Relatīvo un absolūto mērījumu kļūdu aprēķins. Relatīvā un absolūtā kļūda: jēdziens, aprēķins un īpašības

Daudzu dabā sastopamu daudzumu mērījumi nevar būt precīzi. Mērījums dod skaitli, kas izsaka vērtību ar dažādu precizitātes pakāpi (garuma mērīšana ar precizitāti 0,01 cm, funkcijas vērtības aprēķins punktā ar precizitāti līdz utt.), tas ir, aptuveni ar kāda kļūda. Kļūdu var iestatīt iepriekš, vai, gluži pretēji, tā ir jāatrod.

Kļūdu teorijas izpētes priekšmets galvenokārt ir aptuvenie skaitļi. Aprēķinot, nevis parasti izmanto aptuvenus skaitļus: (ja precizitāte nav īpaši svarīga), (ja ir svarīga precizitāte). Kā veikt aprēķinus ar aptuveniem skaitļiem, noteikt to kļūdas - tā ir aptuveno aprēķinu teorija (kļūdu teorija).

Turpmāk precīzi skaitļi tiks apzīmēti ar lielajiem burtiem, bet attiecīgie aptuvenie skaitļi tiks apzīmēti ar mazajiem burtiem.

Kļūdas, kas rodas vienā vai otrā problēmas risināšanas posmā, var iedalīt trīs veidos:

1) Problēmas kļūda. Šāda veida kļūda rodas, būvējot matemātiskais modelis parādības. Ne vienmēr ir iespējams ņemt vērā visus faktorus un to ietekmes pakāpi uz gala rezultātu. Tas ir, objekta matemātiskais modelis nav precīzs tā attēls, tā apraksts nav precīzs. Šāda kļūda ir neizbēgama.

2) Metodes kļūda. Šī kļūda rodas, aizstājot sākotnējo matemātisko modeli ar vienkāršotāku, piemēram, dažās korelācijas analīzes problēmās ir pieņemams lineārais modelis. Šāda kļūda ir noņemama, jo aprēķina posmos to var samazināt līdz patvaļīgi mazai vērtībai.

3) Aprēķinu ("mašīnas") kļūda. Rodas, kad dators veic aritmētiskās darbības.

Definīcija 1.1. Ļaujiet būt - precīza vērtība daudzumi (skaitļi), - tā paša daudzuma aptuvenā vērtība (). Patiesa absolūta kļūda aptuvenais skaitlis ir precīzās un aptuvenās vērtības starpības modulis:

. (1.1)

Pieņemsim, piemēram, =1/3. Aprēķinot pēc MK, viņi deva rezultātu, dalot 1 ar 3 kā aptuvenu skaitli = 0,33. Tad .

Tomēr patiesībā vairumā gadījumu precīza daudzuma vērtība nav zināma, kas nozīmē, ka (1.1) nevar pielietot, tas ir, nevar atrast patieso absolūto kļūdu. Tāpēc tiek ieviesta cita vērtība, kas kalpo kā aplēses (augšējā robeža ).

Definīcija 1.2. Ierobežojiet absolūto kļūdu aptuvens skaitlis, kas attēlo nezināmu precīzu skaitli, tiek saukts par tādu, iespējams, mazāku skaitli, kas nepārsniedz patieso absolūta kļūda, t.i . (1.2)

Aptuvenam daudzumu skaitam, kas apmierina nevienādību (1,2), to ir bezgalīgi daudz, bet vērtīgākais no tiem būs mazākais no visiem atrastajiem. No (1.2), pamatojoties uz moduļa definīciju, mēs esam vai saīsināti kā vienādība

. (1.3)

Vienādība (1.3) nosaka robežas, kurās atrodas nezināms precīzs skaitlis (saka, ka aptuvens skaitlis izsaka precīzu skaitli ar ierobežojošu absolūtu kļūdu). Ir viegli redzēt, ka jo mazāks, jo precīzāk tiek noteiktas šīs robežas.

Piemēram, ja noteiktas vērtības mērījumi deva rezultātu cm, bet šo mērījumu precizitāte nepārsniedza 1 cm, tad patiesais (precīzais) garums cm.

Piemērs 1.1. Dots skaitlis. Atrodiet skaitļa ierobežojošo absolūto kļūdu pēc skaitļa .

Risinājums: No vienādības (1.3) skaitlim ( =1.243; =0.0005) iegūstam dubultu nevienādību , t.i.

Tad uzdevums tiek izvirzīts šādi: atrast skaitlim ierobežojošo absolūto kļūdu, kas apmierina nevienlīdzību . Ņemot vērā nosacījumu (*), mēs iegūstam ((*) mēs atņemam no katras nevienlīdzības daļas)

Tā kā mūsu gadījumā , tad , no kurienes =0,0035.

Atbilde: =0,0035.

Ierobežojošā absolūtā kļūda bieži vien sniedz sliktu priekšstatu par mērījumu vai aprēķinu precizitāti. Piemēram, \u003d 1 m, mērot ēkas garumu, norāda, ka tie nav veikti precīzi, un tā pati kļūda \u003d\u003d 1 m, mērot attālumu starp pilsētām, dod ļoti lielu. kvalitātes novērtējums. Tāpēc tiek ieviesta cita vērtība.

Definīcija 1.3. Patiesa relatīvā kļūda skaitlis, kas ir precīza skaitļa aptuvenā vērtība, ir skaitļa patiesās absolūtās kļūdas attiecība pret paša skaitļa moduli:

. (1.4)

Piemēram, ja attiecīgi precīzās un aptuvenās vērtības, tad

Tomēr formula (1.4) nav piemērojama, ja nav zināma precīza skaitļa vērtība. Tāpēc pēc analoģijas ar ierobežojošo absolūto kļūdu tiek ieviesta ierobežojošā relatīvā kļūda.

Definīcija 1.4. Relatīvās kļūdas ierobežošana skaitli, kas ir nezināma precīza skaitļa tuvinājums, sauc par mazāko iespējamo skaitli , kuru nepārsniedz patiesā relatīvā kļūda , t.i

. (1.5)

No nevienlīdzības (1.2) mums ir ; no kurienes, ņemot vērā (1.5.)

Formulai (1.6) ir lielāka praktiskā pielietojamība, salīdzinot ar (1.5), jo precīzā vērtība tajā nepiedalās. Ņemot vērā (1.6) un (1.3), var atrast robežas, kas satur precīzu nezināmā lieluma vērtību.

Ļaujiet dažiem nejauša vērtība a izmērīts n reizes ar tādiem pašiem nosacījumiem. Mērījumu rezultāti deva komplektu n dažādi skaitļi

Absolūta kļūda- izmēru vērtība. Starp n absolūto kļūdu vērtības noteikti atbilst gan pozitīvajām, gan negatīvajām.

Par daudzuma visticamāko vērtību bet parasti ņem vidēji mērījumu rezultātu nozīme

Kā vairāk numuru mērījumiem, jo tuvāk vidējā vērtība ir patiesajai vērtībai.

Absolūta kļūdai

Relatīvā kļūdai dimensiju sauc par daudzumu

Relatīvā kļūda ir bezdimensijas lielums. Parasti relatīvo kļūdu izsaka procentos e i reiziniet ar 100%. Relatīvās kļūdas vērtība raksturo mērījumu precizitāti.

Vidējā absolūtā kļūda ir definēts šādi:

Uzsvērsim nepieciešamību summēt lielumu D absolūtās vērtības (moduļus). un es. Pretējā gadījumā tiks iegūts identisks nulles rezultāts.

Vidējā relatīvā kļūda sauc par daudzumu

Plkst lieli skaitļi mērījumi.

Relatīvo kļūdu var uzskatīt par kļūdas vērtību uz izmērītā daudzuma vienību.

Mērījumu precizitāte tiek vērtēta, pamatojoties uz mērījumu rezultātu kļūdu salīdzinājumu. Līdz ar to mērījumu kļūdas tiek izteiktas tādā formā, ka, lai novērtētu precizitāti, pietiktu salīdzināt tikai rezultātu kļūdas, nesalīdzinot uzmērīto objektu izmērus vai ļoti aptuveni nezinot šos izmērus. No prakses ir zināms, ka leņķa mērīšanas absolūtā kļūda nav atkarīga no leņķa vērtības, un absolūtā garuma mērīšanas kļūda ir atkarīga no garuma vērtības. Jo lielāka ir garuma vērtība, jo lielāka absolūtā kļūda noteiktai metodei un mērījumu apstākļiem. Tāpēc pēc rezultāta absolūtās kļūdas var spriest par leņķa mērīšanas precizitāti, bet nevar spriest par garuma mērīšanas precizitāti. Kļūdas izteiksme relatīvā formā ļauj atsevišķos gadījumos salīdzināt leņķisko un lineāro mērījumu precizitāti.

Varbūtību teorijas pamatjēdzieni. Izlases kļūda.

Izlases kļūda sauc par mērījumu kļūdas sastāvdaļu, kas nejauši mainās, veicot atkārtotus viena un tā paša lieluma mērījumus.

Veicot atkārtotus viena un tā paša nemainīga, nemainīga lieluma mērījumus ar tādu pašu rūpību un vienādos apstākļos, mēs iegūstam mērījumu rezultātus - daži no tiem atšķiras viens no otra, un daži no tiem sakrīt. Šādas mērījumu rezultātu neatbilstības liecina par nejaušu kļūdu komponentu klātbūtni tajos.

Gadījuma kļūda rodas no daudzu avotu vienlaicīgas darbības, no kuriem katrs pats par sevi nemanāmi ietekmē mērījumu rezultātu, bet visu avotu kopējā ietekme var būt diezgan spēcīga.

Nejaušas kļūdas ir neizbēgamas jebkura mērījuma sekas, un to cēlonis ir:

a) neprecīzi instrumentu un instrumentu skalas rādījumi;

b) atkārtotiem mērījumiem nav identiski apstākļi;

c) nejaušas izmaiņas ārējiem apstākļiem(temperatūra, spiediens, spēka lauks utt.), ko nevar kontrolēt;

d) visas pārējās ietekmes uz mērījumiem, kuru cēloņi mums nav zināmi. Nejaušas kļūdas lielumu var samazināt, atkārtoti atkārtojot eksperimentu un atbilstoši matemātiski apstrādājot rezultātus.

Nejauša kļūda var iegūt dažādas absolūtās vērtības, kuras nevar paredzēt konkrētam mērījuma aktam. Šī kļūda var būt gan pozitīva, gan negatīva. Eksperimentā vienmēr ir nejaušas kļūdas. Ja nav sistemātisku kļūdu, tie izraisa atkārtotu mērījumu izkliedi par patieso vērtību.

Pieņemsim, ka ar hronometra palīdzību izmērām svārsta svārstību periodu, un mērījumu atkārto daudzas reizes. Kļūdas, iedarbinot un apturot hronometru, kļūda atsauces vērtībā, neliela nevienmērīga svārsta kustība - tas viss izraisa atkārtotu mērījumu rezultātu izkliedi un tāpēc var tikt klasificētas kā nejaušas kļūdas.

Ja nav citu kļūdu, daži rezultāti būs nedaudz pārvērtēti, bet citi būs nedaudz par zemu novērtēti. Bet, ja papildus tam ir arī pulkstenis, tad visi rezultāti tiks novērtēti par zemu. Tā jau ir sistemātiska kļūda.

Daži faktori vienlaikus var izraisīt gan sistemātiskas, gan nejaušas kļūdas. Tātad, ieslēdzot un izslēdzot hronometru, mēs varam izveidot nelielu neregulāru izkliedi pulksteņa palaišanas un apturēšanas brīžos attiecībā pret svārsta kustību un tādējādi ieviest nejaušu kļūdu. Bet, ja turklāt katru reizi, kad steidzamies ieslēgt hronometru un nedaudz kavējamies to izslēgt, tas radīs sistemātisku kļūdu.

Nejaušas kļūdas rada paralakses kļūda, nolasot instrumenta skalas dalījumus, ēkas pamatu kratīšana, nelielas gaisa kustības ietekme u.c.

Lai gan nav iespējams izslēgt atsevišķu mērījumu nejaušas kļūdas, matemātiskā teorija nejaušas parādības ļauj samazināt šo kļūdu ietekmi uz galīgo mērījumu rezultātu. Tālāk tiks parādīts, ka šim nolūkam ir jāveic nevis viens, bet vairāki mērījumi, un, jo mazāku kļūdas vērtību vēlamies iegūt, jo vairāk mērījumu ir jāveic.

Sakarā ar to, ka nejaušu kļūdu rašanās ir neizbēgama un neizbēgama, jebkura mērījumu procesa galvenais uzdevums ir samazināt kļūdas līdz minimumam.

Kļūdu teorija balstās uz diviem galvenajiem pieņēmumiem, ko apstiprina pieredze:

1. Ar lielu mērījumu skaitu, nejaušas kļūdas vienāda lieluma, bet atšķirīga zīme, t.i., kļūdas rezultāta palielināšanas un samazināšanas virzienā ir diezgan izplatītas.

2. Lielas absolūtās kļūdas ir retāk sastopamas nekā mazas, tāpēc kļūdas iespējamība samazinās, palielinoties tās vērtībai.

Nejaušo lielumu uzvedību raksturo statistiskās likumsakarības, kas ir varbūtības teorijas priekšmets. Statistiskā varbūtības definīcija w i attīstību i ir attieksme

kur n - kopējais skaits eksperimenti, n i- eksperimentu skaits, kuros notikums i noticis. Šajā gadījumā kopējam eksperimentu skaitam jābūt ļoti lielam ( n®¥). Ar lielu skaitu mērījumu nejaušas kļūdas pakļaujas normālam sadalījumam (Gausa sadalījumam), kura galvenās iezīmes ir šādas:

1. Jo lielāka ir izmērītās vērtības vērtības novirze no patiesās vērtības, jo mazāka ir šāda rezultāta iespējamība.

2. Novirzes abos virzienos no patiesās vērtības ir vienlīdz iespējamas.

No iepriekšminētajiem pieņēmumiem izriet, ka, lai samazinātu nejaušo kļūdu ietekmi, nepieciešams šo lielumu mērīt vairākas reizes. Pieņemsim, ka mēs izmērām kādu vērtību x. Ļaujiet ražot n mērījumi: x 1 , x 2 , ... x n- ar tādu pašu metodi un ar tādu pašu rūpību. Var sagaidīt, ka numurs dn iegūtos rezultātus, kas atrodas diezgan šaurā intervālā no x pirms tam x + dx, jābūt proporcionālam:

Ņemtā intervāla vērtība dx;

Kopējais mērījumu skaits n.

Varbūtība dw(x), ka kāda vērtība x atrodas intervālā no x pirms tam x+dx, definēts šādi :

(ar mērījumu skaitu n ®¥).

Funkcija f(X) sauc par sadalījuma funkciju vai varbūtības blīvumu.

Kā kļūdu teorijas postulāts tiek pieņemts, ka tiešo mērījumu rezultāti un to nejaušās kļūdas ar lielu skaitu to atbilst normālā sadalījuma likumam.

Gausa atrastā nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija x ir šāda forma:

, kur mis - sadalījuma parametri .

Normālā sadalījuma parametrs m ir vienāds ar vidējo vērtību á xñ gadījuma lielums, kuru patvaļīgai zināmai sadalījuma funkcijai nosaka integrālis

Pa šo ceļu, vērtība m ir izmērītās vērtības x visticamākā vērtība, t.i. viņas labākā aplēse.

Normālā sadalījuma parametrs s 2 ir vienāds ar nejaušā lieluma dispersiju D, ko parasti nosaka šāds integrālis

Kvadrātsakne no dispersijas sauc par nejaušā mainīgā standarta novirzi.

Gadījuma lieluma ásñ vidējo novirzi (kļūdu) nosaka, izmantojot sadalījuma funkciju šādi

Vidējā mērījuma kļūda ásñ, kas aprēķināta no Gausa sadalījuma funkcijas, ir saistīta ar standartnovirzi s šādi:

< s > = 0,8 s.

Parametri s un m ir saistīti šādi:

Šī izteiksme ļauj atrast standarta novirzi s, ja ir normālā sadalījuma līkne.

Gausa funkcijas grafiks ir parādīts attēlos. Funkcija f(x) ir simetrisks attiecībā pret punktā novilkto ordinātu x= m; punktā iziet cauri maksimumam x= m un ir locījums punktos m ±s. Tādējādi dispersija raksturo sadalījuma funkcijas platumu vai parāda, cik plaši nejaušā lieluma vērtības ir izkliedētas attiecībā pret tā patieso vērtību. Kā precīzs mērījums, jo tuvāk patiesajai vērtībai ir atsevišķu mērījumu rezultāti, t.i. s vērtība ir mazāka. Attēlā A parādīta funkcija f(x) trim vērtībām s .

Figūras laukums, ko ierobežo līkne f(x) un vertikālās līnijas, kas novilktas no punktiem x 1 un x 2 (B att.) , ir skaitliski vienāds ar varbūtību, ka mērījuma rezultāts ietilpst intervālā D x = x 1 - x 2 , ko sauc par ticamības līmeni. Platība zem visas līknes f(x) ir vienāds ar varbūtību, ka gadījuma lielums iekrīt intervālā no 0 līdz ¥, t.i.

jo noteikta notikuma varbūtība ir vienāda ar vienu.

Izmantojot normālo sadalījumu, kļūdu teorija rada un atrisina divas galvenās problēmas. Pirmais ir mērījumu precizitātes novērtējums. Otrais ir mērījumu rezultātu vidējā aritmētiskā precizitātes novērtējums.5. Ticamības intervāls. Studenta koeficients.

Varbūtības teorija ļauj noteikt intervāla lielumu, kurā ar zināmu varbūtību w ir atsevišķu mērījumu rezultāti. Šo varbūtību sauc pārliecības līmenis, un atbilstošais intervāls (<x>±D x)w sauca ticamības intervāls. Uzticamības līmenis ir arī vienāds ar to rezultātu relatīvo proporciju, kas ietilpst ticamības intervālā.

Ja mērījumu skaits n ir pietiekami liels, tad ticamības varbūtība izsaka proporciju no kopējā skaitļa n tie mērījumi, kuros izmērītā vērtība atradās ticamības intervālā. Katrs pārliecības līmenis w atbilst tā ticamības intervālam w 2 80%. Jo plašāks ticamības intervāls, jo lielāka iespēja iegūt rezultātu šajā intervālā. Varbūtības teorijā tiek noteikta kvantitatīvā sakarība starp ticamības intervāla vērtību, ticamības varbūtību un mērījumu skaitu.

Ja par ticamības intervālu izvēlamies intervālu, kas atbilst vidējai kļūdai, tas ir, D a = AD betñ, tad pietiekami lielam mērījumu skaitam atbilst ticamības varbūtībai w 60%. Mērījumu skaitam samazinoties, šādam ticamības intervālam atbilstošā ticamības varbūtība (á betñ ± AD betñ) samazinās.

Tādējādi, lai novērtētu nejaušā mainīgā lieluma ticamības intervālu, var izmantot vidējās kļūdas D vērtību betñ .

Lai raksturotu nejaušas kļūdas lielumu, ir jāiestata divi skaitļi, proti, ticamības intervāla lielums un ticamības varbūtības lielums . Norāde tikai uz kļūdas lielumu bez atbilstošās ticamības varbūtības lielākoties ir bezjēdzīga.

Ja ir zināma vidējā mērījuma kļūda ásñ, ticamības intervāls tiek uzrakstīts kā (<x>±asñ) w, noteikts ar ticamības varbūtību w= 0,57.

Ja ir zināma standartnovirze s mērījumu rezultātu sadalījums, norādītajam intervālam ir forma (<x>± tw s) w, kur tw- koeficients atkarībā no ticamības varbūtības vērtības un aprēķināts pēc Gausa sadalījuma.

Visbiežāk izmantotie daudzumi D x ir parādīti 1. tabulā.

Mērījumus sauc taisni, ja lielumu vērtības nosaka tieši ar instrumentiem (piemēram, garuma mērīšana ar lineālu, laika noteikšana ar hronometru utt.). Mērījumus sauc netiešs, ja izmērītā daudzuma vērtību nosaka tieši citu lielumu mērījumi, kas saistīti ar izmērīto specifisko sakarību.

Nejaušas kļūdas tiešajos mērījumos

Absolūtā un relatīvā kļūda. Lai tas tiek turēts N tāda paša daudzuma mērījumi x ja nav sistemātisku kļūdu. Individuālie mērījumu rezultāti izskatās šādi: x 1 ,x 2 , …,x N. Izmērītā daudzuma vidējā vērtība tiek izvēlēta kā labākā:

Absolūta kļūda vienu mērījumu sauc par formas atšķirību:

Vidējā absolūtā kļūda N atsevišķi mērījumi:

(2)

sauca vidējā absolūtā kļūda.

Relatīvā kļūda ir vidējās absolūtās kļūdas attiecība pret izmērītā daudzuma vidējo vērtību:

. (3)

Instrumenta kļūdas tiešajos mērījumos

Ja nav īpašu norādījumu, instrumenta kļūda ir vienāda ar pusi no tā dalījuma vērtības (lineāls, vārglāze).

Ar noniju aprīkoto instrumentu kļūda ir vienāda ar nonija dalījuma vērtību (mikrometrs - 0,01 mm, suports - 0,1 mm).

Tabulas vērtību kļūda ir vienāda ar pusi no pēdējā cipara vienības (piecas nākamās kārtas vienības pēc pēdējā nozīmīgā cipara).

Elektrisko mērinstrumentu kļūdu aprēķina atbilstoši precizitātes klasei NO norādīts uz instrumenta skalas:

Piemēram:
Un
,

kur U maks Un es maks– ierīces mērījumu robeža.

Ierīču ar ciparu indikāciju kļūda ir vienāda ar indikācijas pēdējā cipara vienību.

Pēc nejaušo un instrumentālo kļūdu novērtēšanas tiek ņemta vērā tā, kuras vērtība ir lielāka.

Kļūdu aprēķins netiešajos mērījumos

Lielākā daļa mērījumu ir netieši. Šajā gadījumā vēlamā vērtība X ir vairāku mainīgo funkcija bet,b, c… , kuru vērtības var atrast ar tiešiem mērījumiem: Х = f( a, b, c…).

Netiešo mērījumu rezultāta vidējais aritmētiskais būs vienāds ar:

X = f( a, b, c…).

Viens no kļūdas aprēķināšanas veidiem ir veids, kā diferencēt funkcijas X = f() naturālo logaritmu a, b, c...). Ja, piemēram, vēlamo vērtību X nosaka sakarība X = , tad pēc logaritma ņemšanas iegūstam: lnX = ln a+ln b+ln( c+ d).

Šīs izteiksmes atšķirība ir šāda:

Attiecībā uz aptuveno vērtību aprēķinu relatīvo kļūdu var uzrakstīt formā:

 =
. (4)

Absolūto kļūdu šajā gadījumā aprēķina pēc formulas:

Х = Х (5)

Tādējādi kļūdu aprēķins un netiešo mērījumu rezultāta aprēķins tiek veikts šādā secībā:

1) Veiciet visu sākotnējā formulā iekļauto daudzumu mērījumus, lai aprēķinātu gala rezultātu.

2) Aprēķiniet katras izmērītās vērtības vidējās aritmētiskās vērtības un to absolūtās kļūdas.

3) Sākotnējā formulā aizstājiet visu izmērīto vērtību vidējās vērtības un aprēķiniet vēlamās vērtības vidējo vērtību:

X = f( a, b, c…).

4) Ņem sākotnējās formulas logaritmu X = f( a, b, c...) un pierakstiet relatīvās kļūdas izteiksmi formulas (4) veidā.

5) Aprēķināt relatīvo kļūdu  = .

6) Aprēķiniet rezultāta absolūto kļūdu, izmantojot formulu (5).

7) Gala rezultāts tiek uzrakstīts šādi:

X \u003d X salīdz. X

Vienkāršāko funkciju absolūtās un relatīvās kļūdas ir norādītas tabulā:

Absolūti

kļūda

Radinieks

kļūda

a+ b

a+ b

Mērinstrumentam raksturīgo kļūdu, izvēlētās metodes un mērīšanas tehnikas, ārējo apstākļu, kādos mērījums tiek veikts, atšķirību no noteiktajiem un citu iemeslu dēļ gandrīz katra mērījuma rezultāts ir noslogots ar kļūdu. Šo kļūdu aprēķina vai novērtē un attiecina uz iegūto rezultātu.

Mērījumu kļūda(īsi - mērījuma kļūda) - mērījuma rezultāta novirze no izmērītā daudzuma patiesās vērtības.

Daudzuma patiesā vērtība kļūdu klātbūtnes dēļ joprojām nav zināma. To izmanto, lai atrisinātu teorētiskie uzdevumi metroloģija. Praksē tiek izmantota daudzuma faktiskā vērtība, kas aizstāj patieso vērtību.

Mērījumu kļūdu (Δx) nosaka pēc formulas:

x = x mērs. - x faktiskais (1.3)

kur x nozīmē. - uz mērījumu pamata iegūtā daudzuma vērtību; x faktiskais ir daudzuma vērtība, kas pieņemta kā reāla.

Reālā vērtība atsevišķiem mērījumiem bieži tiek ņemta par vērtību, kas iegūta ar parauga mērinstrumenta palīdzību, atkārtotiem mērījumiem - šajā sērijā iekļauto atsevišķu mērījumu vērtību vidējo aritmētisko.

Mērījumu kļūdas var klasificēt pēc šādiem kritērijiem:

Pēc izpausmes būtības - sistemātiska un nejauša;

Izteiksmes veidā - absolūtais un relatīvais;

Atbilstoši izmērītās vērtības maiņas nosacījumiem - statiskā un dinamiskā;

Saskaņā ar apstrādes metodi vairāki mērījumi - aritmētisko un vidējo kvadrātu;

Atbilstoši mērīšanas uzdevuma pārklājuma pilnīgumam - privāts un pilnīgs;

Attiecīgi pret vienību fiziskais daudzums— vienības reproducēšanas, agregāta uzglabāšanas un vienības izmēra pārraides kļūdas.

Sistemātiska mērījumu kļūda(īsi - sistemātiskā kļūda) - mērījumu rezultāta kļūdas sastāvdaļa, kas paliek nemainīga noteiktai mērījumu sērijai vai regulāri mainās, veicot atkārtotus viena un tā paša fiziskā lieluma mērījumus.

Pēc izpausmes veida sistemātiskās kļūdas iedala nemainīgās, progresīvās un periodiskās. Pastāvīgas sistemātiskas kļūdas(īsi - pastāvīgas kļūdas) - kļūdas, ilgu laiku saglabājot to vērtību (piemēram, visas mērījumu sērijas laikā). Šis ir visizplatītākais kļūdu veids.

