mājas > mehāniskā inženierija

Logaritmu atšķirība ar vienu un to pašu bāzi. Logaritmu īpašības un to atrisinājumu piemēri

Kā zināms, reizinot izteiksmes ar pakāpēm, to eksponenti vienmēr summējas (a b * a c = a b + c). Šo matemātisko likumu atvasināja Arhimēds, un vēlāk, 8. gadsimtā, matemātiķis Virasens izveidoja veselu skaitļu rādītāju tabulu. Tieši viņi kalpoja turpmākai logaritmu atklāšanai. Šīs funkcijas izmantošanas piemērus var atrast gandrīz visur, kur nepieciešams vienkāršot apgrūtinošu reizināšanu līdz vienkāršai saskaitīšanai. Ja veltīsit 10 minūtes šī raksta lasīšanai, mēs jums paskaidrosim, kas ir logaritmi un kā ar tiem strādāt. Vienkārša un pieejama valoda.

Definīcija matemātikā

Logaritms ir šādas formas izteiksme: log ab=c, tas ir, jebkura nenegatīva skaitļa (tas ir, jebkura pozitīva) logaritms "b" pēc bāzes "a" tiek uzskatīts par "c" pakāpju. , uz kuru jāpaceļ bāze "a", lai beigās iegūtu vērtību "b". Analizēsim logaritmu, izmantojot piemērus, pieņemsim, ka ir izteiksme log 2 8. Kā atrast atbildi? Tas ir ļoti vienkārši, jāatrod tāds grāds, lai no 2 līdz vajadzīgajam grādam iegūtu 8. Domā veicot dažus aprēķinus, iegūstam skaitli 3! Un pareizi, jo 2 pakāpē no 3 dod atbildē skaitli 8.

Logaritmu šķirnes

Daudziem skolēniem un studentiem šī tēma šķiet sarežģīta un nesaprotama, taču patiesībā logaritmi nemaz nav tik biedējoši, galvenais ir saprast to vispārējo nozīmi un atcerēties to īpašības un dažus noteikumus. Ir trīs dažādi logaritmisko izteiksmju veidi:

  1. Naturālais logaritms ln a, kur bāze ir Eilera skaitlis (e = 2,7).
  2. Decimāldaļa a, kur bāze ir 10.
  3. Jebkura skaitļa b logaritms pret bāzi a>1.

Katrs no tiem tiek atrisināts standarta veidā, ieskaitot vienkāršošanu, samazināšanu un sekojošu samazināšanu līdz vienam logaritmam, izmantojot logaritmiskās teorēmas. Lai iegūtu pareizās logaritmu vērtības, lēmumos jāatceras to īpašības un darbību secība.

Noteikumi un daži ierobežojumi

Matemātikā ir vairāki noteikumi-ierobežojumi, kas tiek pieņemti kā aksioma, tas ir, tie nav diskutējami un ir patiesi. Piemēram, nav iespējams dalīt skaitļus ar nulli, kā arī nav iespējams iegūt pāra pakāpes sakni no negatīviem skaitļiem. Logaritmiem ir arī savi noteikumi, pēc kuriem jūs varat viegli iemācīties strādāt pat ar garām un ietilpīgām logaritmiskām izteiksmēm:

  • bāzei "a" vienmēr jābūt lielākai par nulli un tajā pašā laikā tai jābūt vienādai ar 1, pretējā gadījumā izteiksme zaudēs savu nozīmi, jo "1" un "0" jebkurā pakāpē vienmēr ir vienādi ar to vērtībām;
  • ja a > 0, tad a b > 0, izrādās, ka "c" ir jābūt lielākam par nulli.

Kā atrisināt logaritmus?

Piemēram, ja ir dots uzdevums atrast atbildi uz vienādojumu 10 x \u003d 100. Tas ir ļoti vienkārši, jums ir jāizvēlas šāda jauda, ​​paaugstinot skaitli desmit, līdz kuram mēs iegūstam 100. Tas, protams, ir 10 2 \u003d 100.

Tagad attēlosim šo izteiksmi kā logaritmisku izteiksmi. Iegūstam log 10 100 = 2. Atrisinot logaritmus, visas darbības praktiski saplūst, lai atrastu pakāpi, kādā jāievada logaritma bāze, lai iegūtu doto skaitli.

Lai precīzi noteiktu nezināmas pakāpes vērtību, jums jāiemācās strādāt ar grādu tabulu. Tas izskatās šādi:

Kā redzat, dažus eksponentus var uzminēt intuitīvi, ja jums ir tehniska domāšana un zināšanas par reizināšanas tabulu. Tomēr lielākām vērtībām būs nepieciešama jaudas tabula. To var izmantot pat tie, kas sarežģītās matemātikas tēmās vispār neko nesaprot. Skaitļi ir norādīti kreisajā kolonnā (a bāze), augšējā skaitļu rinda ir jaudas c vērtība, līdz kurai tiek pacelts skaitlis a. Šūnu krustojumā tiek noteiktas skaitļu vērtības, kas ir atbilde (a c = b). Ņemsim, piemēram, pašu pirmo šūnu ar skaitli 10 un kvadrātā, iegūstam vērtību 100, kas norādīta mūsu divu šūnu krustpunktā. Viss ir tik vienkārši un viegli, ka sapratīs pat visīstākais humānists!

