Definīcija.Taisns trīsstūris - trīsstūris, kura viens no leņķiem ir taisns (vienāds).

Taisnstūra trīsstūris ir īpašs parasta trīsstūra gadījums. Tāpēc tiek saglabātas visas parasto trīsstūru īpašības taisnstūrveida formām. Bet ir dažas īpašas īpašības taisnā leņķa klātbūtnes dēļ.

Kopējais apzīmējums (1. att.):

- pareizā leņķī;

- hipotenūza;

- kājas;

.

Rīsi. viens.

Artaisnleņķa trijstūra īpašības.

1. īpašums. Leņķu un taisnleņķa trīsstūra summa ir .

Pierādījums. Atgādiniet, ka jebkura trijstūra leņķu summa ir . Ņemot vērā faktu, ka , mēs iegūstam, ka atlikušo divu leņķu summa ir Tas ir,

2. īpašums. Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūza vairāk nekā jebkurš no kājas(ir lielākā puse).

Pierādījums. Atcerieties, ka trijstūrī, kas atrodas pretī lielākajam leņķim, atrodas lielākā mala (un otrādi). No iepriekš pierādītā īpašuma 1 izriet, ka leņķu un taisnleņķa trīsstūra summa ir vienāda ar . Tā kā trijstūra leņķis nevar būt 0, katrs no tiem ir mazāks par . Tas nozīmē, ka tā ir lielākā, kas nozīmē, ka trijstūra lielākā mala atrodas tam pretī. Tādējādi hipotenūza ir taisnleņķa trijstūra lielākā mala, tas ir:.

3. īpašums. Taisnleņķa trijstūrī hipotenūza ir mazāka par kāju summu.

Pierādījums. Šis īpašums kļūst skaidrs, ja atceramies trīsstūra nevienlīdzība.

trīsstūra nevienlīdzība

Jebkurā trīsstūrī jebkuru divu malu summa ir lielāka par trešo malu.

Īpašums 3 uzreiz izriet no šīs nevienlīdzības.

Piezīme: neskatoties uz to, ka katra no kājām atsevišķi ir mazāka par hipotenūzu, to summa izrādās lielāka. Skaitliskā piemērā tas izskatās šādi: , bet .

in:

1. zīme (no divām pusēm un leņķis starp tām): ja diviem trijstūriem ir vienādas malas un leņķis starp tiem, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

2. zīme (sānos un divos blakus leņķos): ja trijstūriem ir vienāda mala un divi leņķi blakus dotajai malai, tad šādi trijstūri ir kongruenti. Piezīme: izmantojot faktu, ka trijstūra leņķu summa ir nemainīga un vienāda ar , ir viegli pierādīt, ka leņķu "blakusuma" nosacījums nav nepieciešams, tas ir, zīme būs patiesa šādā formulējumā: "... mala un divi leņķi ir vienādi, tad ...".

3. zīme (no 3 pusēm): ja trijstūra visas trīs malas ir vienādas, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

Protams, visas šīs zīmes paliek patiesas taisnleņķa trijstūriem. Tomēr taisnleņķa trijstūriem ir viena būtiska iezīme - tiem vienmēr ir vienādu taisnleņķu pāris. Tāpēc šīs zīmes viņiem ir vienkāršotas. Tātad, formulēsim taisnleņķa trīsstūru vienādības zīmes:

1. zīme (uz divām kājām): ja taisnleņķa trijstūri ir vienādi pa pāriem, tad šādi trīsstūri ir vienādi viens ar otru (2. att.).

Ņemot vērā:

Rīsi. 2. Taisnleņķa trīsstūru pirmās vienādības zīmes ilustrācija

Pierādīt:

Pierādījums: taisnleņķa trīsstūros: . Tātad, mēs varam izmantot pirmo trīsstūru vienādības zīmi (no divām pusēm un leņķi starp tām) un iegūt: .

2-tā zīme (uz kājas un leņķa): ja viena taisnleņķa trijstūra kājiņa un asais leņķis ir vienādi ar cita taisnleņķa trijstūra kāju un akūto leņķi, tad šādi trijstūri ir vienādi viens ar otru (3. att.).

