Pī attieksme. Sāciet zinātnē

Matemātiķi visā pasaulē katru gadu 14. martā apēd kūkas gabalu – galu galā šī ir Pi diena, visslavenākais iracionālais skaitlis. Šis datums ir tieši saistīts ar numuru, kura pirmie cipari ir 3,14. Pi ir apļa apkārtmēra attiecība pret tā diametru. Tā kā tas ir neracionāls, to nav iespējams uzrakstīt kā daļu. Tas ir bezgala garš skaitlis. Tas tika atklāts pirms tūkstošiem gadu un kopš tā laika ir pastāvīgi pētīts, bet vai Pi ir palikuši kādi noslēpumi? No seniem pirmsākumiem līdz neskaidrai nākotnei šeit ir daži no interesantākajiem faktiem par pi.

Pī iegaumēšana

Rekords skaitļu iegaumēšanā aiz komata pieder Rajvēram Mīnam no Indijas, kuram izdevās atcerēties 70 000 ciparu – viņš rekordu uzstādīja 2015. gada 21. martā. Pirms tam rekordists bija Čao Lu no Ķīnas, kuram izdevās iegaumēt 67 890 ciparus – šis rekords tika uzstādīts 2005. gadā. Neoficiālais rekordists ir Akira Haraguči, kurš 2005. gadā video ierakstīja savu 100 000 ciparu atkārtojumu un nesen ievietoja video, kurā viņam izdodas atcerēties 117 000 ciparu. Par oficiālu rekordu kļūtu tikai tad, ja šis video tiktu ierakstīts Ginesa rekordu grāmatas pārstāvja klātbūtnē, un bez apstiprinājuma tas paliek tikai iespaidīgs fakts, taču nav uzskatāms par sasniegumu. Matemātikas entuziastiem patīk iegaumēt skaitli Pi. Daudzi izmanto dažādus mnemonikas paņēmienus, piemēram, dzeju, kur burtu skaits katrā vārdā ir vienāds ar pi. Katrai valodai ir savi šādu frāžu varianti, kas palīdz atcerēties gan dažus pirmos ciparus, gan veselu simtu.

Ir Pi valoda

Literatūras fascinēti matemātiķi izgudroja dialektu, kurā burtu skaits visos vārdos atbilst Pi cipariem precīzā secībā. Rakstnieks Maiks Kīts pat uzrakstīja grāmatu Not a Wake, kas pilnībā ir uzrakstīta Pi valodā. Šādas radošuma entuziasti savus darbus raksta pilnībā atbilstoši burtu skaitam un ciparu nozīmei. Tam nav praktiska pielietojuma, taču tā ir diezgan izplatīta un labi zināma parādība entuziasma zinātnieku aprindās.

Eksponenciālā izaugsme

Pi ir bezgalīgs skaitlis, tāpēc cilvēki pēc definīcijas nekad nevarēs izdomāt precīzus šī skaitļa skaitļus. Tomēr ciparu skaits aiz komata ir ievērojami palielinājies kopš Pi pirmās lietošanas reizes. Pat babilonieši to izmantoja, bet viņiem pietika ar daļu no trim un vienu astoto daļu. Ķīnieši un Vecās Derības veidotāji pilnībā aprobežojās ar trim. Līdz 1665. gadam sers Īzaks Ņūtons bija aprēķinājis 16 pi ciparus. Līdz 1719. gadam franču matemātiķis Toms Fante de Lagnijs bija aprēķinājis 127 ciparus. Datoru parādīšanās ir radikāli uzlabojusi cilvēka zināšanas par Pi. No 1949. līdz 1967. gadam cilvēkiem zināmo ciparu skaits strauji pieauga no 2037 līdz 500 000. Ne tik sen Šveices zinātnieks Pīters Truebs spēja aprēķināt 2,24 triljonus Pi ciparu! Tas aizņēma 105 dienas. Protams, tas nav ierobežojums. Visticamāk, ka, attīstoties tehnoloģijām, izdosies noteikt vēl precīzāku skaitli – tā kā Pi ir bezgalīgs, precizitātei vienkārši nav robežu, un to var ierobežot tikai datortehnoloģiju tehniskās īpašības.

Pi aprēķināšana ar roku

Ja vēlaties pats atrast ciparu, varat izmantot vecmodīgu tehniku ​​- jums būs nepieciešams lineāls, burka un aukla, var izmantot arī transportieri un zīmuli. Burkas izmantošanas mīnuss ir tāds, ka tai ir jābūt apaļai, un precizitāti noteiks tas, cik labi cilvēks var tai aptīt virvi. Ir iespējams uzzīmēt apli ar transportieri, taču tas prasa arī prasmes un precizitāti, jo nevienmērīgs aplis var nopietni izkropļot jūsu mērījumus. Precīzāka metode ietver ģeometrijas izmantošanu. Sadaliet apli daudzos segmentos, piemēram, picas šķēlēs, un pēc tam aprēķiniet taisnas līnijas garumu, kas katru segmentu pārvērstu vienādsānu trīsstūrī. Malu summa dos aptuvenu pi skaitu. Jo vairāk segmentu izmantosit, jo precīzāks būs skaitlis. Protams, savos aprēķinos nevarēsiet pietuvoties datora rezultātiem, tomēr šie vienkāršie eksperimenti ļauj sīkāk saprast, kas vispār ir Pi un kā tas tiek izmantots matemātikā.

Pī atklāšana

Senie babilonieši par skaitļa Pi esamību zināja jau pirms četriem tūkstošiem gadu. Babilonijas planšetdatoros Pi aprēķina kā 3,125, un Ēģiptes matemātiskajā papirusā ir skaitlis 3,1605. Bībelē skaitlis Pi ir norādīts novecojušā garumā - olektis, un grieķu matemātiķis Arhimēds izmantoja Pitagora teorēmu, lai aprakstītu Pi, trijstūra malu garuma ģeometrisko attiecību un laukumu. figūras apļu iekšpusē un ārpusē. Tādējādi var droši teikt, ka Pi ir viens no senākajiem matemātiskajiem jēdzieniem, lai gan precīzs šī skaitļa nosaukums parādījās salīdzinoši nesen.

Jauns skatījums uz Pi

Pat pirms pi bija saistīts ar apļiem, matemātiķiem jau bija daudz veidu, kā pat nosaukt šo skaitli. Piemēram, senās matemātikas mācību grāmatās var atrast frāzi latīņu valodā, ko aptuveni var tulkot kā "daudzums, kas parāda garumu, ja diametrs tiek reizināts ar to". Iracionālais skaitlis kļuva slavens, kad Šveices zinātnieks Leonhards Eilers to izmantoja savā darbā par trigonometriju 1737. gadā. Tomēr grieķu simbols pi joprojām netika izmantots - tas notika tikai mazāk pazīstamā matemātiķa Viljama Džounsa grāmatā. Viņš to izmantoja jau 1706. gadā, taču tas ilgi tika atstāts novārtā. Laika gaitā zinātnieki pieņēma šo nosaukumu, un tagad šī ir slavenākā vārda versija, lai gan agrāk to sauca arī par Ludolfa numuru.

Vai pi ir normāli?

Skaitlis pi noteikti ir dīvains, bet kā tas atbilst parastajiem matemātikas likumiem? Zinātnieki jau ir atrisinājuši daudzus jautājumus, kas saistīti ar šo neracionālo skaitli, taču daži noslēpumi paliek. Piemēram, nav zināms, cik bieži tiek izmantoti visi cipari - skaitļi no 0 līdz 9 jāizmanto vienādās proporcijās. Taču statistiku var izsekot pirmajiem triljoniem ciparu, taču, ņemot vērā to, ka skaitlis ir bezgalīgs, neko droši pierādīt nav iespējams. Ir arī citas problēmas, kuras zinātnieki joprojām izvairās. Iespējams, ka zinātnes tālākā attīstība palīdzēs tos izgaismot, taču šobrīd tas paliek ārpus cilvēka inteliģences robežām.

