Taisnvirziena un līknes kustība. Taisnlīnija kustība un kustība pa materiāla punkta apkārtmēru

Ja paātrinājums materiālais punkts vienmēr ir vienāds ar nulli, tad tā kustības ātrums ir nemainīgs lielumā un virzienā. Trajektorija šajā gadījumā ir taisna līnija. Materiāla punkta kustību formulētajos apstākļos sauc par vienmērīgu taisnvirzienu. Ar taisnu kustību paātrinājuma centripetālā komponenta nav, un, tā kā kustība ir vienmērīga, paātrinājuma tangenciālā sastāvdaļa ir nulle.

Ja paātrinājums paliek nemainīgs laikā (), tad kustību sauc par vienādi mainīgu vai nevienmērīgu. Vienlīdz mainīgu kustību var vienmērīgi paātrināt, ja a > 0, un tikpat lēnu, ja a< 0. В этом случае мгновенное ускорение оказывается равным среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (1.5) следует а = Dv/Dt = (v-v o)/t, откуда

(1.7)

kur v o - sākotnējais ātrums pie t=0, v - ātrums brīdī t.

Saskaņā ar formulu (1.4) ds = vdt. Tad

Jo priekš vienmērīga kustība a=konst., tad

(1.8)

Formulas (1.7) un (1.8) ir derīgas ne tikai vienmērīgi mainīgai (nevienmērīgai) taisnvirziena kustībai, bet arī Brīvais kritiensķermenim un uz augšu izmesta ķermeņa kustībai. Pēdējos divos gadījumos a \u003d g \u003d 9,81 m/s 2.

Vienmērīgai taisnvirziena kustībai v = v o = const, a = 0, un formula (1.8) iegūst formu s = vt.

Apļveida kustība ir vienkāršākais līknes kustības gadījums. Materiāla punkta kustības ātrumu v pa apli sauc par lineāru. Ar nemainīgu modulo lineāro ātrumu kustība aplī ir vienmērīga. Materiāla punkta tangenciālais paātrinājums vienmērīgas kustības laikā pa apli nenotiek, un t \u003d 0. Tas nozīmē, ka ātrums modulo nemainās. Lineārā ātruma vektora izmaiņas virzienā raksturo normāls paātrinājums un n ¹ 0. Katrā apļveida trajektorijas punktā vektors a n ir vērsts pa rādiusu uz apļa centru.

un n \u003d v 2/R, m/s 2. (1,9)

Iegūtais paātrinājums patiešām ir centripetāls (normāls), jo pie Dt->0 Dj arī tiecas uz nulli (Dj->0) un vektoriem un tiks novirzīts pa apļa rādiusu uz tā centru.

Kopā ar lineāro ātrumu v vienmērīga kustība materiālu punktu gar apli raksturo leņķiskais ātrums. Leņķiskais ātrums ir rādiusa vektora griešanās leņķa Dj attiecība pret laika intervālu, kurā notika šī rotācija,

Rad/s (1,10)

Nevienmērīgai kustībai tiek izmantots momentānā leņķiskā ātruma jēdziens

Laika intervālu t, kura laikā materiālais punkts veic vienu pilnīgu apgriezienu ap apkārtmēru, sauc par rotācijas periodu, un perioda apgrieztais ir griešanās frekvence: n \u003d 1 / T, s -1.

Vienam periodam materiāla punkta rādiusa vektora griešanās leņķis ir 2π rad, tāpēc Dt \u003d T, no kurienes rotācijas periods, un leņķiskais ātrums ir funkcija no perioda vai griešanās frekvences.

Ir zināms, ka materiāla punktam vienmērīgi kustoties pa apli, tā noietais ceļš ir atkarīgs no kustības laika un lineārā ātruma: s = vt, m. Ceļš, ko materiāls punkts iet pa apli ar rādiusu R , uz periodu, ir vienāds ar 2πR. Tam nepieciešamais laiks ir vienāds ar rotācijas periodu, tas ir, t \u003d T. Un tāpēc

2πR = vT, m (1,11)

un v = 2nR/T = 2πnR, m/s. Tā kā materiāla punkta rādiusa vektora griešanās leņķis rotācijas periodā T ir vienāds ar 2π, tad, pamatojoties uz (1.10), ar Dt = T, . Aizvietojot ar (1.11), iegūstam un no šejienes atrodam sakarību starp lineāro un leņķisko ātrumu

Leņķiskais ātrums ir vektora lielums. Leņķiskā ātruma vektors ir vērsts no apļa centra, pa kuru materiālais punkts pārvietojas ar lineāro ātrumu v, perpendikulāri apļa plaknei saskaņā ar labās skrūves likumu.

Plkst nevienmērīga kustība materiāla punktam gar apli mainās lineārais un leņķiskais ātrums. Pēc analoģijas ar lineārais paātrinājumsšajā gadījumā tiek ieviests vidējā leņķiskā paātrinājuma un momentānais jēdziens: . Attiecībai starp tangenciālo un leņķisko paātrinājumu ir forma .

Ar šīs nodarbības palīdzību varēsi patstāvīgi apgūt tēmu “Taisnā un līknes kustība. Ķermeņa kustība aplī ar nemainīgu moduļa ātrumu. Pirmkārt, mēs raksturojam taisnvirziena un līknes kustību, apsverot, kā šādos kustības veidos ir saistīti ātruma vektors un ķermenim pieliktais spēks. Tālāk apsveriet īpašs gadījums kad ķermenis pārvietojas pa apli ar nemainīgu modulo ātrumu.

Iepriekšējā nodarbībā aplūkojām ar likumu saistītos jautājumus smagums. Šodienas nodarbības tēma ir cieši saistīta ar šo likumu, pievērsīsimies ķermeņa vienmērīgai kustībai riņķī.

Iepriekš mēs to teicām kustība - tās ir ķermeņa stāvokļa izmaiņas telpā attiecībā pret citiem ķermeņiem laika gaitā. Kustību un kustības virzienu, cita starpā, raksturo ātrums. Ātruma izmaiņas un pats kustības veids ir saistītas ar spēka darbību. Ja uz ķermeni iedarbojas spēks, tad ķermenis maina savu ātrumu.

Ja spēks ir vērsts paralēli ķermeņa kustībai, tad tāda kustība būs taisni(1. att.).

Rīsi. viens. Taisnvirziena kustība

izliekts tāda kustība būs tad, kad ķermeņa ātrums un uz šo ķermeni pieliktais spēks ir vērsti viens pret otru noteiktā leņķī (2. att.). Šajā gadījumā ātrums mainīs virzienu.

Rīsi. 2. Līklīnijas kustība

Tātad, plkst taisnvirziena kustībaātruma vektors ir vērsts tajā pašā virzienā kā ķermenim pieliktais spēks. BET izliekta kustība ir tāda kustība, kad ātruma vektors un ķermenim pieliktais spēks atrodas kādā leņķī viens pret otru.

Apsveriet īpašu izliektas kustības gadījumu, kad ķermenis pārvietojas pa apli ar nemainīgu ātrumu absolūtā vērtībā. Kad ķermenis pārvietojas pa apli ar nemainīgu ātrumu, mainās tikai ātruma virziens. Modulo tas paliek nemainīgs, bet mainās ātruma virziens. Šādas ātruma izmaiņas noved pie paātrinājuma klātbūtnes organismā, ko sauc centripetāls.

Rīsi. 6. Kustība pa izliektu ceļu

Ja ķermeņa kustības trajektorija ir līkne, tad to var attēlot kā kustību kopumu pa apļa lokiem, kā parādīts attēlā. 6.

Uz att. 7 parāda, kā mainās ātruma vektora virziens. Ātrums šādas kustības laikā ir vērsts tangenciāli uz apli, pa kura loku kustas ķermenis. Tādējādi tā virziens pastāvīgi mainās. Pat ja moduļa ātrums paliek nemainīgs, ātruma izmaiņas izraisa paātrinājumu:

Šajā gadījumā paātrinājums tiks vērsta uz apļa centru. Tāpēc to sauc par centripetālu.

Kāpēc centripetālais paātrinājums ir vērsts uz centru?

Atcerieties, ka, ja ķermenis pārvietojas pa izliektu ceļu, tā ātrums ir tangenciāls. Ātrums ir vektora lielums. Vektoram ir skaitliska vērtība un virziens. Ķermeņa kustības ātrums nepārtraukti maina virzienu. Tas ir, ātruma atšķirība dažādos laika punktos nebūs vienāda ar nulli (), atšķirībā no taisnas, vienmērīgas kustības.

