Matemātikā ir absolūti neiespējami atrisināt fizikālās problēmas vai piemērus bez zināšanām par atvasinājumu un tā aprēķināšanas metodēm. Atvasinājums ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem. Mēs nolēmām šodienas rakstu veltīt šai pamata tēmai. Kas ir atvasinājums, kāds ir tā fiziskais un ģeometriskā sajūta kā aprēķināt funkcijas atvasinājumu? Visus šos jautājumus var apvienot vienā: kā saprast atvasinājumu?

Atvasinājuma ģeometriskā un fizikālā nozīme

Lai ir funkcija f(x) , dots kādā intervālā (a, b) . Punkti x un x0 pieder šim intervālam. Kad mainās x, mainās pati funkcija. Argumenta maiņa - tā vērtību atšķirība x-x0 . Šī atšķirība ir uzrakstīta kā delta x un to sauc par argumentu pieaugumu. Funkcijas izmaiņas vai palielinājums ir atšķirība starp funkcijas vērtībām divos punktos. Atvasinātā definīcija:

Funkcijas atvasinājums punktā ir funkcijas pieauguma noteiktā punktā un argumenta pieauguma attiecības robeža, kad pēdējam ir tendence uz nulli.

Citādi to var uzrakstīt šādi:

Kāda jēga atrast šādu robežu? Bet kurš:

funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar leņķa pieskari starp OX asi un pieskares funkcijas grafikam dotajā punktā.

fiziskā nozīme atvasinājums: ceļa laika atvasinājums ir vienāds ar taisnvirziena kustības ātrumu.

Patiešām, kopš skolas laikiem visi zina, ka ātrums ir privāts ceļš. x=f(t) un laiks t . Vidējais ātrums uz kādu laiku:

Lai uzzinātu kustības ātrumu vienā reizē t0 jums jāaprēķina limits:

Pirmais noteikums: izņemiet konstanti

Konstanti var izņemt no atvasinājuma zīmes. Turklāt tas ir jādara. Risinot piemērus matemātikā, parasti ņemiet - ja varat vienkāršot izteiksmi, noteikti vienkāršojiet .

Piemērs. Aprēķināsim atvasinājumu:

Otrais noteikums: funkciju summas atvasinājums

Divu funkciju summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu summu. Tas pats attiecas uz funkciju atšķirības atvasinājumu.

Mēs nesniegsim šīs teorēmas pierādījumu, bet drīzāk apsvērsim praktisku piemēru.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Trešais noteikums: funkciju reizinājuma atvasinājums

Divu diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājumu aprēķina pēc formulas:

Piemērs: atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Lēmums:

Šeit ir svarīgi teikt par sarežģītu funkciju atvasinājumu aprēķināšanu. Sarežģītas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājuma reizinājumu attiecībā pret starpposma argumentu ar starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā uz neatkarīgo mainīgo.

Iepriekš minētajā piemērā mēs sastopamies ar izteiksmi:

Šajā gadījumā starpposma arguments ir 8x līdz piektajai pakāpei. Lai aprēķinātu šādas izteiksmes atvasinājumu, vispirms jāņem vērā ārējās funkcijas atvasinājums attiecībā pret starpposma argumentu un pēc tam jāreizina ar paša starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā pret neatkarīgo mainīgo.

Ceturtais noteikums: divu funkciju koeficienta atvasinājums

Formula divu funkciju koeficienta atvasinājuma noteikšanai:

Mēs mēģinājām runāt par manekenu atvasinājumiem no nulles. Šī tēma nav tik vienkārša, kā šķiet, tāpēc esiet brīdināts: piemēros bieži ir nepilnības, tāpēc esiet piesardzīgs, aprēķinot atvasinājumus.

Ja jums ir kādi jautājumi par šo un citām tēmām, varat sazināties ar studentu dienestu. Īsā laikā mēs palīdzēsim atrisināt vissarežģītāko kontroli un tikt galā ar uzdevumiem, pat ja jūs nekad iepriekš neesat nodarbojies ar atvasinājumu aprēķināšanu.

Datums: 20.11.2014

Kas ir atvasinājums?

Atvasinājumu tabula.

Atvasinājums ir viens no galvenajiem augstākās matemātikas jēdzieniem. Šajā nodarbībā mēs iepazīstināsim ar šo jēdzienu. Iepazīsimies, bez stingriem matemātiskiem formulējumiem un pierādījumiem.

Šis ievads ļaus jums:

Izprast vienkāršu uzdevumu būtību ar atvasinājumu;

Veiksmīgi atrisināt šīs lielākās daļas grūti uzdevumi;

Sagatavojieties nopietnākām atvasinājumu nodarbībām.

Pirmkārt, patīkams pārsteigums.

Stingrā atvasinājuma definīcija ir balstīta uz robežu teoriju, un lieta ir diezgan sarežģīta. Tas ir satraucoši. Bet atvasinājuma praktiskā pielietošana, kā likums, neprasa tik plašas un dziļas zināšanas!

Lai veiksmīgi izpildītu lielāko daļu uzdevumu skolā un universitātē, pietiek ar to, ka zina tikai daži termini- izprast uzdevumu un tikai daži noteikumi- to atrisināt. Un viss. Tas mani iepriecina.

Vai mēs iepazīsimies?)

Noteikumi un apzīmējumi.

Elementārajā matemātikā ir daudz matemātisko darbību. Saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, kāpināšana, logaritms utt. Ja šīm darbībām pievieno vēl vienu darbību, elementārā matemātika kļūst augstāka. Šo jauno operāciju sauc diferenciācija.Šīs darbības definīcija un nozīme tiks apspriesta atsevišķās nodarbībās.

Šeit ir svarīgi saprast, ka diferencēšana ir vienkārša matemātiskā darbība pār funkciju. Mēs uzņemamies jebkuru funkciju un noteikti noteikumi, pārveidot to. Rezultāts ir jauna funkcija. Šo jauno funkciju sauc: atvasinājums.

Diferenciācija- darbība ar funkciju.

Atvasinājums ir šīs darbības rezultāts.

Tāpat kā, piemēram, summa ir pievienošanas rezultāts. Or Privāts ir sadalīšanas rezultāts.

Zinot terminus, var vismaz saprast uzdevumus.) Formulējums ir šāds: atrast funkcijas atvasinājumu; ņemt atvasinājumu; atšķirt funkciju; aprēķināt atvasinājumu utt. Tas viss tas pats. Protams, ir sarežģītāki uzdevumi, kur atvasinājuma (diferencēšanas) atrašana būs tikai viens no soļiem uzdevuma risināšanā.

Atvasinājums tiek apzīmēts ar domuzīmi augšējā labajā stūrī virs funkcijas. Kā šis: y" vai f"(x) vai S"(t) utt.

lasīt y insults, ef insults no x, es insults no te, nu tu saprati...)

Pirmskaitlis var arī apzīmēt noteiktas funkcijas atvasinājumu, piemēram: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" utt. Bieži vien atvasinājumu apzīmē ar diferenciāļiem, taču mēs šajā nodarbībā šādu apzīmējumu neapskatīsim.

Pieņemsim, ka esam iemācījušies saprast uzdevumus. Nekas cits neatliek - iemācīties tos atrisināt.) Atgādināšu vēlreiz: atvasinājuma atrašana ir funkcijas pārveidošana saskaņā ar noteiktiem noteikumiem.Šo noteikumu ir pārsteidzoši maz.

Lai atrastu funkcijas atvasinājumu, jums jāzina tikai trīs lietas. Trīs pīlāri, uz kuriem balstās visa diferenciācija. Šeit ir trīs vaļi:

1. Atvasinājumu tabula (diferenciācijas formulas).

3. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Sāksim secībā. Šajā nodarbībā mēs apskatīsim atvasinājumu tabulu.

Atvasinājumu tabula.

Pasaulei ir bezgalīgs skaits funkciju. Šajā komplektā ir funkcijas, kas ir vissvarīgākās praktisks pielietojums. Šīs funkcijas ietilpst visos dabas likumos. No šīm funkcijām, tāpat kā no ķieģeļiem, jūs varat izveidot visas pārējās. Šo funkciju klasi sauc elementāras funkcijas. Tieši šīs funkcijas tiek pētītas skolā - lineārās, kvadrātiskās, hiperbolas utt.

Funkciju diferencēšana "no nulles", t.i. pamatojoties uz atvasinājuma definīciju un robežu teoriju - diezgan laikietilpīga lieta. Un matemātiķi arī ir cilvēki, jā, jā!) Tātad viņi vienkāršoja savu dzīvi (un mūs). Viņi aprēķināja elementāro funkciju atvasinājumus pirms mums. Rezultātā tiek iegūta atvasinājumu tabula, kurā viss ir gatavs.)

Lūk, šī plāksne populārākajām funkcijām. Pa kreisi - elementārā funkcija, pa labi - tās atvasinājums.

	Funkcija y	Funkcijas y atvasinājums y"
1	C (konstante)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n ir jebkurš skaitlis)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	grēks x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	žurnāls a x
	ln x ( a = e)

Es iesaku pievērst uzmanību trešajai funkciju grupai šajā atvasinājumu tabulā. Atvasinājums jaudas funkcija- viena no izplatītākajām formulām, ja ne visizplatītākā! Vai mājiens ir skaidrs?) Jā, atvasinājumu tabulu vēlams zināt no galvas. Starp citu, tas nav tik grūti, kā varētu šķist. Mēģiniet izlemt vairāk piemēru, pats galds paliks atmiņā!)

Atvasinājuma tabulas vērtības atrašana, kā jūs saprotat, nav visgrūtākais uzdevums. Tāpēc ļoti bieži šādos uzdevumos ir papildu mikroshēmas. Vai nu uzdevuma formulējumā, vai sākotnējā funkcijā, kuras, šķiet, nav tabulā ...

Apskatīsim dažus piemērus:

1. Atrodiet funkcijas y = x atvasinājumu 3

Tabulā šādas funkcijas nav. Bet ir jaudas funkcijas atvasinājums vispārējs skats(trešā grupa). Mūsu gadījumā n=3. Tāpēc n vietā aizstājam trīskāršu un uzmanīgi pierakstām rezultātu:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Tas ir viss.

Atbilde: y" = 3x 2

2. Atrodiet funkcijas y = sinx atvasinājuma vērtību punktā x = 0.

Šis uzdevums nozīmē, ka vispirms ir jāatrod sinusa atvasinājums un pēc tam jāaizstāj vērtība x = 0šim pašam atvasinājumam. Tas ir tādā secībā! Citādi gadās, ka viņi uzreiz aizvieto nulli sākotnējā funkcijā... Mums tiek lūgts atrast nevis sākotnējās funkcijas vērtību, bet gan vērtību. tā atvasinājums. Atvasinājums, ļaujiet man atgādināt, jau ir jauna funkcija.

Uz plāksnes mēs atrodam sinusu un atbilstošo atvasinājumu:

y" = (sinx)" = cosx

Aizstāt nulli atvasinājumā:

y"(0) = cos 0 = 1

Šī būs atbilde.

3. Atšķiriet funkciju:

Kas iedvesmo?) Atvasinājumu tabulā šādas funkcijas nav pat tuvu.

Atgādināšu, ka funkcijas diferencēšana nozīmē vienkārši atrast šīs funkcijas atvasinājumu. Ja aizmirstat elementāro trigonometriju, mūsu funkcijas atvasinājuma atrašana ir diezgan apgrūtinoša. Tabula nepalīdz...

Bet, ja mēs redzam, ka mūsu funkcija ir kosinuss dubults leņķis , tad uzreiz viss kļūst labāk!

Jā jā! Atcerieties, ka sākotnējās funkcijas pārveidošana pirms diferenciācijas diezgan pieņemami! Un tas notiek, lai padarītu dzīvi daudz vieglāku. Saskaņā ar dubultā leņķa kosinusa formulu:

Tie. mūsu viltīgā funkcija ir nekas cits kā y = cox. Un šī ir tabulas funkcija. Mēs nekavējoties saņemam:

Atbilde: y" = - grēks x.

Piemērs pieredzējušiem absolventiem un studentiem:

4. Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Protams, atvasinājumu tabulā šādas funkcijas nav. Bet, ja atceries elementāru matemātiku, darbības ar pilnvarām... Tad pavisam iespējams šo funkciju vienkāršot. Kā šis:

Un x desmitdaļas pakāpē jau ir tabulas funkcija! Trešā grupa, n=1/10. Tieši pēc formulas un rakstiet:

Tas ir viss. Šī būs atbilde.

Ceru, ka ar pirmo diferenciācijas vali - atvasinājumu tabulu - viss ir skaidrs. Atliek tikt galā ar diviem atlikušajiem vaļiem. Nākamajā nodarbībā apgūsim diferencēšanas noteikumus.

Koordinātu plaknē čau Apsveriet funkcijas grafiku y=f(x). Labojiet punktu M (x 0; f (x 0)). Dosim abscisu x 0 pieaugums Δх. Mēs iegūsim jaunu abscisu x 0 +Δx. Šī ir punkta abscisa N, un ordinātas būs f (х 0 +Δх). Izmaiņas abscisā izraisīja izmaiņas ordinātās. Šīs izmaiņas sauc par funkcijas pieaugumu un apzīmē Δy.

Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). caur punktiem M un N uzzīmēt sekantu MN, kas veido leņķi φ ar pozitīvu ass virzienu Ak. Nosakiet leņķa tangensu φ no taisnleņķa trīsstūris MPN.

Ļaujiet būt Δх tiecas uz nulli. Pēc tam sekants MN būs tendence ieņemt pieskares pozīciju MT, un leņķi φ kļūs par stūrīti α . Tātad leņķa tangenss α ir leņķa pieskares robežvērtība φ :

Funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, kad pēdējam ir tendence uz nulli, sauc par funkcijas atvasinājumu noteiktā punktā:

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme slēpjas faktā, ka funkcijas skaitliskais atvasinājums dotajā punktā ir vienāds ar leņķa tangensu, ko veido caur šo punktu novilktā pieskare dotajai līknei un ass pozitīvajam virzienam Ak:

Piemēri.

1. Atrodiet argumenta pieaugumu un funkcijas pieaugumu y= x2 ja argumenta sākotnējā vērtība bija 4 , un jaunais 4,01 .

Lēmums.

Jauna argumenta vērtība x \u003d x 0 + Δx. Aizstājiet datus: 4.01=4+Δx, tātad argumenta pieaugums Δх=4,01-4=0,01. Funkcijas pieaugums pēc definīcijas ir vienāds ar starpību starp funkcijas jauno un iepriekšējo vērtību, t.i. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Tā kā mums ir funkcija y=x2, tad Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Atbilde: argumentu pieaugums Δх=0,01; funkcijas pieaugums Δy=0,0801.

Funkcijas pieaugumu varēja atrast citā veidā: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.

2. Atrodiet funkcijas grafika pieskares slīpuma leņķi y=f(x) punktā x 0, ja f "(x 0) \u003d 1.

Lēmums.

Atvasinājuma vērtība saskares punktā x 0 un ir pieskares slīpuma pieskares vērtība (atvasinājuma ģeometriskā nozīme). Mums ir: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, kā tg45°=1.

Atbilde: šīs funkcijas grafika pieskare veido leņķi ar Ox ass pozitīvo virzienu, kas vienāds ar 45°.

3. Atvasiniet funkcijas atvasinājuma formulu y=xn.

Diferenciācija ir funkcijas atvasinājuma atrašanas darbība.

Meklējot atvasinājumus, tiek izmantotas formulas, kas iegūtas, pamatojoties uz atvasinājuma definīciju, tāpat kā mēs atvasinājām atvasinājuma pakāpes formulu: (x n)" = nx n-1.

Šeit ir formulas.

Atvasinājumu tabula to būs vieglāk iegaumēt, izrunājot verbālos formulējumus:

1. Konstantas vērtības atvasinājums ir nulle.

2. X gājiens ir vienāds ar vienu.

3. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes.

4. Pakāpes atvasinājums ir vienāds ar šīs pakāpes eksponenta reizinājumu ar pakāpi ar to pašu bāzi, bet eksponents ir par vienu mazāks.

5. Saknes atvasinājums ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar divām vienādām saknēm.

6. Vienības atvasinājums, dalīts ar x, ir mīnus viens dalīts ar x kvadrātā.

7. Sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu.

8. Kosinusa atvasinājums ir vienāds ar mīnus sinusu.

9. Pieskares atvasinājums ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar kosinusa kvadrātu.

10. Kotangences atvasinājums ir mīnus viens, dalīts ar sinusa kvadrātu.

Mēs mācām diferenciācijas noteikumi.

1. Algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar atvasināto terminu algebrisko summu.

2. Produkta atvasinājums ir vienāds ar pirmā faktora atvasinājuma reizinājumu ar otro plus pirmā faktora reizinājumu ar otrā faktora atvasinājumu.

3. Atvasinājums no “y”, dalīts ar “ve”, ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājā “y ir gājiens, kas reizināts ar “ve” mīnus “y, reizināts ar gājienu”, un saucējā – “ve kvadrātā” ”.

4. īpašs gadījums formulas 3.

Mācīsimies kopā!

1. lapa no 1 1

Svarīgas piezīmes!
1. Ja formulu vietā redzat abrakadabra, iztīriet kešatmiņu. Šeit ir rakstīts, kā to izdarīt savā pārlūkprogrammā:
2. Pirms sākat lasīt rakstu, pievērsiet uzmanību mūsu navigatoram noderīgs resurss priekš

Iedomājieties taisnu ceļu, kas iet cauri kalnainai vietai. Tas ir, tas iet uz augšu un uz leju, bet negriežas ne pa labi, ne pa kreisi. Ja ass ir vērsta horizontāli gar ceļu un vertikāli, tad ceļa līnija būs ļoti līdzīga kādas nepārtrauktas funkcijas grafikam:

Ass ir noteikts nulles augstuma līmenis, dzīvē mēs izmantojam jūras līmeni kā to.

Pa šādu ceļu virzoties uz priekšu, arī mēs virzāmies uz augšu vai uz leju. Var arī teikt: mainoties argumentam (virzās pa abscisu asi), mainās funkcijas vērtība (virzās pa ordinātu asi). Tagad padomāsim, kā noteikt mūsu ceļa "stāvumu"? Kāda varētu būt šī vērtība? Ļoti vienkārši: cik ļoti mainīsies augstums, virzoties uz priekšu noteiktu attālumu. Patiešām, dažādos ceļa posmos, virzoties uz priekšu (pa abscisu) vienu kilometru, mēs pacelsimies vai kritīsim atšķirīgu metru skaitu attiecībā pret jūras līmeni (gar ordinātām).

Mēs apzīmējam progresu uz priekšu (lasiet "delta x").

Grieķu burtu (delta) matemātikā parasti izmanto kā prefiksu, kas nozīmē "izmaiņas". Tas ir - tas ir lieluma izmaiņas, - izmaiņas; tad kas tas ir? Tieši tā, izmēra maiņa.

Svarīgi: izteiksme ir viena entītija, viens mainīgais. Nekad nevajadzētu noraut "deltu" no "x" vai jebkura cita burta! Tas ir, piemēram,.

Tātad, mēs esam virzījušies uz priekšu, horizontāli, tālāk. Ja salīdzinām ceļa līniju ar funkcijas grafiku, tad kā apzīmēsim kāpumu? Noteikti,. Tas ir, virzoties uz priekšu, mēs paceļamies augstāk.

Vērtību ir viegli aprēķināt: ja sākumā bijām augstumā, un pēc pārvietošanas bijām augstumā, tad. Ja beigu punkts izrādījās zemāks par sākuma punktu, tas būs negatīvs - tas nozīmē, ka mēs nevis augam, bet gan lejupejam.

Atpakaļ uz "stāvumu": šī ir vērtība, kas norāda, cik daudz (stāvi) palielinās augstums, virzoties uz priekšu attāluma vienībā:

Pieņemsim, ka kādā ceļa posmā, virzoties par km, ceļš paceļas par km uz augšu. Tad stāvums šajā vietā ir vienāds. Un ja ceļš, virzoties uz priekšu par m, nogrimtu par km? Tad slīpums ir vienāds.