Vienādojumi un nevienādības

Izrādās, ka noteiktos apstākļos eksponents ir logaritms. Tāpēc jebkuras matemātiskas skaitliskas izteiksmes var uzrakstīt kā logaritmisku vienādojumu. Piemēram, 3 4 =81 var uzrakstīt kā logaritmu no 81 līdz 3. bāzei, kas ir četri (log 3 81 = 4). Negatīvām pakāpēm noteikumi ir vienādi: 2 -5 = 1/32 mēs rakstām kā logaritmu, mēs iegūstam log 2 (1/32) = -5. Viena no aizraujošākajām matemātikas sadaļām ir “logaritmu” tēma. Mēs apsvērsim vienādojumu piemērus un risinājumus nedaudz zemāk, tūlīt pēc to īpašību izpētes. Tagad apskatīsim, kā izskatās nevienlīdzības un kā tās atšķirt no vienādojumiem.

Tiek dota šādas formas izteiksme: log 2 (x-1) > 3 - tā ir logaritmiska nevienādība, jo nezināmā vērtība "x" atrodas zem logaritma zīmes. Un arī izteiksmē tiek salīdzināti divi lielumi: vēlamā skaitļa logaritms otrajā bāzē ir lielāks par skaitli trīs.

Būtiskākā atšķirība starp logaritmiskiem vienādojumiem un nevienādībām ir tā, ka vienādojumi ar logaritmiem (piemēram, logaritms 2 x = √9) atbildē ietver vienu vai vairākas konkrētas skaitliskās vērtības, savukārt, risinot nevienādību, gan logaritmu diapazons. pieņemamās vērtības un punktus, kas pārkāpj šo funkciju. Rezultātā atbilde nav vienkārša atsevišķu skaitļu kopa, kā vienādojuma atbildē, bet gan nepārtraukta skaitļu virkne vai kopa.

Pamatteorēmas par logaritmiem

Risinot primitīvus uzdevumus, lai atrastu logaritma vērtības, tā īpašības var nebūt zināmas. Taču, runājot par logaritmiskiem vienādojumiem vai nevienādībām, pirmkārt, ir skaidri jāsaprot un jāpiemēro praksē visas logaritmu pamatīpašības. Ar vienādojumu piemēriem iepazīsimies vēlāk, vispirms analizēsim katru īpašību sīkāk.

  1. Pamatidentitāte izskatās šādi: a logaB =B. To piemēro tikai tad, ja a ir lielāka par 0, nav vienāda ar vienu, un B ir lielāka par nulli.
  2. Produkta logaritmu var attēlot ar šādu formulu: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šajā gadījumā priekšnoteikums ir: d, s 1 un s 2 > 0; a≠1. Jūs varat sniegt pierādījumu šai logaritmu formulai ar piemēriem un risinājumu. Aprēķināsim kā 1 = f 1 un log kā 2 = f 2, tad a f1 = s 1, a f2 = s 2. Iegūstam, ka s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (pakāpju īpašības ), un tālāk pēc definīcijas: log a (s 1 * s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log kā 2, kas bija jāpierāda.
  3. Koeficienta logaritms izskatās šādi: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Teorēma formulas formā iegūst šādu formu: log a q b n = n/q log a b.

Šo formulu sauc par "logaritma pakāpes īpašību". Tas atgādina parasto grādu īpašības, un tas nav pārsteidzoši, jo visa matemātika balstās uz regulāriem postulātiem. Apskatīsim pierādījumu.

Ļaujiet reģistrēt a b \u003d t, izrādās a t \u003d b. Ja abas daļas paaugstina līdz pakāpei m: a tn = b n ;

bet tā kā a tn = (a q) nt/q = b n , tātad log a q b n = (n*t)/t, tad log a q b n = n/q log a b. Teorēma ir pierādīta.

Problēmu un nevienlīdzību piemēri

Visizplatītākie logaritma problēmu veidi ir vienādojumu un nevienādību piemēri. Tie ir atrodami gandrīz visās problēmu grāmatās, kā arī ir iekļauti matemātikas eksāmenu obligātajā daļā. Lai iestātos augstskolā vai nokārtotu iestājpārbaudījumus matemātikā, ir jāzina, kā pareizi atrisināt šādus uzdevumus.

Diemžēl nav vienota plāna vai shēmas logaritma nezināmās vērtības risināšanai un noteikšanai, tomēr katrai matemātiskajai nevienādībai vai logaritmiskajam vienādojumam var piemērot noteiktus noteikumus. Pirmkārt, jums vajadzētu noskaidrot, vai izteiksmi var vienkāršot vai samazināt līdz vispārīgai formai. Jūs varat vienkāršot garās logaritmiskās izteiksmes, ja pareizi izmantojat to īpašības. Drīzumā iepazīsimies ar viņiem.

Risinot logaritmiskos vienādojumus, ir jānosaka, kāds logaritms mums ir priekšā: izteiksmes piemērs var saturēt naturālo logaritmu vai decimāldaļu.

