Atvērtās iekavas ir skaitlis. Paplašināmie iekavas — zināšanu hipermārkets
Iekavas izmanto, lai norādītu secību, kādā tiek veiktas darbības ciparu un alfabēta izteiksmēs, kā arī izteiksmēs ar mainīgajiem. Ir ērti pāriet no izteiksmes ar iekavām uz identiski vienlīdzīga izteiksme bez iekavām. Šo paņēmienu sauc par iekavu atvēršanu.
Izvērst iekavas nozīmē atbrīvoties no šo iekavu izteiksmes.
Īpašu uzmanību ir pelnījis vēl viens punkts, kas attiecas uz rakstīšanas risinājumu īpatnībām, atverot iekavas. Sākotnējo izteiksmi varam uzrakstīt ar iekavām un rezultātu, kas iegūts pēc iekavu atvēršanas, kā vienlīdzību. Piemēram, pēc iekavu atvēršanas izteiksmes vietā
3−(5−7) iegūstam izteiksmi 3−5+7. Abas šīs izteiksmes varam uzrakstīt kā vienādību 3−(5−7)=3−5+7.
Un vēl vienu svarīgs punkts. Matemātikā, lai samazinātu ierakstus, ir pieņemts nerakstīt plus zīmi, ja tā ir pirmā izteiksmē vai iekavās. Piemēram, ja saskaitām divus pozitīvus skaitļus, piemēram, septiņi un trīs, tad rakstām nevis +7 + 3, bet vienkārši 7 + 3, neskatoties uz to, ka arī septiņi ir pozitīvs skaitlis. Tāpat, ja redzat, piemēram, izteiksmi (5 + x) - ziniet, ka iekavas priekšā ir plus, kas nav rakstīts, un ir plus + (+5 + x) priekšā. pieci.
Kronšteina paplašināšanas noteikums pievienošanai
Atverot iekavas, ja pirms iekavām ir pluss, tad šis pluss tiek izlaists kopā ar iekavām.
Piemērs. Atveriet iekavas izteiksmē 2 + (7 + 3) Pirms iekavām plus, tad rakstzīmes iekavās esošo skaitļu priekšā nemainās.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Noteikums iekavu paplašināšanai atņemot
Ja pirms iekavām ir mīnuss, tad šis mīnuss tiek izlaists kopā ar iekavām, bet termini, kas bija iekavās, maina savu zīmi uz pretējo. Zīmes neesamība pirms pirmā vārda iekavās nozīmē + zīmi.
Piemērs. Atvērt iekavas izteiksmē 2 − (7 + 3)
Pirms iekavām ir mīnuss, tāpēc ir jāmaina zīmes pirms cipariem no iekavām. Pirms skaitļa 7 nav iekavās zīme, kas nozīmē, ka septiņi ir pozitīvi, tiek uzskatīts, ka + zīme ir tā priekšā.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Atverot iekavas, mēs noņemam mīnusu no piemēra, kas bija pirms iekavām, un pašas iekavas 2 − (+ 7 + 3), un nomainām zīmes, kas bija iekavās, pret pretējām.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Reizinot izvērš iekavas
Ja iekavu priekšā ir reizināšanas zīme, tad katrs skaitlis iekavās tiek reizināts ar koeficientu, kas atrodas iekavās. Tajā pašā laikā, reizinot mīnusu ar mīnusu, tiek iegūts plus, un, reizinot mīnusu ar plusu, tāpat kā reizinot plusu ar mīnusu, tiek iegūts mīnuss.
Tādējādi reizinājumu iekavas tiek paplašinātas atbilstoši reizināšanas sadales īpašībai.
Piemērs. 2 (9–7) = 2 9–2 7
Reizinot iekavas ar iekavām, katrs pirmās iekavas vārds tiek reizināts ar katru otrās iekavas vārdu.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Patiesībā nav jāatceras visi noteikumi, pietiek atcerēties tikai vienu, šo: c(a−b)=ca−cb. Kāpēc? Jo, ja c vietā aizstājam vienu, mēs iegūstam noteikumu (a−b)=a−b. Un, ja mēs aizvietojam mīnus viens, mēs iegūstam noteikumu −(a−b)=−a+b. Nu, ja jūs aizstājat citu iekavu c vietā, varat iegūt pēdējo noteikumu.
Dalot, izvērsiet iekavas
Ja aiz iekavām ir dalījuma zīme, tad katrs skaitlis iekavās ir dalāms ar dalītāju aiz iekavām un otrādi.
Piemērs. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Kā izvērst ligzdotas iekavas
Ja izteiksmē ir ligzdotas iekavas, tās tiek izvērstas secībā, sākot ar ārējo vai iekšējo.
Tajā pašā laikā, atverot vienu no iekavām, ir svarīgi nepieskarties pārējām iekavām, vienkārši pārrakstot tās tādas, kādas tās ir.
Piemērs. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
veidot spēju atvērt iekavas, ņemot vērā zīmi iekavām priekšā;
Nodarbību laikā
I. Organizatoriskais moments.
Pārbaudiet to, draugs
Vai esat gatavs nodarbībai?
Vai viss ir vietā? Viss ir labi?
Pildspalva, grāmata un piezīmju grāmatiņa.
Vai visi sēž pareizi?
Vai visi uzmanīgi skatās?
Es vēlos sākt nodarbību ar jautājumu jums:
Kas, tavuprāt, ir visvērtīgākā lieta uz zemes? (Bērnu atbildes.)
Šis jautājums cilvēci ir nomocījis tūkstošiem gadu. Lūk, atbildi sniedz slavenais zinātnieks Al-Biruni: “Zināšanas ir izcilākā manta. Visi uz to tiecas, bet tas nenāk pats no sevis.”
Lai šie vārdi ir mūsu nodarbības moto.
II. Iepriekšējo zināšanu, prasmju, prasmju aktualizēšana:
Verbālā skaitīšana:
1.1. Kāds ir šodienas datums?
2. Ko jūs zināt par skaitli 20?
3. Un kur atrodas šis skaitlis uz koordinātu līnijas?
4. Nosauciet viņa reversa numuru.
5. Nosauciet pretējo numuru.
6. Kā sauc skaitli - 20?
7. Kādus skaitļus sauc par pretstati?
8. Kādus skaitļus sauc par negatīviem?
9. Kāds ir skaitļa 20 modulis? - 20?
10. Kāda ir pretējo skaitļu summa?
2. Izskaidrojiet šādus ierakstus:
a) Senais ģeniālā Arhimēda matemātiķis dzimis 287. gadā pirms mūsu ēras.
b) 1792. gadā dzimis izcilais krievu matemātiķis N.I.Lobačevskis.
pirmo reizi Olimpiskās spēles notika Grieķijā 776. gadā.
d) Pirmās starptautiskās olimpiskās spēles notika 1896. gadā.
e) XXII ziemas olimpiskās spēles notika 2014. gadā.
3. Noskaidro, kādi skaitļi griežas “matemātikas karuselī” (visas darbības tiek veiktas mutiski).
II. Jaunu zināšanu, prasmju un iemaņu veidošana.
Jūs esat iemācījušies veikt dažādas darbības ar veseliem skaitļiem. Ko mēs darīsim tālāk? Kā mēs atrisināsim piemērus un vienādojumus?
Noskaidrosim šo izteicienu nozīmi
7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0
Kāda ir procedūra 1 piemērā? Cik ir iekavās? Darbību secība otrajā piemērā? Pirmās darbības rezultāts? Ko var teikt par šiem izteicieniem?
Protams, pirmās un otrās izteiksmes rezultāti ir vienādi, tāpēc starp tām varat ievietot vienādības zīmi: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4
Ko mēs esam izdarījuši ar iekavām? (Pazaudēts.)
Kā jūs domājat, ko mēs šodien darīsim stundā? (Bērni formulē nodarbības tēmu.) Mūsu piemērā kāda zīme ir iekavās priekšā. (Plus.)
Un tā mēs nonākam pie nākamā noteikuma:
Ja pirms iekavām ir + zīme, tad iekavas un šo + zīmi var izlaist, saglabājot iekavās esošo terminu zīmes. Ja pirmais termins iekavās ir rakstīts bez zīmes, tad tas jāraksta ar + zīmi.
Bet ko darīt, ja iekavās priekšā ir mīnusa zīme?
Šajā gadījumā jums ir jādomā tāpat kā atņemot: jums jāpievieno skaitlis, kas ir pretējs atņemtajam:
7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14
- Tātad, mēs atvērām iekavas, kad to priekšā bija mīnusa zīme.
Noteikums iekavu paplašināšanai, ja iekavu priekšā ir zīme “-”.
Lai atvērtu iekavas, pirms kurām ir zīme -, šī zīme jāaizstāj ar +, mainot visu iekavās esošo terminu zīmes uz pretējām, un pēc tam atveriet iekavas.
Ieklausīsimies iekavu atvēršanas noteikumos pantos:
Iekavās priekšā ir pluss.
Viņš par to runā
Ko jūs nometat iekavās
Izlaidiet visas zīmes!
Pirms iekavas mīnus stingra
Nobloķēs mums ceļu
Lai noņemtu iekavas
Jāmaina zīmes!
Jā, puiši, mīnusa zīme ir ļoti mānīga, tas ir "sargs" pie vārtiem (iekavās), tas izlaiž skaitļus un mainīgos tikai tad, kad viņi maina "pases", tas ir, zīmes.
Kāpēc vispār jāatver iekavas? (Kad ir iekavas, rodas kāds nepabeigtības elements, kaut kāds noslēpums. Tas ir kā aizvērtas durvis, aiz kura slēpjas kaut kas interesants.) Šodien esam uzzinājuši šo noslēpumu.
Neliela atkāpe vēsturē:
Vietas (1593) rakstos parādās cirtaini iekavas. Iekavas tika plaši izmantotas tikai 18. gadsimta pirmajā pusē, pateicoties Leibnicam un vēl jo vairāk Eileram.
Fizkultminutka.
III. Jaunu zināšanu, prasmju un iemaņu nostiprināšana.
Mācību grāmatas darbs:
Nr.1234 (atvērtās iekavās) - mutiski.
Nr.1236 (atvērtās iekavās) - mutiski.
Nr.1235 (atrast izteiciena nozīmi) - rakstiski.
Nr.1238 (vienkāršo izteicienus) - darbs pa pāriem.
IV. Apkopojot stundu.
1. Tiek paziņoti rezultāti.
2. Māja. vingrinājums. 39 Nr.1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.
3. Ko mēs šodien esam iemācījušies?
Ko tu esi iemācījies?
Un nodarbību es vēlos noslēgt ar novēlējumiem katram no jums:
“Parādiet matemātikas spēju,
Neesiet slinki, bet attīstieties katru dienu.
Reiziniet, daliet, strādājiet, domājiet,
Neaizmirstiet draudzēties ar matemātiku.
Iekavu galvenā funkcija ir mainīt darbību secību, aprēķinot vērtības. piemēram, skaitliskā izteiksmē \(5 3+7\) vispirms tiks aprēķināts reizinājums un pēc tam saskaitīšana: \(5 3+7 =15+7=22\). Bet izteiksmē \(5·(3+7)\) vispirms tiks aprēķināta saskaitīšana iekavās un tikai tad reizināšana: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Piemērs.
Izvērsiet kronšteinu: \(-(4m+3)\).
Lēmums
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Piemērs.
Izvērsiet iekavu un ievadiet līdzīgus vārdus \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Lēmums
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Piemērs.
Izvērsiet iekavas \(5(3-x)\).
Lēmums
: mums ir \(3\) un \(-x\) iekavās un pieci iekavas priekšā. Tas nozīmē, ka katrs iekavas elements tiek reizināts ar \ (5 \) — es atgādinu, ka reizināšanas zīme starp skaitli un iekavu matemātikā nav rakstīta, lai samazinātu ierakstu lielumu.
Piemērs.
Izvērsiet iekavas \(-2(-3x+5)\).
Lēmums
: tāpat kā iepriekšējā piemērā, \(-3x\) un \(5\) tiek reizināti ar \(-2\).
Piemērs.
Vienkāršojiet izteiksmi: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Lēmums
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Atliek apsvērt pēdējo situāciju.
Reizinot iekavas ar iekavām, katrs pirmās iekavas vārds tiek reizināts ar katru otrās iekavas vārdu:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Piemērs.
Izvērsiet iekavas \((2-x)(3x-1)\).
Lēmums
: Mums ir produkts no iekavām, un to var nekavējoties atvērt, izmantojot iepriekš minēto formulu. Bet, lai neapjuktu, darīsim visu soli pa solim.
1. darbība. Noņemiet pirmo kronšteinu — katrs no tā elementiem tiek reizināts ar otro kronšteinu:
2. darbība. Izvērsiet kronšteina produktus ar koeficientu, kā aprakstīts iepriekš:
- pirmais pirmais...
Tad otrais.
3. darbība. Tagad mēs reizinām un iegūstam līdzīgus terminus:
Nav nepieciešams detalizēti krāsot visas pārvērtības, jūs varat uzreiz pavairot. Bet, ja jūs tikai mācāties atvērt iekavas - rakstiet detalizēti, būs mazāka iespēja kļūdīties.
Piezīme visai sadaļai. Patiesībā jums nav jāatceras visi četri noteikumi, jums ir jāatceras tikai viens, šis: \(c(a-b)=ca-cb\) . Kāpēc? Jo, ja c vietā aizstājam vienu, mēs iegūstam noteikumu \((a-b)=a-b\) . Un, ja mēs aizstājam mīnus viens, mēs iegūstam noteikumu \(-(a-b)=-a+b\) . Nu, ja jūs aizstājat citu iekavu c vietā, varat iegūt pēdējo noteikumu.
iekava iekavās
Dažreiz praksē rodas problēmas ar iekavām, kas ligzdotas citās iekavās. Šeit ir šāda uzdevuma piemērs: vienkāršot izteiksmi \(7x+2(5-(3x+y))\).
Lai veiksmīgi izpildītu šos uzdevumus, jums ir nepieciešams:
- rūpīgi jāsaprot iekavu ligzdošana - kura kurā atrodas;
- secīgi atveriet kronšteinus, sākot, piemēram, ar visdziļāko.
Tas ir svarīgi, atverot kādu no kronšteiniem nepieskarieties pārējai izteiksmei, vienkārši pārrakstot to kā ir.
Kā piemēru ņemsim iepriekš minēto uzdevumu.
Piemērs.
Atveriet iekavas un ievadiet līdzīgus vārdus \(7x+2(5-(3x+y))\).
Lēmums:
Piemērs.
Izvērsiet iekavas un ievadiet līdzīgus vārdus \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Lēmums
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Šis ir trīskāršs iekavu ligzdojums. Mēs sākam ar visdziļāko (izcelts zaļā krāsā). Iekavas priekšā ir pluss, tāpēc to vienkārši noņem. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Tagad jums ir jāatver otrā kronšteina, starpposma. Bet pirms tam mēs vienkāršosim izteiksmi, šajā otrajā iekavā ievietojot līdzīgus terminus. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Tagad mēs atveram otro iekava (izcelta zilā krāsā). Iekavas priekšā ir reizinātājs – tātad katrs iekavās esošais termins tiek reizināts ar to. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Un atver pēdējās iekavas. Pirms iekavas mīnuss - tātad visas zīmes ir apgrieztas. |
||
Iekavu atvēršana ir matemātikas pamatprasme. Bez šīs prasmes 8. un 9. klasē nav iespējams iegūt atzīmi virs trīs. Tāpēc iesaku labi izprast šo tēmu.
Šajā rakstā mēs sīki apsvērsim pamatnoteikumus tik svarīgai matemātikas kursa tēmai kā iekavās. Lai pareizi atrisinātu vienādojumus, kuros tie tiek izmantoti, jums jāzina iekavu atvēršanas noteikumi.
Kā pareizi atvērt iekavas pievienojot
Izvērsiet iekavas, pirms kurām ir "+" zīme
Šis ir vienkāršākais gadījums, jo, ja iekavām priekšā ir pievienošanas zīme, tad, atverot kronšteinus, zīmes tajās nemainās. Piemērs:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Kā atvērt iekavas, pirms kurām ir zīme "-".
Šajā gadījumā jums ir jāpārraksta visi termini bez iekavām, bet tajā pašā laikā jāmaina visas to iekšpusē esošās zīmes uz pretējām. Zīmes mainās tikai tiem terminiem no tām iekavām, kurām priekšā ir “-” zīme. Piemērs:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Kā reizināšanas laikā atvērt iekavas
Pirms iekavām ir reizinātājs
Šajā gadījumā jums ir jāreizina katrs termins ar koeficientu un jāatver iekavas, nemainot zīmes. Ja reizinātājam ir zīme "-", tad, reizinot, terminu zīmes tiek apgrieztas. Piemērs:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Kā atvērt divas iekavas ar reizināšanas zīmi starp tām
Šajā gadījumā jums ir jāreizina katrs vārds no pirmajām iekavām ar katru vārdu no otrajām iekavām un pēc tam jāpievieno rezultāti. Piemērs:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Kā atvērt iekavas kvadrātā
Ja divu vārdu summa vai starpība ir kvadrātā, iekavas jāpaplašina saskaņā ar šādu formulu:
(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.
Ja iekavās ir mīnuss, formula nemainās. Piemērs:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Kā atvērt iekavas citā pakāpē
Ja terminu summa vai starpība tiek palielināta, piemēram, līdz 3. vai 4. pakāpei, tad jums vienkārši ir jāsadala iekavas pakāpe “kvadrātos”. To pašu faktoru pakāpes tiek saskaitītas, un, dalot, no dividendes pakāpes tiek atņemta dalītāja pakāpe. Piemērs:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Kā atvērt 3 iekavas
Ir vienādojumi, kuros uzreiz tiek reizinātas 3 iekavas. Šajā gadījumā vispirms ir jāreizina pirmo divu iekavu vārdi savā starpā un pēc tam jāreizina šī reizinājuma summa ar trešās iekavas vārdiem. Piemērs:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Šie iekavu atvēršanas noteikumi vienlīdz attiecas gan uz lineārajiem, gan trigonometriskajiem vienādojumiem.
Iekavu paplašināšana ir izteiksmes transformācijas veids. Šajā sadaļā mēs aprakstīsim iekavu paplašināšanas noteikumus, kā arī apsvērsim visbiežāk sastopamos problēmu piemērus.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kas ir iekavu paplašināšana?
Iekavas izmanto, lai norādītu secību, kādā tiek veiktas darbības ciparu un alfabēta izteiksmēs, kā arī izteiksmēs ar mainīgajiem. Ir ērti pāriet no izteiksmes ar iekavām uz identiski vienādu izteiksmi bez iekavām. Piemēram, aizstājiet izteiksmi 2 (3 + 4) ar tādu izteiksmi kā 2 3 + 2 4 bez iekavām. Šo paņēmienu sauc par iekavu atvēršanu.
1. definīcija
Zem iekavu atvēruma mēs domājam metodes, kā atbrīvoties no iekavām, un parasti tiek aplūkotas saistībā ar izteicieniem, kas var saturēt:
- zīmes "+" vai "-" iekavās, kas satur summas vai starpības;
- skaitļa, burta vai vairāku burtu reizinājums un summa vai starpība, kas tiek ievietota iekavās.
Tādā veidā mēs kursā aplūkojām iekavu paplašināšanas procesu skolas mācību programma. Taču neviens neliedz uz šo akciju raudzīties plašāk. Par iekavu paplašināšanu varam saukt pāreju no izteiksmes, kurā iekavās ir negatīvi skaitļi, uz izteiksmi, kurai nav iekavas. Piemēram, mēs varam pāriet no 5 + (− 3) − (− 7) līdz 5 − 3 + 7 . Faktiski tas ir arī iekavu izvēršana.
Tādā pašā veidā mēs varam aizstāt izteiksmju reizinājumu formas (a + b) · (c + d) iekavās ar summu a · c + a · d + b · c + b · d . Šis paņēmiens arī nav pretrunā ar iekavu paplašināšanas nozīmi.
Šeit ir vēl viens piemērs. Var pieņemt, ka izteiksmēs skaitļu un mainīgo vietā var izmantot jebkuras izteiksmes. Piemēram, izteiksme x 2 1 a - x + sin (b) atbildīs izteiksmei bez iekavām formā x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .
Īpašu uzmanību ir pelnījis vēl viens punkts, kas attiecas uz rakstīšanas risinājumu īpatnībām, atverot iekavas. Sākotnējo izteiksmi varam uzrakstīt ar iekavām un rezultātu, kas iegūts pēc iekavu atvēršanas, kā vienlīdzību. Piemēram, pēc iekavu atvēršanas izteiksmes vietā 3 − (5 − 7) mēs iegūstam izteiksmi 3 − 5 + 7 . Abas šīs izteiksmes varam uzrakstīt kā vienādību 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .
Lai veiktu darbības ar apgrūtinošiem izteicieniem, var būt nepieciešams reģistrēt starprezultātus. Tad risinājumam būs vienādību ķēdes forma. Piemēram, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 vai 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Iekavās atvēršanas noteikumi, piemēri
Sāksim ar iekavu atvēršanas noteikumiem.
Atsevišķi cipari iekavās
Negatīvie skaitļi iekavās bieži parādās izteiksmēs. Piemēram, (− 4) un 3 + (− 4) . Notiek arī pozitīvie skaitļi iekavās.
Formulēsim noteikumu, kā atvērt iekavas, kurās ir atsevišķi pozitīvi skaitļi. Pieņemsim, ka a ir jebkurš pozitīvs skaitlis. Tad mēs varam aizstāt (a) ar a, + (a) ar + a, - (a) ar - a. Ja a vietā mēs ņemam konkrētu skaitli, tad saskaņā ar noteikumu: skaitlis (5) tiks rakstīts kā 5 , izteiksmei 3 + (5) bez iekavām būs forma 3 + 5 , jo + (5) tiek aizstāts ar + 5 , un izteiksme 3 + (− 5) ir ekvivalenta izteiksmei 3 − 5 , kā + (− 5) tiek aizstāts ar − 5 .
Pozitīvos skaitļus parasti raksta, neizmantojot iekavas, jo šajā gadījumā iekavas ir liekas.
Tagad apsveriet noteikumu, kā atvērt iekavas, kurās ir viens negatīvs skaitlis. + (-a) mēs aizstājam ar − a, − (− a) aizstāj ar + a . Ja izteiksme sākas ar negatīvu skaitli (-a), kas ir rakstīts iekavās, tad iekavas tiek izlaistas un vietā (-a) paliek − a.
Šeit ir daži piemēri: (− 5) var uzrakstīt kā − 5 , (− 3) + 0 , 5 kļūst par − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) kļūst 4 − 3 , un − (− 4) − (− 3) pēc iekavu atvēršanas iegūst formu 4 + 3 , jo − (− 4) un − (− 3) aizstāj ar + 4 un + 3 .
Jāsaprot, ka izteiksmi 3 · (− 5) nevar uzrakstīt kā 3 · − 5. Tas tiks apspriests turpmākajos punktos.
Apskatīsim, uz ko balstās iekavu paplašināšanas noteikumi.
Saskaņā ar likumu starpība a − b ir vienāda ar a + (− b) . Pamatojoties uz darbību ar skaitļiem īpašībām, mēs varam izveidot vienādību ķēdi (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a kas būs godīgi. Šī vienādību ķēde, pamatojoties uz atņemšanas nozīmi, pierāda, ka izteiksme a + (− b) ir atšķirība a-b.
Pamatojoties uz pretējo skaitļu īpašībām un negatīvo skaitļu atņemšanas noteikumiem, varam apgalvot, ka − (− a) = a , a − (− b) = a + b .
Ir izteicieni, kas sastāv no skaitļa, mīnusa zīmēm un vairākiem iekavu pāriem. Iepriekš minēto noteikumu izmantošana ļauj secīgi atbrīvoties no iekavām, pārejot no iekšējām iekavām uz ārējām vai otrādi. Šādas izteiksmes piemērs varētu būt − (− ((− (5)))) . Atvērsim kronšteinus, virzoties no iekšpuses uz ārpusi: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Šo piemēru var parsēt arī apgriezti: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Zem a un b var saprast ne tikai kā skaitļus, bet arī kā patvaļīgu skaitlisku vai burtiski izteicieni ar "+" priekšā, kas nav summas vai atšķirības. Visos šajos gadījumos varat piemērot noteikumus tādā pašā veidā, kā mēs to darījām ar atsevišķiem skaitļiem iekavās.
Piemēram, pēc iekavu atvēršanas izteiksme − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) iegūst formu 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Kā mums tas izdevās? Mēs zinām, ka − (− 2 x) ir + 2 x , un, tā kā šī izteiksme ir pirmā, tad + 2 x var uzrakstīt kā 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x un − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
Divu skaitļu reizēs
Sāksim ar noteikumu par iekavu paplašināšanu divu skaitļu reizinājumā.
Izliksimies tā a un b ir divi pozitīvi skaitļi. Šajā gadījumā divu negatīvu skaitļu reizinājums − a un − b formas (− a) (− b) var aizstāt ar (a b) , un divu skaitļu reizinājumus ar pretējām formas (− a) b un a (− b) zīmēm var aizstāt ar (- a b). Mīnusu reizinot ar mīnusu, tiek iegūts pluss, un mīnusu reizinot ar plusu, tāpat kā plusu ar mīnusu, tiek iegūts mīnuss.
Rakstītā noteikuma pirmās daļas pareizību apstiprina negatīvo skaitļu reizināšanas noteikums. Lai apstiprinātu likuma otro daļu, mēs varam izmantot noteikumus skaitļu reizināšanai ar dažādas zīmes.
Apskatīsim dažus piemērus.
1. piemērs
Apsveriet iekavu atvēršanas algoritmu divu negatīvu skaitļu reizinājumā - 4 3 5 un - 2 formā (- 2) · - 4 3 5 . Lai to izdarītu, mēs aizstājam sākotnējo izteiksmi ar 2 · 4 3 5 . Izvērsīsim iekavas un iegūsim 2 · 4 3 5 .
Un, ja ņemam negatīvo skaitļu (− 4) koeficientu : (− 2) , tad ieraksts pēc iekavu atvēršanas izskatīsies kā 4: 2
Negatīvu skaitļu vietā − a un − b var būt jebkuras izteiksmes ar mīnusa zīmi, kas nav summas vai atšķirības. Piemēram, tie var būt reizinājumi, daļskaitļi, daļskaitļi, grādi, saknes, logaritmi, trigonometriskās funkcijas utt.
Atvērsim iekavas izteiksmē - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Saskaņā ar likumu varam veikt šādas transformācijas: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .
Izteiksme (– 3) 2 var pārvērst izteiksmē (− 3 2) . Pēc tam varat atvērt iekavas: – 32.
2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5
Dalot skaitļus ar dažādām zīmēm, var būt nepieciešama arī iekavu iepriekšēja paplašināšana: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 un 2 3 4: (- 3 , 5 ) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .
Noteikumu var izmantot, lai veiktu izteiksmju reizināšanu un dalīšanu ar dažādām zīmēm. Sniegsim divus piemērus.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
grēks (x) (- x 2) \u003d (- grēks (x) x 2) \u003d - grēks (x) x 2
Trīs vai vairāku skaitļu produktos
Pāriesim pie produkta un koeficientiem, kas satur liels daudzums cipariem. Lai paplašinātu iekavas, darbosies šeit nākamais noteikums. Plkst pāra skaitlis negatīvus skaitļus, varat izlaist iekavas, aizstājot skaitļus ar to pretstati. Pēc tam iegūtā izteiksme jāiekļauj jaunās iekavās. Nepāra negatīvu skaitļu skaitam, izlaižot iekavas, aizstājiet skaitļus ar to pretstati. Pēc tam iegūtā izteiksme ir jāuzņem jaunās iekavās un jāievieto mīnusa zīme priekšā.
2. piemērs
Piemēram, ņemsim izteiksmi 5 · (− 3) · (− 2) , kas ir trīs skaitļu reizinājums. Ir divi negatīvi skaitļi, tāpēc izteiksmi varam rakstīt kā (5 3 2) un beidzot atveriet iekavas, iegūstot izteiksmi 5 3 2 .
Produktā (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) pieci skaitļi ir negatīvi. tātad (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1, 25: 1) . Visbeidzot, atverot iekavas, mēs saņemam −2,5 3:2 4:1,25:1.
Iepriekš minēto noteikumu var attaisnot šādi. Pirmkārt, mēs varam pārrakstīt šādas izteiksmes kā reizinājumu, aizstājot dalīšanu ar reizināšanu ar apgriezto vērtību. Mēs attēlojam katru negatīvo skaitli kā reizinātāja reizinājumu un aizstājam - 1 vai - 1 ar (- 1) a.
Izmantojot reizināšanas komutatīvo īpašību, mēs apmainām koeficientus un pārnesam visus koeficientus vienādi ar − 1 , līdz izteiksmes sākumam. Pāra skaitļa reizinājums mīnus vieninieki ir vienāds ar 1, un nepāra skaitlis ir vienāds ar − 1 , kas ļauj izmantot mīnusa zīmi.
Ja mēs neizmantotu noteikumu, tad darbību ķēde iekavu atvēršanai izteiksmē - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 izskatītos šādi:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Iepriekš minēto noteikumu var izmantot, paplašinot iekavas izteiksmēs, kas ir produkti un koeficienti ar mīnusa zīmi, kas nav summas vai atšķirības. Ņemiet, piemēram, izteicienu
x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .
To var reducēt līdz izteiksmei bez iekavām x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .
Atvēršanas iekavas, pirms kurām ir + zīme
Apsveriet noteikumu, ko var izmantot, lai izvērstu iekavas, pirms kurām ir pluszīme, un šo iekavu "saturs" netiek reizināts vai dalīts ar skaitļiem vai izteiksmēm.
Saskaņā ar noteikumu iekavās kopā ar zīmi priekšā tiek izlaistas, bet visu terminu zīmes iekavās tiek saglabātas. Ja iekavās pirmā vārda priekšā nav zīmes, tad jāliek plus zīme.
3. piemērs
Piemēram, mēs sniedzam izteiksmi (12 − 3 , 5) − 7 . Izlaižot iekavas, terminu zīmes paturam iekavās un pirmajam terminam liekam plus zīmi. Ieraksts izskatīsies šādi (12 - 3 , 5) - 7 = + 12 - 3 , 5 - 7 . Iepriekš minētajā piemērā zīme nav jāliek pirms pirmā vārda, jo + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.
4. piemērs
Apskatīsim vēl vienu piemēru. Paņemiet izteiksmi x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x un veiciet ar to darbības x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Šeit ir vēl viens iekavu paplašināšanas piemērs:
5. piemērs
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2
Kā izvērst iekavas, pirms kurām ir mīnusa zīme
Apsveriet gadījumus, kad iekavu priekšā ir mīnusa zīme un kuras netiek reizinātas (vai dalītas) ar nevienu skaitli vai izteiksmi. Saskaņā ar noteikumu par iekavu paplašināšanu, pirms kuras ir zīme “-”, iekavas ar zīmi “-” tiek izlaistas, savukārt visu iekavās esošo terminu zīmes ir apgrieztas.
6. piemērs
Piemēram:
1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2
Mainīgo izteiksmes var konvertēt, izmantojot to pašu noteikumu:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
mēs iegūstam x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .
Iekavas atvēršana, reizinot skaitli ar iekavām, izteiksmes ar iekavām
Šeit mēs apskatīsim gadījumus, kad ir jāatver iekavas, kas tiek reizinātas vai dalītas ar jebkuru skaitli vai izteiksmi. Šeit formulas formā (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) vai b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), kur a 1 , a 2 , … , a n un b ir daži skaitļi vai izteiksmes.
7. piemērs
Piemēram, izvērsim izteiksmē esošās iekavas (3–7) 2. Saskaņā ar likumu mēs varam veikt šādas transformācijas: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Mēs iegūstam 3 · 2 - 7 · 2 .
Paplašinot iekavas izteiksmē 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, mēs iegūstam 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Reiziniet iekavas ar iekavām
Apsveriet divu formas (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) reizinājumu. Tas mums palīdzēs iegūt kārtulu iekavu paplašināšanai, reizinot iekavas ar iekavām.
Lai atrisinātu iepriekš minēto piemēru, mēs apzīmējam izteiksmi (b 1 + b 2) kā b. Tas ļaus mums izmantot iekavu izteiksmes reizināšanas noteikumu. Mēs iegūstam (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b. Veicot apgrieztu aizstāšanu b uz (b 1 + b 2), vēlreiz piemērojiet noteikumu izteiksmes reizināšanai ar iekava: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Pateicoties vairākiem vienkāršiem trikiem, mēs varam nonākt pie katra termina produktu summas no pirmās iekavas un katra termina no otrās iekavas. Noteikumu var attiecināt uz jebkuru terminu skaitu iekavās.
Formulēsim noteikumus iekavu reizināšanai ar iekavām: lai reizinātu divas summas savā starpā, ir jāreizina katrs pirmās summas vārds ar katru otrās summas vārdu un jāsaskaita rezultāti.
Formula izskatīsies šādi:
(a 1 + a 2 + . . . . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Izvērsīsim iekavas izteiksmē (1 + x) · (x 2 + x + 6) Tas ir divu summu reizinājums. Uzrakstīsim risinājumu: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Atsevišķi ir vērts pakavēties pie gadījumiem, kad iekavās kopā ar plusa zīmēm ir mīnusa zīme. Piemēram, ņemsim izteiksmi (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Pirmkārt, mēs attēlojam iekavās esošās izteiksmes kā summas: (1 + (− x)) (3 x y + (−2 x y 3)). Tagad mēs varam piemērot noteikumu: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))
Izvērsīsim iekavas: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .
Iekavu izvēršana vairāku iekavu un izteiksmju produktos
Ja izteiksmē iekavās ir trīs vai vairāk izteiksmju, ir nepieciešams izvērst iekavas secīgi. Pārveidošana jāsāk ar to, ka pirmie divi faktori tiek ņemti iekavās. Šajās iekavās mēs varam veikt transformācijas saskaņā ar iepriekš apspriestajiem noteikumiem. Piemēram, iekavas izteiksmē (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .
Izteiksme satur trīs faktorus vienlaikus (2 + 4) , 3 un (5 + 7 8) . Mēs secīgi paplašināsim iekavas. Pirmos divus faktorus ievietojam vēl vienās iekavās, kuras skaidrības labad padarīsim sarkanu: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
Saskaņā ar noteikumu par iekavas reizināšanu ar skaitli mēs varam veikt šādas darbības: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .
Reiziniet iekavu ar iekavu: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Iekavas natūrā
Grādi, kuru pamatā ir daži iekavās rakstīti izteicieni, ar naturālajiem eksponentiem var tikt uzskatīti par vairāku iekavu reizinājumu. Turklāt saskaņā ar divu iepriekšējo punktu noteikumiem tos var rakstīt bez šīm iekavām.
Apsveriet izteiksmes pārveidošanas procesu (a + b + c) 2 . To var uzrakstīt kā divu iekavu reizinājumu (a + b + c) (a + b + c). Mēs reizinām iekavu ar iekavu un iegūstam a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .
Ņemsim citu piemēru:
8. piemērs
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2
Iekavas dalīšana ar skaitli un iekavas dalīšana ar iekavām
Dalot iekavas ar skaitli, visi iekavās ietvertie termini ir jādala ar skaitli. Piemēram, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Dalīšanu iepriekš var aizstāt ar reizināšanu, pēc tam var izmantot piemērots noteikums atvēršanas iekavas darbā. Tas pats noteikums ir spēkā, dalot iekavas ar iekavām.
Piemēram, mums ir jāatver iekavas izteiksmē (x + 2) : 2 3 . Lai to izdarītu, vispirms nomainiet dalījumu, reizinot ar (x + 2) apgriezto vērtību: 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Reiziniet iekavu ar skaitli (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .
Šeit ir vēl viens iekavu dalījuma piemērs:
9. piemērs
1 x + x + 1: (x + 2) .
Aizstāsim dalīšanu ar reizināšanu: 1 x + x + 1 1 x + 2 .
Veicam reizināšanu: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .
Kronšteina paplašināšanas pasūtījums
Tagad apsveriet iepriekš apspriesto noteikumu piemērošanas secību izteicienos vispārējs skats, t.i. izteikumos, kas satur summas ar starpībām, reizinājumus ar koeficientiem, iekavas natūrā.
Darbību secība:
- pirmais solis ir pacelt iekavas līdz dabiskajam spēkam;
- otrajā posmā iekavās tiek atvērtas darbos un privātās;
- pēdējais solis ir atvērt iekavas summās un starpībās.
Aplūkosim darbību secību, izmantojot izteiksmes piemēru (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Pārveidosim no izteiksmēm 3 (− 2) : (− 4) un 6 (− 7) , kurām vajadzētu iegūt formu (3 2:4) un (− 6 7) . Aizvietojot iegūtos rezultātus sākotnējā izteiksmē, iegūstam: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7) ). Izvērsiet iekavas: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .
Strādājot ar izteiksmēm, kurās iekavās ir iekavas, ir ērti veikt transformācijas no iekšpuses uz āru.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Mēs arī iesakām
Notiek ielāde...