No kā ir atkarīgas jaudas funkcijas īpašības? Jaudas funkcija

Šajā nodarbībā mēs turpināsim jaudas funkciju izpēti ar racionāls rādītājs, apsveriet funkcijas ar negatīvu racionālo eksponentu.

1. Pamatjēdzieni un definīcijas

Atsaukt pakāpju funkciju īpašības un grafikus ar negatīvu veselu eksponentu.

Pat n, :

Funkcijas piemērs:

Visi šādu funkciju grafiki iet caur diviem fiksētiem punktiem: (1;1), (-1;1). Šāda veida funkciju iezīme ir to paritāte, grafiki ir simetriski attiecībā pret op-y asi.

Rīsi. 1. Funkcijas grafiks

Nepāra n, :

Funkcijas piemērs:

Visi šādu funkciju grafiki iet caur diviem fiksētiem punktiem: (1;1), (-1;-1). Šāda veida funkciju iezīme ir to dīvainība, grafiki ir simetriski attiecībā pret izcelsmi.

Rīsi. 2. Funkciju grafiks

2. Funkcija ar negatīvu racionālo eksponentu, grafiki, īpašības

Atcerēsimies galveno definīciju.

Nenegatīva skaitļa a pakāpi ar racionālu pozitīvu eksponentu sauc par skaitli.

Pozitīva skaitļa a pakāpi ar racionālu negatīvu eksponentu sauc par skaitli.

Attiecībā uz šādām vienlīdzībām:

Piemēram: ; - izteiksme neeksistē pēc pakāpes definīcijas ar negatīvu racionālo eksponentu; pastāv, jo eksponents ir vesels skaitlis,

Pievērsīsimies jaudas funkciju izskatīšanai ar racionālu negatīvu eksponentu.

Piemēram:

Lai attēlotu šo funkciju, varat izveidot tabulu. Mēs darīsim citādi: vispirms mēs izveidosim un pētīsim saucēja grafiku - mēs to zinām (3. attēls).

Rīsi. 3. Funkcijas grafiks

Saucēja funkcijas grafiks iet caur fiksētu punktu (1;1). Konstruējot sākotnējās funkcijas grafiku, šis punkts paliek, kad arī sakne tiecas uz nulli, funkcija tiecas uz bezgalību. Un otrādi, tā kā x tiecas uz bezgalību, funkcijai ir tendence uz nulli (4. attēls).

Rīsi. 4. Funkciju grafiks

Apsveriet vēl vienu funkciju no pētāmo funkciju saimes.

Ir svarīgi, ka pēc definīcijas

Aplūkosim funkcijas grafiku saucējā: , mēs zinām šīs funkcijas grafiku, tas palielinās savā definīcijas apgabalā un iet caur punktu (1; 1) (5. attēls).

Rīsi. 5. Funkciju grafiks

Konstruējot sākotnējās funkcijas grafiku, paliek punkts (1; 1), kad arī sakne tiecas uz nulli, funkcija tiecas uz bezgalību. Un otrādi, tā kā x tiecas uz bezgalību, funkcijai ir tendence uz nulli (6. attēls).

Rīsi. 6. Funkciju grafiks

Aplūkotie piemēri palīdz saprast, kā iet grafikā un kādas ir pētāmās funkcijas - funkcijas ar negatīvu racionālo eksponentu - īpašības.

Šīs saimes funkciju grafiki iet caur punktu (1;1), funkcija samazinās visā definīcijas jomā.

Funkciju darbības joma:

Funkcija nav ierobežota no augšas, bet gan no apakšas. Funkcijai nav ne maksimālā, ne mazākā vērtība.

Funkcija ir nepārtraukta, tā ņem visas pozitīvās vērtības no nulles līdz plus bezgalībai.

Izliekta uz leju funkcija (15.7. attēls)

Punkti A un B tiek ņemti uz līknes, caur tiem tiek novilkts segments, visa līkne atrodas zem segmenta, šis nosacījums ir izpildīts patvaļīgiem diviem līknes punktiem, tāpēc funkcija ir izliekta uz leju. Rīsi. 7.

Rīsi. 7. Funkcijas izliekums

3. Tipisku problēmu risinājums

Ir svarīgi saprast, ka šīs ģimenes funkcijas no apakšas ierobežo nulle, taču tām nav mazākās vērtības.

1. piemērs — atrodiet funkcijas maksimumu un minimumu intervālā \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafiks (2. att.).

2. attēls. Funkcijas $f\left(x\right)=x^(2n)$ grafiks

Jaudas funkcijas ar naturālo nepāra eksponentu īpašības

Definīcijas domēns ir visi reālie skaitļi.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ ir nepāra funkcija.

$f(x)$ ir nepārtraukts visā definīcijas domēnā.

Visi diapazoni ir reāli skaitļi.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkcija palielinās visā definīcijas jomā.

$f\left(x\right)0$, par $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcija ir ieliekta $x\in (-\infty ,0)$ un izliekta $x\in (0,+\infty)$.

Grafiks (3. att.).

3. attēls. Funkcijas $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ grafiks

Jaudas funkcija ar veselu eksponentu

Sākumā mēs ieviešam pakāpes jēdzienu ar veselu eksponentu.

3. definīcija

Grāds reālais skaitlis$a$ ar veselu skaitļu indeksu $n$ nosaka pēc formulas:

4. attēls

Tagad apsveriet jaudas funkciju ar veselu eksponentu, tās īpašībām un grafiku.

4. definīcija

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ sauc par jaudas funkciju ar veselu eksponentu.

Ja pakāpe ir lielāka par nulli, mēs nonākam pie pakāpes funkcijas gadījuma ar naturālo eksponentu. Mēs to jau apspriedām iepriekš. Ja $n=0$ iegūstam lineāru funkciju $y=1$. Mēs atstājam to lasītāja ziņā. Atliek apsvērt jaudas funkcijas īpašības ar negatīvu veselu eksponentu

Jaudas funkcijas ar negatīvu veselu eksponentu īpašības

Tvērums ir $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ja eksponents ir pāra, tad funkcija ir pāra, ja tā ir nepāra, tad funkcija ir nepāra.

$f(x)$ ir nepārtraukts visā definīcijas domēnā.

Vērtību diapazons:

Ja eksponents ir pāra, tad $(0,+\infty)$, ja nepāra, tad $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ja eksponents ir nepāra, funkcija samazinās kā $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Vienmērīgam eksponentam funkcija samazinās kā $x\in (0,+\infty)$. un palielinās kā $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ visā domēnā

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Jaudas funkcijas. Īpašības. Grafiki"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 11. klasei
Interaktīva rokasgrāmata 9.-11.klasei "Trigonometrija"
Interaktīva rokasgrāmata 10.-11. klasei "Logaritmi"

Jaudas funkcijas, definīcijas joma.

Puiši, pēdējā nodarbībā mēs iemācījāmies strādāt ar skaitļiem ar racionālu eksponentu. Šajā nodarbībā mēs apskatīsim jaudas funkcijas un aprobežosimies ar gadījumu, kad eksponents ir racionāls.
Apskatīsim šādas formas funkcijas: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Vispirms apskatīsim funkcijas, kuru eksponents ir $\frac(m)(n)>1$.
Dosim mums īpašu funkciju $y=x^2*5$.
Saskaņā ar definīciju, ko sniedzām pēdējā nodarbībā: ja $x≥0$, tad mūsu funkcijas domēns ir stars $(x)$. Shematiski attēlosim mūsu funkciju grafiku.

Funkcijas $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 īpašības 2. Nav ne pāra, ne nepāra.
3. Palielinās par $$,
b) $(2,10)$,
c) uz stara $$.
Risinājums.
Puiši, vai atceraties, kā mēs 10. klasē atradām segmentā lielāko un mazāko funkcijas vērtību?
Tieši tā, mēs izmantojām atvasinājumu. Atrisināsim mūsu piemēru un atkārtosim algoritmu mazākās un lielākās vērtības atrašanai.
1. Atrodiet dotās funkcijas atvasinājumu:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Atvasinājums pastāv visā sākotnējās funkcijas domēnā, tad nav kritisko punktu. Atradīsim stacionārus punktus:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ un $x_2=\sqrt(64)=4$.
Dotajam segmentam pieder tikai viens risinājums $x_2=4$.
Izveidosim mūsu funkcijas vērtību tabulu segmenta galos un galējā punktā:
Atbilde: $y_(nosaukums)=-862.65$ ar $x=9$; $y_(maks.)=38,4$, ja $x=4$.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Risinājums. Funkcijas $y=x^(\frac(4)(3))$ grafiks pieaug, savukārt funkcijas $y=24-x$ grafiks samazinās. Puiši, jūs un es zinām: ja viena funkcija palielinās, bet otra samazinās, tad tās krustojas tikai vienā punktā, tas ir, mums ir tikai viens risinājums.
Piezīme:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Tas nozīmē, ka $х=8$ mēs saņēmām pareizo vienādību $16=16$, tas ir mūsu vienādojuma risinājums.
Atbilde: $x=8$.

Piemērs.
Uzzīmējiet funkciju: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Risinājums.
Mūsu funkcijas grafiks tiek iegūts no funkcijas $y=x^(\frac(3)(4))$ grafika, nobīdot to par 3 vienībām pa labi un 2 vienībām uz augšu.

Piemērs. Uzrakstiet taisnes $y=x^(-\frac(4)(5))$ pieskares vienādojumu punktā $x=1$.
Risinājums. Pieskares vienādojumu nosaka pēc mums zināmās formulas:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Mūsu gadījumā $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Atradīsim atvasinājumu:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Aprēķināsim:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Atrodiet pieskares vienādojumu:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Atbilde: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

1. Segmentā atrodiet funkcijas $y=x^\frac(4)(3)$ lielāko un mazāko vērtību:
a) $$.
b) $(4,50) $.
c) uz stara $$.
3. Atrisiniet vienādojumu: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Grafiksējiet funkciju: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Uzrakstiet taisnes $y=x^(-\frac(3)(7))$ pieskares vienādojumu punktā $x=1$.

Atsaukt pakāpju funkciju īpašības un grafikus ar negatīvu veselu eksponentu.

Pat n, :

Funkcijas piemērs:

Visi šādu funkciju grafiki iet caur diviem fiksētiem punktiem: (1;1), (-1;1). Šāda veida funkciju iezīme ir to paritāte, grafiki ir simetriski attiecībā pret op-y asi.

Rīsi. 1. Funkcijas grafiks

Nepāra n, :

Funkcijas piemērs:

Visi šādu funkciju grafiki iet caur diviem fiksētiem punktiem: (1;1), (-1;-1). Šāda veida funkciju iezīme ir to dīvainība, grafiki ir simetriski attiecībā pret izcelsmi.

Rīsi. 2. Funkciju grafiks

Atcerēsimies galveno definīciju.

Nenegatīva skaitļa a pakāpi ar racionālu pozitīvu eksponentu sauc par skaitli.

Pozitīva skaitļa a pakāpi ar racionālu negatīvu eksponentu sauc par skaitli.

Attiecībā uz šādām vienlīdzībām:

Piemēram: ; - izteiksme neeksistē pēc pakāpes definīcijas ar negatīvu racionālo eksponentu; pastāv, jo eksponents ir vesels skaitlis,

Pievērsīsimies jaudas funkciju izskatīšanai ar racionālu negatīvu eksponentu.

Piemēram:

Lai attēlotu šo funkciju, varat izveidot tabulu. Mēs darīsim citādi: vispirms mēs izveidosim un pētīsim saucēja grafiku - mēs to zinām (3. attēls).

Rīsi. 3. Funkcijas grafiks

Saucēja funkcijas grafiks iet caur fiksētu punktu (1;1). Konstruējot sākotnējās funkcijas grafiku, šis punkts paliek, kad arī sakne tiecas uz nulli, funkcija tiecas uz bezgalību. Un otrādi, tā kā x tiecas uz bezgalību, funkcijai ir tendence uz nulli (4. attēls).

Rīsi. 4. Funkciju grafiks

Apsveriet vēl vienu funkciju no pētāmo funkciju saimes.

Ir svarīgi, ka pēc definīcijas

Aplūkosim funkcijas grafiku saucējā: , mēs zinām šīs funkcijas grafiku, tas palielinās savā definīcijas apgabalā un iet caur punktu (1; 1) (5. attēls).

Rīsi. 5. Funkciju grafiks

Konstruējot sākotnējās funkcijas grafiku, paliek punkts (1; 1), kad arī sakne tiecas uz nulli, funkcija tiecas uz bezgalību. Un otrādi, tā kā x tiecas uz bezgalību, funkcijai ir tendence uz nulli (6. attēls).

Rīsi. 6. Funkciju grafiks

Aplūkotie piemēri palīdz saprast, kā iet grafikā un kādas ir pētāmās funkcijas - funkcijas ar negatīvu racionālo eksponentu - īpašības.

Šīs saimes funkciju grafiki iet caur punktu (1;1), funkcija samazinās visā definīcijas jomā.

Funkciju darbības joma:

Funkcija nav ierobežota no augšas, bet gan no apakšas. Funkcijai nav ne maksimālās, ne minimālās vērtības.

Funkcija ir nepārtraukta, tā ņem visas pozitīvās vērtības no nulles līdz plus bezgalībai.

Izliekta uz leju funkcija (15.7. attēls)

Punkti A un B tiek ņemti uz līknes, caur tiem tiek novilkts segments, visa līkne atrodas zem segmenta, šis nosacījums ir izpildīts patvaļīgiem diviem līknes punktiem, tāpēc funkcija ir izliekta uz leju. Rīsi. 7.

Rīsi. 7. Funkcijas izliekums

Ir svarīgi saprast, ka šīs ģimenes funkcijas no apakšas ierobežo nulle, taču tām nav mazākās vērtības.

1. piemērs — atrodiet funkcijas maksimumu un minimumu intervālā )