Racionālu izteiksmju transformācija: pārveidojumu veidi, piemēri. racionāla izteiksme

Tālā pagātnē, kad skaitļošanas sistēma vēl nebija izgudrota, cilvēki visu skaitīja uz pirkstiem. Līdz ar aritmētikas un matemātikas pamatu parādīšanos preču, izstrādājumu un sadzīves priekšmetu uzskaite ir kļuvusi daudz vienkāršāka un praktiskāka. Tomēr, kā tas izskatās moderna sistēma aprēķins: kādos veidos esošie skaitļi tiek sadalīti un ko nozīmē "skaitļu racionālā forma"? Izdomāsim.

Cik skaitļu veidu ir matemātikā?

Pats jēdziens "skaitlis" apzīmē noteiktu jebkura objekta vienību, kas raksturo tā kvantitatīvos, salīdzinošos vai kārtas rādītājus. Lai pareizi saskaitītu noteiktu lietu skaitu vai veiktu noteiktas matemātiskās operācijas ar skaitļiem (saskaitīt, reizināt utt.), pirmkārt, jums vajadzētu iepazīties ar šo pašu skaitļu šķirnēm.

Tātad esošos skaitļus var iedalīt šādās kategorijās:

Naturālie skaitļi ir tie skaitļi, ar kuriem mēs saskaitām objektu skaitu (mazākais dabiskais skaitlis ir 1, loģiski, ka sērija naturālie skaitļi ir bezgalīgs, tas ir, nav lielākā naturālā skaitļa). Dabisko skaitļu kopu parasti apzīmē ar burtu N.
Veseli skaitļi. Šajā komplektā ietilpst viss, kamēr tas ir pievienots un negatīvas vērtības, ieskaitot skaitli "nulle". Veselu skaitļu kopas apzīmējums ir uzrakstīts kā latīņu burts Z.
Racionālie skaitļi ir tie, kurus mēs varam prātā pārvērst daļskaitlī, kuras skaitītājs piederēs veselu skaitļu kopai, bet saucējs piederēs naturāliem skaitļiem. Tālāk mēs sīkāk analizēsim, ko nozīmē "racionālais skaitlis", un sniegsim dažus piemērus.
- kopa, kas ietver visus racionālos un Šo kopu apzīmē ar burtu R.
Kompleksie skaitļi satur daļu no reālā un daļu no mainīgā. Tos izmanto dažādu kubisko vienādojumu risināšanā, kuriem, savukārt, formulās var būt negatīva izteiksme (i 2 = -1).

Ko nozīmē “racionāls”: mēs to analizējam ar piemēriem

Ja racionālie skaitļi ir tie, kurus mēs varam attēlot formā kopējā frakcija, izrādās, ka visi pozitīvie un negatīvie veselie skaitļi ir iekļauti arī racionālo kopā. Galu galā jebkuru veselu skaitli, piemēram, 3 vai 15, var attēlot kā daļskaitli, kur saucējs būs viens.

Frakcijas: -9/3; 7/5, 6/55 ir piemēri racionālie skaitļi.

Ko nozīmē “racionāla izteiksme”?

Dodieties tālāk. Mēs jau esam apsprieduši, ko nozīmē racionālā skaitļu forma. Tagad iedomāsimies matemātisko izteiksmi, kas sastāv no summas, starpības, reizinājuma vai koeficienta dažādi skaitļi un mainīgie. Šeit ir piemērs: daļa, kuras skaitītājā ir divu vai vairāku veselu skaitļu summa, un saucējs satur gan veselu skaitli, gan kādu mainīgo. Tieši šo izteiksmi sauc par racionālu. Pamatojoties uz noteikumu "jūs nevarat dalīt ar nulli", jūs varat uzminēt, ka šī mainīgā vērtība nevar būt tāda, ka saucēja vērtība kļūst par nulli. Tāpēc, risinot racionālu izteiksmi, vispirms ir jānosaka mainīgā diapazons. Piemēram, ja saucējs satur šādu izteiksmi: x+5-2, tad izrādās, ka "x" nevar būt vienāds ar -3. Patiešām, šajā gadījumā visa izteiksme pārvēršas par nulli, tāpēc, risinot, šim mainīgajam ir jāizslēdz vesels skaitlis -3.