Pi izklausās dievīgi

Zinātnieki nevar atbildēt uz dažiem jautājumiem par skaitli Pi, tomēr ar katru gadu viņi arvien labāk izprot tā būtību. Jau astoņpadsmitajā gadsimtā tika pierādīta šī skaitļa neracionalitāte. Turklāt ir pierādīts, ka skaitlis ir pārpasaulīgs. Tas nozīmē, ka nav noteiktas formulas, kas ļautu aprēķināt pi, izmantojot racionālos skaitļus.

Neapmierinātība ar Pi

Daudzi matemātiķi vienkārši ir iemīlējušies Pī, bet ir tādi, kas uzskata, ka šiem skaitļiem nav īpašas nozīmes. Turklāt viņi apgalvo, ka skaitli Tau, kas ir divreiz lielāks par Pi, ir ērtāk izmantot kā neracionālu. Tau parāda saistību starp apkārtmēru un rādiusu, kas, pēc dažu domām, ir loģiskāka aprēķina metode. Taču viennozīmīgi neko noteikt šajā jautājumā nav iespējams, un vienam un otram ciparam vienmēr būs piekritēji, abām metodēm ir tiesības uz dzīvību, tāpēc tas ir tikai interesants fakts, nevis pamats domāt, ka nevajag izmantojiet skaitli Pi.

Kāds ir skaitlis pi mēs zinām un atceramies no skolas laikiem. Tas ir vienāds ar 3,1415926 un tā tālāk... Vienkāršam cilvēkam pietiek zināt, ka šo skaitli iegūst, dalot apļa apkārtmēru ar tā diametru. Taču daudzi cilvēki zina, ka skaitlis Pi parādās neparedzētās jomās ne tikai matemātikā un ģeometrijā, bet arī fizikā. Nu, ja iedziļināties šī skaitļa būtības detaļās, starp nebeidzamajām skaitļu sērijām var redzēt daudz pārsteigumu. Vai ir iespējams, ka Pi slēpj Visuma dziļākos noslēpumus?

Bezgalīgs skaitlis

Pats skaitlis Pi mūsu pasaulē rodas kā apļa garums, kura diametrs ir vienāds ar vienu. Bet, neskatoties uz to, ka segments, kas vienāds ar Pi, ir diezgan ierobežots, skaitlis Pi sākas ar 3,1415926 un iet līdz bezgalībai skaitļu rindās, kas nekad neatkārtojas. Pirmais pārsteidzošais fakts ir tāds, ka šo ģeometrijā izmantoto skaitli nevar izteikt kā veselu skaitļu daļu. Citiem vārdiem sakot, jūs nevarat to uzrakstīt kā attiecību starp diviem skaitļiem a/b. Turklāt skaitlis Pi ir pārpasaulīgs. Tas nozīmē, ka nav tāda vienādojuma (polinoma) ar veseliem skaitļiem, kuru atrisinājums būtu Pi.

To, ka skaitlis Pi ir pārpasaulīgs, 1882. gadā pierādīja vācu matemātiķis fon Lindemans. Tieši šis pierādījums atbildēja uz jautājumu, vai ar kompasu un taisngriezi ir iespējams uzzīmēt kvadrātu, kura laukums ir vienāds ar dotā apļa laukumu. Šī problēma ir pazīstama kā apļa kvadrātveida meklēšana, kas cilvēci ir satraukusi kopš seniem laikiem. Šķita, ka šai problēmai ir vienkāršs risinājums, un tā drīz tiks atklāta. Bet tā bija nesaprotama pi īpašība, kas parādīja, ka apļa kvadrāta problēmai nav risinājuma.

Vismaz četrarpus tūkstošgades cilvēce ir mēģinājusi iegūt arvien precīzāku pi vērtību. Piemēram, Bībelē 1. Ķēniņu grāmatā (7:23) skaitlis pi tiek pieņemts vienāds ar 3.

Ievērojama precizitāte, Pi vērtību var atrast Gīzas piramīdās: piramīdu perimetra un augstuma attiecība ir 22/7. Šī daļa dod aptuvenu Pi vērtību, kas vienāda ar 3,142 ... Ja vien, protams, ēģiptieši šādu attiecību nenosaka nejauši. To pašu vērtību jau attiecībā uz skaitļa Pi aprēķinu III gadsimtā pirms mūsu ēras saņēma lielais Arhimēds.

Senās ēģiptiešu matemātikas mācību grāmatā Ahmesa papirusā, kas datēts ar 1650. gadu pirms mūsu ēras, Pi ir aprēķināts kā 3,160493827.

Senindiešu tekstos ap 9. gadsimtu pirms mūsu ēras visprecīzākā vērtība tika izteikta ar skaitli 339/108, kas vienāds ar 3,1388 ...

Gandrīz divus tūkstošus gadu pēc Arhimēda cilvēki ir mēģinājuši atrast veidus, kā aprēķināt pi. Viņu vidū bija gan slaveni, gan nezināmi matemātiķi. Piemēram, romiešu arhitekts Marks Vitruvijs Pollio, ēģiptiešu astronoms Klaudijs Ptolemajs, ķīniešu matemātiķis Liu Hui, indiešu gudrais Ariabhata, viduslaiku matemātiķis Leonardo no Pizas, pazīstams kā Fibonači, arābu zinātnieks Al-Khwarizmi, no kura vārda radies vārds. parādījās "algoritms". Viņi visi un daudzi citi cilvēki meklēja visprecīzākās Pi aprēķināšanas metodes, taču līdz 15. gadsimtam aprēķinu sarežģītības dēļ nekad nesaņēma vairāk par 10 cipariem aiz komata.

Visbeidzot, 1400. gadā indiešu matemātiķis Madhava no Sangamagramas aprēķināja Pi ar precizitāti līdz 13 cipariem (lai gan viņš joprojām kļūdījās pēdējos divos).

Zīmju skaits

17. gadsimtā Leibnics un Ņūtons atklāja bezgalīgi mazu lielumu analīzi, kas ļāva aprēķināt pi progresīvāk - izmantojot pakāpes rindas un integrāļus. Pats Ņūtons aprēķināja 16 zīmes aiz komata, taču savās grāmatās to neminēja – tas kļuva zināms pēc viņa nāves. Ņūtons apgalvoja, ka Pi aprēķinājis tikai aiz garlaicības.

Apmēram tajā pašā laikā arī citi mazāk zināmi matemātiķi piecēlās, piedāvājot jaunas formulas skaitļa Pi aprēķināšanai, izmantojot trigonometriskās funkcijas.

Piemēram, šeit ir formula, kuru Pi aprēķināja astronomijas skolotājs Džons Machins 1706. gadā: PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239). Izmantojot analīzes metodes, Machins no šīs formulas atvasināja skaitli Pi ar simts zīmēm aiz komata.

Starp citu, tajā pašā 1706. gadā cipars Pi saņēma oficiālu apzīmējumu grieķu burta formā: to izmantoja Viljams Džonss savā darbā par matemātiku, ņemot pirmo burtu grieķu vārdam “perifērija”, kas nozīmē "aplis". 1707. gadā dzimušais izcilais Leonhards Eilers popularizēja šo apzīmējumu, ko tagad zina ikviens skolēns.

