Praktiskajā darbībā cilvēkam ir jāmēra dažādi daudzumi, jāņem vērā materiāli un darba produkti, jāražo dažādi aprēķini. Dažādu mērījumu, skaitījumu un aprēķinu rezultāti ir skaitļi. Mērījumu rezultātā iegūtie skaitļi, tikai aptuveni, ar noteiktu precizitātes pakāpi raksturo vēlamās vērtības. Precīzi mērījumi nav iespējami neprecizitātes dēļ mērinstrumenti, mūsu redzes orgānu nepilnības un paši izmērītie objekti dažkārt neļauj mums noteikt to lielumu ar jebkādu precizitāti.

Tā, piemēram, ir zināms, ka Suecas kanāla garums ir 160 km, attālums gar dzelzceļš no Maskavas līdz Ļeņingradai 651 km. Šeit mums ir mērījumu rezultāti, kas veikti ar precizitāti līdz kilometram. Ja, piemēram, garums taisnstūra laukums 29 m, platums 12 m, tad, iespējams, mērījumi veikti ar metra precizitāti, un metra daļas tika atstātas novārtā,

Pirms jebkura mērījuma veikšanas ir jāizlemj, ar kādu precizitāti tas ir jāveic, t.i. kuras mērvienības daļas jāņem vērā un kuras atstāt novārtā.

Ja ir kāda vērtība bet, kura patiesā vērtība nav zināma un šīs vērtības aptuvenā vērtība (aptuvinājums) ir vienāda ar X, viņi raksta a x.

Ar dažādiem viena un tā paša daudzuma mērījumiem mēs iegūsim dažādus tuvinājumus. Katrs no šiem tuvinājumiem atšķirsies no izmērītās vērtības patiesās vērtības, vienāds, piemēram, bet, par kādu summu, ko mēs piezvanīsim kļūda. Definīcija. Ja skaitlis x ir kāda lieluma aptuvenā vērtība (aptuvinājums), kura patiesā vērtība ir vienāda ar skaitli bet, tad skaitļu starpības modulis, a un X sauca absolūta kļūda dots tuvinājums un apzīmēts a x: vai vienkārši a. Tādējādi pēc definīcijas

a x = a-x (1)

No šīs definīcijas izriet, ka

a = x a x (2)

Ja ir zināms, par kādu daudzumu ir runa, tad apzīmējumā a x rādītājs a tiek izlaists un vienādība (2) tiek uzrakstīta šādi:

a = x x (3)

Tā kā vajadzīgā daudzuma patiesā vērtība visbiežāk nav zināma, nav iespējams atrast absolūto kļūdu šī daudzuma tuvināšanā. Katrā konkrētajā gadījumā var norādīt tikai pozitīvu skaitli, kas lielāks par šo absolūta kļūda Tas nevar būt. Šo skaitli sauc par daudzuma tuvinājuma absolūtās kļūdas robežu a un apzīmēts h a. Tādējādi, ja x ir patvaļīgs vērtības a tuvinājums noteiktai tuvinājumu iegūšanas procedūrai, tad

a x = a-x h a (4)

No iepriekš minētā izriet, ka, ja h a ir daudzuma tuvinājuma absolūtās kļūdas robeža a, tad jebkurš skaitlis, kas lielāks par h a, būs arī daudzuma tuvinājuma absolūtās kļūdas robeža a.

Praksē par absolūtās kļūdas robežu pieņemts izvēlēties mazāko skaitli, kas apmierina nevienādību (4).

Nevienlīdzības atrisināšana a-x h a mēs to saņemam a ietvertas robežās

x-h a a x + h a (5)

Stingrāku absolūtās kļūdas robežas koncepciju var sniegt šādi.

Ļaujiet būt X- daudzi iespējamie tuvinājumi X daudzumus a noteiktai procedūrai tuvinājuma iegūšanai. Tad jebkurš skaitlis h, apmierinot nosacījumu a-x h a jebkuram xX, sauc par kopas tuvinājumu absolūtās kļūdas robežu X. Apzīmē ar h a mazākais zināmais skaitlis h. Šis numurs h a un praksē tiek izvēlēta kā absolūtās kļūdas robeža.

Absolūtā aproksimācijas kļūda neraksturo mērījumu kvalitāti. Patiešām, ja mēs izmērām jebkuru garumu ar precizitāti 1 cm, tad gadījumā, kad mēs runājam par zīmuļa garuma noteikšanu, tā būs slikta precizitāte. Ja ar 1 cm precizitāti nosaka volejbola laukuma garumu vai platumu, tad tā būs augsta precizitāte.

