Šis raksts runā par tēmu « attālums no punkta līdz līnijai », Attāluma definīcijas no punkta līdz taisnei tiek aplūkotas ar ilustrētiem piemēriem ar koordinātu metodi. Katrs teorijas bloks beigās ir parādījis piemērus līdzīgu problēmu risināšanai.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Attālumu no punkta līdz līnijai nosaka, nosakot attālumu no punkta līdz punktam. Apsvērsim sīkāk.

Lai ir taisne a un punkts M 1, kas nepieder dotajai taisnei. Caur to novelciet līniju, kas ir perpendikulāra līnijai a. Ņemiet līniju krustošanās punktu kā H 1. Iegūstam, ka M 1 H 1 ir perpendikuls, kas tika nolaists no punkta M 1 uz taisni a.

1. definīcija

Attālums no punkta M 1 līdz taisnei a sauc par attālumu starp punktiem M 1 un H 1 .

Ir definīcijas ieraksti ar perpendikula garuma skaitli.

2. definīcija

Attālums no punkta līdz līnijai ir perpendikula garums, kas novilkts no noteikta punkta līdz noteiktai taisnei.

Definīcijas ir līdzvērtīgas. Apsveriet zemāk redzamo attēlu.

Ir zināms, ka attālums no punkta līdz taisnei ir mazākais no visiem iespējamajiem. Apskatīsim to ar piemēru.

Ja ņemam punktu Q, kas atrodas uz taisnes a un nesakrīt ar punktu M 1, tad iegūstam, ka nogriezni M 1 Q sauc par slīpi, nolaižot no M 1 uz taisni a. Jānorāda, ka perpendikuls no punkta M 1 ir mazāks par jebkuru citu slīpi, kas novilkta no punkta līdz taisnei.

Lai to pierādītu, aplūkosim trīsstūri M 1 Q 1 H 1 , kur M 1 Q 1 ir hipotenūza. Ir zināms, ka tā garums vienmēr ir lielāks par jebkuras kājas garumu. Tādējādi mums ir M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Sākotnējie dati atrašanai no punkta līdz taisnei ļauj izmantot vairākas risināšanas metodes: caur Pitagora teorēmu, sinusa, kosinusa, leņķa pieskares definīcijas un citas. Lielākā daļa šāda veida uzdevumu tiek risināti skolā ģeometrijas stundās.

Kad, atrodot attālumu no punkta līdz taisnei, ir iespējams ievadīt taisnstūra koordinātu sistēmu, tad tiek izmantota koordinātu metode. Šajā rindkopā mēs aplūkojam divas galvenās metodes, kā atrast vēlamo attālumu no noteiktā punkta.

Pirmā metode ietver attāluma atrašanu kā perpendikulu, kas novilkts no M 1 līdz taisnei a. Otrā metode izmanto parasto taisnes a vienādojumu, lai atrastu vajadzīgo attālumu.

Ja plaknē ir punkts ar koordinātām M 1 (x 1, y 1), kas atrodas taisnstūra koordinātu sistēmā, taisne a, un jums ir jāatrod attālums M 1 H 1, varat aprēķināt divos veidos. Apsvērsim tos.

Pirmais veids

Ja ir punkta H 1 koordinātes, kas vienādas ar x 2, y 2, tad attālumu no punkta līdz taisnei aprēķina no koordinātām no formulas M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 — y 1) 2.

Tagad pāriesim pie punkta H 1 koordinātu atrašanas.

Ir zināms, ka taisne O x y atbilst vienādojumam ar taisni plaknē. Apskatīsim veidu, kā definēt taisnu līniju, rakstot vispārīgu taisnes vienādojumu vai vienādojumu ar slīpumu. Mēs sastādām taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu M 1 perpendikulāri noteiktai taisnei a. Apzīmēsim līniju ar dižskābarža b . H 1 ir līniju a un b krustošanās punkts, tāpēc, lai noteiktu koordinātas, jāizmanto raksts, kurā jautājumā uz divu taisnes krustošanās punktu koordinātām.

Var redzēt, ka algoritms attāluma noteikšanai no dotā punkta M 1 (x 1, y 1) līdz taisnei a tiek veikts atbilstoši punktiem:

3. definīcija

• atrast taisnes a vispārīgo vienādojumu, kura forma ir A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, vai vienādojumu ar slīpuma koeficientu, kura forma ir y \u003d k 1 x + b 1;
• iegūstot taisnes b vispārīgo vienādojumu, kura forma ir A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0, vai vienādojumu ar slīpumu y \u003d k 2 x + b 2, ja taisne b krusto punktu M 1 un ir perpendikulāra dotajai taisnei a;
• punkta H 1 koordinātu x 2, y 2 noteikšana, kas ir a un b krustošanās punkts, tam ir atrisināta sistēma lineārie vienādojumi A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 vai y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• vajadzīgā attāluma no punkta līdz taisnei aprēķins, izmantojot formulu M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Otrais veids

Teorēma var palīdzēt atbildēt uz jautājumu par attāluma atrašanu no dotā punkta līdz noteiktai plaknes līnijai.

Teorēma

Taisnstūra koordinātu sistēmai O x y ir punkts M 1 (x 1, y 1), no kura tiek novilkta taisne a līdz plaknei, kas dota ar plaknes normālvienādojumu ar formu cos α x + cos β y - p \u003d 0, kas vienāds ar parastās taisnes vienādojuma kreisajā pusē iegūto vērtību modulo, kas aprēķināts x \u003d x 1, y \u003d y 1, nozīmē, ka M 1 H 1 \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Pierādījums

Taisne a atbilst plaknes normālvienādojumam, kura forma ir cos α x + cos β y - p = 0, tad n → = (cos α , cos β) uzskata par taisnes a normālu vektoru pie a attālums no sākuma līdz taisnei a ar p vienībām . Jāattēlo visi dati attēlā, jāpievieno punkts ar koordinātām M 1 (x 1, y 1) , kur punkta rādiusa vektors M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Ir nepieciešams novilkt taisnu līniju no punkta uz taisni, ko mēs apzīmēsim ar M 1 H 1 . Ir nepieciešams parādīt punktu M 1 un H 2 projekcijas M 2 un H 2 uz taisnes, kas iet caur punktu O ar virziena vektoru formā n → = (cos α , cos β) , un mēs apzīmējam vektora skaitliskā projekcija kā O M 1 → = (x 1 , y 1) virzienā n → = (cos α , cos β) kā n p n → O M 1 → .

Variācijas ir atkarīgas no paša punkta M 1 atrašanās vietas. Apsveriet zemāk redzamo attēlu.

Rezultātus fiksējam, izmantojot formulu M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Tad vienādību ievedam šajā formā M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, lai iegūtu n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Vektoru skalārā reizinājums rada transformētu formulu formā n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , kas ir reizinājums koordinātu formā. forma n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Tādējādi mēs iegūstam, ka n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . No tā izriet, ka M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Teorēma ir pierādīta.

Mēs iegūstam, ka, lai atrastu attālumu no punkta M 1 (x 1, y 1) līdz taisnei a plaknē, ir jāveic vairākas darbības:

4. definīcija

• taisnes a cos α · x + cos β · y - p = 0 normālvienādojuma iegūšana, ja tā nav uzdevumā;
• izteiksmes cos α · x 1 + cos β · y 1 - p aprēķins , kur iegūtā vērtība ir M 1 H 1 .

Pielietosim šīs metodes, lai atrisinātu problēmas ar attāluma no punkta līdz plaknei atrašanu.

1. piemērs

Atrodiet attālumu no punkta ar koordinātām M 1 (- 1 , 2) līdz taisnei 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Lēmums

Atrisināšanai izmantosim pirmo metodi.

Lai to izdarītu, jāatrod taisnes b vispārējais vienādojums, kas iet caur doto punktu M 1 (- 1 , 2) perpendikulāri taisnei 4 x - 3 y + 35 = 0. No nosacījuma var redzēt, ka taisne b ir perpendikulāra taisnei a, tad tās virziena vektoram ir koordinātes, kas vienādas ar (4, - 3) . Tādējādi mums ir iespēja uzrakstīt taisnes b kanonisko vienādojumu plaknē, jo ir punkta M 1, kas pieder pie taisnes b, koordinātes. Noteiksim taisnes b virzošā vektora koordinātas. Mēs iegūstam, ka x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Iegūtais kanoniskais vienādojums ir jāpārvērš par vispārīgu vienādojumu. Tad mēs to saņemam

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Atradīsim līniju krustošanās punktu koordinātas, kuras pieņemsim kā apzīmējumu H 1. Pārveidojumi izskatās šādi:

4 x - 3 g + 35 = 0 3 x + 4 g - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 g - 35 4 3 x + 4 g - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 g - 35 4 3 3 4 g - 35 4 + 4 g - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 g - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 g = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

No iepriekš minētā iegūstam, ka punkta H 1 koordinātas ir (- 5; 5) .

Nepieciešams aprēķināt attālumu no punkta M 1 līdz taisnei a. Mums ir, ka punktu M 1 (- 1, 2) un H 1 (- 5, 5) koordinātas, tad mēs aizvietojam attāluma atrašanas formulā un iegūstam, ka

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Otrais risinājums.

Lai atrisinātu citā veidā, ir jāiegūst taisnas līnijas normāls vienādojums. Mēs aprēķinām normalizējošā faktora vērtību un reizinām abas vienādojuma puses 4 x - 3 y + 35 = 0 . No šejienes mēs iegūstam, ka normalizējošais koeficients ir - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , un normālais vienādojums būs šādā formā - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 g - 7 = 0 .

Saskaņā ar aprēķinu algoritmu ir nepieciešams iegūt taisnas līnijas normālo vienādojumu un aprēķināt to ar vērtībām x = - 1 , y = 2 . Tad mēs to saņemam

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

No šejienes mēs iegūstam, ka attālumam no punkta M 1 (- 1 , 2) līdz dotajai taisnei 4 x - 3 y + 35 = 0 ir vērtība - 5 = 5 .

Atbilde: 5 .

Var redzēt, ka šajā metodē ir svarīgi izmantot parasto taisnes vienādojumu, jo šī metode ir īsākā. Bet pirmā metode ir ērta ar to, ka tā ir konsekventa un loģiska, lai gan tai ir vairāk aprēķina punktu.

2. piemērs

Plaknē ir taisnstūra koordinātu sistēma O x y ar punktu M 1 (8, 0) un taisni y = 1 2 x + 1. Atrodiet attālumu no dotā punkta līdz taisnei.

Lēmums

Pirmajā gadījumā risinājums nozīmē samazinājumu dots vienādojums ar vienādojuma slīpumu vispārējs skats. Lai vienkāršotu, varat to izdarīt savādāk.

Ja perpendikulāru līniju slīpumu reizinājuma vērtība ir - 1, tad slīpums taisnei, kas ir perpendikulāra dotajam y = 1 2 x + 1, ir vērtība 2 . Tagad iegūstam vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu ar koordinātām M 1 (8, 0) . Mums ir, ka y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Mēs turpinām atrast punkta H 1 koordinātas, tas ir, krustošanās punktus y \u003d - 2 x + 16 un y \u003d 1 2 x + 1. Mēs sastādām vienādojumu sistēmu un iegūstam:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

No tā izriet, ka attālums no punkta ar koordinātām M 1 (8 , 0) līdz taisnei y = 1 2 x + 1 ir vienāds ar attālumu no sākuma punkta un beigu punkta ar koordinātām M 1 (8 , 0) un H. 1 (6, 4) . Aprēķināsim un iegūsim, ka M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Otrajā veidā risinājums ir pāriet no vienādojuma ar koeficientu uz tā normālo formu. Tas ir, mēs iegūstam y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, tad normalizējošā koeficienta vērtība būs - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . No tā izriet, ka taisnes normālais vienādojums ir formā - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Aprēķināsim no punkta M 1 8 , 0 līdz taisnei ar formu - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Mēs iegūstam:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Atbilde: 2 5 .

3. piemērs

Nepieciešams aprēķināt attālumu no punkta ar koordinātām M 1 (- 2 , 4) līdz taisnēm 2 x - 3 = 0 un y + 1 = 0 .

Lēmums

Iegūstam taisnes normālās formas vienādojumu 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Tad mēs turpinām aprēķināt attālumu no punkta M 1 - 2, 4 līdz taisnei x - 3 2 = 0. Mēs iegūstam:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Taisnes vienādojumam y + 1 = 0 ir normalizējošais koeficients ar vērtību -1. Tas nozīmē, ka vienādojums būs - y - 1 = 0 . Mēs turpinām aprēķināt attālumu no punkta M 1 (- 2 , 4) līdz taisnei - y - 1 = 0 . Mēs iegūstam, ka tas ir vienāds ar - 4 - 1 = 5.

Atbilde: 3 1 2 un 5 .

Detalizēti aplūkosim attāluma noteikšanu no noteikta plaknes punkta līdz koordinātu asīm O x un O y.

Taisnstūra koordinātu sistēmā asij O y ir taisnas līnijas vienādojums, kas ir nepilnīgs un kura forma ir x \u003d 0 un O x - y \u003d 0. Vienādojumi ir normāli koordinātu asīm, tad jāatrod attālums no punkta ar koordinātēm M 1 x 1 , y 1 līdz taisnēm. To dara, pamatojoties uz formulām M 1 H 1 = x 1 un M 1 H 1 = y 1 . Apsveriet zemāk redzamo attēlu.

4. piemērs

Atrodiet attālumu no punkta M 1 (6, - 7) līdz koordinātu līnijām, kas atrodas O x y plaknē.

