Trigonometrijas piemēri. Trigonometriskie vienādojumi

Risinot daudzas matemātikas uzdevumi, jo īpaši tiem, kas notiek pirms 10. klases, ir skaidri noteikta to darbību secība, kas novedīs pie mērķa sasniegšanas. Šādas problēmas ietver, piemēram, lineāros un kvadrātvienādojumus, lineāros un kvadrātu nevienādības, daļskaitļu vienādojumi un vienādojumi, kas reducē līdz kvadrātveida. Katra minētā uzdevuma veiksmīgas risināšanas princips ir šāds: jākonstatē, kāda veida uzdevums tiek risināts, jāatceras nepieciešamā darbību secība, kas novedīs pie vēlamā rezultāta, t.i. atbildiet un veiciet šīs darbības.

Acīmredzot veiksme vai neveiksme konkrētas problēmas risināšanā galvenokārt ir atkarīga no tā, cik pareizi tiek noteikts risināmā vienādojuma veids, cik pareizi tiek reproducēta visu tā risināšanas posmu secība. Protams, ir jābūt prasmēm, lai veiktu identiskas pārvērtības un skaitļošanu.

Atšķirīga situācija notiek ar trigonometriskie vienādojumi. Nav grūti noteikt faktu, ka vienādojums ir trigonometrisks. Grūtības rodas, nosakot darbību secību, kas novestu pie pareizas atbildes.

Autors izskats vienādojumiem dažreiz ir grūti noteikt tā veidu. Un, nezinot vienādojuma veidu, ir gandrīz neiespējami izvēlēties pareizo no vairākiem desmitiem trigonometrisko formulu.

Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, mums jāmēģina:

1. Novietojiet visas vienādojumā iekļautās funkcijas "vienādos leņķos";
2. vienādojumu novest līdz "tādām pašām funkcijām";
3. faktorizēt vienādojuma kreiso pusi utt.

Apsveriet trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatmetodes.

I. Reducēšana uz vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem

Risinājuma shēma

1. darbība. Izsakiet trigonometrisko funkciju zināmo komponentu izteiksmē.

2. darbība Atrodiet funkcijas argumentu, izmantojot formulas:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n loks a + πn, n Є Z.

iedegums x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3. darbība Atrodiet nezināmu mainīgo.

Piemērs.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Risinājums.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Atbilde: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Mainīga aizstāšana

Risinājuma shēma

1. darbība. Novietojiet vienādojumu algebriskā formā attiecībā uz vienu no trigonometriskajām funkcijām.

2. darbība Iegūto funkciju apzīmē ar mainīgo t (ja nepieciešams, ievieš t ierobežojumus).

3. darbība Ierakstiet un atrisiniet algebriskais vienādojums.

4. darbība Veiciet apgrieztu aizstāšanu.

5. darbība Atrisiniet vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.

Piemērs.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Risinājums.

1) 2(1 — grēks 2 (x/2)) — 5sin (x/2) — 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Lai sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 vai e = -3/2 neatbilst nosacījumam |t| ≤ 1.

4) grēks (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Atbilde: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Vienādojuma secības samazināšanas metode

Risinājuma shēma

1. darbība. Aizvietot dots vienādojums lineāri, šim nolūkam izmantojot samazināšanas formulas:

grēks 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

iedegums 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot I un II metodi.

Piemērs.

cos2x + cos2x = 5/4.

Risinājums.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Atbilde: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogēni vienādojumi

Risinājuma shēma

1. darbība. Novietojiet šo vienādojumu formā

a) a sin x + b cos x = 0 (pirmās pakāpes homogēns vienādojums)

vai uz skatu

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (otrās pakāpes homogēns vienādojums).

2. darbība Sadaliet abas vienādojuma puses ar

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

un iegūstiet tg x vienādojumu:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3. darbība Atrisiniet vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.

Piemērs.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Risinājums.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Ļaujiet tg x = t, tad

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 vai t = -4, tātad

tg x = 1 vai tg x = -4.

No pirmā vienādojuma x = π/4 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.

Atbilde: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Vienādojuma pārveidošanas metode, izmantojot trigonometriskās formulas

Risinājuma shēma

1. darbība. Izmantojot visu veidu trigonometriskās formulas, pārnesiet šo vienādojumu uz vienādojumu, kas atrisināts ar I, II, III, IV metodēm.

2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.

Piemērs.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Risinājums.

1) (sin x + grēks 3x) + grēks 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 vai 2cos x + 1 = 0;

No pirmā vienādojuma 2x = π/2 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma cos x = -1/2.

Mums ir x = π/4 + πn/2, n Є Z; no otrā vienādojuma x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Rezultātā x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Atbilde: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Spēja un prasmes atrisināt trigonometriskos vienādojumus ir ļoti svarīgi, to izstrāde prasa ievērojamas pūles gan no skolēna, gan no skolotāja puses.

Ar trigonometrisko vienādojumu atrisināšanu ir saistītas daudzas stereometrijas, fizikas u.c. problēmas, kuru risināšanas process it kā satur daudzas no zināšanām un prasmēm, kas tiek iegūtas, pētot trigonometrijas elementus.

Trigonometriskie vienādojumi ieņem nozīmīgu vietu matemātikas mācīšanas procesā un personības veidošanā kopumā.

Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, ko var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas kārtību, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrības interešu mērķiem.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājums"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Rokasgrāmatas un simulatori interneta veikalā "Integral" 10. klasei no 1C
Mēs risinām uzdevumus ģeometrijā. Interaktīvi uzdevumi veidošanai telpā
Programmatūras vide "1C: Mathematical constructor 6.1"

Ko mēs pētīsim:
1. Kas ir trigonometriskie vienādojumi?

3. Divas galvenās metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.
4. Homogēni trigonometriskie vienādojumi.
5. Piemēri.

Kas ir trigonometriskie vienādojumi?

Puiši, mēs jau esam pētījuši arcsīnu, arkosīnu, arktangensu un arkotangensu. Tagad aplūkosim trigonometriskos vienādojumus kopumā.

Trigonometriskie vienādojumi - vienādojumi, kuros mainīgais atrodas zem trigonometriskās funkcijas zīmes.

Mēs atkārtojam vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanas formu:

1) Ja |а|≤ 1, tad vienādojumam cos(x) = a ir risinājums:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ja |а|≤ 1, tad vienādojumam sin(x) = a ir risinājums:

3) Ja |a| > 1, tad vienādojumam sin(x) = a un cos(x) = a nav atrisinājumu 4) Vienādojumam tg(x)=a ir risinājums: x=arctg(a)+ πk

5) Vienādojumam ctg(x)=a ir risinājums: x=arcctg(a)+ πk

Visām formulām k ir vesels skaitlis

Vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem ir šāda forma: Т(kx+m)=a, T- jebkura trigonometriska funkcija.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumus: a) sin(3x)= √3/2

Risinājums:

A) Apzīmēsim 3x=t, tad pārrakstīsim mūsu vienādojumu formā:

Šī vienādojuma risinājums būs: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

No vērtību tabulas mēs iegūstam: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Atgriezīsimies pie mainīgā: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tad x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Atbilde: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kur n ir vesels skaitlis. (-1)^n — mīnus viens līdz pakāpei n.

Vairāk trigonometrisko vienādojumu piemēru.

Atrisiniet vienādojumus: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Risinājums:

A) Šoreiz mēs tūlīt pāriesim tieši uz vienādojuma sakņu aprēķināšanu:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tad x/5= πk => x=5πk

Atbilde: x=5πk, kur k ir vesels skaitlis.

B) Rakstām formā: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Mēs zinām, ka: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Atbilde: x=2π/9 + πk/3, kur k ir vesels skaitlis.

Atrisiniet vienādojumus: cos(4x)= √2/2. Un atrodiet visas saknes segmentā.