Šeit ir piemēri ln100, ln1026. Viņu risinājums ir saistīts ar faktu, ka jums ir jānosaka pakāpe, kādā bāze 10 būs vienāda ar attiecīgi 100 un 1026. Naturālo logaritmu risinājumiem jāpiemēro logaritmiskās identitātes vai to īpašības. Apskatīsim dažādu veidu logaritmisko problēmu risināšanas piemērus.

Kā lietot logaritma formulas: ar piemēriem un risinājumiem

Tātad, aplūkosim piemērus, kā izmantot galvenās teorēmas par logaritmiem.

  1. Produkta logaritma īpašību var izmantot uzdevumos, kur nepieciešams lielu skaitļa b vērtību sadalīt vienkāršākos faktoros. Piemēram, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atbilde ir 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kā redzat, pielietojot logaritma pakāpes ceturto īpašību, mums izdevās atrisināt no pirmā acu uzmetiena sarežģītu un neatrisināmu izteiksmi. Atliek tikai faktorizēt bāzi un pēc tam izņemt eksponenta vērtības no logaritma zīmes.

Uzdevumi no eksāmena

Logaritmi bieži sastopami iestājeksāmenos, īpaši daudz logaritmisko uzdevumu Vienotajā valsts eksāmenā (valsts eksāmens visiem skolas absolventiem). Parasti šie uzdevumi ir ne tikai A daļā (vieglākā eksāmena testa daļa), bet arī C daļā (visgrūtākie un apjomīgākie uzdevumi). Eksāmens nozīmē precīzas un nevainojamas zināšanas par tēmu "Dabas logaritmi".

Problēmu piemēri un risinājumi ir ņemti no eksāmena oficiālajām versijām. Redzēsim, kā šādi uzdevumi tiek risināti.

Dotais log 2 (2x-1) = 4. Risinājums:
pārrakstīsim izteiksmi, to nedaudz vienkāršojot log 2 (2x-1) = 2 2, pēc logaritma definīcijas iegūstam, ka 2x-1 = 2 4, tātad 2x = 17; x = 8,5.

  • Visus logaritmus vislabāk samazināt līdz vienai un tai pašai bāzei, lai risinājums nebūtu apgrūtinošs un mulsinošs.
  • Visas izteiksmes zem logaritma zīmes ir norādītas kā pozitīvas, tāpēc, izņemot izteiksmes eksponenta eksponentu, kas atrodas zem logaritma zīmes un kā tā bāzi, izteiksmei, kas paliek zem logaritma, jābūt pozitīvai.

Šodien mēs runāsim par logaritma formulas un sniedz demonstrāciju risinājumu piemēri.

Tie paši par sevi nozīmē risinājuma modeļus atbilstoši logaritmu pamatīpašībām. Pirms logaritma formulu izmantošanas risinājumam, mēs vispirms atgādinām visas īpašības:

Tagad, pamatojoties uz šīm formulām (īpašībām), mēs parādām logaritmu risināšanas piemēri.

Piemēri logaritmu risināšanai, pamatojoties uz formulām.

Logaritms pozitīvs skaitlis b bāzē a (apzīmēts log a b) ir eksponents, līdz kuram a jāpaaugstina, lai iegūtu b, ar b > 0, a > 0 un 1.

Saskaņā ar definīciju log a b = x, kas ir ekvivalents a x = b, tātad log a a x = x.

Logaritmi, piemēri:

log 2 8 = 3, jo 2 3 = 8

log 7 49 = 2 jo 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, jo 5-1 = 1/5

Decimālais logaritms ir parasts logaritms, kura bāze ir 10. Apzīmēta kā lg.

log 10 100 = 2, jo 10 2 = 100

naturālais logaritms- arī parastais logaritma logaritms, bet ar bāzi e (e \u003d 2,71828 ... - iracionāls skaitlis). Apzīmēts kā ln.

Vēlams atcerēties logaritmu formulas vai īpašības, jo tās mums būs vajadzīgas vēlāk, risinot logaritmus, logaritmiskos vienādojumus un nevienādības. Apskatīsim katru formulu vēlreiz ar piemēriem.

  • Pamatlogaritmiskā identitāte
    a log a b = b

    8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

  • Produkta logaritms ir vienāds ar logaritmu summu
    log a (bc) = log a b + log a c

    log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

  • Koeficienta logaritms ir vienāds ar logaritmu starpību
    log a (b/c) = log a b - log a c

    9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

  • Logaritējama skaitļa pakāpes un logaritma bāzes īpašības

    Logaritma skaitļa eksponents log a b m = mlog a b

    Logaritma bāzes eksponents log a n b =1/n*log a b

    log a n b m = m/n*log a b,

    ja m = n, iegūstam log a n b n = log a b

    log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

  • Pāreja uz jaunu pamatu
    log a b = log c b / log c a,

    ja c = b, iegūstam log b b = 1

    tad log a b = 1/log b a

    log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kā redzat, logaritmu formulas nav tik sarežģītas, kā šķiet. Tagad, ņemot vērā logaritmu risināšanas piemērus, mēs varam pāriet uz logaritmiskiem vienādojumiem. Logaritmisko vienādojumu risināšanas piemērus mēs aplūkosim sīkāk rakstā: "". Nepalaid garām!

Ja jums joprojām ir jautājumi par risinājumu, rakstiet tos raksta komentāros.

Piezīme: nolēma iegūt citas klases izglītību kā iespēju mācīties ārzemēs.

Skaitļa logaritms N saprāta dēļ bet sauc par eksponentu X , uz kuru jums ir jāpaaugstina bet lai iegūtu numuru N

Ar nosacījumu, ka
,
,

No logaritma definīcijas izriet, ka
, t.i.
- šī vienlīdzība ir logaritmiskā pamatidentitāte.

Logaritmus līdz 10. bāzei sauc par decimāllogaritmiem. Tā vietā
rakstīt
.

bāzes logaritmi e tiek saukti par dabiskiem un apzīmēti
.

Logaritmu pamatīpašības.

    Vienotības logaritms jebkurai bāzei ir nulle

    Produkta logaritms ir vienāds ar faktoru logaritmu summu.

3) koeficienta logaritms ir vienāds ar logaritmu starpību


Faktors
sauc par pārejas moduli no logaritmiem pie bāzes a uz logaritmiem bāzē b .

Izmantojot īpašības 2-5, bieži vien ir iespējams reducēt sarežģītas izteiksmes logaritmu līdz vienkāršu aritmētisku logaritmu darbību rezultātam.

Piemēram,

Šādas logaritma transformācijas sauc par logaritmiem. Logaritmu apgrieztās transformācijas sauc par potenciāciju.

2. nodaļa. Augstākās matemātikas elementi.

1. Ierobežojumi

funkciju ierobežojums
ir galīgs skaitlis A ja, cenšoties xx 0 katram iepriekš noteiktajam
, ir numurs
ka tiklīdz
, tad
.

Funkcija, kurai ir ierobežojums, atšķiras no tās par bezgalīgi mazu lielumu:
, kur - b.m.w., t.i.
.

Piemērs. Apsveriet funkciju
.

Kad tiekties
, funkcija y iet uz nulli:

1.1. Pamatteorēmas par robežām.

    Konstantas vērtības robeža ir vienāda ar šo nemainīgo vērtību

.

    Galīga skaita funkciju summas (starpības) robeža ir vienāda ar šo funkciju robežu summu (starpību).

    Galīga skaita funkciju reizinājuma robeža ir vienāda ar šo funkciju robežu reizinājumu.

    Divu funkciju koeficienta robeža ir vienāda ar šo funkciju robežu koeficientu, ja saucēja robeža nav vienāda ar nulli.

Ievērojami ierobežojumi

,
, kur

1.2. Limitu aprēķināšanas piemēri

Tomēr ne visas robežas tiek aprēķinātas tik vienkārši. Biežāk limita aprēķins tiek samazināts līdz veida nenoteiktības atklāšanai: vai .

.

2. Funkcijas atvasinājums

Lai mums ir funkcija
, nepārtraukti segmentā
.

Arguments ieguva nelielu stimulu
. Pēc tam funkcija tiks palielināta
.

Argumenta vērtība atbilst funkcijas vērtībai
.

Argumenta vērtība
atbilst funkcijas vērtībai .

Sekojoši, .

Ļaujiet mums atrast šīs attiecības robežu pie
. Ja šī robeža pastāv, tad to sauc par dotās funkcijas atvasinājumu.

Dotās funkcijas 3atvasinājuma definīcija
ar argumentu tiek saukta par funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, kad argumenta pieaugumam patvaļīgi ir tendence uz nulli.

Funkcijas atvasinājums
var apzīmēt šādi:

; ; ; .

4. Definīcija Tiek izsaukta darbība, lai atrastu funkcijas atvasinājumu diferenciācija.

2.1. Atvasinājuma mehāniskā nozīme.

Apsveriet kāda stingra ķermeņa vai materiāla punkta taisnu kustību.

Ļaujiet kādā brīdī kustīgs punkts
bija attālumā no sākuma pozīcijas
.

Pēc kāda laika
viņa pavirzījās kādu attālumu
. Attieksme =- materiāla punkta vidējais ātrums
. Atradīsim šīs attiecības robežu, ņemot vērā to
.

Līdz ar to materiāla punkta momentānā ātruma noteikšana tiek reducēta līdz ceļa atvasinājuma atrašanai attiecībā pret laiku.

2.2. Atvasinājuma ģeometriskā vērtība

Pieņemsim, ka mums ir grafiski definēta kāda funkcija
.

Rīsi. 1. Atvasinājuma ģeometriskā nozīme

Ja
, tad punkts
, virzīsies pa līkni, tuvojoties punktam
.

sekojoši
, t.i. atvasinājuma vērtība, ņemot vērā argumenta vērtību skaitliski vienāds ar tangensu leņķim, ko veido tangenss noteiktā punktā ar ass pozitīvo virzienu
.