Kā pareizi atrisināt racionālos vienādojumus?

Racionālas izteiksmes var saturēt diezgan daudz liels skaits skaitļi un pat 2 mainīgie, tāpēc dažreiz to risinājums kļūst sarežģīts. Lai atvieglotu šādas izteiksmes atrisināšanu, dažas darbības ieteicams veikt racionāli. Tātad, ko nozīmē “racionāli” un kādi noteikumi būtu jāpiemēro, pieņemot lēmumu?

Pirmais veids, kad pietiek tikai ar izteiksmes vienkāršošanu. Lai to izdarītu, varat izmantot darbību, kas samazina skaitītāju un saucēju līdz nesamazināmai vērtībai. Piemēram, ja skaitītājs satur izteiksmi 18x, bet saucējs 9x, tad, samazinot abus rādītājus par 9x, mēs iegūstam tikai veselu skaitli, kas vienāds ar 2.
Otrā metode ir praktiska, ja mums ir monomāls skaitītājā un polinoms saucējā. Apskatīsim piemēru: skaitītājā mums ir 5x, bet saucējā - 5x + 20x 2. Šajā gadījumā vislabāk ir izņemt mainīgo saucējā no iekavām, mēs iegūstam šādu saucēja formu: 5x(1+4x). Un tagad varat izmantot pirmo noteikumu un vienkāršot izteiksmi, skaitītājā un saucējā samazinot 5x. Rezultātā mēs iegūstam formas daļu 1/1+4x.

Kādas darbības var veikt ar racionāliem skaitļiem?

Racionālo skaitļu kopai ir vairākas savas īpatnības. Daudzi no tiem ir ļoti līdzīgi raksturlielumam, kas ir veselos skaitļos un naturālajos skaitļos, ņemot vērā to, ka pēdējie vienmēr tiek iekļauti racionālajā kopā. Šeit ir dažas racionālo skaitļu īpašības, kuras zinot, jūs varat viegli atrisināt jebkuru racionālu izteiksmi.

Komutativitātes īpašība ļauj summēt divus vai vairākus skaitļus neatkarīgi no to secības. Vienkārši sakot, summa nemainās, mainoties terminu vietām.
Sadales īpašība ļauj atrisināt problēmas, izmantojot sadales likumu.
Un visbeidzot, saskaitīšanas un atņemšanas darbības.

Pat skolēni zina, ko nozīmē "racionālais skaitļu veids" un kā risināt uzdevumus, pamatojoties uz šādiem izteicieniem, tāpēc izglītotam pieaugušajam vienkārši jāatceras vismaz racionālo skaitļu kopas pamati.

racionāla izteiksme algebriskā izteiksme nesatur radikāļus. Citiem vārdiem sakot, tas ir viens vai vairāki algebriski lielumi (cipari un burti), kas savienoti ar zīmēm aritmētiskās darbības: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana ... ... Wikipedia

Algebriskā izteiksme, kas nesatur radikāļus un ietver tikai saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas darbības. Piemēram, a2 + b, x/(y z2)… Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

Algebriskā izteiksme, kas nesatur radikāļus un ietver tikai saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas darbības. Piemēram, a2 + b, x/(y z2). * * * RACIONĀLĀ IZTEIKSME RATIONAL EXPRESSSION, algebriskā izteiksme, kas nesatur ... ... enciklopēdiskā vārdnīca

Algebriskā izteiksme, kas nesatur radikāļus, piemēram, a2 + b, x/(y z3). Ja iekļauts R. gs. burti tiek uzskatīti par mainīgajiem, tad R. in. definē šo mainīgo racionālo funkciju (skatiet sadaļu Racionālā funkcija) ... Lielā padomju enciklopēdija

Algebriskā izteiksme, kas nesatur radikāļus un ietver tikai saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas darbības. Piemēram, a2 + b, x/(y z2) ... Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca

IZTEIKSME- primārais matemātiskais jēdziens, kas nozīmē ar aritmētisko darbību zīmēm savienotu burtu un ciparu ierakstu, bet var izmantot iekavas, funkciju apzīmējumus u.c.; parasti B ir formulas miljons daļa no tā. Atšķirt (1) ... ... Lielā Politehniskā enciklopēdija