Risinājums:

Mēs izlemsim iekšā vispārējs skats mūsu vienādojums: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Tagad redzēsim, kādas saknes attiecas uz mūsu segmentu. Ja k Ja k=0, x= π/16, mēs atrodamies dotajā segmentā .
Ja k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, viņi trāpa vēlreiz.
Ja k=2, x= π/16+ π=17π/16, bet šeit mēs netrāpījām, kas nozīmē, ka netrāpīsim arī lielajam k.

Atbilde: x= π/16, x= 9π/16

Divas galvenās risināšanas metodes.

Mēs esam apsvēruši vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus, taču ir arī sarežģītāki. To risināšanai tiek izmantota jauna mainīgā ieviešanas metode un faktorizēšanas metode. Apskatīsim piemērus.

Atrisināsim vienādojumu:

Risinājums:
Lai atrisinātu mūsu vienādojumu, mēs izmantojam jauna mainīgā ievadīšanas metodi, ko apzīmē: t=tg(x).

Aizstāšanas rezultātā mēs iegūstam: t 2 + 2t -1 = 0

Meklēsim saknes kvadrātvienādojums: t=-1 un t=1/3

Tad tg(x)=-1 un tg(x)=1/3, mēs ieguvām vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu, atradīsim tā saknes.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Atbilde: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vienādojuma risināšanas piemērs

Atrisiniet vienādojumus: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Risinājums:

Izmantosim identitāti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mūsu vienādojums kļūst: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Ieviesīsim aizstāšanu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Mūsu kvadrātvienādojuma risinājums ir saknes: t=2 un t=-1/2

Tad cos(x)=2 un cos(x)=-1/2.

Jo kosinuss nevar pieņemt vērtības, kas lielākas par vienu, tad cos(x)=2 nav sakņu.

Ja cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Atbilde: x= ±2π/3 + 2πk

Homogēni trigonometriskie vienādojumi.

Definīcija. Vienādojumu, kura forma ir a sin(x)+b cos(x), sauc par homogēniem pirmās pakāpes trigonometriskajiem vienādojumiem.

Formu vienādojumi

otrās pakāpes homogēnie trigonometriskie vienādojumi.

Lai atrisinātu homogēnu pirmās pakāpes trigonometrisko vienādojumu, mēs to sadalām ar cos(x): Jūs nevarat dalīt ar kosinusu, ja tā ir nulle, pārliecināsimies, ka tā nav:
Lai cos(x)=0, tad asin(x)+0=0 => sin(x)=0, bet sinuss un kosinuss nav vienādi ar nulli vienlaikus, sanāca pretruna, tāpēc varam droši dalīt par nulli.

Atrisiniet vienādojumu:
Piemērs: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Risinājums:

Izņemiet kopējo koeficientu: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Tad mums jāatrisina divi vienādojumi:

cos(x)=0 un cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, ja x= π/2 + πk;

Apsveriet vienādojumu cos(x)+sin(x)=0 Sadaliet mūsu vienādojumu ar cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Atbilde: x= π/2 + πk un x= -π/4+πk

Kā atrisināt homogēnus otrās pakāpes trigonometriskos vienādojumus?
Puiši, vienmēr ievērojiet šos noteikumus!

1. Skatiet, ar ko ir vienāds koeficients a, ja a \u003d 0, tad mūsu vienādojums būs šāds: cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), kura risinājuma piemērs ir iepriekšējā. slidkalniņš

2. Ja a≠0, tad abas vienādojuma daļas jādala ar kosinusu kvadrātā, iegūstam:

Veicam mainīgā t=tg(x) maiņu, iegūstam vienādojumu:

Atrisiniet piemēru #:3

Atrisiniet vienādojumu:
Risinājums:

Sadaliet abas vienādojuma puses ar kosinusa kvadrātu:

Mēs veicam mainīgā t=tg(x) izmaiņas: t 2 + 2 t - 3 = 0

Atrodi kvadrātvienādojuma saknes: t=-3 un t=1

Tad: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Atbilde: x=-arctg(3) + πk un x= π/4+ πk

Atrisiniet piemēru #:4

Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums:
Pārveidosim savu izteiksmi:

Mēs varam atrisināt šādus vienādojumus: x= - π/4 + 2πk un x=5π/4 + 2πk

Atbilde: x= - π/4 + 2πk un x=5π/4 + 2πk

Atrisiniet piemēru #:5

Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums:
Pārveidosim savu izteiksmi:

Mēs ieviešam aizvietotāju tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Mūsu kvadrātvienādojuma risinājums būs saknes: t=-2 un t=1/2

Tad mēs iegūstam: tg(2x)=-2 un tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Atbilde: x=-arctg(2)/2 + πk/2 un x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam.

1) Atrisiniet vienādojumu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Atrisiniet vienādojumus: sin(3x)= √3/2. Un atrodiet visas saknes segmentā [π/2; π].

3) Atrisiniet vienādojumu: ctg 2 (x) + 2 ctg (x) + 1 =0

4) Atrisiniet vienādojumu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Atrisiniet vienādojumu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Atrisiniet vienādojumu: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Nav noslēpums, ka panākumi vai neveiksmes gandrīz jebkuras problēmas risināšanas procesā galvenokārt ir atkarīgi no tipa definīcijas pareizības. dots vienādojums, kā arī par pareizu visu tā risinājuma posmu secības reproducēšanu. Taču trigonometrisko vienādojumu gadījumā nemaz nav grūti noteikt, ka vienādojums ir trigonometrisks. Bet, nosakot darbību secību, kas mūs novedīs pie pareizās atbildes, mēs varam saskarties ar zināmām grūtībām. No paša sākuma izdomāsim, kā pareizi atrisināt trigonometriskos vienādojumus.

Trigonometrisko vienādojumu risināšana

Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, jums jāmēģina veikt šādus punktus:

Mēs visas funkcijas, kas ir iekļautas mūsu vienādojumā, novietojam uz "tiem pašiem leņķiem";
Nepieciešams dot doto vienādojumu līdz "identiskām funkcijām";
Dotā vienādojuma kreiso pusi sadalām faktoros vai citos nepieciešamajos komponentos.

Metodes

1. metode. Šādus vienādojumus nepieciešams atrisināt divos posmos. Pirmkārt, mēs pārveidojam vienādojumu, lai iegūtu tā vienkāršāko (vienkāršāko) formu. Vienādojums: Cosx = a, Sinx = a un tamlīdzīgi tiek saukti par vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem. Otrais solis ir atrisināt iegūto vienkāršo vienādojumu. Jāpiebilst, ka visvienkāršāko vienādojumu var atrisināt ar algebrisko metodi, kas mums ir labi zināma no skolas algebras kursa. To sauc arī par aizstāšanas un mainīgā aizstāšanas metodi. Ar samazināšanas formulu palīdzību vispirms ir jāpārveido, pēc tam jāveic nomaiņa un pēc tam jāatrod saknes.

Tālāk jums ir jāsadala mūsu vienādojums iespējamajos faktoros, lai to izdarītu, visi termini ir jāpārvieto pa kreisi un pēc tam varat sadalīties faktoros. Tagad jums ir jāsavieno šis vienādojums līdz viendabīgam, kurā visi termini ir vienādi un kosinusam un sinusam ir vienāds leņķis.

Pirms trigonometrisko vienādojumu risināšanas jums tie jāpārnes uz kreiso pusi, ņemot tos no labās puses, un pēc tam iekavās izņemam visus kopsaucējus. Mēs pielīdzinām savas iekavas un faktorus nullei. Mūsu pielīdzinātās iekavas ir samazinātas pakāpes viendabīgs vienādojums, kas jāsadala ar sin(cos) līdz augstākajai pakāpei. Tagad mēs atrisinām algebrisko vienādojumu, kas tika iegūts saistībā ar iedegumu.