Mērījumu precizitātes raksturošanai tiek ieviests relatīvās kļūdas jēdziens.

Definīcija. Ja a x: ir absolūta tuvinājuma kļūda X kāds lielums, kura patiesā vērtība ir vienāda ar skaitli a, tad attiecība a x uz skaitļa moduli X sauc par tuvinājuma relatīvo kļūdu un apzīmē a x vai x.

Tādējādi pēc definīcijas

Relatīvā kļūda parasti tiek izteikta procentos.

Atšķirībā no absolūtās kļūdas, kas visbiežāk ir izmēru lielums, relatīvā kļūda ir bezdimensijas lielums.

Praksē tiek ņemta vērā nevis relatīvā kļūda, bet gan tā sauktā relatīvās kļūdas robeža: šāds skaitlis E a, kas nevar būt lielāka par vēlamās vērtības tuvinājuma relatīvo kļūdu.

Pa šo ceļu, a x E a .

Ja h a-- daudzuma tuvinājumu absolūtās kļūdas robeža a, tad a x h a un līdz ar to

Acīmredzot jebkurš skaitlis E, kas atbilst nosacījumam, būs relatīvās kļūdas robeža. Praksē parasti ir zināmi daži tuvinājumi X daudzumus a un absolūto kļūdu robežu. Tad numurs

1. Skaitļi ir precīzi un aptuveni. Praksē sastopamie skaitļi ir divu veidu. Daži norāda daudzuma patieso vērtību, citi tikai aptuvenu. Pirmo sauc par precīzu, otro - aptuvenu. Visbiežāk ir ērti izmantot aptuvenu, nevis precīzu skaitli, jo īpaši daudzos gadījumos precīzs skaitlis parasti nav iespējams atrast.

Darbību ar skaitļiem rezultāti dod: ar aptuveniem skaitļiem aptuvenus skaitļus. Piemēram. Epidēmijas laikā 60% Sanktpēterburgas iedzīvotāju saslimst ar gripu. Tas ir aptuveni 3 miljoni cilvēku. ar precīziem skaitļiem precīzi skaitļi Piem. Matemātikas lekcijā klausītāji ir 65 cilvēki. aptuvenie skaitļi Piem. Pacienta vidējā ķermeņa temperatūra dienā 37,3: no rīta: 37,2; diena: 36,8 ; vakars 38.

Aptuveno aprēķinu teorija ļauj: 1) zinot datu precizitātes pakāpi, novērtēt rezultātu precizitātes pakāpi; 2) ņemt datus ar atbilstošu precizitātes pakāpi, kas ir pietiekama, lai nodrošinātu nepieciešamo rezultāta precizitāti; 3) racionalizēt aprēķinu procesu, atbrīvojot to no tiem aprēķiniem, kas neietekmēs rezultāta precizitāti.

1) ja pirmais (kreisais) no izmestajiem cipariem ir mazāks par 5, tad pēdējais atlikušais cipars netiek mainīts (noapaļots uz leju); 2) ja pirmais izmestais cipars ir lielāks par 5 vai vienāds ar 5, tad pēdējais atlikušais cipars tiek palielināts par vienu (noapaļots uz augšu). Noapaļošana: a) līdz desmitdaļām 12,34 12,3; b) līdz simtdaļām 3,2465 3,25; 1038,79. c) līdz tūkstošdaļām 3,4335 3,434. d) līdz tūkstošiem; Tas ņem vērā sekojošo:

Medicīnā visbiežāk mērītie lielumi: masa m, garums l, procesa ātrums v, laiks t, temperatūra t, tilpums V utt. Izmērīt fizisko lielumu nozīmē to salīdzināt ar viendabīgu daudzumu, kas ņemts par vienību. 9 Fizikālo lielumu mērvienības: Pamata garums - 1 m - (metrs) Laiks - 1 s - (sekunde) Masa - 1 kg - (kilograms) Produkti Tilpums - 1 m³ - (kubikmetrs) Ātrums - 1 m/s - (metrs sekundē)

Prefiksi vienību nosaukumiem: Vairāki prefiksi - palielināt par 10, 100, 1000 utt. reizes g - hekto (×100) k - kilograms (× 1000) M - mega (×) 1 km (kilometrs) 1 kg (kilometrs) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g samazināt par 10 , 100, 1000 utt. reize d — deci (×0,1) s – centi (× 0,01) m – mili (× 0,001) 1 dm (decimetrs) 1 dm = 0,1 m 1 cm (centimetrs) 1 cm = 0,01 m 1 mm (milimetrs) 1 mm = 0,001 m

Slimību diagnostikai, ārstēšanai, profilaksei medicīnā tiek izmantotas dažādas mērīšanas medicīniskās iekārtas.

Termometrs. Pirmkārt, jums jāņem vērā mērījumu augšējā un apakšējā robeža. Apakšējā robeža ir minimālā un augšējā robeža ir maksimālā izmērāmā vērtība. Ja izmērītās vērtības paredzamā vērtība nav zināma, labāk ir ņemt ierīci ar "robežu". Piemēram, temperatūras mērīšana karsts ūdens neveikt ar ielas vai istabas termometru. Labāk ir atrast ierīci ar augšējo robežu 100 ° C. Otrkārt, jums ir jāsaprot, cik precīzi jāmēra daudzums. Tā kā mērījumu kļūda ir atkarīga no dalījuma vērtības, vairāk precīzi mērījumi tiek izvēlēts instruments ar mazāko skalas intervālu.

Mērījumu kļūdas. Lai izmērītu dažādus diagnostikas parametrus, nepieciešama sava ierīce. Piemēram, garumu mēra ar lineālu, bet temperatūru ar termometru. Bet lineāli, termometri, tonometri un citas ierīces ir dažādas, tāpēc, lai izmērītu jebkuru fizisko lielumu, ir jāizvēlas šim mērījumam piemērota ierīce.

Ierīces sadalīšanas cena. Precīzi jānosaka cilvēka ķermeņa temperatūra, zāles jāievada stingri noteiktā daudzumā, tāpēc mērierīces skalas dalījumu cena ir svarīgs katras ierīces raksturlielums. Ierīces cenu dalījuma aprēķināšanas noteikums.Lai aprēķinātu skalas iedalījumu cenu, nepieciešams: a) izvēlēties divus tuvākos digitalizētos gājienus uz skalas; b) saskaita dalījumu skaitu starp tiem; c) Sadaliet vērtību starpību ap atlasītajiem sitieniem ar dalījumu skaitu.

Ierīces sadalīšanas cena. Dalījuma vērtība (50-30)/4=5 (ml) Dalījuma vērtība: (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 temp, (4-2)/10=0,2 s

Nosakiet iekārtu sadalīšanas cenu: 16

Absolūtā mērījumu kļūda. Jebkurā mērījumā var rasties kļūdas. Šīs kļūdas rodas dažādu faktoru dēļ. Visus faktorus var iedalīt trīs daļās: kļūdas, ko izraisa instrumentu nepilnības; kļūdas, ko izraisa mērīšanas metožu nepilnības; kļūdas nejaušu faktoru ietekmē, kuras nevar novērst. Mērot jebkuru vērtību, gribas zināt ne tikai tās vērtību, bet arī to, cik šai vērtībai var uzticēties, cik tā ir precīza. Lai to izdarītu, ir jāzina, cik daudz daudzuma patiesā vērtība var atšķirties no izmērītās. Šiem nolūkiem tiek ieviests absolūto un relatīvo kļūdu jēdziens.

Absolūtās un relatīvās kļūdas. Absolūtā kļūda parāda, cik liela ir patiesā vērtība fiziskais daudzums atšķiras no izmērītā. Tas ir atkarīgs no pašas ierīces (instrumentālā kļūda) un no mērīšanas procesa (nolasīšanas kļūda skalā). Instrumenta kļūda jānorāda instrumenta pasē (parasti tā ir vienāda ar instrumenta skalas iedalījumu). Lasīšanas kļūda parasti tiek pieņemta vienāda ar pusi no dalīšanas vērtības. Aptuvenās vērtības absolūtā kļūda ir starpība Δ x \u003d | x - x 0 |, kur x 0 ir aptuvenā vērtība un x ir precīza izmērītās vērtības vērtība, vai dažreiz x vietā tiek izmantota A ΔA \ u003d | A - A 0 |.

Absolūtās un relatīvās kļūdas. Piemērs. Ir zināms, ka -0,333 ir aptuvenā vērtība -1/3. Tad pēc absolūtās kļūdas definīcijas Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. Daudzos praktiski svarīgos gadījumos nav iespējams atrast tuvinājuma absolūto kļūdu, jo nav zināma precīza daudzuma vērtība. Tomēr jūs varat norādīt pozitīvu skaitli, par kuru šī absolūtā kļūda nevar būt lielāka. Tas ir jebkurš skaitlis h, kas apmierina nevienlīdzību | ∆x | h To sauc par absolūto kļūdu robežu.

Šajā gadījumā viņi saka, ka x vērtība ir aptuveni līdz h vienāda ar x 0. x \u003d x 0 ± h vai x 0 - h x x 0 + h

Mērinstrumentu absolūtās instrumentālās kļūdas

Mērīto vērtību instrumentālo kļūdu novērtēšana. Lielākajai daļai mērinstrumentu instrumenta kļūda ir vienāda ar tās skalas dalījumu. Izņēmums ir digitālie instrumenti un skalas mērītāji. Digitālajām ierīcēm kļūda ir norādīta to pasē un parasti ir vairākas reizes lielāka par ierīces mēroga sadalījumu. Rādītāju mērinstrumentiem kļūdu nosaka to precizitātes klase, kas norādīta uz instrumenta skalas, un mērījumu robeža. Precizitātes klase uz ierīces skalas ir norādīta kā cipars, kas nav ieskauts ar rāmjiem. Piemēram, attēlā manometra precizitātes klase ir 1,5. Precizitātes klase parāda, cik procentu ierīces kļūda ir no tās mērījumu robežas. Rādītāja manometram mērījumu robeža ir attiecīgi 3 atm, spiediena mērīšanas kļūda ir 1,5% no 3 atm, tas ir, 0,045 atm. Jāņem vērā, ka lielākajai daļai rādītāju ierīču to kļūda izrādās vienāda ar ierīces dalījuma vērtību. Tāpat kā mūsu piemērā, kur barometra dalījuma cena ir 0,05 atm.

Absolūtās un relatīvās kļūdas. Absolūtā kļūda ir nepieciešama, lai noteiktu diapazonu, kurā patiesā vērtība var iekrist, bet, lai novērtētu rezultāta precizitāti kopumā, tā nav īpaši indikatīva. Galu galā 10 m garuma mērīšana ar 1 mm kļūdu noteikti ir ļoti precīza, tajā pašā laikā 2 mm garuma mērīšana ar 1 mm kļūdu ir acīmredzami ārkārtīgi neprecīza. Absolūto mērījumu kļūdu parasti noapaļo līdz vienam zīmīgam ciparam ΔA 0,17 0,2. Mērījumu rezultāta skaitliskā vērtība tiek noapaļota tā, lai tās pēdējais cipars būtu vienāds ar kļūdas skaitli A=10,332 10,3

Absolūtās un relatīvās kļūdas. Kopā ar absolūto kļūdu ir pieņemts uzskatīt relatīvo kļūdu, kas ir vienāda ar absolūtās kļūdas attiecību pret paša daudzuma vērtību. Aptuvenā skaitļa relatīvā kļūda ir aptuvenā skaitļa absolūtās kļūdas attiecība pret šo skaitli: E = Δx. 100% x 0 Relatīvā kļūda parāda, cik procentu no pašas vērtības varētu rasties kļūda, un tā ir indikatīva, novērtējot eksperimentālo rezultātu kvalitāti.

Piemērs. Mērot kapilāra garumu un diametru, iegūti l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm. Kurš no šiem mērījumiem ir precīzāks? Mērot kapilāra garumu, pieļaujama absolūtā kļūda 10mm uz 100mm, tāpēc absolūtā kļūda ir 10/100=0,1=10%. Mērot kapilāra diametru, pieļaujamā absolūtā kļūda ir 0,1/2,5=0,04=4% Līdz ar to kapilāra diametra mērījums ir precīzāks.

Daudzos gadījumos absolūtu kļūdu nevar atrast. Līdz ar to relatīvā kļūda. Bet jūs varat atrast relatīvās kļūdas robežu. Jebkurš skaitlis δ, kas apmierina nevienādību | ∆x | / | x o | δ ir relatīvās kļūdas robeža. Jo īpaši, ja h ir absolūtās kļūdas robeža, tad skaitlis δ= h/| x o |, ir tuvinājuma x o relatīvās kļūdas robeža. No šejienes. Zinot robežu rel.p-i. δ, var atrast absolūtās kļūdas h robežu. h=δ | x o |

Piemērs. Ir zināms, ka 2=1,41… Atrodi aptuvenās vienādības relatīvo precizitāti vai aptuvenās vienādības 2 relatīvās kļūdas robežu 1.41. Šeit x \u003d 2, x o \u003d 1,41, Δ x \u003d 2-1,41. Acīmredzot 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, absolūtās kļūdas robeža ir 0,01, relatīvās kļūdas robeža ir 1/141