Lēmums

Tā kā vienādojums y \u003d 0 attiecas uz līniju O x, jūs varat atrast attālumu no M 1 ar norādītām koordinātām līdz šai līnijai, izmantojot formulu. Mēs iegūstam, ka 6 = 6.

Tā kā vienādojums x \u003d 0 attiecas uz līniju O y, jūs varat atrast attālumu no M 1 līdz šai līnijai, izmantojot formulu. Tad mēs iegūstam, ka - 7 = 7 .

Atbilde: attālumam no M 1 līdz O x ir vērtība 6, un no M 1 līdz O y ir vērtība 7.

Kad trīsdimensiju telpā mums ir punkts ar koordinātām M 1 (x 1, y 1, z 1), ir jāatrod attālums no punkta A līdz taisnei a.

Apsveriet divus veidus, kas ļauj aprēķināt attālumu no punkta līdz taisnei a, kas atrodas telpā. Pirmajā gadījumā tiek ņemts vērā attālums no punkta M 1 līdz taisnei, kur punktu uz līnijas sauc par H 1 un tas ir pamats perpendikulam, kas novilkts no punkta M 1 līdz taisnei a. Otrais gadījums liek domāt, ka šīs plaknes punkti ir jāmeklē kā paralelograma augstums.

Pirmais veids

No definīcijas mēs iegūstam, ka attālums no punkta M 1, kas atrodas uz taisnes a, ir perpendikula garums M 1 H 1, tad mēs to iegūstam ar atrastajām punkta H 1 koordinātām, tad atrodam attālumu. starp M 1 (x 1, y 1, z 1 ) un H 1 (x 1, y 1, z 1), pamatojoties uz formulu M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Mēs iegūstam, ka viss risinājums ir paredzēts no M 1 līdz taisnei a novilkta perpendikula pamata koordinātas. To veic šādi: H 1 ir punkts, kurā taisne a krustojas ar plakni, kas iet caur doto punktu.

Tas nozīmē, ka algoritms attāluma noteikšanai no punkta M 1 (x 1, y 1, z 1) līdz telpas taisnei a ietver vairākus punktus:

5. definīcija

• plaknes χ vienādojuma sastādīšana kā vienādojums plaknei, kas iet caur doto punktu, kas ir perpendikulāra taisnei;
• koordinātu (x 2 , y 2 , z 2 ), kas pieder punktam H 1, kas ir taisnes a un plaknes χ krustpunkts, noteikšana;
• attāluma no punkta līdz taisnei aprēķins, izmantojot formulu M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Otrais veids

No nosacījuma mums ir taisne a, tad varam noteikt virziena vektoru a → = a x, a y, a z ar koordinātām x 3, y 3, z 3 un noteiktu taisnei a piederošu punktu M 3. Ņemot vērā punktu M 1 (x 1 , y 1) un M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → koordinātas, var aprēķināt:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Ir nepieciešams atlikt vektorus a → = a x, a y, a z un M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 no punkta M 3, savienot un iegūt paralelogramu figūra. M 1 H 1 ir paralelograma augstums.

Apsveriet zemāk redzamo attēlu.

Mums ir, ka augstums M 1 H 1 ir vēlamais attālums, tad jums tas jāatrod, izmantojot formulu. Tas ir, mēs meklējam M 1 H 1 .

Paralelograma laukumu apzīmē ar burtu S, to atrod pēc formulas, izmantojot vektoru a → = (a x , a y , a z) un M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Laukuma formulai ir forma S = a → × M 3 M 1 → . Arī figūras laukums ir vienāds ar tā malu garuma un augstuma reizinājumu, mēs iegūstam, ka S \u003d a → M 1 H 1 ar a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, kas ir vektora garums a → \u003d (a x, a y, a z) , kas ir vienāda puse paralelograms. Tādējādi M 1 H 1 ir attālums no punkta līdz taisnei. To atrod pēc formulas M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Lai atrastu attālumu no punkta ar koordinātām M 1 (x 1, y 1, z 1) līdz taisnei a telpā, ir jāveic vairāki algoritma punkti:

6. definīcija

• taisnes virziena vektora noteikšana a - a → = (a x , a y , a z) ;
• virziena vektora garuma aprēķins a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• iegūstot uz taisnes a izvietotā punkta M 3 piederošās koordinātas x 3 , y 3 , z 3;
• vektora M 3 M 1 → koordinātu aprēķins;
• vektoru a → (a x, a y, a z) un M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 šķērsreizinājuma atrašana kā a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3, lai iegūtu garumu pēc formulas a → × M 3 M 1 → ;
• attāluma no punkta līdz taisnei aprēķins M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Problēmu risināšana par attāluma atrašanu no dotā punkta līdz noteiktai taisnei telpā

5. piemērs

Atrodiet attālumu no punkta ar koordinātām M 1 2 , - 4 , - 1 līdz taisnei x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Lēmums

Pirmā metode sākas ar plaknes χ vienādojuma rakstīšanu, kas iet caur M 1 un ir perpendikulāra noteiktam punktam. Mēs iegūstam šādu izteiksmi:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Jāatrod koordinātas punktam H 1, kas ir punkts, kas krustojas ar plakni χ nosacījuma dotajai taisnei. Ir nepieciešams pāriet no kanoniskās formas uz krustojošo. Tad mēs iegūstam vienādojumu sistēmu šādā formā:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 g + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Nepieciešams aprēķināt sistēmu x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 pēc Krāmera metodes, tad mēs iegūstam, ka:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ = 0 - ∆ 60 = 0

Tādējādi mums ir H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Otrā metode jāsāk, meklējot koordinātas kanoniskajā vienādojumā. Lai to izdarītu, pievērsiet uzmanību frakcijas saucējiem. Tad a → = 2, - 1, 5 ir taisnes x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 virziena vektors. Ir nepieciešams aprēķināt garumu, izmantojot formulu a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Ir skaidrs, ka taisne x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 šķērso punktu M 3 (- 1 , 0 , - 5), tāpēc vektors ar izcelsmi M 3 (- 1 , 0 , - 5) un tā beigas punktā M 1 2 , - 4 , - 1 ir M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Atrodiet vektora reizinājumu a → = (2, - 1, 5) un M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Iegūstam izteiksmi formā a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

iegūstam, ka šķērsreizinājuma garums ir a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Mums ir visi dati, lai izmantotu formulu, lai aprēķinātu attālumu no punkta taisnei, tāpēc mēs to pielietojam un iegūstam:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Atbilde: 11 .

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Attālums no punkta līdz taisnei ir perpendikula garums no punkta līdz taisnei. Aprakstošajā ģeometrijā to nosaka grafiski saskaņā ar tālāk norādīto algoritmu.

Algoritms

1. Taisne tiek pārnesta uz pozīciju, kurā tā būs paralēla jebkurai projekcijas plaknei. Lai to izdarītu, izmantojiet ortogonālo projekciju transformācijas metodes.
2. Zīmējiet perpendikulu no punkta uz līniju. Šīs konstrukcijas pamatā ir taisnleņķa projekcijas teorēma.
3. Perpendikula garumu nosaka, pārvēršot tā projekcijas vai izmantojot taisnleņķa trijstūra metodi.

Nākamajā attēlā parādīts sarežģīts zīmējums punkts M un taisne b, ko dod segments CD. Jums ir jāatrod attālums starp tiem.

Saskaņā ar mūsu algoritmu pirmā lieta, kas jādara, ir pārvietot līniju uz pozīciju, kas ir paralēla projekcijas plaknei. Ir svarīgi saprast, ka pēc transformācijām faktiskais attālums starp punktu un līniju nedrīkst mainīties. Tāpēc šeit ir ērti izmantot plaknes nomaiņas metodi, kas neietver figūru pārvietošanu telpā.

Pirmās kārtas būvdarbu rezultāti ir parādīti zemāk. Attēlā parādīts, kā paralēli b tiek ieviesta papildu frontālā plakne P 4. AT jauna sistēma(P 1 , P 4) punkti C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 atrodas tādā pašā attālumā no X 1 ass kā C", D"", M"" no X ass.

Veicot otro algoritma daļu, no M"" 1 nolaižam perpendikulu M"" 1 N"" 1 līdz taisnei b"" 1, jo taisnais leņķis MND starp b un MN tiek projicēts uz plaknes P 4 in pilna izmēra. Nosakām punkta N" pozīciju gar sakaru līniju un uzzīmējam nogriežņa MN projekciju M"N".

Uz pēdējais posms nepieciešams noteikt segmenta MN vērtību pēc tā projekcijām M"N" un M"" 1 N"" 1 . Šim nolūkam mēs veidojam taisnleņķa trīsstūris M"" 1 N"" 1 N 0 , kura kājiņa N"" 1 N 0 ir vienāda ar starpību (Y M 1 – Y N 1) punktu M" un N" noņemšanai no X 1 ass. Trijstūra M"" 1 N"" 1 N 0 hipotenūzas garums M"" 1 N 0 atbilst vēlamajam attālumam no M līdz b.

Otrs risināšanas veids

• Paralēli CD mēs ieviešam jaunu frontālo plakni П 4 . Tas krustojas ar P 1 pa X 1 asi un X 1 ∥C"D". Saskaņā ar plakņu aizstāšanas metodi mēs nosakām punktu C "" 1, D"" 1 un M"" 1 projekcijas, kā parādīts attēlā.
• Perpendikulāri C "" 1 D "" 1 mēs izveidojam papildu horizontālo plakni P 5, uz kuras taisne b tiek projicēta uz punktu C" 2 \u003d b" 2.
• Attālumu starp punktu M un taisni b nosaka sarkanā krāsā atzīmētā posma M "2 C" 2 garums.

Saistītie uzdevumi:

Pirmais līmenis

Koordinātas un vektori. Visaptveroša rokasgrāmata (2019)

Šajā rakstā jūs un es sāksim diskusiju par vienu "burvju nūjiņu", kas ļaus jums samazināt daudzas ģeometrijas problēmas līdz vienkāršai aritmētikai. Šis "zizlis" var ievērojami atvieglot jūsu dzīvi, īpaši, ja jūtaties nedroši, veidojot telpiskas figūras, griezumus utt. Tas viss prasa zināmu iztēli un praktiskas iemaņas. Metode, kuru mēs šeit sāksim apsvērt, ļaus gandrīz pilnībā abstrahēties no visa veida ģeometriskām konstrukcijām un argumentācijas. Metode tiek saukta "koordinātu metode". Šajā rakstā mēs apsvērsim šādus jautājumus:

1. Koordinātu plakne
2. Punkti un vektori uz plaknes
3. Vektora veidošana no diviem punktiem
4. Vektora garums (attālums starp diviem punktiem).
5. Viduspunkta koordinātas
6. Vektoru punktu reizinājums
7. Leņķis starp diviem vektoriem

Es domāju, ka jūs jau uzminējāt, kāpēc koordinātu metodi tā sauc? Taisnība, ka tas ieguva šādu nosaukumu, jo tas nedarbojas ar ģeometriskiem objektiem, bet gan ar to skaitliskiem raksturlielumiem (koordinātām). Un pati transformācija, kas ļauj pāriet no ģeometrijas uz algebru, ir koordinātu sistēmas ieviešana. Ja sākotnējā figūra bija plakana, tad koordinātas ir divdimensiju, un, ja figūra ir trīsdimensiju, tad koordinātas ir trīsdimensiju. Šajā rakstā mēs apskatīsim tikai divdimensiju gadījumu. Un raksta galvenais mērķis ir iemācīt izmantot dažus koordinātu metodes pamatmetodes (tie dažkārt izrādās noderīgi, risinot planimetrijas uzdevumus vienotā valsts eksāmena B daļā). Nākamās divas sadaļas par šo tēmu ir veltītas C2 problēmu (stereometrijas problēma) risināšanas metožu apspriešanai.

Kur būtu loģiski sākt apspriest koordinātu metodi? Droši vien ar koordinātu sistēmas jēdzienu. Atcerieties, kad pirmo reizi viņu satikāt. Man šķiet, ka 7. klasē, kad uzzinājāt par lineāras funkcijas esamību, piemēram. Ļaujiet man jums atgādināt, ka jūs to veidojāt punktu pa punktam. Vai tu atceries? Jūs izvēlējāties patvaļīgu skaitli, aizstājāt to formulā un aprēķinājāt šādā veidā. Piemēram, ja, tad, ja, tad utt. Ko jūs ieguvāt rezultātā? Un jūs saņēmāt punktus ar koordinātām: un. Pēc tam jūs uzzīmējāt “krustu” (koordinātu sistēmu), izvēlējāties tajā mērogu (cik šūnu jums būs vienā segmentā) un atzīmējāt tajā iegūtos punktus, kurus pēc tam savienojāt ar taisnu līniju, iegūto līniju ir funkcijas grafiks.

Ir dažas lietas, kas jums jāpaskaidro nedaudz sīkāk:

1. Ērtības labad izvēlaties vienu segmentu, lai viss skaisti un kompakti iekļautos attēlā

2. Tiek pieņemts, ka ass virzās no kreisās puses uz labo, un ass iet no apakšas uz augšu

3. Tie krustojas taisnā leņķī, un to krustošanās punktu sauc par izcelsmi. Tas ir atzīmēts ar burtu.

4. Punkta koordinātas ierakstā, piemēram, pa kreisi iekavās ir norādīta punkta koordināte pa asi, bet labajā pusē pa asi. Jo īpaši, vienkārši nozīmē, ka punkts

5. Lai iestatītu jebkuru punktu uz koordinātu ass, jānorāda tā koordinātas (2 cipari)

6. Jebkuram punktam, kas atrodas uz ass,

7. Jebkuram punktam, kas atrodas uz ass,

8. Asi sauc par x asi

9. Asi sauc par y asi

Tagad veiksim nākamo soli ar jums: atzīmējiet divus punktus. Savienojiet šos divus punktus ar līniju. Un novietosim bultiņu tā, it kā mēs zīmētu segmentu no punkta uz punktu: tas ir, mēs padarīsim savu segmentu virzītu!

Atcerieties, kāds cits ir virzītā segmenta nosaukums? Tieši tā, to sauc par vektoru!

Tādējādi, ja mēs savienojam punktu ar punktu, un sākums būs punkts A, un beigas būs punkts B, tad mēs iegūstam vektoru. Šo konstrukciju tu arī darīji 8. klasē, atceries?

Izrādās, ka vektorus, tāpat kā punktus, var apzīmēt ar diviem skaitļiem: šos skaitļus sauc par vektora koordinātām. Jautājums: vai, jūsuprāt, mums pietiek zināt vektora sākuma un beigu koordinātas, lai atrastu tā koordinātas? Izrādās, ka jā! Un tas ir ļoti vienkārši izdarāms:

Tādējādi, tā kā vektorā punkts ir sākums un beigas, vektoram ir šādas koordinātas:

Piemēram, ja, tad vektora koordinātas

Tagad darīsim pretējo, atradīsim vektora koordinātas. Kas mums šajā nolūkā ir jāmaina? Jā, jums ir jāsamaina sākums un beigas: tagad vektora sākums būs punktā, bet beigas - punktā. Pēc tam:

Paskatieties uzmanīgi, kāda ir atšķirība starp vektoriem un? Viņu vienīgā atšķirība ir zīmes koordinātēs. Viņi ir pretēji. Šis fakts ir uzrakstīts šādi:

Dažkārt, ja nav konkrēti norādīts, kurš punkts ir vektora sākums, kurš beigu punkts, tad vektori tiek apzīmēti nevis ar diviem lielajiem burtiem, bet gan ar vienu mazo burtu, piemēram:, utt.

Tagad nedaudz prakse un atrodiet šādu vektoru koordinātas:

Pārbaude:

Tagad atrisiniet problēmu nedaudz grūtāk:

Vektora torus ar on-cha-lūžņu punktā ir co-or-di-on-you. Find-di-te abs-cis-su punktus.

Tas viss ir diezgan prozaisks: Ļaujiet būt punkta koordinātas. Tad

Es sastādīju sistēmu, nosakot, kādas ir vektora koordinātas. Tad punktam ir koordinātas. Mūs interesē abscisa. Tad

Atbilde:

Ko vēl jūs varat darīt ar vektoriem? Jā, gandrīz viss ir tāpat kā ar parastajiem skaitļiem (izņemot to, ka jūs nevarat dalīt, bet jūs varat reizināt divos veidos, no kuriem vienu mēs šeit apspriedīsim nedaudz vēlāk)

1. Vektorus var sakraut vienu ar otru
2. Vektorus var atņemt vienu no otra
3. Vektorus var reizināt (vai dalīt) ar patvaļīgu skaitli, kas nav nulle
4. Vektorus var reizināt savā starpā

Visām šīm darbībām ir diezgan vizuāls ģeometrisks attēlojums. Piemēram, trīsstūra (vai paralelograma) noteikums saskaitīšanai un atņemšanai:

Vektors stiepjas vai saraujas vai maina virzienu, ja to reizina vai dala ar skaitli:

Tomēr šeit mūs interesēs jautājums par to, kas notiek ar koordinātām.

1. Saskaitot (atņemot) divus vektorus, saskaitām (atņemam) to koordinātas elementam pa elementam. T.i.:

2. Reizinot (dalot) vektoru ar skaitli, visas tā koordinātes reizina (dala) ar šo skaitli:

Piemēram:

· Atrodi-di-ko-or-di-nat gadsimta-to-ra summu.

Vispirms noskaidrosim katra vektora koordinātas. Abiem ir viena un tā pati izcelsme – sākuma punkts. Viņu gali ir atšķirīgi. Tad,. Tagad mēs aprēķinām vektora koordinātas Tad iegūtā vektora koordinātu summa ir vienāda ar.

Atbilde:

Tagad pats atrisiniet šādu problēmu:

· Atrodiet vektora koordinātu summu

Mēs pārbaudām:

Tagad apskatīsim šādu problēmu: mums ir divi punkti koordinātu plaknē. Kā atrast attālumu starp tiem? Ļaujiet pirmajam punktam būt un otrajam. Apzīmēsim attālumu starp tiem kā . Skaidrības labad izveidosim šādu zīmējumu:

Ko es esmu izdarījis? Es pirmo reizi pieslēdzos punktus un a arī novilkta taisne, kas ir paralēla asij no punkta, un novilkta līnija, kas ir paralēla asij no punkta. Vai tie krustojās kādā punktā, veidojot brīnišķīgu figūru? Kāpēc viņa ir brīnišķīga? Jā, jūs un es zinām gandrīz visu par taisnleņķa trīsstūri. Nu, Pitagora teorēma, protams. Vēlamais segments ir šī trīsstūra hipotenūza, un segmenti ir kājas. Kādas ir punkta koordinātas? Jā, tos ir viegli atrast no attēla: Tā kā segmenti ir paralēli asīm un attiecīgi to garumi ir viegli atrodami: ja mēs apzīmējam segmentu garumus, attiecīgi, cauri, tad

Tagad izmantosim Pitagora teorēmu. Mēs zinām kāju garumus, atradīsim hipotenūzu:

Tādējādi attālums starp diviem punktiem ir saknes summa no koordinātām atšķirību kvadrātā. Vai arī - attālums starp diviem punktiem ir tos savienojošā segmenta garums. Ir viegli redzēt, ka attālums starp punktiem nav atkarīgs no virziena. Pēc tam:

No tā mēs izdarām trīs secinājumus:

Mazliet trenēsimies, kā aprēķināt attālumu starp diviem punktiem:

Piemēram, ja, tad attālums starp un ir

Vai arī iesim savādāk: atrodiet vektora koordinātas

Un atrodiet vektora garumu:

Kā redzat, tas ir tas pats!

Tagad nedaudz trenējieties pats:

Uzdevums: atrast attālumu starp dotajiem punktiem:

Mēs pārbaudām:

Šeit ir vēl dažas problēmas tai pašai formulai, lai gan tās izklausās nedaudz savādāk:

1. Find-di-te plakstiņa-to-ra garuma kvadrātu.

2. Nai-di-te kvadrāts no plakstiņu garuma līdz ra

Es domāju, ka jūs varat ar tiem viegli tikt galā? Mēs pārbaudām:

1. Un tas ir uzmanības labad) Mēs jau esam atraduši vektoru koordinātas iepriekš: . Tad vektoram ir koordinātas. Tā garuma kvadrāts būs:

2. Atrodiet vektora koordinātas

Tad tā garuma kvadrāts ir

Nekas sarežģīts, vai ne? Vienkārša aritmētika, nekas vairāk.

Tālāk norādītos uzdevumus nevar viennozīmīgi klasificēt, tie drīzāk ir vispārēja erudīcija un spēja zīmēt vienkāršus attēlus.

1. Atrodiet-di-tos leņķa sinusus uz-klo-on-no-izgriezt, savienojiet vienu-n-to punktu ar abscisu asi.

un

Kā mēs to darīsim šeit? Jums jāatrod sinusa leņķim starp un asi. Un kur mēs varam meklēt sinusu? Tieši tā, taisnleņķa trijstūrī. Tātad, kas mums jādara? Uzbūvē šo trīsstūri!

Tā kā punkta koordinātas un, tad segments ir vienāds, un segments. Mums jāatrod leņķa sinuss. Atgādināšu, ka sinuss ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu

Kas mums atliek darīt? Atrodiet hipotenūzu. To var izdarīt divos veidos: ar Pitagora teorēmu (kājas ir zināmas!) vai ar formulu attālumam starp diviem punktiem (faktiski tāda pati kā pirmajā metodē!). Es iešu otro ceļu:

Atbilde:

Nākamais uzdevums tev šķitīs vēl vienkāršāks. Viņa - uz punkta koordinātām.

2. uzdevums. No punkta per-pen-di-ku-lar ir nolaists uz abs-ciss asi. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Izveidosim zīmējumu:

Perpendikula pamatne ir punkts, kurā tas krustojas ar x asi (asi), man tas ir punkts. Attēlā redzams, ka tam ir koordinātas: . Mūs interesē abscisa - tas ir, "X" sastāvdaļa. Viņa ir līdzvērtīga.

Atbilde: .

3. uzdevums. Iepriekšējā uzdevuma apstākļos atrodiet attālumu summu no punkta līdz koordinātu asīm.

Uzdevums parasti ir elementārs, ja zināt, kāds ir attālums no punkta līdz asīm. Jūs zināt? Ceru, bet tomēr atgādinu:

Tātad savā zīmējumā, kas atrodas nedaudz augstāk, es jau esmu attēlojis vienu šādu perpendikulu? Kāda ass tā ir? uz asi. Un kāds tad ir tā garums? Viņa ir līdzvērtīga. Tagad pats uzzīmējiet perpendikulu asij un atrodiet tā garumu. Būs vienlīdzīgi, vai ne? Tad to summa ir vienāda.

Atbilde: .

4. uzdevums. 2. uzdevuma apstākļos atrodiet punkta ordinātas, kas ir simetriskas punktam ap x asi.

Es domāju, ka jūs intuitīvi saprotat, kas ir simetrija? Tas ir ļoti daudziem objektiem: daudzām ēkām, galdiem, lidmašīnām, daudzām ģeometriskas figūras: bumba, cilindrs, kvadrāts, rombs utt. Aptuveni runājot, simetriju var saprast šādi: figūra sastāv no divām (vai vairākām) identiskām pusēm. Šo simetriju sauc par aksiālu. Kas tad ir ass? Tieši šī ir līnija, pa kuru, nosacīti runājot, figūru var “sagriezt” identiskās uz pusēm (šajā attēlā simetrijas ass ir taisna):

Tagad atgriezīsimies pie mūsu uzdevuma. Mēs zinām, ka mēs meklējam punktu, kas ir simetrisks pret asi. Tad šī ass ir simetrijas ass. Tātad, mums ir jāatzīmē punkts, lai ass sagrieztu segmentu divās vienādās daļās. Mēģiniet pats atzīmēt šādu punktu. Tagad salīdziniet ar manu risinājumu:

Vai jūs darījāt to pašu? Nu labi! Atrastajā punktā mūs interesē ordinātas. Viņa ir līdzvērtīga

Atbilde:

Tagad pasakiet man, pēc sekundes padomāšanas, kāda būs punkta abscisa, kas ir simetriska punktam A attiecībā uz y asi? Kāda ir tava atbilde? Pareizā atbilde: .

Kopumā noteikumu var uzrakstīt šādi:

Punktam, kas ir simetrisks punktam ap x asi, ir koordinātas:

Punktam, kas ir simetrisks punktam ap y asi, ir koordinātas:

Nu, tagad tas tiešām ir biedējoši. uzdevums: atrodiet punkta koordinātas, kas ir simetrisks punktam attiecībā pret izcelsmi. Vispirms padomā pats un tad skaties uz manu zīmējumu!

Atbilde:

Tagad paralelograma problēma:

5. uzdevums: punkti ir ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Atrast-dee-te vai-dee-on-tu punktus.

Šo problēmu var atrisināt divos veidos: loģika un koordinātu metode. Vispirms pielietošu koordinātu metodi, un tad pastāstīšu, kā var izlemt savādāk.

Ir pilnīgi skaidrs, ka punkta abscisa ir vienāda. (tas atrodas uz perpendikula, kas novilkts no punkta uz x asi). Mums jāatrod ordinātas. Izmantosim to, ka mūsu figūra ir paralelograms, kas nozīmē to. Atrodiet segmenta garumu, izmantojot formulu attālumam starp diviem punktiem:

Mēs nolaižam perpendikulu, kas savieno punktu ar asi. Krustpunktu apzīmē ar burtu.

Segmenta garums ir vienāds. (atrodiet problēmu pats, kur mēs apspriedām šo brīdi), tad mēs atradīsim segmenta garumu, izmantojot Pitagora teorēmu:

Segmenta garums ir tieši tāds pats kā tā ordinātu garums.

Atbilde: .

Cits risinājums (es tikai sniegšu attēlu, kas to ilustrē)

Risinājuma gaita:

1. Tērēt

2. Atrast punktu koordinātas un garumu

3. Pierādiet to.

Vēl viens griezuma garuma problēma:

Punkti ir-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Atrodiet viņa viduslīnijas garumu, par-ral-lel-noy.

Vai atceries, kas ir trijstūra viduslīnija? Tad jums šis uzdevums ir elementārs. Ja neatceries, tad atgādināšu: trijstūra viduslīnija ir līnija, kas savieno pretējo malu viduspunktus. Tas ir paralēls pamatnei un vienāds ar pusi no tā.

Bāze ir segments. Tā garums bija jāmeklē agrāk, tas ir vienāds. Tad viduslīnijas garums ir uz pusi mazāks un vienāds.

Atbilde: .

Komentārs: Šo problēmu var atrisināt citā veidā, pie kura mēs pievērsīsimies nedaudz vēlāk.

Tikmēr jums ir daži uzdevumi, praktizējieties, tie ir diezgan vienkārši, bet tie palīdz "piepildīt roku" ar koordinātu metodi!

1. Punkti parādās-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Atrodiet tā viduslīnijas garumu.

2. Punkti un yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Atrast-dee-te vai-dee-on-tu punktus.

3. Atrodiet garumu no griezuma, savienojiet otro punktu un

4. Atrodiet-di-te apgabalu-the-red-shen-noy fi-gu-ry uz ko-or-di-nat-noy plaknes.

5. Aplis, kura centrs ir na-cha-le ko-or-di-nat, iet caur punktu. Atrast-de-te viņas ūsas.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, aprakstiet-san-noy pie taisnleņķa-no-ka, kaut-ro-go virsotnēm-shi-ny ir co-or - di-na-you co-from-reply-but

Risinājumi:

1. Ir zināms, ka trapeces viduslīnija ir vienāda ar pusi no tās pamatu summas. Bāze ir vienāda, bet bāze. Tad

Atbilde:

2. Vienkāršākais veids, kā atrisināt šo problēmu, ir to pamanīt (paralēlogrammas noteikums). Aprēķiniet vektoru koordinātas un nav grūti: . Pievienojot vektorus, tiek pievienotas koordinātas. Tad ir koordinātas. Punktam ir vienādas koordinātes, jo vektora sākums ir punkts ar koordinātām. Mūs interesē ordinātas. Viņa ir līdzvērtīga.

Atbilde:

3. Mēs rīkojamies nekavējoties saskaņā ar formulu attālumam starp diviem punktiem:

Atbilde:

4. Paskaties uz attēlu un saki, starp kurām divām figūrām ir “iespiests” iekrāsotais laukums? Tas ir iespiests starp diviem laukumiem. Tad vēlamās figūras laukums ir vienāds ar lielā kvadrāta laukumu, no kura atņemtas mazā kvadrāta laukums. Mazā kvadrāta mala ir segments, kas savieno punktus, un tā garums ir

Tad mazā kvadrāta laukums ir

Mēs darām to pašu ar lielu kvadrātu: tā mala ir segments, kas savieno punktus, un tā garums ir vienāds ar

Tad lielā kvadrāta laukums ir

Vēlamās figūras laukumu atrod pēc formulas:

Atbilde:

5. Ja apļa centrs ir sākuma punkts un tas iet caur punktu, tad tā rādiuss būs tieši vienāds ar nogriežņa garumu (uztaisiet zīmējumu un sapratīsiet, kāpēc tas ir acīmredzami). Atrodiet šī segmenta garumu:

Atbilde:

6. Ir zināms, ka ap taisnstūri norobežota riņķa rādiuss ir vienāds ar pusi no tā diagonāles. Atradīsim jebkuras no divām diagonālēm garumu (galu galā taisnstūrī tās ir vienādas!)

Atbilde:

Nu vai tev viss izdevās? Nebija tik grūti to izdomāt, vai ne? Šeit ir tikai viens noteikums - jāspēj izveidot vizuālu attēlu un vienkārši “nolasīt” visus datus no tā.

Mums palicis pavisam maz. Ir burtiski vēl divi punkti, kurus es vēlētos apspriest.

Mēģināsim atrisināt šo vienkāršo problēmu. Ļaujiet diviem punktiem un ir dota. Atrodiet segmenta vidus koordinātas. Šīs problēmas risinājums ir šāds: ļaujiet punktam būt vēlamajam vidusdaļai, tad tam ir koordinātas:

T.i.: segmenta vidus koordinātes = nogriežņa galu atbilstošo koordinātu vidējā aritmētiskā.

Šis noteikums ir ļoti vienkāršs un parasti skolēniem nesagādā grūtības. Apskatīsim, kādās problēmās un kā tas tiek izmantots:

1. Find-di-te vai-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point un

2. Punkti ir yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Atrodiet-di-te vai-di-na-tu punktus no viņa dia-go-on-lei re-re-se-che-niya.

3. Atrodiet-di-te abs-cis-su no apļa centra, aprakstiet-san-noy pie taisnstūra-no-ka, tops-shi-mums ir kaut kas-ro-go co-or-di- na-you co-from-vet-stvenno-but.

Risinājumi:

1. Pirmais uzdevums ir tikai klasika. Mēs rīkojamies nekavējoties, nosakot segmenta viduspunktu. Viņai ir koordinātes. Ordinātas ir vienādas.

Atbilde:

2. Ir viegli redzēt, ka dotais četrstūris ir paralelograms (pat rombs!). To var pierādīt pats, aprēķinot malu garumus un salīdzinot tos savā starpā. Ko es zinu par paralelogramu? Tās diagonāles sadala uz pusēm ar krustpunktu! Aha! Tātad, kāds ir diagonāļu krustošanās punkts? Tas ir jebkuras diagonāles vidusdaļa! Es īpaši izvēlēšos diagonāli. Tad punktam ir koordinātas.Punkta ordināta ir vienāda ar.

Atbilde:

3. Kāds ir taisnstūra apļa centrs? Tas sakrīt ar tā diagonāļu krustošanās punktu. Ko jūs zināt par taisnstūra diagonālēm? Tie ir vienādi, un krustošanās punkts ir sadalīts uz pusēm. Uzdevums ir samazināts līdz iepriekšējam. Ņemiet, piemēram, diagonāli. Tad, ja ir ierobežotā apļa centrs, tad ir vidus. Es meklēju koordinātas: Abscisa ir vienāda.

Atbilde:

Tagad nedaudz trenējieties paši, es sniegšu tikai atbildes uz katru problēmu, lai jūs varētu pārbaudīt sevi.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, aprakstiet-san-noy pie trijstūra-no-ka, kāds-ro-go virsotnēs ir ko-or-di -no misters.

2. Atrodi-di-te vai-di-na-tu apļa centru, apraksti san-noy pie trijstūra-no-ka, tops-shi-mums ir kaut-ro-go koordinātes.

3. Kādam ra-di-y-sa jābūt aplim ar centru tādā punktā, lai tas skartu abs-ciss asi?

4. Atrodiet-di-te vai-di-on-tajā punktā atkārtoti-se-che-ing ass un no-cut, savieno-nya-yu-th punktu un

Atbildes:

Vai viss izdevās? Es ļoti ceru uz to! Tagad - pēdējais grūdiens. Tagad esiet īpaši uzmanīgs. Materiāls, ko es tagad paskaidrošu, ir tieši saistīts ne tikai ar vienkāršus uzdevumus uz koordinātu metodi no B daļas, bet sastopams arī visur uzdevumā C2.

Kurus no saviem solījumiem es vēl neesmu pildījis? Atcerieties, kādas darbības vektoros es apsolīju ieviest un kuras es beidzot ieviesu? Vai esmu pārliecināts, ka neko neesmu aizmirsis? Aizmirsa! Es aizmirsu paskaidrot, ko nozīmē vektoru reizināšana.

Ir divi veidi, kā reizināt vektoru ar vektoru. Atkarībā no izvēlētās metodes mēs iegūsim dažāda rakstura objektus:

Vektorprodukts ir diezgan grūts. Kā to izdarīt un kāpēc tas ir nepieciešams, mēs ar jums apspriedīsim nākamajā rakstā. Un šajā gadījumā mēs koncentrēsimies uz skalāro reizinājumu.

Jau ir divi veidi, kā to aprēķināt:

Kā jau uzminējāt, rezultātam jābūt tādam pašam! Tātad vispirms apskatīsim pirmo veidu:

Punktu produkts, izmantojot koordinātas

Atrodiet: - kopīgu apzīmējumu punktu produkts

Aprēķina formula ir šāda:

Tas ir, punktu reizinājums = vektoru koordinātu reizinājumu summa!

Piemērs:

Find-dee-te

Lēmums:

Atrodiet katra vektora koordinātas:

Mēs aprēķinām skalāro reizinājumu pēc formulas:

Atbilde:

Redziet, absolūti nekas sarežģīts!

Nu, tagad izmēģiniet to pats:

Find-di-te skalārs-noe pro-from-ve-de-nie gadsimta līdz grāvim un

Vai jums izdevās? Varbūt viņš pamanīja nelielu viltību? Pārbaudīsim:

Vektoru koordinātas, tāpat kā iepriekšējā uzdevumā! Atbilde:.

Papildus koordinātei ir vēl viens veids, kā aprēķināt skalāro reizinājumu, proti, izmantojot vektoru garumus un leņķa kosinusu starp tiem:

Apzīmē leņķi starp vektoriem un.

Tas ir, skalārais reizinājums ir vienāds ar vektoru garumu un starp tiem esošā leņķa kosinusa reizinājumu.

Kāpēc mums ir vajadzīga šī otrā formula, ja mums ir pirmā, kas ir daudz vienkāršāka, tajā vismaz nav kosinusu. Un mums tas ir vajadzīgs, lai no pirmās un otrās formulas varētu secināt, kā atrast leņķi starp vektoriem!

Ļaujiet Tad atcerieties vektora garuma formulu!

Ja es pievienoju šos datus punktveida produkta formulai, es saņemu:

Bet no otras puses:

Tātad, kas mums ir? Tagad mums ir formula, lai aprēķinātu leņķi starp diviem vektoriem! Dažreiz īsuma labad tas tiek uzrakstīts arī šādi:

Tas nozīmē, ka leņķa starp vektoriem aprēķināšanas algoritms ir šāds:

1. Mēs aprēķinām skalāro reizinājumu, izmantojot koordinātas
2. Atrodiet vektoru garumus un reiziniet tos
3. Sadaliet 1. punkta rezultātu ar 2. punkta rezultātu

Praktizēsim ar piemēriem:

1. Atrodiet leņķi starp plakstiņiem-to-ra-mi un. Sniedziet atbildi grādos.

2. Iepriekšējā uzdevuma apstākļos atrodiet kosinusu starp vektoriem

Darīsim tā: es palīdzēšu jums atrisināt pirmo problēmu, bet otro mēģiniet izdarīt pats! ES piekrītu? Tad sāksim!

1. Šie vektori ir mūsu vecie draugi. Mēs jau esam apsvēruši viņu skalāro reizinājumu, un tas bija līdzvērtīgs. To koordinātas ir: , . Tad mēs atrodam to garumus:

Tad mēs meklējam kosinusu starp vektoriem:

Kāds ir leņķa kosinuss? Šis ir stūris.

Atbilde:

Nu, tagad pats atrisiniet otro problēmu un tad salīdziniet! Es sniegšu ļoti īsu risinājumu:

2. ir koordinātes, ir koordinātes.

Ļaut būt leņķim starp vektoriem un, tad

Atbilde:

Jāatzīmē, ka uzdevumi tieši uz vektoriem un koordinātu metode B daļā pārbaudes darbs diezgan reti. Tomēr lielāko daļu C2 problēmu var viegli atrisināt, ieviešot koordinātu sistēmu. Tātad jūs varat uzskatīt šo rakstu par pamatu, uz kura pamata mēs izveidosim diezgan viltīgas konstrukcijas, kas mums jāatrisina izaicinošus uzdevumus.

KOORDINĀTES UN VEKTORI. VIDĒJS LĪMENIS

Mēs ar jums turpinām pētīt koordinātu metodi. Pēdējā daļā mēs atvasinājām vairākas svarīgas formulas, kas ļauj:

1. Atrodiet vektora koordinātas
2. Atrodiet vektora garumu (alternatīvi: attālumu starp diviem punktiem)
3. Saskaitīt, atņemt vektorus. Reiziniet tos ar reālu skaitli
4. Atrodiet segmenta viduspunktu
5. Aprēķināt vektoru punktu reizinājumu
6. Atrodiet leņķi starp vektoriem

Protams, visa koordinātu metode neietilpst šajos 6 punktos. Tas ir tādas zinātnes pamatā kā analītiskā ģeometrija, ar kuru jūs iepazīsities universitātē. Es tikai vēlos izveidot pamatu, kas ļaus jums atrisināt problēmas vienotā stāvoklī. eksāmens. Mēs izdomājām B daļas uzdevumus Tagad ir pienācis laiks pāriet uz kvalitāti jauns līmenis! Šis raksts būs veltīts metodei to C2 problēmu risināšanai, kurās būtu saprātīgi pāriet uz koordinātu metodi. Šo pamatotību nosaka tas, kas ir jāatrod problēmā un kāds skaitlis ir norādīts. Tātad, es izmantotu koordinātu metodi, ja jautājumi ir:

1. Atrodiet leņķi starp divām plaknēm
2. Atrodiet leņķi starp līniju un plakni
3. Atrodiet leņķi starp divām līnijām
4. Atrodiet attālumu no punkta līdz plaknei
5. Atrodiet attālumu no punkta līdz līnijai
6. Atrodiet attālumu no taisnes līdz plaknei
7. Atrodiet attālumu starp divām līnijām

Ja uzdevuma stāvoklī norādītais skaitlis ir apgriezienu korpuss (lode, cilindrs, konuss ...)

Piemēroti skaitļi koordinātu metodei ir:

1. kuboīds
2. Piramīda (trīsstūra, četrstūra, sešstūra)

Arī manā pieredzē nav lietderīgi izmantot koordinātu metodi:

1. Sadaļu laukumu atrašana
2. Ķermeņu tilpumu aprēķini

Taču uzreiz jāatzīmē, ka trīs koordinātu metodei “nelabvēlīgas” situācijas praksē ir diezgan reti sastopamas. Lielākajā daļā uzdevumu tas var kļūt par jūsu glābēju, it īpaši, ja neesat pārāk spēcīgs trīsdimensiju konstrukcijās (kas dažreiz ir diezgan sarežģītas).

Kādi ir visi iepriekš minētie skaitļi? Tie vairs nav plakani, piemēram, kvadrāts, trīsstūris, aplis, bet gan apjomīgi! Attiecīgi mums jāņem vērā nevis divdimensiju, bet gan trīsdimensiju koordinātu sistēma. Tas ir uzbūvēts diezgan vienkārši: tikai papildus abscisai un ordinātām mēs ieviesīsim vēl vienu asi, aplikācijas asi. Attēlā shematiski parādīts to relatīvais novietojums:

Tie visi ir savstarpēji perpendikulāri, krustojas vienā punktā, ko sauksim par izcelsmi. Abscisu ass, tāpat kā iepriekš, tiks apzīmēta, ordinātu ass - , un ieviestā aplikācijas ass - .

Ja agrāk katrs plaknes punkts tika raksturots ar diviem cipariem - abscisu un ordinātu, tad katru telpas punktu jau raksturo trīs cipari - abscisa, ordināta, aplikācija. Piemēram:

Attiecīgi punkta abscisa ir vienāda, ordināta ir , un aplikācija ir .

Dažreiz punkta abscisu sauc arī par punkta projekciju uz abscisu asi, ordināta ir punkta projekcija uz y asi, un aplikācija ir punkta projekcija uz aplikācijas asi. Attiecīgi, ja ir dots punkts, tad punkts ar koordinātām:

sauc par punkta projekciju plaknē

sauc par punkta projekciju plaknē

Rodas dabisks jautājums: vai visas divdimensiju gadījumam atvasinātās formulas ir derīgas telpā? Atbilde ir jā, tie ir vienkārši un tiem ir vienāds izskats. Par nelielu detaļu. Es domāju, ka jūs jau uzminējāt, kurš no tiem. Visās formulās mums būs jāpievieno vēl viens termins, kas atbild par aplikācijas asi. Proti.

1. Ja ir doti divi punkti: , tad:

• Vektoru koordinātas:
• Attālums starp diviem punktiem (vai vektora garums)
• Segmenta vidū ir koordinātas

2. Ja ir doti divi vektori: un, tad:

• Viņu punktveida produkts ir:
• Leņķa kosinuss starp vektoriem ir:

Tomēr telpa nav tik vienkārša. Kā jūs saprotat, vēl vienas koordinātas pievienošana ievieš ievērojamu dažādību šajā telpā "dzīvojošo" figūru spektrā. Un tālākam stāstījumam man jāievieš kāds, rupji sakot, taisnās līnijas "vispārinājums". Šis "vispārinājums" būs lidmašīna. Ko jūs zināt par lidmašīnu? Mēģiniet atbildēt uz jautājumu, kas ir lidmašīna? Ir ļoti grūti pateikt. Tomēr mēs visi intuitīvi iedomājamies, kā tas izskatās:

Aptuveni runājot, šī ir sava veida bezgalīga “lapa”, kas tiek iegrūsta kosmosā. "Bezgalība" ir jāsaprot, ka plakne stiepjas visos virzienos, tas ir, tās laukums ir vienāds ar bezgalību. Taču šis skaidrojums "uz pirkstiem" nedod ne mazāko priekšstatu par lidmašīnas uzbūvi. Un mūs tas interesēs.

Atcerēsimies vienu no ģeometrijas pamataksiomām:

• divatā dažādi punkti plaknē iet taisna līnija, turklāt tikai viena:

Vai tā analogs kosmosā:

Protams, jūs atceraties, kā iegūt taisnas līnijas vienādojumu no diviem dotajiem punktiem, tas nepavisam nav grūti: ja pirmajam punktam ir koordinātas: un otrajam, tad taisnes vienādojums būs šāds:

Jūs to piedzīvojāt 7. klasē. Telpā taisnes vienādojums izskatās šādi: pieņemsim divus punktus ar koordinātām: , tad caur tiem ietošās taisnes vienādojumam ir forma:

Piemēram, līnija iet caur punktiem:

Kā tas būtu jāsaprot? Tas jāsaprot šādi: punkts atrodas uz taisnes, ja tā koordinātas atbilst šādai sistēmai:

Mūs īpaši neinteresēs taisnes vienādojums, taču mums ir jāpievērš uzmanība ļoti svarīgajam taisnes virzošā vektora jēdzienam. - jebkura vektors, kas nav nulle atrodas uz noteiktas līnijas vai paralēli tai.

Piemēram, abi vektori ir taisnas līnijas virziena vektori. Ļaut ir punkts, kas atrodas uz taisnas līnijas, un ir tā virzošais vektors. Tad taisnas līnijas vienādojumu var uzrakstīt šādā formā:

Mani kārtējo reizi īpaši neinteresēs taisnes vienādojums, bet man tiešām ir jāatceras, kas ir virziena vektors! Atkal: tas ir JEBKURS, kas nav nulles vektors, kas atrodas uz taisnes vai paralēli tai.

Izņemt plaknes trīspunktu vienādojums vairs nav tik triviāls, un parasti šis jautājums kursā netiek izskatīts vidusskola. Bet velti! Šis paņēmiens ir ļoti svarīgs, ja mēs izmantojam koordinātu metodi, lai atrisinātu sarežģītas problēmas. Tomēr pieņemu, ka esi pilns ar vēlmi apgūt ko jaunu? Turklāt jūs varēsiet pārsteigt savu skolotāju universitātē, kad izrādīsies, ka jūs jau zināt, kā izmantot tehniku, kas parasti tiek apgūta analītiskās ģeometrijas kursā. Tātad sāksim.

Plaknes vienādojums pārāk neatšķiras no plaknes taisnes vienādojuma, proti, tam ir šāda forma:

daži skaitļi (ne visi nulle), un mainīgos, piemēram: utt. Kā redzat, plaknes vienādojums īpaši neatšķiras no taisnes vienādojuma (lineāra funkcija). Tomēr atceries, par ko mēs ar tevi strīdējāmies? Mēs teicām, ka, ja mums ir trīs punkti, kas neatrodas uz vienas taisnes, tad no tiem unikāli tiek atjaunots plaknes vienādojums. Bet kā? Es mēģināšu jums paskaidrot.

Tā kā plaknes vienādojums ir:

Un punkti pieder šai plaknei, tad, aizstājot katra punkta koordinātas plaknes vienādojumā, mums vajadzētu iegūt pareizo identitāti:

Līdz ar to ir jāatrisina trīs vienādojumi jau ar nezināmajiem! Dilemma! Tomēr mēs vienmēr varam pieņemt, ka (šim nolūkam mums ir jādala ar). Tādējādi mēs iegūstam trīs vienādojumus ar trim nezināmajiem:

Tomēr mēs neatrisināsim šādu sistēmu, bet izrakstīsim no tās izrietošo noslēpumaino izteiksmi:

Vienādojums plaknei, kas iet cauri trim dotiem punktiem

\[\pa kreisi| (\begin(masīvs)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(masīvs)) \right| = 0\]

Stop! Kas tas vēl ir? Kāds ļoti neparasts modulis! Tomēr objektam, ko redzat sev priekšā, nav nekāda sakara ar moduli. Šo objektu sauc par trešās kārtas determinantu. No šī brīža, saskaroties ar koordinātu metodi plaknē, jūs bieži saskaraties ar šiem noteicošajiem faktoriem. Kas ir trešās kārtas determinants? Savādi, bet tas ir tikai cipars. Atliek saprast, kādu konkrētu skaitli mēs salīdzināsim ar determinantu.

Vispirms ierakstīsim trešās kārtas determinantu vispārīgākā formā:

Kur ir daži cipari. Turklāt ar pirmo indeksu mēs domājam rindas numuru, bet ar indeksu - kolonnas numuru. Piemēram, tas nozīmē, ka dotais skaitlis atrodas otrās rindas un trešās kolonnas krustpunktā. Uzdosim šādu jautājumu: kā tieši mēs aprēķināsim šādu determinantu? Tas ir, ar kādu konkrētu skaitli mēs to salīdzināsim? Precīzi trešās kārtas determinantam ir heiristisks (vizuāls) trīsstūra noteikums, kas izskatās šādi:

1. Galvenās diagonāles elementu reizinājums (no augšējās kreisās puses uz apakšējo labo) to elementu reizinājums, kas veido pirmo trīsstūri "perpendikulāri" galvenajai diagonālei, to elementu reizinājums, kas veido otro trīsstūri "perpendikulāri" galvenajam. diagonāli
2. Sekundārās diagonāles elementu reizinājums (no augšējās labās puses uz apakšējo kreiso) to elementu reizinājums, kas veido pirmo trīsstūri "perpendikulāri" sekundārajai diagonālei, to elementu reizinājums, kas veido otro trīsstūri "perpendikulāri" sekundārā diagonāle
3. Tad determinants ir vienāds ar starpību starp vērtībām, kas iegūtas solī un

Ja to visu rakstām skaitļos, tad iegūstam šādu izteiksmi:

Tomēr jums nav jāiegaumē aprēķina metode šajā formā, pietiek tikai turēt galvā trīsstūrus un pašu ideju par to, kas tiek pievienots un kas pēc tam tiek atņemts no kā).

Ilustrēsim trīsstūra metodi ar piemēru:

1. Aprēķiniet determinantu:

Izdomāsim, ko pievienojam un ko atņemam:

Noteikumi, kuriem pievienots "pluss":

Šī ir galvenā diagonāle: elementu reizinājums ir

Pirmais trīsstūris, "perpendikulārs galvenajai diagonālei: elementu reizinājums ir

Otrais trīsstūris, "perpendikulārs galvenajai diagonālei: elementu reizinājums ir

Mēs pievienojam trīs skaitļus:

Noteikumi, kas nāk ar "mīnusu"

Šī ir sānu diagonāle: elementu reizinājums ir

Pirmais trīsstūris, "perpendikulārs sekundārajai diagonālei: elementu reizinājums ir

Otrais trīsstūris, "perpendikulārs sekundārajai diagonālei: elementu reizinājums ir

Mēs pievienojam trīs skaitļus:

Viss, kas jādara, ir no plusa vārdu summas atņemt mīnusa vārdu summu:

Tādējādi

Kā redzat, trešās kārtas determinantu aprēķināšanā nav nekā sarežģīta un pārdabiska. Vienkārši ir svarīgi atcerēties par trijstūriem un nepieļaut aritmētiskas kļūdas. Tagad mēģiniet pats aprēķināt:

Mēs pārbaudām:

1. Pirmais trīsstūris, kas ir perpendikulārs galvenajai diagonālei:
2. Otrais trīsstūris, kas ir perpendikulārs galvenajai diagonālei:
3. Plusu nosacījumu summa:
4. Pirmais trīsstūris, kas ir perpendikulārs sānu diagonālei:
5. Otrais trīsstūris, kas ir perpendikulārs sānu diagonālei:
6. Terminu summa ar mīnusu:
7. Plus vārdu summa mīnus mīnus vārdu summa:

Šeit ir vēl daži noteicošie faktori, aprēķiniet to vērtības pats un salīdziniet ar atbildēm:

Atbildes:

Nu, vai viss sakrita? Lieliski, tad varat doties tālāk! Ja rodas grūtības, tad mans padoms ir šāds: internetā ir virkne programmu determinanta aprēķināšanai tiešsaistē. Viss, kas jums nepieciešams, ir izdomāt savu noteicēju, pašam to aprēķināt un pēc tam salīdzināt ar programmas aprēķināto. Un tā tālāk, līdz rezultāti sāk sakrist. Esmu pārliecināts, ka šis brīdis nebūs ilgi gaidīts!

Tagad atgriezīsimies pie determinanta, ko es uzrakstīju, kad runāju par plaknes vienādojumu, kas iet cauri trim dotos punktus:

Viss, kas jums jādara, ir tieši aprēķināt tā vērtību (izmantojot trīsstūra metodi) un iestatīt rezultātu, kas vienāds ar nulli. Protams, tā kā tie ir mainīgie, jūs iegūsit kādu izteiksmi, kas ir atkarīga no tiem. Tieši šī izteiksme būs vienādojums plaknei, kas iet cauri trim dotiem punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes!

Ilustrēsim to ar vienkāršu piemēru:

1. Izveidojiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem

Mēs veidojam noteicošo faktoru šiem trim punktiem:

Vienkāršošana:

Tagad mēs to aprēķinām tieši saskaņā ar trīsstūru likumu:

\[(\left| (\begin(masīvs)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(masīvs)) \ pa labi| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Tādējādi plaknes, kas iet caur punktiem, vienādojums ir:

Tagad mēģiniet pats atrisināt vienu problēmu, un tad mēs to apspriedīsim:

2. Atrodiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem

Nu, tagad apspriedīsim risinājumu:

Mēs veicam noteicēju:

Un aprēķiniet tā vērtību:

Tad plaknes vienādojumam ir šāda forma:

Vai, samazinot par, mēs iegūstam:

Tagad divi paškontroles uzdevumi:

1. Izveidojiet vienādojumu plaknei, kas iet cauri trim punktiem:

Atbildes:

Vai viss sakrita? Atkal, ja ir zināmas grūtības, tad mans padoms ir šāds: paņemiet no galvas trīs punktus (ar lielu varbūtību, ka tie nenogulēs uz vienas taisnes), uz tiem izveidojiet plakni. Un pēc tam pārbaudiet sevi tiešsaistē. Piemēram, vietnē:

Taču ar determinantu palīdzību konstruēsim ne tikai plaknes vienādojumu. Atcerieties, ka es jums teicu, ka vektoriem nav definēts tikai punktu reizinājums. Ir arī vektors, kā arī jaukts produkts. Un, ja divu vektoru skalārā reizinājums būs skaitlis, tad divu vektoru vektorreizinājums būs vektors, un šis vektors būs perpendikulārs dotajiem:

Un tā modulis būs vienāds ar laukumu paralelograms, kas uzbūvēts uz vektoriem un. Šis vektors mums būs vajadzīgs, lai aprēķinātu attālumu no punkta līdz līnijai. Kā mēs varam aprēķināt vektoru šķērsreizinājumu un ja ir norādītas to koordinātas? Mums atkal palīgā nāk trešās kārtas noteicējs. Tomēr, pirms pārietu uz krustprodukta aprēķināšanas algoritmu, man ir jāveic neliela liriska atkāpe.

