- Šī ir daudzskaldņu figūra, kuras pamatnē atrodas daudzstūris, un pārējās skaldnes attēlo trijstūri ar kopīgu virsotni.

Ja pamats ir kvadrāts, tad sauc piramīdu četrstūrveida, ja trīsstūris ir trīsstūrveida. Piramīdas augstums ir novilkts no tās augšas perpendikulāri pamatnei. Izmanto arī platības aprēķināšanai apotēms ir sānu virsmas augstums, kas nolaists no tās virsotnes.
Piramīdas sānu virsmas laukuma formula ir tās sānu virsmu laukumu summa, kas ir vienādas viena ar otru. Tomēr šī aprēķina metode tiek izmantota ļoti reti. Būtībā piramīdas laukumu aprēķina caur pamatnes perimetru un apotēmu:

Apsveriet piemēru piramīdas sānu virsmas laukuma aprēķināšanai.

Dota piramīda ar bāzi ABCDE un virsotni F. AB =BC =CD =DE =EA = 3 cm Apotēma a = 5 cm Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu.
Atradīsim perimetru. Tā kā visas pamatnes virsmas ir vienādas, piecstūra perimetrs būs vienāds ar:
Tagad jūs varat atrast piramīdas sānu laukumu:

Regulāras trīsstūrveida piramīdas laukums

Regulāra trīsstūrveida piramīda sastāv no pamatnes, kurā atrodas regulārs trīsstūris, un trīs sānu skaldnes, kuru laukums ir vienāds.
Regulāras trīsstūrveida piramīdas sānu virsmas laukuma formulu var aprēķināt daudzos veidos. Varat izmantot parasto formulu, lai aprēķinātu perimetru un apotēmu, vai arī varat atrast vienas sejas laukumu un reizināt to ar trīs. Tā kā piramīdas seja ir trīsstūris, mēs izmantojam trijstūra laukuma formulu. Tam būs nepieciešams apotēms un pamatnes garums. Apsveriet piemēru, kā aprēķināt regulāras trīsstūrveida piramīdas sānu virsmas laukumu.

Dota piramīda ar apotēmu a = 4 cm un pamatvirsmu b = 2 cm. Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu.
Vispirms atrodiet vienas sānu virsmas laukumu. Šajā gadījumā tas būs:
Formulā aizstājiet vērtības:
Tā kā parastajā piramīdā visas malas ir vienādas, piramīdas sānu virsmas laukums būs vienāds ar trīs skaldņu laukumu summu. Attiecīgi:

Nošķeltas piramīdas laukums

Saīsināts Piramīda ir daudzskaldnis, ko veido piramīda un tās šķērsgriezums paralēli pamatnei.
Nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukuma formula ir ļoti vienkārša. Laukums ir vienāds ar pusi no pamatu perimetru un apotēmas summas:

Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar tās apotēmas reizinājumu ar pusi no pamatnes perimetra.

Runājot par kopējo virsmas laukumu, mēs vienkārši pievienojam pamatplatību sāniem.

Regulāras piramīdas sānu virsma ir vienāda ar pamatnes un apotēmas pusperimetra reizinājumu.

Pierādījums:

Ja pamatnes mala ir a, malu skaits ir n, tad piramīdas sānu virsma ir:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

kur l ir apotēms un p ir piramīdas pamatnes perimetrs. Teorēma ir pierādīta.

Šī formula skan šādi:

Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no piramīdas pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma.

Piramīdas kopējo virsmu aprēķina pēc formulas:

S pilns =S pusē +S galvenais

Ja piramīda ir neregulāra, tad tās sānu virsma būs vienāda ar tās sānu virsmu laukumu summu.

Piramīdas tilpums

Apjoms piramīda ir vienāda ar vienu trešdaļu no pamatnes laukuma un augstuma reizinājuma.

Pierādījums. Mēs sāksim no trīsstūrveida prizmas. Novelciet plakni caur prizmas augšējās pamatnes virsotni A un apakšējās pamatnes pretējo malu BC. Šī plakne no prizmas nogriezīs trīsstūrveida piramīdu A" ABC. Atlikušo prizmas daļu sadalām korpusa kodolā, velkot plakni caur sānu virsmu diagonālēm A "C" un "B" C. Iegūtie divi ķermeņi arī ir piramīdas. Ņemot vērā trijstūri A"B"C" par viena no tiem pamatu un C tā virsotni, redzēsim, ka tā pamatne un augstums ir tādi paši kā pirmajai piramīdai, kuru mēs nogriezām, tāpēc piramīdas A"ABC un CA "B"C" ir vienādi. Turklāt abas jaunās piramīdas CA "B" C "un A" B "BC" ir arī vienādas izmēra - tas kļūs skaidrs, ja ņemsim trīsstūrus BC "un B" CC " to pamatnes. Piramīdām CA" B "C" un A "B "VS ir kopīga virsotne A", un to pamatnes atrodas vienā plaknē un ir vienādas, tāpēc piramīdas ir vienādas pēc izmēra. Tātad prizma ir sadalītas trīs viena otrai vienāda izmēra piramīdās, katras no tām tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no prizmas tilpuma Tā kā pamatnes forma ir nenozīmīga, tad kopumā n-stūra tilpums piramīda ir vienāda ar vienu trešdaļu no prizmas tilpuma ar vienādu augstumu un vienādu (vai vienādu) pamatni.Atgādinot formulu, kas izsaka prizmas tilpumu, V=Sh, iegūstam gala rezultātu: V=1/3Sh

Vai ir vispārēja formula? Nē, kopumā nē. Jums vienkārši jāatrod sānu virsmu laukumi un tie jāapkopo.

Formulu var uzrakstīt priekš taisna prizma:

Kur ir pamatnes perimetrs.

Bet tomēr katrā gadījumā ir daudz vieglāk saskaitīt visus laukumus, nekā iegaumēt papildu formulas. Piemēram, aprēķināsim regulāras sešstūra prizmas kopējo virsmu.

Visas sānu virsmas ir taisnstūri. Līdzekļi.

Tas jau ir ņemts vērā, aprēķinot apjomu.

Tātad mēs iegūstam:

Piramīdas virsmas laukums

Uz piramīdu attiecas arī vispārējais noteikums:

Tagad aprēķināsim populārāko piramīdu virsmas laukumu.

Regulāras trīsstūrveida piramīdas virsmas laukums

Lai pamatnes mala ir vienāda, bet sānu mala ir vienāda. Man jāatrod un.

Tagad atcerieties to

Šis ir taisnleņķa trīsstūra laukums.

Un atcerēsimies, kā atrast šo apgabalu. Mēs izmantojam apgabala formulu:

Mums ir "" — šis un "" — arī šis, eh.

Tagad atradīsim.

Izmantojot pamata laukuma formulu un Pitagora teorēmu, mēs atrodam

Uzmanību: ja jums ir regulārs tetraedrs (t.i.), tad formula ir šāda:

Regulāras četrstūra piramīdas virsmas laukums

Lai pamatnes mala ir vienāda, bet sānu mala ir vienāda.

Pie pamatnes ir kvadrāts, un tāpēc.

Atliek atrast sānu sejas laukumu

Regulāras sešstūra piramīdas virsmas laukums.

Lai pamatnes mala būtu vienāda, bet sānu mala.

Kā atrast? Sešstūris sastāv no sešiem vienādiem regulāriem trīsstūriem. Mēs jau esam meklējuši regulāra trīsstūra laukumu, aprēķinot regulāras trīsstūra piramīdas virsmas laukumu, šeit mēs izmantojam atrasto formulu.

Nu, mēs jau divas reizes esam meklējuši sānu sejas zonu

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par sekmīgu eksāmena nokārtošanu, par uzņemšanu institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu lietu ...

Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀKI (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (nav obligāti), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 499 rubļi

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!

Instrukcija

Pirmkārt, ir vērts saprast, ka piramīdas sānu virsmu attēlo vairāki trīsstūri, kuru laukumus var atrast, izmantojot dažādas formulas, atkarībā no zināmajiem datiem:

S \u003d (a * h) / 2, kur h ir augstums, kas nolaists uz pusi a;

S = a*b*sinβ, kur a, b ir trijstūra malas, un β ir leņķis starp šīm malām;

S \u003d (r * (a + b + c)) / 2, kur a, b, c ir trijstūra malas, un r ir šajā trīsstūrī ierakstītā apļa rādiuss;

S \u003d (a * b * c) / 4 * R, kur R ir ap apli aprakstītā trīsstūra rādiuss;

S \u003d (a * b) / 2 \u003d r² + 2 * r * R (ja trīsstūris ir taisnleņķis);

S = S = (a²*√3)/4 (ja trīsstūris ir vienādmalu).

Faktiski šīs ir tikai visvienkāršākās no zināmajām formulām trijstūra laukuma atrašanai.

Aprēķinot, izmantojot iepriekš minētās formulas, visu trīsstūru laukumus, kas ir piramīdas skaldnes, mēs varam sākt aprēķināt šīs piramīdas laukumu. Tas tiek darīts ārkārtīgi vienkārši: jums ir jāsaskaita visu trīsstūru laukumi, kas veido piramīdas sānu virsmu. To var izteikt ar šādu formulu:

Sp = ΣSi, kur Sp ir sānu laukums, Si ir i-tā trīsstūra laukums, kas ir daļa no tā sānu virsmas.

Lielākai skaidrībai varam apsvērt nelielu piemēru: ir dota regulāra piramīda, kuras sānu malas veido vienādmalu trīsstūri, un tās pamatnē atrodas kvadrāts. Šīs piramīdas malas garums ir 17 cm. Nepieciešams atrast šīs piramīdas sānu virsmas laukumu.

Risinājums: ir zināms šīs piramīdas malas garums, ir zināms, ka tās skaldnes ir vienādmalu trīsstūri. Tādējādi mēs varam teikt, ka visu sānu virsmas trijstūri visas malas ir 17 cm. Tāpēc, lai aprēķinātu katra no šiem trijstūriem laukumu, jums būs jāizmanto formula:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Ir zināms, ka piramīdas pamatnē atrodas kvadrāts. Tādējādi ir skaidrs, ka ir četri doti vienādmalu trijstūri. Tad piramīdas sānu virsmas laukumu aprēķina šādi:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Atbilde: Piramīdas sānu virsmas laukums ir 500,548 cm².

Pirmkārt, mēs aprēķinām piramīdas sānu virsmas laukumu. Sānu virsma ir visu sānu virsmu laukumu summa. Ja jums ir darīšana ar regulāru piramīdu (tas ir, tādu, kuras pamatā ir regulārs daudzstūris, un virsotne ir projicēta šī daudzstūra centrā), tad, lai aprēķinātu visu sānu virsmu, pietiek reizināt piramīdas perimetru. pamatne (tas ir, visu daudzstūra malu garumu summa, kas atrodas pie pamatnes piramīdas) ar sānu virsmas augstumu (citādi saukta par apotēmu) un iegūto vērtību dala ar 2: Sb = 1 / 2P * h, kur Sb ir sānu virsmas laukums, P ir pamatnes perimetrs, h ir sānu virsmas augstums (apotēms).

Ja jums priekšā ir patvaļīga piramīda, jums būs atsevišķi jāaprēķina visu seju laukumi un pēc tam tie jāsaskaita. Tā kā piramīdas sānu malas ir trīsstūri, izmantojiet trijstūra laukuma formulu: S=1/2b*h, kur b ir trijstūra pamatne un h ir augstums. Aprēķinot visu skaldņu laukumus, atliek tikai tos saskaitīt, lai iegūtu piramīdas sānu virsmas laukumu.

Tad jums jāaprēķina piramīdas pamatnes laukums. Aprēķina formulas izvēle ir atkarīga no tā, kurš daudzstūris atrodas piramīdas pamatnē: pareizs (tas ir, tāds, kura visām malām ir vienāds garums) vai nepareizais. Regulāra daudzstūra laukumu var aprēķināt, reizinot perimetru ar daudzstūrī ierakstītā apļa rādiusu un iegūto vērtību dalot ar 2: Sn=1/2P*r, kur Sn ir daudzstūra laukums. daudzstūris, P ir perimetrs, un r ir daudzstūrī ierakstītā apļa rādiuss.