Piemērs. Nolasot rādījumu no skalas, ir svarīgi, lai jūsu skatiens kristu perpendikulāri instrumenta skalai, kamēr kļūda būs mazāka. Lai noteiktu termometra rādījumu: 1. nosaki dalījumu skaitu, 2. reizini tos ar dalījuma cenu 3. ņem vērā kļūdu 4. pieraksti gala rezultātu. t = 20 °C ± 1,5 °C Tas nozīmē, ka temperatūra ir no 18,5 ° līdz 21,5 °. Tas ir, tas var būt, piemēram, 19 un 20 un 21 grāds pēc Celsija. Lai palielinātu mērījumu precizitāti, ir ierasts tos atkārtot vismaz trīs reizes un aprēķināt izmērītās vērtības vidējo vērtību

Mērījumu rezultāti C 1 \u003d 34.5 C 2 \u003d 33.8 C 3 \u003d 33.9 C 4 \u003d 33 .5 C 4 \u003d 33 .5 C 4 \u003d 33 .5 C 4 \u003d 33 .5 C 3 p 5 \u003d 33 .5 C 3 p 5 \u04 vidējo vērtību 1 d 3 d \ u0 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 b) Atrodiet vērtības novirzi no vidējās vērtības Δс = | c-cp | ∆c 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 ∆c 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 ∆c 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 ∆c 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

C) Atrodiet absolūto kļūdu Δc \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc \u003d (0,6 + 0,4): 4 \u003d 0,275 0,3 g) Atrodiet relatīvo kļūdu δ \u003d Δc: SR δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9% e) Pierakstiet galīgo atbildi c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

MĀJAS DARBI Sagatavoties praktiskā nodarbība pamatojoties uz lekciju. Izpildi uzdevumu. Atrodiet vidējo vērtību un kļūdu: a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Veidojiet prezentācijas par tēmām: “Vērtību noapaļošana medicīnā”, “Mērījumu kļūdas”, “Medicīnas mēraparatūra”

Ievads

Absolūta kļūda- ir absolūtās mērījumu kļūdas novērtējums. Aprēķināts Dažādi ceļi. Aprēķina metodi nosaka nejaušā lieluma sadalījums. Attiecīgi absolūtās kļūdas lielums atkarībā no nejaušā lieluma sadalījuma var būt atšķirīgs. Ja ir izmērītā vērtība un ir patiesā vērtība, tad nevienādībai ir jābūt ar zināmu varbūtību tuvu 1. Ja nejauša vērtība sadalīts pēc parastā likuma, tad parasti par absolūto kļūdu tiek pieņemta tā standartnovirze. Absolūto kļūdu mēra tajās pašās vienībās kā pašu vērtību.

Ir vairāki veidi, kā ierakstīt daudzumu kopā ar tā absolūto kļūdu.

· Parasti lieto apzīmējumu ar zīmi ±. Piemēram, 1983. gadā uzstādītais 100 m rekords ir 9,930±0,005 s.

· Lai ierakstītu vērtības, kas izmērītas ar ļoti augstu precizitāti, tiek izmantots cits apzīmējums: iekavās tiek pievienoti skaitļi, kas atbilst mantisas pēdējo ciparu kļūdai. Piemēram, Boltzmana konstantes izmērītā vērtība ir 1,380 6488 (13)?10?23 J/K, ko var arī rakstīt daudz ilgāk kā 1,380 6488?10?23 ±0,000 0013?10?23 J/K.

Relatīvā kļūda- mērījuma kļūda, kas izteikta kā absolūtās mērījuma kļūdas attiecība pret izmērītā daudzuma faktisko vai vidējo vērtību (RMG 29-99):.

Relatīvā kļūda ir bezizmēra lielums vai tiek mērīts procentos.

Tuvināšana

Par daudz un par maz? Aprēķinu procesā bieži nākas saskarties ar aptuveniem skaitļiem. Ļaujiet būt BET- precīza noteikta daudzuma vērtība, turpmāk saukta precīzs skaitlis a. Zem aptuvenās daudzuma vērtības BET, vai aptuvenos skaitļus sauca numuru a, kas aizstāj precīzu daudzuma vērtību BET. Ja a< BET, tad a sauc par skaitļa aptuveno vērtību Un trūkuma dēļ. Ja a> BET,-tad pārpalikumā. Piemēram, 3,14 ir skaitļa tuvinājums R pēc trūkuma un 3,15 ar pārpalikumu. Lai raksturotu šīs tuvinājuma precizitātes pakāpi, tiek izmantots jēdziens kļūdas vai kļūdas.

Kļūda D a aptuvenais skaitlis a sauc par formas atšķirību

D a = A-bet,

kur BET ir atbilstošais precīzs skaitlis.

Attēlā redzams, ka segmenta AB garums ir no 6 cm līdz 7 cm.

Tas nozīmē, ka 6 ir aptuvenā segmenta AB garuma vērtība (centimetros)\u003e ar deficītu, un 7 ir ar pārpalikumu.

Apzīmējot segmenta garumu ar burtu y, mēs iegūstam: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentu AB (skat. 149. att.) ir tuvāk 6 cm nekā 7 cm. Tas ir aptuveni vienāds ar 6 cm. Viņi saka, ka skaitlis 6 iegūts, noapaļojot segmenta garumu līdz veseliem skaitļiem.

Absolūtā vērtība atšķirības starp aptuveno un precīzu (patieso) lieluma vērtību sauc absolūta kļūda aptuvenā vērtība. piemēram ja precīzs skaitlis 1,214 noapaļojot līdz desmitdaļām, iegūstam aptuvenu skaitli 1,2 . Šajā gadījumā aptuvenā skaitļa absolūtā kļūda būs 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Bet vairumā gadījumu precīza aplūkojamā daudzuma vērtība nav zināma, bet tikai aptuvens. Tad arī absolūtā kļūda nav zināma. Šajos gadījumos norāda robeža kuru tas nepārsniedz. Šo numuru sauc robežas absolūtā kļūda. Viņi saka, ka skaitļa precīzā vērtība ir vienāda ar tā aptuveno vērtību ar kļūdu, kas ir mazāka par robežas kļūdu. piemēram, numurs 23,71 ir skaitļa aptuvenā vērtība 23,7125 līdz 0,01 , jo absolūtā aproksimācijas kļūda ir vienāda ar 0,0025 un mazāk 0,01 . Šeit robežas absolūtā kļūda ir vienāda ar 0,01 .*

(* Absolūti kļūda ir gan pozitīva, gan negatīva. piemēram, 1,68 ≈ 1,7 . Absolūtā kļūda ir 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Robeža kļūda vienmēr ir pozitīva).

Aptuvenā skaitļa robežas absolūtā kļūda " a » ir apzīmēts ar simbolu Δ a . Ierakstīšana

x ≈ a ( Δ a)

jāsaprot šādi: precīza daudzuma vērtība X ir pa vidu a +Δ a un a –Δ bet, kas attiecīgi nosaukti apakšā un augšējā robeža X un apzīmē H G X un AT G X .

piemēram, ja X≈ 2,3 ( 0,1), tad 2,2 < X < 2,4 .

Gluži pretēji, ja 7,3 < X < 7,4, tad X≈ 7,35 ( 0,05).

Absolūtā vai robežabsolūtā kļūda nē raksturo mērījumu kvalitāti. To pašu absolūto kļūdu var uzskatīt par nozīmīgu un nenozīmīgu atkarībā no skaitļa, kas izsaka izmērīto vērtību.

piemēram, ja mēram attālumu starp divām pilsētām ar viena kilometra precizitāti, tad šāda precizitāte šim mērījumam ir pilnīgi pietiekama, savukārt, vienlaikus mērot attālumu starp divām mājām uz vienas ielas, šāda precizitāte būs nepieņemama. .

Līdz ar to daudzuma aptuvenās vērtības precizitāte ir atkarīga ne tikai no absolūtās kļūdas lieluma, bet arī no izmērītā daudzuma vērtības. Tātad precizitātes mērs ir relatīvā kļūda.

Relatīvā kļūda ir absolūtās kļūdas attiecība pret aptuvenā skaitļa vērtību. Tiek izsaukta robežas absolūtās kļūdas attiecība pret aptuveno skaitli robežas relatīvā kļūda; apzīmē to šādi: Δ a/a. Parasti tiek izteiktas relatīvās un robežrelatīvās kļūdas procentos.

piemēram ja mērījumi liecina, ka attālums starp diviem punktiem ir lielāks par 12,3 km, bet mazāk 12,7 km, tad priekš aptuvens tā nozīme ir pieņemta vidējišie divi skaitļi, t.i. viņiem puse summas, tad robeža absolūtā kļūda ir pusstarpībašie skaitļi. Šajā gadījumā X≈ 12,5 ( 0,2). Šeit ir robeža absolūts kļūda ir 0,2 km, un robeža

Priekš mūsdienīgi uzdevumi nepieciešams izmantot sarežģītu matemātisko aparātu un izstrādātas metodes to risināšanai. Šajā gadījumā bieži rodas problēmas, kuru analītiskais risinājums, t.i., risinājums analītiskas izteiksmes veidā, kas sasaista sākotnējos datus ar nepieciešamajiem rezultātiem, vai nu vispār nav iespējams, vai arī ir izteikts tik apgrūtinošās formulās, ka tos praktiski nav iespējams izmantot.

Šajā gadījumā tiek izmantotas skaitliskās risināšanas metodes, kas ļauj pavisam vienkārši iegūt skaitlisku problēmas risinājumu. Skaitliskās metodes tiek realizētas, izmantojot skaitļošanas algoritmus.

Visa skaitlisko metožu dažādība ir sadalīta divās grupās:

Precīzi - viņi pieņem, ka, ja aprēķini tiek veikti precīzi, tad ar ierobežotu skaitu aritmētisko un loģisko darbību var iegūt precīzas vēlamo daudzumu vērtības.

Aptuvens - kas, pat pieņemot, ka aprēķini tiek veikti bez noapaļošanas, ļauj iegūt problēmas risinājumu tikai ar noteiktu precizitāti.

1. vērtība un skaitlis. Daudzums ir kaut kas, ko var izteikt kā skaitli noteiktās vienībās.

Kad viņi runā par daudzuma vērtību, viņi domā noteiktu skaitli, ko sauc par daudzuma skaitlisko vērtību, un tā mērvienību.

Tādējādi daudzums ir objekta vai parādības īpašības īpašība, kas ir kopīga daudziem objektiem, bet katram no tiem ir individuālas vērtības.

Vērtības var būt nemainīgas vai mainīgas. Ja noteiktos apstākļos daudzumam ir tikai viena vērtība un to nevar mainīt, tad to sauc par konstantu, bet ja tas var ņemt dažādas nozīmes, tad ir mainīgais. Jā, paātrinājums Brīvais kritiensķermenis iekšā šī vieta Zemes virsma ir nemainīga vērtība, kas iegūst vienu skaitlisku vērtību g = 9,81 ... m / s2, savukārt ceļš s, šķērsots materiālais punkts tās kustības laikā ir mainīgs lielums.

2. aptuvenās skaitļu vērtības. Daudzuma vērtību, par kuras patiesumu mēs nešaubāmies, sauc par precīzu. Tomēr bieži vien, meklējot daudzuma vērtību, tiek iegūta tikai tā aptuvenā vērtība. Aprēķinu praksē bieži nākas saskarties ar aptuvenām skaitļu vērtībām. Tātad p ir precīzs skaitlis, taču tā neracionalitātes dēļ var izmantot tikai tā aptuveno vērtību.

Daudzās problēmās sarežģītības un nereti precīzu risinājumu iegūšanas neiespējamības dēļ tiek izmantotas aptuvenas risināšanas metodes, kas ietver: aptuvenu vienādojumu atrisināšanu, funkciju interpolāciju, integrāļu aptuveno aprēķinu utt.

Galvenā prasība aptuveniem aprēķiniem ir atbilstība starpaprēķinu norādītajai precizitātei un gala rezultātam. Tajā pašā laikā gan kļūdu (kļūdu) palielināšanās, nepamatoti rupjot aprēķinus, gan lieku, faktiskajai precizitātei neatbilstošu skaitļu saglabāšana ir vienlīdz nepieņemama.

Ir divas kļūdu klases, kas izriet no aprēķiniem un skaitļu noapaļošanas – absolūtā un relatīvā.

1. Absolūtā kļūda (kļūda).

Iepazīstinām ar apzīmējumu:

Lai A ir kāda daudzuma precīza vērtība, ieraksts a » A Mēs lasīsim "a ir aptuveni vienāds ar A". Dažreiz mēs rakstīsim A = a, paturot prātā, ka mēs runājam par aptuvenu vienādību.

Ja ir zināms, ka a< А, то а называют aptuvenā A vērtība ar trūkumu. Ja a > A, tad tiek izsaukts a aptuvenā A vērtība pārsniedz.

Tiek saukta atšķirība starp daudzuma precīzajām un aptuvenajām vērtībām tuvinājuma kļūda un tiek apzīmēts ar D, t.i.

D \u003d A — a (1)

Aproksimācijas kļūda D var būt gan pozitīva, gan negatīva.

Lai raksturotu atšķirību starp daudzuma aptuveno vērtību un precīzo vērtību, bieži vien pietiek norādīt precīzās un aptuvenās vērtības starpības absolūto vērtību.

Absolūtā vērtība starpībai starp aptuveno a un precīzi BET tiek izsauktas skaitļu vērtības absolūtā tuvinājuma kļūda (kļūda). un apzīmē ar D a:

D a = ½ a – BET½ (2)

1. piemērs Mērot līniju l izmantoja lineālu, kura skalas dalījuma vērtība ir 0,5 cm Ieguvām aptuvenu segmenta garuma vērtību a= 204 cm.

Skaidrs, ka mērījuma laikā tās varēja kļūdīties ne vairāk kā par 0,5 cm, t.i. absolūtā mērījuma kļūda nepārsniedz 0,5 cm.

Parasti absolūtā kļūda nav zināma, jo nav zināma precīza skaitļa A vērtība. Tāpēc daži novērtējums absolūta kļūda:

D a <= Da pirms tam. (3)

kur D pirms tam. – robežkļūda (skaitlis, vairāk nulle), kas tiek iestatīta, ņemot vērā noteiktību, ar kādu skaitlis a ir zināms.

Tiek saukta arī par ierobežojošo absolūto kļūdu kļūdas robeža. Tātad dotajā piemērā
D pirms tam. = 0,5 cm.

No (3) mēs iegūstam: D a = ½ a – BET½<= Da pirms tam. . un tad

a-D a pirms tam. ≤ BET≤ a+ D a pirms tam. . (4)

nozīmē, a-D a pirms tam. būs aptuvens rādītājs BET ar trūkumu un a + D a pirms tam – aptuvenā vērtība BET pārpalikumā. Viņi izmanto arī saīsinājumu: BET= a±D a pirms tam (5)

No ierobežojošās absolūtās kļūdas definīcijas izriet, ka skaitļi D a pirms tam, apmierinot nevienādību (3), būs bezgalīga kopa. Praksē mēs cenšamies izvēlēties iespējams mazāk no cipariem D pirms tam, apmierinot nevienlīdzību D a <= Da pirms tam.

2. piemērs Noteiksim skaitļa ierobežojošo absolūto kļūdu a=3,14, ko ņem kā aptuvenu skaitļa π vērtību.

Ir zināms, ka 3,14<π<3,15. No tā izriet, ka

|a – π |< 0,01.

Skaitli D var uzskatīt par ierobežojošo absolūto kļūdu a = 0,01.

Tomēr, ja ņemam vērā to 3,14<π<3,142 , tad saņemam labāku tāmi :D a= 0,002, tad π ≈3,14 ±0,002.

Relatīvā kļūda (kļūda). Lai raksturotu mērījuma kvalitāti, nepietiek tikai ar absolūtās kļūdas zināšanu.

Ļaujiet, piemēram, sverot divus ķermeņus, iegūstiet šādus rezultātus:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Lai gan abu rezultātu absolūtās mērījumu kļūdas ir vienādas, mērījumu kvalitāte pirmajā gadījumā būs labāka nekā otrajā. To raksturo relatīva kļūda.

Relatīvā kļūda (kļūda) skaitļa tuvinājums BET sauc par absolūto kļūdu attiecību D a tuvinājums skaitļa A absolūtajai vērtībai:

Tā kā precīza daudzuma vērtība parasti nav zināma, to aizstāj ar aptuvenu vērtību un pēc tam:

Relatīvās kļūdas ierobežošana vai relatīvās tuvināšanas kļūdas robeža, zvanīja uz numuru d un pirms tam.>0, tā, lai:

d a<= d un pirms tam.

Ierobežojošajai relatīvajai kļūdai acīmredzami var ņemt absolūtās ierobežojošās kļūdas attiecību pret aptuvenās vērtības absolūto vērtību:

No (9) ir viegli iegūt šādu svarīgo sakarību:

∆un pirms tam. = |a| d un pirms tam.

Ierobežojošo relatīvo kļūdu parasti izsaka procentos:

Piemērs. Aprēķina naturālo logaritmu bāze tiek pieņemta vienāda ar e=2,72. Mēs pieņēmām precīzu vērtību e m = 2,7183. Atrodiet aptuvenā skaitļa absolūtās un relatīvās kļūdas.

D e = ½ e – e t ½ = 0,0017;

.

Relatīvās kļūdas vērtība paliek nemainīga, proporcionāli mainoties vistuvākajam skaitlim un tā absolūtajai kļūdai. Tātad skaitlim 634,7, kas aprēķināts ar absolūto kļūdu D = 1,3, un skaitlim 6347 ar kļūdu D = 13, relatīvās kļūdas ir vienādas: d= 0,2.