Paralēlogramma visas formulas un īpašības. Pētījuma projekts "Paralelogramma un tās īpašības"

Paralelograma jēdziens

1. definīcija

Paralēlogramma ir četrstūris, kura pretējās malas ir paralēlas viena otrai (1. att.).

1. attēls.

Paralelogramam ir divas galvenās īpašības. Apskatīsim tos bez pierādījumiem.

1. īpašums: Paralelograma pretējās malas un leņķi ir attiecīgi vienādi viens ar otru.

2. īpašums: Paralelogramā novilktās diagonāles sadala uz pusēm pēc to krustpunkta.

Paralelogrammas iezīmes

Apsveriet trīs paralelograma pazīmes un izklāstiet tās teorēmu veidā.

1. teorēma

Ja četrstūra divas malas ir vienādas viena ar otru un arī paralēlas, tad šis četrstūris būs paralelograms.

Pierādījums.

Dosim mums četrstūri $ABCD$. Kurā $AB||CD$ un $AB=CD$ Uzzīmēsim tajā diagonāli $AC$ (2. att.).

2. attēls.

Apsveriet paralēlās līnijas $AB$ un $CD$ un to sekantu $AC$. Tad

\[\angle CAB=\angle DCA\]

kā šķērsām stūri.

Saskaņā ar $I$ trijstūra vienādības kritēriju,

jo $AC$ ir to kopējā puse un $AB=CD$ pēc pieņēmuma. Līdzekļi

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Aplūkosim taisnes $AD$ un $CB$ un to sekantu $AC$; pēc pēdējās šķērssliežu leņķu vienādības iegūstam, ka $AD||CB$.) Tāpēc pēc $1$ definīcijas šis četrstūris ir paralelograms.

Teorēma ir pierādīta.

2. teorēma

Ja četrstūra pretējās malas ir vienādas, tad tas ir paralelograms.

Pierādījums.

Dosim mums četrstūri $ABCD$. Kurā $AD=BC$ un $AB=CD$. Uzzīmēsim tajā diagonāli $AC$ (3. att.).

3. attēls

Tā kā $AD=BC$, $AB=CD$ un $AC$ ir kopīga puse, tad ar $III$ trīsstūra vienādības testu,

\[\trijstūris DAC=\trijstūris ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Apsveriet līnijas $AD$ un $CB$ un to sekantu $AC$, pēc pēdējās šķērsenisko leņķu vienādības iegūstam $AD||CB$. Tāpēc pēc definīcijas $1$ šis četrstūris ir paralelograms.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Apsveriet līnijas $AB$ un $CD$ un to sekantu $AC$, ar pēdējo šķērsleņķu vienādību iegūstam $AB||CD$. Tāpēc saskaņā ar 1. definīciju šis četrstūris ir paralelograms.

Teorēma ir pierādīta.

3. teorēma

Ja četrstūrī ievilktās diagonāles pēc to krustpunkta sadala divās vienādās daļās, tad šis četrstūris ir paralelograms.

Pierādījums.

Dosim mums četrstūri $ABCD$. Uzzīmēsim tajā diagonāles $AC$ un $BD$. Ļaujiet tiem krustoties punktā $O$ (4. att.).

4. attēls

Tā kā saskaņā ar nosacījumu $BO=OD,\AO=OC$ un leņķi $\angle COB=\angle DOA$ ir vertikāli, tad, izmantojot $I$ trīsstūra vienādības testu,

\[\trijstūris BOC=\trijstūris AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Apsveriet līnijas $BC$ un $AD$ un to sekantu $BD$, pēc pēdējās šķērsvirziena leņķu vienādības iegūstam $BC||AD$. Arī $BC=AD$. Tāpēc saskaņā ar teorēmu $1$ šis četrstūris ir paralelograms.

1. Paralelograma definīcija.

Ja mēs krustojam paralēlu taisnes pāri ar citu paralēlu līniju pāri, mēs iegūstam četrstūri, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas.