2.3. Pamata diferenciācijas formulu tabula.

Jaudas funkcija

Eksponenciālā funkcija

logaritmiskā funkcija

trigonometriskā funkcija

Apgrieztā trigonometriskā funkcija

2.4. Diferencēšanas noteikumi.

Atvasinājums no

Funkciju summas (starpības) atvasinājums


Divu funkciju reizinājuma atvasinājums


Divu funkciju koeficienta atvasinājums


2.5. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Ļaujiet funkcijai
tādu, lai to varētu attēlot kā

Un
, kur mainīgais tad tas ir starparguments

Sarežģītas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar dotās funkcijas atvasinājuma reizinājumu attiecībā pret starpposma argumentu ar starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā pret x.

1. piemērs.

Piemērs2.

3. Funkciju diferenciālis.

Lai ir
, diferencējams noteiktā intervālā
ļaujiet tai iet plkst šai funkcijai ir atvasinājums

,

tad var rakstīt

(1),

kur - bezgalīgi mazs daudzums,

jo plkst

Visus vienlīdzības nosacījumus (1) reizinot ar
mums ir:

Kur
- b.m.v. augstāks pasūtījums.

Vērtība
sauc par funkcijas diferenciāli
un apzīmēts

.

3.1. Diferenciāļa ģeometriskā vērtība.

Ļaujiet funkcijai
.

2. att. Diferenciāļa ģeometriskā nozīme.

.

Acīmredzot funkcijas atšķirība
ir vienāds ar pieskares ordinātu pieaugumu dotajā punktā.

3.2. Dažādu pasūtījumu atvasinājumi un diferenciāļi.

Ja tur ir
, tad
sauc par pirmo atvasinājumu.

Pirmā atvasinājuma atvasinājumu sauc par otrās kārtas atvasinājumu un raksta
.

Funkcijas n-tās kārtas atvasinājums
sauc par (n-1) kārtas atvasinājumu un raksta:

.

Funkcijas diferenciāļa diferenciāli sauc par otrās diferenciāli vai otrās kārtas diferenciāli.

.

.

3.3. Bioloģisko problēmu risināšana, izmantojot diferenciāciju.

1. uzdevums. Pētījumi liecina, ka mikroorganismu kolonijas augšana pakļaujas likumam
, kur N – mikroorganismu skaits (tūkstošos), t – laiks (dienas).

b) Vai kolonijas iedzīvotāju skaits šajā periodā palielināsies vai samazināsies?

Atbilde. Kolonija palielināsies.

Uzdevums 2. Periodiski tiek pārbaudīts ūdens ezerā, lai kontrolētu patogēno baktēriju saturu. Pāri t dienas pēc testēšanas baktēriju koncentrāciju nosaka pēc attiecības

.

Kad ezerā pienāks minimālā baktēriju koncentrācija un tajā varēs peldēties?

Risinājums Funkcija sasniedz max vai min, ja tās atvasinājums ir nulle.

,

Noteiksim maksimālo vai minimālo vērtību pēc 6 dienām. Lai to izdarītu, mēs ņemam otro atvasinājumu.


Atbilde: Pēc 6 dienām būs minimālā baktēriju koncentrācija.

    Sāksim ar Vienības logaritma īpašības. Tās formulējums ir šāds: vienotības logaritms ir vienāds ar nulli, tas ir, log a 1=0 jebkuram a>0, a≠1. Pierādījums ir vienkāršs: tā kā a 0 =1 jebkuram a, kas atbilst iepriekš minētajiem nosacījumiem a>0 un a≠1 , tad no logaritma definīcijas uzreiz izriet pierādītā vienādība log a 1=0.

    Sniegsim aplūkojamās īpašības pielietojuma piemērus: log 3 1=0 , lg1=0 un .

    Pāriesim pie nākamā īpašuma: skaitļa, kas vienāds ar bāzi, logaritms ir vienāds ar vienu, t.i., log a a=1 ja a>0, a≠1. Patiešām, tā kā a 1 =a jebkuram a , tad pēc logaritma definīcijas log a a = 1 .

    Šīs logaritmu īpašības izmantošanas piemēri ir log 5 5=1, log 5.6 5.6 un lne=1.

    Piemēram, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 un .

    Divu pozitīvu skaitļu reizinājuma logaritms x un y ir vienāds ar šo skaitļu logaritmu reizinājumu: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Pierādīsim reizinājuma logaritma īpašību. Sakarā ar grāda īpašībām a log a x+log a y =a log a x a log a y, un tā kā pēc galvenās logaritmiskās identitātes log a x =x un log a y =y , tad log a x a log a y =x y . Tādējādi log a x+log a y =x y , no kurienes pēc logaritma definīcijas seko vajadzīgā vienādība.

    Parādīsim piemērus, kā izmantot reizinājuma logaritma īpašību: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 un .

    Produkta logaritma īpašību var vispārināt ar pozitīvu skaitļu x 1 , x 2 , …, x n galīga skaita n reizinājumu kā log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Šī vienlīdzība ir viegli pierādāma.

    Piemēram, reizinājuma naturālo logaritmu var aizstāt ar trīs skaitļu 4 , e un naturālo logaritmu summu.

    Divu pozitīvu skaitļu koeficienta logaritms x un y ir vienāds ar starpību starp šo skaitļu logaritmiem. Datuma logaritma īpašība atbilst formulai formā , kur a>0 , a≠1 , x un y ir daži pozitīvi skaitļi. Šīs formulas derīgums tiek pierādīts tāpat kā reizinājuma logaritma formula: kopš , tad pēc logaritma definīcijas .