Tagad apsveriet kalna virsotni. Ja paņem posma sākumu puskilometru līdz augšai, bet beigas - puskilometru pēc tās, var redzēt, ka augstums ir gandrīz vienāds.

Tas ir, saskaņā ar mūsu loģiku, izrādās, ka slīpums šeit ir gandrīz vienāds ar nulli, kas acīmredzami nav taisnība. Daudz kas var mainīties tikai dažu kilometru attālumā. Jāapsver mazākas platības, lai iegūtu adekvātāku un precīzāku stāvuma novērtējumu. Piemēram, ja mērīsit augstuma izmaiņas, pārvietojoties vienu metru, rezultāts būs daudz precīzāks. Taču arī ar šo precizitāti mums var nepietikt – galu galā, ja ceļa vidū ir stabs, varam tam vienkārši izslīdēt. Kādu attālumu tad izvēlēties? Centimetrs? Milimetrs? Mazāk ir labāk!

AT īsta dzīve attāluma mērīšana līdz tuvākajam milimetram ir vairāk nekā pietiekami. Bet matemātiķi vienmēr tiecas pēc pilnības. Tāpēc koncepcija bija bezgala mazs, tas ir, moduļa vērtība ir mazāka par jebkuru skaitli, ko varam nosaukt. Piemēram, jūs sakāt: viena triljonā daļa! Cik mazāk? Un jūs dalāt šo skaitli ar - un tas būs vēl mazāks. utt. Ja mēs vēlamies rakstīt, ka vērtība ir bezgalīgi maza, mēs rakstām šādi: (lasām “x mēdz nulli”). Ir ļoti svarīgi saprast ka šis skaitlis nav vienāds ar nulli! Bet ļoti tuvu tam. Tas nozīmē, ka to var iedalīt.

Jēdziens, kas ir pretējs bezgalīgi mazam, ir bezgalīgi liels (). Jūs, iespējams, jau esat ar to saskārušies, strādājot pie nevienlīdzības: šis skaitlis ir lielāks modulī nekā jebkurš skaitlis, ko varat iedomāties. Ja izdomājat lielāko iespējamo skaitli, vienkārši reiziniet to ar divi, un jūs iegūsit vēl vairāk. Un bezgalība ir pat vairāk nekā tas, kas notiek. Faktiski bezgalīgi lieli un bezgalīgi mazi ir apgriezti viens otram, tas ir, pie un otrādi: at.

Tagad atpakaļ uz mūsu ceļu. Ideāli aprēķinātais slīpums ir slīpums, kas aprēķināts bezgalīgi mazam ceļa segmentam, tas ir:

Atzīmēju, ka ar bezgala mazu nobīdi arī augstuma izmaiņas būs bezgala mazas. Bet atgādināšu, ka bezgalīgi mazs nenozīmē nulle. Ja bezgalīgi mazus skaitļus dalāt savā starpā, varat iegūt, piemēram, pilnīgi parastu skaitli. Tas ir, viena maza vērtība var būt tieši divas reizes lielāka par citu.

Kāpēc tas viss? Ceļš, stāvums... Mēs nebraucam uz ralliju, bet mācāmies matemātiku. Un matemātikā viss ir tieši tāpat, tikai sauc savādāk.

Atvasinājuma jēdziens

Funkcijas atvasinājums ir funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazā argumenta pieaugumā.

Pieaugums matemātikā sauc pārmaiņas. Tiek izsaukts, cik daudz arguments () ir mainījies, pārvietojoties pa asi argumentu pieaugums un apzīmē ar Cik daudz ir mainījusies funkcija (augstums), virzoties uz priekšu pa asi par attālumu, tiek izsaukts funkcijas pieaugums un ir atzīmēts.

Tātad funkcijas atvasinājums ir saistība ar kad. Mēs apzīmējam atvasinājumu ar tādu pašu burtu kā funkcija, tikai ar vēzienu no augšas labās puses: vai vienkārši. Tātad, rakstīsim atvasināto formulu, izmantojot šos apzīmējumus:

Tāpat kā analoģijā ar ceļu, šeit, kad funkcija palielinās, atvasinājums ir pozitīvs, un, kad tas samazinās, tas ir negatīvs.

Bet vai atvasinājums ir vienāds ar nulli? Noteikti. Piemēram, ja braucam pa līdzenu horizontālu ceļu, stāvums ir nulle. Patiešām, augstums nemaz nemainās. Tātad ar atvasinājumu: nemainīgas funkcijas (konstantes) atvasinājums ir vienāds ar nulli:

jo šādas funkcijas pieaugums ir nulle jebkurai.

Ņemsim piemēru kalna galā. Izrādījās, ka segmenta galus bija iespējams sakārtot virsotnes pretējās pusēs tā, lai augstums galos būtu vienāds, tas ir, segments ir paralēls asij:

Bet lieli segmenti liecina par neprecīzu mērījumu. Mēs pacelsim savu segmentu uz augšu paralēli sev, tad tā garums samazināsies.

Galu galā, kad esam bezgalīgi tuvu virsotnei, segmenta garums kļūs bezgalīgi mazs. Bet tajā pašā laikā tas palika paralēli asij, tas ir, augstuma starpība tās galos ir vienāda ar nulli (nav tendence, bet ir vienāda ar). Tātad atvasinājums

To var saprast šādi: kad mēs stāvam pašā augšā, neliela nobīde pa kreisi vai pa labi izmaina mūsu augumu niecīgi.

Ir arī tīri algebrisks skaidrojums: pa kreisi no augšas funkcija palielinās, bet pa labi - samazinās. Kā mēs jau noskaidrojām iepriekš, funkcijai palielinoties, atvasinājums ir pozitīvs, bet, samazinoties, tas ir negatīvs. Bet mainās raiti, bez lēcieniem (jo ceļš nekur krasi nemaina savu slīpumu). Tāpēc ir jābūt starp negatīvām un pozitīvajām vērtībām. Tā būs vieta, kur funkcija ne palielinās, ne samazinās – virsotnes punktā.

Tas pats attiecas uz ieleju (apgabals, kurā funkcija samazinās kreisajā pusē un palielinās labajā pusē):

Nedaudz vairāk par pieaugumu.

Tātad mēs mainām argumentu uz vērtību. No kādas vērtības mēs maināmies? Par ko viņš (arguments) tagad ir kļuvis? Mēs varam izvēlēties jebkuru punktu, un tagad mēs dejosim no tā.

Apsveriet punktu ar koordinātu. Funkcijas vērtība tajā ir vienāda. Pēc tam veicam to pašu pieaugumu: palieliniet koordinātu par. Kāds tagad ir arguments? Ļoti viegli: . Kāda tagad ir funkcijas vērtība? Kur atrodas arguments, tur iet funkcija: . Kā ar funkcijas pieaugumu? Nekas jauns: šī joprojām ir summa, par kādu funkcija ir mainījusies:

Praktizējiet pieauguma atrašanu:

1. Atrodiet funkcijas pieaugumu punktā ar argumenta pieaugumu, kas vienāds ar.
2. Tas pats attiecas uz funkciju punktā.

Risinājumi:

AT dažādi punkti ar tādu pašu argumenta pieaugumu, funkcijas pieaugums būs atšķirīgs. Tas nozīmē, ka atvasinājums katrā punktā ir savs (par to mēs runājām pašā sākumā - ceļa stāvums dažādos punktos ir atšķirīgs). Tāpēc, rakstot atvasinājumu, mums jānorāda, kurā brīdī:

Jaudas funkcija.

Jaudas funkciju sauc par funkciju, kurā arguments zināmā mērā ir (loģisks, vai ne?).

Un - jebkurā mērā: .

Vienkāršākais gadījums ir tad, kad eksponents ir:

Atradīsim tā atvasinājumu punktā. Atcerieties atvasinājuma definīciju:

Tātad arguments mainās no uz. Kāds ir funkcijas pieaugums?

Pieaugums ir. Bet funkcija jebkurā punktā ir vienāda ar tās argumentu. Tātad:

Atvasinājums ir:

Atvasinājums ir:

b) Tagad apsveriet kvadrātiskā funkcija (): .

Tagad atcerēsimies to. Tas nozīmē, ka pieauguma vērtību var neņemt vērā, jo tā ir bezgalīgi maza un tāpēc nenozīmīga uz cita termina fona:

Tātad, mums ir vēl viens noteikums:

c) Turpinām loģisko sēriju: .

Šo izteiksmi var vienkāršot dažādos veidos: atveriet pirmo iekava, izmantojot formulu summas kuba saīsinātai reizināšanai, vai sadaliet visu izteiksmi faktoros, izmantojot kubu starpības formulu. Mēģiniet to izdarīt pats jebkurā no ieteiktajiem veidiem.

Tātad, es saņēmu sekojošo:

Un atcerēsimies to vēlreiz. Tas nozīmē, ka mēs varam neņemt vērā visus terminus, kas satur:

Mēs iegūstam:.

d) Līdzīgus noteikumus var iegūt lielām jaudām:

e) Izrādās, ka šo noteikumu var vispārināt jaudas funkcijai ar patvaļīgu eksponentu, pat ne veselu skaitli:

(2)

Noteikumu var formulēt ar vārdiem: “pakāpe tiek virzīta uz priekšu kā koeficients un pēc tam samazinās par”.

Šo noteikumu mēs pierādīsim vēlāk (gandrīz pašās beigās). Tagad apskatīsim dažus piemērus. Atrodiet funkciju atvasinājumu:

1. (divos veidos: pēc formulas un izmantojot atvasinājuma definīciju - skaitot funkcijas pieaugumu);

trigonometriskās funkcijas.

Šeit mēs izmantosim vienu faktu no augstākās matemātikas:

Kad izteiksme.

Pierādījumus apgūsiet institūta pirmajā kursā (un, lai tur nokļūtu, ir labi jānokārto eksāmens). Tagad es to parādīšu tikai grafiski:

Mēs redzam, ka tad, kad funkcija neeksistē - punkts grafikā tiek caurdurts. Bet jo tuvāk vērtībai, jo tuvāk ir funkcija. Tā ir pati “cenšanās”.

Turklāt šo noteikumu varat pārbaudīt, izmantojot kalkulatoru. Jā, jā, nekautrējies, paņem kalkulatoru, mēs vēl neesam pie eksāmena.

Tātad mēģināsim: ;

Neaizmirstiet pārslēgt kalkulatoru uz Radiānu režīmu!

utt. Mēs redzam, ka jo mazāka, jo tuvāka koeficienta vērtība.

a) Apsveriet funkciju. Kā parasti, mēs atrodam tā pieaugumu:

Pārvērtīsim sinusu starpību par reizinājumu. Lai to izdarītu, mēs izmantojam formulu (atcerieties tēmu ""):.

Tagad atvasinājums:

Veiksim aizstāšanu: . Tad bezgalīgi mazam tas ir arī bezgalīgi mazs: . Izteiksmei ir šāda forma:

Un tagad mēs to atceramies ar izteicienu. Un arī, ja summā (tas ir, pie) var neņemt vērā bezgalīgi mazu vērtību.

Tātad mēs saņemam nākamais noteikums:sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu:

Tie ir pamata (“tabulas”) atvasinājumi. Šeit tie ir vienā sarakstā:

Vēlāk mēs tiem pievienosim vēl dažus, bet tie ir vissvarīgākie, jo tie tiek izmantoti visbiežāk.

Prakse:

1. Atrast funkcijas atvasinājumu punktā;
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.

Risinājumi:

Eksponents un naturālais logaritms.

Matemātikā ir tāda funkcija, kuras atvasinājums jebkuram ir vienāds ar pašas funkcijas vērtību tam pašam. To sauc par "eksponentu", un tā ir eksponenciāla funkcija

Šīs funkcijas bāze - konstante - ir bezgalīga decimāldaļdaļa, tas ir, iracionāls skaitlis (piemēram,). To sauc par Eilera numuru, tāpēc to apzīmē ar burtu.

Tātad noteikums ir šāds:

To ir ļoti viegli atcerēties.

Nu, mēs netiksim tālu, mēs nekavējoties apsvērsim apgriezto funkciju. Kura funkcija ir apgriezta eksponenciālā funkcija? Logaritms:

Mūsu gadījumā bāze ir skaitlis:

Šādu logaritmu (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par “dabisku”, un mēs tam izmantojam īpašu apzīmējumu: tā vietā rakstām.

Kas ir vienāds ar? Protams, .

Arī dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Piemēri:

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2. Kāds ir funkcijas atvasinājums?

Atbildes: Izstādes dalībnieks un naturālais logaritms- funkcijas ir unikāli vienkāršas atvasinājuma ziņā. Eksponenciālajām un logaritmiskajām funkcijām ar jebkuru citu bāzi būs atšķirīgs atvasinājums, ko mēs analizēsim vēlāk, kad būsiet cauri diferencēšanas noteikumiem.

Diferencēšanas noteikumi

Kādi noteikumi? Atkal jauns termins?!...

Diferenciācija ir atvasinājuma atrašanas process.

Tikai un viss. Kāds ir vēl viens vārds šim procesam? Nav proizvodnovanie... Matemātikas diferenciāli sauc par pašu funkcijas pieaugumu pie. Šis termins cēlies no latīņu vārda differentia – atšķirība. Šeit.