2. metode. Vēl viena metode, ar kuras palīdzību var atrisināt trigonometrisko vienādojumu, ir pāreja uz pusleņķi. Piemēram, mēs atrisinām vienādojumu: 3sinx-5cosx=7.

Mums jāpāriet uz pusleņķi, mūsu gadījumā tas ir: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos². (x / 2) Un pēc tam mēs samazinām visus terminus vienā daļā (ērtības labad labāk izvēlēties pareizo) un turpinām atrisināt vienādojumu.

Ja nepieciešams, varat ievadīt papildu leņķi. Tas tiek darīts, ja ir jāaizstāj vesela skaitļa vērtība sin (a) vai cos (a), un zīme “a” darbojas tikai kā palīgleņķis.

produkts summā

Kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus, izmantojot summas reizinājumu? Lai atrisinātu šādus vienādojumus, var izmantot arī metodi, kas pazīstama kā reizinājuma konvertēšana uz summu. Šajā gadījumā ir jāizmanto formulas, kas atbilst vienādojumam.

Piemēram, mums ir vienādojums: 2sinx * sin3x= cos4x

Mums ir jāatrisina šī problēma, pārvēršot kreiso pusi summā, proti:

cos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Ja iepriekš minētās metodes nav piemērotas un jūs joprojām nezināt, kā atrisināt vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus, varat izmantot citu metodi - universālo aizstāšanu. Ar to jūs varat pārveidot izteiksmi un veikt nomaiņu. Piemēram: Cos(x/2)=u. Tagad mēs varam atrisināt vienādojumu ar doto parametru u. Un, saņemot vēlamo rezultātu, neaizmirstiet pārvērst šo vērtību pretējā virzienā.

Daudziem "pieredzējušiem" studentiem ir ieteicams vērsties pie cilvēkiem tiešsaistē, lai atrisinātu vienādojumus. Kā tiešsaistē atrisināt trigonometrisko vienādojumu, jūs jautājat. Priekš tiešsaistes risinājumi problēmas, varat vērsties attiecīgo tēmu forumos, kur tie var palīdzēt ar padomu vai problēmas risināšanā. Bet vislabāk ir mēģināt tikt galā pašiem.

Prasmes un iemaņas trigonometrisko vienādojumu risināšanā ir ļoti svarīgas un noderīgas. To attīstība prasīs no jums daudz pūļu. Ar šādu vienādojumu atrisināšanu ir saistītas daudzas problēmas fizikā, stereometrijā u.c. Un pats šādu problēmu risināšanas process nozīmē prasmju un zināšanu klātbūtni, kuras var iegūt, pētot trigonometrijas elementus.

Apgūstiet trigonometriskās formulas

Vienādojuma risināšanas procesā var rasties nepieciešamība izmantot jebkuru trigonometrijas formulu. Jūs, protams, varat sākt to meklēt savās mācību grāmatās un krāpšanās lapās. Un, ja šīs formulas tiks ieliktas galvā, jūs ne tikai ietaupīsiet nervus, bet arī ievērojami atvieglosiet savu uzdevumu, netērējot laiku vajadzīgās informācijas meklēšanai. Tādējādi jums būs iespēja pārdomāt racionālāko problēmas risināšanas veidu.

Ir norādītas attiecības starp galvenajām trigonometriskajām funkcijām - sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. trigonometriskās formulas. Un tā kā starp trigonometriskajām funkcijām ir diezgan daudz savienojumu, tas arī izskaidro trigonometrisko formulu pārpilnību. Dažas formulas savieno viena un tā paša leņķa trigonometriskās funkcijas, citas - vairāku leņķu funkcijas, citas - ļauj pazemināt pakāpi, ceturtās - visas funkcijas izteikt caur pusleņķa tangensu utt.

Šajā rakstā mēs secībā uzskaitām visas pamata trigonometriskās formulas, ar kurām pietiek, lai atrisinātu lielāko daļu trigonometrijas problēmu. Lai atvieglotu iegaumēšanu un lietošanu, mēs tos sagrupēsim atbilstoši to mērķim un ievadīsim tabulās.

Lapas navigācija.

Pamata trigonometriskās identitātes

Galvenā trigonometriskās identitātes iestatiet attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Tie izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijas, kā arī vienības apļa jēdziena. Tie ļauj izteikt vienu trigonometrisko funkciju, izmantojot jebkuru citu.

Detalizētu šo trigonometrijas formulu aprakstu, to atvasināšanu un pielietojuma piemērus skatiet rakstā.

Lietās formulas

Lietās formulas izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašībām, tas ir, tie atspoguļo trigonometrisko funkciju periodiskuma īpašību, simetrijas īpašību, kā arī nobīdes īpašību par noteiktu leņķi. Šīs trigonometriskās formulas ļauj pāriet no darba ar patvaļīgiem leņķiem uz darbu ar leņķiem no nulles līdz 90 grādiem.

Šo formulu pamatojums, mnemoniskais likums to iegaumēšanai un to pielietojuma piemērus var izpētīt rakstā.

Papildināšanas formulas

Trigonometriskās saskaitīšanas formulas parādīt, kā divu leņķu summas vai starpības trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas šo leņķu trigonometriskajās funkcijām. Šīs formulas kalpo par pamatu šādu trigonometrisko formulu atvasināšanai.

Formulas dubultā, trīskāršā utt. stūris

Formulas dubultā, trīskāršā utt. leņķis (tās sauc arī par vairāku leņķu formulām) parāda, kā trigonometriskās funkcijas darbojas dubultā, trīskāršā utt. leņķi () ir izteikti kā viena leņķa trigonometriskās funkcijas. To atvasināšana balstās uz saskaitīšanas formulām.

Detalizētāka informācija ir apkopota rakstu formulās par dubulto, trīskāršo utt. leņķis.

Pusleņķa formulas

Pusleņķa formulas parādīt, kā pusleņķa trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas ar vesela skaitļa leņķa kosinusu. Šīs trigonometriskās formulas izriet no dubultā leņķa formulām.

To secinājumi un pielietojuma piemēri ir atrodami rakstā.

Samazināšanas formulas

Trigonometriskās formulas samazinājuma grādiem ir izstrādāti, lai atvieglotu pāreju no trigonometrisko funkciju dabiskajiem pakāpēm uz sinusiem un kosinusiem pirmajā pakāpē, bet vairākos leņķos. Citiem vārdiem sakot, tie ļauj samazināt trigonometrisko funkciju pilnvaras uz pirmo.

Formulas trigonometrisko funkciju summai un starpībai

galvenais galamērķis trigonometrisko funkciju summas un starpības formulas sastāv no pārejas uz funkciju reizinājumu, kas ir ļoti noderīgi, vienkāršojot trigonometriskās izteiksmes. Šīs formulas tiek plaši izmantotas arī trigonometrisko vienādojumu risināšanā, jo ļauj faktorēt sinusu un kosinusu summu un starpību.

Formulas sinusu, kosinusu un sinusa pēc kosinusa reizinājuma

Pāreju no trigonometrisko funkciju reizinājuma uz summu vai starpību veic, izmantojot formulas sinusu, kosinusu un sinusa reizinājumam ar kosinusu.

Bašmakovs M.I. Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vid. skola - 3. izdevums - M.: Apgaismība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Apgaismība, 2004.- 384 lpp.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.

Autortiesības pieder gudriem studentiem

Visas tiesības aizsargātas.
Aizsargā autortiesību likums. Neviena daļa no www.website, ieskaitot iekšējie materiāli Un ārējais dizains nedrīkst reproducēt vai izmantot bez autortiesību īpašnieka iepriekšējas rakstiskas atļaujas.