RACIONĀLI- (Rational; Rational) termins, ko lieto, lai aprakstītu domas, jūtas un darbības, kas atbilst prātam; attieksme, kas balstīta uz objektīvām vērtībām, kas iegūtas praktiskās pieredzes rezultātā. “Objektīvās vērtības tiek nostiprinātas pieredzē ... ... Analītiskās psiholoģijas vārdnīca

RACIONĀLĀS ZINĀŠANAS- subjektīvs objektīvās pasaules tēls, kas iegūts ar domāšanas palīdzību. Domāšana - aktīvs process vispārināts un mediēts realitātes atspoguļojums, kas nodrošina tās regulāro sakarību atklāšanu, pamatojoties uz sensorajiem datiem un to izpausmēm ... Zinātnes un tehnoloģiju filozofija: tematiskā vārdnīca

VIENĀDĀJUMS, RACIONĀLAIS- Loģiska vai matemātiska izteiksme, kuras pamatā ir (racionāli) pieņēmumi par procesiem. Šādi vienādojumi atšķiras no empīriskajiem vienādojumiem ar to, ka to parametri tiek iegūti deduktīvu secinājumu rezultātā no teorētiskā ... ... Vārdnīca psiholoģijā

RACIONĀLS, racionāls, racionāls; racionāls, racionāls, racionāls. 1. adj. uz racionālismu (grāmata). racionālā filozofija. 2. Diezgan saprātīgi, pamatoti, lietderīgi. Viņš izteica racionālu ieteikumu. Racionāli...... Ušakova skaidrojošā vārdnīca

1) R. algebriskais vienādojums f (x) = 0 grādu p algebriskais vienādojums g(y)=0 dots vienādojums… … Matemātiskā enciklopēdija

Vesela skaitļa izteiksme ir matemātiska izteiksme, kas sastāv no skaitļiem un burtiskiem mainīgajiem, izmantojot saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas darbības. Veseli skaitļi ietver arī izteiksmes, kas ietver dalīšanu ar kādu skaitli, kas nav nulle.

Veselo skaitļu izteiksmju piemēri

Tālāk ir sniegti daži veselu skaitļu izteiksmju piemēri:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Frakcionētas izteiksmes

Ja izteiksmē ir dalījums ar mainīgo vai citu izteiksmi, kas satur mainīgo, tad šāda izteiksme nav vesels skaitlis. Šādu izteiksmi sauc par daļēju izteiksmi. Sniegsim pilnīgu frakcionētas izteiksmes definīciju.

Daļskaitļa izteiksme ir matemātiska izteiksme, kas papildus saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas operācijām, kas tiek veiktas ar skaitļiem un alfabētiskajiem mainīgajiem, kā arī dalīšanai ar skaitli, nav nulle, satur arī sadalījumu izteiksmēs ar burtiskiem mainīgajiem.

Daļskaitļu izteiksmju piemēri:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Daļskaitļu un veselu skaitļu izteiksmes veido divas lielas matemātisko izteiksmju kopas. Ja šīs kopas apvieno, tad iegūstam jaunu kopu, ko sauc par racionālām izteiksmēm. Tas nozīmē, ka racionālās izteiksmes visas ir veselu skaitļu un daļskaitļu izteiksmes.

Mēs zinām, ka veselu skaitļu izteiksmēm ir jēga jebkurai tajā iekļauto mainīgo vērtību vērtībai. Tas izriet no tā, ka, lai atrastu vesela skaitļa izteiksmes vērtību, ir jāveic darbības, kas vienmēr ir iespējamas: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana ar skaitli, kas nav nulle.

Frakcionālām izteiksmēm atšķirībā no veseliem skaitļiem var nebūt jēgas. Tā kā ir dalīšanas operācija ar mainīgo vai izteiksme, kas satur mainīgos, un šī izteiksme var pārvērsties par nulli, bet dalīšana ar nulli nav iespējama. To mainīgo vērtības, kurām daļēja izteiksme būs jēga, izsauciet derīgās mainīgo vērtības.

racionālā daļa

Viens no īpašajiem gadījumiem racionālas izpausmes būs daļa, kuras skaitītājs un saucējs ir polinomi. Šādai daļskaitlim matemātikā ir arī nosaukums - racionālā daļa.

Racionālajai daļai būs jēga, ja tās saucējs nav vienāds ar nulli. Tas nozīmē, ka būs derīgas visas mainīgo lielumu vērtības, kurām frakcijas saucējs atšķiras no nulles.

Šajā nodarbībā tiks apskatīta pamatinformācija par racionālām izteiksmēm un to transformācijām, kā arī racionālu izteiksmju transformācijas piemēri. Šajā tēmā ir apkopotas līdz šim pētītās tēmas. Racionālas izteiksmes transformācijas ietver saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu, eksponenci algebriskās daļas, samazināšana, faktorizēšana utt. Nodarbības ietvaros apskatīsim, kas ir racionāla izteiksme, kā arī analizēsim piemērus to pārveidošanai.

Temats:Algebriskās daļas. Aritmētiskās darbības ar algebriskām daļām

Nodarbība:Pamatinformācija par racionālām izteiksmēm un to transformācijām

Definīcija

racionāla izteiksme ir izteiksme, kas sastāv no skaitļiem, mainīgajiem lielumiem, aritmētiskām darbībām un eksponenci.

Apsveriet racionālas izteiksmes piemēru:

Īpaši racionālu izteicienu gadījumi:

1. pakāpe: ;

2. monomāls: ;

3. daļa: .

Racionālas izteiksmes transformācija ir racionālas izteiksmes vienkāršojums. Darbību secība, pārveidojot racionālas izteiksmes: vispirms ir darbības iekavās, tad reizināšanas (dalīšanas) un pēc tam saskaitīšanas (atņemšanas) darbības.

Apskatīsim dažus racionālu izteiksmju transformācijas piemērus.

1. piemērs

Lēmums:

Soli pa solim atrisināsim šo piemēru. Vispirms tiek veikta darbība iekavās.

Atbilde:

2. piemērs

Lēmums:

Atbilde:

3. piemērs

Lēmums:

Atbilde: .

Piezīme: varbūt, kad redzēsi šis piemērs radās ideja: samazināt daļskaitli, pirms noved pie kopsaucēja. Patiešām, tas ir pilnīgi pareizi: pirmkārt, ir vēlams pēc iespējas vienkāršot izteiksmi un pēc tam to pārveidot. Mēģināsim atrisināt šo pašu piemēru otrā veidā.

Kā redzat, atbilde izrādījās absolūti līdzīga, taču risinājums izrādījās nedaudz vienkāršāks.

Šajā nodarbībā mēs apskatījām racionālas izteiksmes un to transformācijas, kā arī vairākas konkrēti piemēri transformācijas dati.

Bibliogrāfija

1. Bašmakovs M.I. Algebra 8. klase. - M.: Apgaismība, 2004.

2. Dorofejevs G.V., Suvorova S.B., Bunimovičs E.A. et al., Algebra 8. - 5. izd. - M.: Izglītība, 2010.

No algebras kursa skolas mācību programma Pievērsīsimies specifikai. Šajā rakstā mēs detalizēti izpētīsim īpašs veids racionāli izteicieni - racionālās daļas, kā arī analizēt, kura īpašība ir identiska racionālo daļu transformācijas norisināties.

Mēs uzreiz atzīmējam, ka racionālās daļas tādā nozīmē, kādā mēs tās definējam tālāk, dažās algebras mācību grāmatās sauc par algebriskajām daļām. Tas ir, šajā rakstā mēs sapratīsim to pašu zem racionālajām un algebriskajām daļām.

Kā parasti, mēs sākam ar definīciju un piemēriem. Tālāk parunāsim par racionālas daļskaitļa pārnešanu uz jaunu saucēju un par daļskaitļa locekļu zīmju maiņu. Pēc tam mēs analizēsim, kā tiek veikta frakciju samazināšana. Visbeidzot, pakavēsimies pie racionālas daļas attēlojuma kā vairāku daļu summas. Mēs sniegsim visu informāciju ar piemēriem ar detalizēti apraksti risinājumus.

Lapas navigācija.

Racionālo daļskaitļu definīcija un piemēri

Racionālās daļas tiek pētītas algebras stundās 8. klasē. Mēs izmantosim racionālās daļas definīciju, ko algebras mācību grāmatā 8. klasēm sniedz Yu. N. Makarychev un citi.

Šī definīcija nenosaka, vai polinomiem racionālās daļas skaitītājā un saucējā ir jābūt polinomiem standarta skats vai nē. Tāpēc pieņemsim, ka racionālās daļas var saturēt gan standarta, gan nestandarta polinomus.

Šeit ir daži racionālo daļskaitļu piemēri. Tātad , x/8 un - racionālās daļas. Un frakcijas un neatbilst skanētajai racionālas daļas definīcijai, jo pirmajā no tām skaitītājs nav polinoms, bet otrajā gan skaitītājs, gan saucējs satur izteiksmes, kas nav polinomi.

Racionālas daļskaitļa skaitītāja un saucēja pārvēršana

Jebkuras daļskaitļa skaitītājs un saucējs ir pašpietiekamas matemātiskas izteiksmes, racionālo daļskaitļu gadījumā tie ir polinomi, konkrētā gadījumā tie ir monomi un skaitļi. Tāpēc ar racionālas daļas skaitītāju un saucēju, tāpat kā ar jebkuru izteiksmi, var veikt identiskas transformācijas. Citiem vārdiem sakot, izteiksmi racionālas daļas skaitītājā var aizstāt ar izteiksmi, kas ir identiski vienāda ar to, tāpat kā saucēju.

Racionālās daļas skaitītājā un saucējā var veikt identiskas transformācijas. Piemēram, skaitītājā var grupēt un samazināt līdzīgus vārdus, un saucējā vairāku skaitļu reizinājumu var aizstāt ar tā vērtību. Un tā kā racionālās daļas skaitītājs un saucējs ir polinomi, ar tiem iespējams veikt polinomiem raksturīgās transformācijas, piemēram, reducēšanu uz standarta formu vai atveidojumu kā reizinājumu.

Skaidrības labad apsveriet vairāku piemēru risinājumus.

Piemērs.

Konvertēt racionālā daļa tā, ka skaitītājs ir standarta formas polinoms, bet saucējs ir polinomu reizinājums.

Lēmums.

Racionālo daļu samazināšanu līdz jaunam saucējam galvenokārt izmanto, saskaitot un atņemot racionālās daļas.

Zīmju maiņa daļskaitļa priekšā, kā arī tā skaitītājā un saucējā

Daļas pamatīpašību var izmantot, lai mainītu daļskaitļa vārdu zīmes. Patiešām, racionālas daļas skaitītāja un saucēja reizināšana ar -1 ir līdzvērtīga to zīmju maiņai, un rezultāts ir daļskaitlis, kas ir identiski vienāds ar doto. Strādājot ar racionālām daļām, šāda transformācija ir jāizmanto diezgan bieži.

Tādējādi, ja vienlaikus maināt daļskaitļa skaitītāja un saucēja zīmes, jūs iegūsit daļu, kas vienāda ar sākotnējo. Šis apgalvojums atbilst vienlīdzībai.

Ņemsim piemēru. Racionālu daļu var aizstāt ar identiski vienādu daļu ar apgrieztām formas skaitītāja un saucēja zīmēm.

Izmantojot daļskaitļus, varat izdarīt vēl vienu identitātes transformācija, pie kura zīme mainās vai nu skaitītājā, vai saucējā. Apskatīsim atbilstošo noteikumu. Ja daļskaitļa zīmi aizstājat kopā ar skaitītāja vai saucēja zīmi, jūs iegūstat daļu, kas ir identiski vienāda ar oriģinālu. Rakstiskais paziņojums atbilst vienādībām un .

Šīs vienlīdzības nav grūti pierādīt. Pierādījums ir balstīts uz skaitļu reizināšanas īpašībām. Pierādīsim pirmo no tiem: . Ar līdzīgu transformāciju palīdzību tiek pierādīta arī vienlīdzība.

Piemēram, daļu var aizstāt ar izteiksmi vai .

Šīs apakšnodaļas noslēgumā mēs piedāvājam vēl divas noderīgas vienādības un . Tas ir, ja maināt tikai skaitītāja vai tikai saucēja zīmi, tad daļa mainīs savu zīmi. Piemēram, un .

Aplūkotās transformācijas, kas ļauj mainīt daļskaitļa vārdu zīmi, bieži tiek izmantotas, pārveidojot frakcionēti racionālas izteiksmes.

Racionālo frakciju samazināšana

Sekojošā racionālo daļu transformācija, ko sauc par racionālo daļu samazināšanu, ir balstīta uz vienu un to pašu frakcijas pamatīpašību. Šī transformācija atbilst vienādībai , kur a , b un c ir daži polinomi, bet b un c nav nulle.

No iepriekš minētās vienlīdzības kļūst skaidrs, ka racionālās daļas samazināšana nozīmē atbrīvošanos no kopējā faktora tā skaitītājā un saucējā.

Piemērs.

Samaziniet racionālo daļu.

Lēmums.

Uzreiz redzams kopējais faktors 2, samazināsim (rakstot ir ērti izsvītrot kopējos faktorus, pēc kuriem tiek veikts samazinājums). Mums ir . Tā kā x 2 \u003d x x un y 7 \u003d y 3 y 4 (skatiet, ja nepieciešams), ir skaidrs, ka x ir kopīgs iegūtās frakcijas skaitītāja un saucēja faktors, tāpat kā y 3 . Samazināsim ar šādiem faktoriem: . Tas pabeidz samazināšanu.

Iepriekš mēs secīgi veicām racionālās daļas samazināšanu. Un bija iespējams veikt samazināšanu vienā solī, uzreiz samazinot daļu par 2·x·y 3 . Šajā gadījumā risinājums izskatītos šādi: .

Atbilde:

Samazinot racionālās daļas, galvenā problēma ir tā, ka ne vienmēr ir redzams skaitītāja un saucēja kopīgais faktors. Turklāt tas ne vienmēr pastāv. Lai atrastu kopīgu faktoru vai pārliecinātos, ka tā nav, racionālās daļskaitļa skaitītājs un saucējs ir jāfaktorizē. Ja nav kopēja faktora, sākotnējā racionālā daļa nav jāsamazina, pretējā gadījumā tiek veikta samazināšana.

Racionālo frakciju samazināšanas procesā var rasties dažādas nianses. Galvenie smalkumi ar piemēriem un detaļām ir apskatīti rakstā algebrisko daļu samazināšana.

Noslēdzot sarunu par racionālo daļu samazināšanu, mēs atzīmējam, ka šī transformācija ir identiska, un galvenās grūtības tās īstenošanā ir polinomu faktorizācija skaitītājā un saucējā.

Racionālas daļas attēlošana kā daļu summa

Diezgan specifiska, bet dažos gadījumos ļoti noderīga ir racionālas daļdaļas pārveidošana, kas sastāv no tās attēlošanas kā vairāku daļskaitļu summas jeb vesela skaitļa izteiksmes un daļskaitļa summa.

Racionālu daļskaitli, kuras skaitītājā ir polinoms, kas ir vairāku monomālu summa, vienmēr var uzrakstīt kā daļu summu ar tie paši saucēji, kura skaitītāji satur atbilstošos monomiālus. Piemēram, . Šis attēlojums ir izskaidrojams ar algebrisko daļu ar vienādiem saucējiem saskaitīšanas un atņemšanas likumu.

Kopumā jebkuru racionālu daļu var attēlot kā daļu summu dažādos veidos. Piemēram, daļu a/b var attēlot kā divu daļskaitļu summu - patvaļīgu daļskaitli c/d un daļu, kas vienāda ar starpību starp daļskaitļiem a/b un c/d. Šis apgalvojums ir patiess, jo vienlīdzība . Piemēram, racionālu daļu var attēlot kā daļu summu Dažādi ceļi: Sākotnējo daļu mēs attēlojam kā vesela skaitļa izteiksmes un daļdaļas summu. Pēc skaitītāja dalīšanas ar saucēju ar kolonnu iegūstam vienādību . Izteiksmes n 3 +4 vērtība jebkuram veselam skaitlim n ir vesels skaitlis. Un daļdaļas vērtība ir vesels skaitlis tad un tikai tad, ja tās saucējs ir 1, −1, 3 vai −3. Šīs vērtības atbilst attiecīgi vērtībām n=3, n=1, n=5 un n=-1.

Atbilde:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliogrāfija.

Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovičs A.G. Algebra. 7. klase. Plkst.14 1.daļa Skolēna mācību grāmata izglītības iestādēm/ A. G. Mordkovičs. - 13. izd., Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase. Plkst.14 1. daļa. Mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 11. izd., dzēsts. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.