Trigonometrijas pamatformulas. Pamata trigonometriskā identitāte

Samazināšanas formulas ir attiecības, kas ļauj pāriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa ar leņķiem `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` uz tām pašām leņķa \alpha funkcijām, kas atrodas vienības apļa pirmajā ceturtdaļā. Tādējādi samazināšanas formulas "vedina" mūs strādāt ar leņķiem diapazonā no 0 līdz 90 grādiem, kas ir ļoti ērti.

Kopumā ir 32 samazināšanas formulas. Tie neapšaubāmi noderēs eksāmenā, eksāmenos, ieskaitēs. Bet mēs uzreiz brīdināsim, ka nav nepieciešams tos iegaumēt! Jums jāpavada nedaudz laika un jāsaprot to pielietošanas algoritms, tad jums nebūs grūti īstajā laikā iegūt nepieciešamo vienlīdzību.

Vispirms pierakstīsim visas samazināšanas formulas:

Leņķim (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) vai (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha

Leņķim (`\pi \pm \alpha`) vai (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Leņķim (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) vai (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Leņķim (`2\pi \pm \alpha`) vai (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Reducēšanas formulas bieži var atrast tabulas veidā, kur leņķi ir ierakstīti radiānos:

Lai to izmantotu, jums ir jāatlasa rinda ar mums nepieciešamo funkciju un kolonna ar vajadzīgo argumentu. Piemēram, lai izmantotu tabulu, lai noskaidrotu, kas būs ` sin(\pi + \alpha)`, pietiek ar atbildi atrast rindas ` sin \beta` un kolonnas ` \pi + \ krustpunktā. alfa`. Mēs iegūstam ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

Un otrā, līdzīga tabula, kur leņķi ir rakstīti grādos:

Formulu liešanas mnemoniskais likums vai kā tās atcerēties

Kā jau minējām, nav nepieciešams iegaumēt visas iepriekš minētās attiecības. Ja jūs tos rūpīgi aplūkojāt, jūs, iespējams, pamanījāt dažus modeļus. Tie ļauj mums noformulēt mnemonisko likumu (mnemoniku - atcerieties), ar kuru jūs varat viegli iegūt jebkuru no samazināšanas formulām.

Uzreiz atzīmējam, ka, lai piemērotu šo noteikumu, ir labi jāspēj noteikt (vai atcerēties) trigonometrisko funkciju zīmes dažādās vienības apļa ceturtdaļās.
Pats transplantāts sastāv no 3 posmiem:

1. 1. Funkcijas argumentam ir jābūt šādā formā: \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi. \ pm \alpha, kur \alfa vienmēr ir akūts leņķis (no 0 līdz 90 grādiem).
   2. Argumentiem "\frac (\pi)2 \pm \alpha", "\frac (3\pi)2 \pm \alpha" trigonometriskā funkcija konvertētā izteiksme mainās uz kofunkciju, tas ir, pretējo (sinuss pret kosinusu, tangenss pret kotangensu un otrādi). Argumentiem \pi \pm \alpha, 2\pi \pm \alpha funkcija nemainās.
   3. Tiek noteikta sākotnējās funkcijas zīme. Iegūtajai funkcijai labajā pusē būs tāda pati zīme.

Lai redzētu, kā šo noteikumu var piemērot praksē, pārveidosim dažas izteiksmes:

1. "cos(\pi + \alpha)".

Funkcija netiek apgriezta. Leņķis ` \pi + \alpha` atrodas trešajā kvadrantā, kosinusam šajā kvadrantā ir zīme "-", tāpēc konvertētajai funkcijai būs arī zīme "-".

Atbilde: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)'.

Saskaņā ar mnemoniskais likums funkcija tiks apgriezta. Leņķis `\frac (3\pi)2 - \alpha` atrodas trešajā kvadrantā, sinusam šeit ir "-" zīme, tāpēc arī rezultāts būs ar "-" zīmi.

Atbilde: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. "cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)".