Nošķelta piramīda ir daudzskaldnis, ko veido piramīda un tās šķērsgriezums paralēli pamatnei. Atrast piramīdas sānu virsmas laukumu nemaz nav grūti. Tas ir ļoti vienkārši: laukums ir vienāds ar pusi bāzu summas reizinājumu ar. Apsveriet sānu virsmas laukuma aprēķināšanas piemēru. Pieņemsim, ka ir dota regulāra piramīda. Pamatnes garumi b=5 cm, c=3 cm Apotēma a=4 cm Lai atrastu piramīdas sānu virsmas laukumu, vispirms jāatrod pamatņu perimetrs. Lielā pamatnē tas būs vienāds ar p1=4b=4*5=20 cm.Mazā pamatnē formula būs šāda: p2=4c=4*3=12 cm.Tāpēc laukums būs vienāds ar: s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.

Piramīda- viena no daudzskaldņu šķirnēm, ko veido daudzstūri un trīsstūri, kas atrodas pie pamatnes un ir tā skaldnes.

Turklāt piramīdas augšpusē (t.i., vienā punktā) visas sejas ir apvienotas.

Lai aprēķinātu piramīdas laukumu, ir vērts noteikt, ka tās sānu virsma sastāv no vairākiem trijstūriem. Un mēs varam viegli atrast to apgabalus, izmantojot

dažādas formulas. Atkarībā no tā, kādus trīsstūru datus mēs zinām, mēs meklējam to laukumu.

Mēs uzskaitām dažas formulas, ar kurām var atrast trīsstūru laukumu:

1. S = (a*h)/2 . Šajā gadījumā mēs zinām trīsstūra augstumu h , kas nolaista uz sāniem a .
2. S = a*b*sinβ . Šeit ir trīsstūra malas a , b , un leņķis starp tiem ir β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Šeit ir trīsstūra malas a, b, c . Trijstūrī ierakstītā riņķa rādiuss ir r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Noteiktā apļa rādiuss ap trīsstūri ir R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Šī formula ir jāpiemēro tikai tad, ja trīsstūris ir taisnleņķa trīsstūris.
6. S = (a²*√3)/4 . Mēs piemērojam šo formulu vienādmalu trīsstūrim.

Tikai pēc tam, kad mēs aprēķinām visu trīsstūru laukumus, kas ir mūsu piramīdas skaldnes, mēs varam aprēķināt to sānu virsmas laukumu. Lai to izdarītu, mēs izmantosim iepriekš minētās formulas.

Lai aprēķinātu piramīdas sānu virsmas laukumu, nerodas grūtības: jums ir jānoskaidro visu trīsstūru laukumu summa. Izteiksim to ar formulu:

Sp = ΣSi

Šeit Si ir pirmā trīsstūra laukums un S P ir piramīdas sānu virsmas laukums.

Apskatīsim piemēru. Ņemot vērā regulāru piramīdu, tās sānu malas veido vairāki vienādmalu trīsstūri,

« Ģeometrija ir visspēcīgākais rīks mūsu garīgo spēju pilnveidošanai.».

Galileo Galilejs.

un kvadrāts ir piramīdas pamats. Turklāt piramīdas malas garums ir 17 cm. Noskaidrosim šīs piramīdas sānu virsmas laukumu.

Mēs domājam šādi: mēs zinām, ka piramīdas skaldnes ir trīsstūri, tās ir vienādmalu. Mēs arī zinām, kāds ir šīs piramīdas malas garums. No tā izriet, ka visiem trijstūriem ir vienādas malas, to garums ir 17 cm.

Lai aprēķinātu katra šī trijstūra laukumu, varat izmantot šādu formulu:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Tā kā mēs zinām, ka kvadrāts atrodas piramīdas pamatnē, izrādās, ka mums ir četri vienādmalu trīsstūri. Tas nozīmē, ka piramīdas sānu virsmas laukumu var viegli aprēķināt, izmantojot šādu formulu: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Mūsu atbilde ir šāda: 500,548 cm² - tas ir šīs piramīdas sānu virsmas laukums.