Atvasinot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs nepieciešamas arī formulas to palielināšanai:

Kopumā ir 5 noteikumi.

Konstante tiek izņemta no atvasinājuma zīmes.

Ja - kāds konstants skaitlis (konstante), tad.

Acīmredzot šis noteikums darbojas arī attiecībā uz atšķirību: .

Pierādīsim to. Ļaujiet, vai vieglāk.

Piemēri.

Atrodiet funkciju atvasinājumus:

1. punktā;
2. punktā;
3. punktā;
4. punktā.

Risinājumi:

Produkta atvasinājums

Šeit viss ir vienāds: mēs iepazīstinām jauna funkcija un atrodiet tā pieaugumu:

Atvasinājums:

Piemēri:

1. Atrast funkciju atvasinājumus un;
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.

Risinājumi:

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Tagad pietiek ar jūsu zināšanām, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, nevis tikai eksponentu (vai jūs jau esat aizmirsis, kas tas ir?).

Tātad, kur ir kāds skaitlis.

Mēs jau zinām funkcijas atvasinājumu, tāpēc mēģināsim izveidot savu funkciju jaunā bāzē:

Šim nolūkam mēs izmantojam vienkāršs noteikums: . Pēc tam:

Nu, izdevās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.

Vai notika?

Lūk, pārbaudiet pats:

Formula izrādījās ļoti līdzīga eksponenta atvasinājumam: kā bija, tā paliek, parādījās tikai faktors, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgais.

Piemēri:
Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Atbildes:

Logaritmiskās funkcijas atvasinājums

Šeit tas ir līdzīgi: jūs jau zināt naturālā logaritma atvasinājumu:

Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu no logaritma ar citu bāzi, piemēram:

Mums šis logaritms jānoved līdz bāzei. Kā mainīt logaritma bāzi? Es ceru, ka atceraties šo formulu:

Tikai tagad tā vietā mēs rakstīsim:

Saucējs izrādījās tikai konstante (konstants skaitlis, bez mainīgā). Atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Eksponenta un logaritmisko funkciju atvasinājumi eksāmenā gandrīz nekad netiek atrasti, taču tos zināt nebūs lieki.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms un loka tangenss. Šīs funkcijas var būt grūti saprotamas (lai gan, ja logaritms jums šķiet grūts, izlasiet tēmu "Logaritmi" un viss izdosies), taču matemātikas ziņā vārds "sarežģīts" nenozīmē "grūti".

Iedomājieties mazu konveijeru: divi cilvēki sēž un veic darbības ar dažiem priekšmetiem. Piemēram, pirmais šokolādes tāfelīti ietin iesaiņojumā, bet otrais sasien ar lenti. Izrādās tāds salikts objekts: šokolādes tāfelīte ietīta un pārsieta ar lentīti. Lai ēstu šokolādes tāfelīti, jums jādara pretēji apgrieztā secībā.

Izveidosim līdzīgu matemātisko konveijeru: vispirms atradīsim skaitļa kosinusu, un pēc tam izveidosim iegūto skaitli kvadrātā. Tātad, viņi iedod mums skaitli (šokolāde), es atrodu tā kosinusu (iesaiņojums), un tad jūs kvadrātā to, ko es saņēmu (piesiet to ar lenti). Kas notika? Funkcija. Šis ir sarežģītas funkcijas piemērs: kad, lai atrastu tās vērtību, mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo un pēc tam vēl vienu darbību ar to, kas notika pirmās darbības rezultātā.

Mēs varam veikt tās pašas darbības apgrieztā secībā: vispirms jūs kvadrātā, un tad es meklēju iegūtā skaitļa kosinusu:. Ir viegli uzminēt, ka rezultāts gandrīz vienmēr būs atšķirīgs. Sarežģītu funkciju svarīga iezīme: mainoties darbību secībai, mainās funkcija.

Citiem vārdiem sakot, Sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir cita funkcija: .

Pirmajam piemēram, .

Otrais piemērs: (tas pats). .

Pēdējā darbība, ko veiksim, tiks saukta "ārēja" funkcija, un darbība, kas veikta vispirms - attiecīgi "iekšējā" funkcija(tie ir neformāli nosaukumi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).

Mēģiniet pats noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura ir iekšēja:

Atbildes: Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo lielumu maiņai: piemēram, funkcijā

mainām mainīgos un iegūstam funkciju.

Nu, tagad mēs izvilksim savu šokolādi - meklējiet atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir apgriezta: vispirms meklējam ārējās funkcijas atvasinājumu, tad rezultātu reizinim ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. Sākotnējā piemērā tas izskatās šādi:

Vēl viens piemērs:

Tātad, beidzot formulēsim oficiālo noteikumu:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Šķiet, ka viss ir vienkārši, vai ne?

Pārbaudīsim ar piemēriem:

ATvasinājums. ĪSUMĀ PAR GALVENO

Funkcijas atvasinājums- funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu ar bezgalīgi mazu argumenta pieaugumu:

Pamata atvasinājumi:

Atšķiršanas noteikumi:

Konstante tiek izņemta no atvasinājuma zīmes:

Summas atvasinājums:

Atvasināts produkts:

Koeficienta atvasinājums:

Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

1. Mēs definējam "iekšējo" funkciju, atrodam tās atvasinājumu.
2. Mēs definējam "ārējo" funkciju, atrodam tās atvasinājumu.
3. Mēs reizinām pirmā un otrā punkta rezultātus.

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par veiksmīgu nokārtojot eksāmenu, par uzņemšanu institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, lai viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai pārliecinātos, ka eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), tad noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem detalizēta analīze un izlem, lem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (ne obligāti), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 499 rubļi

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!

Kas ir atvasinājums?
Funkcijas atvasinājuma definīcija un nozīme

Daudzus pārsteigs šī raksta negaidītā atrašanās vieta manā autora kursā par viena mainīgā funkcijas atvasinājumu un tā lietojumiem. Galu galā, kā tas bija no skolas: standarta mācību grāmata, pirmkārt, sniedz atvasinājuma definīciju, tā ģeometrisko, mehānisko nozīmi. Tālāk studenti atrod funkciju atvasinājumus pēc definīcijas, un faktiski tikai tad tiek pilnveidota diferenciācijas tehnika, izmantojot atvasinājumu tabulas.

Bet no mana viedokļa pragmatiskāka ir šāda pieeja: pirmkārt, vēlams LABI SAPRAST funkciju ierobežojums, un jo īpaši bezgalīgi mazi. Fakts ir tāds atvasinājuma definīcijas pamatā ir limita jēdziens, kas skolas kursā tiek slikti ņemts vērā. Tāpēc ievērojama daļa jauno granīta zināšanu patērētāju slikti iekļūst atvasinājuma būtībā. Tādējādi, ja esat slikti orientēts diferenciālrēķinos vai gudrs smadzenes ilgi gadi veiksmīgi atbrīvojies no šīs bagāžas, lūdzu, sāciet no plkst funkciju ierobežojumi. Tajā pašā laikā apgūstiet / atcerieties viņu lēmumu.

Tā pati praktiskā jēga liek domāt, ka tas vispirms ir ienesīgs iemācīties atrast atvasinājumus, ieskaitot sarežģītu funkciju atvasinājumi. Teorija ir teorija, bet, kā saka, vienmēr gribas atšķirt. Šajā sakarā labāk ir izstrādāt uzskaitītās pamata nodarbības un, iespējams, kļūt diferenciācijas meistars pat neapzinoties savas rīcības būtību.

Materiālus šajā lapā iesaku sākt pēc raksta izlasīšanas. Vienkāršākās problēmas ar atvasinājumu, kur īpaši aplūkota funkcijas grafika pieskares problēma. Bet to var aizkavēt. Fakts ir tāds, ka daudziem atvasinājuma lietojumiem tas nav jāsaprot, un nav pārsteidzoši, ka teorētiskā stunda parādījās diezgan vēlu - kad man vajadzēja paskaidrot pieauguma/samazināšanās intervālu un ekstremitāšu atrašana funkcijas. Turklāt viņš bija šajā tēmā diezgan ilgu laiku " Funkcijas un grafiki”, līdz es nolēmu to ievietot agrāk.

Tāpēc, dārgie tējkannas, nesteidzieties uzsūkt atvasinājuma būtību, kā izsalkuši dzīvnieki, jo piesātinājums būs bezgaršīgs un nepilnīgs.

Funkcijas pieauguma, samazināšanās, maksimuma, minimuma jēdziens

Daudzi mācību ceļveži novest pie atvasinājuma jēdziena ar dažu praktisku problēmu palīdzību, un es arī izdomāju interesants piemērs. Iedomājieties, ka mums jābrauc uz pilsētu, kuru var sasniegt dažādos veidos. Mēs nekavējoties izmetam izliektos tinumu ceļus, un mēs apsvērsim tikai taisnas līnijas. Taču arī taisnās līnijas virzieni atšķiras: uz pilsētu var nokļūt pa līdzenu autobāni. Vai pa kalnainu šoseju – augšā un lejā, augšā un lejā. Cits ceļš iet tikai augšup, un cits visu laiku iet lejup. Aizraušanās meklētāji izvēlēsies maršrutu cauri aizai ar stāvu klinti un stāvu kāpumu.

Bet neatkarīgi no jūsu vēlmēm ir ieteicams zināt apgabalu vai vismaz atrast to. topogrāfiskā karte. Ko darīt, ja šādas informācijas nav? Galu galā var izvēlēties, piemēram, līdzenu taku, bet rezultātā paklupt uz slēpošanas trasi ar jocīgiem somiem. Ne tas, ka navigators un pat satelīta attēls sniegs ticamus datus. Tāpēc būtu jauki celiņa reljefu formalizēt ar matemātikas palīdzību.

Apsveriet kādu ceļu (skats no sāniem):

Katram gadījumam atgādinu elementāru faktu: ceļojums notiek no kreisās puses uz labo. Vienkāršības labad mēs pieņemam, ka funkcija nepārtraukts apskatāmajā teritorijā.

Kādas ir šīs diagrammas iezīmes?

Ar intervāliem funkcija palielinās, tas ir, katra nākamā vērtība vairāk iepriekšējā. Aptuveni runājot, grafiks iet lejā augšā(uzkāpjam kalnā). Un par intervālu funkcija samazinās- katrs nākamā vērtība mazāks iepriekšējā, un mūsu grafiks iet no augšas uz leju(ejot lejā pa nogāzi).

Pievērsīsim uzmanību arī īpašiem punktiem. Punktā, kuru sasniedzam maksimums, t.i pastāv tāds ceļa posms, kurā vērtība būs vislielākā (augstākā). Tajā pašā vietā, minimums, un pastāv tāda tā apkārtne, kurā vērtība ir mazākā (zemākā).

Nodarbībā tiks apskatīta stingrāka terminoloģija un definīcijas. par funkcijas galējībām, bet pagaidām izpētīsim vēl vienu svarīgu iezīmi: par intervāliem funkcija palielinās, bet palielinās ar atšķirīgs ātrums . Un pirmais, kas piesaista jūsu uzmanību, ir tas, ka diagramma paaugstinās intervālā daudz foršāk nekā uz intervālu. Vai ir iespējams izmērīt ceļa stāvumu, izmantojot matemātiskos rīkus?

Funkciju maiņas ātrums

Ideja ir šāda: ņemiet kādu vērtību (lasiet "delta x"), ko mēs sauksim argumentu pieaugums, un sāciet to "izmēģināt". dažādi punkti mūsu ceļš:

1) Apskatīsim galējo kreiso punktu: apejot attālumu, mēs uzkāpjam nogāzē līdz augstumam (zaļā līnija). Vērtība tiek saukta funkcijas pieaugums, un šajā gadījumā šis pieaugums ir pozitīvs (vērtību starpība gar asi ir lielāka par nulli). Izveidosim attiecību , kas būs mūsu ceļa stāvuma mērs. Acīmredzot tas ir ļoti konkrēts skaitlis, un, tā kā abi pieaugumi ir pozitīvi, tad .

Uzmanību! Apzīmējumi ir VIENS simbolu, tas ir, jūs nevarat “noraut” “deltu” no “x” un apsvērt šos burtus atsevišķi. Protams, komentārs attiecas arī uz funkcijas pieauguma simbolu.

Izpētīsim iegūtās frakcijas būtību jēgpilnāk. Pieņemsim, ka sākotnēji esam 20 metru augstumā (kreisajā melnajā punktā). Pārvarot metru distanci (kreisā sarkanā līnija), būsim 60 metru augstumā. Tad funkcijas pieaugums būs metri (zaļā līnija) un: . Tādējādi uz katra metrašajā ceļa posmā augstums palielinās vidēji par 4 metriem… vai aizmirsāt savu kāpšanas aprīkojumu? =) Citiem vārdiem sakot, konstruētā attiecība raksturo funkcijas VIDĒJO IZMAIŅU (šajā gadījumā pieauguma) ātrumu.

Piezīme : Attiecīgā piemēra skaitliskās vērtības tikai aptuveni atbilst zīmējuma proporcijām.

2) Tagad dosimies tādā pašā attālumā no galējā labā melnā punkta. Šeit kāpums ir maigāks, tāpēc pieaugums (sārtinātā līnija) ir salīdzinoši neliels, un attiecība, salīdzinot ar iepriekšējo gadījumu, būs diezgan pieticīga. Relatīvi runājot, metri un funkciju pieauguma temps ir . Tas ir, šeit ir par katru ceļa metru vidēji pusmetru uz augšu.