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))". Apzīmēsim 3\pi kā 2\pi+\pi. "2\pi" ir funkcijas periods.

Svarīgi! Funkcijām "cos \alpha" un "sin \alpha" ir periods "2\pi" vai "360^\circ", to vērtības nemainīsies, ja arguments tiks palielināts vai samazināts par šīm vērtībām.

Pamatojoties uz to, mūsu izteiksmi var uzrakstīt šādi: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Divreiz piemērojot mnemonisko noteikumu, iegūstam: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Atbilde: "cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha".

zirga likums

Iepriekš minētā mnemoniskā likuma otro punktu sauc arī par reducēšanas formulu zirga likumu. Interesanti, kāpēc zirgi?

Tātad mums ir funkcijas ar argumentiem "\frac (\pi)2 \pm \alpha", "\pi \pm \alpha", "\frac (3\pi)2 \pm \alpha", "2\pi \ pm". \alpha, punkti \frac (\pi)2, \pi, \frac (3\pi)2, 2\pi ir galvenie punkti, tie atrodas uz koordinātu asīm. "\pi" un "2\pi" atrodas uz horizontālās x ass, un "\frac (\pi)2" un "\frac (3\pi)2" atrodas uz vertikālās y ass.

Mēs uzdodam sev jautājumu: “Vai funkcija pārvēršas par kofunkciju?”. Lai atbildētu uz šo jautājumu, jums jāpārvieto galva pa asi, uz kuras atrodas galvenais punkts.

Tas ir, argumentiem ar galvenajiem punktiem, kas atrodas uz horizontālās ass, mēs atbildam “nē”, pakratot galvu uz sāniem. Un stūriem, kuru galvenie punkti atrodas uz vertikālās ass, mēs atbildam “jā”, mājot ar galvu no augšas uz leju, piemēram, zirgam 🙂

Mēs iesakām noskatīties video pamācību, kurā autors detalizēti izskaidro, kā iegaumēt samazināšanas formulas, tās neiegaumējot.

Praktiski liešanas formulu izmantošanas piemēri

Samazināšanas formulu lietošana sākas 9. un 10. klasē. Eksāmenam tiek iesniegti daudzi uzdevumi ar to izmantošanu. Šeit ir daži no uzdevumiem, kuriem jums būs jāpiemēro šīs formulas:

• taisnleņķa trīsstūra risināšanas uzdevumi;
• skaitlisko un alfabētisko trigonometrisko izteiksmju konvertēšana, to vērtību aprēķināšana;
• stereometriskas problēmas.

1. piemērs. Izmantojiet samazināšanas formulas, lai aprēķinātu a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Risinājums: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3;

c) "cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2";

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

2. piemērs. Izteicot kosinusu caur sinusu, izmantojot redukcijas formulas, salīdziniet skaitļus: 1) `sin \frac (9\pi)8` un `cos \frac (9\pi)8`; 2) "sin \frac (\pi)8" un "cos \frac (3\pi)10".

Risinājums: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Vispirms mēs pierāda divas formulas argumenta `\frac (\pi)2 + \alpha sinusa un kosinusam: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` un ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Pārējie ir iegūti no tiem.

Paņemiet vienības apli un punktu A ar koordinātām (1,0). Ļaujiet pēc ieslēgšanas stūrī `\alpha`, tas pāries uz punktu `A_1(x, y)` un pēc leņķa `\frac (\pi)2 + \alpha` pagriešanas uz punktu `A_2(-y,x)` . Nometot perpendikulu no šiem punktiem uz taisni OX, redzam, ka trijstūri `OA_1H_1` un `OA_2H_2` ir vienādi, jo to hipotenūzas un blakus leņķi ir vienādi. Pēc tam, pamatojoties uz sinusa un kosinusa definīcijām, mēs varam rakstīt "sin \alpha=y", "cos \alpha=x", "sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x", "cos". (\frac (\pi)2 + \alpha)=-y`. Kā var uzrakstīt, ka ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` un ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, kas pierāda samazinājumu leņķa `\frac (\pi)2 + \alpha` sinusa un kosinusa formulas.

No pieskares un kotangensa definīcijas mēs iegūstam ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` un ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac) (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, kas pierāda samazinājumu formulas leņķa "\frac (\pi)2 + \alpha" tangensam un kotangensam.

Lai pierādītu formulas ar argumentu `\frac (\pi)2 - \alpha`, pietiek ar to attēlot kā `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` un iet pa to pašu ceļu kā iepriekš. Piemēram, "cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)".

Leņķus \pi + \alpha un \pi - \alpha var attēlot kā \frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha) un \frac (\pi) ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` attiecīgi.

Un "\frac (3\pi)2 + \alpha" un "\frac (3\pi)2 - \alpha" kā "\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)" un "\pi". +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

Šajā rakstā mēs visaptveroši apskatīsim . Pamata trigonometriskās identitātes ir vienādības, kas nosaka attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu un ļauj atrast jebkuru no šīm trigonometriskajām funkcijām, izmantojot zināmu citu.

Mēs nekavējoties uzskaitām galvenās trigonometriskās identitātes, kuras mēs analizēsim šajā rakstā. Mēs tos pierakstām tabulā, un tālāk mēs sniedzam šo formulu atvasinājumus un sniedzam nepieciešamos paskaidrojumus.

Lapas navigācija.

Viena leņķa sinusa un kosinusa saistība

Dažreiz viņi runā nevis par galvenajām trigonometriskajām identitātēm, kas uzskaitītas iepriekš tabulā, bet gan par vienu pamata trigonometriskā identitāte laipns . Izskaidrojums šim faktam ir pavisam vienkāršs: vienādības tiek iegūtas no pamata trigonometriskās identitātes, sadalot abas tās daļas ar un attiecīgi, un vienādības un izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Mēs to sīkāk apspriedīsim turpmākajos punktos.

Tas nozīmē, ka īpašu interesi rada vienlīdzība, kurai tika piešķirts galvenās trigonometriskās identitātes nosaukums.

Pirms trigonometriskās pamatidentitātes pierādīšanas sniedzam tās formulējumu: viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir identiski vienāda ar vienu. Tagad pierādīsim to.

Ļoti bieži tiek izmantota pamata trigonometriskā identitāte trigonometrisko izteiksmju transformācija. Tas ļauj viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu aizstāt ar vienu. Ne mazāk bieži pamata trigonometriskā identitāte tiek izmantota apgrieztā secībā: vienību aizstāj ar jebkura leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu.

Pieskares un kotangenss caur sinusu un kosinusu

Identitātes, kas savieno tangensu un kotangensu ar formas un viena leņķa sinusu un kosinusu uzreiz izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Patiešām, pēc definīcijas sinuss ir y ordināta, kosinuss ir x abscisa, tangenss ir ordinātu attiecība pret abscisu, tas ir, , un kotangenss ir abscisu attiecība pret ordinātām, tas ir, .

Sakarā ar šo identitāšu acīmredzamību un bieži vien tangensa un kotangenta definīcijas tiek dotas nevis caur abscisu un ordinātu attiecību, bet gan caur sinusa un kosinusa attiecību. Tātad leņķa tangenss ir sinusa attiecība pret šī leņķa kosinusu, bet kotangenss ir kosinusa attiecība pret sinusu.

Noslēdzot šo sadaļu, jāatzīmē, ka identitātes un turēt uz visiem tādiem leņķiem, kuriem ir jēga tajos esošajām trigonometriskajām funkcijām. Tātad formula ir derīga jebkuram citam, izņemot (pretējā gadījumā saucējs būs nulle, un mēs nedefinējām dalījumu ar nulli), un formula - visiem , atšķiras no , kur z ir jebkurš .

Attiecības starp tangensu un kotangensu

Vēl acīmredzamāka trigonometriskā identitāte nekā divas iepriekšējās ir identitāte, kas savieno formas viena leņķa tangensu un kotangensu. . Ir skaidrs, ka tas notiek visiem leņķiem, izņemot , pretējā gadījumā nav definēta ne pieskare, ne kotangenss.

Formulas pierādījums ļoti vienkārši. Pēc definīcijas un no kurienes . Pierādīšanu varēja veikt nedaudz savādāk. Kopš un , tad .

Tātad viena leņķa tangenss un kotangenss, pie kura tiem ir jēga, ir.

Ir norādītas attiecības starp galvenajām trigonometriskajām funkcijām - sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. trigonometriskās formulas. Un tā kā starp trigonometriskajām funkcijām ir diezgan daudz savienojumu, tas arī izskaidro trigonometrisko formulu pārpilnību. Dažas formulas savieno viena un tā paša leņķa trigonometriskās funkcijas, citas - vairāku leņķu funkcijas, citas - ļauj pazemināt pakāpi, ceturtās - visas funkcijas izteikt caur pusleņķa tangensu utt.

Šajā rakstā mēs secībā uzskaitām visas pamata trigonometriskās formulas, ar kurām pietiek, lai atrisinātu lielāko daļu trigonometrijas problēmu. Lai atvieglotu iegaumēšanu un lietošanu, mēs tos sagrupēsim atbilstoši to mērķim un ievadīsim tabulās.

Lapas navigācija.

Pamata trigonometriskās identitātes

Pamata trigonometriskās identitātes iestatiet attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Tie izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijas, kā arī vienības apļa jēdziena. Tie ļauj izteikt vienu trigonometrisko funkciju, izmantojot jebkuru citu.

Detalizētu šo trigonometrijas formulu aprakstu, to atvasināšanu un pielietojuma piemērus skatiet rakstā.

Lietās formulas

Lietās formulas izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašībām, tas ir, tie atspoguļo trigonometrisko funkciju periodiskuma īpašību, simetrijas īpašību, kā arī nobīdes īpašību par noteiktu leņķi. Šīs trigonometriskās formulas ļauj pāriet no darba ar patvaļīgiem leņķiem uz darbu ar leņķiem no nulles līdz 90 grādiem.

Šo formulu pamatojumu, mnemonisko noteikumu to iegaumēšanai un to pielietojuma piemērus var izpētīt rakstā.

Papildināšanas formulas

Trigonometriskās saskaitīšanas formulas parādīt, kā divu leņķu summas vai starpības trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas šo leņķu trigonometriskajās funkcijām. Šīs formulas kalpo par pamatu šādu trigonometrisko formulu atvasināšanai.

Formulas dubultā, trīskāršā utt. leņķis

Formulas dubultā, trīskāršā utt. leņķis (tās sauc arī par vairāku leņķu formulām) parāda, kā trigonometriskās funkcijas darbojas dubultā, trīskāršā utt. leņķi () ir izteikti kā viena leņķa trigonometriskās funkcijas. To atvasināšana balstās uz saskaitīšanas formulām.

Detalizētāka informācija ir apkopota rakstu formulās par dubulto, trīskāršo utt. leņķis.

Pusleņķa formulas

Pusleņķa formulas parādīt, kā pusleņķa trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas ar vesela skaitļa leņķa kosinusu. Šīs trigonometriskās formulas izriet no dubultā leņķa formulām.

To secinājumi un pielietojuma piemēri ir atrodami rakstā.

Samazināšanas formulas

Trigonometriskās formulas samazinājuma grādiem ir paredzēti, lai atvieglotu pāreju no trigonometrisko funkciju dabiskajiem pakāpēm uz sinusiem un kosinusiem pirmajā pakāpē, bet vairākos leņķos. Citiem vārdiem sakot, tie ļauj samazināt trigonometrisko funkciju pilnvaras uz pirmo.

Formulas trigonometrisko funkciju summai un starpībai

galvenais galamērķis trigonometrisko funkciju summas un starpības formulas sastāv no pārejas uz funkciju reizinājumu, kas ir ļoti noderīgi, vienkāršojot trigonometriskās izteiksmes. Šīs formulas tiek plaši izmantotas arī trigonometrisko vienādojumu risināšanā, jo ļauj faktorēt sinusu un kosinusu summu un starpību.

Formulas sinusu, kosinusu un sinusa pēc kosinusa reizinājuma

Pāreju no trigonometrisko funkciju reizinājuma uz summu vai starpību veic, izmantojot formulas sinusu, kosinusu un sinusa reizinājumam ar kosinusu.

Bašmakovs M.I. Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Apgaismība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Apgaismība, 2004.- 384 lpp.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.

Autortiesības pieder gudriem studentiem

Visas tiesības aizsargātas.
Aizsargā autortiesību likums. Nevienu www.vietnes daļu, ieskaitot iekšējos materiālus un ārējo dizainu, nedrīkst reproducēt vai izmantot bez iepriekšējas rakstiskas autortiesību īpašnieka atļaujas.

Trigonometriskās identitātes ir vienādības, kas nosaka attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu, kas ļauj atrast jebkuru no šīm funkcijām, ja ir zināma jebkura cita.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Šī identitāte saka, ka viena leņķa sinusa kvadrāta un viena leņķa kosinusa kvadrāta summa ir vienāda ar vienu, kas praksē ļauj aprēķināt viena leņķa sinusu, ja ir zināms tā kosinuss un otrādi. .

Konvertējot trigonometriskās izteiksmes, ļoti bieži tiek izmantota šī identitāte, kas ļauj viena leņķa kosinusa un sinusa kvadrātu summu aizstāt ar vienu un arī veikt aizstāšanas darbību apgrieztā secībā.

Pieskares un kotangences atrašana caur sinusu un kosinusu

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Šīs identitātes veidojas no sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijām. Galu galā, ja paskatās, tad pēc definīcijas y ordināta ir sinusa, un x abscisa ir kosinuss. Tad tangenss būs vienāds ar attiecību \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), un attiecība \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- būs kotangenss.

Mēs piebilstam, ka identitātes notiks tikai tiem leņķiem \alpha, kuriem ir jēga tajos iekļautajām trigonometriskajām funkcijām, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Piemēram: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) ir derīgs \alpha leņķiem, kas atšķiras no \frac(\pi)(2)+\pi z, bet ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- leņķim \alpha, kas nav \pi z , z ir vesels skaitlis.

Attiecības starp tangensu un kotangensu

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Šī identitāte ir derīga tikai leņķiem \alpha, kas atšķiras no \frac(\pi)(2) z. Pretējā gadījumā kotangenss vai tangenss netiks noteikts.

Pamatojoties uz iepriekš minētajiem punktiem, mēs to iegūstam tg \alpha = \frac(y)(x), bet ctg\alpha=\frac(x)(y). No tā izriet, ka tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tādējādi viena leņķa tangenss un kotangenss, kurā tiem ir jēga, ir savstarpēji abpusēji skaitļi.

Attiecības starp tangensu un kosinusu, kotangensu un sinusu

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- leņķa \alpha un 1 pieskares kvadrāta summa ir vienāda ar šī leņķa kosinusa apgriezto kvadrātu. Šī identitāte ir derīga visiem \alpha, izņemot \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 un leņķa \alpha kotangensa kvadrāta summa ir vienāda ar dotā leņķa sinusa apgriezto kvadrātu. Šī identitāte ir derīga jebkuram \alpha, izņemot \pi z .

Piemēri ar problēmu risinājumiem, izmantojot trigonometriskās identitātes

1. piemērs

Atrodiet \sin \alpha un tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 un \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Rādīt risinājumu

Risinājums

Funkcijas \sin \alpha un \cos \alpha ir saistītas ar formulu \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Aizstāšana ar šo formulu \cos \alpha = -\frac12, mēs iegūstam:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Šim vienādojumam ir 2 risinājumi:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3) (2)

Pēc nosacījuma \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Otrajā ceturtdaļā sinuss ir pozitīvs, tātad \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Lai atrastu tg \alpha , mēs izmantojam formulu tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

