Sarežģīta mainīgā funkcijas.
Sarežģīta mainīgā funkciju diferenciācija.

Šis raksts atklāj mācību stundu sēriju, kurā es aplūkošu tipiski uzdevumi saistīta ar kompleksa mainīgā funkciju teoriju. Lai veiksmīgi apgūtu piemērus, jums ir jābūt pamatzināšanas par kompleksajiem skaitļiem. Lai materiālu konsolidētu un atkārtotu, pietiek ar lapas apmeklējumu. Jums būs nepieciešamas arī prasmes, lai atrastu otrās kārtas daļēji atvasinājumi. Šeit viņi ir, šie daļējie atvasinājumi ... pat tagad es biju nedaudz pārsteigts, cik bieži tie rodas ...

Tēma, kuru mēs sākam analizēt, nav īpaši sarežģīta, un sarežģītā mainīgā funkcijās principā viss ir skaidrs un pieejams. Galvenais ir ievērot pamatnoteikumu, ko es atvasinu empīriski. Turpini lasīt!

Sarežģīta mainīgā funkcijas jēdziens

Vispirms atsvaidzināsim zināšanas par viena mainīgā skolas funkciju:

Viena mainīgā funkcija ir noteikums, saskaņā ar kuru katra neatkarīgā mainīgā vērtība (no definīcijas domēna) atbilst vienai un tikai vienai funkcijas vērtībai. Protams, "x" un "y" ir reāli skaitļi.

Sarežģītā gadījumā funkcionālā atkarība tiek dota līdzīgi:

Sarežģīta mainīgā vienvērtības funkcija ir likums, ka ikviens integrēta neatkarīgā mainīgā vērtība (no domēna) atbilst vienam un tikai vienam aptverošs funkcijas vērtība. Teorētiski tiek aplūkotas arī daudzvērtības un daži citi funkciju veidi, taču vienkāršības labad es pievērsīšos vienai definīcijai.

Kāda ir kompleksa mainīgā funkcija?

Galvenā atšķirība ir tā, ka skaitļi ir sarežģīti. Es neesmu ironisks. No šādiem jautājumiem viņi bieži nonāk stuporā, raksta beigās es pastāstīšu foršu stāstu. Uz nodarbības Sarežģīti skaitļi manekeniem mēs uzskatījām kompleksu skaitli formā . Kopš šī brīža burts "Z" ir kļuvis mainīgs, tad mēs to apzīmēsim šādi: , savukārt "x" un "y" var būt dažādi derīgs vērtības. Aptuveni runājot, kompleksa mainīgā funkcija ir atkarīga no mainīgajiem un , kuriem ir "parastās" vērtības. No Šis fakts loģiski izriet šāds punkts:

Sarežģīta mainīgā funkciju var uzrakstīt šādi:
, kur un ir divas funkcijas no diviem derīgs mainīgie.

Funkcija tiek izsaukta īstā daļa funkcijas .
Funkcija tiek izsaukta iedomātā daļa funkcijas .

Tas nozīmē, ka kompleksa mainīgā funkcija ir atkarīga no divām reālām funkcijām un . Lai beidzot visu noskaidrotu, apskatīsim praktiskos piemērus:

1. piemērs

Risinājums: Neatkarīgais mainīgais "z", kā jūs atceraties, ir uzrakstīts kā , tāpēc:

(1) Aizstāts ar sākotnējo funkciju.

(2) Pirmajam terminam tika izmantota saīsinātā reizināšanas formula. Termiņā iekavas tika atvērtas.

(3) Rūpīgi kvadrātā, neaizmirstot to

(4) Terminu pārkārtošana: vispirms pārrakstīt terminus , kurā nav iedomātas vienības(pirmā grupa), tad termini, kur ir (otrā grupa). Jāņem vērā, ka nav nepieciešams jaukt noteikumus, un šis posms var izlaist (faktiski darot to verbāli).

(5) Otrā grupa tiek izņemta no iekavām.

Rezultātā mūsu funkcija izrādījās attēlota formā

Atbilde:
ir funkcijas reālā daļa.
ir funkcijas iedomātā daļa.