Pirms datoru laikmeta matemātiķi rūpējās par pēc iespējas vairāk zīmju aprēķināšanu. Šajā sakarā dažkārt bija kuriozi. Amatieris matemātiķis V. Šenkss ​​1875. gadā aprēķināja 707 pi ciparus. Šīs septiņsimt zīmes tika iemūžinātas uz Parīzes Atklājumu pils sienas 1937. gadā. Tomēr deviņus gadus vēlāk vērīgi matemātiķi atklāja, ka pareizi tika aprēķinātas tikai pirmās 527 rakstzīmes. Lai izlabotu kļūdu, muzejam bija jārēķinās ar pieklājīgiem izdevumiem – tagad visi skaitļi ir pareizi.

Kad parādījās datori, Pi ciparu skaits sāka aprēķināt pilnīgi neiedomājamā secībā.

Viens no pirmajiem 1946. gadā radītajiem elektroniskajiem datoriem ENIAC, kas bija milzīgs un radīja tik daudz siltuma, ka telpa sasilusi līdz 50 grādiem pēc Celsija, aprēķināja pirmos 2037 Pi ciparus. Šis aprēķins automašīnai aizņēma 70 stundas.

Datoriem pilnveidojoties, mūsu zināšanas par pi kļuva arvien tālāk bezgalībā. 1958. gadā tika aprēķināti 10 tūkstoši skaitļa ciparu. 1987. gadā japāņi aprēķināja 10 013 395 rakstzīmes. 2011. gadā japāņu pētnieks Šigeru Hondo pārsniedza 10 triljonu robežu.

Kur vēl jūs varat atrast Pi?

Tāpēc bieži vien mūsu zināšanas par skaitli Pi paliek skolas līmenī, un mēs noteikti zinām, ka šis skaitlis ir neaizstājams, pirmkārt, ģeometrijā.

Papildus apļa garuma un laukuma formulām skaitlis Pi tiek izmantots elipsi, sfēru, konusu, cilindru, elipsoīdu un tā tālāk formulās: kaut kur formulas ir vienkāršas un viegli iegaumējamas, un kaut kur tie satur ļoti sarežģītus integrāļus.

Tad mēs varam sastapt skaitli Pi matemātiskajās formulās, kur no pirmā acu uzmetiena ģeometrija nav redzama. Piemēram, 1/(1-x^2) nenoteiktais integrālis ir Pi.

Pi bieži izmanto sēriju analīzē. Piemēram, šeit ir vienkārša sērija, kas saplūst ar pi:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = PI/4

Starp sērijām pi visnegaidītāk parādās labi zināmajā Rīmaņa zeta funkcijā. Īsumā par to pastāstīt nevarēs, teiksim tikai to, ka kādreiz skaitlis Pi palīdzēs atrast formulu pirmskaitļu aprēķināšanai.

Un tas ir absolūti pārsteidzoši: Pi parādās divās no skaistākajām matemātikas "karaliskajām" formulām - Stirlinga formulā (kas palīdz atrast aptuveno faktoriāla un gamma funkcijas vērtību) un Eilera formulā (kas attiecas uz tik daudzām piecas matemātiskās konstantes).

Tomēr visnegaidītākais atklājums sagaidīja matemātiķus varbūtības teorijā. Pī ir arī tur.

Piemēram, varbūtība, ka divi skaitļi ir relatīvi pirmskaitļi, ir 6/PI^2.

Pī parādās Bufona 18. gadsimta adatas mešanas problēmā: kāda ir varbūtība, ka adata, kas uzmesta uz papīra lapas ar rakstu, šķērsos kādu no līnijām. Ja adatas garums ir L, un attālums starp līnijām ir L, un r > L, tad mēs varam aptuveni aprēķināt Pi vērtību, izmantojot varbūtības formulu 2L/rPI. Iedomājieties - mēs varam iegūt Pi no nejaušiem notikumiem. Un, starp citu, Pi ir klāt parastajā varbūtības sadalījumā, parādās slavenās Gausa līknes vienādojumā. Vai tas nozīmē, ka pi ir vēl svarīgāks nekā tikai apļa apkārtmēra attiecība pret tā diametru?

Pī varam satikt arī fizikā. Pi parādās Kulona likumā, kas apraksta divu lādiņu mijiedarbības spēku, Keplera trešajā likumā, kas parāda planētas ap Sauli apgriezienu periodu, un pat notiek ūdeņraža atoma elektronu orbitāļu izkārtojumā. Un atkal neticamākais ir tas, ka Pi skaitlis ir paslēpts Heizenberga nenoteiktības principa formulā, kvantu fizikas pamatlikumā.

Pi noslēpumi

Kārļa Sagana romānā "Kontakts", kas tapis pēc tāda paša nosaukuma filmas motīviem, citplanētieši informē varoni, ka starp Pī zīmēm ir kāds slepens Dieva vēstījums. No noteiktas pozīcijas skaitļi skaitļā pārstāj būt nejauši un apzīmē kodu, kurā ir ierakstīti visi Visuma noslēpumi.

Šis romāns patiesībā atspoguļoja mīklu, kas nodarbina matemātiķu prātus visā planētā: vai skaitlis Pi ir normāls skaitlis, kurā cipari ir izkliedēti ar tādu pašu frekvenci, vai arī ar šo skaitli nav kaut kas kārtībā. Un, lai gan zinātnieki mēdz izvēlēties pirmo variantu (bet nevar to pierādīt), Pi izskatās ļoti noslēpumaini. Kāds japānis reiz aprēķināja, cik reižu pi pirmajos triljonos ciparu ir sastopami skaitļi no 0 līdz 9. Un es redzēju, ka skaitļi 2, 4 un 8 ir biežāk nekā pārējie. Tas var būt viens no mājieniem, ka Pi nav gluži normāls, un skaitļi tajā patiešām nav nejauši.

Atcerēsimies visu, ko esam lasījuši iepriekš, un pajautāsim sev, kāds vēl iracionāls un pārpasaulīgs skaitlis ir tik izplatīts reālajā pasaulē?

Un ir vēl citas dīvainības. Piemēram, Pi pirmo divdesmit ciparu summa ir 20, un pirmo 144 ciparu summa ir vienāda ar "zvēra skaitli" 666.

Amerikāņu seriāla Aizdomās turamais varonis profesors Finčs studentiem stāstīja, ka pi bezgalības dēļ tajā var rasties jebkura skaitļu kombinācija, sākot no jūsu dzimšanas datuma cipariem līdz sarežģītākiem skaitļiem. Piemēram, 762. pozīcijā ir sešu deviņu secība. Šo pozīciju sauc par Feinmena punktu slavenā fiziķa vārdā, kurš pamanīja šo interesanto kombināciju.

Mēs arī zinām, ka skaitlis Pi satur secību 0123456789, bet tas atrodas uz 17 387 594 880. cipara.

Tas viss nozīmē, ka Pī bezgalībā var atrast ne tikai interesantas skaitļu kombinācijas, bet arī iekodētu "Kara un miera" tekstu, Bībeli un pat Visuma galveno noslēpumu, ja tāds pastāv.

Starp citu, par Bībeli. Pazīstamais matemātikas popularizētājs Mārtins Gārdners 1966. gadā paziņoja, ka skaitļa Pi (tolaik vēl nezināmā) miljonā zīme būs skaitlis 5. Savus aprēķinus viņš skaidroja ar to, ka Bībeles angļu valodas versijā g. 3. grāmata, 14. nodaļa, 16 -m pants (3-14-16) septītajā vārdā ir pieci burti. Miljona skaitlis tika saņemts astoņus gadus vēlāk. Tas bija piektais numurs.