Ņemot vērā:

Rīsi. 3. Taisnstūra trīsstūru otrās vienādības zīmes ilustrācija

Pierādīt:

Pierādījums: mēs uzreiz atzīmējam, ka fakts, ka leņķi, kas atrodas blakus vienādām kājām, ir vienādi, nav būtiski. Patiešām, taisnleņķa trijstūra akūto leņķu summa (pēc īpašuma 1) ir vienāda ar . Tātad, ja viens šo leņķu pāris ir vienāds, tad otrs ir vienāds (jo to summas ir vienādas).

Šīs funkcijas pierādījums ir izmantošana otrā trijstūra vienādības zīme(2 stūros un sānos). Patiešām, pēc nosacījuma kājas un tiem blakus esošie leņķi ir vienādi. Bet otrais leņķu pāris, kas atrodas tiem blakus, sastāv no leņķiem . Tātad, mēs varam izmantot otro trīsstūru vienādības kritēriju un iegūt: .

3. zīme (pēc hipotenūzas un leņķa): ja viena taisnleņķa trijstūra hipotenūza un asais leņķis ir vienādi ar cita taisnleņķa trijstūra hipotenūzu un akūto leņķi, tad šādi trīsstūri ir vienādi viens ar otru (4. att.).

Ņemot vērā:

Rīsi. 4. Taisnleņķa trīsstūru trešās vienādības zīmes ilustrācija

Pierādīt:

Pierādījums: lai pierādītu šo zīmi, jūs varat nekavējoties izmantot otrā trīsstūru vienādības zīme- pa sāniem un diviem leņķiem (precīzāk pēc sekas, kas nosaka, ka leņķiem nav jābūt blakus sāniem). Patiešām, no nosacījuma: , , un no taisnleņķa trīsstūru īpašībām izriet, ka . Tātad, mēs varam izmantot otro trīsstūru vienādības kritēriju un iegūt: .

4. zīme (pēc hipotenūzas un kājas): ja viena taisnleņķa trijstūra hipotenūza un kājiņa ir attiecīgi vienādas ar cita taisnleņķa trijstūra hipotenūzu un kāju, tad šādi trīsstūri ir vienādi viens ar otru (5. att.).

Ņemot vērā:

Rīsi. 5. Taisnstūra trīsstūru ceturtās vienādības zīmes ilustrācija

Pierādīt:

Pierādījums: Lai pierādītu šo zīmi, izmantosim trijstūri vienādības zīmi, kuru formulējām un pierādījām pēdējā nodarbībā, proti: ja trijstūriem ir vienādas divas malas un lielāks leņķis, tad tādi trijstūri ir vienādi. Patiešām, pēc nosacījuma mums ir divas vienādas puses. Turklāt pēc taisnleņķa trijstūra īpašībām: . Atliek pierādīt, ka taisnais leņķis ir lielākais trijstūrī. Pieņemsim, ka tas tā nav, kas nozīmē, ka ir jābūt vismaz vēl vienam leņķim, kas ir lielāks par . Bet tad trijstūra leņķu summa jau būs lielāka. Bet tas nav iespējams, kas nozīmē, ka šāds leņķis nevar pastāvēt trīsstūrī. Tādējādi taisnais leņķis ir lielākais taisnleņķa trijstūrī. Tātad, jūs varat izmantot iepriekš formulēto zīmi un iegūt: .

Tagad formulējam vēl vienu īpašību, kas raksturīga tikai taisnleņķa trijstūriem.

Īpašums

Kāja, kas atrodas pretī leņķim, ir 2 reizes mazāka par hipotenūzu(6. att.).

Ņemot vērā:

Rīsi. 6.

Pierādīt:AB

Pierādījums: veiciet papildu konstrukciju: pagariniet līniju aiz punkta par segmentu, kas vienāds ar . Pieņemsim punktu. Tā kā leņķi un atrodas blakus, to summa ir vienāda ar . Kopš , tad leņķis .

Tātad taisnleņķa trijstūri (pa divām kājām: - vispārīgi, - pēc konstrukcijas) - pirmā taisnleņķa trijstūra vienādības zīme.

No trīsstūru vienādības izriet visu atbilstošo elementu vienādība. Nozīmē,. Kur:. Turklāt (no visu to pašu trīsstūru vienādības). Tas nozīmē, ka trīsstūris ir vienādsānu (jo tā pamatnē ir vienādi leņķi), bet vienādsānu trijstūris, kura viens no leņķiem ir vienāds, ir vienādmalu. No tā jo īpaši izriet, ka .

Kājas īpašība, kas atrodas pretī leņķim iekšā

Ir vērts atzīmēt, ka arī apgrieztais apgalvojums ir patiess: ja taisnleņķa trijstūrī hipotenūza ir divas reizes lielāka par vienu no kājām, tad asais leņķis pret šo kāju ir vienāds ar.

Piezīme: zīme nozīmē, ka, ja kāds apgalvojums ir patiess, tad trīsstūris ir taisnleņķa trīsstūris. Tas ir, funkcija ļauj noteikt taisnleņķa trīsstūri.

Ir svarīgi nejaukt zīmi ar īpašums- tas ir, ja trijstūris ir taisnleņķa, tad tam ir tādas īpašības... Bieži vien zīmes un īpašības ir savstarpēji apgrieztas, bet ne vienmēr. Piemēram, vienādmalu trijstūra īpašība: vienādmalu trijstūrim ir leņķis. Bet tas nebūs vienādmalu trīsstūra zīme, jo ne katrs trijstūris ir leņķis, ir vienādmalu.

Ģeometrisko uzdevumu risināšana prasa milzīgu zināšanu daudzumu. Viena no šīs zinātnes pamatdefinīcijām ir taisnleņķa trīsstūris.

Šis jēdziens nozīmē, ka sastāv no trim stūriem un

malas, un viena leņķa vērtība ir 90 grādi. Malas, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām, bet trešo malu, kas atrodas pretī, sauc par hipotenūzu.

Ja kājas šādā attēlā ir vienādas, to sauc par vienādsānu taisnstūri. Šajā gadījumā ir piederība diviem, kas nozīmē, ka tiek ievērotas abu grupu īpašības. Atgādiniet, ka vienādsānu trīsstūra pamatnes leņķi absolūti vienmēr ir vienādi, tāpēc šādas figūras asajos leņķos būs 45 grādi.

Viena no šīm īpašībām ļauj mums apgalvot, ka viens taisnleņķa trīsstūris ir vienāds ar otru:

1. divu trīsstūru kājas ir vienādas;
2. figūrām ir viena un tā pati hipotenūza un viena no kājām;
3. hipotenūza un jebkurš no asajiem leņķiem ir vienādi;
4. tiek novērots kājas un asā leņķa vienlīdzības stāvoklis.

Taisnstūra trīsstūra laukumu var viegli aprēķināt gan izmantojot standarta formulas, gan kā vērtību, kas vienāda ar pusi no tā kāju reizinājuma.

Taisnleņķa trijstūrī tiek novērotas šādas attiecības:

1. kāja nav nekas cits kā vidējais proporcionāls hipotenūzai un tās projekcijai uz tās;
2. ja aprakstāt apli ap taisnleņķa trīsstūri, tā centrs atradīsies hipotenūzas vidū;
3. augstums, kas novilkts no taisnā leņķa, ir vidējais proporcionāls trijstūra kāju projekcijām uz tā hipotenūzu.

Interesanti, ka neatkarīgi no tā, kāds ir taisnleņķa trīsstūris, šīs īpašības vienmēr tiek ievērotas.

Pitagora teorēma

Papildus iepriekšminētajām īpašībām taisnleņķa trijstūriem ir raksturīgs šāds nosacījums:

Šī teorēma ir nosaukta pēc tās dibinātāja - Pitagora teorēmas. Viņš atklāja šo saistību, kad viņš pētīja kvadrātu īpašības, kas uzceltas

Lai pierādītu teorēmu, konstruējam trīsstūri ABC, kura kājas apzīmē a un b, un hipotenūzu c. Tālāk mēs izveidosim divus kvadrātus. Viena puse būs hipotenūza, otra - divu kāju summa.

Tad pirmā kvadrāta laukumu var atrast divos veidos: kā četru trīsstūru ABC un otrā kvadrāta laukumu summu vai kā malas kvadrātu, protams, šīs attiecības būs vienādas. T.i.:

ar 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 , mēs pārveidojam iegūto izteiksmi:

c 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

Rezultātā mēs iegūstam: c 2 \u003d a 2 + b 2

Tādējādi taisnleņķa trijstūra ģeometriskā figūra atbilst ne tikai visām trijstūriem raksturīgajām īpašībām. Taisnā leņķa klātbūtne noved pie tā, ka figūrai ir citas unikālas attiecības. Viņu pētījums ir noderīgs ne tikai zinātnē, bet arī ikdienas dzīvē, jo tāds skaitlis kā taisnleņķa trīsstūris ir atrodams visur.

Vidējais līmenis

Taisns trīsstūris. Pilns ilustrēts ceļvedis (2019)

LABAIS Trijstūris. PIRMAIS LĪMENIS.

Problēmās taisns leņķis nemaz nav nepieciešams - apakšējais kreisais, tāpēc jums jāiemācās atpazīt taisnleņķa trīsstūri šajā formā,

un tādās

un tādās

Kas ir labs taisnleņķa trīsstūrī? Nu... pirmkārt, viņa ballītēm ir īpaši skaisti nosaukumi.

Uzmanību zīmējumam!

Atcerieties un nejauciet: kājas - divas, un hipotenūza - tikai viena(vienīgais, unikālais un garākais)!

Nu, mēs apspriedām nosaukumus, tagad vissvarīgākā lieta: Pitagora teorēma.

Pitagora teorēma.

Šī teorēma ir atslēga, lai atrisinātu daudzas problēmas, kas saistītas ar taisnleņķa trīsstūri. Pitagors to pierādīja pilnīgi neatminamos laikos, un kopš tā laika tas ir devis daudz labumu tiem, kas to zina. Un pats labākais viņā ir tas, ka viņa ir vienkārša.

Tātad, Pitagora teorēma:

Vai atceries joku: “Pitagora bikses ir vienādas no visām pusēm!”?

Uzzīmēsim šīs ļoti Pitagora bikses un apskatīsim tās.

Vai tas tiešām izskatās pēc šortiem? Nu, kurā pusēs un kur viņi ir vienādi? Kāpēc un no kurienes radās joks? Un šis joks ir saistīts tieši ar Pitagora teorēmu, precīzāk ar to, kā pats Pitagors formulēja savu teorēmu. Un viņš to formulēja šādi:

"Summa kvadrātu laukums, uzcelta uz kājām, ir vienāda ar kvadrātveida platība veidota uz hipotenūzas.

Vai tas neizklausās nedaudz savādāk, vai ne? Un tā, kad Pitagors uzzīmēja savas teorēmas apgalvojumu, izrādījās tieši šāds attēls.

Šajā attēlā mazo kvadrātu laukumu summa ir vienāda ar lielā kvadrāta laukumu. Un, lai bērni labāk atcerētos, ka kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu, kāds asprātīgs izdomāja šo joku par Pitagora biksēm.

Kāpēc mēs tagad formulējam Pitagora teorēmu

Vai Pitagors cieta un runāja par laukumiem?

Redziet, senos laikos nebija ... algebras! Nebija nekādu zīmju un tā tālāk. Nebija nekādu uzrakstu. Vai varat iedomāties, cik briesmīgi bija nabaga senajiem studentiem visu iegaumēt ar vārdiem??! Un mēs varam priecāties, ka mums ir vienkāršs Pitagora teorēmas formulējums. Atkārtosim vēlreiz, lai labāk atcerētos:

Tagad tam vajadzētu būt vienkāršam:

Hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.

Nu, tika apspriesta vissvarīgākā teorēma par taisnleņķa trīsstūri. Ja jūs interesē, kā tas tiek pierādīts, izlasiet nākamos teorijas līmeņus, un tagad ejam tālāk ... tumšajā trigonometrijas mežā ...! Uz briesmīgajiem vārdiem sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss.

Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss taisnleņķa trijstūrī.

Patiesībā viss nemaz nav tik biedējoši. Protams, rakstā ir jāaplūko sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta "īstā" definīcija. Bet jūs tiešām nevēlaties, vai ne? Mēs varam priecāties: lai atrisinātu problēmas par taisnleņķa trīsstūri, varat vienkārši aizpildīt šādas vienkāršas lietas:

Kāpēc tas viss ir par stūri? Kur ir stūris? Lai to saprastu, jums jāzina, kā vārdos tiek rakstīti apgalvojumi 1-4. Skaties, saproti un atceries!

1.
Patiesībā tas izklausās šādi:

Kā ar leņķi? Vai ir kāda kāja, kas atrodas pretī stūrim, tas ir, pretējā kāja (stūrim)? Protams, ir! Tas ir katets!

Bet kā ar leņķi? Paskaties cieši. Kura kāja atrodas blakus stūrim? Protams, kaķis. Tātad leņķim kāja atrodas blakus, un

Un tagad, uzmanību! Paskaties, kas mums ir:

Skatiet, cik tas ir lieliski:

Tagad pāriesim uz tangensu un kotangensu.

Kā tagad to izteikt vārdos? Kāda ir kāja attiecībā pret stūri? Pretī, protams - tas "guļ" pretī stūrim. Un katets? Blakus stūrim. Tātad, ko mēs saņēmām?

Vai redzat, kā tiek apgriezti skaitītājs un saucējs?

Un tagad atkal stūri un veikta maiņa:

Kopsavilkums

Īsi pierakstīsim, ko esam iemācījušies.

Pitagora teorēma:

Galvenā taisnleņķa trijstūra teorēma ir Pitagora teorēma.

Pitagora teorēma

Starp citu, vai jūs labi atceraties, kas ir kājas un hipotenūza? Ja nē, tad paskaties bildē – atsvaidzini zināšanas

Iespējams, ka Pitagora teorēmu jūs jau esat izmantojis daudzas reizes, bet vai esat kādreiz domājis, kāpēc šāda teorēma ir patiesa. Kā jūs to pierādītu? Darīsim kā senie grieķi. Uzzīmēsim kvadrātu ar malu.

Redziet, cik viltīgi mēs sadalījām tās malas garuma segmentos un!

Tagad savienosim atzīmētos punktus

Šeit mēs tomēr atzīmējām kaut ko citu, bet jūs pats paskatieties uz attēlu un padomājiet, kāpēc.

Kāda ir lielākā kvadrāta platība?

Pareizi,.

Kā ar mazāko platību?

Noteikti,.

Paliek četru stūru kopējā platība. Iedomājieties, ka mēs paņēmām divus no tiem un atspiedāmies viens pret otru ar hipotenūzām.

Kas notika? Divi taisnstūri. Tātad "spraudeņu" platība ir vienāda.

Tagad saliksim to visu kopā.

Pārveidosim:

Tā nu mēs viesojāmies pie Pitagora – senā veidā pierādījām viņa teorēmu.

Taisns trīsstūris un trigonometrija

Taisnleņķa trīsstūrim ir spēkā šādas attiecības:

Akūta leņķa sinuss ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu

Akūta leņķa kosinuss ir vienāds ar blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzu.

Akūtā leņķa tangenss ir vienāds ar pretējās kājas un blakus esošās kājas attiecību.

Akūta leņķa kotangenss ir vienāds ar blakus esošās kājas un pretējās kājas attiecību.

Un atkal tas viss šķīvja veidā:

Tas ir ļoti ērti!

Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes

I. Uz divām kājām

II. Ar kāju un hipotenūzu

III. Pēc hipotenūzas un akūtā leņķa

IV. Gar kāju un akūtu leņķi

a)

b)

Uzmanību! Šeit ir ļoti svarīgi, lai kājas būtu "atbilstošas". Piemēram, ja tas notiek šādi:

TAD Trijstūri NAV VIENĀDI, neskatoties uz to, ka tiem ir viens identisks akūts leņķis.

Vajag abos trīsstūros kāja bija blakus, vai abos - pretī.

Vai esat ievērojuši, kā taisnleņķa trijstūra vienādības zīmes atšķiras no parastajām trīsstūru vienādības zīmēm?

Apskatiet tēmu "un pievērsiet uzmanību tam, ka "parasto" trīsstūru vienlīdzībai ir nepieciešama to trīs elementu vienlīdzība: divas malas un leņķis starp tiem, divi leņķi un mala starp tiem vai trīs malas.

Bet taisnleņķa trīsstūru vienādībai pietiek tikai ar diviem atbilstošiem elementiem. Tas ir lieliski, vai ne?

Aptuveni tāda pati situācija ar taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmēm.

Taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmes

I. Akūts stūris

II. Uz divām kājām

III. Ar kāju un hipotenūzu

Mediāna taisnleņķa trijstūrī

Kāpēc tas tā ir?

Apsveriet veselu taisnstūri, nevis taisnleņķa trīsstūri.

Zīmēsim diagonāli un apskatīsim punktu – diagonāļu krustošanās punktu. Ko jūs zināt par taisnstūra diagonālēm?

Un kas no tā izriet?

Tā nu tas notika

1. - mediāna:

Atcerieties šo faktu! Ļoti palīdz!

Vēl pārsteidzošāk ir tas, ka taisnība ir arī otrādi.

Ko var iegūt no tā, ka hipotenūzai piesaistītā mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas? Apskatīsim attēlu

Paskaties cieši. Mums ir: , tas ir, attālumi no punkta līdz visām trim trijstūra virsotnēm izrādījās vienādi. Bet trijstūrī ir tikai viens punkts, attālumi, no kuriem aptuveni visas trīs trijstūra virsotnes ir vienādi, un tas ir APRAKSTS CENTRS. Kas tad notika?

Tātad sāksim ar šo "turklāt...".

Apskatīsim i.

Bet līdzīgos trīsstūros visi leņķi ir vienādi!

To pašu var teikt par un

Tagad uzzīmēsim to kopā:

Kādu labumu var iegūt no šīs "trīskāršās" līdzības.

Nu, piemēram - divas taisnleņķa trijstūra augstuma formulas.

Mēs rakstām atbilstošo pušu attiecības:

Lai atrastu augstumu, mēs atrisinām proporciju un iegūstam Pirmā formula "Augstums taisnleņķa trijstūrī":

Tātad, piemērosim līdzību: .

Kas tagad notiks?

Atkal mēs atrisinām proporciju un iegūstam otro formulu:

Ļoti labi jāatceras abas šīs formulas un ērtāk lietojamā.

Pierakstīsim tos vēlreiz.

Pitagora teorēma:

Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu:.

Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes:

• uz divām kājām:
• gar kāju un hipotenūzu: vai
• gar kāju un blakus esošo akūto leņķi: vai
• gar kāju un pretējo akūto leņķi: vai
• pēc hipotenūzas un akūtā leņķa: vai.

Taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmes:

• viens ass stūris: vai
• no abu kāju proporcionalitātes:
• no kājas un hipotenūzas proporcionalitātes: vai.

Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss taisnleņķa trijstūrī

• Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa sinuss ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:
• Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
• Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa tangenss ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:
• Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kotangenss ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo:.

Taisnstūra trīsstūra augstums: vai.

Taisnleņķa trijstūrī no taisnā leņķa virsotnes novilktā mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas: .

Taisnstūra trīsstūra laukums:

• caur katetriem:
• caur kāju un akūtu leņķi: .

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par sekmīgu eksāmena nokārtošanu, par uzņemšanu institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai pārliecinātos, ka eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), tad noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (ne obligāti), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā - 299 rubļi.
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - 499 rubļi.

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!

Sānu a var identificēt kā blakus stūrim B un pretējā stūrī A, un sānu b- kā blakus stūrim A un pretējā stūrī B.

Taisnīgu trīsstūru veidi

• Ja taisnleņķa trijstūra visu trīs malu garumi ir veseli skaitļi, tad trijstūri sauc Pitagora trīsstūris, un tā sānu garumi veido t.s Pitagora trīskāršais.

Īpašības

Augstums

Taisnstūra trīsstūra augstums.

Trigonometriskās attiecības

Ļaujiet būt h un s (h>s) pa divu kvadrātu malām, kas ierakstīti taisnleņķa trijstūrī ar hipotenūzu c. Pēc tam:

Taisnleņķa trijstūra perimetrs ir vienāds ar ierakstītā apļa un trīs ierobežoto apļu rādiusu summu.

Piezīmes

Saites

• Veisteins, Ēriks V. Labais trīsstūris (angļu valodā) Wolfram MathWorld vietnē.
• Wentworth G.A.Ģeometrijas mācību grāmata. - Ginn & Co, 1895. gads.

Wikimedia fonds. 2010 .

• kuboīds
• Tiešās izmaksas

Skatiet, kas ir "taisns trīsstūris" citās vārdnīcās:

taisnleņķa trīsstūris- — Naftas un gāzes nozares tēmas LV taisnleņķa trīsstūris … Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

Trijstūris- un (vienkāršs) trīsstūris, trīsstūris, vīrs. 1. Ģeometriska figūra, ko ierobežo trīs savstarpēji krustojošas taisnes, kas veido trīs iekšējos leņķus (mat.). Strups trīsstūris. Akūts trīsstūris. Taisns trīsstūris…… Ušakova skaidrojošā vārdnīca

Taisnstūrveida- Taisnstūrveida, taisnstūrveida, taisnstūrveida (ģeom.). Taisns leņķis (vai taisns leņķis). Taisns trīsstūris. Taisnstūra figūras. Ušakova skaidrojošā vārdnīca. D.N. Ušakovs. 1935 1940 ... Ušakova skaidrojošā vārdnīca

Trīsstūris- Šim terminam ir arī citas nozīmes, skatiet trīsstūris (nozīmes). Trijstūris (Eiklīda telpā) ir ģeometriska figūra, ko veido trīs līniju segmenti, kas savieno trīs nelineārus punktus. Trīs punkti, ... ... Vikipēdija

trīsstūris- ▲ daudzstūris ar trīs leņķa trīsstūri ir vienkāršākais daudzstūris; ir dots ar 3 punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes. trīsstūrveida. akūts leņķis. akūts leņķis. taisnstūris trīsstūris: kāja. hipotenūza. vienādsānu trīsstūris. ▼…… Krievu valodas ideogrāfiskā vārdnīca

Trijstūris- Trijstūris, a, vīrs. 1. Ģeometriskā figūra ir daudzstūris ar trim stūriem, kā arī jebkurš objekts, šīs formas ierīce. Taisnstūra t.Koka t.(zīmēšanai). Karavīra t.(karavīra vēstule bez aploksnes, salocīta stūrī; sarunvaloda). 2… Ožegova skaidrojošā vārdnīca

Trīsstūris (daudzstūris)- Trijstūri: 1 akūts, taisnstūrveida un strups; 2 regulāri (vienādmalu) un vienādsānu; 3 bisektori; 4 mediānas un smaguma centrs; 5 augstumi; 6 ortocentrs; 7 vidējā līnija. Trijstūris, daudzstūris ar 3 malām. Dažreiz zem... Ilustrētā enciklopēdiskā vārdnīca

trīsstūris enciklopēdiskā vārdnīca

trīsstūris- a; m. 1) a) Ģeometriska figūra, ko ierobežo trīs krustojošas taisnes, kas veido trīs iekšējos leņķus. Taisnstūrveida, vienādsānu trīsstūris/lins. Aprēķiniet trīsstūra laukumu. b) resp. ko vai ar def. Šādas formas figūra vai priekšmets....... Daudzu izteicienu vārdnīca

Trīsstūris- a; m 1. Ģeometriska figūra, ko ierobežo trīs krustojošas taisnes, kas veido trīs iekšējos leņķus. Taisnstūrveida, vienādsānu m. Aprēķiniet trīsstūra laukumu. // ko vai ar def. Šādas formas figūra vai priekšmets. T. jumts. T.…… enciklopēdiskā vārdnīca

Taisns trijstūris - trīsstūris, kura viens leņķis ir taisns (vienāds ar 90 0). Tāpēc pārējie divi leņķi kopā veido 90 0 .

Taisnstūra trīsstūra malas

Pusi, kas atrodas pretī deviņdesmit grādu leņķim, sauc par hipotenūzu. Pārējās divas puses sauc par kājām. Hipotenūza vienmēr ir garāka par kājām, bet īsāka par to summu.

Taisns trīsstūris. Trijstūra īpašības

Ja kāja atrodas pretī trīsdesmit grādu leņķim, tad tās garums atbilst pusei no hipotenūzas garuma. No tā izriet, ka leņķis pretī kājai, kura garums atbilst pusei hipotenūzas, ir vienāds ar trīsdesmit grādiem. Kāja ir vienāda ar vidējo proporcionālo hipotenūzai un projekcijai, ko kāja dod hipotenūzai.

Pitagora teorēma

Jebkurš taisnleņķa trīsstūris pakļaujas Pitagora teorēmai. Šī teorēma nosaka, ka kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu. Ja pieņemam, ka kājas ir vienādas ar a un b, un hipotenūza ir c, tad rakstām: a 2 + b 2 \u003d c 2. Pitagora teorēmu izmanto, lai atrisinātu visas ģeometriskās problēmas, kurās parādās taisnleņķa trīsstūri. Tas arī palīdzēs novilkt taisnu leņķi, ja nav nepieciešamo instrumentu.

Augstums un mediāna

Taisnleņķa trīsstūri raksturo fakts, ka tā divi augstumi ir apvienoti ar kājām. Lai atrastu trešo pusi, jāatrod kāju projekciju summa uz hipotenūzas un jādala ar divi. Ja no taisnā leņķa virsotnes uzzīmējat mediānu, tas izrādīsies tā apļa rādiuss, kas tika aprakstīts ap trīsstūri. Šī apļa centrs būs hipotenūzas viduspunkts.

Taisns trīsstūris. Platība un tās aprēķins

Taisnstūra trīsstūru laukumu aprēķina, izmantojot jebkuru formulu trijstūra laukuma atrašanai. Turklāt varat izmantot citu formulu: S \u003d a * b / 2, kas saka, ka, lai atrastu laukumu, jums ir jāsadala kāju garuma reizinājums ar divi.

Kosinuss, sinuss un tangenss taisnleņķa trīsstūris

Akūtā leņķa kosinuss ir leņķim blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu. Tas vienmēr ir mazāks par vienu. Sinuss ir kājas attiecība pret leņķi pret hipotenūzu. Pieskares ir kājas, kas atrodas pretī stūrim, attiecība pret kāju, kas atrodas blakus šim stūrim. Kotangenss ir stūrim blakus esošās kājas attiecība pret kāju, kas atrodas pretī stūrim. Kosinuss, sinuss, tangenss un kotangenss nav atkarīgi no trijstūra lieluma. To vērtību ietekmē tikai leņķa pakāpes mērs.

Trīsstūra risinājums

Lai aprēķinātu leņķim pretējās kājas vērtību, hipotenūzas garums jāreizina ar šī leņķa sinusu vai otrās kājas izmērs ar leņķa tangensu. Lai atrastu leņķim blakus esošo kāju, jāaprēķina hipotenūzas un leņķa kosinusa reizinājums.

Vienādsānu taisnleņķa trīsstūris

Ja trijstūrim ir taisns leņķis un vienādas kājas, tad to sauc par vienādsānu taisnstūri. Arī šāda trijstūra akūtie leņķi ir vienādi - katrs 45 0. Mediāna, bisektrise un augstums, kas novilkts no vienādsānu taisnstūra trīsstūra taisnā leņķa, ir vienādi.