Kādas ir šīs funkcijas? Parastās divu mainīgo funkcijas, no kurām var atrast tik populāras daļēji atvasinājumi. Bez žēlastības - mēs atradīsim. Bet nedaudz vēlāk.

Īsi sakot, atrisinātās problēmas algoritmu var uzrakstīt šādi: aizvietojam ar sākotnējo funkciju, veicam vienkāršojumus un sadalām visus terminus divās grupās - bez iedomātas vienības (reālā daļa) un ar iedomātu vienību (imaginārā daļa).

2. piemērs

Atrodiet funkcijas reālo un iedomāto daļu

Šis ir “dari pats” piemērs. Pirms metāties kaujā sarežģītajā lidmašīnā ar caurvēja palīdzību, ļaujiet man sniegt jums visu iespējamo svarīgs padoms par šo tēmu:

ESI UZMANĪGS! Uzmanīgam, protams, jābūt visur, bet kompleksos skaitļos jābūt uzmanīgākiem nekā jebkad agrāk! Atcerieties, ka uzmanīgi izvērsiet iekavas, neko nezaudējiet. Pēc maniem novērojumiem, visizplatītākā kļūda ir zīmes zaudēšana. Nesteidzies!

Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Tagad kubs. Izmantojot saīsināto reizināšanas formulu, mēs iegūstam:
.

Formulas ir ļoti ērti lietojamas praksē, jo ievērojami paātrina risināšanas procesu.

Sarežģīta mainīgā funkciju diferenciācija.

Man ir divas ziņas: labas un sliktas. Sākšu ar labu. Kompleksa mainīgā funkcijai ir spēkā diferenciācijas noteikumi un elementāro funkciju atvasinājumu tabula. Tādējādi atvasinājums tiek ņemts tieši tāpat kā reāla mainīgā funkcijas gadījumā.

Sliktā ziņa ir tā, ka daudzām sarežģīta mainīgā funkcijām nav atvasinājuma vispār, un jums ir jāizdomā ir diferencējams vienu vai otru funkciju. Un “izdomāšana”, kā jūtas jūsu sirds, ir saistīta ar papildu nepatikšanām.

Apsveriet kompleksa mainīgā funkciju. Lai šī funkcija būtu diferencējama, ir nepieciešams un pietiekami, ka:

1) Lai būtu pirmās kārtas daļējie atvasinājumi. Aizmirstiet par šiem apzīmējumiem uzreiz, jo kompleksa mainīgā funkcijas teorijā tradicionāli tiek izmantota cita apzīmējuma versija: .

2) Veikt t.s Košī-Rīmaņa apstākļi:

Tikai šajā gadījumā atvasinājums pastāvēs!

3. piemērs

Risinājums sadalīts trīs secīgos posmos:

1) Atrodiet funkcijas reālo un iedomāto daļu. Šis uzdevums tika analizēts iepriekšējos piemēros, tāpēc es to pierakstīšu bez komentāriem:

Kopš tā laika:

Pa šo ceļu:

ir funkcijas iedomātā daļa.

Es apstāšos pie vēl viena tehniskais moments: kādā secībā rakstīt terminus reālās un iedomātās daļās? Jā, būtībā tam nav nozīmes. Piemēram, reālo daļu var uzrakstīt šādi: , un iedomātā - kā šis: .

2) Pārbaudīsim Košī-Rīmaņa nosacījumu izpildi. Tādas ir divas.

Sāksim ar stāvokļa pārbaudi. Mēs atradām daļēji atvasinājumi:

Tādējādi nosacījums ir izpildīts.

Neapšaubāmi, labā ziņa ir tā, ka daļējie atvasinājumi gandrīz vienmēr ir ļoti vienkārši.

Mēs pārbaudām otrā nosacījuma izpildi:

Izrādījās tas pats, bet ar pretējām pazīmēm, tas ir, nosacījums arī ir izpildīts.

Košī-Riemana nosacījumi ir izpildīti, tāpēc funkcija ir diferencējama.

3) Atrodiet funkcijas atvasinājumu. Atvasinājums ir arī ļoti vienkāršs un tiek atrasts saskaņā ar parastajiem noteikumiem:

Diferenciācijas iedomātā vienība tiek uzskatīta par konstanti.

Atbilde: - reālā daļa ir iedomātā daļa.
Košī-Rīmaņa nosacījumi ir izpildīti, .

Ir vēl divi veidi, kā atrast atvasinājumu, tie, protams, tiek izmantoti retāk, bet informācija noderēs otrās nodarbības izpratnei - Kā atrast kompleksa mainīgā funkciju?

Atvasinājumu var atrast, izmantojot formulu:

Šajā gadījumā:

Pa šo ceļu

Ir jāatrisina apgrieztā problēma - iegūtajā izteiksmē jums ir jāizolē . Lai to izdarītu, terminos un iekavās ir jāizņem:

Apgrieztā darbība, kā daudzi ir pamanījuši, ir nedaudz grūtāk izpildāma; pārbaudei vienmēr labāk ir ņemt izteiksmi un uz melnraksta vai mutiski atvērt iekavas atpakaļ, pārliecinoties, ka tas ir precīzi

Spoguļformula atvasinājuma atrašanai:

Šajā gadījumā: , tāpēc:

4. piemērs

Nosakiet funkcijas reālo un iedomāto daļu . Pārbaudiet Košī-Rīmaņa nosacījumu izpildi. Ja ir izpildīti Košī-Rīmana nosacījumi, atrodiet funkcijas atvasinājumu.

Ātrs risinājums Un priekšzīmīgs paraugs pēdējais pieskāriens nodarbības beigās.

Vai Košī-Rīmaņa nosacījumi vienmēr ir izpildīti? Teorētiski tie biežāk netiek izpildīti, nekā ir. Bet iekšā praktiski piemēri Neatceros gadījumu, kad tie nebūtu izpildīti =) Tātad, ja jūsu daļējie atvasinājumi “nesaplūda”, tad ar ļoti lielu varbūtību varam teikt, ka jūs kaut kur kļūdījāties.

Sarežģīsim savas funkcijas:

5. piemērs

Nosakiet funkcijas reālo un iedomāto daļu . Pārbaudiet Košī-Rīmaņa nosacījumu izpildi. Aprēķināt

Risinājums: Risinājuma algoritms ir pilnībā saglabāts, bet beigās tiek pievienota jauna iedoma: atvasinājuma atrašana punktā. Vajadzīgā formula kubam jau ir atvasināta:

Definēsim šīs funkcijas reālās un iedomātās daļas:

Uzmanību un vēlreiz uzmanību!

Kopš tā laika:


Pa šo ceļu:
ir funkcijas reālā daļa;
ir funkcijas iedomātā daļa.

Otrā nosacījuma pārbaude:

Izrādījās tas pats, bet ar pretējām pazīmēm, tas ir, nosacījums arī ir izpildīts.

Košī-Riemana nosacījumi ir izpildīti, tāpēc funkcija ir diferencējama:

Aprēķiniet atvasinājuma vērtību vajadzīgajā punktā:

Atbilde:, , Košī-Rīmaņa nosacījumi ir izpildīti,

Funkcijas ar kubiem ir izplatītas, tāpēc konsolidējamais piemērs:

6. piemērs

Nosakiet funkcijas reālo un iedomāto daļu . Pārbaudiet Košī-Rīmaņa nosacījumu izpildi. Aprēķināt.

Lēmums un apdares paraugs nodarbības beigās.

Sarežģītās analīzes teorijā tiek definētas arī citas kompleksa argumenta funkcijas: eksponenciāls, sinuss, kosinuss utt. Šīm funkcijām ir neparastas un pat dīvainas īpašības – un tas ir patiešām interesanti! Es patiešām vēlos jums pastāstīt, bet šeit tas notika tā, nevis uzziņu grāmata vai mācību grāmata, bet gan risinājums, tāpēc es apsvēršu to pašu uzdevumu ar dažām kopīgām funkcijām.

Vispirms par t.s Eilera formulas:

Jebkuram derīgs cipariem ir derīgas šādas formulas:

Varat arī iekopēt to savā piezīmju grāmatiņā kā atsauci.

Stingri sakot, ir tikai viena formula, bet parasti ērtības labad viņi arī raksta īpašs gadījums ar mīnusa indikatoru. Parametram nav jābūt vienam burtam, tas var būt sarežģīta izteiksme, funkcija, ir tikai svarīgi, lai tie ņemtu tikai derīgs vērtības. Patiesībā mēs to redzēsim tūlīt:

7. piemērs

Atrodiet atvasinājumu.

Risinājums: Partijas vispārējā līnija paliek nesatricināma - nepieciešams izdalīt reālās un iedomātās funkcijas daļas. Es sniegšu detalizētu risinājumu un komentēšu katru darbību zemāk:

Kopš tā laika:

(1) Aizstāt "z".

(2) Pēc aizstāšanas ir jānodala reālā un iedomātā daļa pirmais eksponentā izstādes dalībnieki. Lai to izdarītu, atveriet iekavas.

(3) Mēs sagrupējam indikatora iedomāto daļu, iekavās izliekot iedomāto vienību.

(4) Izmantošana skolas akcija ar grādiem.

(5) Reizinātājam izmantojam Eilera formulu , kamēr .

(6) Mēs atveram iekavas, kā rezultātā:

ir funkcijas reālā daļa;
ir funkcijas iedomātā daļa.

Turpmākās darbības ir standarta, pārbaudīsim Košī-Rīmaņa nosacījumu izpildi:

9. piemērs

Nosakiet funkcijas reālo un iedomāto daļu . Pārbaudiet Košī-Rīmaņa nosacījumu izpildi. Lai tā būtu, mēs neatradīsim atvasinājumu.

Risinājums: Risinājuma algoritms ir ļoti līdzīgs iepriekšējiem diviem piemēriem, taču ir ļoti svarīgi punkti, tāpēc Pirmais posms Es vēlreiz komentēšu soli pa solim:

Kopš tā laika:

1) Mēs aizstājam "z" vietā.

(2) Vispirms atlasiet reālās un iedomātās daļas sinusa iekšpusē. Šim nolūkam atveriet kronšteinus.

(3) Mēs izmantojam formulu , while .

(4) Izmantošana hiperboliskā kosinusa paritāte: Un hiperboliskā sinusa dīvainība: . Hiperbolikas, lai arī ne no šīs pasaules, tomēr daudzējādā ziņā atgādina līdzīgas trigonometriskās funkcijas.

Galu galā:
ir funkcijas reālā daļa;
ir funkcijas iedomātā daļa.

Uzmanību! Mīnusa zīme attiecas uz iedomāto daļu, un nekādā gadījumā mēs to nedrīkstam pazaudēt! Vizuālai ilustrācijai iepriekš iegūto rezultātu var pārrakstīt šādi:

Pārbaudīsim Košī-Rīmaņa nosacījumu izpildi:

Košī-Riemana nosacījumi ir izpildīti.

Atbilde:, , Košī-Rīmana nosacījumi ir izpildīti.

Ar kosinusu, dāmas un kungi, mēs saprotam:

10. piemērs

Nosakiet funkcijas reālo un iedomāto daļu. Pārbaudiet Košī-Rīmaņa nosacījumu izpildi.

Apzināti paņēmu sarežģītākus piemērus, jo katrs var tikt galā ar tādu lietu kā mizoti zemesrieksti. Tajā pašā laikā trenē uzmanību! Riekstkodis nodarbības beigās.

Nobeigumā es apsvēršu vēl vienu interesants piemērs kad kompleksais arguments ir saucējā. Pāris reizes tikāmies praksē, analizēsim kaut ko vienkāršu. Ak, es kļūstu vecs...

11. piemērs

Nosakiet funkcijas reālo un iedomāto daļu. Pārbaudiet Košī-Rīmaņa nosacījumu izpildi.

Risinājums: Atkal ir jānodala funkcijas reālās un iedomātās daļas.
Ja tad

Rodas jautājums, ko darīt, ja saucējā ir "Z"?

Viss ir vienkārši - standarts palīdzēs metode skaitītāja un saucēja reizināšanai ar konjugāta izteiksmi, tas jau ir izmantots nodarbības piemēros Sarežģīti skaitļi manekeniem. Atcerēsimies skolas formulu. Saucējā mums jau ir , tāpēc konjugētā izteiksme būs . Tādējādi skaitītājs un saucējs jāreizina ar: