Mainīgais ierobežojums. Secības ierobežojums

FUNKCIJAS UN IEROBEŽOJUMI IX

§ 201. Konstantes un mainīgie. Funkciju koncepcija

Mēs jau vairākkārt esam saskārušies ar funkcijas jēdzienu. Pirmajā daļā mēs apskatījām lineāro, kvadrātisko, jaudas un trigonometriskās funkcijas. Iepriekšējā nodaļa bija veltīta eksponenciālo un logaritmisko funkciju izpētei. Tagad mums ir jādara vispārējs apskats ko mēs jau zinām par funkcijām, un apsveriet dažus jaunus jautājumus.

Vērojot dažādus procesus, var pamanīt, ka tajos iesaistītie daudzumi uzvedas atšķirīgi: daži no tiem mainās, citi paliek nemainīgi. Ja, piemēram, trijstūrī ABC virsotne B tiek pārvietota pa taisni MN paralēli pamatnei AC (263. att.), tad leņķu A, B un C vērtības nepārtraukti mainīsies, un to summa — augstums h un trīsstūra laukums paliks nemainīgs.

Vēl viens piemērs. Ja kāda gāze tiek saspiesta nemainīgā temperatūrā, tad tās tilpums ( V) un spiediens ( R) mainīsies: apjoms samazināsies un spiediens palielināsies. Šo daudzumu reizinājums, kā noteikts Boila-Mariota likumā, paliks nemainīgs:

Vp=c ,

kur ar ir kaut kāda nemainīga.

Visus lielumus var iedalīt konstantēs un mainīgajos.

Jebkurā procesā iesaistītie mainīgie parasti nemainās neatkarīgi viens no otra, bet gan ciešā saistībā viens ar otru. Piemēram, gāzes saspiešana (konstantā temperatūrā) izraisa izmaiņas tās tilpumā, un tas savukārt izraisa gāzes spiediena izmaiņas. Cilindra pamatnes rādiusa maiņa izraisa izmaiņas šīs pamatnes laukumā; pēdējais noved pie cilindra tilpuma izmaiņām utt. Viens no tā vai cita procesa matemātiskās izpētes vienmērīgajiem uzdevumiem ir noteikt, kā dažu mainīgo izmaiņas ietekmē citu mainīgo lielumu izmaiņas.

Apskatīsim dažus piemērus. Iepriekš minētais Boila likums - Mariote saka, ka nemainīgā temperatūrā gāzes tilpums V mainās apgriezti ar spiedienu R : V = c / lpp . Ja spiediens ir zināms, tad gāzes tilpumu var aprēķināt, izmantojot šo formulu. Tāpat arī formula S = π r 2 ļauj noteikt apļa S laukumu, ja ir zināms tā rādiuss r . Pēc formulas β = π / 2 - α atrodiet akūtu leņķi taisnleņķa trīsstūris, ja ir zināms cits šī trijstūra akūts leņķis utt.

Salīdzinot divus mainīgos, vienu no tiem ir ērti uzskatīt par neatkarīgs mainīgais un otrs kā atkarīgi mainīgā vērtība. Piemēram, apļa rādiuss r ir dabiski to uzskatīt par neatkarīgu mainīgo un apļa laukumu S = π r 2 - atkarīgs mainīgais. Tāpat gāzes spiediens R var uzskatīt par neatkarīgu mainīgo; tad tā apjoms V = c / lpp būs atkarīgais mainīgais.

Kurš no diviem mainīgajiem ir jāizvēlas kā atkarīgs un kurš kā neatkarīgs? Šis jautājums tiek atrisināts dažādos veidos atkarībā no mērķa. Ja mūs, piemēram, interesē, pie kā noved gāzes spiediena izmaiņas pie nemainīgas temperatūras, tad dabiski ir pieņemt zāģēšanu kā neatkarīgu mainīgo, bet tilpumu kā atkarīgo mainīgo. Šajā gadījumā atkarīgais mainīgais V tiks izteikts kā neatkarīgais mainīgais R pēc formulas: V = c / lpp . Ja vēlamies noskaidrot gāzes saspiešanas sekas, tad tilpumu labāk uzskatīt par neatkarīgu mainīgo, bet spiedienu kā atkarīgo mainīgo. Tad atkarīgais mainīgais R tiks izteikts neatkarīgā mainīgā V izteiksmē ar formulu R = c / V . Jebkurā no šiem gadījumiem abi daudzumi ir saistīti viens ar otru tā, ka katrs iespējamā vērtība viens no tiem atbilst otras skaidri noteiktai vērtībai.

Ja katra viena mainīgā vērtība X kaut kādā veidā sakrīt ar cita lieluma skaidri definētu vērtību plkst, tad mēs sakām, ka ir dota funkcija.

vērtība plkst tajā pašā laikā viņi zvana atkarīgi mainīgs vai funkcija un vērtību X - neatkarīgs mainīgs vai arguments.

Lai izteiktu ko plkst ir argumentu funkcija X , parasti izmanto apzīmējumu: plkst = f (X ), y = g (x ) , plkst = φ (X ) utt. (tas skan: y ir vienāds ar ef no x, y ir vienāds ar to pašu no x, y ir vienāds ar phi no x utt.). Burta izvēle funkcijas apzīmēšanai ( f,g φ ), protams, ir nebūtisks. Svarīga ir attiecību starp daudzumu X un plkst izsaka šo vēstuli.

Funkcijai izmantotā vērtība f (X ) plkst x = a , apzīmēts f (a ). Ja, piemēram, f (X ) = x 2 + 1, tad

f (1) = 1 2 + 1 = 2;

f (2) = 2 2 + 1 = 5;

f (a + 1) = (a + 1) 2 + 1 = a 2 + 2a + 2;

f (2a ) = (2a ) 2 + 1 = 4a 2 + 1

Vingrinājumi

1515. Gāze zem 2 atmosfēru spiediena tiek saspiesta. Kā tas mainās: a) gāzes svars; b) tā apjoms; c) viņa spiediens?

1516. Pa elektrisko ķēdi plūst strāva. Ar reostata palīdzību mēs mainām ķēdes pretestību. Vai tas maina: a) strāvu ķēdē; b) spriegums?

1517. Trijstūra ABC virsotne B virzās pa apli, kura diametrs sakrīt ar šī trijstūra pamatni AC. Kuri lielumi šajā procesā paliek nemainīgi un kuri mainās?

1518.

Atrodi) f (0); b) f (a 2); iekšā) f ( 1 / a ); G) f (grēks a ).

1519. Ekspres f (2a ) cauri f (a ) funkcijām:

a) f (X ) = grēks X ; b) f (X ) = tg X ;

No dažādiem mainīgo darbības veidiem vissvarīgākais ir tas, kurā mainīgajam ir tendence sasniegt noteiktu robežu. Šajā gadījumā mainīgā ņemtās vērtības X, kļūst patvaļīgi tuvu kādam nemainīgam skaitlim a-šī mainīgā lieluma robeža. Mēdz teikt, ka mainīgais tiecas, bezgalīgi tuvojas nemainīgam skaitlim a(līdz jūsu robežai). Sniegsim atbilstošo definīciju sīkāk.

Mainīgais x tiecas uz robežu a (a - konstants skaitlis), ja absolūtā vērtība starpība starp x un a kļūst patvaļīgi maza mainīgā lieluma maiņas procesā.

To pašu definīciju var pateikt citiem vārdiem.

Definīcija.Tiek izsaukts konstants skaitlis amainīgais ierobežojumsx ja - starpības x un a absolūtā vērtība mainīgā x maiņas procesā kļūst patvaļīgi maza.

Fakts, ka numurs a, ir mainīgā lieluma robeža, raksta šādi:

( - vārda limes pirmie burti - limits) vai X-> a

Noskaidrosim, kas jāsaprot ar vārdiem "vērtība kļūst patvaļīgi maza", kas ir pieejami limita definīcijā. Ņemsim patvaļīgu pozitīvu skaitli , tad, ja, sākot no noteikta mainīgā izmaiņu momenta X, vērtības kļūs un kļūs mazākas par šo .

Mainīgajam ir tendence uz robežu, ja ir kāds pozitīvs . sākot ar kādu mainīgā maiņas momentu, nevienādība ir izpildīta .

Ierobežojuma definīcijai ir vienkārša ģeometriskā nozīme: nevienlīdzība nozīmē, ka tas atrodas - punkta apkārtnē , t.i. intervālā (26. att.). Tādējādi ierobežojuma definīcija iekšā ģeometriskā forma: skaitlis ir mainīgā ierobežojums, ja jebkuram (patvaļīgi mazs)-punkta apkaime var norādīt šādu mainīgā maiņas momentu, sākot no kura visas tā vērtības
iekrist norādītajā -punkta a apkārtnē.

Ir nepieciešams iedomāties procesu, kā tuvojas robežai dinamikā. paņēma dažus - punkta apkārtne a; sākot kādā pārmaiņu brīdī , visas vērtības ietilpst šajā apkārtnē. Tagad apskatīsimies tuvāk - punkta apkārtne a; sākot no kāda (tālāka salīdzinājumā ar pirmo) izmaiņu brīža , visas tās vērtības iekritīs - punkta apkārtne a utt. (1. att.).

Ieviesuši mainīgā lieluma robežas definīciju, mēģinājām to detalizēti apspriest un atšifrēt. Tomēr šajā definīcijā viena ļoti nozīmīga detaļa palika neatklāta; kas jāsaprot ar vārdiem "sākot no noteikta mainīgā maiņas brīža"? Tas ir skaidrs, kad mainīgā lieluma maiņas process notiek laikā: sākot no noteikta brīža (laika). Taču mēs ne vienmēr saskaramies ar mainīgajiem lielumiem, kas laika gaitā mainās. Kā būt šādos gadījumos? Izeja ir atšifrēt šo vietu mainīgā lieluma robežas vispārējā definīcijā noteiktā veidā katram mainīgo veidam: savā veidā secībām, savā veidā funkcijām utt.

Secības ierobežojums. Pirmkārt, ir jāatgādina secības definīcija: ja visas vērtības ņem mainīgais X, var numurēt, izmantojot dažādus naturālie skaitļi x ), x 2 ,... x n,..., un vērtība ar lielāku skaitli tiek ņemta pēc vērtības ar mazāku skaitli, tad mēs sakām, ka mainīgais X iet cauri vērtību secībai x x, x 2,... x p...; vai vienkārši, ka ir secība (skaitļu secība).

Definīcija. Skaitliskā secība tiek izsaukta dabiska argumenta reāla funkcija, t.i., funkcija, kurai = N un ER.

To apzīmē ar simbolu , kur , vai īsumā, . Skaitli, kas ir atkarīgs no n, sauc par n – secības dalībnieks. Sakārtojot secības vērtības skaitliskā secībā, iegūstam, ka secību var identificēt ar saskaitāmu kopu reāli skaitļi, t.i.

Piemēri:

a) Secība ir nemainīga un sastāv no vienādiem skaitļiem (vienībām): ;

b) . Viņai

G) .

Secībām paziņojums, kas ietverts mainīgā lieluma robežas vispārējā definīcijā "sākas kādā izmaiņu brīdī " vajadzētu nozīmēt - "sākot no kāda skaitļa", jo termini ar lielākiem skaitļiem seko (pēc secības definīcijas) dalībniekam ar mazāku skaitli. Tātad mēs iegūstam šādu secības robežas definīciju:

Definīcija. Numurs a sauca ierobežojums sekvences, ja jebkuram skaitlim ir tāds skaitlis, ka visi skaitļi, kuriem atbilst nevienlīdzība .

Atbilstošs apzīmējums

Nevienlīdzību var uzrakstīt arī kā vai . Šie ieraksti uzsver, ka vērtība x n patvaļīgi nedaudz atšķiras no a , kad biedra skaits palielinās uz nenoteiktu laiku. Ģeometriski secības robežas definīcija nozīmē sekojošo: for patvaļīgi maza -skaitļa apkaime a ir tāds skaitlis N, ka visi secības locekļi ar lielāku par N, skaitļi ietilpst šajā apkārtnē,ārpus apkaimes ir tikai ierobežots skaits secības sākuma terminu (2. att.). Tie ir visi vai daži dalībnieki .

x 1 x 2 x N +1 a x N +2 x N x 3

Skaitlis mūsu definīcijā ir atkarīgs no : N= N(). Kā minēts iepriekš, robežas definīcija ir jāsaprot attīstībā, dinamikā, kustībā: ja ņemam citu, mazāku vērtību , piemēram, vispārīgi runājot, ir cits numurs N x > N, tāda, ka nevienlīdzība , ir apmierināts ar visiem.

Robežas definīciju rakstīsim, izmantojot loģiskos simbolus (kvantifikatorus). Secības robežas definīcija, izmantojot kvantorus, izskatās šādi.

Mainīgie un konstantes nav gluži vienkārši

Skolas matemātika vienmēr ir pārliecinājusi un turpina mūs pārliecināt, ka jautājums par mainīgajiem un konstantēm tiek atrisināts ļoti vienkārši. Mainīgie lielumi ir vērtības, kuras var iegūt konkrēta uzdevuma apstākļos dažādas nozīmes. Vērtības, kas nemaina savas vērtības konkrētās problēmas apstākļos, tiek uzskatītas par nemainīgām.

Tajā pašā laikā papildus tiek ziņots, ka lielumu sadalīšana mainīgajos un konstantēs ir diezgan patvaļīga un atkarīga no problēmas risināšanas procesu pavadošajiem apstākļiem. Viens un tas pats lielums, kas dažos apstākļos tika uzskatīts par nemainīgu, citos apstākļos jāuzskata par mainīgo. Klasisks piemērs: tiek pieņemts, ka vadītāja pretestība ir nemainīga, līdz esam spiesti ņemt vērā tā pretestības vērtības atkarību no apkārtējās vides temperatūras.

Bet, kā liecina prakse, ar visu iepriekš minēto, lai pareizi atrisinātu konkrētu problēmu, nepietiek.

Kas ir vērtība, tas katram ir intuitīvi skaidrs. Precizēsim šo jēdzienu.

Vispārīgā gadījumā problēmas risināšanas procesa saturs ir lielumu transformācija. Tajā pašā laikā ir jāsaprot, ka vispārējā filozofiskā nozīmē vērtība, kas atspoguļo problēmas risināšanas rezultātu, jau ir ietverta tās formulējumā netiešā veidā. Ir tikai pareizi jākonstruē problēmas vērtību pārveidošanas process, lai šo rezultātu skaidri parādītu.

Definīcija

Par vērtību mēs nosauksim jebkuru matemātisku objektu, kas nes (vai var nest) informāciju par noteiktu vērtību.

Daudzumu attēlojuma forma var būt dažāda. Piemēram, vērtību, kuras skaitliskā vērtība ir vienāda ar reālo vērtību, var attēlot ar decimālo konstanti 1,0, funkciju Cos(0) un aritmētisko izteiksmi 25,0 - 15,0 - 9,0.

Daudzumu vērtības var mainīt. Tātad darbības x = 1.0 rezultātā vērtība mainīgā x formā izrādās reālās vienības vērtības nesējs. Šajā gadījumā tiek zaudēta mainīgā x iepriekšējā vērtība. Sniegtie piemēri jau parāda no nedaudz atšķirīga viedokļa, ka daudzumi var būt mainīgi un nemainīgi.

Definīcija

Mainīgajiem ir tāda īpašība, ka noteiktu darbību rezultātā to vērtības var mainīties. Un tas nozīmē, ka jēdziens “mainīgā vērtība” atspoguļo pārmaiņu iespējamību, bet ne faktu.

Par nemainīgu vērtību (konstanti) jāuzskata tāda, kuras vērtību atšķirībā no mainīgā principā nevar mainīt.

Piemēram, konstantes vērtība izteiksmes 12+3 formā ir 15 un to nevar mainīt. Šajā gadījumā ir jāfiksē to zīmju nozīme, ar kurām vērtība tiek attēlota. Pretējā gadījumā, ja mēs uzskatām, piemēram, šīs izteiksmes zīmes par skaitļiem skaitļu sistēmā ar bāzi 5, tad tā vērtība būs vienāda ar 10.

Definīcija

Tātad matemātiskajos tekstos vērtību nesēji, tas ir, lielumi, ir mainīgie, konstantes, funkciju izsaukumi (vai vienkārši funkcijas), kā arī izteiksmes.

Mainīgo iezīmes

Simboli, kas saistīti ar noteiktas vērtības, matemātikā sauc par mainīgajiem (termins tiek lietots kā lietvārds).

Piemēram, mainīgā x+1 vērtība ir atkarīga no vērtības, kas saistīta ar simbolu x. Šeit apzīmējums x tiek izmantots kā mainīgais. Mainot mainīgā x vērtību, mēs tādējādi mainām mainīgā x+1 vērtību.

Tādējādi mainīgo lielumu vērtības ir atkarīgas no to mainīgo vērtībām, kas ir to daļa. Atšķirīga īpašība mainīgais ir tas, ka tā īpašā vērtība tam vienkārši jāpiešķir (piešķirta).

Matemātiskā pieeja, kas nosaka iespēju aprēķināt mainīgo lielumu vērtības, šajā kontekstā izrādās nepareiza. Matemātikā var novērtēt tikai izteiksmju vērtības.

Galvenais nosacījums mainīgā izmantošanai matemātiskajos tekstos tā galīgajā formā ir šāds: lai atsauktos uz mainīgo, pietiek norādīt tā apzīmējumu.

Konstantu pazīmes

Matemātiskajos tekstos var izmantot divu veidu konstantes: marķiera konstantes un nosauktās konstantes.

Starp citu, programmētāji valodās augsts līmenis, izmantojiet to diezgan formālu (juridisku) iemeslu dēļ.

Ar konstantu marķieru palīdzību konstanto vērtību vērtības tiek norādītas tieši, neveicot nekādas darbības. Piemēram, lai iegūtu konstantes vērtību 12+3, kas ir izteiksme, ir jāpievieno divi konstantes marķieri 12 un 3.

Definīcija

Nosauktā konstante ir apzīmējums, kas saistīts ar noteiktu vērtību, kas norādīta kā marķiera konstante.

Šī pieeja tiek plaši izmantota dabas zinātnes fizikālo, ķīmisko, matemātisko un citu formulu reģistrēšanas ērtības labad. Piemēram: g = 9,81523 - paātrinājums Brīvais kritiens Maskavas platuma grādos; π = 3,1415926 ir skaitlis $π$.

Papildus kompaktajam izteiksmju apzīmējumam nosauktās konstantes nodrošina skaidrību un ievērojamas ērtības darbā ar matemātiskiem tekstiem.

Nosaukta konstante iegūst savu vērtību iepriekšējas vienošanās rezultātā.

Jebkuras nosauktas konstantes svarīga īpašība ir tāda, ka nav ieteicams mainīt tās vērtību kādā matemātiskā tekstā.

Izteicieni

Izteicieni ir sastāvdaļas lielākā daļa matemātisko tekstu. Ar izteiksmju palīdzību tiek norādīta secība, kādā tiek aprēķinātas jaunas vērtības, pamatojoties uz citām iepriekš zināmām vērtībām.

Vispārīgā gadījumā kā daļu no izteiksmēm tiek izmantoti operandi, operāciju zīmes un koriģējošās apaļās (kvadrātveida, cirtainās) iekavas.

Definīcija

Operandi ir parastais nosaukums objekti, kuru vērtības tiek izmantotas, veicot darbības. Operandi var būt mainīgie, konstantes un funkcijas. Starp citu, šis termins ir ļoti populārs programmētāju vidū. Izteiksmes fragments, kas ievietots iekavās, tiek uzskatīts par atsevišķu saliktu operandu.

Darbības zīme simbolizē skaidri definētu darbību kopumu, kas jāveic attiecīgajiem operandiem. Vadības iekavās tiek iestatīta vēlamā darbību secība, kas var atšķirties no tās, ko nodrošina darbību prioritāte.

Vienkāršākais izteiksmes gadījums ir viens operands. Šajā izteiksmē nav darbības zīmju.

Operanda funkcijai ir savas īpašības. Parasti šāds operands ir funkcijas nosaukums (vai zīme), kam seko tās argumentu saraksts iekavās. Šajā gadījumā iekavas ir funkciju neatņemama sastāvdaļa un neattiecas uz regulējošām. Ņemiet vērā, ka daudzos gadījumos funkciju operandi iztiek bez iekavām (piemēram, 5! ir vesela skaitļa 5 faktoriāla aprēķins).

Matemātiskās operācijas

Galvenās iezīmes matemātiskās operācijas ir:

• darbības zīmes var norādīt, izmantojot speciālās rakstzīmes, kā arī izmantojot īpaši atrunātus vārdus;
• operācijas var būt unāras (tiek veiktas ar vienu operandu) un bināras (tiek veiktas ar diviem operandiem);
• operācijām ir četri prioritātes līmeņi, kas nosaka izteiksmes novērtēšanas secību.

Noteikumi sarežģītas izteiksmes, kas satur darbību ķēdi, novērtēšanai, ja nav vadības iekavas, ir šādi:

1. pirmkārt, tiek aprēķinātas visu funkciju vērtības;
2. tad darbības tiek veiktas pa vienai dilstošā secībā pēc to prioritātes;
3. operācijas ar vienādu prioritāti tiek izpildītas secībā no kreisās puses uz labo.

Ja ir iekavas, izteiksmē ir salikti operandi, kuru vērtības jānovērtē vispirms.

Dažas matemātisko izteiksmju rakstīšanas iezīmes:

• nav ieteicams izlaist darbības zīmes, lai gan daudzos gadījumos ir iespējams izlaist reizināšanas zīmi;
• funkciju argumentus vēlams norādīt iekavās;
• divu vai vairāku bināro operāciju pazīmju secīga norāde ir nepieņemama; formāli ir pieļaujams pēc kārtas izmantot vairākas vienkāršās darbības pazīmes, arī kopā ar bināro.

Mainīgo lielumu piemēri ir: gaisa temperatūra, funkcijas parametrs un daudz kas cits.

Mainīgo raksturo tikai vērtību kopa, kas tam var būt nepieciešama. Mainīgais tiek apzīmēts ar simbolu, kas kopīgs katrai tā vērtībai.

Mainīgie lielumi matemātikā

Matemātikā mainīgs var būt gan reāls fiziskais lielums, gan kāds abstrakts lielums, kas neatspoguļo reālās pasaules procesus.

Dekarts uzskatīja, ka mainīgo vērtības vienmēr nav negatīvas, un izteica negatīvas vērtības ar zīmi, kas tika atspoguļota ar mīnusa zīmi mainīgā priekšā. Ja koeficienta zīme nebija zināma, Dekarts ievietoja elipsi. Holandiešu matemātiķis Johans Huds jau 1657. gadā ļāva burtiskiem mainīgajiem iegūt jebkuras zīmes vērtības.

Mainīgie lielumi programmēšanā

Programmēšanā mainīgs ir identifikators, kas identificē datus. Parasti tas ir nosaukums, kas slēpj atmiņas apgabalu, kurā var ievietot citā atmiņas apgabalā saglabātos datus. Mainīgajam var būt noteikta veida vērtības, kādas tam var būt. Programmēšanā mainīgos lielumus parasti apzīmē ar vienu vai vairākiem vārdiem vai simboliem, piemēram, "laiks", "x", "

Mainīgie un konstantes

daudzumi, kas pētāmajā jautājumā iegūst dažādas vērtības vai attiecīgi saglabā to pašu vērtību. Piemēram, pētot ķermeņa kritienu, tā attālums no zemes un kritiena ātrums ir mainīgi lielumi, savukārt paātrinājums (ja neņem vērā gaisa pretestību) ir nemainīgs lielums. Elementārā matemātika visus pētītos daudzumus uztvēra kā konstantes. Mainīga lieluma jēdziens matemātikā radās 17. gadsimtā. dabaszinātņu prasību ietekmē, kas izvirzīja priekšplānā kustību - procesu, nevis tikai stāvokļu izpēti. Šis jēdziens neiekļāvās senatnes un viduslaiku matemātikas izstrādātajās formās un prasīja tās izteiksmei jaunas formas. Šādas jaunas formas bija burtiskā algebra un analītiskā ģeometrija R. Dekarts a. Dekarta algebras burtos, kas var iegūt patvaļīgas skaitliskas vērtības, mainīgie ir atraduši savu simbolisko izteiksmi. “Pagrieziena punkts matemātikā bija Dekarta mainīgais. Pateicoties tam, kustība un līdz ar to arī dialektika ienāca matemātikā, un, pateicoties tam, nekavējoties kļuva nepieciešami diferenciāļi un integrāļi... ”(Engelss F., sk. Markss K. un Engelss F., Soch., 2. izd., sēj. 20, 573. lpp.). Šajā periodā un līdz pat 19. gadsimta vidum. dominē mehāniskie uzskati par mainīgajiem. Visskaidrāk tos izteica I. Ņūtons, kurš mainīgos lielumus nosauca par "fluents", tas ir, pašreizējiem, un uzskatīja tos par "...nevis par tādiem, kas sastāv no ārkārtīgi mazām daļām, bet gan par tādiem, ko raksturo nepārtraukta kustība" ("Mathematical Works" , M., 1937, 167. lpp.). Šie uzskati izrādījās ļoti auglīgi un jo īpaši ļāva Ņūtonam izmantot pilnīgi jaunu pieeju, lai atrastu līknes figūru apgabalus. Ņūtons pirmais apsvēra līknes trapeces laukumu ( ABNM uz rīsi. ) nevis kā konstanta vērtība (ko aprēķina, summējot tās bezgalīgi mazās daļas), bet gan kā mainīgo, ko rada līknes ordinātu kustība ( NM); nosakot, ka apskatāmās platības izmaiņu ātrums ir proporcionāls ordinātām Nm, tādējādi viņš samazināja apgabalu aprēķināšanas problēmu līdz mainīgā noteikšanas problēmai no zināms ātrums viņas izmaiņas. Ātruma jēdziena ieviešanas leģitimitāte matemātikā tika pamatota 19. gadsimta sākumā. teoriju , kas deva precīzu ātruma kā atvasinājuma definīciju (sk. Atvasinājumu). Tomēr 19. gs pamazām kļūst skaidrs iepriekš aprakstītā mainīgo skatījuma ierobežojumi. Matemātiskā analīze arvien vairāk kļūst par vispārēju funkciju teoriju, kuras izstrāde nav iespējama bez precīzas tās pamatjēdzienu būtības un apjoma analīzes. Izrādās, ka pat nepārtrauktas funkcijas jēdziens patiesībā ir daudz sarežģītāks nekā vizuālie attēlojumi, kas pie tā noveda. Tiek atklātas nepārtrauktas funkcijas, kurām nevienā punktā nav atvasinājuma; lai saprastu šādu funkciju kā kustības rezultātu, būtu jebkurā brīdī pieņemt kustību bez ātruma. Arvien svarīgāka kļūst nepārtrauktu funkciju izpēte, kā arī funkciju, kas definētas uz daudz sarežģītākas struktūras kopām nekā intervāls vai vairāku intervālu savienība. Ņūtona mainīgā interpretācija kļūst nepietiekama un daudzos gadījumos bezjēdzīga.

No otras puses, matemātika par mainīgajiem sāk uzskatīt ne tikai lielumus, bet arī arvien daudzveidīgākas un plašākas citu objektu klases. Pamatojoties uz to, 19. gadsimta otrajā pusē. un 20. gs tiek izstrādāta kopu teorija, topoloģija un matemātiskā loģika. Par to, cik tā paplašinājās 20. gs. Par mainīgā jēdzienu liecina fakts, ka matemātiskā loģika ņem vērā ne tikai mainīgos, kas iet cauri patvaļīgām objektu kopām, bet arī mainīgos, kuru vērtības ir paziņojumi, predikāti (objektu attiecības) utt. (skatiet mainīgo).

Lielā padomju enciklopēdija. - M.: Padomju enciklopēdija. 1969-1978 .

Skatiet, kas ir "Mainīgās un nemainīgās vērtības" citās vārdnīcās:

Matemātikā lielumi, kas iegūst dažādas vērtības pētāmajā jautājumā vai saglabā to pašu vērtību. Atšķirība starp mainīgo un konstanti ir relatīva: daudzums, kas ir nemainīgs kādā vielā, var būt mainīgs ... Liels enciklopēdiskā vārdnīca

- (Math.), daudzumi, kas pētāmajā jautājumā iegūst dažādas vērtības vai saglabā to pašu vērtību. Atšķirība starp mainīgo un konstanti ir relatīva: daudzums, kas ir nemainīgs kādā vielā, var būt mainīgs ... ... enciklopēdiskā vārdnīca

Skatīt konstante, mainīgais. Filozofiskā enciklopēdija. 5 x t. M .: Padomju enciklopēdija. Rediģējis F. V. Konstantinovs. 1960. 1970... Filozofiskā enciklopēdija

- (Math.), daudzumi, uz rudziem pētītajā noprosā ņemt dekomp. vērtības vai saglabāt to pašu vērtību. Atšķirība starp mainīgo un konstanti ir relatīva: daudzums, kas ir nemainīgs vienā vielā, var būt mainīgs citā ... Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca

I Mainīgās zvaigznes P. z. zvaigznes, kuru šķietamais spilgtums svārstās. Daudzi P. z. ir nestacionāras zvaigznes; šādu zvaigžņu spilgtuma mainīgums ir saistīts ar to temperatūras un rādiusa izmaiņām, vielas aizplūšanu, ... ... Lielā padomju enciklopēdija

Skatiet sadaļu Mainīgie un konstantes, Konstante. * * * PASTĀVĪGĀ VĒRTĪBA, skatiet Mainīgie un konstantes (skatiet MAINĪGIE UN KONSTANTES), Konstante (skatiet KONSTANTĒ) … enciklopēdiskā vārdnīca