

Šeit bet =-3; b = 6; c = -18

Nu tu saprati domu...

Šajos kvadrātvienādojumos kreisajā pusē ir pilns komplekts biedri. x kvadrātā ar koeficientu bet, x uz pirmo pakāpi ar koeficientu b Un brīvais dalībnieks

Tādus kvadrātvienādojumus sauc pabeigts.

Un ja b= 0, ko mēs iegūsim? Mums ir X pazudīs pirmajā pakāpē. Tas notiek, reizinot ar nulli.) Izrādās, piemēram:

5x2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

utt. Un ja abi koeficienti b Un c ir vienādi ar nulli, tad tas ir vēl vienkāršāk:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x2 = 0

Tādus vienādojumus, kur kaut kā trūkst, sauc nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Tas ir diezgan loģiski.) Lūdzu, ņemiet vērā, ka x kvadrātā ir visos vienādojumos.

Starp citu, kāpēc bet nevar būt nulle? Un tā vietā jūs aizstājat bet nulle.) X kvadrātā pazudīs! Vienādojums kļūs lineārs. Un tas tiek darīts savādāk...

Tie ir visi galvenie kvadrātvienādojumu veidi. Pilnīga un nepilnīga.

Kvadrātvienādojumu atrisināšana.

Pilnu kvadrātvienādojumu atrisinājums.

Kvadrātvienādojumus ir viegli atrisināt. Pēc formulām un skaidriem vienkāršiem noteikumiem. Pirmajā posmā dotais vienādojums ir jāieved standarta formā, t.i. uz skatu:

Ja vienādojums jums jau ir dots šajā formā, jums nav jādara pirmais posms.) Galvenais ir pareizi noteikt visus koeficientus, bet, b Un c.

Formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai izskatās šādi:

Izteicienu zem saknes zīmes sauc diskriminējoša. Bet vairāk par viņu zemāk. Kā redzat, lai atrastu x, mēs izmantojam tikai a, b un c. Tie. koeficienti no kvadrātvienādojuma. Vienkārši uzmanīgi nomainiet vērtības a, b un cšajā formulā un saskaitiet. Aizstājējs ar savām zīmēm! Piemēram, vienādojumā:

bet =1; b = 3; c= -4. Šeit mēs rakstām:

Piemērs gandrīz atrisināts:

Šī ir atbilde.

Viss ir ļoti vienkārši. Un kā jūs domājat, jūs nevarat kļūdīties? Nu jā, kā...

Biežākās kļūdas ir apjukums ar vērtību pazīmēm a, b un c. Pareizāk sakot, nevis ar to zīmēm (kur tur sajaukt?), Bet ar negatīvo vērtību aizstāšanu sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit tiek saglabāts detalizēts formulas ieraksts ar konkrētiem skaitļiem. Ja rodas problēmas ar aprēķiniem, tad dari to!

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds piemērs:

Šeit a = -6; b = -5; c = -1

Pieņemsim, ka zināt, ka reti saņemat atbildes pirmajā reizē.

Nu neesi slinks. Papildu rindas uzrakstīšana prasīs 30 sekundes.Un kļūdu skaits strauji samazināsies. Tāpēc mēs rakstām detalizēti, ar visām iekavām un zīmēm:

Šķiet neticami grūti tik rūpīgi krāsot. Bet tā tikai šķiet. Pamēģini. Nu vai izvēlēties. Kas ir labāks, ātrs vai pareizi? Turklāt es jūs iepriecināšu. Pēc kāda laika vairs nevajadzēs visu tik rūpīgi krāsot. Tas vienkārši izrādīsies pareizi. It īpaši, ja izmantojat praktiskus paņēmienus, kas aprakstīti tālāk. Šis ļaunais piemērs ar mīnusiem tiks atrisināts viegli un bez kļūdām!

Bet bieži vien kvadrātvienādojumi izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi:

Vai zinājāt?) Jā! Šis nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisinājums.

Tos var atrisināt arī pēc vispārējās formulas. Jums vienkārši ir pareizi jāizdomā, kas šeit ir vienāds a, b un c.

Saprata? Pirmajā piemērā a = 1; b = -4; bet c? Tā vispār neeksistē! Nu jā, tieši tā. Matemātikā tas nozīmē c = 0 ! Tas ir viss. Tā vietā formulā aizstājiet nulli c, un mums viss izdosies. Līdzīgi ar otro piemēru. Tikai nulle mums šeit nav no, bet b !

Bet nepilnīgus kvadrātvienādojumus var atrisināt daudz vienkāršāk. Bez jebkādām formulām. Apsveriet pirmo nepilnīgo vienādojumu. Ko var izdarīt kreisajā pusē? Jūs varat izņemt X no iekavām! Ņemsim ārā.

Un kas no tā? Un tas, ka reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja kāds no faktoriem ir vienāds ar nulli! Netici? Nu tad izdomā divus skaitļus, kas nav nulle, kurus reizinot, sanāks nulle!
Nestrādā? Kaut kas...
Tāpēc mēs varam droši rakstīt: x 1 = 0, x 2 = 4.

Viss. Tās būs mūsu vienādojuma saknes. Abi der. Aizvietojot jebkuru no tiem sākotnējā vienādojumā, mēs iegūstam pareizo identitāti 0 = 0. Kā redzat, risinājums ir daudz vienkāršāks nekā vispārējā formula. Starp citu, es atzīmēju, kurš X būs pirmais un kurš otrais - tas ir absolūti vienaldzīgi. Viegli rakstīt secībā x 1- kurš ir mazāks x 2- tas, kas ir vairāk.

Arī otro vienādojumu var viegli atrisināt. Mēs virzāmies 9 uz labo pusi. Mēs iegūstam:

Atliek izvilkt sakni no 9, un viss. Gūt:

arī divas saknes . x 1 = -3, x 2 = 3.

Šādi tiek atrisināti visi nepilnīgie kvadrātvienādojumi. Vai nu izvelkot X no iekavām, vai vienkārši pārsūtot skaitli pa labi, pēc tam izvelkot sakni.
Šīs metodes ir ārkārtīgi grūti sajaukt. Vienkārši tāpēc, ka pirmajā gadījumā jums būs jāizņem sakne no X, kas ir kaut kā nesaprotami, un otrajā gadījumā nav ko izņemt no iekavām ...

Diskriminējošais. Diskriminējošā formula.

Burvju vārds diskriminējoša ! Reta vidusskolniece šo vārdu nav dzirdējusi! Frāze “izlemj, izmantojot diskriminantu” ir pārliecinoša un pārliecinoša. Jo nav jāgaida triki no diskriminētāja! Tas ir vienkārši un bez problēmām lietojams.) Es atgādinu vispārīgāko risināšanas formulu jebkura kvadrātvienādojumi:

Izteicienu zem saknes zīmes sauc par diskriminantu. Diskriminantu parasti apzīmē ar burtu D. Diskriminējošā formula:

D = b 2 - 4ac

Un kas šajā izteiksmē ir tik īpašs? Kāpēc tas ir pelnījis īpašu nosaukumu? Kas diskriminanta nozīme? Galu galā -b, vai 2ašajā formulā viņi īpaši nenosauc ... Burtus un burtus.

Lieta ir tāda. Atrisinot kvadrātvienādojumu, izmantojot šo formulu, tas ir iespējams tikai trīs gadījumi.

1. Diskriminants ir pozitīvs. Tas nozīmē, ka no tā var iegūt sakni. Tas, vai sakne ir iegūta labi vai slikti, ir cits jautājums. Svarīgi, ko principā izvelk. Tad jūsu kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Divi dažādi risinājumi.

2. Diskriminants ir nulle. Tad jums ir viens risinājums. Tā kā nulles pievienošana vai atņemšana skaitītājā neko nemaina. Stingri sakot, tā nav viena sakne, bet gan divi identiski. Bet vienkāršotā versijā ir ierasts runāt par viens risinājums.

3. Diskriminants ir negatīvs. Negatīvs skaitlis neņem kvadrātsakni. Nu labi. Tas nozīmē, ka risinājumu nav.

Godīgi sakot, izmantojot vienkāršu kvadrātvienādojumu risinājumu, diskriminanta jēdziens īsti nav vajadzīgs. Mēs aizstājam koeficientu vērtības formulā un ņemam vērā. Tur viss izrādās pats no sevis, un divas saknes, un viena, un ne viena. Taču, risinot sarežģītākus uzdevumus, bez zināšanām nozīme un diskriminanta formula nepietiekami. Īpaši - vienādojumos ar parametriem. Šādi vienādojumi ir aerobātika GIA un vienotajam valsts eksāmenam!)

Tātad, kā atrisināt kvadrātvienādojumus caur diskriminantu, kuru atcerējāties. Vai arī iemācījušies, kas arī nav slikti.) Jūs zināt, kā pareizi identificēt a, b un c. Vai jūs zināt, kā uzmanīgi aizstājiet tos saknes formulā un uzmanīgi skaitīt rezultātu. Vai jūs sapratāt, ka atslēgas vārds šeit ir - uzmanīgi?

Tagad ņemiet vērā praktiskos paņēmienus, kas ievērojami samazina kļūdu skaitu. Tie paši, kas ir neuzmanības dēļ... Par ko tad ir sāpīgi un aizvainojoši...

Pirmā uzņemšana . Neesiet slinks pirms kvadrātvienādojuma atrisināšanas, lai tas būtu standarta formā. Ko tas nozīmē?
Pieņemsim, ka pēc jebkādām transformācijām jūs saņemat šādu vienādojumu:

Nesteidzieties rakstīt sakņu formulu! Jūs gandrīz noteikti sajaucat izredzes a, b un c. Pareizi izveidojiet piemēru. Vispirms x kvadrātā, tad bez kvadrāta, tad brīvais dalībnieks. Kā šis:

Un atkal nesteidzieties! Mīnuss pirms x kvadrātā var jūs ļoti apbēdināt. To aizmirst ir viegli... Atbrīvojies no mīnusa. Kā? Jā, kā mācīja iepriekšējā tēmā! Mums jāreizina viss vienādojums ar -1. Mēs iegūstam:

Un tagad jūs varat droši pierakstīt formulu saknēm, aprēķināt diskriminantu un pabeigt piemēru. Izlemiet paši. Jums vajadzētu beigties ar saknēm 2 un -1.

Otrā pieņemšana. Pārbaudi savas saknes! Saskaņā ar Vietas teorēmu. Neuztraucieties, es visu izskaidrošu! Pārbauda pēdējā lieta vienādojums. Tie. tas, ar kuru mēs pierakstījām sakņu formulu. Ja (kā šajā piemērā) koeficients a = 1, viegli pārbaudiet saknes. Pietiek tos pavairot. Jums vajadzētu iegūt brīvu termiņu, t.i. mūsu gadījumā -2. Pievērsiet uzmanību, nevis 2, bet -2! bezmaksas dalībnieks ar savu zīmi . Ja tas neizdevās, tas nozīmē, ka viņi kaut kur jau ir sajukuši. Meklējiet kļūdu.

Ja tas izdevās, jums ir jāsaloka saknes. Pēdējā un pēdējā pārbaude. Jābūt attiecībai b no pretī zīme. Mūsu gadījumā -1+2 = +1. Koeficients b, kas ir pirms x, ir vienāds ar -1. Tātad, viss ir pareizi!
Žēl, ka tas ir tik vienkārši tikai piemēriem, kur x kvadrātā ir tīrs, ar koeficientu a = 1. Bet vismaz pārbaudiet šādus vienādojumus! Kļūdu būs mazāk.