Vai pēc tam ir vērts apgalvot, ka skaitlis pi ir nejaušs?

Es nekad nedomāju par Pi izcelsmes stāstu. Lasīju diezgan interesantus faktus par Leibnicu un Ņūtonu. Ņūtons aprēķināja 16 zīmes aiz komata, bet savā grāmatā neko neteica. Paldies par labo rakstu.

Atbildēt

Reiz kādā forumā par maģiju lasīju, ka skaitlim PI ir ne tikai maģiska, bet arī rituāla nozīme. Daudzi rituāli ir saistīti ar šo numuru, un burvji tos izmantojuši kopš seniem laikiem, kad šis skaitlis tika atklāts.

Atbildēt

pi pirmo divdesmit ciparu summa ir 20… Vai tas ir nopietni? Binārā sistēmā, vai ne?

Atbildēt

1. Atbildēt

   1. 100 nav pirmo 20 ciparu summa, bet gan 20 cipari aiz komata.

      Atbildēt

1. ar diametru = 1, apkārtmērs = pi, un tāpēc aplis nekad neaizvērsies!

   Atbildēt

NUMURS lpp - apļa apkārtmēra attiecība pret tā diametru, - vērtība ir nemainīga un nav atkarīga no apļa lieluma. Skaitlis, kas izsaka šīs attiecības, parasti tiek apzīmēts ar grieķu burtu 241 (no "perijereia" - aplis, perifērija). Šis apzīmējums kļuva izplatīts pēc Leonharda Eilera darba, atsaucoties uz 1736. gadu, bet pirmo reizi to izmantoja Viljams Džonss (1675–1749) 1706. gadā. Tāpat kā jebkurš iracionāls skaitlis, to attēlo bezgalīga neperiodiska decimāldaļdaļa:

lpp= 3,141592653589793238462643… Praktisko aprēķinu vajadzības attiecībā uz apļiem un apaļiem ķermeņiem jau senatnē lika meklēt 241 tuvinājumu, izmantojot racionālos skaitļus. Informācija, ka apkārtmērs ir tieši trīs reizes lielāks par diametru, ir atrodama Senās Mezopotāmijas ķīļraksta plāksnēs. Tāda pati skaitļa vērtība lpp tur ir arī Bībeles teksts: “Un viņš uztaisīja jūru no lieta vara, tā bija desmit olektis gara, pilnīgi apaļa, piecas olektis augsta, un trīsdesmit olektis gara virtene to apskāva” (1. Karaļi 7.23). Tā darīja senie ķīnieši. Bet jau 2 tūkst.pmē. senie ēģiptieši izmantoja precīzāku skaitli 241, ko iegūst no diametra apļa laukuma formulas d:

Šis noteikums no Rhind papirusa 50. uzdevuma atbilst vērtībai 4(8/9) 2 » 3.1605. 1858. gadā atrastais Rhindas papiruss nosaukts tā pirmā īpašnieka vārdā, to nokopējis rakstvedis Ahmess ap 1650.g.pmē., oriģināla autors nav zināms, konstatēts vien, ka teksts tapis 19. gs. otrajā pusē. gadsimtā. BC. Lai gan no konteksta nav skaidrs, kā ēģiptieši ieguva pašu formulu. Tā sauktajā Maskavas papirusā, kuru nokopējis kāds students laikā no 1800. līdz 1600. gadam pirms mūsu ēras. no vecāka teksta, apmēram 1900. g. pirms mūsu ēras, ir vēl viena interesanta problēma par groza virsmas aprēķināšanu "ar atvērumu 4½". Nav zināms, kāda bija groza forma, taču visi pētnieki piekrīt, ka šeit par numuru lpp tiek ņemta tā pati aptuvenā vērtība 4(8/9) 2.

Lai saprastu, kā senie zinātnieki ieguva tādu vai citu rezultātu, ir jāmēģina atrisināt problēmu, izmantojot tikai tā laika zināšanas un aprēķinu metodes. Tieši tā dara seno tekstu pētnieki, taču risinājumi, ko viņiem izdodas atrast, ne vienmēr ir “vieni un tie paši”. Ļoti bieži vienam uzdevumam tiek piedāvāti vairāki risinājumi, katrs var izvēlēties pēc savas gaumes, bet neviens nevar teikt, ka to izmantoja senatnē. Attiecībā uz apļa laukumu ticama šķiet daudzu matemātikas vēstures grāmatu autora A. E. Raika hipotēze: diametra apļa laukums. d tiek salīdzināts ar ap to aprakstītā kvadrāta laukumu, no kura pēc kārtas tiek noņemti mazi kvadrāti ar malām un (1. att.). Mūsu apzīmējumā aprēķini izskatīsies šādi: pirmajā tuvinājumā apļa laukums S vienāds ar starpību starp kvadrāta laukumu ar malu d un četru mazu kvadrātu kopējā platība BET ar ballīti d:

Šo hipotēzi apstiprina līdzīgi aprēķini vienā no Maskavas papirusa uzdevumiem, kur tiek piedāvāts aprēķināt

No 6.gs. BC. matemātika strauji attīstījās senajā Grieķijā. Tieši senie grieķu ģeometri stingri pierādīja, ka apļa apkārtmērs ir proporcionāls tā diametram ( l = 2lpp R; R ir apļa rādiuss, l - tā garums), un apļa laukums ir puse no apkārtmēra un rādiusa reizinājuma:

S = ½ l R = lpp R 2 .

Šie pierādījumi tiek attiecināti uz Eudoksu no Knida un Arhimēda.

3. gadsimtā BC. Arhimēds rakstiski Par apļa mērīšanu aprēķināja regulāru daudzstūru perimetrus, kas ierakstīti aplī un aprakstīja ap to (2. att.) - no 6- līdz 96-gonam. Tādējādi viņš konstatēja, ka numurs lpp atrodas starp 3 10/71 un 3 1/7, t.i. 3.14084< lpp < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (lpp» 3.14166) atrada slavenais astronoms, trigonometrijas radītājs Klaudijs Ptolemajs (2. gs.), taču tā netika izmantota.

Tam ticēja indieši un arābi lpp= . Šo vērtību norādījis arī indiešu matemātiķis Brahmagupta (598 – apm. 660). Ķīnā zinātnieki 3. gs. izmantoja vērtību 3 7/50, kas ir sliktāka par Arhimēda aproksimāciju, bet 5. gs. otrajā pusē. Zu Chun Zhi (ap 430 - ap 501) saņēma par lpp tuvinājums 355/113 ( lpp» 3.1415927). Eiropiešiem tas palika nezināms, un tikai 1585. gadā to atkal atrada holandiešu matemātiķis Adrians Antoniss. Šis tuvinājums dod kļūdu tikai septītajā zīmē aiz komata.

Precīzāka tuvinājuma meklēšana lpp turpināja tālāk. Piemēram, al-Kashi (15. gs. pirmā puse) in Traktāts par apli(1427) aprēķināja 17 zīmes aiz komata lpp. Eiropā tāda pati nozīme tika atrasta 1597. gadā. Lai to izdarītu, viņam bija jāaprēķina parastā 800 335 168 gona mala. Holandiešu zinātnieks Ludolfs van Zeilens (1540–1610) tam atradis 32 pareizas decimāldaļas (publicēts pēcnāves 1615. gadā), šo tuvinājumu sauc par Ludolfa skaitli.

Numurs lpp parādās ne tikai ģeometrisko uzdevumu risināšanā. Kopš F. Vietas (1540–1603) laikiem dažu pēc vienkāršiem likumiem sastādītu aritmētisko secību robežu meklēšana ir novedusi pie viena un tā paša skaita. lpp. Šī iemesla dēļ, nosakot skaitu lpp piedalījās gandrīz visi slavenie matemātiķi: F. Viets, H. Haigenss, J. Voliss, G. V. Leibnics, L. Eilers. Viņi saņēma dažādas izteiksmes 241 bezgalīga reizinājuma, sērijas summas, bezgalīgas daļskaitļa formā.

Piemēram, 1593. gadā F. Viets (1540–1603) atvasināja formulu

1658. gadā anglis Viljams Brounkers (1620–1684) atrada skaitļa atveidojumu. lpp kā bezgalīga turpināta daļa

tomēr nav zināms, kā viņš nonācis pie šāda rezultāta.

1665. gadā Džons Voliss (1616–1703) to pierādīja

Šī formula nes viņa vārdu. Praktiskai skaitļa 241 noteikšanai tas ir maz noderīgs, taču noder dažādos teorētiskajos argumentos. Zinātnes vēsturē tas ienāca kā viens no pirmajiem bezgalīgo darbu piemēriem.

Gotfrīds Vilhelms Leibnics (1646–1716) 1673. gadā izveidoja šādu formulu:

izsakot skaitli lpp/4 kā sērijas summa. Tomēr šī sērija saplūst ļoti lēni. Lai aprēķinātu lpp ar precizitāti līdz desmit cipariem, kā parādīja Īzaks Ņūtons, būtu jāatrod 5 miljardu skaitļu summa un jāpavada apmēram tūkstoš gadu nepārtraukta darba pie tā.

Londonas matemātiķis Džons Machins (1680–1751) 1706. gadā, izmantojot formulu

sapratu izteiksmi

kas joprojām tiek uzskatīts par vienu no labākajiem aptuvenajiem aprēķiniem lpp. Ir nepieciešamas tikai dažas stundas manuālas skaitīšanas, lai atrastu tās pašas desmit precīzas decimālzīmes. Pats Džons Mačins aprēķināja lpp ar 100 pareizām zīmēm.

Izmantojot to pašu rindu arctg x un formulas

skaitļa vērtība lpp saņemts datorā ar precizitāti līdz simts tūkstošiem zīmju aiz komata. Šādi aprēķini ir interesanti saistībā ar nejaušo un pseidogadījuma skaitļu jēdzienu. Noteikta rakstzīmju skaita sakārtotas kopas statistiskā apstrāde lpp parāda, ka tai ir daudzas nejaušas secības pazīmes.

Ir daži jautri veidi, kā atcerēties numuru lpp precīzāk nekā tikai 3.14. Piemēram, apgūstot šādu četrrindu, jūs varat viegli nosaukt septiņas zīmes aiz komata lpp:

Jums vienkārši jāpamēģina

Un atcerieties visu, kā tas ir:

Trīs, četrpadsmit, piecpadsmit

deviņdesmit divi un seši.

(S.Bobrovs Burvju divradzis)

Saskaitot burtu skaitu katrā turpmāko frāžu vārdā, tiek iegūta arī skaitļa vērtība lpp:

"Ko es zinu par lokiem?" ( lpp» 3.1416). Šo sakāmvārdu ieteica Ya.I. Perelman.

"Tātad es zinu numuru, ko sauc par Pi. - Labi padarīts!" ( lpp» 3.1415927).

"Mācieties un ziniet skaitļā, kas zināms aiz skaitļa, kā pamanīt veiksmi" ( lpp» 3.14159265359).

Vienas Maskavas skolas skolotājs nāca klajā ar rindu: "Es to zinu un lieliski atceros," un viņa skolēns sacerēja smieklīgu turpinājumu: "Daudzas zīmes man ir liekas, veltīgi." Šis pāris ļauj definēt 12 ciparus.

Un šādi izskatās skaitļa 101 cipars lpp bez noapaļošanas

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

Mūsdienās ar datora palīdzību skaitļa vērtība lpp aprēķināts ar miljoniem pareizu ciparu, bet tāda precizitāte nav nepieciešama nevienā aprēķinos. Bet iespēja analītiski noteikt skaitu ,

Pēdējā formulā skaitītājs satur visus pirmskaitļus, un saucēji no tiem atšķiras par vienu, un saucējs ir lielāks par skaitītāju, ja tam ir forma 4 n+ 1 un citādi mazāk.

Lai gan kopš 16. gadsimta beigām, t.i. kopš tika izveidoti paši racionālo un iracionālo skaitļu jēdzieni, daudzi zinātnieki ir pārliecinājušies, ka lpp- skaitlis ir iracionāls, taču tikai 1766. gadā vācu matemātiķis Johans Heinrihs Lamberts (1728–1777), pamatojoties uz Eilera atklāto eksponenciālo un trigonometrisko funkciju saistību, to strikti pierādīja. Numurs lpp nevar attēlot kā vienkāršu daļskaitli neatkarīgi no tā, cik liels ir skaitītājs un saucējs.

1882. gadā Minhenes universitātes profesors Kārlis Luiss Ferdinands Lindemans (1852–1939), izmantojot franču matemātiķa K. Hermīta iegūtos rezultātus, pierādīja, ka lpp- pārpasaulīgs skaitlis, t.i. tā nav neviena algebriskā vienādojuma sakne a n x n + a n– 1 x n– 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 ar veselu skaitļu koeficientiem. Šis pierādījums pielika punktu senākās matemātiskās problēmas apļa kvadrātā. Tūkstošiem gadu šī problēma nav padevusies matemātiķu pūlēm, izteiciens "apļa kvadrātā" ir kļuvis par neatrisināmas problēmas sinonīmu. Un viss izrādījās skaitļa pārpasaulīgajā dabā lpp.

Pieminot šo atklājumu, zālē Minhenes Universitātes matemātikas auditorijas priekšā tika uzcelta Lindemaņa krūšutēls. Uz pjedestāla zem viņa vārda ir aplis, ko šķērso vienāda laukuma kvadrāts, kura iekšpusē ir ierakstīts burts lpp.

Marina Fedosova

Ievads

Rakstā ir matemātiskas formulas, tāpēc lasīšanai dodieties uz vietni, lai tās pareizi parādītu. Skaitlim \(\pi \) ir bagāta vēsture. Šī konstante apzīmē apļa apkārtmēra attiecību pret tā diametru.

Zinātnē skaitli \(\pi \) izmanto visos aprēķinos, kur ir apļi. Sākot no sodas bundžas tilpuma, beidzot ar satelītu orbītām. Un ne tikai apļi. Patiešām, izliektu līniju izpētē skaitlis \(\pi \) palīdz izprast periodiskas un svārstības sistēmas. Piemēram, elektromagnētiskie viļņi un pat mūzika.

1706. gadā britu zinātnieka Viljama Džounsa (1675-1749) grāmatā "Jauns ievads matemātikā" grieķu alfabēta burts \(\pi\) pirmo reizi tika izmantots, lai apzīmētu skaitli 3.141592. .. Šis apzīmējums cēlies no grieķu vārdu περιϕερεια sākuma burta — aplis, perifērija un περιµετρoς — perimetrs. Vispārpieņemtais apzīmējums kļuva pēc Leonharda Eilera darba 1737. gadā.

ģeometriskais periods

Jebkura apļa garuma un tā diametra attiecības nemainīgums ir novērots jau ilgu laiku. Mezopotāmijas iedzīvotāji izmantoja diezgan aptuvenu skaitļa \(\pi \) tuvinājumu. Kā izriet no senajām problēmām, viņi savos aprēķinos izmanto vērtību \(\pi ≈ 3 \).

Precīzāku \(\pi \) vērtību izmantoja senie ēģiptieši. Londonā un Ņujorkā tiek glabātas divas daļas no senās ēģiptiešu papirusa, ko sauc par "Rhindas papirusu". Papirusu sastādīja rakstvedis Armess aptuveni 2000.–1700. gadā pirms mūsu ēras. BC. Armess savā papirusā rakstīja, ka apļa laukums ar rādiusu \(r\) ir vienāds ar kvadrāta laukumu, kura mala ir vienāda ar \(\frac(8)(9) \) no apļa diametra \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), t.i., \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Tādējādi \(\pi = 3,16\).

Sengrieķu matemātiķis Arhimēds (287.-212.g.pmē.) vispirms izvirzīja uzdevumu izmērīt apli uz zinātniska pamata. Viņš ieguva rezultātu \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Metode ir diezgan vienkārša, taču, ja nav gatavu trigonometrisko funkciju tabulu, būs nepieciešama sakņu ekstrakcija. Turklāt tuvinājums \(\pi \) saplūst ļoti lēni: ar katru iterāciju kļūda samazinās tikai četrkārtīgi.

Analītiskais periods

Neskatoties uz to, līdz 17. gadsimta vidum visi Eiropas zinātnieku mēģinājumi aprēķināt skaitli \ (\ pi \) tika samazināti līdz daudzstūra malu palielināšanai. Piemēram, nīderlandiešu matemātiķis Ludolfs van Zeilens (1540-1610) aprēķināja skaitļa \(\pi \) aptuveno vērtību ar precizitāti līdz 20 cipariem aiz komata.

Viņam vajadzēja 10 gadus, lai to saprastu. Divkāršojot ierakstīto un norobežoto daudzstūru malu skaitu pēc Arhimēda metodes, viņš izdomāja \(60 \cdot 2^(29) \) - kvadrātu, lai aprēķinātu \(\pi \) ar 20. decimālzīmes.

Pēc viņa nāves viņa manuskriptos tika atrasti vēl 15 precīzi skaitļa \(\pi \) cipari. Ludolfs novēlēja, ka atrastās zīmes ir izkaltas viņa kapakmenī. Par godu viņam skaitli \(\pi \) dažreiz sauca par "Lūdolfa skaitli" vai "Lūdolfa konstanti".

Viens no pirmajiem, kas ieviesa metodi, kas atšķiras no Arhimēda metodes, bija Fransuā Vieta (1540-1603). Viņš nonāca pie rezultāta, ka aplim, kura diametrs ir vienāds ar vienu, ir laukums:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) ) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

No otras puses, apgabals ir \(\frac(\pi)(4) \). Aizstājot un vienkāršojot izteiksmi, mēs varam iegūt šādu bezgalīgu reizinājuma formulu aptuvenās vērtības \(\frac(\pi)(2) \) aprēķināšanai:

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Iegūtā formula ir pirmā precīzā skaitļa \(\pi \) analītiskā izteiksme. Papildus šai formulai Vjets, izmantojot Arhimēda metodi, deva ar ierakstītu un norobežotu daudzstūru palīdzību, sākot ar 6 stūru un beidzot ar daudzstūri ar \(2^(16) \cdot 6 \) malām, skaitļa \(\pi \) tuvinājums ar 9 pareizām zīmēm.

Angļu matemātiķis Viljams Brounkers (1620-1684) izmantoja turpināto daļskaitli, lai aprēķinātu \(\frac(\pi)(4)\) šādi:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Šī skaitļa \(\frac(4)(\pi) \) tuvinājuma aprēķināšanas metode prasa diezgan daudz aprēķinu, lai iegūtu vismaz nelielu tuvinājumu.

Aizstāšanas rezultātā iegūtās vērtības ir lielākas vai mazākas par skaitli \(\pi \) un katru reizi tuvāk patiesajai vērtībai, taču, lai iegūtu vērtību 3.141592, būs nepieciešams diezgan liels aprēķins.

Cits angļu matemātiķis Džons Mačins (1686-1751) 1706. gadā izmantoja Leibnica 1673. gadā atvasināto formulu, lai aprēķinātu skaitli \(\pi \) ar 100 zīmēm aiz komata, un piemēroja to šādi:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

Sērijas ātri saplūst, un tās var izmantot, lai ar lielu precizitāti aprēķinātu skaitli \(\pi \). Šāda veida formulas tika izmantotas, lai uzstādītu vairākus rekordus datoru laikmetā.

17. gadsimtā sākoties mainīga lieluma matemātikas periodam, sākās jauns posms \(\pi \) aprēķināšanā. Vācu matemātiķis Gotfrīds Vilhelms Leibnics (1646-1716) 1673. gadā atrada skaitļa \(\pi \) paplašinājumu, vispārīgā formā to var uzrakstīt kā šādu bezgalīgu virkni:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

Sērija tiek iegūta, aizstājot x = 1 ar \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9) (9) - \cdots\)

Leonhards Eilers attīsta Leibnica ideju savā darbā par sēriju izmantošanu arctg x, aprēķinot skaitli \(\pi \). 1738. gadā rakstītajā traktātā "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (Par dažādām metodēm, kā izteikt apļa kvadrātu ar aptuveniem skaitļiem) ir aplūkotas metodes aprēķinu uzlabošanai, izmantojot Leibnica formulu.

Eilers raksta, ka loka tangenšu rindas saplūdīs ātrāk, ja argumentam ir tendence uz nulli. Attiecībā uz \(x = 1\) rindas konverģence ir ļoti lēna: lai aprēķinātu ar precizitāti līdz 100 cipariem, ir jāpievieno rindas \(10^(50)\) vārdi. Jūs varat paātrināt aprēķinus, samazinot argumenta vērtību. Ja ņemam \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), tad iegūstam sēriju

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 - \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Pēc Eilera domām, ja ņemam 210 šīs sērijas vārdus, mēs iegūstam 100 pareizos skaitļa ciparus. Rezultātā iegūtā rinda ir neērta, jo ir jāzina pietiekami precīza iracionālā skaitļa \(\sqrt(3)\) vērtība. Turklāt Eilers savos aprēķinos izmantoja loka tangenšu izvērsumus mazāku argumentu loktangenšu summā:

\[kur x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Tālu no visas formulas \(\pi \) aprēķināšanai, ko Eilers izmantoja savos piezīmju grāmatiņās, ir publicētas. Publicētajos darbos un piezīmju grāmatiņās viņš aplūkoja 3 dažādas sērijas arktangensa aprēķināšanai, kā arī sniedza daudzus apgalvojumus par summējamo terminu skaitu, kas nepieciešams, lai ar noteiktu precizitāti iegūtu aptuvenu vērtību \(\pi \).

Turpmākajos gados skaitļa \(\pi \) vērtības precizēšana notika arvien ātrāk. Tā, piemēram, 1794. gadā Džordžs Vega (1754-1802) jau identificēja 140 zīmes, no kurām tikai 136 izrādījās pareizas.

Skaitļošanas periods

20. gadsimts iezīmējās ar pilnīgi jaunu posmu skaitļa \(\pi\) aprēķināšanā. Indijas matemātiķis Srinivasa Ramanujan (1887-1920) atklāja daudzas jaunas formulas \(\pi\). 1910. gadā viņš ieguva formulu \(\pi \) aprēķināšanai, paplašinot arktangensu Teilora sērijā:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

Ar k=100 tiek sasniegta skaitļa \(\pi \) 600 pareizo ciparu precizitāte.