Četrstūros ABDC un EFNM (224. att.) BD || AC un AB || CD;

EF || MN un EM || F.N.

Četrstūri, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas, sauc par paralelogramu.

2. Paralelograma īpašības.

Teorēma. Paralelograma diagonāle sadala to divās daļās vienāds trīsstūris.

Lai ir paralelograms ABDC (225. att.), kurā AB || CD un maiņstrāva || BD.

Ir jāpierāda, ka diagonāle to sadala divos vienādos trīsstūros.

Paralelogramā ABDC nozīmēsim diagonāli CB. Pierādīsim, ka $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

ZA mala ir kopīga šiem trijstūriem; ∠ABC = ∠BCD, kā iekšējie šķērseniski guļus leņķi ar paralēlu AB un CD un secantu CB; ∠ACB = ∠CBD, tāpat kā iekšējie šķērsvirziena leņķi ar paralēlu maiņstrāvu un BD un secīgo CB.

Tādējādi $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

Tādā pašā veidā var pierādīt, ka diagonāle AD sadala paralelogramu divos vienādos trīsstūros ACD un ABD.

Sekas:

1 . Paralelograma pretējie leņķi ir vienādi.

∠A = ∠D, tas izriet no trīsstūru CAB un CDB vienādības.

Līdzīgi ∠C = ∠B.

2. Paralelograma pretējās malas ir vienādas.

AB \u003d CD un AC \u003d BD, jo tās ir vienādu trīsstūru malas un atrodas pretī vienādiem leņķiem.

2. teorēma. Paralelograma diagonāles tiek dalītas uz pusēm to krustpunktā.

Pieņemsim, ka BC un AD ir paralelograma ABDC diagonāles (226. att.). Pierādīsim, ka AO = OD un CO = OB.

Lai to izdarītu, salīdzināsim dažus pretēju trīsstūru pārus, piemēram, $\Delta$AOB un $\Delta$COD.

Šajos trīsstūros AB = CD, kā paralelograma pretējās malas;

∠1 = ∠2, kā iekšējie leņķi šķērsām, kas atrodas paralēli AB un CD un nogriežas AD;

∠3 = ∠4 tā paša iemesla dēļ, jo AB || CD un CB ir to secants.

No tā izriet, ka $\Delta$AOB = $\Delta$COD. Un vienādos trīsstūros pretēji vienādi leņķi ir vienādas malas. Tāpēc AO = OD un CO = OB.

3. teorēma. Leņķu summa, kas atrodas blakus paralelograma vienai malai, ir vienāda ar 180°.

Paralelogrammā ABCD uzzīmējiet diagonāli AC un iegūstiet divus trijstūrus ABC un ADC.

Trijstūri ir kongruenti, jo ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (šķērsleņķi paralēlās līnijās), un mala AC ir kopīga.
Vienādība $\Delta$ABC = $\Delta$ADC nozīmē, ka AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Vienai malai blakus esošo leņķu summa, piemēram, leņķi A un D, ir vienāda ar 180° kā vienpusēja ar paralēlām līnijām.

Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas. Nākamajā attēlā parādīts paralelograms ABCD. Tam ir AB mala paralēla malai CD un mala BC paralēla malai AD.

Kā jūs, iespējams, uzminējāt, paralelograms ir izliekts četrstūris. Apsveriet paralelograma pamatīpašības.

Paralelogrammas īpašības

1. Paralelogramā pretējos stūros un pretējās puses ir vienādas. Pierādīsim šo īpašību - apskatīsim paralelogramu, kas parādīts nākamajā attēlā.

Diagonāle BD sadala to divos vienādos trīsstūros: ABD un CBD. Tie ir vienādi malās BD un divos tai blakus esošajos leņķos, jo leņķi, kas atrodas pie BD sekanta, ir attiecīgi paralēlas taisnes BC un AD un AB un CD. Tāpēc AB = CD un
BC = AD. Un no leņķu 1, 2, 3 un 4 vienādības izriet, ka leņķis A = leņķis1 + leņķis3 = leņķis2 + leņķis4 = leņķis C.

2. Paralelograma diagonāles sadala uz pusēm ar krustpunktu. Pieņemsim, ka punkts O ir paralelograma ABCD diagonāļu AC un BD krustpunkts.

Tad trijstūris AOB un trijstūris COD ir vienādi viens ar otru, gar malu un diviem tai blakus esošajiem leņķiem. (AB=CD, jo tās ir paralelograma pretējās malas. Un leņķis1 = leņķis2 un leņķis3 = leņķis4 kā krusteniski guļus leņķi taisnes AB un CD krustpunktā attiecīgi ar sekantiem AC un BD.) No tā izriet, ka AO = OC un OB = OD, kas un bija jāpierāda.

Visas galvenās īpašības ir attēlotas sekojošos trīs attēlos.

Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas. Ar šo definīciju jau pietiek, jo no tās izriet pārējās paralelograma īpašības un tiek pierādītas teorēmu veidā.

Paralelograma galvenās īpašības ir:

paralelograms ir izliekts četrstūris;
paralelograma pretējās malas ir vienādas pa pāriem;
paralelogramam ir pretēji leņķi, kas ir vienādi pa pāriem;
paralelograma diagonāles sadala uz pusēm ar krustpunktu.

Paralēlogramma - izliekts četrstūris

Vispirms pierādīsim teorēmu, ka paralelograms ir izliekts četrstūris. Daudzstūris ir izliekts, ja jebkura tā mala ir pagarināta līdz taisnai līnijai, visas pārējās daudzstūra malas atradīsies vienā šīs taisnes pusē.

Dots paralelograms ABCD, kurā AB ir pretēja mala CD, bet BC ir pretējā mala AD. Tad no paralelograma definīcijas izriet, ka AB || CD, BC || AD.

Paralēlajiem segmentiem nav kopīgu punktu, tie nekrustojas. Tas nozīmē, ka CD atrodas vienā AB pusē. Tā kā segments BC savieno segmenta AB punktu B ar segmenta CD punktu C un segments AD savieno citus punktus AB un CD, segmenti BC un AD arī atrodas tajā pašā līnijas AB pusē, kur atrodas CD. Tādējādi visas trīs puses - CD, BC, AD - atrodas vienā AB pusē.

Līdzīgi ir pierādīts, ka attiecībā pret paralelograma pārējām malām pārējās trīs malas atrodas tajā pašā pusē.

Pretējās malas un leņķi ir vienādi

Viena no paralelograma īpašībām ir tā paralelogrammā pretējās malas un pretējie leņķi ir vienādi. Piemēram, ja ir dots paralelograms ABCD, tad tam ir AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Šī teorēma ir pierādīta šādi.

Paralelograms ir četrstūris. Tātad tam ir divas diagonāles. Tā kā paralelograms ir izliekts četrstūris, jebkurš no tiem sadala to divos trīsstūros. Aplūkosim trijstūrus ABC un ADC paralelogramā ABCD, kas iegūts, novelkot diagonāli AC.

Šiem trijstūriem ir viena kopīga mala – maiņstrāva. Leņķis BCA ir vienāds ar leņķi CAD, tāpat kā vertikāles ar paralēlām BC un AD. Leņķi BAC un ACD arī ir vienādi, tāpat kā vertikālie leņķi, kad AB un CD ir paralēli. Tāpēc ∆ABC = ∆ADC pa diviem leņķiem un sānu starp tiem.

Šajos trīsstūros mala AB atbilst malai CD, un mala BC atbilst AD. Tāpēc AB = CD un BC = AD.

Leņķis B atbilst leņķim D, t.i., ∠B = ∠D. Paralelograma leņķis A ir divu leņķu summa - ∠BAC un ∠CAD. Leņķis C ir vienāds ar ∠BCA un ∠ACD. Tā kā leņķu pāri ir vienādi viens ar otru, tad ∠A = ∠C.

Tādējādi ir pierādīts, ka paralelogramā pretējās malas un leņķi ir vienādi.

Diagonāles pārgrieztas uz pusēm

Tā kā paralelograms ir izliekts četrstūris, tam ir divas divas diagonāles, un tās krustojas. Dots paralelograms ABCD, kura diagonāles AC un BD krustojas punktā E. Aplūkosim to veidotos trijstūrus ABE un CDE.

Šiem trijstūriem malas AB un CD ir vienādas ar paralelograma pretējām malām. Leņķis ABE ir vienāds ar leņķi CDE, jo tie atrodas pāri paralēlām līnijām AB un CD. Tā paša iemesla dēļ ∠BAE = ∠DCE. Tādējādi ∆ABE = ∆CDE pār diviem leņķiem un malu starp tiem.

Varat arī pamanīt, ka leņķi AEB un CED ir vertikāli un tāpēc arī ir vienādi viens ar otru.

Tā kā trijstūri ABE un CDE ir vienādi, tad arī visi tiem atbilstošie elementi ir vienādi. Pirmā trīsstūra mala AE atbilst otrā trijstūra malai CE, tātad AE = CE. Līdzīgi, BE = DE. Katrs vienādu segmentu pāris veido paralelograma diagonāli. Tādējādi tiek pierādīts, ka paralelograma diagonāles sadala uz pusēm ar krustpunktu.

Šodienas nodarbībā mēs atkārtosim paralelograma galvenās īpašības, un pēc tam pievērsīsim uzmanību pirmo divu paralelograma pazīmju izskatīšanai un pierādīsim tās. Pierādīšanas gaitā atgādināsim par trijstūra vienādības zīmju pielietojumu, ko pētījām pagājušajā gadā un atkārtojām pirmajā nodarbībā. Beigās tiks sniegts piemērs par paralelograma pētīto pazīmju pielietojumu.

Tēma: Četrstūri

Nodarbība: Paralelograma zīmes

Sāksim, atgādinot paralelograma definīciju.

Definīcija. Paralēlogramma- četrstūris, kurā katras divas pretējās malas ir paralēlas (sk. 1. att.).

Rīsi. 1. Paralelogramma

Atcerēsimies paralelograma pamatīpašības:

Lai varētu izmantot visas šīs īpašības, ir jāpārliecinās, ka skaitlis par kuru jautājumā, ir paralelograms. Lai to izdarītu, jums jāzina tādi fakti kā paralelograma zīmes. Šodien mēs izskatīsim pirmos divus no tiem.

Teorēma. Pirmā paralelograma pazīme. Ja četrstūrī divas pretējās malas ir vienādas un paralēlas, tad šis četrstūris ir paralelograms. .

Rīsi. 2. Paralelograma pirmā zīme

Pierādījums. Iezīmēsim četrstūrī diagonāli (skat. 2. att.), viņa to sadalīja divos trīsstūros. Pierakstīsim, ko zinām par šiem trijstūriem:

saskaņā ar pirmo trīsstūru vienādības zīmi.

No šo trīsstūru vienādības izriet, ka, pamatojoties uz līniju paralēlismu to sekanta krustpunktā. Mums ir tas:

Pierādīts.

Teorēma. Otrā paralelograma zīme. Ja četrstūrī katras divas pretējās malas ir vienādas, tad šis četrstūris ir paralelograms. .

Rīsi. 3. Paralelograma otrā zīme

Pierādījums. Ievelkam četrstūrī diagonāli (skat. 3. att.), tā sadala to divos trīsstūros. Uzrakstīsim, ko zinām par šiem trijstūriem, pamatojoties uz teorēmas formulējumu:

saskaņā ar trešo trīsstūru vienādības kritēriju.