Progresējošas sistemātiskas kļūdas(īsi - progresīvas kļūdas) - nepārtraukti pieaugošas vai samazinošas kļūdas (piemēram, kļūdas mērīšanas uzgaļu nodiluma dēļ, kas slīpēšanas laikā saskaras ar detaļu, kad to vada aktīva vadības ierīce).

Periodiska sistemātiska kļūda(īsumā - periodiska kļūda) - kļūda, kuras vērtība ir laika funkcija vai rādītāja kustības funkcija mērierīce(piemēram, ekscentricitātes klātbūtne goniometros ar apļveida skalu izraisa sistemātisku kļūdu, kas mainās atkarībā no periodiska likuma).

Pamatojoties uz sistemātisko kļūdu rašanās iemesliem, ir instrumentālās kļūdas, metožu kļūdas, subjektīvās kļūdas un kļūdas, kas radušās ārējo mērījumu nosacījumu novirzes dēļ no noteiktajām metodēm.

Instrumentālā mērījuma kļūda(īsumā - instrumentālā kļūda) ir vairāku iemeslu rezultāts: ierīces daļu nodilums, pārmērīga berze ierīces mehānismā, neprecīzi gājieni uz skalas, neatbilstība starp faktisko un nominālās vērtības pasākumi utt.

Mērīšanas metodes kļūda(īsumā - metodes kļūda) var rasties mērīšanas metodes nepilnību vai tās vienkāršojumu dēļ, kas konstatēti mērīšanas procedūrā. Piemēram, šāda kļūda var būt saistīta ar mērīšanas līdzekļu nepietiekamo ātrumu, mērot ātru procesu parametrus, vai neuzskaitītiem piemaisījumiem, nosakot vielas blīvumu, pamatojoties uz tās masas un tilpuma mērīšanas rezultātiem.

Subjektīva mērījuma kļūda(īsi - subjektīva kļūda) ir saistīta ar operatora individuālajām kļūdām. Dažreiz šo kļūdu sauc par personisko atšķirību. To izraisa, piemēram, operatora signāla pieņemšanas kavēšanās vai progresēšana.

Novirzes kļūda(vienā virzienā) ārējo mērīšanas nosacījumu no tiem, kas noteikti ar mērīšanas procedūru, izraisa sistemātiskas mērījumu kļūdas komponentes rašanos.

Sistemātiskas kļūdas izkropļo mērījumu rezultātu, tāpēc tās iespēju robežās ir jānovērš, ieviešot korekcijas vai pielāgojot instrumentu tā, lai sistemātiskās kļūdas tiktu samazinātas līdz pieņemamam minimumam.

Neizslēgta sistemātiska kļūda(īsi - neizslēgtā kļūda) - tā ir mērījuma rezultāta kļūda, kas radusies kļūdas dēļ, aprēķinot un ieviešot sistemātiskas kļūdas ietekmes korekciju, vai neliela sistemātiska kļūda, kuras labojums netiek ieviests mazums.

Šāda veida kļūdas dažreiz tiek sauktas par neizslēgtie novirzes atlikumi(īsumā - neizslēgtie atlikumi). Piemēram, mērot līnijas metra garumu atskaites starojuma viļņu garumos, atklājās vairākas neizslēdzamas sistemātiskas kļūdas (i): neprecīza temperatūras mērījuma dēļ - 1 ; gaisa laušanas koeficienta neprecīzas noteikšanas dēļ - 2, neprecīzas viļņa garuma vērtības dēļ - 3.

Parasti tiek ņemta vērā neizslēgto sistemātisko kļūdu summa (tiek noteiktas to robežas). Ja terminu skaits N ≤ 3, neizslēgto sistemātisko kļūdu robežas aprēķina pēc formulas

Ja terminu skaits ir N ≥ 4, aprēķiniem izmanto formulu

(1.5)

kur k ir neizslēgto sistemātisko kļūdu atkarības koeficients no izvēlētās ticamības varbūtības P ar to vienmērīgu sadalījumu. Ja P = 0,99, k = 1,4, pie P = 0,95, k = 1,1.

Izlases mērījuma kļūda(īsi - nejauša kļūda) - mērījumu rezultāta kļūdas sastāvdaļa, kas nejauši mainās (zīmē un vērtībā) vienāda lieluma fiziskā lieluma mērījumu sērijā. Gadījuma kļūdu cēloņi: noapaļošanas kļūdas nolasot rādījumus, rādījumu variācijas, nejauša rakstura mērījumu apstākļu izmaiņas u.c.

Nejaušas kļūdas izraisa mērījumu rezultātu izkliedi sērijā.

Kļūdu teorija balstās uz diviem noteikumiem, ko apstiprina prakse:

1. Ar lielu mērījumu skaitu vienlīdz bieži rodas nejaušas kļūdas ar tādu pašu skaitlisko vērtību, bet ar citu zīmi;

2. Lielas (absolūtā vērtībā) kļūdas ir retāk sastopamas nekā mazas.

No pirmās pozīcijas izriet praksei svarīgs secinājums: palielinoties mērījumu skaitam, mērījumu sērijas iegūtā rezultāta nejaušā kļūda samazinās, jo šīs sērijas atsevišķu mērījumu kļūdu summai ir tendence uz nulli, ti

(1.6)

Piemēram, mērījumu rezultātā tika iegūta vērtību sērija elektriskā pretestība(kas tiek koriģēti, ņemot vērā sistemātisko kļūdu ietekmi): R 1 = 15,5 omi, R 2 = 15,6 omi, R 3 = 15,4 omi, R 4 = 15,6 omi un R 5 = 15,4 omi. Tādējādi R = 15,5 omi. Novirzes no R (R 1 \u003d 0,0; R 2 \u003d +0,1 omi, R 3 \u003d -0,1 omi, R 4 \u003d +0,1 omi un R 5 \u003d -0,1 omi) ir atsevišķu mērījumu nejaušas kļūdas. dotā sērija. Ir viegli redzēt, ka summa R i = 0,0. Tas norāda, ka šīs sērijas atsevišķu mērījumu kļūdas ir aprēķinātas pareizi.

Neskatoties uz to, ka, palielinoties mērījumu skaitam, nejaušo kļūdu summai ir tendence uz nulli (in šis piemērs viņa gadījās būt nulle), ir jānovērtē mērījumu rezultāta nejaušā kļūda. Gadījuma lielumu teorijā o2 izkliede kalpo kā gadījuma lieluma vērtību izkliedes raksturlielums. "| / o2 \u003d a sauc par vispārējās populācijas standarta novirzi vai standarta novirzi.

Tas ir ērtāk nekā dispersija, jo tā izmērs sakrīt ar izmērītā daudzuma izmēru (piemēram, daudzuma vērtību iegūst voltos, standarta novirze būs arī voltos). Tā kā mērījumu praksē tiek lietots termins “kļūda”, tad vairāku mērījumu raksturošanai jāizmanto no tā atvasinātais termins “rms kļūda”. Vairākus mērījumus var raksturot ar vidējo aritmētisko kļūdu vai mērījumu rezultātu diapazonu.

Mērījumu rezultātu diapazons (īsi - diapazons) ir algebriskā atšķirība starp lielāko un mazāko atsevišķu mērījumu rezultātiem, kas veido n mērījumu sēriju (vai paraugu):

R n \u003d X max - X min (1,7)

kur R n ir diapazons; X max un X min - lielākais un mazākā vērtība vērtības noteiktā mērījumu sērijā.

Piemēram, no pieciem urbuma diametra d mērījumiem vērtības R 5 = 25,56 mm un R 1 = 25,51 mm izrādījās tā maksimālās un minimālās vērtības. Šajā gadījumā R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. Tas nozīmē, ka šīs sērijas atlikušās kļūdas ir mazākas par 0,05 mm.

Vidējā aritmētiskā kļūda vienam mērījumam sērijā(īsi - vidējā aritmētiskā kļūda) - atsevišķu mērījumu rezultātu (ar vienādu vērtību) vispārināto izkliedes raksturlielumu (nejaušu iemeslu dēļ), kas iekļauti n vienlīdz precīzu neatkarīgu mērījumu sērijā, aprēķina pēc formulas

(1.8)

kur X i ir sērijā iekļautā i-tā mērījuma rezultāts; x ir lieluma n vērtību vidējais aritmētiskais: |X i - X| ir i-tā mērījuma kļūdas absolūtā vērtība; r ir vidējā aritmētiskā kļūda.

No attiecības nosaka vidējās aritmētiskās kļūdas p patieso vērtību

p = lim r, (1,9)

Ja mērījumu skaits n > 30, starp vidējo aritmētisko (r) un vidējo kvadrātu (s) ir korelācijas

s = 1,25r; r un = 0,80 s. (1.10)

Vidējās aritmētiskās kļūdas priekšrocība ir tās aprēķina vienkāršība. Bet tomēr biežāk nosaka vidējo kvadrātisko kļūdu.

Saknes vidējā kvadrātiskā kļūda individuāls mērījums sērijā (īsi - vidējā kvadrātiskā kļūda) - atsevišķu mērījumu rezultātu (ar vienādu vērtību) vispārināts izkliedes raksturlielums (nejaušu iemeslu dēļ), kas iekļauts virknē P tikpat precīzi neatkarīgi mērījumi, kas aprēķināti pēc formulas

(1.11)

Vidējo kvadrātisko kļūdu vispārīgajam paraugam o, kas ir S statistiskā robeža, /i-mx > var aprēķināt pēc formulas:

Σ = Lims S (1.12)

Patiesībā izmēru skaits vienmēr ir ierobežots, tāpēc σ netiek aprēķināts , un tā aptuvenā vērtība (vai aplēse), kas ir s. Vairāk P, jo tuvāk s ir tās robežai σ .

Ar normālu sadalījumu varbūtība, ka viena mērījuma kļūda sērijā nepārsniegs aprēķināto vidējo kvadrātisko kļūdu, ir maza: 0,68. Tāpēc 32 gadījumos no 100 vai 3 gadījumos no 10 faktiskā kļūda var būt lielāka par aprēķināto.

1.2. attēls Vairāku mērījumu rezultāta nejaušās kļūdas vērtības samazināšanās, palielinoties mērījumu skaitam sērijā

Mērījumu sērijā pastāv sakarība starp atsevišķa mērījuma s efektīvo kļūdu un vidējā aritmētiskā S x efektīvo kļūdu:

ko bieži sauc par "Y n likumu". No šī noteikuma izriet, ka mērījumu kļūdu nejaušu cēloņu darbības rezultātā var samazināt par n reizēm, ja tiek veikti n jebkura lieluma vienāda lieluma mērījumi, un par gala rezultātu tiek ņemta vidējā aritmētiskā vērtība (1.2. att.). ).

Veicot vismaz 5 mērījumus sērijā, ir iespējams samazināt nejaušo kļūdu ietekmi vairāk nekā 2 reizes. Ar 10 mērījumiem nejaušās kļūdas ietekme tiek samazināta par koeficientu 3. Mērījumu skaita turpmāka palielināšana ne vienmēr ir ekonomiski izdevīga un parasti tiek veikta tikai kritiskiem mērījumiem, kuriem nepieciešama augsta precizitāte.

Viena mērījuma vidējo kvadrātisko kļūdu no homogēnu dubultu mērījumu sērijas S α aprēķina pēc formulas

(1.14)

kur x" i un x"" i ir viena mērinstrumenta vienāda lieluma mērījumu i-tie rezultāti uz priekšu un atpakaļ virzienā.

Ar nevienādiem mērījumiem vidējā aritmētiskā vidējā kvadrātiskā kļūda rindā tiek noteikta pēc formulas

(1.15)

kur p i ir i-tā mērījuma svars nevienādu mērījumu sērijā.

Lieluma Y netiešo mērījumu rezultāta vidējo kvadrātisko kļūdu, kas ir funkcija Y \u003d F (X 1, X 2, X n), aprēķina pēc formulas

(1.16)

kur S 1 , S 2 , S n ir mērījumu rezultātu vidējās kvadrātiskās kļūdas X 1 , X 2 , X n .

Ja, lai nodrošinātu lielāku apmierinoša rezultāta iegūšanas ticamību, tiek veiktas vairākas mērījumu sērijas, atsevišķa mērījuma vidējo kvadrātisko kļūdu no m sērijas (S m) nosaka pēc formulas

(1.17)

kur n ir mērījumu skaits sērijā; N ir kopējais mērījumu skaits visās sērijās; m ir sēriju skaits.

Ar ierobežotu mērījumu skaitu bieži ir jāzina RMS kļūda. Lai noteiktu kļūdu S, kas aprēķināta pēc formulas (2.7) un kļūdu S m , kas aprēķināta pēc formulas (2.12), varat izmantot šādas izteiksmes

(1.18)

(1.19)

kur S un S m ir attiecīgi S un S m vidējās kvadrātiskās kļūdas.

Piemēram, apstrādājot garuma x mērījumu sērijas rezultātus, mēs ieguvām

= 86 mm 2 pie n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm vai S = ± 0,7 mm

Vērtība S = ±0,7 mm nozīmē, ka aprēķina kļūdas dēļ s ir robežās no 2,4 līdz 3,8 mm, tāpēc milimetra desmitdaļas šeit ir neuzticamas. Aplūkotajā gadījumā nepieciešams pierakstīt: S = ±3 mm.

Lai iegūtu lielāku ticamību mērījuma rezultāta kļūdas novērtējumam, tiek aprēķināta ticamības kļūda vai kļūdas ticamības robežas. Izmantojot normālā sadalījuma likumu, kļūdas ticamības robežas aprēķina kā ±t-s vai ±t-s x , kur s un s x ir attiecīgi viena mērījuma vidējās kvadrātiskās kļūdas sērijā un aritmētiskais vidējais; t ir skaitlis, kas atkarīgs no ticamības līmeņa P un mērījumu skaita n.

Svarīgs jēdziens ir mērījumu rezultāta ticamība (α), t.i. varbūtība, ka vēlamā izmērītā daudzuma vērtība ietilpst noteiktā ticamības intervālā.

Piemēram, apstrādājot detaļas uz darbgaldiem stabilā tehnoloģiskā režīmā, kļūdu sadalījums atbilst parastajam likumam. Pieņemsim, ka daļas garuma pielaide ir iestatīta uz 2a. Šajā gadījumā ticamības intervāls, kurā atrodas vēlamā daļas a garuma vērtība, būs (a - a, a + a).

Ja 2a = ±3 s, tad rezultāta ticamība ir a = 0,68, t.i., 32 gadījumos no 100, ir jāparedz, ka detaļas izmērs pārsniedz 2a pielaidi. Novērtējot detaļas kvalitāti pēc pielaides 2a = ±3s, rezultāta ticamība būs 0,997. Šajā gadījumā var sagaidīt, ka tikai trīs daļas no 1000 pārsniegs noteikto pielaidi.Tomēr uzticamības palielināšana ir iespējama tikai ar kļūdas samazināšanos detaļas garumā. Tātad, lai palielinātu uzticamību no a = 0,68 līdz a = 0,997, detaļas garuma kļūda ir jāsamazina trīs reizes.

Nesen saņemts plaša izmantošana termins "mērījumu ticamība". Dažos gadījumos tas tiek nepamatoti lietots termina "mērījumu precizitāte" vietā. Piemēram, dažos avotos var atrast izteicienu "nodibināt mērījumu vienotību un uzticamību valstī". Savukārt pareizāk būtu teikt “vienotības nodibināšana un nepieciešamā mērījumu precizitāte”. Uzticamību mēs uzskatām par kvalitatīvu raksturlielumu, kas atspoguļo nejaušu kļūdu tuvumu nullei. Kvantitatīvi to var noteikt, izmantojot mērījumu neuzticamību.

Mērījumu nenoteiktība(īsi - neuzticamība) - mērījumu sērijas rezultātu neatbilstības novērtējums nejaušu kļūdu kopējās ietekmes dēļ (noteikts ar statistiskām un nestatistiskām metodēm), ko raksturo vērtību diapazons kurā atrodas izmērītā daudzuma patiesā vērtība.

Saskaņā ar Starptautiskā svaru un mēru biroja ieteikumiem nenoteiktība tiek izteikta kā kopējā efektīvā mērījuma kļūda - Su ieskaitot efektīvo kļūdu S (nosaka ar statistikas metodēm) un efektīvo kļūdu u (nosaka ar nestatistiskām metodēm) , ti

(1.20)

Mērījumu kļūdas ierobežojums(īsi - robežkļūda) - maksimālā mērījuma kļūda (plus, mīnus), kuras iespējamība nepārsniedz P vērtību, savukārt starpība 1 - P ir nenozīmīga.

Piemēram, ar normālu sadalījumu nejaušas kļūdas iespējamība ±3s ir 0,997, un starpība 1-P = 0,003 ir nenozīmīga. Tāpēc daudzos gadījumos par robežu tiek ņemta ticamības kļūda ±3s, t.i. pr = ±3 s. Ja nepieciešams, pr var būt arī citas attiecības ar s pietiekami lielam P (2s, 2,5s, 4s utt.).

Saistībā ar to, ka GSI standartos termina "vidējā kvadrātiskā kļūda" vietā lietots termins "vidējā kvadrātiskā novirze", turpmākajā argumentācijā paliksim pie šī termina.

Absolūtā mērījumu kļūda(īsi - absolūtā kļūda) - mērījuma kļūda, kas izteikta izmērītās vērtības vienībās. Tātad, X daļas garuma mērīšanas kļūda X, kas izteikta mikrometros, ir absolūta kļūda.

Nevajadzētu jaukt terminus “absolūtā kļūda” un “absolūtās kļūdas vērtība”, kas tiek saprasts kā kļūdas vērtība, neņemot vērā zīmi. Tātad, ja absolūtā mērījuma kļūda ir ±2 μV, tad kļūdas absolūtā vērtība būs 0,2 μV.

Relatīvā mērījuma kļūda(īsi - relatīvā kļūda) - mērījuma kļūda, kas izteikta kā daļa no izmērītās vērtības vērtības vai procentos. Relatīvā kļūda δ tiek iegūta no koeficientiem:

(1.21)

Piemēram, ir detaļas garuma x = 10,00 mm reālā vērtība un kļūdas absolūtā vērtība x = 0,01 mm. Relatīvā kļūda būs

Statiskā kļūda ir mērījuma rezultāta kļūda statiskā mērījuma apstākļu dēļ.

Dinamiska kļūda ir mērījuma rezultāta kļūda dinamiskā mērījuma apstākļu dēļ.

Vienības reproducēšanas kļūda- veikto mērījumu rezultāta kļūda, reproducējot fiziskā daudzuma vienību. Tātad kļūda, reproducējot vienību, izmantojot valsts standartu, ir norādīta tās sastāvdaļu veidā: neizslēdzama sistemātiska kļūda, ko raksturo tās robeža; nejauša kļūda, ko raksturo standarta novirze s un gada nestabilitāte ν.

Vienības lieluma pārraides kļūda ir kļūda mērījumu rezultātos, kas veikti, pārraidot vienības izmēru. Vienības lieluma pārraides kļūda ietver neizslēdzamās sistemātiskās kļūdas un vienību lieluma pārraides metodes un līdzekļu (piemēram, salīdzinājuma) nejaušības kļūdas.

abstrakts

Absolūtā un relatīvā kļūda

Ievads

Absolūta kļūda - ir absolūtās mērījumu kļūdas novērtējums. Aprēķināts Dažādi ceļi. Aprēķina metodi nosaka nejaušā lieluma sadalījums. Attiecīgi absolūtās kļūdas lielums atkarībā no nejaušā lieluma sadalījuma var būt dažādi. Ja ir izmērītā vērtība, un ir patiesā vērtība, tad nevienlīdzība jāapmierina ar kādu varbūtību tuvu 1. Ja gadījuma lielums sadalīts pēc parastā likuma, tad parasti par absolūto kļūdu tiek pieņemta tā standartnovirze. Absolūto kļūdu mēra tajās pašās vienībās kā pašu vērtību.

Ir vairāki veidi, kā ierakstīt daudzumu kopā ar tā absolūto kļūdu.

· Parasti tiek izmantots parakstīts apzīmējums ± . Piemēram, 1983. gadā uzstādītais 100 m rekords ir 9,930±0,005 s.

· Lai ierakstītu vērtības, kas izmērītas ar ļoti augstu precizitāti, tiek izmantots cits apzīmējums: iekavās tiek pievienoti skaitļi, kas atbilst mantisas pēdējo ciparu kļūdai. Piemēram, Boltzmana konstantes izmērītā vērtība ir 1,380 6488 (13) × 10?23 J/K, ko var arī rakstīt daudz ilgāk kā 1,380 6488 × 10?23 ± 0 000 0013 × 10?23 J/K.

Relatīvā kļūda- mērījuma kļūda, kas izteikta kā absolūtās mērījuma kļūdas attiecība pret izmērītā daudzuma faktisko vai vidējo vērtību (RMG 29-99):.

Relatīvā kļūda ir bezizmēra lielums vai tiek mērīts procentos.

1. Ko sauc par aptuveno vērtību?

Par daudz un par maz? Aprēķinu procesā bieži nākas saskarties ar aptuveniem skaitļiem. Ļaujiet būt BET- precīza noteikta daudzuma vērtība, turpmāk saukta precīzs skaitlis BET.Zem aptuvenās daudzuma vērtības BET,vai aptuvenos skaitļussauca numuru bet, kas aizstāj precīzu daudzuma vērtību BET.Ja bet< BET,tad betsauc par skaitļa aptuveno vērtību Un trūkuma dēļ.Ja bet> BET,-tad pārpalikumā.Piemēram, 3,14 ir skaitļa tuvinājums ? pēc trūkuma un 3,15 ar pārpalikumu. Lai raksturotu šīs tuvinājuma precizitātes pakāpi, tiek izmantots jēdziens kļūdas vai kļūdas.

kļūda ?betaptuvenais skaitlis betsauc par formas atšķirību

?a = A - a,

kur BETir atbilstošais precīzs skaitlis.

Attēlā redzams, ka segmenta AB garums ir no 6 cm līdz 7 cm.

Tas nozīmē, ka 6 ir aptuvenā segmenta AB garuma vērtība (centimetros)\u003e ar deficītu, un 7 ir ar pārpalikumu.

Apzīmējot segmenta garumu ar burtu y, mēs iegūstam: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentuAB (skat. 149. att.) ir tuvāk 6 cm nekā 7 cm. Tas ir aptuveni vienāds ar 6 cm. Viņi saka, ka skaitlis 6 iegūts, noapaļojot segmenta garumu līdz veseliem skaitļiem.

. Kas ir aproksimācijas kļūda?

A) absolūts?

B) radinieks?

A) Absolūtā aproksimācijas kļūda ir daudzuma patiesās vērtības un tā aptuvenās vērtības starpības modulis. |x - x_n|, kur x ir patiesā vērtība, x_n ir aptuvenā vērtība. Piemēram: A4 papīra lapas garums ir (29,7 ± 0,1) cm, un attālums no Sanktpēterburgas līdz Maskavai ir (650 ± 1) km. Absolūtā kļūda pirmajā gadījumā nepārsniedz vienu milimetru, bet otrajā - vienu kilometru. Jautājums ir par šo mērījumu precizitātes salīdzināšanu.

Ja domājat, ka loksnes garums tiek mērīts precīzāk, jo absolūtā kļūda nepārsniedz 1 mm. Tad tu kļūdies. Šīs vērtības nevar tieši salīdzināt. Padomāsim.

Mērot loksnes garumu, absolūtā kļūda nepārsniedz 0,1 cm līdz 29,7 cm, tas ir, procentos, tā ir 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% no izmērītās vērtības.

Mērot attālumu no Sanktpēterburgas līdz Maskavai, absolūtā kļūda nepārsniedz 1 km uz 650 km, kas ir 1/650 * 100% = 0,15% no izmērītās vērtības procentos. Mēs redzam, ka attālums starp pilsētām tiek mērīts precīzāk nekā A4 lapas garums.

B) Aproksimācijas relatīvā kļūda ir absolūtās kļūdas attiecība pret daudzuma aptuvenās vērtības moduli.

matemātiskās kļūdas daļa

kur x ir patiesā vērtība, x_n ir aptuvenā vērtība.

Relatīvo kļūdu parasti sauc par procentiem.

Piemērs. Noapaļojot skaitli 24,3 līdz vienībām, tiek iegūts skaitlis 24.

Relatīvā kļūda ir vienāda. Viņi saka, ka relatīvā kļūda šajā gadījumā ir 12,5%.

) Kādu noapaļošanu sauc par noapaļošanu?

A) ar trūkumu?

b) par daudz?

A) noapaļošana uz leju

Noapaļojot skaitli, kas izteikts kā decimāldaļdaļa līdz 10^(-n), pirmie n cipari pēc komata tiek saglabāti, bet nākamie tiek atmesti.

Piemēram, noapaļojot 12.4587 līdz tuvākajai tūkstošdaļai ar trūkumu, iegūst 12.458.

B) Noapaļošana uz augšu

Noapaļojot skaitli, kas izteikts kā decimāldaļdaļa, līdz 10^(-n), pirmie n cipari aiz komata tiek saglabāti ar pārpalikumu, bet nākamie tiek atmesti.

Piemēram, noapaļojot 12.4587 līdz tuvākajai tūkstošdaļai ar trūkumu, iegūst 12.459.

) Noteikums decimāldaļu noapaļošanai.

Noteikums. Lai noapaļotu decimāldaļu līdz noteiktam vesela skaitļa vai daļdaļas ciparam, visi mazākie cipari tiek aizstāti ar nullēm vai tiek izmesti, un cipars, kas ir pirms noapaļošanas laikā izmestā cipara, nemaina tā vērtību, ja tam seko skaitļi 0, 1, 2, 3, 4 un palielinās par 1 (vienu), ja skaitļi ir 5, 6, 7, 8, 9.

Piemērs. Noapaļo daļu 93.70584 uz:

desmittūkstošdaļas: 93,7058

tūkstošdaļas: 93,706

simtdaļas: 93,71

desmitdaļas: 93,7

vesels skaitlis: 94

desmiti: 90

Neskatoties uz absolūto kļūdu vienlīdzību, kopš izmērītie daudzumi ir atšķirīgi. Jo lielāks ir izmērītais izmērs, jo mazāka ir relatīvā kļūda pie nemainīgas absolūtās vērtības.

Apmācība

Nepieciešama palīdzība tēmas apguvē?

Mūsu eksperti konsultēs vai sniegs apmācību pakalpojumus par jums interesējošām tēmām.
Iesniedziet pieteikumu norādot tēmu tieši tagad, lai uzzinātu par iespēju saņemt konsultāciju.

Mēs arī iesakām

Notiek ielāde...