Šī novirze attiecas uz bāzes vektoriem.

Shematiski tie ir parādīti attēlā:

Kāpēc jūs domājat, ka tos sauc par pamata? Fakts ir tāds, ka:

Vai arī attēlā:

Šīs formulas derīgums ir acīmredzams, jo:

vektora produkts

Tagad es varu sākt ieviest krustveida produktu:

Divu vektoru vektorreizinājums ir vektors, ko aprēķina saskaņā ar šādu noteikumu:

Tagad sniegsim dažus krustprodukta aprēķināšanas piemērus:

1. piemērs. Atrodiet vektoru krustojumu:

Risinājums: es veicu noteicēju:

Un es to aprēķināju:

Tagad, no rakstīšanas caur bāzes vektoriem, es atgriezīšos pie parastā vektora apzīmējuma:

Tādējādi:

Tagad mēģiniet.

Vai esat gatavs? Mēs pārbaudām:

Un tradicionāli divi kontrolējamie uzdevumi:

1. Atrodiet šādu vektoru krustojumu:
2. Atrodiet šādu vektoru krustojumu:

Atbildes:

Trīs vektoru jauktais reizinājums

Pēdējā konstrukcija, kas man nepieciešama, ir trīs vektoru jauktais reizinājums. Tas, tāpat kā skalārs, ir skaitlis. Ir divi veidi, kā to aprēķināt. - caur determinantu, - caur jaukto produktu.

Proti, pieņemsim, ka mums ir trīs vektori:

Tad trīs vektoru jaukto reizinājumu, ko apzīmē ar, var aprēķināt šādi:

1. - tas ir, jauktais reizinājums ir vektora skalārais reizinājums un divu citu vektoru vektorreizinājums

Piemēram, trīs vektoru jauktais reizinājums ir:

Mēģiniet to aprēķināt pats, izmantojot vektoru reizinājumu, un pārliecinieties, ka rezultāti sakrīt!

Un atkal - divi piemēri neatkarīgam risinājumam:

Atbildes:

Koordinātu sistēmas izvēle

Nu, tagad mums ir viss nepieciešamais zināšanu pamats, lai atrisinātu sarežģītas stereometriskas problēmas ģeometrijā. Tomēr, pirms pāriet tieši pie piemēriem un to risināšanas algoritmiem, es uzskatu, ka būs lietderīgi pakavēties pie šāda jautājuma: kā tieši izvēlieties koordinātu sistēmu konkrētai figūrai. Galu galā tā ir izvēle relatīvā pozīcija koordinātu sistēmas un skaitļi kosmosā galu galā noteiks, cik apgrūtinoši būs aprēķini.

Es atgādinu, ka šajā sadaļā mēs aplūkojam šādas formas:

1. kuboīds
2. Taisna prizma (trīsstūrveida, sešstūra...)
3. Piramīda (trīsstūrveida, četrstūrveida)
4. Tetraedrs (tāds pats kā trīsstūrveida piramīda)

Kuboīdam vai kubam es iesaku šādu konstrukciju:

Tas ir, es ievietošu figūru “stūrī”. Kubs un kaste ir ļoti labas figūras. Viņiem jūs vienmēr varat viegli atrast tā virsotņu koordinātas. Piemēram, ja (kā parādīts attēlā)

tad virsotņu koordinātas ir:

Protams, jums tas nav jāatceras, taču ir vēlams atcerēties, kā vislabāk novietot kubu vai taisnstūrveida kastīti.

taisna prizma

Prizma ir kaitīgāka figūra. Jūs varat to sakārtot telpā dažādos veidos. Tomēr es uzskatu, ka vislabākais variants ir šāds:

Trīsstūrveida prizma:

Tas ir, vienu no trijstūra malām pilnībā novietojam uz ass, un viena no virsotnēm sakrīt ar izcelsmi.

Sešstūra prizma:

Tas ir, viena no virsotnēm sakrīt ar izcelsmi, un viena no malām atrodas uz ass.

Četrstūra un sešstūra piramīda:

Situācija līdzīga kubam: apvienojam divas pamatnes malas ar koordinātu asīm, vienu no virsotnēm savienojam ar izcelsmi. Vienīgās nelielās grūtības sagādās punkta koordinātu aprēķināšana.

Sešstūra piramīdai - tas pats, kas sešstūra prizmai. Galvenais uzdevums atkal būs virsotnes koordinātu atrašana.

Tetraedrs (trīsstūra piramīda)

Situācija ir ļoti līdzīga tai, ko minēju trīsstūrveida prizmai: viena virsotne sakrīt ar sākumu, viena puse atrodas uz koordinātu ass.

Nu, tagad jūs un es beidzot esam tuvu tam, lai sāktu risināt problēmas. No tā, ko es teicu pašā raksta sākumā, jūs varat izdarīt šādu secinājumu: lielākā daļa C2 problēmu iedalās 2 kategorijās: problēmas ar leņķi un problēmas ar attālumu. Pirmkārt, mēs apsvērsim leņķa atrašanas problēmas. Tos savukārt iedala šādās kategorijās (palielinoties sarežģītībai):

Problēmas ar stūru atrašanu

1. Leņķa atrašana starp divām līnijām
2. Leņķa atrašana starp divām plaknēm

Apskatīsim šīs problēmas secīgi: sāksim ar leņķa atrašanu starp divām taisnēm. Nāc, atceries, vai mēs ar jums esam agrāk risinājuši līdzīgus piemērus? Jūs atceraties, jo mums jau bija kaut kas līdzīgs... Mēs meklējām leņķi starp diviem vektoriem. Atgādinu, ja ir doti divi vektori: un, tad leņķis starp tiem tiek atrasts no attiecības:

Tagad mums ir mērķis - atrast leņķi starp divām taisnēm. Pievērsīsimies "plakanajam attēlam":

Cik leņķus iegūstam, kad krustojas divas līnijas? Jau lietas. Tiesa, tikai divi no tiem nav vienādi, bet citi ir tiem vertikāli (un tāpēc ar tiem sakrīt). Tātad, kāds leņķis mums jāņem vērā leņķis starp divām taisnām līnijām: vai? Šeit ir noteikums: leņķis starp divām taisnēm vienmēr nav lielāks par grādiem. Tas ir, no diviem leņķiem mēs vienmēr izvēlēsimies leņķi ar mazāko grādu. Tas ir, šajā attēlā leņķis starp abām līnijām ir vienāds. Lai katru reizi nebūtu jāpūlas ar mazākā no diviem leņķiem atrašanu, viltīgi matemātiķi ieteica izmantot moduli. Tādējādi leņķi starp divām taisnēm nosaka pēc formulas:

Jums kā uzmanīgam lasītājam vajadzēja uzdot jautājumu: kur mēs ņemam šos skaitļus, kas mums nepieciešami, lai aprēķinātu leņķa kosinusu? Atbilde: mēs tos ņemsim no līniju virziena vektoriem! Tādējādi algoritms leņķa atrašanai starp divām līnijām ir šāds:

1. Mēs izmantojam 1. formulu.

Vai arī sīkāk:

1. Mēs meklējam pirmās taisnes virziena vektora koordinātas
2. Mēs meklējam otrās līnijas virziena vektora koordinātas
3. Aprēķiniet to skalārās reizinājuma moduli
4. Mēs meklējam pirmā vektora garumu
5. Mēs meklējam otrā vektora garumu
6. Reiziniet 4. punkta rezultātus ar 5. punkta rezultātiem
7. 3. punkta rezultātu sadalām ar 6. punkta rezultātu. Iegūstam leņķa kosinusu starp taisnēm
8. Ja dots rezultātsļauj precīzi aprēķināt leņķi, mēs to meklējam
9. Pretējā gadījumā mēs rakstām caur arkosīnu

Nu ko, tagad laiks pāriet pie uzdevumiem: pirmo divu risinājumu es demonstrēšu detalizēti, vēl viena atrisināšu kopsavilkums, un uz pēdējām divām problēmām es sniegšu tikai atbildes, visi aprēķini jums jāveic pašiem.

Uzdevumi:

1. Labajā tet-ra-ed-re atrodiet-di-te leņķi starp you-so-that tet-ra-ed-ra un me-di-a-noy bo-ko-how pusi.

2. Labajā virzienā uz priekšu six-coal-pi-ra-mi-de simts-ro-na-os-no-va-niya ir vienādi, un sānu ribas ir vienādas, atrodiet leņķi starp taisnēm līnijas un.

3. Labās puses four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy visu malu garumi ir vienādi. Atrodiet leņķi starp taisnām līnijām un, ja no-re-zok - you-so-ka, ņemot vērā pi-ra-mi-dy, punkts ir se-re-di-uz viņas bo-ko- th ribas.

4. Uz kuba malas no-me-che-līdz punktam tā, lai Find-di-te leņķi starp taisnēm un

5. Punkts - se-re-di-uz kuba malām Nai-di-te leņķis starp taisnēm un.

Nav nejaušība, ka es sakārtoju uzdevumus šādā secībā. Kamēr jums vēl nav bijis laika, lai sāktu orientēties koordinātu metodē, es pats analizēšu “problemātiskākos” skaitļus un likšu jums tikt galā ar vienkāršāko kubu! Pamazām jāiemācās strādāt ar visām figūrām, paaugstināšu uzdevumu sarežģītību no tēmas uz tēmu.

Sāksim risināt problēmas:

1. Uzzīmējiet tetraedru, novietojiet to koordinātu sistēmā, kā es ierosināju iepriekš. Tā kā tetraedrs ir regulārs, tad visas tā skaldnes (ieskaitot pamatni) ir regulāri trīsstūri. Tā kā mums nav dots sānu garums, es to varu uzskatīt par vienādu. Es domāju, ka jūs saprotat, ka leņķis īsti nebūs atkarīgs no tā, cik ļoti mūsu tetraedrs tiks "izstiepts"?. Uzzīmēšu arī augstumu un mediānu tetraedrā. Pa ceļam uzzīmēšu tā pamatni (noderēs arī mums).

Man jāatrod leņķis starp un. Ko mēs zinām? Mēs zinām tikai punkta koordinātas. Tātad, mums ir jāatrod vairāk punktu koordinātas. Tagad mēs domājam: punkts ir trijstūra augstumu (vai bisektoru vai mediānu) krustošanās punkts. Punkts ir paaugstināts punkts. Punkts ir segmenta viduspunkts. Tad beidzot jāatrod: punktu koordinātas: .

Sāksim ar vienkāršāko: punktu koordinātām. Apskatiet attēlu: Ir skaidrs, ka punkta aplikācija ir vienāda ar nulli (punkts atrodas uz plaknes). Tā ordināta ir vienāda (jo tā ir mediāna). Ir grūtāk atrast tā abscisu. Tomēr tas ir viegli izdarāms, pamatojoties uz Pitagora teorēmu: Apsveriet trīsstūri. Tās hipotenūza ir vienāda, un viena no kājām ir vienāda Tad:

Beidzot mums ir:

Tagad noskaidrosim punkta koordinātas. Ir skaidrs, ka tā pielietojums atkal ir vienāds ar nulli, un tā ordināta ir tāda pati kā punkta ordināta, tas ir. Atradīsim tās abscisu. Tas tiek darīts diezgan triviāli, ja kāds to atceras vienādmalu trijstūra augstumus dala ar krustošanās punktu proporcijā skaitot no augšas. Tā kā:, tad vēlamā punkta abscise, kas vienāda ar segmenta garumu, ir vienāda ar:. Tādējādi punkta koordinātas ir:

Atradīsim punkta koordinātas. Ir skaidrs, ka tā abscisa un ordināta sakrīt ar punkta abscisu un ordinātu. Un aplikācija ir vienāda ar segmenta garumu. - šī ir viena no trīsstūra kājām. Trijstūra hipotenūza ir segments - kāja. Tas tiek meklēts iemeslu dēļ, kurus es izcēlu treknrakstā:

Punkts ir segmenta viduspunkts. Tad mums jāatceras segmenta vidus koordinātu formula:

Tas arī viss, tagad mēs varam meklēt virziena vektoru koordinātas:

Nu, viss ir gatavs: mēs aizstājam visus datus formulā:

Tādējādi

Atbilde:

Jums nevajadzētu baidīties no tik "briesmīgām" atbildēm: C2 problēmām tā ir izplatīta prakse. Es drīzāk būtu pārsteigts par "skaisto" atbildi šajā daļā. Tāpat, kā jūs atzīmējāt, es praktiski neizmantoju neko citu kā Pitagora teorēmu un vienādmalu trīsstūra augstumu īpašību. Tas ir, lai atrisinātu stereometrisko problēmu, es izmantoju minimālo stereometriju. Ieguvums šajā ziņā ir daļēji "dzēsts" ar diezgan apgrūtinošiem aprēķiniem. Bet tie ir diezgan algoritmiski!

2. Uzzīmējiet regulāru sešstūra piramīdu kopā ar koordinātu sistēmu, kā arī tās pamatu:

Mums jāatrod leņķis starp līnijām un. Tādējādi mūsu uzdevums ir samazināts līdz punktu koordinātu atrašanai: . No mazā zīmējuma mēs atradīsim pēdējo trīs koordinātas, un mēs atradīsim virsotnes koordinātas caur punkta koordinātu. Daudz darba, bet jāsāk!

a) Koordināta: ir skaidrs, ka tās aplikāts un ordināta ir nulle. Atradīsim abscisu. Lai to izdarītu, apsveriet taisnleņķa trīsstūri. Diemžēl tajā mēs zinām tikai hipotenūzu, kas ir vienāda ar. Mēģināsim atrast kāju (jo skaidrs, ka divreiz lielāks kājas garums dos mums punkta abscisu). Kā mēs varam viņu meklēt? Atcerēsimies, kāda figūra mums ir piramīdas pamatnē? Šis ir regulārs sešstūris. Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka visas malas un visi leņķi ir vienādi. Mums jāatrod viens šāds stūrītis. Kādas idejas? Ir daudz ideju, bet ir formula:

Regulāra n-stūra leņķu summa ir .

Tādējādi regulāra sešstūra leņķu summa ir grādi. Tad katrs no leņķiem ir vienāds ar:

Apskatīsim attēlu vēlreiz. Ir skaidrs, ka segments ir leņķa bisektrise. Tad leņķis ir grādi. Pēc tam:

Tad kur.

Tātad tai ir koordinātas

b) Tagad mēs varam viegli atrast punkta koordinātu: .

c) Atrodi punkta koordinātas. Tā kā tā abscisa sakrīt ar segmenta garumu, tā ir vienāda. Arī ordinātu atrašana nav īpaši grūta: ja savienojam punktus un un apzīmējam taisnes krustpunktu, teiksim par. (dari pats vienkārša konstrukcija). Tad Tādējādi punkta B ordināta ir vienāda ar nogriežņu garumu summu. Apskatīsim vēlreiz trīsstūri. Tad

Tad kopš Tad punktam ir koordinātes

d) Tagad atrodiet punkta koordinātas. Apsveriet taisnstūri un pierādiet, ka Tādējādi punkta koordinātas ir:

e) Atliek atrast virsotnes koordinātas. Ir skaidrs, ka tā abscisa un ordināta sakrīt ar punkta abscisu un ordinātu. Atradīsim lietotni. Kopš tā laika. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri. Pēc problēmas stāvokļa sānu mala. Šī ir mana trīsstūra hipotenūza. Tad piramīdas augstums ir kāja.

Tad punktam ir koordinātes:

Tas arī viss, man ir visu interesējošo punktu koordinātes. Es meklēju taisnu līniju virzošo vektoru koordinātas:

Mēs meklējam leņķi starp šiem vektoriem:

Atbilde:

Atkal, risinot šo uzdevumu, es neizmantoju nekādus sarežģītus trikus, izņemot formulu regulāra n-stūra leņķu summai, kā arī taisnleņķa trijstūra kosinusa un sinusa definīciju.

3. Tā kā mums piramīdā atkal nav doti malu garumi, es tos saskaitīšu vienāds ar vienu. Tādējādi, tā kā VISAS malas, nevis tikai sānu malas, ir vienādas viena ar otru, tad piramīdas pamatnē un es atrodas kvadrāts, un sānu malas ir regulāri trīsstūri. Attēlosim šādu piramīdu, kā arī tās pamatni uz plaknes, atzīmējot visus uzdevuma tekstā norādītos datus:

Mēs meklējam leņķi starp un. Es izdarīšu ļoti īsus aprēķinus, kad meklēšu punktu koordinātas. Jums tie būs "jāatšifrē":

b) - segmenta vidusdaļa. Viņas koordinātes:

c) Atradīšu nogriežņa garumu, izmantojot Pitagora teorēmu trijstūrī. Es atradīšu pēc Pitagora teorēmas trīsstūrī.

Koordinātas:

d) - segmenta vidusdaļa. Tās koordinātas ir

e) vektoru koordinātas

f) Vektoru koordinātas

g) Meklējiet leņķi:

Kubs ir visvienkāršākā figūra. Esmu pārliecināts, ka varat to izdomāt pats. Atbildes uz 4. un 5. uzdevumu ir šādas:

Leņķa atrašana starp līniju un plakni

Nu, vienkāršu mīklu laiks ir beidzies! Tagad piemēri būs vēl grūtāki. Lai atrastu leņķi starp līniju un plakni, mēs rīkojamies šādi:

1. Izmantojot trīs punktus, mēs veidojam plaknes vienādojumu
   ,
   izmantojot trešās kārtas determinantu.
2. Pēc diviem punktiem mēs meklējam taisnes virzošā vektora koordinātas:
3. Mēs izmantojam formulu, lai aprēķinātu leņķi starp taisni un plakni:

Kā redzat, šī formula ir ļoti līdzīga tai, ko izmantojām, lai atrastu leņķus starp divām līnijām. Labās puses struktūra ir tāda pati, un kreisajā pusē mēs tagad meklējam sinusu, nevis kosinusu, kā iepriekš. Nu, tika pievienota viena nejauka darbība - plaknes vienādojuma meklēšana.

Neliksim plauktā risināšanas piemēri:

1. Os-no-va-ni-em taisni-mana balva-mēs esam-la-et-xia vienādi-bet-nabaga-ren-ny trīsstūris-snick you-ar-šo balvu-mēs esam vienādi. Atrodiet leņķi starp taisni un plakni

2. Taisnstūra pa-ral-le-le-pi-pe-de no rietumu Nai-di-te leņķis starp taisni un plakni.

3. Labās puses sešogļu prizmā visas malas ir vienādas. Atrodiet leņķi starp taisni un plakni.

4. Labajā trīsstūrveida pi-ra-mi-de ar os-but-va-ni-em no ribas rietumiem Nai-di-te leņķis, ob-ra-zo-van -ny plakne no os. -no-va-niya un taisni-mans, kas iet cauri se-re-di-na no ribām un

5. Labā četrstūra pi-ra-mi-dy visu malu garumi ar augšpusi ir vienādi. Atrodiet leņķi starp taisni un plakni, ja punkts ir se-re-di-uz pi-ra-mi-dy bo-ko-in-th malas.

Atkal, pirmās divas problēmas es atrisināšu detalizēti, trešo - īsi, un atstāju pēdējās divas jums pašam. Turklāt jums jau bija jātiek galā ar trīsstūrveida un četrstūra piramīdas, bet ar prizmām - vēl ne.

Risinājumi:

1. Uzzīmējiet prizmu, kā arī tās pamatni. Apvienosim to ar koordinātu sistēmu un atzīmēsim visus problēmas izklāstā norādītos datus:

Es atvainojos par dažu proporciju neievērošanu, bet problēmas risināšanai tas patiesībā nav tik svarīgi. Lidmašīna ir tikai " aizmugurējā siena» no manas prizmas. Pietiek vienkārši uzminēt, ka šādas plaknes vienādojumam ir šāda forma:

Tomēr to var parādīt arī tieši:

Mēs izvēlamies patvaļīgus trīs punktus šajā plaknē: piemēram, .

Izveidosim plaknes vienādojumu:

Vingrinājums jums: aprēķiniet šo noteicošo faktoru pats. Vai jums izdevās? Tad plaknes vienādojumam ir šāda forma:

Vai vienkārši

Tādējādi

Lai atrisinātu piemēru, man jāatrod taisnes virzošā vektora koordinātas. Tā kā punkts sakrita ar izcelsmi, vektora koordinātas vienkārši sakritīs ar punkta koordinātām.Lai to izdarītu, vispirms atrodam punkta koordinātas.

Lai to izdarītu, apsveriet trīsstūri. Zīmēsim augstumu (tā ir arī mediāna un bisektrise) no augšas. Tā kā tad punkta ordināta ir vienāda. Lai atrastu šī punkta abscisu, mums jāaprēķina segmenta garums. Saskaņā ar Pitagora teorēmu mums ir:

Tad punktam ir koordinātes:

Punkts ir "pacelts" uz punkta:

Tad vektora koordinātas:

Atbilde:

Kā redzat, šādu problēmu risināšanā nav nekā fundamentāli sarežģīta. Faktiski tādas figūras kā prizmas “taisnums” nedaudz vairāk vienkāršo procesu. Tagad pāriesim pie nākamā piemēra:

2. Uzzīmējam paralēlskaldni, ievelkam tajā plakni un taisni, kā arī atsevišķi uzzīmējam tā apakšējo pamatni:

Pirmkārt, mēs atrodam plaknes vienādojumu: trīs tajā esošo punktu koordinātas:

(tiek iegūtas pirmās divas koordinātas acīmredzamais veids, un jūs varat viegli atrast pēdējo koordinātu no attēla no punkta). Tad mēs sastādām plaknes vienādojumu:

Mēs aprēķinām:

Mēs meklējam virziena vektora koordinātas: Ir skaidrs, ka tā koordinātas sakrīt ar punkta koordinātām, vai ne? Kā atrast koordinātas? Tās ir punkta koordinātas, kas paceltas pa aplikācijas asi par vienu! . Tad mēs meklējam vēlamo leņķi:

Atbilde:

3. Uzzīmējiet regulāru sešstūra piramīdu un pēc tam uzvelciet tajā plakni un taisnu līniju.

Šeit pat ir problemātiski uzzīmēt plakni, nemaz nerunājot par šīs problēmas risinājumu, bet koordinātu metodei ir vienalga! Tā daudzpusībā slēpjas tā galvenā priekšrocība!

Lidmašīna iet cauri trim punktiem: . Mēs meklējam viņu koordinātas:

viens). Pats parādiet pēdējo divu punktu koordinātas. Šim nolūkam jums būs jāatrisina problēma ar sešstūra piramīdu!

2) Mēs veidojam plaknes vienādojumu:

Mēs meklējam vektora koordinātas: . (Skatiet vēlreiz trīsstūrveida piramīdas problēmu!)

3) Mēs meklējam leņķi:

Atbilde:

Kā redzat, šajos uzdevumos nav nekā pārdabiski sarežģīta. Jums vienkārši jābūt ļoti uzmanīgiem ar saknēm. Uz pēdējām divām problēmām es sniegšu tikai atbildes:

Kā redzat, problēmu risināšanas tehnika visur ir vienāda: galvenais uzdevums ir atrast virsotņu koordinātas un aizstāt tās ar dažām formulām. Mums atliek apsvērt vēl vienu problēmu klasi leņķu aprēķināšanai, proti:

Leņķu aprēķināšana starp divām plaknēm

Risinājuma algoritms būs šāds:

1. Trīs punktiem mēs meklējam pirmās plaknes vienādojumu:
2. Pārējiem trim punktiem mēs meklējam otrās plaknes vienādojumu:
3. Mēs izmantojam formulu:

Kā redzat, formula ir ļoti līdzīga iepriekšējām divām, ar kuru palīdzību mēs meklējām leņķus starp taisnēm un starp taisni un plakni. Tātad jūs to nevarēsit atcerēties īpašs darbs. Sāksim tieši pie problēmas:

1. Simts-ro uz taisnās trīsstūra prizmas pamata ir vienāds, un sānu skaldnes diametrs ir vienāds. Atrodiet leņķi starp plakni un balvas pamatnes plakni.

2. Labajā virzienā uz priekšu four-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de visas kādas malas ir vienādas, atrodiet leņķa sinusu starp plakni un plakni Ko-Stu, kas iet cauri. punkts per-pen-di-ku-lyar-bet taisni-mans.

3. Regulārā četrogļu prizmā os-no-va-nia malas ir vienādas, un sānu malas ir vienādas. Uz malas no-me-che-līdz punktam tā, ka. Atrodiet leņķi starp plaknēm un

4. Labajā četrstūra prizmā pamatņu malas ir vienādas, un sānu malas ir vienādas. Uz malas no-me-che-līdz punktam, lai Atrodi leņķi starp plaknēm un.

5. Kubā atrodiet leņķa ko-si-nusu starp plaknēm un

Problēmu risinājumi:

1. Es uzzīmēju pareizo (pamatā ir vienādmalu trīsstūris) trīsstūrveida prizma un es atzīmēju uz tā plaknes, kas parādās problēmas stāvoklī:

Mums jāatrod divu plakņu vienādojumi: Bāzes vienādojumu iegūst triviāli: var izveidot atbilstošo determinantu trim punktiem, bet es uzreiz izveidošu vienādojumu:

Tagad atradīsim vienādojumu Punktam ir koordinātes Punktam - Tā kā - trijstūra mediāna un augstums, to ir viegli atrast pēc Pitagora teorēmas trīsstūrī. Tad punktam ir koordinātes: Atrodiet punkta aplikāciju Lai to izdarītu, apsveriet taisnleņķa trīsstūri

Tad iegūstam šādas koordinātas: Sastādām plaknes vienādojumu.

Mēs aprēķinām leņķi starp plaknēm:

Atbilde:

2. Zīmējuma veidošana:

Visgrūtāk ir saprast, kāda tā ir noslēpumaina plakne, kas iet caur punktu perpendikulāri. Nu, galvenais, kas tas ir? Galvenais ir uzmanība! Patiešām, līnija ir perpendikulāra. Līnija ir arī perpendikulāra. Tad plakne, kas iet caur šīm divām līnijām, būs perpendikulāra līnijai un, starp citu, iet caur punktu. Šī plakne arī iet cauri piramīdas virsotnei. Tad vēlamā lidmašīna - Un lidmašīna jau mums ir iedota. Mēs meklējam punktu koordinātas.

Mēs atrodam punkta koordinātu caur punktu. No neliela zīmējuma var viegli secināt, ka punkta koordinātas būs šādas: Kas tagad ir jāatrod, lai atrastu piramīdas virsotnes koordinātas? Joprojām jāaprēķina tā augstums. Tas tiek darīts, izmantojot to pašu Pitagora teorēmu: vispirms pierādiet to (triviāli no maziem trīsstūriem, kas veido kvadrātu pie pamatnes). Kopš nosacījuma mums ir:

Tagad viss ir gatavs: virsotņu koordinātas:

Mēs sastādām plaknes vienādojumu:

Jūs jau esat eksperts noteicošo faktoru aprēķināšanā. Viegli saņemsi:

Vai citādi (ja mēs reizinām abas daļas ar divu sakni)

Tagad atradīsim plaknes vienādojumu:

(Jūs taču neaizmirsāt, kā mēs iegūstam plaknes vienādojumu, vai ne? Ja nesaprotat, no kurienes šis mīnus viens, tad atgriezieties pie plaknes vienādojuma definīcijas! Tas vienkārši vienmēr izrādījās pirms tam ka mana lidmašīna piederēja izcelsmei!)

Mēs aprēķinām determinantu:

(Varat pamanīt, ka plaknes vienādojums sakrita ar taisnes vienādojumu, kas iet caur punktiem, un! Padomājiet, kāpēc!)

Tagad mēs aprēķinām leņķi:

Mums jāatrod sinuss:

Atbilde:

3. Sarežģīts jautājums: kas ir taisnstūra prizma, kā jūs domājat? Tas ir tikai jums labi zināms paralēlskaldnis! Uzreiz zīmēju! Jūs pat nevarat atsevišķi attēlot pamatni, šeit no tā ir maz jēgas:

Plakne, kā jau minēts iepriekš, ir uzrakstīta kā vienādojums:

Tagad mēs veidojam lidmašīnu

Mēs nekavējoties sastādām plaknes vienādojumu:

Meklē leņķi

Tagad atbildes uz pēdējām divām problēmām:

Nu, tagad ir laiks paņemt pārtraukumu, jo mēs ar jums esam lieliski un esam paveikuši lielisku darbu!

Koordinātas un vektori. Augsts līmenis

Šajā rakstā mēs ar jums apspriedīsim vēl vienu problēmu klasi, ko var atrisināt, izmantojot koordinātu metodi: attāluma problēmas. Proti, mēs izskatīsim šādus gadījumus:

1. Attāluma aprēķināšana starp šķībām līnijām.

Dotos uzdevumus esmu pasūtījis, pieaugot to sarežģītībai. Visvieglāk ir atrast attālums no punkta līdz plaknei un grūtākais ir atrast attālums starp krustojošām līnijām. Lai gan, protams, nekas nav neiespējams! Nevilcināsim un nekavējoties pāriesim pie pirmās klases problēmu izskatīšanas:

Attāluma aprēķināšana no punkta līdz plaknei

Kas mums ir nepieciešams, lai atrisinātu šo problēmu?

1. Punkta koordinātas

Tātad, tiklīdz mēs iegūstam visus nepieciešamos datus, mēs izmantojam formulu:

Jums jau vajadzētu zināt, kā mēs veidojam plaknes vienādojumu no iepriekšējām problēmām, kuras es analizēju pēdējā daļā. Tūlīt ķersimies pie lietas. Shēma ir šāda: 1, 2 - es palīdzu jums izlemt, un diezgan detalizēti, 3, 4 - tikai atbilde, jūs pats pieņemat lēmumu un salīdziniet. Sākās!

Uzdevumi:

1. Dots kubs. Kuba malas garums ir Find-di-te attālums no se-re-di-ny no griezuma līdz plakanam

2. Ņemot vērā labo-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe malu simts-ro-uz os-no-va-nia ir vienāds. Atrodi-di-tos attālumus no punkta līdz plaknei, kur - se-re-di-uz malām.

3. Labajā trīsstūrī pi-ra-mi-de ar os-but-va-ni-em otra mala ir vienāda, un viena simts-ro-on os-no-va-niya ir vienāda. Atrodiet šos attālumus no augšas līdz plaknei.

4. Labās puses sešogļu prizmā visas malas ir vienādas. Atrodiet šos attālumus no punkta līdz plaknei.

Risinājumi:

1. Uzzīmējiet kubu ar atsevišķām malām, izveidojiet segmentu un plakni, segmenta vidu apzīmējiet ar burtu

.

Pirmkārt, sāksim ar vienkāršu: atrodiet punkta koordinātas. Kopš tā laika (atcerieties segmenta vidus koordinātas!)

Tagad mēs sastādām plaknes vienādojumu trīs punktos

\[\pa kreisi| (\begin(masīvs)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(masīvs)) \right| = 0\]

Tagad es varu sākt meklēt attālumu:

2. Atkal sākam ar zīmējumu, uz kura atzīmējam visus datus!

Piramīdai būtu lietderīgi tās pamatu uzzīmēt atsevišķi.

Pat tas, ka es zīmēju kā vistas ķepa, netraucēs mums viegli atrisināt šo problēmu!

Tagad ir viegli atrast punkta koordinātas

Tā kā punkta koordinātas

2. Tā kā punkta a koordinātas ir nogriežņa vidusdaļa, tad

Mēs viegli varam atrast koordinātas vēl diviem plaknes punktiem. Mēs sastādām plaknes vienādojumu un vienkāršojam to:

\[\pa kreisi| (\left| (\begin(masīvs)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(masīvs)) \right|) \right| = 0\]

Tā kā punktam ir koordinātes: , tad mēs aprēķinām attālumu:

Atbilde (ļoti reti!):

Nu vai tu saprati? Man šķiet, ka šeit viss ir tikpat tehniski kā piemēros, ko mēs izskatījām ar jums iepriekšējā daļā. Tāpēc esmu pārliecināts, ka, ja esat apguvis šo materiālu, jums nebūs grūti atrisināt atlikušās divas problēmas. Es tikai sniegšu jums atbildes:

Attāluma aprēķināšana no līnijas līdz plaknei

Patiesībā šeit nav nekā jauna. Kā līnija un plakne var atrasties viena pret otru? Viņiem ir visas iespējas: krustoties, vai taisne ir paralēla plaknei. Kāds, jūsuprāt, ir attālums no taisnes līdz plaknei, ar kuru dotā taisne krustojas? Man šķiet, ka ir skaidrs, ka šāds attālums ir vienāds ar nulli. Neinteresants gadījums.

Otrais gadījums ir sarežģītāks: šeit attālums jau nav nulle. Tomēr, tā kā līnija ir paralēla plaknei, tad katrs līnijas punkts atrodas vienādā attālumā no šīs plaknes:

Tādējādi:

Un tas nozīmē, ka mans uzdevums ir samazināts līdz iepriekšējam: mēs meklējam jebkura taisnes punkta koordinātas, mēs meklējam plaknes vienādojumu, mēs aprēķinām attālumu no punkta līdz plaknei. Faktiski šādi uzdevumi eksāmenā ir ārkārtīgi reti. Man izdevās atrast tikai vienu problēmu, un tajā esošie dati bija tādi, ka koordinātu metode tai nebija īpaši piemērojama!

Tagad pāriesim pie citas, daudz svarīgākas problēmu klases:

Punkta attāluma līdz taisnei aprēķināšana

Kas mums būs vajadzīgs?

1. Punkta koordinātas, no kuras mēs meklējam attālumu:

2. Jebkura punkta koordinātas, kas atrodas uz taisnes

3. Taisnes virziena vektora koordinātas

Kādu formulu mēs izmantojam?

Ko jums nozīmē šīs daļas saucējs, un tāpēc ir jābūt skaidram: tas ir taisnes virzošā vektora garums. Šeit ir ļoti viltīgs skaitītājs! Izteiksme nozīmē vektoru vektorreizes moduli (garumu) un Kā aprēķināt vektoru reizinājumu, mēs pētījām iepriekšējā darba daļā. Atsvaidzini savas zināšanas, tās mums tagad ļoti noderēs!

Tādējādi problēmu risināšanas algoritms būs šāds:

1. Mēs meklējam punkta koordinātas, no kuras mēs meklējam attālumu:

2. Mēs meklējam jebkura punkta koordinātas uz līnijas, līdz kurai mēs meklējam attālumu:

3. Vektora veidošana

4. Veidojam taisnes virziena vektoru

5. Aprēķiniet šķērsreizinājumu

6. Mēs meklējam iegūtā vektora garumu:

7. Aprēķiniet attālumu:

Mums ir daudz darba, un piemēri būs diezgan sarežģīti! Tāpēc tagad koncentrējiet visu savu uzmanību!

1. Dana ir labās puses trīsstūrveida pi-ra-mi-da ar virsotni. Simts-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy ir vienāds, jūs-so-ta ir vienāds. Atrodiet tos attālumus no bo-ko-th malas se-re-di-ny līdz taisnei, kur punkti un ir ribu se-re-di-ny un co-vet -stven-but.

2. Ribu garumi un taisnleņķa-no-para-ral-le-le-pi-pe-da ir attiecīgi vienādi, un Find-di-te attālums no top-shi-ny līdz taisnā-my.

3. Labajā sešu ogļu prizmā visas spieta malas ir vienādas, atrodiet to attālumu no punkta līdz taisnai līnijai.

Risinājumi:

1. Izgatavojam glītu zīmējumu, uz kura atzīmējam visus datus:

Mums jums ir daudz darba! Vispirms vēlos vārdos aprakstīt, ko mēs meklēsim un kādā secībā:

1. Punktu koordinātes un

2. Punkta koordinātas

3. Punktu koordinātes un

4. Vektoru koordinātas un

5. Viņu krustojums

6. Vektora garums

7. Vektora reizinājuma garums

8. Attālums no līdz

Nu, mums ir daudz darba! Uzrotīsim piedurknes!

1. Lai atrastu piramīdas augstuma koordinātas, mums jāzina punkta koordinātas, kuras aplikācija ir nulle, un ordināta ir vienāda ar tās abscisu. Visbeidzot, mēs saņēmām koordinātas:

Punkta koordinātas

2. - segmenta vidusdaļa

3. - segmenta vidusdaļa

viduspunkts

4.Koordinātas

Vektoru koordinātas

5. Aprēķiniet vektora reizinājumu:

6. Vektora garums: vienkāršākais veids ir aizstāt to, ka segments ir trijstūra viduslīnija, kas nozīmē, ka tas ir vienāds ar pusi no pamatnes. Tā ka.

7. Mēs ņemam vērā vektora reizinājuma garumu:

8. Visbeidzot atrodiet attālumu:

Fu, tas arī viss! Godīgi sakot, es jums teikšu: atrisināt šo problēmu ar tradicionālām metodēm (ar konstrukciju palīdzību) būtu daudz ātrāk. Bet te es visu samazināju līdz gatavam algoritmam! Es domāju, ka risinājuma algoritms jums ir skaidrs? Tāpēc es lūgšu jums pašiem atrisināt atlikušās divas problēmas. Vai salīdzināt atbildes?

Vēlreiz atkārtoju: šīs problēmas ir vieglāk (ātrāk) atrisināt ar konstrukciju palīdzību, nevis ķerties pie koordinātu metodes. Es demonstrēju šo risināšanas veidu, lai parādītu jums universālu metodi, kas ļauj "neko nepabeigt".

Visbeidzot, apsveriet pēdējo problēmu klasi:

Attāluma aprēķināšana starp šķībām līnijām

Šeit problēmu risināšanas algoritms būs līdzīgs iepriekšējam. Kas mums ir:

3. Jebkurš vektors, kas savieno pirmās un otrās līnijas punktus:

Kā mēs atrodam attālumu starp līnijām?

Formula ir:

Skaitītājs ir jauktā reizinājuma modulis (mēs to ieviesām iepriekšējā daļā), un saucējs - tāpat kā iepriekšējā formulā (līniju virzošo vektoru vektorprodukta modulis, attālums, starp kuru mēs skatāmies priekš).

Es jums to atgādināšu

tad attāluma formulu var pārrakstīt kā:

Sadaliet šo noteicēju ar determinantu! Lai gan, godīgi sakot, man te nav noskaņojuma jokiem! Šī formula, patiesībā, ir ļoti apgrūtinoši un rada diezgan sarežģītus aprēķinus. Ja es būtu tavā vietā, es to izmantotu tikai kā pēdējo līdzekli!

Mēģināsim atrisināt dažas problēmas, izmantojot iepriekš minēto metodi:

1. Labajā trīsstūra prizmā visas malas ir kaut kā vienādas, atrodiet attālumu starp taisnēm un.

2. Ņemot vērā taisnās priekšējās formas trīsstūrveida prizmu, visas kāda os-no-va-niya malas ir vienādas ar Se-che-tion, kas iet caur otru ribu un se-re-di-nu ribas ir yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie starp taisni-mēs-mi un

Es izlemju pirmo, un, pamatojoties uz to, jūs izlemjat otro!

1. Uzzīmēju prizmu un atzīmēju līnijas un

C punkta koordinātas: tad

Punkta koordinātas

Vektoru koordinātas

Punkta koordinātas

Vektoru koordinātas

Vektoru koordinātas

\[\left((B,\overright bultiņa (A(A_1)) \overright bultiņa (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(masīvs))\\(\begin(masīvs)(*(20) (c))0&0&1\end(masīvs))\\(\begin(masīvs)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(masīvs))\end(masīvs)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Mēs uzskatām krustojumu starp vektoriem un

\[\overright arrow (A(A_1)) \cdot \overright arrow (B(C_1)) = \left| \begin(masīvs)(l)\begin(masīvs)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(masīvs)\\\begin(masīvs) )(*(20)(c))0&0&1\end(masīvs)\\\begin(masīvs)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(masīvs)\end(masīvs) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Tagad mēs ņemam vērā tā garumu:

Atbilde:

Tagad mēģiniet rūpīgi izpildīt otro uzdevumu. Atbilde uz to būs:.

Koordinātas un vektori. Īss apraksts un pamatformulas

Vektors ir virzīts segments. - vektora sākums, - vektora beigas.
Vektoru apzīmē ar vai.

Absolūtā vērtība vektors - vektoru attēlojošā segmenta garums. Apzīmēts kā.

Vektoru koordinātas:

,
kur ir vektora \displaystyle a gali.

Vektoru summa: .

Vektoru reizinājums:

Vektoru punktu reizinājums: