Atvasinājums vienkāršā valodā. Funkcijas atvasinājums

Sastādiet attiecību un aprēķiniet robežu.

Kur darīja atvasinājumu un diferenciācijas noteikumu tabula? Pateicoties vienam ierobežojumam. Šķiet, ka tā ir maģija, bet patiesībā - viltība un bez krāpšanas. Uz nodarbības Kas ir atvasinājums? Sāku apsvērt konkrētus piemērus, kur, izmantojot definīciju, atradu lineāras un kvadrātiskās funkcijas atvasinājumus. Kognitīvās iesildīšanās nolūkos turpināsim traucēt atvasinājumu tabula, pilnveidojot algoritmu un tehniskos risinājumus:

1. piemērs

Faktiski ir jāpierāda īpašs jaudas funkcijas atvasinājuma gadījums, kas parasti parādās tabulā: .

Risinājums tehniski formalizēts divos veidos. Sāksim ar pirmo, jau pazīstamo pieeju: kāpnes sākas ar planku, un atvasinātā funkcija sākas ar atvasinājumu punktā.

Apsveriet daži(konkrēts) punkts, kas pieder domēni funkcija, kurai ir atvasinājums. Šajā punktā iestatiet pieaugumu (protams, ne tālāko/o -es) un sastādiet atbilstošo funkcijas pieaugumu:

Aprēķināsim limitu:

Nenoteiktība 0:0 tiek novērsta ar standarta paņēmienu, kas tika uzskatīts jau pirmajā gadsimtā pirms mūsu ēras. Reiziniet skaitītāju un saucēju ar blakus izteiksmi :

Šādas robežas risināšanas tehnika ir detalizēti apspriesta ievadstundā. par funkciju ierobežojumiem.

Tā kā JEBKURU intervāla punktu var izvēlēties kā, tad, aizstājot , mēs iegūstam:

Atbilde

Vēlreiz priecāsimies par logaritmiem:

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu, izmantojot atvasinājuma definīciju

Risinājums: apsvērsim citu pieeju viena un tā paša uzdevuma veicināšanai. Tas ir tieši tāds pats, bet dizaina ziņā racionālāks. Ideja ir atbrīvoties no apakšindeksa risinājuma sākumā un izmantot burtu burta vietā.

Apsveriet patvaļīgi punkts, kas pieder domēni funkciju (intervāls ) un iestatiet tās soli. Un šeit, starp citu, kā vairumā gadījumu, jūs varat iztikt bez jebkādām atrunām, jo logaritmiskā funkcija ir diferencējama jebkurā definīcijas domēna punktā.

Tad atbilstošais funkcijas pieaugums ir:

Atradīsim atvasinājumu:

Dizaina vieglumu līdzsvaro apjukums, ko var piedzīvot iesācēji (un ne tikai). Galu galā mēs esam pieraduši, ka burts “X” mainās limitā! Bet šeit viss ir savādāk: - antīka statuja, un - dzīvs apmeklētājs, jautri pastaigājoties pa muzeja gaiteni. Tas ir, “x” ir “kā konstante”.

Soli pa solim komentēšu nenoteiktības novēršanu:

(1) Izmantojiet logaritma īpašību .

(2) Iekavās mēs dalām skaitītāju ar saucēja vārdu ar vārdu.

(3) Saucējā mēs mākslīgi reizinām un dalām ar "x", lai izmantotu priekšrocības brīnišķīga robeža , kamēr kā bezgala mazs izceļas.

Atbilde: pēc atvasinājuma definīcijas:

Vai īsumā:

Es ierosinu patstāvīgi izveidot vēl divas tabulas formulas:

3. piemērs

Šajā gadījumā apkopoto pieaugumu nekavējoties ir ērti samazināt līdz kopsaucējam. Aptuvenais uzdevuma paraugs nodarbības beigās (pirmā metode).

3. piemērs:Risinājums : apsveriet kādu punktu , kas pieder pie funkcijas darbības jomas . Šajā punktā iestatiet pieaugumu un sastādiet atbilstošo funkcijas pieaugumu:

Atradīsim atvasinājumu punktā :

Kopš kā jūs varat izvēlēties jebkuru punktu funkciju apjoms , tad un
Atbilde : pēc atvasinājuma definīcijas

4. piemērs

Atrodiet atvasinājumu pēc definīcijas

Un šeit viss ir jāsamazina līdz brīnišķīga robeža. Risinājums ir ierāmēts otrajā veidā.

Tāpat virkne citu tabulas atvasinājumi. Pilnu sarakstu var atrast skolas mācību grāmatā vai, piemēram, Fichtenholtz 1. sējumā. Es neredzu lielu jēgu pārrakstīt no grāmatām un diferenciācijas noteikumu pierādījumiem - tos arī ģenerē formula.

4. piemērs:Risinājums , īpašumā , un iestatiet tajā pieaugumu

Atradīsim atvasinājumu:

Izmantojiet brīnišķīgo ierobežojumu

Atbilde : pēc definīcijas

5. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu , izmantojot atvasinājuma definīciju

Risinājums: izmantojiet pirmo vizuālo stilu. Apskatīsim kādu punktu, kas pieder pie , iestatīsim tajā argumenta pieaugumu. Tad atbilstošais funkcijas pieaugums ir:

Iespējams, daži lasītāji vēl nav pilnībā izpratuši principu, pēc kura jāveic palielinājums. Mēs ņemam punktu (skaitli) un atrodam tajā funkcijas vērtību: , tas ir, funkcijā tā vietā"x" jāaizstāj. Tagad mēs arī ņemam ļoti konkrētu skaitli un arī aizstājam to funkcijā tā vietā"x": . Mēs pierakstām atšķirību, kamēr tas ir nepieciešams iekavās pilnībā.

Sastādītās funkcijas palielinājums ir izdevīgi nekavējoties vienkāršot. Priekš kam? Atvieglojiet un saīsiniet tālākās robežas risinājumu.

Mēs izmantojam formulas, atveram iekavas un samazinām visu, ko var samazināt:

Tītars ir izķidāts, ar cepeti nav problēmu:

Galu galā:

Tā kā par kvalitāti var izvēlēties jebkuru reālu skaitli, mēs veicam aizstāšanu un iegūstam .

Atbilde: pēc definīcijas.

Pārbaudes nolūkos mēs atrodam atvasinājumu, izmantojot diferenciācijas noteikumi un tabulas:

Vienmēr ir lietderīgi un patīkami zināt pareizo atbildi iepriekš, tāpēc labāk ir prātīgi vai uzmetumā “ātri” diferencēt piedāvāto funkciju jau pašā risinājuma sākumā.

6. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu pēc atvasinājuma definīcijas

Šis ir “dari pats” piemērs. Rezultāts atrodas uz virsmas:

6. piemērs:Risinājums : apsveriet kādu punktu , īpašumā , un iestatiet argumenta pieaugumu tajā . Tad atbilstošais funkcijas pieaugums ir:

Aprēķināsim atvasinājumu:

Pa šo ceļu:
Jo kā var izvēlēties jebkuru reālo skaitli un
Atbilde : pēc definīcijas.

Atgriezīsimies pie 2. stila:

7. piemērs

Nekavējoties noskaidrosim, kam vajadzētu notikt. Autors sarežģītas funkcijas diferenciācijas noteikums:

Risinājums: apsveriet patvaļīgu punktu, kas pieder pie , iestatiet tajā argumenta pieaugumu un izveidojiet funkcijas pieaugumu:

Atradīsim atvasinājumu:

(1) Izmantošana trigonometriskā formula .

(2) Zem sinusa atveram iekavas, zem kosinusa attēlojam līdzīgus terminus.

(3) Zem sinusa mēs samazinām vārdus, zem kosinusa mēs dalām skaitītāju ar saucēja vārdu ar terminu.

(4) Sakarā ar sinusa dīvainību mēs izņemam “mīnusu”. Zem kosinusa mēs norādām, ka termins .

(5) Mēs mākslīgi reizinām izmantojamo saucēju pirmā brīnišķīgā robeža. Tādējādi nenoteiktība tiek novērsta, mēs ķemmējam rezultātu.

Atbilde: pēc definīcijas

Kā redzat, aplūkojamās problēmas galvenās grūtības ir pašas robežas sarežģītība + neliela iepakojuma oriģinalitāte. Praksē ir sastopamas abas projektēšanas metodes, tāpēc es aprakstu abas pieejas pēc iespējas detalizētāk. Tie ir līdzvērtīgi, bet tomēr, manā subjektīvā iespaidā, manekeniem lietderīgāk ir pieturēties pie 1. varianta ar “X nulle”.

8. piemērs

Izmantojot definīciju, atrodiet funkcijas atvasinājumu

8. piemērs:Risinājums : apsveriet patvaļīgu punktu , īpašumā , iestatīsim tajā pieaugumu un veiciet funkcijas pieaugumu:

Atradīsim atvasinājumu:

Mēs izmantojam trigonometrisko formulu un pirmais ievērojamais ierobežojums:

Atbilde : pēc definīcijas

Analizēsim retāku problēmas versiju:

9. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā, izmantojot atvasinājuma definīciju.

Pirmkārt, kādai vajadzētu būt būtībai? Numurs

Aprēķināsim atbildi standarta veidā:

Risinājums: no skaidrības viedokļa šis uzdevums ir daudz vienkāršāks, jo formula tā vietā ņem vērā noteiktu vērtību.

Mēs iestatām palielinājumu punktā un veidojam atbilstošo funkcijas pieaugumu:

Aprēķiniet atvasinājumu punktā:

Mēs izmantojam ļoti retu pieskares atšķirības formulu un vēlreiz samaziniet šķīdumu līdz pirmā brīnišķīgā robeža:

Atbilde: pēc atvasinājuma definīcijas punktā.

Uzdevums nav tik grūti atrisināms un “vispārīgi” - pietiek aizstāt ar vai vienkārši, atkarībā no projektēšanas metodes. Šajā gadījumā, protams, jūs iegūstat nevis skaitli, bet gan atvasinātu funkciju.

10. piemērs

Izmantojot definīciju, atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā (no kuriem viens var izrādīties bezgalīgs), par kuru es jau vispārīgi runāju teorētiskā nodarbība par atvasinājumu.

Dažas pa daļām definētas funkcijas ir diferencējamas arī grafika “savienojuma” punktos, piemēram, catdog punktā ir kopīgs atvasinājums un kopējā tangenss (abscisa). Līkne, jā, atšķiras ar ! Tie, kas vēlas, var paši par to pārliecināties pēc tikko atrisinātā piemēra parauga.

©2015-2019 vietne
Visas tiesības pieder to autoriem. Šī vietne nepretendē uz autorību, bet nodrošina bezmaksas izmantošanu.
Lapas izveides datums: 2017-06-11

Definīcija. Lai funkcija $y = f(x) $ ir definēta kādā intervālā, kurā ir punkts $x_0 $. Palielināsim $\Delta x $ līdz argumentam, lai neatstātu šo intervālu. Atrodiet atbilstošo funkcijas $\Delta y $ pieaugumu (pārejot no punkta $x_0 $ uz punktu $x_0 + \Delta x $) un izveido relāciju $\frac(\Delta y) )(\Delta x) $. Ja pie $\Delta x \rightarrow 0 $ ir šīs attiecības ierobežojums, tad norādītā robeža tiek izsaukta atvasinātā funkcija$y=f(x) $ punktā $x_0 $ un apzīmē $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbols y bieži tiek izmantots, lai apzīmētu atvasinājumu. Ņemiet vērā, ka y" = f(x) ir jauna funkcija, bet dabiski saistīta ar funkciju y = f(x), kas definēta visos punktos x, kuros pastāv iepriekš minētā robeža . Šo funkciju sauc šādi: funkcijas y \u003d f (x) atvasinājums.

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme sastāv no sekojošā. Ja pieskari, kas nav paralēla y asij, var uzzīmēt funkcijas y \u003d f (x) grafikā punktā ar abscisu x \u003d a, tad f (a) izsaka pieskares slīpumu:
$k = f"(a)$

Tā kā $k = tg(a) $, vienādība $f"(a) = tg(a) $ ir patiesa.

Un tagad mēs interpretējam atvasinājuma definīciju aptuveno vienādību izteiksmē. Lai funkcijai $y = f(x) $ ir atvasinājums noteiktā punktā $x $:
$$ \lim_(\Delta x \līdz 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tas nozīmē, ka punkta x tuvumā aptuvenā vienādība $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, t.i., $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax$. Iegūtās aptuvenās vienādības jēgpilnā nozīme ir šāda: funkcijas pieaugums ir “gandrīz proporcionāls” argumenta pieaugumam, un proporcionalitātes koeficients ir atvasinājuma vērtība dotajā punktā x. Piemēram, funkcijai $y = x^2 $ ir derīga aptuvenā vienādība $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $. Ja mēs rūpīgi analizēsim atvasinājuma definīciju, mēs atklāsim, ka tajā ir algoritms tā atrašanai.

Formulēsim to.

Kā atrast funkcijas y \u003d f (x) atvasinājumu?

1. Labojiet vērtību $x $, atrodiet $f(x) $
2. Palieliniet $x $ argumentu $\Delta x $, pārejiet uz jaunu punktu $x+ \Delta x $, atrodiet $f(x+ \Delta x) $
3. Atrodiet funkcijas pieaugumu: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Sastādiet relāciju $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Aprēķiniet $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Šī robeža ir atvasinājums no funkcijas pie x.

Ja funkcijai y = f(x) ir atvasinājums punktā x, tad to sauc par diferencējamu punktā x. Tiek izsaukta procedūra funkcijas y \u003d f (x) atvasinājuma atrašanai diferenciācija funkcijas y = f(x).

Apspriedīsim šādu jautājumu: kā ir saistīta funkcijas nepārtrauktība un diferenciācija kādā punktā?

Lai funkcija y = f(x) ir diferencējama punktā x. Pēc tam funkcijas grafikam punktā M (x; f (x)) var uzzīmēt tangensu un, atcerieties, pieskares slīpums ir vienāds ar f "(x). Šāds grafiks nevar "izlauzties" pie punkts M, ti, funkcijai jābūt nepārtrauktai pie x.

Tā bija spriešana "uz pirkstiem". Iesniegsim stingrāku argumentu. Ja funkcija y = f(x) ir diferencējama punktā x, tad aptuvenā vienādība $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $ ir spēkā. nulle, tad $\Delta y $ ) arī tiecas uz nulli, un tas ir nosacījums funkcijas nepārtrauktībai punktā.

Tātad, ja funkcija ir diferencējama punktā x, tad tā ir arī nepārtraukta šajā punktā.

Tieši otrādi nav taisnība. Piemēram: funkcija y = |x| ir nepārtraukts visur, it īpaši punktā x = 0, bet funkcijas grafika pieskare “savienotajā punktā” (0; 0) neeksistē. Ja kādā brīdī funkcijas grafikam nav iespējams uzzīmēt tangensu, tad šajā punktā nav atvasinājuma.

Vēl viens piemērs. Funkcija $y=\sqrt(x) $ ir nepārtraukta visā skaitļu taisnē, ieskaitot punktu x = 0. Un funkcijas grafika pieskare pastāv jebkurā punktā, arī punktā x = 0 . Bet šajā brīdī pieskare sakrīt ar y asi, tas ir, tā ir perpendikulāra abscisu asij, tās vienādojuma forma ir x \u003d 0. Šādai taisnei nav slīpuma, kas nozīmē, ka \ ( f "(0) \) arī nepastāv

Tātad, mēs iepazināmies ar jaunu funkcijas īpašību - diferenciāciju. Kā noteikt, vai funkcija ir atšķirama no funkcijas grafika?

Atbilde faktiski ir sniegta iepriekš. Ja kādā brīdī funkcijas grafikam var uzvilkt tangensu, kas nav perpendikulāra x asij, tad šajā punktā funkcija ir diferencējama. Ja kādā brīdī funkcijas grafikam pieskares nav vai tā ir perpendikulāra x asij, tad šajā punktā funkcija nav diferencējama.

Diferencēšanas noteikumi

Atvasinājuma atrašanas operāciju sauc diferenciācija. Veicot šo operāciju, bieži nākas strādāt ar koeficientiem, summām, funkciju reizinājumiem, kā arī ar "funkciju funkcijām", tas ir, sarežģītām funkcijām. Pamatojoties uz atvasinājuma definīciju, mēs varam iegūt diferenciācijas noteikumus, kas atvieglo šo darbu. Ja C ir konstants skaitlis un f=f(x), g=g(x) ir dažas diferencējamas funkcijas, tad ir taisnība diferenciācijas noteikumi:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Saliktās funkcijas atvasinājums:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Dažu funkciju atvasinājumu tabula

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = ax^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
Datums: 20.11.2014

Kas ir atvasinājums?

Atvasinājumu tabula.

Atvasinājums ir viens no galvenajiem augstākās matemātikas jēdzieniem. Šajā nodarbībā mēs iepazīstināsim ar šo jēdzienu. Iepazīsimies, bez stingriem matemātiskiem formulējumiem un pierādījumiem.

Šis ievads ļaus jums:

Izprast vienkāršu uzdevumu būtību ar atvasinājumu;

Veiksmīgi atrisiniet šos ļoti vienkāršos uzdevumus;

Sagatavojieties nopietnākām atvasinājumu nodarbībām.

Pirmkārt, patīkams pārsteigums.

Stingrā atvasinājuma definīcija ir balstīta uz robežu teoriju, un lieta ir diezgan sarežģīta. Tas ir satraucoši. Bet atvasinājuma praktiskā pielietošana, kā likums, neprasa tik plašas un dziļas zināšanas!

Lai veiksmīgi izpildītu lielāko daļu uzdevumu skolā un universitātē, pietiek ar to, ka zina tikai daži termini- izprast uzdevumu un tikai daži noteikumi- to atrisināt. Un viss. Tas mani iepriecina.

Vai mēs iepazīsimies?)

Noteikumi un apzīmējumi.

Elementārajā matemātikā ir daudz matemātisko darbību. Saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, kāpināšana, logaritms utt. Ja šīm darbībām pievieno vēl vienu darbību, elementārā matemātika kļūst augstāka. Šo jauno operāciju sauc diferenciācija.Šīs darbības definīcija un nozīme tiks apspriesta atsevišķās nodarbībās.

Šeit ir svarīgi saprast, ka diferencēšana ir tikai matemātiska darbība ar funkciju. Mēs ņemam jebkuru funkciju un saskaņā ar noteiktiem noteikumiem to pārveidojam. Rezultāts ir jauna funkcija. Šo jauno funkciju sauc: atvasinājums.

Diferenciācija- darbība ar funkciju.

Atvasinājums ir šīs darbības rezultāts.

Tāpat kā, piemēram, summa ir pievienošanas rezultāts. Or Privāts ir sadalīšanas rezultāts.

Zinot terminus, var vismaz saprast uzdevumus.) Formulējums ir šāds: atrast funkcijas atvasinājumu; ņemt atvasinājumu; atšķirt funkciju; aprēķināt atvasinājumu utt. Tas ir viss tas pats. Protams, ir sarežģītāki uzdevumi, kur atvasinājuma (diferencēšanas) atrašana būs tikai viens no soļiem uzdevuma risināšanā.

Atvasinājums tiek apzīmēts ar domuzīmi augšējā labajā stūrī virs funkcijas. Kā šis: y" vai f"(x) vai S"(t) utt.

lasīt y insults, ef insults no x, es insults no te, nu tu saprati...)

Pirmskaitlis var arī apzīmēt noteiktas funkcijas atvasinājumu, piemēram: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" utt. Bieži vien atvasinājumu apzīmē ar diferenciāļiem, taču mēs šajā nodarbībā šādu apzīmējumu neapskatīsim.

Pieņemsim, ka esam iemācījušies saprast uzdevumus. Nekas cits neatliek - iemācīties tos atrisināt.) Atgādināšu vēlreiz: atvasinājuma atrašana ir funkcijas pārveidošana saskaņā ar noteiktiem noteikumiem.Šo noteikumu ir pārsteidzoši maz.

Lai atrastu funkcijas atvasinājumu, jums jāzina tikai trīs lietas. Trīs pīlāri, uz kuriem balstās visa diferenciācija. Šeit ir trīs vaļi:

1. Atvasinājumu tabula (diferenciācijas formulas).

3. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Sāksim secībā. Šajā nodarbībā mēs apskatīsim atvasinājumu tabulu.

Atvasinājumu tabula.

Pasaulei ir bezgalīgs skaits funkciju. Šajā komplektā ir funkcijas, kas ir vissvarīgākās praktiskai lietošanai. Šīs funkcijas ietilpst visos dabas likumos. No šīm funkcijām, tāpat kā no ķieģeļiem, jūs varat izveidot visas pārējās. Šo funkciju klasi sauc elementāras funkcijas. Tieši šīs funkcijas tiek pētītas skolā - lineārās, kvadrātiskās, hiperbolas utt.

Funkciju diferencēšana "no nulles", t.i. pamatojoties uz atvasinājuma definīciju un robežu teoriju - diezgan laikietilpīga lieta. Un matemātiķi arī ir cilvēki, jā, jā!) Tātad viņi vienkāršoja savu dzīvi (un mūs). Viņi aprēķināja elementāro funkciju atvasinājumus pirms mums. Rezultātā tiek iegūta atvasinājumu tabula, kurā viss ir gatavs.)

Lūk, šī plāksne populārākajām funkcijām. Pa kreisi - elementārā funkcija, pa labi - tās atvasinājums.

	Funkcija y	Funkcijas y atvasinājums y"
1	C (konstante)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n ir jebkurš skaitlis)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	grēks x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
4	e x
5	žurnāls a x
5	ln x ( a = e)

Es iesaku pievērst uzmanību trešajai funkciju grupai šajā atvasinājumu tabulā. Jaudas funkcijas atvasinājums ir viena no visbiežāk sastopamajām formulām, ja ne visizplatītākā! Vai mājiens ir skaidrs?) Jā, atvasinājumu tabulu vēlams zināt no galvas. Starp citu, tas nav tik grūti, kā varētu šķist. Mēģiniet atrisināt vairāk piemēru, pati tabula paliks atmiņā!)

Atvasinājuma tabulas vērtības atrašana, kā jūs saprotat, nav visgrūtākais uzdevums. Tāpēc ļoti bieži šādos uzdevumos ir papildu mikroshēmas. Vai nu uzdevuma formulējumā, vai sākotnējā funkcijā, kuras, šķiet, nav tabulā ...

Apskatīsim dažus piemērus:

1. Atrodiet funkcijas y = x atvasinājumu 3

Tabulā šādas funkcijas nav. Bet ir jaudas funkcijas vispārējs atvasinājums (trešā grupa). Mūsu gadījumā n=3. Tāpēc n vietā aizstājam trīskāršu un uzmanīgi pierakstām rezultātu:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Tas ir viss.

Atbilde: y" = 3x 2

2. Atrodiet funkcijas y = sinx atvasinājuma vērtību punktā x = 0.

Šis uzdevums nozīmē, ka vispirms ir jāatrod sinusa atvasinājums un pēc tam jāaizstāj vērtība x = 0šim pašam atvasinājumam. Tas ir tādā secībā! Citādi gadās, ka viņi uzreiz aizvieto nulli sākotnējā funkcijā... Mums tiek lūgts atrast nevis sākotnējās funkcijas vērtību, bet gan vērtību. tā atvasinājums. Atvasinājums, ļaujiet man atgādināt, jau ir jauna funkcija.

Uz plāksnes mēs atrodam sinusu un atbilstošo atvasinājumu:

y" = (sinx)" = cosx

Aizstāt nulli atvasinājumā:

y"(0) = cos 0 = 1

Šī būs atbilde.

3. Atšķiriet funkciju:

Kas iedvesmo?) Atvasinājumu tabulā šādas funkcijas nav pat tuvu.

Atgādināšu, ka funkcijas diferencēšana nozīmē vienkārši atrast šīs funkcijas atvasinājumu. Ja aizmirstat elementāro trigonometriju, mūsu funkcijas atvasinājuma atrašana ir diezgan apgrūtinoša. Tabula nepalīdz...

Bet, ja mēs redzam, ka mūsu funkcija ir dubultā leņķa kosinuss, tad uzreiz viss kļūst labāk!

Jā jā! Atcerieties, ka sākotnējās funkcijas pārveidošana pirms diferenciācijas diezgan pieņemami! Un tas notiek, lai padarītu dzīvi daudz vieglāku. Saskaņā ar dubultā leņķa kosinusa formulu:

Tie. mūsu viltīgā funkcija ir nekas cits kā y = cox. Un šī ir tabulas funkcija. Mēs uzreiz saņemam:

Atbilde: y" = - grēks x.

Piemērs pieredzējušiem absolventiem un studentiem:

4. Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Protams, atvasinājumu tabulā šādas funkcijas nav. Bet, ja atceras elementāru matemātiku, darbības ar pilnvarām... Tad pavisam iespējams šo funkciju vienkāršot. Kā šis:

Un x desmitdaļas pakāpē jau ir tabulas funkcija! Trešā grupa, n=1/10. Tieši pēc formulas un rakstiet:

Tas ir viss. Šī būs atbilde.

Ceru, ka ar pirmo diferenciācijas vali - atvasinājumu tabulu - viss ir skaidrs. Atliek tikt galā ar diviem atlikušajiem vaļiem. Nākamajā nodarbībā apgūsim diferencēšanas noteikumus.

Pirmais līmenis

Funkcijas atvasinājums. Visaptverošs ceļvedis (2019)

Iedomājieties taisnu ceļu, kas iet cauri kalnainai vietai. Tas ir, tas iet uz augšu un uz leju, bet negriežas ne pa labi, ne pa kreisi. Ja ass ir vērsta horizontāli gar ceļu un vertikāli, tad ceļa līnija būs ļoti līdzīga kādas nepārtrauktas funkcijas grafikam:

Ass ir noteikts nulles augstuma līmenis, dzīvē mēs izmantojam jūras līmeni kā to.

Pa šādu ceļu virzoties uz priekšu, arī mēs virzāmies uz augšu vai uz leju. Var arī teikt: mainoties argumentam (virzās pa abscisu asi), mainās funkcijas vērtība (virzās pa ordinātu asi). Tagad padomāsim, kā noteikt mūsu ceļa "stāvumu"? Kāda varētu būt šī vērtība? Ļoti vienkārši: cik ļoti mainīsies augstums, virzoties uz priekšu noteiktu attālumu. Patiešām, dažādos ceļa posmos, virzoties uz priekšu (pa abscisu) vienu kilometru, mēs pacelsimies vai kritīsim atšķirīgu metru skaitu attiecībā pret jūras līmeni (gar ordinātām).

Mēs apzīmējam progresu uz priekšu (lasiet "delta x").

Grieķu burtu (delta) matemātikā parasti izmanto kā prefiksu, kas nozīmē "izmaiņas". Tas ir - tas ir lieluma izmaiņas, - izmaiņas; tad kas tas ir? Tieši tā, izmēra maiņa.

Svarīgi: izteiksme ir viena entītija, viens mainīgais. Nekad nevajadzētu noraut "deltu" no "x" vai jebkura cita burta! Tas ir, piemēram,.

Tātad, mēs esam virzījušies uz priekšu, horizontāli, tālāk. Ja salīdzinām ceļa līniju ar funkcijas grafiku, tad kā apzīmēsim kāpumu? Noteikti,. Tas ir, virzoties uz priekšu, mēs paceļamies augstāk.

Vērtību ir viegli aprēķināt: ja sākumā bijām augstumā, un pēc pārvietošanas bijām augstumā, tad. Ja beigu punkts izrādījās zemāks par sākuma punktu, tas būs negatīvs - tas nozīmē, ka mēs nevis augam, bet gan lejupejam.

Atpakaļ uz "stāvumu": šī ir vērtība, kas norāda, cik daudz (stāvi) palielinās augstums, virzoties uz priekšu attāluma vienībā:

Pieņemsim, ka kādā ceļa posmā, virzoties par km, ceļš paceļas par km uz augšu. Tad stāvums šajā vietā ir vienāds. Un ja ceļš, virzoties uz priekšu par m, nogrimtu par km? Tad slīpums ir vienāds.

Tagad apsveriet kalna virsotni. Ja paņem posma sākumu puskilometru līdz augšai, bet beigas - puskilometru pēc tās, var redzēt, ka augstums ir gandrīz vienāds.

Tas ir, saskaņā ar mūsu loģiku, izrādās, ka slīpums šeit ir gandrīz vienāds ar nulli, kas acīmredzami nav taisnība. Daudz kas var mainīties tikai dažu kilometru attālumā. Jāapsver mazākas platības, lai iegūtu adekvātāku un precīzāku stāvuma novērtējumu. Piemēram, ja mērīsit augstuma izmaiņas, pārvietojoties vienu metru, rezultāts būs daudz precīzāks. Taču arī ar šo precizitāti mums var nepietikt – galu galā, ja ceļa vidū ir stabs, varam tam vienkārši izslīdēt. Kādu attālumu tad izvēlēties? Centimetrs? Milimetrs? Mazāk ir labāk!

Reālajā dzīvē attāluma mērīšana līdz tuvākajam milimetram ir vairāk nekā pietiekami. Bet matemātiķi vienmēr tiecas pēc pilnības. Tāpēc koncepcija bija bezgala mazs, tas ir, moduļa vērtība ir mazāka par jebkuru skaitli, ko varam nosaukt. Piemēram, jūs sakāt: viena triljonā daļa! Cik mazāk? Un jūs dalāt šo skaitli ar - un tas būs vēl mazāks. utt. Ja mēs vēlamies rakstīt, ka vērtība ir bezgalīgi maza, mēs rakstām šādi: (lasām “x mēdz nulli”). Ir ļoti svarīgi saprast ka šis skaitlis nav vienāds ar nulli! Bet ļoti tuvu tam. Tas nozīmē, ka to var iedalīt.

Jēdziens, kas ir pretējs bezgalīgi mazam, ir bezgalīgi liels (). Jūs, iespējams, jau esat ar to saskārušies, strādājot pie nevienlīdzības: šis skaitlis ir lielāks modulī nekā jebkurš skaitlis, ko varat iedomāties. Ja izdomājat lielāko iespējamo skaitli, vienkārši reiziniet to ar divi, un jūs iegūsit vēl vairāk. Un bezgalība ir pat vairāk nekā tas, kas notiek. Faktiski bezgalīgi lieli un bezgalīgi mazi ir apgriezti viens otram, tas ir, pie un otrādi: at.

Tagad atpakaļ uz mūsu ceļu. Ideāli aprēķinātais slīpums ir slīpums, kas aprēķināts bezgalīgi mazam ceļa segmentam, tas ir:

Atzīmēju, ka ar bezgala mazu nobīdi arī augstuma izmaiņas būs bezgala mazas. Bet atgādināšu, ka bezgalīgi mazs nenozīmē vienāds ar nulli. Ja bezgalīgi mazus skaitļus dalāt savā starpā, varat iegūt, piemēram, pilnīgi parastu skaitli. Tas ir, viena maza vērtība var būt tieši divas reizes lielāka par citu.

Kāpēc tas viss? Ceļš, stāvums... Mēs nebraucam uz ralliju, bet mācāmies matemātiku. Un matemātikā viss ir tieši tāpat, tikai sauc savādāk.

Atvasinājuma jēdziens

Funkcijas atvasinājums ir funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazā argumenta pieaugumā.

Pieaugums matemātikā sauc pārmaiņas. Tiek izsaukts, cik daudz arguments () ir mainījies, pārvietojoties pa asi argumentu pieaugums un apzīmē ar Cik daudz ir mainījusies funkcija (augstums), virzoties uz priekšu pa asi par attālumu, tiek izsaukts funkcijas pieaugums un ir atzīmēts.

Tātad funkcijas atvasinājums ir saistība ar kad. Mēs apzīmējam atvasinājumu ar tādu pašu burtu kā funkcija, tikai ar vēzienu no augšas labās puses: vai vienkārši. Tātad, rakstīsim atvasināto formulu, izmantojot šos apzīmējumus:

Tāpat kā analoģijā ar ceļu, šeit, kad funkcija palielinās, atvasinājums ir pozitīvs, un, kad tas samazinās, tas ir negatīvs.

Bet vai atvasinājums ir vienāds ar nulli? Noteikti. Piemēram, ja braucam pa līdzenu horizontālu ceļu, stāvums ir nulle. Patiešām, augstums nemaz nemainās. Tātad ar atvasinājumu: nemainīgas funkcijas (konstantes) atvasinājums ir vienāds ar nulli:

jo šādas funkcijas pieaugums ir nulle jebkurai.

Ņemsim piemēru kalna galā. Izrādījās, ka segmenta galus bija iespējams sakārtot virsotnes pretējās pusēs tā, lai augstums galos būtu vienāds, tas ir, segments ir paralēls asij:

Bet lieli segmenti liecina par neprecīzu mērījumu. Mēs pacelsim savu segmentu uz augšu paralēli sev, tad tā garums samazināsies.

Galu galā, kad esam bezgalīgi tuvu virsotnei, segmenta garums kļūs bezgalīgi mazs. Bet tajā pašā laikā tas palika paralēli asij, tas ir, augstuma starpība tās galos ir vienāda ar nulli (nav tendence, bet ir vienāda ar). Tātad atvasinājums

To var saprast šādi: kad mēs stāvam pašā augšā, neliela nobīde pa kreisi vai pa labi izmaina mūsu augumu niecīgi.

Ir arī tīri algebrisks skaidrojums: pa kreisi no augšas funkcija palielinās, bet pa labi - samazinās. Kā mēs jau noskaidrojām iepriekš, funkcijai palielinoties, atvasinājums ir pozitīvs, bet, samazinoties, tas ir negatīvs. Bet mainās raiti, bez lēcieniem (jo ceļš nekur krasi nemaina savu slīpumu). Tāpēc ir jābūt starp negatīvām un pozitīvajām vērtībām. Tā būs vieta, kur funkcija ne palielinās, ne samazinās – virsotnes punktā.

Tas pats attiecas uz ieleju (apgabals, kurā funkcija samazinās kreisajā pusē un palielinās labajā pusē):

Nedaudz vairāk par pieaugumu.

Tātad mēs mainām argumentu uz vērtību. No kādas vērtības mēs maināmies? Par ko viņš (arguments) tagad ir kļuvis? Mēs varam izvēlēties jebkuru punktu, un tagad mēs dejosim no tā.

Apsveriet punktu ar koordinātu. Funkcijas vērtība tajā ir vienāda. Pēc tam veicam to pašu pieaugumu: palieliniet koordinātu par. Kāds tagad ir arguments? Ļoti viegli: . Kāda tagad ir funkcijas vērtība? Kur atrodas arguments, tur iet funkcija: . Kā ar funkcijas pieaugumu? Nekas jauns: šī joprojām ir summa, par kādu funkcija ir mainījusies:

Praktizējiet pieauguma atrašanu:

Atrodiet funkcijas pieaugumu punktā ar argumenta pieaugumu, kas vienāds ar.
Tas pats attiecas uz funkciju punktā.

Risinājumi:

Dažādos punktos ar vienādu argumenta pieaugumu funkcijas pieaugums būs atšķirīgs. Tas nozīmē, ka atvasinājums katrā punktā ir savs (par to mēs runājām pašā sākumā - ceļa stāvums dažādos punktos ir atšķirīgs). Tāpēc, rakstot atvasinājumu, mums jānorāda, kurā brīdī:

Jaudas funkcija.

Jaudas funkciju sauc par funkciju, kurā arguments zināmā mērā ir (loģisks, vai ne?).

Un - jebkurā mērā: .

Vienkāršākais gadījums ir, ja eksponents ir:

Atradīsim tā atvasinājumu punktā. Atcerieties atvasinājuma definīciju:

Tātad arguments mainās no uz. Kāds ir funkcijas pieaugums?

Pieaugums ir. Bet funkcija jebkurā punktā ir vienāda ar tās argumentu. Tāpēc:

Atvasinājums ir:

Atvasinājums ir:

b) Tagad apsveriet kvadrātisko funkciju (): .

Tagad atcerēsimies to. Tas nozīmē, ka pieauguma vērtību var neņemt vērā, jo tā ir bezgalīgi maza un tāpēc nenozīmīga uz cita termina fona:

Tātad, mums ir vēl viens noteikums:

c) Turpinām loģisko sēriju: .

Šo izteiksmi var vienkāršot dažādos veidos: atveriet pirmo iekavu, izmantojot formulu summas kuba saīsinātai reizināšanai, vai sadaliet visu izteiksmi faktoros, izmantojot kubu starpības formulu. Mēģiniet to izdarīt pats jebkurā no ieteiktajiem veidiem.

Tātad, es saņēmu sekojošo:

Un atcerēsimies to vēlreiz. Tas nozīmē, ka mēs varam neņemt vērā visus terminus, kas satur:

Mēs iegūstam:.

d) Līdzīgus noteikumus var iegūt lielām jaudām:

e) Izrādās, ka šo noteikumu var vispārināt jaudas funkcijai ar patvaļīgu eksponentu, pat ne veselu skaitli:

(2)

Noteikumu var formulēt ar vārdiem: “pakāpe tiek virzīta uz priekšu kā koeficients un pēc tam samazinās par”.

Šo noteikumu mēs pierādīsim vēlāk (gandrīz pašās beigās). Tagad apskatīsim dažus piemērus. Atrodiet funkciju atvasinājumu:

(divos veidos: pēc formulas un izmantojot atvasinājuma definīciju - skaitot funkcijas pieaugumu);

. Ticiet vai nē, šī ir jaudas funkcija. Ja jums ir jautājumi, piemēram, “Kā tas ir? Un kur ir grāds? ”, Atcerieties tēmu“ ”!
Jā, jā, arī sakne ir pakāpe, tikai daļēja:.
Tātad mūsu kvadrātsakne ir tikai pakāpe ar eksponentu:
.
Mēs meklējam atvasinājumu, izmantojot nesen apgūto formulu:
Ja šajā brīdī atkal kļuva neskaidrs, atkārtojiet tēmu "" !!! (apmēram grāds ar negatīvu rādītāju)
. Tagad eksponents:
Un tagad, izmantojot definīciju (vai jūs jau esat aizmirsis?):
;
.
Tagad, kā parasti, mēs neņemam vērā terminu, kas satur:
.
. Iepriekšējo gadījumu kombinācija: .

trigonometriskās funkcijas.

Šeit mēs izmantosim vienu faktu no augstākās matemātikas:

Kad izteiksme.

Pierādījumus apgūsiet institūta pirmajā kursā (un, lai tur nokļūtu, ir labi jānokārto eksāmens). Tagad es to parādīšu tikai grafiski:

Mēs redzam, ka tad, kad funkcija neeksistē - punkts grafikā tiek caurdurts. Bet jo tuvāk vērtībai, jo tuvāk ir funkcija. Tā ir pati “cenšanās”.

Turklāt šo noteikumu varat pārbaudīt, izmantojot kalkulatoru. Jā, jā, nekautrējies, paņem kalkulatoru, mēs vēl neesam pie eksāmena.

Tātad mēģināsim: ;

Neaizmirstiet pārslēgt kalkulatoru uz Radiānu režīmu!

utt. Mēs redzam, ka jo mazāka, jo tuvāka koeficienta vērtība.

a) Apsveriet funkciju. Kā parasti, mēs atrodam tā pieaugumu:

Pārvērtīsim sinusu starpību par reizinājumu. Lai to izdarītu, mēs izmantojam formulu (atcerieties tēmu ""):.

Tagad atvasinājums:

Veiksim aizstāšanu: . Tad bezgalīgi mazam tas ir arī bezgalīgi mazs: . Izteiksmei ir šāda forma:

Un tagad mēs to atceramies ar izteicienu. Un arī, ja summā (tas ir, pie) var neņemt vērā bezgalīgi mazu vērtību.

Tātad mēs iegūstam šādu noteikumu: sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu:

Tie ir pamata (“tabulas”) atvasinājumi. Šeit tie ir vienā sarakstā:

Vēlāk mēs tiem pievienosim vēl dažus, bet tie ir vissvarīgākie, jo tie tiek izmantoti visbiežāk.

Prakse:

Atrast funkcijas atvasinājumu punktā;
Atrodiet funkcijas atvasinājumu.

Risinājumi:

Pirmkārt, mēs atrodam atvasinājumu vispārīgā formā un pēc tam aizstājam tā vērtību:
;
.
Šeit mums ir kaut kas līdzīgs jaudas funkcijai. Mēģināsim viņu pievest
normāls skats:
.
Labi, tagad varat izmantot formulu:
.
.
. Eeeeeee... Kas tas ir????

Labi, jums ir taisnība, mēs joprojām nezinām, kā atrast šādus atvasinājumus. Šeit mums ir vairāku veidu funkciju kombinācija. Lai strādātu ar viņiem, jums jāapgūst vēl daži noteikumi:

Eksponents un naturālais logaritms.

Matemātikā ir tāda funkcija, kuras atvasinājums jebkuram ir vienāds ar pašas funkcijas vērtību tam pašam. To sauc par "eksponentu", un tā ir eksponenciāla funkcija

Šīs funkcijas bāze - konstante - ir bezgalīga decimāldaļdaļa, tas ir, iracionāls skaitlis (piemēram,). To sauc par Eilera numuru, tāpēc to apzīmē ar burtu.

Tātad noteikums ir šāds:

To ir ļoti viegli atcerēties.

Nu, mēs netiksim tālu, mēs nekavējoties apsvērsim apgriezto funkciju. Kāda ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā vērtība? Logaritms:

Mūsu gadījumā bāze ir skaitlis:

Šādu logaritmu (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par “dabisku”, un mēs tam izmantojam īpašu apzīmējumu: tā vietā rakstām.

Kas ir vienāds ar? Protams, .

Arī dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Piemēri:

Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
Kāds ir funkcijas atvasinājums?

Atbildes: Eksponents un naturālais logaritms ir funkcijas, kas ir unikāli vienkāršas atvasinājuma ziņā. Eksponenciālajām un logaritmiskajām funkcijām ar jebkuru citu bāzi būs atšķirīgs atvasinājums, ko mēs analizēsim vēlāk, kad būsiet cauri diferencēšanas noteikumiem.

Diferencēšanas noteikumi

Kādi noteikumi? Atkal jauns termins?!...

Diferenciācija ir atvasinājuma atrašanas process.

Tikai un viss. Kāds ir vēl viens vārds šim procesam? Nav proizvodnovanie... Matemātikas diferenciāli sauc par pašu funkcijas pieaugumu pie. Šis termins cēlies no latīņu vārda differentia – atšķirība. Šeit.

Atvasinot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs nepieciešamas arī formulas to palielināšanai:

Kopumā ir 5 noteikumi.

Konstante tiek izņemta no atvasinājuma zīmes.

Ja - kāds konstants skaitlis (konstante), tad.

Acīmredzot šis noteikums darbojas arī attiecībā uz atšķirību: .

Pierādīsim to. Ļaujiet, vai vieglāk.

Piemēri.

Atrodiet funkciju atvasinājumus:

punktā;
punktā;
punktā;
punktā.

Risinājumi:

(atvasinājums visos punktos ir vienāds, jo tā ir lineāra funkcija, atceries?);

Produkta atvasinājums

Šeit viss ir līdzīgi: mēs ieviešam jaunu funkciju un atrodam tās pieaugumu:

Atvasinājums:

Piemēri:

Atrast funkciju atvasinājumus un;
Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.

Risinājumi:

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Tagad pietiek ar jūsu zināšanām, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, nevis tikai eksponentu (vai jūs jau esat aizmirsis, kas tas ir?).

Tātad, kur ir kāds skaitlis.

Mēs jau zinām funkcijas atvasinājumu, tāpēc mēģināsim izveidot savu funkciju jaunā bāzē:

Lai to izdarītu, mēs izmantojam vienkāršu noteikumu: . Pēc tam:

Nu, izdevās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.

Vai notika?

Lūk, pārbaudiet pats:

Formula izrādījās ļoti līdzīga eksponenta atvasinājumam: kā bija, tā paliek, parādījās tikai faktors, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgais.

Piemēri:
Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Atbildes:

Tas ir tikai skaitlis, kuru nevar aprēķināt bez kalkulatora, tas ir, to nevar uzrakstīt vienkāršāk. Tāpēc atbildē tas ir atstāts šādā formā.

Logaritmiskās funkcijas atvasinājums

Šeit tas ir līdzīgi: jūs jau zināt naturālā logaritma atvasinājumu:

Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu no logaritma ar citu bāzi, piemēram:

Mums šis logaritms jānoved uz bāzi. Kā mainīt logaritma bāzi? Es ceru, ka atceraties šo formulu:

Tikai tagad tā vietā mēs rakstīsim:

Saucējs izrādījās tikai konstante (konstants skaitlis, bez mainīgā). Atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Eksponenta un logaritmisko funkciju atvasinājumi eksāmenā gandrīz nekad netiek atrasti, taču tos zināt nebūs lieki.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms un loka tangenss. Šīs funkcijas var būt grūti saprotamas (lai gan, ja logaritms jums šķiet grūts, izlasiet tēmu "Logaritmi" un viss izdosies), taču matemātikas ziņā vārds "sarežģīts" nenozīmē "grūti".

Iedomājieties mazu konveijeru: divi cilvēki sēž un veic darbības ar dažiem priekšmetiem. Piemēram, pirmais šokolādes tāfelīti ietin iesaiņojumā, bet otrais sasien ar lenti. Izrādās tāds salikts objekts: šokolādes tāfelīte ietīta un pārsieta ar lentīti. Lai ēst šokolādes tāfelīti, jums ir jāveic pretējās darbības apgrieztā secībā.

Izveidosim līdzīgu matemātisko konveijeru: vispirms atradīsim skaitļa kosinusu, un pēc tam izveidosim iegūto skaitli kvadrātā. Tātad, viņi iedod mums skaitli (šokolāde), es atrodu tā kosinusu (iesaiņojums), un tad jūs kvadrātā to, ko es saņēmu (piesiet to ar lenti). Kas notika? Funkcija. Šis ir sarežģītas funkcijas piemērs: kad, lai atrastu tās vērtību, mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo un pēc tam vēl vienu darbību ar to, kas notika pirmās darbības rezultātā.

Mēs varam veikt tās pašas darbības apgrieztā secībā: vispirms jūs kvadrātā, un tad es meklēju iegūtā skaitļa kosinusu:. Ir viegli uzminēt, ka rezultāts gandrīz vienmēr būs atšķirīgs. Sarežģītu funkciju svarīga iezīme: mainoties darbību secībai, mainās funkcija.

Citiem vārdiem sakot, Sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir cita funkcija: .

Pirmajam piemēram, .

Otrais piemērs: (tas pats). .

Pēdējā darbība, ko veiksim, tiks saukta "ārēja" funkcija, un darbība, kas veikta vispirms - attiecīgi "iekšējā" funkcija(tie ir neformāli nosaukumi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).

Mēģiniet pats noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura ir iekšēja:

Atbildes: Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo lielumu maiņai: piemēram, funkcijā

Kādu darbību mēs veiksim vispirms? Vispirms mēs aprēķinām sinusu, un tikai tad mēs to paaugstinām kubā. Tātad tā ir iekšēja, nevis ārēja funkcija.
Un sākotnējā funkcija ir to sastāvs: .
Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.
Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.
Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.
Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.

mainām mainīgos un iegūstam funkciju.

Nu, tagad mēs izvilksim savu šokolādi - meklējiet atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir apgriezta: vispirms mēs meklējam ārējās funkcijas atvasinājumu, pēc tam reizinim rezultātu ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. Sākotnējā piemērā tas izskatās šādi:

Vēl viens piemērs:

Tātad, beidzot formulēsim oficiālo noteikumu:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Šķiet, ka viss ir vienkārši, vai ne?

Pārbaudīsim ar piemēriem:

Risinājumi:

1) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

2) Iekšējais: ;

(tikai tagad nemēģiniet samazināt! No zem kosinusa nekas netiek izņemts, atceries?)

3) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

Uzreiz ir skaidrs, ka šeit ir trīs līmeņu kompleksa funkcija: galu galā šī jau ir sarežģīta funkcija pati par sevi, un mēs joprojām no tās izvelkam sakni, tas ir, mēs veicam trešo darbību (ieliekam šokolādi iesaiņojumā). un ar lenti portfelī). Bet nav pamata baidīties: vienalga, mēs šo funkciju “izpakosim” tādā pašā secībā kā parasti: no beigām.

Tas ir, vispirms mēs atšķiram sakni, tad kosinusu un tikai pēc tam izteiksmi iekavās. Un tad mēs to visu reizinām.

Šādos gadījumos ir ērti numurēt darbības. Tas ir, iedomāsimies, ko mēs zinām. Kādā secībā mēs veiksim darbības, lai aprēķinātu šīs izteiksmes vērtību? Apskatīsim piemēru:

Jo vēlāk darbība tiks veikta, jo "ārēja" būs atbilstošā funkcija. Darbību secība - tāpat kā iepriekš:

Šeit ligzdošana parasti ir 4 līmeņu. Noteiksim darbības virzienu.

1. Radikāla izteiksme. .

2. Sakne. .

3. Sinuss. .

4. Kvadrāts. .

5. Saliekot visu kopā:

ATvasinājums. ĪSUMĀ PAR GALVENO

Funkcijas atvasinājums- funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu ar bezgalīgi mazu argumenta pieaugumu:

Pamata atvasinājumi:

Atšķiršanas noteikumi:

Konstante tiek izņemta no atvasinājuma zīmes:

Summas atvasinājums:

Atvasināts produkts:

Koeficienta atvasinājums:

Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Mēs definējam "iekšējo" funkciju, atrodam tās atvasinājumu.
Mēs definējam "ārējo" funkciju, atrodam tās atvasinājumu.
Mēs reizinām pirmā un otrā punkta rezultātus.

Viena mainīgā funkcijas atvasinājums.

Ievads.

Šīs metodiskās izstrādnes ir paredzētas Rūpniecības un būvniecības fakultātes studentiem. Tie ir apkopoti saistībā ar matemātikas kursa programmu sadaļā "Viena mainīgā funkciju diferenciālrēķins".

Izstrādes ir vienots metodiskais ceļvedis, kas ietver: īsu teorētisko informāciju; "tipiski" uzdevumi un vingrinājumi ar detalizētiem šo risinājumu risinājumiem un skaidrojumiem; kontroles iespējas.

Papildu vingrinājumi katras rindkopas beigās. Šāda izstrādes struktūra padara tos piemērotus patstāvīgai sadaļas apguvei ar minimālu skolotāja palīdzību.

§ viens. Atvasinājuma definīcija.

Mehāniskā un ģeometriskā nozīme

atvasinājums.

Atvasinājuma jēdziens ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem, kas radās jau 17. gadsimtā. Atvasinājuma jēdziena veidošanās vēsturiski ir saistīta ar divām problēmām: mainīgas kustības ātruma problēmu un līknes pieskares problēmu.

Šie uzdevumi, neskatoties uz to atšķirīgo saturu, noved pie vienas un tās pašas matemātiskas darbības, kas jāveic funkcijai.Šī darbība ir ieguvusi īpašu nosaukumu matemātikā. To sauc par funkcijas diferencēšanas operāciju. Diferenciācijas darbības rezultātu sauc par atvasinājumu.

Tātad funkcijas y=f(x) atvasinājums punktā x0 ir funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robeža (ja tāda pastāv)
plkst
.

Atvasinājumu parasti apzīmē šādi:
.

Tātad pēc definīcijas

Simbolus izmanto arī, lai apzīmētu atvasinājumu
.

Atvasinājuma mehāniskā nozīme.

Ja s=s(t) ir materiāla punkta taisnvirziena kustības likums, tad
ir šī punkta ātrums laikā t.

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme.

Ja funkcijai y=f(x) ir atvasinājums punktā , tad funkcijas grafika pieskares slīpums punktā
vienāds
.

Piemērs.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu
punktā =2:

1) Dosim punktu = 2 pieaugums
. Ievērojiet, tas.

2) Atrodiet funkcijas pieaugumu punktā =2:

3) Sastādiet funkcijas pieauguma attiecību pret argumenta pieaugumu:

Atradīsim attiecības robežu pie
:

Pa šo ceļu,
.

§ 2. Dažu atvasinājumi

vienkāršākās funkcijas.

Studentam jāiemācās aprēķināt konkrētu funkciju atvasinājumus: y=x,y= un vispār y= .

Atrodiet funkcijas y=x atvasinājumu.

tie. (x)′=1.

Atradīsim funkcijas atvasinājumu

Atvasinājums

Ļaujiet būt
tad

Jaudas funkcijas atvasinājumu izteiksmēs ir viegli pamanīt modeli
pie n=1,2,3.

Sekojoši,

. (1)

Šī formula ir derīga jebkuram reālam n.

Jo īpaši, izmantojot formulu (1), mums ir:

;

Piemērs.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šī funkcija ir īpašs formas funkcijas gadījums

plkst
.

Izmantojot formulu (1), mums ir

Funkciju y=sin x un y=cos x atvasinājumi.

Ļaujiet y=sinx.

Sadaliet ar ∆x, iegūstam

Pārejot uz robežu kā ∆x→0, mums ir

Lai y=cosx .

Pārejot uz robežu kā ∆x→0, iegūstam

;
. (2)

§3. Diferencēšanas pamatnoteikumi.

Apsveriet diferenciācijas noteikumus.

Teorēma1 . Ja funkcijas u=u(x) un v=v(x) ir diferencējamas dotajā punktā x, tad arī to summa ir diferencējama šajā punktā, un summas atvasinājums ir vienāds ar atvasināto vārdu summu: (u+v)"=u"+v".(3)

Pierādījums: apsveriet funkciju y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumenta x palielinājums ∆x atbilst funkciju u un v palielinājumiem ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Pēc tam funkcija y tiks palielināta

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Sekojoši,

Tātad (u+v)"=u"+v.

Teorēma2. Ja funkcijas u=u(x) un v=v(x) ir diferencējamas dotajā punktā x, tad arī to reizinājums ir diferencējams tajā pašā punktā.Šajā gadījumā reizinājuma atvasinājumu atrod pēc šādas formulas : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Pierādījums: Lai y=uv, kur u un v ir dažas x diferencējamas funkcijas. Ļaujiet x palielināt par ∆x, tad u tiks palielināts par ∆u, v tiks palielināts par ∆v un y tiks palielināts par ∆y.

Mums ir y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), vai

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Tāpēc ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

No šejienes

Pārejot uz robežu kā ∆x→0 un ņemot vērā, ka u un v nav atkarīgi no ∆x, mēs iegūstam

3. teorēma. Divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras saucējs ir vienāds ar dalītāja kvadrātu, un skaitītājs ir starpība starp dividendes atvasinājuma reizinājumu ar dalītāju un dalītāja reizinājumu. dividende ar dalītāja atvasinājumu, ti

Ja
tad
(5)