Tātad mums ir izmaiņas ātrumā noteiktā laika periodā. Saistība ar ir paātrinājums. Mēs nonākam pie secinājuma, ka, pat ja ātrums nemainās absolūtā vērtībā, ķermenim, kas veic vienmērīgu kustību aplī, ir paātrinājums.

Kur tiek virzīts šis paātrinājums? Apsveriet att. 3. Kāds ķermenis kustas izliekti (lokā). Ķermeņa ātrums 1. un 2. punktā ir tangenciāls. Ķermenis kustas vienmērīgi, tas ir, ātrumu moduļi ir vienādi: , bet ātrumu virzieni nesakrīt.

Rīsi. 3. Ķermeņa kustība pa apli

Atņemiet ātrumu no un iegūstiet vektoru . Lai to izdarītu, jums ir jāsavieno abu vektoru sākumi. Paralēli mēs pārvietojam vektoru uz vektora sākumu. Mēs veidojam trīsstūri. Trijstūra trešā mala būs ātruma starpības vektors (4. att.).

Rīsi. 4. Ātruma starpības vektors

Vektors ir vērsts uz apli.

Aplūkosim trīsstūri, ko veido ātruma vektori un atšķirības vektors (5. att.).

Rīsi. 5. Trīsstūris, ko veido ātruma vektori

Šis trīsstūris ir vienādsānu (ātruma moduļi ir vienādi). Tātad leņķi pie pamatnes ir vienādi. Uzrakstīsim trijstūra leņķu summas vienādojumu:

Uzziniet, kur paātrinājums ir vērsts noteiktā trajektorijas punktā. Lai to izdarītu, mēs sākam tuvināt punktu 2 punktam 1. Ar šādu neierobežotu rūpību leņķis būs 0, bet leņķis - līdz. Leņķis starp ātruma izmaiņu vektoru un pašu ātruma vektoru ir . Ātrums ir vērsts tangenciāli, un ātruma izmaiņu vektors ir vērsts uz apļa centru. Tas nozīmē, ka arī paātrinājums ir vērsts uz apļa centru. Tāpēc šo paātrinājumu sauc centripetāls.

Kā atrast centripetālo paātrinājumu?

Apsveriet trajektoriju, pa kuru ķermenis pārvietojas. Šajā gadījumā tas ir apļa loks (8. att.).

Rīsi. 8. Ķermeņa kustība pa apli

Attēlā parādīti divi trīsstūri: trijstūris, ko veido ātrumi, un trīsstūris, ko veido rādiusi un nobīdes vektors. Ja punkti 1 un 2 atrodas ļoti tuvu, tad nobīdes vektors būs tāds pats kā ceļa vektors. Abi trīsstūri ir vienādsānu ar vienādiem virsotņu leņķiem. Tātad trīsstūri ir līdzīgi. Tas nozīmē, ka atbilstošās trīsstūru malas ir vienādās attiecībās:

Nobīde ir vienāda ar ātruma un laika reizinājumu: . Aizstāšana šī formula, jūs varat iegūt šādu izteiksmi centripetālajam paātrinājumam:

Leņķiskais ātrums apzīmēts grieķu burts omega (ω), tā stāsta par leņķi, pa kādu ķermenis griežas laika vienībā (9. att.). Tas ir loka lielums grādos, ko ķermenis šķērsojis noteiktā laikā.

Rīsi. 9. Leņķiskais ātrums

Ņemsim vērā, ka, ja ciets griežas, tad leņķiskais ātrums jebkuram šī ķermeņa punktam būs nemainīga vērtība. Punkts ir tuvāk rotācijas centram vai tālāk - tas nav svarīgi, tas ir, tas nav atkarīgs no rādiusa.

Mērvienība šajā gadījumā būs vai nu grādi sekundē (), vai radiāni sekundē (). Bieži vien vārds "radiāns" netiek rakstīts, bet vienkārši uzrakstīts. Piemēram, noskaidrosim, kāds ir Zemes leņķiskais ātrums. Zeme veic pilnu rotāciju vienas stundas laikā, un šajā gadījumā mēs varam teikt, ka leņķiskais ātrums ir vienāds ar:

Pievērsiet uzmanību arī sakarībai starp leņķisko un lineāro ātrumu:

Lineārais ātrums ir tieši proporcionāls rādiusam. Jo lielāks rādiuss, jo lielāks lineārais ātrums. Tādējādi, attālinoties no rotācijas centra, mēs palielinām savu lineāro ātrumu.

Jāņem vērā, ka kustība pa apli ar nemainīgu ātrumu ir īpašs kustības gadījums. Tomēr apļveida kustība var būt arī nevienmērīga. Ātrums var mainīties ne tikai virzienā un palikt nemainīgs absolūtā vērtībā, bet arī mainīties tā vērtībā, t.i., papildus virziena maiņai notiek arī ātruma moduļa izmaiņas. Šajā gadījumā mēs runājam par tā saukto paātrināto apļveida kustību.

Kas ir radiāns?

Leņķu mērīšanai ir divas vienības: grādi un radiāni. Fizikā, kā likums, galvenais ir leņķa radiāna mērs.

Konstruēsim centrālo leņķi, kas balstās uz loka garumu .

Kustība ir pozīcijas maiņa
ķermeņi telpā attiecībā pret citiem
ķermeņi laika gaitā. Kustības un
tiek raksturots kustības virziens
ieskaitot ātrumu. Mainīt
ātrums un pats kustības veids ir saistīts ar
spēka darbība. Ja tiek ietekmēts ķermenis
spēks, ķermenis maina ātrumu.

Ja spēks ir paralēls
ķermeņa kustība, vienā virzienā, tad šī
kustība būs taisna.

Šāda kustība būs izliekta,
kad ķermeņa ātrums un spēks pielikts uz
šis ķermenis ir vērsti viens pret otru
draugs kaut kādā leņķī. Šajā gadījumā
ātrums mainīsies
virziens.

Tātad, taisnvirziena
kustība, ātruma vektors ir vērsts uz to
tajā pašā pusē, uz kuru tiek pielikts spēks
ķermenis. Un izliekts
kustība ir kustība
kad ātruma vektors un spēks,
piestiprināts pie ķermeņa, atrodas zem
kāds leņķis viens pret otru.

centripetālais paātrinājums

CENTRIPEĀLS
PAĀCINĀJUMS
Apsveriet īpašu gadījumu
izliekta kustība, kad ķermenis
pārvietojas pa apli ar konstanti
ātruma modulis. Kad ķermenis kustas
aplī ar nemainīgu ātrumu, tad
mainās tikai ātruma virziens. Autors
modulo, tas paliek nemainīgs, un
mainās ātruma virziens. Tādas
ātruma maiņa noved pie
paātrinājuma ķermenis, kas
sauc par centripetālu.

Ja ķermeņa trajektorija ir
līkni, to var attēlot kā
kustību kopums pa lokiem
apļi, kā parādīts attēlā.
3.

Uz att. 4 parāda, kā mainās virziens
ātruma vektors. Šīs kustības ātrums
vērsta tangenciāli uz apli, pa loku
ko ķermenis kustina. Tādējādi viņa
virziens nemitīgi mainās. Pat
modulo ātrums paliek nemainīgs,
ātruma izmaiņas izraisa paātrinājuma parādīšanos:

Šajā gadījumā paātrinājums būs
vērsta uz apļa centru. Tātad
to sauc par centripetālu.
To var aprēķināt, izmantojot sekojošo
formula:

Leņķiskais ātrums. attiecības starp leņķisko un lineāro ātrumu

LEŅĶAIS ĀTRUMS. SAVIENOJUMS
STŪRIS UN LĪNIJA
ĀTRUMI
Dažas kustības īpašības
aprindās
Leņķisko ātrumu apzīmē ar grieķu valodu
ar burtu omega (w), tas norāda, kurš
leņķis pagriež ķermeni laika vienībā.
Tas ir loka lielums grādos,
kādu laiku pagājis garām ķermenim.
Ņemiet vērā, ka, ja stingrs korpuss griežas, tad
leņķiskais ātrums jebkuram šī ķermeņa punktam
būs nemainīga vērtība. tuvāks punkts
atrodas virzienā uz rotācijas centru vai tālāk -
nav nozīmes, t.i. nav atkarīgs no rādiusa.

Mērvienība šajā gadījumā būtu
vai nu grādi sekundē, vai radiāni
dod man mirklīti. Bieži vien vārds "radiāns" netiek rakstīts, bet gan
vienkārši rakstiet c-1. Piemēram, atradīsim
kāds ir zemes leņķiskais ātrums. Zeme
24 stundu laikā veic pilnu 360° pagriezienu, un
Šajā gadījumā tā var teikt
leņķiskais ātrums ir vienāds.

Ņemiet vērā arī leņķisko attiecību
ātrums un līnijas ātrums:
V = w. R.
Jāatzīmē, ka kustība
apļi ar nemainīgu ātrumu ir koeficients
kustības futrālis. Tomēr apļveida kustība
var būt arī nevienmērīga. ātrums var
mainīt ne tikai virzienā un palikt
ir identisks pēc moduļa, bet arī mainās savā veidā
nozīme, t.i., neatkarīgi no virziena maiņas,
ir arī izmaiņas ātruma modulī. AT
Šajā gadījumā runa ir par t.s
paātrināta apļveida kustība.

Atkarībā no trajektorijas formas kustību var iedalīt taisnā un izliektajā. Visbiežāk jūs saskaraties ar izliektām kustībām, kad ceļš tiek attēlots kā līkne. Šāda veida kustības piemērs ir leņķī pret horizontu izmestā ķermeņa ceļš, Zemes kustība ap Sauli, planētām utt.

1. attēls. Trajektorija un nobīde līknes kustībā

1. definīcija

Līklīnijas kustība sauc par kustību, kuras trajektorija ir izliekta līnija. Ja ķermenis pārvietojas pa izliektu ceļu, tad nobīdes vektors s → ir vērsts pa hordu, kā parādīts 1. attēlā, un l ir ceļa garums. Ķermeņa momentānā ātruma virziens ir tangenciāls tajā pašā trajektorijas punktā, kur Šis brīdis atrodas kustīgs objekts, kā parādīts 2. attēlā.

2. attēls. Momentāns ātrums līknes kustībā

2. definīcija

Materiāla punkta līknes kustība sauc par vienotu, ja ātruma modulis ir nemainīgs (kustība pa apli), un vienmērīgi paātrināts ar mainīgu virzienu un ātruma moduli (izmestā ķermeņa kustība).

Līklīnijas kustība vienmēr tiek paātrināta. Tas izskaidrojams ar to, ka pat ar nemainīgu ātruma moduli, bet mainītu virzienu, vienmēr ir paātrinājums.

Lai izpētītu materiāla punkta līknes kustību, tiek izmantotas divas metodes.

Ceļš ir sadalīts atsevišķos posmos, katrā no kuriem to var uzskatīt par taisnu, kā parādīts 3. attēlā.

3. attēls. Līklīnijas kustības sadalīšana translācijā

Tagad katrai sadaļai varat piemērot taisnās kustības likumu. Šis princips ir pieņemts.

Par ērtāko risinājuma metodi tiek uzskatīta ceļa attēlošana kā vairāku kustību kopums pa apļa lokiem, kā parādīts 4. attēlā. Starpsienu skaits būs daudz mazāks nekā iepriekšējā metodē, turklāt kustība ap apli jau ir izliekta.

4. attēls. Līklīnijas kustības sadalīšana kustībās pa apļa lokiem

1. piezīme

Lai ierakstītu izliektu kustību, jāprot aprakstīt kustību pa apli, attēlot patvaļīgu kustību kustību kopu veidā pa šo apļu lokiem.

Līklīnijas kustības izpēte ietver kinemātiskā vienādojuma sastādīšanu, kas apraksta šo kustību un ļauj noteikt visus kustības raksturlielumus no pieejamajiem sākotnējiem nosacījumiem.

1. piemērs

Dots materiāla punkts, kas pārvietojas pa līkni, kā parādīts 4. attēlā. Apļu centri O 1 , O 2 , O 3 atrodas uz vienas taisnes. Jāatrod kustība
s → un ceļa garums l kustības laikā no punkta A uz B.

Lēmums

Ar nosacījumu, ka apļa centri pieder vienai taisnei, tātad:

s → = R1 + 2 R2 + R3.

Tā kā kustības trajektorija ir pusloku summa, tad:

l ~ A B \u003d π R 1 + R 2 + R 3.

Atbilde: s → \u003d R 1 + 2 R 2 + R 3, l ~ A B \u003d π R 1 + R 2 + R 3.

2. piemērs

Ir dota ķermeņa noietā ceļa atkarība no laika, ko attēlo vienādojums s (t) \u003d A + B t + C t 2 + D t 3 (C \u003d 0, 1 m / s 2, D \ u003d 0, 003 m/s 3) . Aprēķiniet, pēc kāda laika pēc kustības sākuma ķermeņa paātrinājums būs vienāds ar 2 m / s 2

Lēmums