3) Neliels piedzīvojums kalna nogāzē. Apskatīsim augšējo melno punktu, kas atrodas uz y ass. Pieņemsim, ka tā ir 50 metru atzīme. Atkal pārvaram distanci, kā rezultātā atrodamies zemāk - 30 metru līmenī. Kopš kustība ir veikta no augšas uz leju(ass "pretējā" virzienā), tad fināls funkcijas (augstuma) pieaugums būs negatīvs: metri (brūna līnija zīmējumā). Un šajā gadījumā mēs runājam par sabrukšanas ātrums Iespējas: , tas ir, katram šī posma ceļa metram augstums samazinās vidēji par 2 metriem. Piektajā punktā rūpējieties par drēbēm.

Tagad uzdosim jautājumu: kāda ir “mērīšanas standarta” labākā vērtība? Skaidrs, ka 10 metri ir ļoti nelīdzens. Uz tiem var viegli ietilpt labs ducis izciļņu. Kāpēc ir izciļņi, lejā var būt dziļa aiza, un pēc dažiem metriem - tās otra puse ar tālāku stāvu kāpumu. Tādējādi ar desmit metru garu mēs neiegūsim saprotamu raksturlielumu šādiem ceļa posmiem caur attiecību.

No iepriekš minētās diskusijas izriet šāds secinājums: kā mazāka vērtība , jo precīzāk aprakstīsim ceļa reljefu. Turklāt šādi fakti ir patiesi:

– Jebkuram celšanas punkti jūs varat izvēlēties vērtību (kaut arī ļoti mazu), kas iekļaujas viena vai otra pieauguma robežās. Un tas nozīmē, ka atbilstošais augstuma pieaugums būs garantēts pozitīvs, un nevienlīdzība pareizi norādīs funkcijas pieaugumu katrā šo intervālu punktā.

- Tāpat, jebkuram slīpuma punkts, ir vērtība, kas pilnībā iederēsies šajā slīpumā. Tāpēc atbilstošais augstuma pieaugums ir viennozīmīgi negatīvs, un nevienādība pareizi parādīs funkcijas samazināšanos katrā dotā intervāla punktā.

– Īpaši interesants ir gadījums, kad funkcijas izmaiņu ātrums ir nulle: . Pirmkārt, nulles augstuma pieaugums () ir vienmērīga ceļa zīme. Un, otrkārt, ir arī citas kuriozas situācijas, kuru piemērus redzat attēlā. Iedomājieties, ka liktenis mūs ir aizvedis pašā kalna galā ar planējošiem ērgļiem vai gravas dibenā ar kurkstošām vardēm. Ja jūs sperat nelielu soli jebkurā virzienā, tad augstuma izmaiņas būs niecīgas, un mēs varam teikt, ka funkcijas izmaiņu ātrums faktiski ir nulle. Tas pats modelis tiek novērots punktos.

Tādējādi mēs esam nonākuši pie pārsteidzošas iespējas perfekti precīzi raksturot funkcijas izmaiņu ātrumu. Galu galā matemātiskā analīzeļauj novirzīt argumenta pieaugumu uz nulli: , tas ir, padarīt to bezgala mazs.

Rezultātā rodas vēl viens loģisks jautājums: vai ir iespējams atrast ceļu un tā grafiku cita funkcija, kas mums pastāstītu par visiem līdzenumiem, kāpumiem, lejām, virsotnēm, zemienēm, kā arī pieauguma/samazinājuma tempu katrā celiņa punktā?

Kas ir atvasinājums? Atvasinājuma definīcija.
Atvasinājuma un diferenciāļa ģeometriskā nozīme

Lūdzu, izlasiet pārdomāti un ne pārāk ātri - materiāls ir vienkāršs un pieejams ikvienam! Tas ir labi, ja dažviet kaut kas šķiet ne pārāk skaidrs, vienmēr varat atgriezties pie raksta vēlāk. Teikšu vēl, teoriju ir lietderīgi apgūt vairākas reizes, lai kvalitatīvi saprastu visus punktus (padoms īpaši aktuāls “tehniķu” studentiem, kuriem ir augstākā matemātika ir nozīmīga loma izglītības procesā).

Protams, pašā atvasinājuma definīcijā kādā punktā mēs to aizstāsim ar:

Pie kā esam nonākuši? Un mēs nonācām pie secinājuma, ka par funkciju saskaņā ar likumu ir izlīdzināts cita funkcija, ko sauc atvasinātā funkcija(vai vienkārši atvasinājums).

Atvasinājums raksturo izmaiņu ātrums funkcijas . Kā? Doma iet kā sarkans pavediens jau no paša raksta sākuma. Apsveriet kādu punktu domēni funkcijas . Lai funkcija ir diferencējama noteiktā punktā. Pēc tam:

1) Ja , tad funkcija palielinās punktā . Un acīmredzot ir intervāls(pat ja tas ir ļoti mazs), kas satur punktu, kurā funkcija aug, un tās diagramma iet “no apakšas uz augšu”.

2) Ja , tad funkcija samazinās punktā . Un ir intervāls, kurā ir punkts, kurā funkcija samazinās (grafiks iet “no augšas uz leju”).

3) Ja , tad bezgala tuvu punkta tuvumā funkcija uztur nemainīgu ātrumu. Tas notiek, kā minēts, funkcijas konstantei un funkcijas kritiskajos punktos, it īpaši minimālajos un maksimālajos punktos.

Dažas semantikas. Kas iekšā plašā nozīmē Ko nozīmē darbības vārds "atšķirt"? Atšķirt nozīmē izcelt kādu pazīmi. Atšķirot funkciju , mēs "izvēlamies" tās izmaiņu ātrumu funkcijas atvasinājuma veidā. Un ko, starp citu, nozīmē vārds "atvasinājums"? Funkcija noticis no funkcijas.

Termini ļoti veiksmīgi interpretē atvasinājuma mehānisko nozīmi :
Aplūkosim no laika atkarīgo ķermeņa koordinātu maiņas likumu un dotā ķermeņa kustības ātruma funkciju. Funkcija raksturo ķermeņa koordinātes maiņas ātrumu, tāpēc tā ir pirmais funkcijas atvasinājums attiecībā pret laiku: . Ja jēdziens “ķermeņa kustība” dabā nepastāvētu, tad tā arī nebūtu atvasinājums"ātruma" jēdziens.

Ķermeņa paātrinājums ir ātruma maiņas ātrums, tāpēc: . Ja dabā nepastāvētu sākotnējie jēdzieni “ķermeņa kustība” un “ķermeņa kustības ātrums”, tad tādu nebūtu atvasinājumsķermeņa paātrinājuma jēdziens.