Taisnstūra prizmas malas. Viss, kas jums jāzina par prizmu (2019)

Vispārīga informācija par taisnu prizmu

Par prizmas sānu virsmu (precīzāk, sānu virsmas laukumu) sauc summa sānu sejas zonas. Prizmas kopējā virsma ir vienāda ar sānu virsmas un pamatņu laukumu summu.

Teorēma 19.1. Taisnas prizmas sānu virsma ir vienāda ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu, t.i., sānu malas garumu.

Pierādījums. Taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri. Šo taisnstūru pamati ir daudzstūra malas, kas atrodas prizmas pamatnē, un augstumi ir vienādi ar sānu malu garumu. No tā izriet, ka prizmas sānu virsma ir vienāda ar

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kur a 1 un n ir pamatnes ribu garumi, p ir prizmas pamatnes perimetrs un I ir sānu ribu garums. Teorēma ir pierādīta.

Praktisks uzdevums

Uzdevums (22) . Slīpā prizmā sadaļā, perpendikulāri sānu malām un krustojot visas sānu malas. Atrast sānu virsma prizma, ja sekcijas perimetrs ir vienāds ar p, bet sānu malas ir vienādas ar l.

Risinājums. Nozīmētā griezuma plakne sadala prizmu divās daļās (411. att.). Vienu no tiem pakļausim paralēlajam tulkojumam, kas apvieno prizmas pamatus. Šajā gadījumā iegūstam taisnu prizmu, kurā par pamatu kalpo sākotnējās prizmas posms un sānu malas ir vienādas ar l. Šai prizmai ir tāda pati sānu virsma kā oriģinālajai. Tādējādi sākotnējās prizmas sānu virsma ir vienāda ar pl.

Tēmas vispārinājums

Un tagad mēģināsim ar jums apkopot prizmas tēmu un atcerēties, kādas īpašības ir prizmai.

Prizmas īpašības

Pirmkārt, prizmai visi tās pamati ir vienādi daudzstūri;
Otrkārt, prizmai visas tās sānu skaldnes ir paralelogrami;
Treškārt, tādā daudzšķautņainā figūrā kā prizma visas sānu malas ir vienādas;

Tāpat jāatceras, ka daudzskaldņi, piemēram, prizmas, var būt taisni un slīpi.

Kas ir taisna prizma?

Ja prizmas sānu mala ir perpendikulāra tās pamatnes plaknei, tad šādu prizmu sauc par taisni.

Nebūs lieki atcerēties, ka taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri.

Kas ir slīpā prizma?

Bet, ja prizmas sānu mala neatrodas perpendikulāri tās pamatnes plaknei, tad varam droši teikt, ka šī ir slīpa prizma.

Kāda ir pareizā prizma?

Ja taisnas prizmas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tad šāda prizma ir regulāra.

Tagad atcerēsimies parastās prizmas īpašības.

Regulāras prizmas īpašības

Pirmkārt, vienmēr pamatojums labā prizma ir regulāri daudzstūri;
Otrkārt, ja ņemam vērā regulāras prizmas sānu skaldnes, tad tās vienmēr ir vienādi taisnstūri;
Treškārt, ja salīdzinām sānu ribu izmērus, tad pareizajā prizmā tie vienmēr ir vienādi.
Ceturtkārt, regulāra prizma vienmēr ir taisna;
Piektkārt, ja regulārā prizmā sānu malas ir kvadrātu formā, tad šādu figūru parasti sauc par pusregulāru daudzstūri.

Prizmas sadaļa

Tagad apskatīsim prizmas šķērsgriezumu:

Mājasdarbs

Un tagad mēģināsim konsolidēt pētīto tēmu, risinot problēmas.

Uzzīmēsim slīpu trīsstūrveida prizmu, kurā attālums starp tās malām būs: 3 cm, 4 cm un 5 cm, un šīs prizmas sānu virsma būs vienāda ar 60 cm2. Ar šiem parametriem atrodiet dotās prizmas sānu malu.

Un jūs to zināt ģeometriskas figūras pastāvīgi ieskauj mūs ne tikai ģeometrijas stundās, bet arī Ikdiena ir objekti, kas atgādina vienu vai otru ģeometrisku figūru.

Katrā mājā, skolā vai darbā ir dators, kura sistēmas vienība ir taisnas prizmas formā.

Ja paņemsiet vienkāršu zīmuli, jūs redzēsiet, ka zīmuļa galvenā daļa ir prizma.

Ejot pa pilsētas galveno ielu, redzam, ka zem kājām guļ flīze, kurai ir sešstūra prizmas forma.

A. V. Pogorelovs, Ģeometrija 7.-11.klasei, Mācību grāmata izglītības iestādēm

Dažādas prizmas atšķiras viena no otras. Tajā pašā laikā viņiem ir daudz kopīga. Lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, jums ir jāizdomā, kāda veida tā izskatās.

Vispārējā teorija

Prizma ir jebkurš daudzskaldnis, kura malām ir paralelograma forma. Turklāt jebkurš daudzskaldnis var atrasties tā pamatnē - no trijstūra līdz n-stūrim. Turklāt prizmas pamatnes vienmēr ir vienādas viena ar otru. Kas neattiecas uz sānu virsmām - tās var ievērojami atšķirties pēc izmēra.

Risinot problēmas, saskaras ne tikai ar prizmas pamatnes laukumu. Var būt nepieciešams zināt sānu virsmu, tas ir, visas sejas, kas nav pamatnes. Pilna virsma jau būs visu prizmu veidojošo seju savienība.

Dažreiz uzdevumos parādās augstumi. Tas ir perpendikulārs pamatnēm. Daudzskaldņa diagonāle ir segments, kas savieno pa pāriem jebkuras divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.

Jāņem vērā, ka taisnas vai slīpas prizmas pamatnes laukums nav atkarīgs no leņķa starp tām un sānu virsmām. Ja tiem ir vienādi skaitļi augšējā un apakšējā virsmā, tad to laukumi būs vienādi.

trīsstūrveida prizma

Tā pamatnē ir figūra ar trim virsotnēm, tas ir, trīsstūris. Ir zināms, ka tas ir savādāk. Ja tad pietiek atgādināt, ka tā laukumu nosaka puse no kāju produkta.

Matemātiskais apzīmējums izskatās šādi: S = ½ av.

Lai atrastu pamatnes laukumu vispārējs skats, noder formulas: Gārnis un tas, kurā puse sānu tiek ņemta uz tai pievilkto augstumu.

Pirmā formula jāraksta šādi: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Šis ieraksts satur pusperimetru (p), tas ir, trīs malu summa dalīta ar divi.

Otrkārt: S = ½ n a * a.

Ja vēlaties uzzināt trijstūra prizmas pamatnes laukumu, kas ir regulārs, tad trīsstūris izrādās vienādmalu. Tam ir sava formula: S = ¼ a 2 * √3.

četrstūra prizma

Tās pamats ir jebkurš no zināmajiem četrstūriem. Tas var būt taisnstūris vai kvadrāts, paralēlskaldnis vai rombs. Katrā gadījumā, lai aprēķinātu prizmas pamatnes laukumu, jums būs nepieciešama sava formula.

Ja pamatne ir taisnstūris, tad tā laukumu nosaka šādi: S = av, kur a, b ir taisnstūra malas.

Kad mēs runājam apmēram četrstūra prizmu, tad regulāras prizmas pamatnes laukumu aprēķina, izmantojot kvadrāta formulu. Jo tas ir viņš, kurš atrodas bāzē. S \u003d a 2.

Gadījumā, ja bāze ir paralēlskaldnis, būs nepieciešama šāda vienlīdzība: S \u003d a * n a. Gadās, ka ir dota paralēlskaldņa mala un viens no leņķiem. Pēc tam, lai aprēķinātu augstumu, jums būs jāizmanto papildu formula: na \u003d b * sin A. Turklāt leņķis A atrodas blakus malai "b", un augstums ir na pretējs šim leņķim.

Ja rombs atrodas prizmas pamatnē, tad tā laukuma noteikšanai būs nepieciešama tāda pati formula kā paralelogramam (jo tas ir īpašs gadījums). Bet jūs varat arī izmantot šo: S = ½ d 1 d 2. Šeit d 1 un d 2 ir divas romba diagonāles.

Regulāra piecstūra prizma

Šajā gadījumā daudzstūris tiek sadalīts trīsstūros, kuru apgabalus ir vieglāk noskaidrot. Lai gan gadās, ka figūras var būt ar dažādu virsotņu skaitu.

Tā kā prizmas pamatne ir regulārs piecstūris, to var sadalīt piecos vienādmalu trīsstūros. Tad prizmas pamatnes laukums ir vienāds ar viena šāda trīsstūra laukumu (formulu var redzēt iepriekš), reizināts ar pieci.

Regulāra sešstūra prizma

Saskaņā ar principu, kas aprakstīts piecstūra prizmai, pamata sešstūri ir iespējams sadalīt 6 vienādmalu trīsstūros. Šādas prizmas pamatnes laukuma formula ir līdzīga iepriekšējai. Tikai tajā jāreizina ar sešiem.

Formula izskatīsies šādi: S = 3/2 un 2 * √3.

Uzdevumi

Nr.1. Dota regulāra taisne, kuras diagonāle ir 22 cm, daudzskaldņa augstums ir 14 cm. Aprēķina prizmas pamatnes laukumu un visas virsmas laukumu.

Risinājums. Prizmas pamatne ir kvadrāts, bet tā mala nav zināma. Tās vērtību var atrast no kvadrāta diagonāles (x), kas ir saistīta ar prizmas diagonāli (d) un tās augstumu (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. No otras puses, šis segments "x" ir hipotenūza trīsstūrī, kura kājas ir vienādas ar kvadrāta malu. Tas ir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Tādējādi izrādās, ka a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Nomainiet skaitli 22, nevis d, un aizstājiet “n” ar tā vērtību - 14, izrādās, ka kvadrāta mala ir 12 cm. Tagad ir viegli noskaidrot pamatnes laukumu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Lai uzzinātu visas virsmas laukumu, jums jāpievieno divreiz lielāka pamatlaukuma vērtība un četrkāršots mala. Pēdējo ir viegli atrast pēc taisnstūra formulas: reiziniet daudzskaldņa augstumu un pamatnes malu. Tas ir, 14 un 12, šis skaitlis būs vienāds ar 168 cm 2. kopējais laukums prizmas virsma ir 960 cm 2 .

Atbilde. Prizmas pamatnes laukums ir 144 cm2. Visa virsma - 960 cm 2 .

Nr. 2. Dana Pie pamatnes atrodas trijstūris ar malu 6 cm. Šajā gadījumā sānu skaldnes diagonāle ir 10 cm. Aprēķiniet laukumus: pamatne un sānu virsma.

Risinājums. Tā kā prizma ir regulāra, tās pamatne ir vienādmalu trīsstūris. Tāpēc tā laukums izrādās vienāds ar 6 kvadrātu reiz ¼ un kvadrātsakni no 3. Vienkāršs aprēķins noved pie rezultāta: 9√3 cm 2. Tas ir prizmas vienas pamatnes laukums.

Visas sānu malas ir vienādas un ir taisnstūri ar malām 6 un 10 cm. Lai aprēķinātu to laukumus, pietiek ar šo skaitļu reizināšanu. Pēc tam reiziniet tos ar trīs, jo prizmai ir tieši tik daudz sānu skaldņu. Tad sānu virsmas laukums tiek uztīts 180 cm 2 .

Atbilde. Laukumi: pamatne - 9√3 cm 2, prizmas sānu virsma - 180 cm 2.

Prizma. Paralēles

prizma sauc par daudzskaldni, kura divas skaldnes ir vienādi n-stūri (pamatojums) , kas atrodas paralēlās plaknēs, un atlikušās n skaldnes ir paralelogrami (sānu malas) . Sānu riba prizma ir sānu virsmas puse, kas nepieder pie pamatnes.

Tiek saukta prizma, kuras sānu malas ir perpendikulāras pamatu plaknēm taisni prizma (1. att.). Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatu plaknēm, tad sauc prizmu slīps . pareizi Prizma ir taisna prizma, kuras pamatnes ir regulāri daudzstūri.

Augstums prizmu sauc par attālumu starp pamatu plaknēm. Diagonāli Prizma ir segments, kas savieno divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsotnei. diagonālā daļa Tiek saukts prizmas griezums plaknē, kas iet caur divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai skaldnei. Perpendikulārs griezums sauc par prizmas griezumu ar plakni, kas ir perpendikulāra prizmas sānu malai.

Sānu virsmas laukums prizma ir visu sānu virsmu laukumu summa. apgabalā pilna virsma tiek saukta visu prizmas skalu laukumu summa (t.i., sānu skaldņu un pamatņu laukumu summa).

Patvaļīgai prizmai formulas ir patiesas:

kur l ir sānu ribas garums;

H- augstums;

S pusē

S pilns

S galvenais ir pamatu laukums;

V ir prizmas tilpums.

Taisnai prizmai ir patiesas šādas formulas:

kur lpp- pamatnes perimetrs;

l ir sānu ribas garums;

H- augstums.

Paralēles Tiek saukta prizma, kuras pamats ir paralelograms. Tiek saukts paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatiem tiešā veidā (2. att.). Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatnēm, tad sauc paralelsādi slīps . Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris taisnstūrveida. Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura visas malas ir vienādas kubs.

Tiek sauktas paralēlskaldņa sejas, kurām nav kopīgu virsotņu pretī . Tiek saukti malu garumi, kas izplūst no vienas virsotnes mērījumi paralēlskaldnis. Tā kā kaste ir prizma, tās galvenie elementi tiek definēti tāpat kā prizmām.

Teorēmas.

1. Paralēles diagonāles krustojas vienā punktā un sadala to uz pusēm.

2. Taisnstūra paralēlskaldnis diagonāles garuma kvadrāts ir vienāds ar tā trīs izmēru kvadrātu summu:

3. Visas četras taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas viena ar otru.

Patvaļīgam paralēlskaldnim ir patiesas šādas formulas:

kur l ir sānu ribas garums;

H- augstums;

P ir perpendikulārā griezuma perimetrs;

J– perpendikulārā griezuma laukums;

S pusē ir sānu virsmas laukums;

S pilns ir kopējā virsmas laukums;

S galvenais ir pamatu laukums;

V ir prizmas tilpums.

Labajam paralēlskaldnim ir patiesas šādas formulas:

kur lpp- pamatnes perimetrs;

l ir sānu ribas garums;

H ir labā paralēlskaldņa augstums.

Taisnstūra paralēlskaldnim ir patiesas šādas formulas:

(3)

kur lpp- pamatnes perimetrs;

H- augstums;

d- pa diagonāli;

a,b,c– paralēlskaldņa mērījumi.

Pareizās formulas kubam ir:

kur a ir ribas garums;

d ir kuba diagonāle.

1. piemērs Taisnstūra kubīda diagonāle ir 33 dm, un tās mērījumi ir saistīti kā 2:6:9. Atrodiet kubīda izmērus.

Risinājums. Lai atrastu paralēlskaldņa izmērus, izmantojam formulu (3), t.i. fakts, ka kuboīda hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar tā izmēru kvadrātu summu. Apzīmē ar k proporcionalitātes koeficients. Tad paralēlskaldņa izmēri būs vienādi ar 2 k, 6k un 9 k. Mēs rakstām formulu (3) problēmas datiem:

Atrisinot šo vienādojumu par k, mēs iegūstam:

Tādējādi paralēlskaldņa izmēri ir 6 dm, 18 dm un 27 dm.

Atbilde: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

2. piemērs Atrodiet tilpumu slīpai trīsstūrveida prizmai, kuras pamatne ir vienādmalu trijstūris ar 8 cm malu, ja sānu mala ir vienāda ar pamatnes malu un ir 60º leņķī pret pamatni.

Risinājums . Veidosim zīmējumu (3. att.).

Lai atrastu slīpās prizmas tilpumu, jums jāzina tās pamatnes laukums un augstums. Šīs prizmas pamatnes laukums ir vienādmalu trīsstūra laukums ar malu 8 cm. Aprēķināsim:

Prizmas augstums ir attālums starp tās pamatnēm. No augšas BET 1 no augšējās pamatnes mēs nolaižam perpendikulāri apakšējās pamatnes plaknei BET 1 D. Tās garums būs prizmas augstums. Apsveriet D BET 1 AD: jo tas ir sānu ribas slīpuma leņķis BET 1 BET uz bāzes plakni BET 1 BET= 8 cm No šī trijstūra mēs atrodam BET 1 D:

Tagad mēs aprēķinām tilpumu, izmantojot formulu (1):

Atbilde: 192 cm3.

3. piemērs Parastas sešstūra prizmas sānu mala ir 14 cm. Lielākā diagonālās sekcijas laukums ir 168 cm 2. Atrodiet prizmas kopējo virsmas laukumu.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (4. att.)

Lielākā diagonālā daļa ir taisnstūris AA 1 DD 1 , kopš diagonāles AD regulārs sešstūris ABCDEF ir lielākais. Lai aprēķinātu prizmas sānu virsmas laukumu, ir jāzina pamatnes mala un sānu ribas garums.

Zinot diagonālās sekcijas laukumu (taisnstūris), mēs atrodam pamatnes diagonāli.

Jo tad

Kopš tā laika AB= 6 cm.

Tad pamatnes perimetrs ir:

Atrodiet prizmas sānu virsmas laukumu:

Parasta sešstūra laukums ar 6 cm malu ir:

Atrodiet prizmas kopējo virsmas laukumu:

Atbilde:

4. piemērs Labā paralēlskaldņa pamatne ir rombs. Diagonālo sekciju laukumi ir 300 cm 2 un 875 cm 2. Atrodiet paralēlskaldņa sānu virsmas laukumu.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (5. att.).

Romba malu apzīmē ar bet, romba diagonāles d 1 un d 2, kastes augstums h. Lai atrastu taisna paralēlskaldņa sānu virsmas laukumu, pamatnes perimetrs jāreizina ar augstumu: (formula (2)). Bāzes perimetrs p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, jo ABCD- rombs. H = AA 1 = h. Tas. Vajag atrast bet Un h.

Apsveriet diagonālās sadaļas. AA 1 SS 1 - taisnstūris, kura viena mala ir romba diagonāle AC = d 1 , otrā sānu mala AA 1 = h, tad

Līdzīgi arī sadaļai BB 1 DD 1 mēs iegūstam:

Izmantojot paralelograma īpašību tādu, ka diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar visu tā malu kvadrātu summu, mēs iegūstam vienādību. Mēs iegūstam sekojošo.

Daudzskaldnis

Galvenais stereometrijas izpētes objekts ir trīsdimensiju ķermeņi. Ķermenis ir telpas daļa, ko ierobežo kāda virsma.

daudzskaldnis Tiek saukts ķermenis, kura virsma sastāv no ierobežota skaita plakanu daudzstūru. Daudzskaldni sauc par izliektu, ja tas atrodas katra plakanā daudzstūra plaknes pusē, kas atrodas uz tā virsmas. Šādas plaknes un daudzskaldņa virsmas kopējo daļu sauc mala. Izliekta daudzskaldņa skaldnes ir plakani izliekti daudzstūri. Seju malas sauc daudzskaldņa malas, un virsotnes daudzskaldņa virsotnes.

Piemēram, kubs sastāv no sešiem kvadrātiem, kas ir tā skaldnes. Tajā ir 12 malas (kvadrātu malas) un 8 virsotnes (kvadrātu virsotnes).

Vienkāršākie daudzskaldņi ir prizmas un piramīdas, kuras mēs pētīsim tālāk.

Prizma

Prizmas definīcija un īpašības

prizma sauc par daudzskaldni, kas sastāv no diviem plakaniem daudzstūriem, kas atrodas paralēlās plaknēs, kas apvienoti ar paralēlu translāciju, un visiem segmentiem, kas savieno šo daudzstūru atbilstošos punktus. Daudzstūri tiek saukti prizmu pamatnes, un segmenti, kas savieno atbilstošās daudzstūru virsotnes, ir prizmas sānu malas.

Prizmas augstums sauc par attālumu starp tā pamatu plaknēm (). Tiek saukts segments, kas savieno divas prizmas virsotnes, kas nepieder vienai skaldnei prizmas diagonāle(). Prizmu sauc n-ogles ja tā bāze ir n-stūra.

Jebkurai prizmai ir šādas īpašības, kas izriet no tā, ka prizmas pamatnes tiek apvienotas ar paralēlo tulkošanu:

1. Prizmas pamatnes ir vienādas.

2. Prizmas sānu malas ir paralēlas un vienādas.

Prizmas virsmu veido pamatnes un sānu virsma. Prizmas sānu virsmu veido paralelogrami (tas izriet no prizmas īpašībām). Prizmas sānu virsmas laukums ir sānu virsmu laukumu summa.

taisna prizma

Prizmu sauc taisni ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm. Pretējā gadījumā prizmu sauc slīps.

Taisnas prizmas skaldnes ir taisnstūri. Taisnas prizmas augstums ir vienāds ar tās sānu malām.

pilna prizmas virsma ir sānu virsmas laukuma un pamatu laukumu summa.

Pareiza prizma sauc par taisno prizmu ar regulāru daudzstūri pie pamatnes.

Teorēma 13.1. Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar prizmas perimetra un augstuma reizinājumu (vai, līdzvērtīgi, ar sānu malu).

Pierādījums. Taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri, kuru pamatnes ir prizmas pamatos esošo daudzstūru malas, bet augstumi ir prizmas sānu malas. Tad pēc definīcijas sānu virsmas laukums ir:

kur ir taisnas prizmas pamatnes perimetrs.

Paralēles

Ja paralelogrami atrodas prizmas pamatos, tad to sauc paralēlskaldnis. Visas paralēlskaldņa skaldnes ir paralelogrami. Šajā gadījumā paralēlskaldņa pretējās virsmas ir paralēlas un vienādas.

Teorēma 13.2. Paralēles diagonāles krustojas vienā punktā, un krustošanās punkts ir sadalīts uz pusēm.

Pierādījums. Apsveriet, piemēram, divas patvaļīgas diagonāles un . Jo paralēlskaldņa sejas ir paralelogrami, tad un , kas nozīmē, ka saskaņā ar T apmēram divas taisnes, kas ir paralēlas trešajai . Turklāt tas nozīmē, ka līnijas un atrodas vienā plaknē (plaknē). Šī plakne krustojas ar paralēlām plaknēm un pa paralēlām līnijām un . Tādējādi četrstūris ir paralelograms, un pēc paralelograma īpašības tā diagonāles un krustojas, un krustošanās punkts tiek dalīts uz pusēm, kas bija jāpierāda.

Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris kuboīds. Visas kuboīda skaldnes ir taisnstūri. Kuboīda neparalēlo malu garumus sauc par tā lineārie izmēri(mērījumi). Ir trīs izmēri (platums, augstums, garums).

Teorēma 13.3. Kvadrātveida formā jebkuras diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu (pierādīts, divreiz pielietojot Pitagora T).

Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura visas malas ir vienādas kubs.

Uzdevumi

13.1. Cik diagonāles ir n- oglekļa prizma

13.2. Slīpā trīsstūrveida prizmā attālumi starp sānu malām ir 37, 13 un 40. Atrodiet attālumu starp lielāko sānu virsmu un pretējo sānu malu.

13.3. Caur regulāras trīsstūrveida prizmas apakšējās pamatnes malu tiek novilkta plakne, kas krusto sānu virsmas pa segmentiem, leņķis starp kuriem ir . Atrodiet šīs plaknes slīpuma leņķi pret prizmas pamatni.

Definīcija. Prizma- tas ir daudzskaldnis, kura visas virsotnes atrodas divās paralēlās plaknēs, un tajās pašās divās plaknēs ir divas prizmas skaldnes, kas ir vienādi daudzstūri ar attiecīgi paralēlām malām, un visas malas, kas neatrodas šajās. plaknes ir paralēlas.

Tiek sauktas divas vienādas sejas prizmu pamatnes(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Tiek sauktas visas pārējās prizmas skaldnes sānu sejas(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Veidojas visas sānu sejas prizmas sānu virsma .

Visas prizmas sānu virsmas ir paralelogrami .

Malas, kas neatrodas pie pamatiem, sauc par prizmas sānu malām ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizmas diagonāle sauc segmentu, kura gali ir divas prizmas virsotnes, kas neatrodas vienā no tās skaldnēm (AD 1).

Tiek saukts segmenta garums, kas savieno prizmas pamatus un ir perpendikulārs abām pamatnēm vienlaikus. prizmas augstums .

Apzīmējums:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Vispirms apvada secībā norāda vienas pamatnes virsotnes, pēc tam tādā pašā secībā otras virsotnes; katras sānu malas galus apzīmē ar vieniem un tiem pašiem burtiem, tikai virsotnes atrodas vienā pamatnē ir apzīmēti ar burtiem bez indeksa, bet otrā - ar indeksu)

Prizmas nosaukums ir saistīts ar leņķu skaitu attēlā, kas atrodas tās pamatnē, piemēram, 1. attēlā pamatne ir piecstūris, tāpēc prizmu sauc piecstūra prizma. Bet kopš tādai prizmai ir 7 sejas, tad tā septiņskaldnis(2 skaldnes ir prizmas pamatnes, 5 skaldnes ir paralelogrami, ir tās sānu skaldnes)

Starp taisnām prizmām izceļas privāts skats: regulāras prizmas.

Tiek saukta taisna prizma pareizi, ja tā pamati ir regulāri daudzstūri.

Parastai prizmai visām sānu malām ir vienādi taisnstūri. Īpašs prizmas gadījums ir paralēlskaldnis.

Paralēles

Paralēles- šis četrstūra prizma, kura pamatā ir paralelograms (slīps paralēlskaldnis). Labais paralēlskaldnis- paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknēm.

kuboīds- taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris.

Īpašības un teorēmas:

Dažas paralēlskaldņa īpašības ir līdzīgas zināmās īpašības paralelograms Taisnstūra paralēlskaldnis ar vienādi mērījumi, tiek saukti kubs .Kubam visām skaldnēm ir vienādi kvadrāti.Diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu

kur d ir kvadrāta diagonāle;
a - laukuma puse.

Prizmas ideju sniedz:

dažādas arhitektūras struktūras;
Bērnu rotaļlietas;
iepakošanas kastes;
dizaineru priekšmeti utt.

Prismas kopējais un sānu virsmas laukums

Prismas kopējais virsmas laukums ir visu tā virsmu laukumu summa Sānu virsmas laukums sauc par tā sānu virsmu laukumu summu. prizmas pamatnes ir vienādi daudzstūri, tad to laukumi ir vienādi. Tāpēc

S pilna \u003d S puse + 2S galvenais,

kur S pilns- kopējais virsmas laukums, S pusē- sānu virsmas laukums, S galvenais- bāzes platība

Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu.

S pusē\u003d P galvenais * h,

kur S pusē ir taisnas prizmas sānu virsmas laukums,

P galvenais - taisnas prizmas pamatnes perimetrs,

h ir taisnās prizmas augstums, vienāds ar sānu malu.