Uzņemšana trešā . Ja jūsu vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, atbrīvojieties no daļām! Reiziniet vienādojumu ar kopsaucēju, kā aprakstīts nodarbībā "Kā atrisināt vienādojumus? Identitātes transformācijas". Strādājot ar daļskaitļiem, kļūdām kaut kādu iemeslu dēļ uzkāpj ...

Starp citu, es apsolīju ļaunu piemēru ar kaudzi mīnusiem vienkāršošanai. Lūdzu! Šeit viņš ir.

Lai neapjuktu mīnusos, vienādojumu reizinām ar -1. Mēs iegūstam:

Tas ir viss! Izlemt ir jautri!

Tātad atkārtosim tēmu.

Praktiski padomi:

1. Pirms risināšanas kvadrātvienādojumu ievietojam standarta formā, izveidojam to taisnība.

2. Ja kvadrātā pirms x ir negatīvs koeficients, mēs to izslēdzam, reizinot visu vienādojumu ar -1.

3. Ja koeficienti ir daļskaitļi, mēs izņemam daļas, reizinot visu vienādojumu ar atbilstošo koeficientu.

4. Ja x kvadrātā ir tīrs, koeficients tam ir vienāds ar vienu, atrisinājumu var viegli pārbaudīt ar Vietas teorēmu. Izdari to!

Tagad jūs varat izlemt.)

Atrisiniet vienādojumus:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Atbildes (nekārtīgi):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - jebkurš skaitlis

x 1 = -3
x 2 = 3

nekādu risinājumu

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Vai viss der? labi! Kvadrātvienādojumi nav jūsu galvassāpes. Pirmie trīs izrādījās, bet pārējie nē? Tad problēma nav kvadrātvienādojumos. Problēma ir identiskos vienādojumu transformācijās. Apskatiet saiti, tas noder.

Vai ne gluži strādā? Vai arī tas vispār nedarbojas? Tad jums palīdzēs sadaļa 555. Tur visi šie piemēri ir sakārtoti pēc kauliem. Rāda galvenais kļūdas risinājumā. Protams, aprakstīta arī identisku transformāciju pielietošana dažādu vienādojumu risināšanā. Ļoti palīdz!

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Pilnīga kvadrātvienādojuma pārveidošana par nepilnīgu izskatās šādi (gadījumam \(b=0\)):

Gadījumos, kad \(c=0\) vai kad abi koeficienti ir vienādi ar nulli, viss ir līdzīgi.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka \(a\) nav vienāds ar nulli, tas nevar būt vienāds ar nulli, jo šajā gadījumā tas pārvēršas par:

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisinājums.

Pirmkārt, jums ir jāsaprot, ka nepilnīgais kvadrātvienādojums joprojām ir, tāpēc to var atrisināt tāpat kā parasto kvadrātvienādojumu (caur). Lai to izdarītu, mēs vienkārši pievienojam trūkstošo vienādojuma komponentu ar nulles koeficientu.

Piemērs : atrodiet vienādojuma \(3x^2-27=0\) saknes.
Risinājums :

		Mums ir nepilnīgs kvadrātvienādojums ar koeficientu \(b=0\). Tas ir, mēs varam uzrakstīt vienādojumu šādā formā:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Patiesībā šeit ir tas pats vienādojums, kas sākumā, bet tagad to var atrisināt kā parastu kvadrātu. Vispirms pierakstām koeficientus.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Aprēķiniet diskriminantu, izmantojot formulu \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Atradīsim vienādojuma saknes, izmantojot formulas \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) un \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Pierakstiet atbildi

Atbilde : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Piemērs : atrodiet vienādojuma \(-x^2+x=0\) saknes.
Risinājums :

		Atkal nepilnīgs kvadrātvienādojums, bet tagad koeficients \(c\) ir vienāds ar nulli. Mēs rakstām vienādojumu kā pabeigtu.