Noteikums ir tāds, kas ir stars un segments. Ģeometrijas nepilnības (līnija, leņķis, stars, segments, taisne, līkne, slēgta līnija)

Punkts un līnija ir galvenās ģeometriskās figūras plaknē.

Sengrieķu zinātnieks Eiklīds teica: "punkts" ir tas, kam nav daļu. Vārds "punkts" tulkojumā no latīņu valoda nozīmē tūlītēja pieskāriena, dūriena rezultātu. Punkts ir jebkuras ģeometriskas figūras konstruēšanas pamats.

Taisne vai tikai taisne ir līnija, pa kuru attālums starp diviem punktiem ir mazākais. Taisna līnija ir bezgalīga, un nav iespējams attēlot visu līniju un to izmērīt.

Punkti ir ar lielo burtu. ar latīņu burtiem A, B, C, D, E utt. un taisnas līnijas ar vienādiem burtiem, bet mazajiem burtiem a, b, c, d, e utt. Taisni var apzīmēt arī ar diviem burtiem, kas atbilst punktiem, kas atrodas uz to. Piemēram, līniju a var apzīmēt ar AB.

Var teikt, ka punkti AB atrodas uz taisnes a vai pieder pie taisnes a. Un mēs varam teikt, ka taisne a iet caur punktiem A un B.

Vienkāršākās ģeometriskās figūras plaknē ir līnijas segments, stars, lauzta līnija.

Nogrieznis ir līnijas daļa, kas sastāv no visiem šīs līnijas punktiem, kurus ierobežo divi atlasīti punkti. Šie punkti ir segmenta beigas. Segmentu norāda, norādot tā galus.

Stars jeb puslīnija ir līnijas daļa, kas sastāv no visiem šīs taisnes punktiem, kas atrodas vienā tās dotā punkta pusē. Šo punktu sauc par puslīnijas sākumpunktu vai stara sākumu. Staram ir sākuma punkts, bet nav beigu punkta.

Puslīnijas vai stari tiek apzīmēti ar diviem mazajiem latīņu burtiem: sākuma un jebkuru citu burtu, kas atbilst punktam, kas pieder puslīnijai. Šajā gadījumā sākuma punkts tiek likts pirmajā vietā.

Izrādās, ka līnija ir bezgalīga: tai nav ne sākuma, ne beigu; staram ir tikai sākums, bet nav beigu, savukārt segmentam ir sākums un beigas. Tāpēc mēs varam izmērīt tikai segmentu.

Vairāki segmenti, kas ir savienoti virknē viens ar otru tā, ka segmenti (blakus), kuriem ir viens kopīgs punkts, neatrodas vienā taisnē, ir lauzta līnija.

Polilīnija var būt slēgta vai atvērta. Ja pēdējā segmenta beigas sakrīt ar pirmā segmenta sākumu, mums ir slēgta lauzta līnija, ja nē, atvērta.

blog.site, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Punkts un līnija ir galvenās ģeometriskās figūras plaknē.

Sengrieķu zinātnieks Eiklīds teica: "punkts" ir tas, kam nav daļu. Vārds "punkts" latīņu valodā nozīmē tūlītēja pieskāriena, dūriena rezultāts. Punkts ir jebkuras ģeometriskas figūras konstruēšanas pamats.

Taisne vai tikai taisne ir līnija, pa kuru attālums starp diviem punktiem ir mazākais. Taisna līnija ir bezgalīga, un nav iespējams attēlot visu līniju un to izmērīt.

Punkti tiek apzīmēti ar lielajiem latīņu burtiem A, B, C, D, E utt., bet taisnas līnijas ar tiem pašiem burtiem, bet ar mazajiem burtiem a, b, c, d, e utt. Taisni var apzīmēt arī ar divi burti, kas atbilst punktiem, kas atrodas uz viņas. Piemēram, līniju a var apzīmēt ar AB.

Var teikt, ka punkti AB atrodas uz taisnes a vai pieder pie taisnes a. Un mēs varam teikt, ka taisne a iet caur punktiem A un B.

Vienkāršākās ģeometriskās figūras plaknē ir segments, stars, lauzta līnija.

Nogrieznis ir līnijas daļa, kas sastāv no visiem šīs līnijas punktiem, kurus ierobežo divi atlasīti punkti. Šie punkti ir segmenta beigas. Segmentu norāda, norādot tā galus.

Stars jeb puslīnija ir līnijas daļa, kas sastāv no visiem šīs taisnes punktiem, kas atrodas vienā tās dotā punkta pusē. Šo punktu sauc par puslīnijas sākumpunktu vai stara sākumu. Staram ir sākuma punkts, bet nav beigu punkta.

Puslīnijas vai stari tiek apzīmēti ar diviem mazajiem latīņu burtiem: sākuma un jebkuru citu burtu, kas atbilst punktam, kas pieder puslīnijai. Šajā gadījumā sākuma punkts tiek likts pirmajā vietā.

Izrādās, ka līnija ir bezgalīga: tai nav ne sākuma, ne beigu; staram ir tikai sākums, bet nav beigu, savukārt segmentam ir sākums un beigas. Tāpēc mēs varam izmērīt tikai segmentu.

Vairāki segmenti, kas ir savienoti virknē viens ar otru tā, ka segmenti (blakus), kuriem ir viens kopīgs punkts, neatrodas vienā taisnē, ir lauzta līnija.

Polilīnija var būt slēgta vai atvērta. Ja pēdējā segmenta beigas sakrīt ar pirmā segmenta sākumu, mums ir slēgta lauzta līnija, ja nē, atvērta.

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

apmeklējot papildus nodarbības mēs sapratām, ka nevaram operēt ar jēdzieniem punkts, līnija, leņķis, stars, segments, taisne, līkne, slēgta līnija un tos uzzīmēt, mēs varam zīmēt precīzāk, bet mēs nevaram tos identificēt.

Bērniem jāatšķir līnijas, līkumi, apļi. Tas attīsta to grafiku un pareizības sajūtu zīmējot, aplikējot. Ir svarīgi zināt, kādas ģeometriskās pamatformas pastāv, kas tās ir. Izklājiet kartītes bērna priekšā, palūdziet uzzīmēt tieši to pašu, kā attēlā. Atkārtojiet vairākas reizes.

Kursa laikā mums tika izsniegti šādi materiāli:

Maza pasaka.

Ģeometrijas valstī dzīvoja punkts. Viņa bija maza. Uzkāpjot uz piezīmju grāmatiņas lapas, to atstāja zīmulis, un neviens to nepamanīja. Tā viņa dzīvoja līdz brīdim, kad ieradās apciemot līnijas. (Zīmējums uz tāfeles.)

Paskaties uz līnijām. (Taisna un izliekta.)

Taisnas līnijas ir kā izstieptas stīgas, un stīgas, kas netiek vilktas, ir šķības līnijas.

Cik taisnu līniju? (2.)

Cik līkumu? (3.)

Taisnā līnija sāka dižoties: “Es esmu garākā! Man nav sākuma un beigu! Es esmu bezgalīgs!

Kļuva ļoti interesanti paskatīties uz viņas viedokli. Pats punkts ir niecīgs. Viņa izgāja ārā un bija tik aizrauta, ka nepamanīja, kā viņa uzkāpa taisnā līnijā. Un pēkšņi taisne pazuda. Tā vietā parādījās stars.

Tas bija arī ļoti garš, bet tomēr ne kā taisna līnija. Viņš dabūja startu.

Punkts bija nobijies: "Ko es esmu izdarījis!" Viņa gribēja aizbēgt, bet, kā laime, viņa atkal uzkāpa uz sijas.

Un stara vietā parādījās segments. Viņš nelielījās, cik liels ir, viņam jau bija sākums un beigas.

Šādi mazs punkts var mainīt lielo līniju dzīvi.

Tātad, kurš uzminēja, kurš ieradās pie mums ar kaķi? (taisne, stars, segments un punkts)

Pareizi kopā ar kaķi mūsu nodarbībā nonāca taisne, stars, segments un punkts.

Kurš uzminēja, ko mēs darīsim šajā nodarbībā? (Iemācīties atpazīt un novilkt taisnu līniju, staru, segmentu.)

Par kādām līnijām jūs dzirdējāt? (Par taisnu līniju, staru, segmentu.)

Ko jūs uzzinājāt par taisno līniju? (Tam nav ne sākuma, ne beigu. Tas ir bezgalīgs.)

(Mēs paņemam divas vītnes spoles, velkam tās, attēlojot taisnu līniju un attinot vienu vai otru, parāda, ka taisni var turpināt abos virzienos līdz bezgalībai.)

Ko jūs uzzinājāt par staru? (Viņam ir sākums, bet beigas nav.) (Skolotājs paņem šķēres, pārgriež diegu. Rāda, ka tagad līniju var turpināt tikai vienā galā.)

Ko jūs uzzinājāt par segmentu? (Tam ir gan sākums, gan beigas.) (Skolotājs nogriež diega otru galu un parāda, ka pavediens nestiepjas. Tam ir gan sākums, gan beigas.)

Kā novilkt taisnu līniju? (Novelciet līniju gar lineālu.)

Kā novilkt līniju? (Ievietojiet divus punktus un savienojiet tos.)

Un, protams, recepte:

Nodarbībā iepazīsies ar plaknes jēdzienu, ar dažādām minimālajām figūrām, kas atrodas ģeometrijā, un pētīsi to īpašības. Uzziniet, kas ir līnija, līnijas segments, stars, leņķis utt.

Visas ģeometriskās figūras attēlojam uz papīra lapas ar zīmuli, uz skolas tāfeles ar krītu vai marķieri. Bieži vasarā uz bruģa ar krītu vai baltu akmeni zīmējam figūriņas. Un vienmēr, pirms sākam zīmēt savus plānus, izvērtējam, vai mums pietiks vietas. Un tā kā mēs reti zinām precīzi izmēri mūsu nākotnes zīmējums, tad jums vienmēr ir jāieņem vietas ar rezervi un labāk ar lielu rezervi. Parasti mēs nebaidāmies, ka zīmēšanas vieta beigsies, ja zīmēšanas lauks ir daudzkārt lielāks nekā pats zīmējums. Tātad ar asfaltu pagalmā pilnīgi pietiek, lai uzzīmētu laukumu lēkšanai. Ar piezīmju grāmatiņas lapu pietiek, lai vidū uzzīmētu divus krustojošus segmentus.

Matemātikā šāds lauks, uz kura mēs visu attēlojam, ir plakne (1. att.).

Rīsi. 1. Lidmašīna

Tam ir divas īpašības:

1. Uz tā jūs varat attēlot jebkuru figūru, par kuru mēs jau esam runājuši, vai mēs joprojām runāsim.

2. Mēs nesasniegsim malu. Tās izmērus var uzskatīt par daudz lielākiem par figūras izmēriem.

To, ka mēs nekad nesasniedzam plaknes malu, var saprast kā malu neesamību vispār. Tās malas mums nav vajadzīgas, tāpēc vienojāmies uzskatīt, ka tās neeksistē (2. att.).

Rīsi. 2. Plakne ir bezgalīga

Šajā ziņā plakne ir bezgalīga jebkurā virzienā.

Mēs varam to pārstāvēt kā liela lapa papīrs, liels plakans asfalta paliktnis vai milzīgs rasējamais dēlis.

Ģeometrisko formu ir bezgalīgi daudz, un ir absolūti neiespējami tās visas izpētīt. Bet ģeometrija ir sakārtota līdzīgi kā konstruktors. Ir vairāki pamata daļu veidi, no kuriem var uzbūvēt visu pārējo, jebkuru sarežģītāko ēku.

Šo principu var salīdzināt ar vārdiem un burtiem: mēs zinām visus burtus, bet mēs nezinām visus vārdus. Sastapuši kādu nepazīstamu vārdu, varēsim to izlasīt, jo zinām, kā tiek rakstīti burti un kā tiek izrunātas atbilstošās skaņas.

Tātad matemātikā - ir ļoti maz ģeometrisko pamatformu, kas jums un man ir labi jāzina.

Apsveriet segmentu (3. att.). Griezums ir īsākā līnija savieno divus punktus.

Rīsi. 3. Izgriezt

Mēs turpinām segmentu abos virzienos līdz bezgalībai. Mēs turpināsim taisni uz priekšu.

Ko nozīmē “taisni”? Apsveriet segmentus un (4. att.).

Rīsi. 4. Segmenti un

Turpināsim abās pusēs. Augšējā līnija ir taisna, bet apakšējā līnija nav (5. att.).

Pievienosim vēl vienu punktu augšējai un apakšējai līnijai un (6. att.). Augšējās līnijas daļa starp punktiem un ir arī segments, bet apakšējās līnijas daļa starp punktiem un segmentu nav, jo tā nesavieno šos punktus pa īsāko ceļu.

Rīsi. 6. Līniju turpinājums un

Taisne ir līnija, kas bezgalīgi turpinās abos virzienos, un jebkura tās daļa, ko ierobežo divi punkti, ir nogrieznis.

Taisne ir līnijas veids, un, tāpat kā jebkura līnija, taisne ir skaitlis. Un, tāpat kā jebkurai taisnei, dots punkts vai nu pieder noteiktai taisnei, vai nepieder (7. att.).

Rīsi. 7. Punkti un kas pieder pie līnijas, un punkti un kas nepieder pie līnijas

1. Taisne sadala plakni divās daļās, divās pusplaknēs. 8. attēlā punkti un atrodas vienā pusplaknē, un un - dažādās pusplaknēs.

Rīsi. 8. Divas pusplaknes

2. Vienmēr ir iespējams novilkt taisnu līniju caur diviem punktiem, un tikai vienu (9. att.).

Taisnu līniju, tāpat kā jebkuru līniju, var atzīmēt ar vienu mazie burti Latīņu alfabēts vai punktu secība, kas atrodas uz tā. Lai apzīmētu līniju cauri uz tās esošajiem punktiem, pietiek ar diviem punktiem.

Paplašinot segmentu abos virzienos līdz bezgalībai, mēs ieguvām taisnu līniju. Ja arī pagarinām segmentu, bet tikai vienā virzienā līdz bezgalībai, iegūstam figūru, ko sauc par staru (10. att.). Šis ģeometriskais stars ir ļoti līdzīgs gaismas staram, tāpēc arī tā nosaukums. Ja paņem rokā lāzera rādītājs, tad gaismas stars sāksies no rādītāja un virzīsies līdz bezgalībai taisnā līnijā.

Rīsi. 10. Sija

Punktu sauc par stara sākumu. Ray ir apzīmēts.

Ja jūs atzīmējat punktu uz taisnes, tad tas sadala šo taisni divos staros (11. att.). Abi stari rodas punktā, bet ir vērsti dažādos virzienos. Šie divi stari veido taisnu līniju, ir tās puses. Tāpēc staru bieži sauc arī par "puslīniju".

Rīsi. 11. Punkts sadala taisni divos staros

Apsveriet 12. attēlu.

Rīsi. 12. Segments, līnija un sija

Izdomāsim, kā segments, taisne un stars ir līdzīgi un nav līdzīgi viens otram:

Segments un sija ir viegli nokomplektējami līdz taisnai līnijai, šim nolūkam segments jāturpina abos virzienos, bet sija vienā;

Uz taisnas līnijas jūs vienmēr varat atlasīt segmentu vai staru;

Punkts sadala taisni divos staros, divās puslīnijās;

Punkti un robeža taisnās līnijas segmentā;

Visi šie skaitļi: segments, stars, taisna līnija ir "taisnes līnijas". Tie atšķiras ar galu klātbūtni. Segmentam ir divi, staram ir viens, un taisnei nav neviena. Citādi var teikt arī tā: gan stars, gan segments ir daļa no taisnas līnijas;

Mēs zinām, ka segmenta garumu var izmērīt. Var salīdzināt divus segmentus, noskaidro, kurš ir garāks;

Taisne turpinās bezgalīgi abos virzienos, stars - vienā virzienā. Šī iemesla dēļ nav iespējams izmērīt taisnas līnijas vai sijas garumu, kā arī nav iespējams salīdzināt divas taisnas līnijas vai divus starus garumā. Tie visi ir vienlīdz bezgalīgi.

Divi stari, kuru izcelsme ir vienā punktā, veido otru ģeometriskā figūra no galvenā komplekta - leņķis. Punktu abu staru sākumā sauc par leņķa virsotni. Pašus starus sauc par leņķa malām.

Tātad leņķis ir figūra, kas sastāv no diviem stariem, kas iziet no viena punkta (13. att.).

Rīsi. 13. Leņķis

Apzīmējiet stūri ar vienu burtu, kas atbilst virsotnes apzīmējumam. Šajā gadījumā leņķi var saukt par leņķi (14. att.). Lai būtu skaidrs, ka mēs runājam par leņķi, nevis par punktu, pirms tā nosaukuma ir jāraksta vārds “leņķis” vai jāievieto īpašs leņķa simbols (“”).

Rīsi. 14. Leņķis

Ja augšā ir grūti saprast, kurš konkrētais leņķis jautājumā, kā 15. attēlā, tad izmantojiet vēl divus punktus abās stūra pusēs.

Ja vienkārši nosaucam leņķi šajā attēlā, tad nav skaidrs, par kuru ir runa, jo ar virsotni punktā mēs redzam vairākus leņķus. Tāpēc mums vajadzīgā leņķa malām pievienojam punktu un apzīmējam leņķi kā (15. att.).

Rīsi. 15.Leņķis

Apzīmējot var iet pretējā virzienā, bet tā, lai atkal virsotne būtu ieraksta vidū.

Vēl viens izplatīts apzīmējums ir viens grieķu burts: alfa, beta, gamma un tā tālāk (16. att.). Šajā gadījumā burts parasti tiek ievadīts stūra iekšpusē (17. att.).

Rīsi. 16.Grieķu alfabēts

Rīsi. 17. Stūra iekšpusē rakstīts stūra nosaukums

Tātad 18. attēlā apzīmējumi , , ir līdzvērtīgi, tie apzīmē vienu un to pašu leņķi.

Rīsi. 18. , , - tāds pats leņķis

Ļaujiet divām taisnēm krustoties punktā (19. att.). Punkts katru līniju sadala divos staros, tas ir, kopā 4 staros. Katrs staru pāris nosaka leņķi.

Rīsi. 19. Taisni un veido 4 sijas

Piemēram, , , .

Caur diviem punktiem un vienmēr var novilkt līniju. Vai tas pats ir ar trim punktiem?

20. attēlā taisnu līniju var novilkt cauri trim punktiem, bet ne 21. attēlā.

Rīsi. 20. Caur trim punktiem var novilkt līniju

Rīsi. 21. Jūs nevarat novilkt taisnu līniju caur trim punktiem

Tiek uzskatīts, ka trīs punkti attēlā atrodas uz vienas taisnes. Tā viņi saka, pat ja pati līnija nav novilkta, vienkārši norādot, ka to var novilkt. Otrajā gadījumā tiek teikts, ka punkti neatrodas uz vienas līnijas, kas nozīmē, ka nav iespējams novilkt līniju cauri visiem trim punktiem.

Ja virknē savienojam vispirms 1. un 2. punktu, tad 2. un 3., tad iegūto līniju sauc par lauztu līniju (22. att.). Nosaukums izriet no tā izskata.

Rīsi. 22. lauzta līnija

Tāpat lauzta līnija var savienot jebkuru punktu skaitu. Punktus , , , , sauc par polilīnijas virsotnēm, segmentus , , , sauc par polilīnijas saitēm.

Lauzto līniju apzīmē ar tās virsotnēm .

Rīsi. 23. lauzta līnija

Ja pēdējais punkts ir savienots ar pirmo, tad iegūto polilīniju sauc par slēgtu (24. att.).

Rīsi. 24.Slēgta polilīnija

Ar kādu polilīniju var uzbūvēt minimālais komplekts virsotnes un saites? Ja ir divi punkti, tad tos var savienot ar segmentu. Tas būs visvairāk vienkāršs piemērs polilīnija: divas virsotnes un viena saite, kas tās savieno. Mēs varam teikt, ka segments ir minimāla polilīnija.

Ja ir nepieciešams, lai polilīnija būtu aizvērta, tad visvienkāršākā šāda polilīnija ir trīsstūris. Ja ņemat divus punktus, tad savienojiet pēdējo punktu ar pirmo tikai ar to pašu segmentu, kas jau pastāv. Tas ir, lauztā līnija tāpat kā iepriekš paliks atvērta. Un, ja pievieno vēl vienu punktu, kas neatrodas vienā taisnē ar punktiem un , savieno visus punktus ar trim segmentiem, iegūst trīsstūri (25. att.).

Rīsi. 25.Trijstūris

Trijstūris ir slēgta polilīnija ar trim virsotnēm. Vai pat šādi: trīsstūris ir mazākā slēgtā polilīnija.

Punkti , Un ir trijstūra virsotnes. Tos savienojošos segmentus, lauztās līnijas saites, sauc par trijstūra malām.

Trijstūri apzīmē ar tā virsotnēm. Piemēram, . Pirms apzīmējuma jāievieto vārds "trijstūris" vai īpašs trīsstūra simbols ("").

Trīsstūrim ir trīs leņķi. No katras virsotnes nāk divas malas, tas ir, trijstūra malas ir stūru malas (26. att.).

Rīsi. 26.Trijstūra leņķi

Tādējādi trijstūrim ir trīs virsotnes (trīs punkti un ), trīs malas (trīs segmenti un ).