Datoru parādīšanās ļāva ievērojami palielināt iegūto vērtību precizitāti īsākā laika periodā. 1949. gadā, izmantojot ENIAC, zinātnieku grupa Džona fon Neimana (1903-1957) vadībā tikai 70 stundu laikā ieguva 2037 zīmes aiz komata. Deivids un Gregorijs Čudnovski 1987. gadā ieguva formulu, ar kuras palīdzību viņi varēja uzstādīt vairākus rekordus aprēķinā \(\pi \):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k) ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Katrs sērijas dalībnieks dod 14 ciparus. 1989. gadā tika saņemts 1 011 196 691 cipars aiz komata. Šī formula ir labi piemērota \(\pi \) aprēķināšanai personālajos datoros. Šobrīd brāļi ir profesori Ņujorkas Universitātes Politehniskajā institūtā.

Nozīmīgs nesenais notikums bija formulas atklāšana 1997. gadā, ko veica Saimons Pluffs. Tas ļauj iegūt jebkuru skaitļa \(\pi \) heksadecimālo ciparu, neaprēķinot iepriekšējos. Formula tiek saukta par "Bailey-Borwain-Pluff formulu" par godu raksta autoriem, kur formula pirmo reizi tika publicēta. Tas izskatās šādi:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) - \frac(2)(8k+4 ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

2006. gadā Saimons, izmantojot PSLQ, izdomāja dažas jaukas formulas \(\pi \) aprēķināšanai. Piemēram,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4) (q^(2n) -1) + \frac(1) (q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) - 1) - \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

kur \(q = e^(\pi)\). 2009. gadā japāņu zinātnieki, izmantojot superdatoru T2K Tsukuba System, ieguva skaitli \(\pi \) ar 2 576 980 377 524 cipariem aiz komata. Aprēķini aizņēma 73 stundas 36 minūtes. Dators bija aprīkots ar 640 četrkodolu AMD Opteron procesoriem, kas nodrošināja 95 triljonu darbību sekundē.

Nākamais sasniegums \(\pi \) aprēķināšanā pieder franču programmētājam Fabrisam Belāram, kurš 2009. gada beigās savā personālajā datorā, kurā darbojas Fedora 10, uzstādīja rekordu, aprēķinot 2 699 999 990 000 skaitļa \(\pi \) zīmes aiz komata. Pēdējo 14 gadu laikā šis ir pirmais pasaules rekords, kas uzstādīts, neizmantojot superdatoru. Lai nodrošinātu augstu veiktspēju, Fabriss izmantoja brāļu Čudnovski formulu. Kopumā aprēķins aizņēma 131 dienu (103 aprēķina dienas un 13 pārbaudes dienas). Belāra sasniegums parādīja, ka šādiem aprēķiniem nav nepieciešams superdators.

Tikai sešus mēnešus vēlāk Fransuā rekordu pārspēja inženieri Aleksandrs Ji un dziedātājs Kondo. Lai uzstādītu rekordu ar 5 triljoniem zīmju aiz komata \(\pi \), tika izmantots arī personālais dators, taču ar iespaidīgākām īpašībām: divi Intel Xeon X5680 procesori ar frekvenci 3,33 GHz, 96 GB RAM, 38 TB diska atmiņa un darbība. sistēma Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Aprēķiniem Aleksandrs un Singers izmantoja brāļu Čudnovski formulu. Aprēķina process aizņēma 90 dienas un 22 TB diska vietas. 2011. gadā viņi uzstādīja vēl vienu rekordu, aprēķinot skaitlim \(\pi \) 10 triljonus zīmju aiz komata. Aprēķini notika tajā pašā datorā, kas bija uzstādījis savu iepriekšējo rekordu, un kopumā aizņēma 371 dienu. 2013. gada beigās Aleksandrs un Singeru uzlaboja rekordu līdz 12,1 triljonam skaitļa \(\pi \) ciparu, kas viņiem prasīja tikai 94 dienas, lai aprēķinātu. Šis veiktspējas uzlabojums tiek panākts, optimizējot programmatūras veiktspēju, palielinot procesora kodolu skaitu un ievērojami uzlabojot programmatūras kļūdu toleranci.

Pašreizējais rekords ir Aleksandra Yi un Singeru Kondo rekords, kas ir 12,1 triljons zīmju aiz komata no \(\pi \).

Tādējādi mēs pārbaudījām senatnē izmantotās skaitļa \(\pi \) aprēķināšanas metodes, analītiskās metodes, kā arī pārbaudījām mūsdienu metodes un ierakstus skaitļa \(\pi \) aprēķināšanai datoros.

Avotu saraksts

1. Žukovs A.V. Visur esošais numurs Pi - M.: Izdevniecība LKI, 2007 - 216 lpp.
2. F. Rūdio. Par apļa kvadrātu, ar jautājuma vēstures pielikumu, ko sastādījis F. Rudio. / Rudio F. - M .: ONTI NKTP PSRS, 1936. - 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - Springer, 2001. - 270 lpp.
4. Šukhmans, E.V. Aptuvens Pi aprēķins, izmantojot sēriju arctg x publicētajos un nepublicētajos Leonharda Eilera / E.V. Shukhman. - Zinātnes un tehnikas vēsture, 2008 - Nr.4. - P. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuliaturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 - 9. sēj. - 222-236 lpp.
6. Šumihins, S. Skaitlis Pi. 4000 gadu vēsture / S. Šumihina, A. Šumihina. — M.: Eksmo, 2011. — 192lpp.
7. Borveins, J.M. Ramanujans un Pi. / Borveins, J.M., Borveins P.B. Zinātnes pasaulē. 1988. gads - 4. nr. - S. 58-66.
8. Alekss Jē. numuru pasaule. Piekļuves režīms: numberworld.org

Patika?

Pastāsti

2017. gada 13. janvāris

***

Kas ir kopīgs starp Lada Priora riteni, laulības gredzenu un jūsu kaķa apakštasīti? Protams, jūs teiksiet skaistumu un stilu, bet es uzdrošinos ar jums strīdēties. Pī!Šis ir skaitlis, kas apvieno visus apļus, apļus un apaļumus, kas ietver, jo īpaši, manas mātes gredzenu un ratu no mana tēva mīļākās automašīnas un pat mana mīļotā kaķa Murzika apakštasīti. Esmu gatavs derēt, ka populārāko fizisko un matemātisko konstantu reitingā skaitlis Pi neapšaubāmi ieņems pirmo rindu. Bet kas aiz tā slēpjas? Varbūt kādi briesmīgi matemātiķu lāsti? Mēģināsim izprast šo jautājumu.

Kas ir skaitlis "Pi" un no kurienes tas cēlies?

Mūsdienu skaitļu apzīmējums π (Pi) parādījās, pateicoties angļu matemātiķim Džonsonam 1706. gadā. Šis ir grieķu vārda pirmais burts περιφέρεια (perifērija vai apkārtmērs). Tiem, kas jau ilgu laiku ir apguvuši matemātiku un turklāt pagātnē, mēs atceramies, ka skaitlis Pi ir apļa apkārtmēra attiecība pret tā diametru. Vērtība ir konstante, tas ir, tā ir nemainīga jebkuram lokam neatkarīgi no tā rādiusa. Cilvēki par to zināja kopš seniem laikiem. Tātad Senajā Ēģiptē skaitlis Pi tika pieņemts vienāds ar attiecību 256/81, un Vēdu tekstos ir dota vērtība 339/108, savukārt Arhimēds ieteica attiecību 22/7. Taču ne šie, ne daudzi citi skaitļa pi izteikšanas veidi nesniedza precīzu rezultātu.

Izrādījās, ka skaitlis Pi ir attiecīgi pārpasaulīgs un iracionāls. Tas nozīmē, ka to nevar attēlot kā vienkāršu daļskaitli. Ja to izsaka decimāldaļās, tad ciparu secība aiz komata sasteigsies līdz bezgalībai, turklāt periodiski neatkārtojoties. Ko tas viss nozīmē? Ļoti vienkārši. Vai vēlaties uzzināt meitenes tālruņa numuru, kas jums patīk? To noteikti var atrast ciparu secībā pēc Pi aiz komata.

Tālruni var apskatīt šeit ↓

Pi skaitlis līdz 10000 rakstzīmēm.

π = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Vai neatradāt? Tad paskaties.

Kopumā tas var būt ne tikai tālruņa numurs, bet jebkura informācija, kas kodēta, izmantojot numurus. Piemēram, ja mēs attēlojam visus Aleksandra Sergejeviča Puškina darbus digitālā formā, tad tie tika saglabāti ciparā Pi pat pirms viņš tos uzrakstīja, pat pirms viņa dzimšanas. Principā tās joprojām tur glabājas. Starp citu, matemātiķu lāsti iekšā π ir arī klāt, un ne tikai matemātiķi. Vārdu sakot, Pī ir viss, pat domas, kas apciemos tavu gaišo galvu rīt, parīt, pēc gada vai varbūt pēc diviem. Tam ir ļoti grūti noticēt, taču pat tad, ja izliksimies, ka tam ticam, būs vēl grūtāk iegūt informāciju no turienes un to atšifrēt. Tātad, tā vietā, lai iedziļināties šajos skaitļos, varētu būt vieglāk pieiet pie meitenes, kas jums patīk, un palūgt viņai numuru? .. Bet tiem, kas nemeklē vienkāršus ceļus, labi, vai vienkārši interesē, kas ir skaitlis Pi, Piedāvāju vairākus aprēķinu veidus. Paļaujieties uz veselību.

Kāda ir Pi vērtība? Tās aprēķināšanas metodes:

1. Eksperimentālā metode. Ja pi ir apļa apkārtmēra attiecība pret tā diametru, tad, iespējams, pirmais un acīmredzamākais veids, kā atrast mūsu noslēpumaino konstanti, būtu manuāli veikt visus mērījumus un aprēķināt pi, izmantojot formulu π=l/d. Kur l ir apļa apkārtmērs un d ir tā diametrs. Viss ir ļoti vienkārši, jums vienkārši jāapbruņojas ar vītni, lai noteiktu apkārtmēru, lineālu, lai atrastu diametru un, patiesībā, paša vītnes garumu, un kalkulatoru, ja rodas problēmas ar sadalīšanu kolonnā. . Katliņš vai gurķu burka var darboties kā izmērīts paraugs, tas nav svarīgi, galvenais? lai pamats būtu aplis.

Aplūkotā aprēķina metode ir visvienkāršākā, taču diemžēl tai ir divi būtiski trūkumi, kas ietekmē iegūtā Pi skaitļa precizitāti. Pirmkārt, mērinstrumentu kļūda (mūsu gadījumā tas ir lineāls ar vītni), otrkārt, nav garantijas, ka mūsu mērītajam aplim būs pareiza forma. Tāpēc nav pārsteidzoši, ka matemātika mums ir devusi daudzas citas metodes π aprēķināšanai, kur nav nepieciešams veikt precīzus mērījumus.

2. Leibnica sērija. Ir vairākas bezgalīgas sērijas, kas ļauj precīzi aprēķināt pi skaitu līdz lielam skaitam zīmju aiz komata. Viena no vienkāršākajām sērijām ir Leibnica sērija. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
Tas ir vienkārši: mēs ņemam daļskaitļus ar 4 skaitītājā (šis ir augšpusē) un vienu skaitli no nepāra skaitļu secības saucējā (tas ir apakšā), secīgi saskaitām un atņemam tos vienu ar otru un iegūstiet skaitli Pi. Jo vairāk mūsu vienkāršo darbību atkārtojumu vai atkārtojumu, jo precīzāks ir rezultāts. Vienkāršs, bet neefektīvs, starp citu, ir nepieciešami 500 000 iterāciju, lai iegūtu precīzu Pi vērtību līdz desmit zīmēm aiz komata. Tas ir, mums būs jādala nelaimīgais četrinieks pat 500 000 reižu, un papildus tam mums būs jāatņem un jāsaskaita iegūtie rezultāti 500 000 reižu. Vai vēlaties izmēģināt?

3. Sērija Nilakanta. Vai nākamajam nav laika knibināt ar Leibnicu? Ir alternatīva. Nilakanta sērija, lai arī ir nedaudz sarežģītāka, ļauj ātrāk tikt pie kārotā rezultāta. π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11) *12) - (4/(12*13*14)... Es domāju, ka, ja paskatās uz doto sērijas sākuma fragmentu, viss kļūst skaidrs, un komentāri ir lieki. Šajā jautājumā mēs ejam tālāk.

4. Montekarlo metode Diezgan interesanta pi aprēķināšanas metode ir Montekarlo metode. Tik ekstravagantu vārdu viņš ieguva par godu tāda paša nosaukuma pilsētai Monako valstībā. Un iemesls tam ir nejaušs. Nē, tas nav nosaukts nejauši, vienkārši metode ir balstīta uz nejaušiem skaitļiem, un kas var būt nejaušāks par skaitļiem, kas izkrīt Montekarlo kazino ruletēs? Pi aprēķins nav vienīgais šīs metodes pielietojums, jo piecdesmitajos gados to izmantoja ūdeņraža bumbas aprēķinos. Bet neatkāpsimies.

Ņemsim kvadrātu, kura mala ir vienāda ar 2r, un ierakstiet tajā apli ar rādiusu r. Tagad, ja jūs nejauši ievietojat punktus kvadrātā, tad varbūtība P tas, ka punkts iederas aplī, ir apļa un kvadrāta laukumu attiecība. P \u003d S cr / S q \u003d 2πr 2 / (2r) 2 \u003d π / 4.

Tagad no šejienes mēs izsakām skaitli Pi π=4P. Atliek tikai iegūt eksperimentālos datus un atrast varbūtību P kā trāpījumu attiecību aplī N kr trāpīt laukumā N kv.. Kopumā aprēķina formula izskatīsies šādi: π=4N cr/N kv.

Vēlos atzīmēt, ka šīs metodes ieviešanai nav nepieciešams doties uz kazino, pietiek ar jebkuru vairāk vai mazāk pieklājīgu programmēšanas valodu. Nu, rezultātu precizitāte būs atkarīga no uzstādīto punktu skaita, attiecīgi, jo vairāk, jo precīzāk. Novēlu veiksmi 😉

Tau numurs (secinājuma vietā).

Cilvēki, kas ir tālu no matemātikas, visticamāk, nezina, bet tā notika, ka skaitlim Pi ir brālis, kas ir divreiz lielāks par to. Šis skaitlis ir Tau(τ), un, ja Pi ir apkārtmēra attiecība pret diametru, tad Tau ir šī garuma attiecība pret rādiusu. Un šodien daži matemātiķi ierosina atteikties no skaitļa Pi un aizstāt to ar Tau, jo tas daudzējādā ziņā ir ērtāk. Bet pagaidām tie ir tikai priekšlikumi, un, kā teica Ļevs Davidovičs Landau: "Jauna teorija sāk dominēt, kad vecās piekritēji izmirst."