    Šeit ir piemērs, kā izmantot šo logaritma rekvizītu: .

    Pāriesim pie pakāpes logaritma īpašība. Pakāpes logaritms ir vienāds ar eksponenta un šīs pakāpes bāzes moduļa logaritma reizinājumu. Mēs rakstām šo pakāpes logaritma īpašību formulas veidā: log a b p =p log a |b|, kur a>0, a≠1, b un p ir tādi skaitļi, ka b p pakāpei ir jēga un b p >0.

    Vispirms mēs pierādām šo īpašību pozitīvajam b . Pamatlogaritmiskā identitāte ļauj attēlot skaitli b kā log a b , tad b p =(a log a b) p , un iegūtā izteiksme jaudas īpašības dēļ ir vienāda ar p log a b . Tātad nonākam pie vienādības b p =a p log a b , no kuras pēc logaritma definīcijas secinām, ka log a b p =p log a b .

    Atliek pierādīt šo īpašību negatīvam b . Šeit mēs atzīmējam, ka izteiksmei log a b p negatīvam b ir jēga tikai pāra eksponentiem p (jo pakāpes b p vērtībai jābūt lielākai par nulli, pretējā gadījumā logaritmam nebūs jēgas), un šajā gadījumā b p =|b| lpp . Tad b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, no kurienes log a b p =p log a |b| .

    Piemēram, un ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

    Tas izriet no iepriekšējā īpašuma logaritma īpašība no saknes: n-tās pakāpes saknes logaritms ir vienāds ar daļas 1/n reizinājumu un saknes izteiksmes logaritmu, tas ir, , kur a>0, a≠1, n ir naturāls skaitlis, kas lielāks par vienu, b>0.

    Pierādījums ir balstīts uz vienādību (sk. ), kas ir spēkā jebkuram pozitīvam b , un pakāpes logaritma īpašību: .

    Šeit ir šī īpašuma izmantošanas piemērs: .

    Tagad pierādīsim konvertēšanas formula uz jauno logaritma bāzi laipns . Lai to izdarītu, pietiek pierādīt vienādības log c b=log a b log c a pamatotību. Pamatlogaritmiskā identitāte ļauj mums attēlot skaitli b kā log a b , tad log c b=log c a log a b . Atliek izmantot pakāpes logaritma īpašību: log c a log a b = log a b log c a. Tādējādi tiek pierādīta vienādība log c b=log a b log c a, kas nozīmē, ka tiek pierādīta arī formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi.

    Parādīsim pāris piemērus, kā izmantot šo logaritmu īpašību: un .

    Formula pārejai uz jaunu bāzi ļauj pāriet uz darbu ar logaritmiem, kuriem ir “ērta” bāze. Piemēram, to var izmantot, lai pārietu uz naturālo vai decimālo logaritmu, lai jūs varētu aprēķināt logaritma vērtību no logaritmu tabulas. Formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi arī dažos gadījumos ļauj atrast noteiktā logaritma vērtību, ja ir zināmas dažu logaritmu vērtības ar citām bāzēm.

    Bieži tiek izmantots īpašs formulas gadījums pārejai uz jaunu logaritma bāzi formas c=b . Tas parāda, ka log a b un log b a – . Piemēram, .

    Bieži tiek izmantota arī formula , kas noder logaritma vērtību atrašanai. Lai apstiprinātu savus vārdus, mēs parādīsim, kā, izmantojot to, tiek aprēķināta formas logaritma vērtība. Mums ir . Lai pierādītu formulu pietiek ar pārejas formulu uz jauno logaritma a bāzi: .

    Atliek pierādīt logaritmu salīdzināšanas īpašības.

    Pierādīsim, ka jebkuriem pozitīviem skaitļiem b 1 un b 2 , b 1 log a b 2 un a>1 nevienādība log a b 1

    Visbeidzot, atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajām logaritmu īpašībām. Mēs aprobežojamies ar tā pirmās daļas pierādīšanu, tas ir, mēs pierādām, ka, ja 1 >1, 2 >1 un 1 1 ir patiess log a 1 b> log a 2 b . Pārējie apgalvojumi par šo logaritmu īpašību tiek pierādīti ar līdzīgu principu.

    Izmantosim pretējo metodi. Pieņemsim, ka 1 >1, 2 >1 un 1 1 log a 1 b≤log a 2 b ir patiess. Pēc logaritmu īpašībām šīs nevienādības var pārrakstīt kā Un attiecīgi, un no tiem izriet, ka attiecīgi log b a 1 ≤log b a 2 un log b a 1 ≥log b a 2. Tad pēc pakāpju īpašībām ar vienādām bāzēm jāizpilda vienādības b log b a 1 ≥b log b a 2 un b log b a 1 ≥b log b a 2, tas ir, a 1 ≥a 2 . Tādējādi mēs esam nonākuši pie pretrunas nosacījumam a 1

Bibliogrāfija.

  • Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klasei.
  • Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).

Saistībā ar

var uzstādīt uzdevumu atrast jebkuru no trim skaitļiem no pārējiem diviem dotajiem skaitļiem. Dots a un tad N tiek atrasts ar eksponenci. Ja ir doti N un tad a tiek atrasts, ekstrahējot pakāpju x sakni (vai eksponenci). Tagad apsveriet gadījumu, kad, ņemot vērā a un N, ir jāatrod x.

Lai skaitlis N ir pozitīvs: skaitlis a ir pozitīvs un nav vienāds ar vienu: .

Definīcija. Skaitļa N logaritms pret bāzi a ir eksponents, līdz kuram jāpaaugstina a, lai iegūtu skaitli N; logaritmu apzīmē ar

Tādējādi vienādībā (26.1) eksponents tiek atrasts kā N logaritms bāzei a. Ieraksti

ir tāda pati nozīme. Vienādību (26.1) dažkārt sauc par logaritmu teorijas pamatidentitāti; patiesībā tas izsaka logaritma jēdziena definīciju. Pēc šīs definīcijas logaritma a bāze vienmēr ir pozitīva un atšķiras no vienotības; logaritmējamais skaitlis N ir pozitīvs. Negatīviem skaitļiem un nullei nav logaritmu. Var pierādīt, ka jebkuram skaitlim ar noteiktu bāzi ir precīzi definēts logaritms. Tāpēc vienlīdzība nozīmē . Ņemiet vērā, ka nosacījums šeit ir būtisks, pretējā gadījumā secinājums nebūtu pamatots, jo vienādība ir patiesa jebkurai x un y vērtībai.

Piemērs 1. Atrast

Risinājums. Lai iegūtu skaitli, jums jāpaaugstina bāze 2 līdz jaudai Tāpēc.

Risinot šādus piemērus, varat ierakstīt šādā formā:

Piemērs 2. Atrast .

Risinājums. Mums ir

1. un 2. piemērā mēs viegli atradām vēlamo logaritmu, attēlojot logaritējamo skaitli kā bāzes pakāpi ar racionālu eksponentu. Vispārīgā gadījumā, piemēram, utt., To nevar izdarīt, jo logaritmam ir iracionāla vērtība. Pievērsīsim uzmanību vienam jautājumam saistībā ar šo apgalvojumu. 12. paragrāfā mēs sniedzām jēdzienu par iespēju noteikt jebkuru dotā pozitīva skaitļa reālo jaudu. Tas bija nepieciešams logaritmu ieviešanai, kas kopumā var būt neracionāli skaitļi.

Apsveriet dažas logaritmu īpašības.

Īpašība 1. Ja skaitlis un bāze ir vienādi, tad logaritms ir vienāds ar vienu, un, otrādi, ja logaritms ir vienāds ar vienu, tad skaitlis un bāze ir vienādi.

Pierādījums. Ļaujiet Pēc logaritma definīcijas mums ir un no kurienes

Un otrādi, ļaujiet Tad pēc definīcijas

Īpašība 2. Vienotības logaritms jebkurai bāzei ir vienāds ar nulli.

Pierādījums. Pēc logaritma definīcijas (jebkuras pozitīvas bāzes nulles jauda ir vienāda ar vienu, sk. (10.1)). No šejienes

Q.E.D.

Patiess ir arī apgrieztais apgalvojums: ja , tad N = 1. Patiešām, mums ir .

Pirms norādīt šādu logaritmu īpašību, mēs piekrītam teikt, ka divi skaitļi a un b atrodas trešā skaitļa c vienā pusē, ja tie abi ir lielāki par c vai mazāki par c. Ja viens no šiem skaitļiem ir lielāks par c, bet otrs ir mazāks par c, tad teiksim, ka tie atrodas c pretējās pusēs.

Īpašība 3. Ja skaitlis un bāze atrodas vienā un tajā pašā vienības pusē, tad logaritms ir pozitīvs; ja skaitlis un bāze atrodas pretējās vienības pusēs, tad logaritms ir negatīvs.

Īpašības 3 pierādījums ir balstīts uz to, ka a pakāpe ir lielāka par vienu, ja bāze ir lielāka par vienu un eksponents ir pozitīvs, vai bāze ir mazāka par vienu un eksponents ir negatīvs. Pakāpe ir mazāka par vienu, ja bāze ir lielāka par vienu un eksponents ir negatīvs, vai bāze ir mazāka par vienu un eksponents ir pozitīvs.

Jāapsver četri gadījumi:

Mēs aprobežojamies ar pirmā no tiem analīzi, pārējo lasītājs apsvērs pats.

Lai tad eksponents vienādībā nav ne negatīvs, ne vienāds ar nulli, tāpēc tas ir pozitīvs, t.i., kas bija jāpierāda.

3. piemērs. Noskaidrojiet, kuri no šiem logaritmiem ir pozitīvi un kuri negatīvi:

Risinājums, a) jo cipars 15 un bāze 12 atrodas vienā un tajā pašā vienības pusē;

b) , jo 1000 un 2 atrodas vienā vienības pusē; tajā pašā laikā nav būtiski, lai bāze būtu lielāka par logaritmisko skaitli;

c), jo 3.1 un 0.8 atrodas pretējās vienotības pusēs;

G) ; kāpēc?

e) ; kāpēc?

Sekojošās īpašības 4-6 bieži sauc par logaritma likumiem: tie ļauj, zinot dažu skaitļu logaritmus, atrast katra no tiem to reizinājuma, koeficienta, pakāpes logaritmus.

Rekvizīts 4 (reizinājuma logaritma noteikums). Vairāku pozitīvu skaitļu reizinājuma logaritms noteiktā bāzē ir vienāds ar šo skaitļu logaritmu summu tajā pašā bāzē.

Pierādījums. Dodiet pozitīvus skaitļus.

Viņu reizinājuma logaritmam mēs rakstām vienādību (26.1), kas nosaka logaritmu:

No šejienes mēs atrodam

Salīdzinot pirmās un pēdējās izteiksmes eksponentus, iegūstam nepieciešamo vienādību:

Ņemiet vērā, ka nosacījums ir būtisks; divu negatīvu skaitļu reizinājuma logaritmam ir jēga, bet šajā gadījumā mēs iegūstam

Kopumā, ja vairāku faktoru reizinājums ir pozitīvs, tad tā logaritms ir vienāds ar šo faktoru moduļu logaritmu summu.

Rekvizīts 5 (daļņa logaritma noteikums). Pozitīvu skaitļu koeficienta logaritms ir vienāds ar starpību starp dividendes un dalītāja logaritmiem, kas ņemti tajā pašā bāzē. Pierādījums. Konsekventi atrast

Q.E.D.

6. īpašība (pakāpes logaritma likums). Jebkura pozitīva skaitļa jaudas logaritms ir vienāds ar šī skaitļa logaritmu, kas reizināts ar eksponentu.

Pierādījums. Mēs vēlreiz ierakstām numura galveno identitāti (26.1):

Q.E.D.

Sekas. Pozitīva skaitļa saknes logaritms ir vienāds ar saknes skaitļa logaritmu, kas dalīts ar saknes eksponentu:

Mēs varam pierādīt šī secinājuma pamatotību, parādot, kā un izmantojot 6. īpašību.

4. piemērs. Logaritms a bāzei:

a) (tiek pieņemts, ka visas vērtības b, c, d, e ir pozitīvas);

b) (tiek pieņemts, ka ).

Risinājums, a) Šajā izteiksmē ir ērti nodot daļskaitļus:

Pamatojoties uz vienādībām (26.5)-(26.7), tagad varam rakstīt:

Ievērojam, ka ar skaitļu logaritmiem tiek veiktas vienkāršākas darbības nekā ar pašiem skaitļiem: reizinot skaitļus, to logaritmus saskaita, dalot – atņem utt.

Tāpēc skaitļošanas praksē ir izmantoti logaritmi (sk. 29. nodaļu).

Darbību, kas ir apgriezta logaritmam, sauc par potenciāciju, proti: potenciācija ir darbība, ar kuru šis skaitlis tiek atrasts ar doto skaitļa logaritmu. Būtībā potencēšana nav nekāda īpaša darbība: tā ir saistīta ar bāzes paaugstināšanu līdz pakāpei (vienāda ar skaitļa logaritmu). Terminu "potenciācija" var uzskatīt par sinonīmu terminam "pastiprināšana".

Potencējot ir jāizmanto likumi, kas ir apgriezti logaritma likumiem: aizstāj logaritmu summu ar reizinājuma logaritmu, logaritmu starpību ar koeficienta logaritmu utt. Jo īpaši, ja ir jebkurš faktors logaritma zīmes priekšā, tad potenciācijas laikā tas jāpārnes uz indikatora grādiem zem logaritma zīmes.

Piemērs 5. Atrodiet N, ja ir zināms, ka

Risinājums. Saistībā ar tikko norādīto potenciācijas noteikumu koeficienti 2/3 un 1/3, kas atrodas logaritmu zīmju priekšā šīs vienādības labajā pusē, tiks pārnesti uz eksponentiem zem šo logaritmu zīmēm; mēs saņemam

Tagad mēs aizstājam logaritmu starpību ar koeficienta logaritmu:

lai iegūtu pēdējo daļskaitli šajā vienādību ķēdē, mēs atbrīvojām iepriekšējo daļu no iracionalitātes saucējā (25. sadaļa).

Īpašība 7. Ja bāze ir lielāka par vienu, tad lielākajam skaitlim ir lielāks logaritms (un mazākam ir mazāks), ja bāze ir mazāka par vienu, tad lielākajam skaitlim ir mazāks logaritms (un mazākam vienam ir lielāks).

Šī īpašība ir formulēta arī kā likums nevienādību logaritmam, kura abas daļas ir pozitīvas:

Pieņemot nevienādību logaritmu uz bāzi, kas lielāka par vienu, nevienādības zīme tiek saglabāta, savukārt, ņemot logaritmu uz bāzi, kas ir mazāka par vienu, nevienādības zīme tiek apgriezta (sk. arī 80. punktu).

Pierādījums balstās uz īpašībām 5 un 3. Aplūkosim gadījumu, kad If , tad un, ņemot logaritmu, iegūstam

(a un N/M atrodas vienā un tajā pašā vienības pusē). No šejienes

Seko a gadījums, lasītājs to izdomās pats.

Mēs arī iesakām
Notiek ielāde...Notiek ielāde...