2. piemērs

Atrodiet \cos \alpha un ctg \alpha if un \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Rādīt risinājumu

Risinājums

Aizstāšana formulā \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 nosacīts numurs \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), saņemam \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Šim vienādojumam ir divi risinājumi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Pēc nosacījuma \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Otrajā ceturksnī kosinuss ir negatīvs, tātad \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Lai atrastu ctg \alpha , mēs izmantojam formulu ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Mēs zinām atbilstošās vērtības.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Šī ir pēdējā un vissvarīgākā nodarbība, kas nepieciešama, lai atrisinātu problēmas B11. Mēs jau zinām, kā pārvērst leņķus no radiāna mēra uz grādu mēru (skatiet nodarbību “ Radiāns un leņķa pakāpes mērs”), kā arī zinām, kā noteikt trigonometriskās funkcijas zīmi, koncentrējoties uz koordinātu ceturtdaļām (skatīt nodarbību "Trigonometrisko funkciju pazīmes").

Lieta paliek maza: aprēķināt pašas funkcijas vērtību - pašu skaitli, kas rakstīts atbildē. Šeit palīgā nāk pamata trigonometriskā identitāte.

Pamata trigonometriskā identitāte. Jebkuram leņķim α apgalvojums ir patiess:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Šī formula attiecas uz viena leņķa sinusu un kosinusu. Tagad, zinot sinusu, mēs varam viegli atrast kosinusu - un otrādi. Pietiek ņemt kvadrātsakni:

Ievērojiet "±" zīmi sakņu priekšā. Fakts ir tāds, ka no pamata trigonometriskās identitātes nav skaidrs, kas bija sākotnējais sinuss un kosinuss: pozitīvs vai negatīvs. Galu galā kvadrātošana ir vienmērīga funkcija, kas "sadedzina" visus mīnusus (ja tādi ir).

Tāpēc visos B11 uzdevumos, kas atrodami USE matemātikā, noteikti ir papildu nosacījumi, kas palīdz atbrīvoties no nenoteiktības ar zīmēm. Parasti tā ir koordinātu ceturkšņa norāde, pēc kuras var noteikt zīmi.

Uzmanīgs lasītājs noteikti jautās: "Kā ir ar tangensu un kotangensu?" Šīs funkcijas nav iespējams tieši aprēķināt no iepriekš minētajām formulām. Tomēr no pamata trigonometriskās identitātes ir svarīgas sekas, kas jau satur pieskares un kotangentus. Proti:

Svarīgs secinājums: jebkuram leņķim α trigonometrisko pamatidentitāti var pārrakstīt šādi:

Šie vienādojumi ir viegli izsecināmi no pamatidentitātes – pietiek ar abas puses dalīt ar cos 2 α (lai iegūtu tangensu) vai ar sin 2 α (kotangensei).

Apskatīsim to visu ar konkrētiem piemēriem. Tālāk ir norādītas faktiskās B11 problēmas, kas ņemtas no 2012. gada Mathematics USE izmēģinājumiem.

Mēs zinām kosinusu, bet nezinām sinusu. Galvenā trigonometriskā identitāte (tā "tīrā" formā) savieno tieši šīs funkcijas, tāpēc mēs ar to strādāsim. Mums ir:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Lai atrisinātu problēmu, atliek atrast sinusa zīmi. Tā kā leņķis α ∈ (π /2; π ), tad grādu mērā to raksta šādi: α ∈ (90°; 180°).

Tāpēc leņķis α atrodas II koordinātu ceturtdaļā – visi sinusi tur ir pozitīvi. Tāpēc sin α = 0,1.

Tātad, mēs zinām sinusu, bet mums ir jāatrod kosinuss. Abas šīs funkcijas ir trigonometriskajā pamata identitātē. Mēs aizstājam:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Atliek tikt galā ar zīmi frakcijas priekšā. Ko izvēlēties: plus vai mīnus? Pēc nosacījuma leņķis α pieder pie intervāla (π 3π /2). Pārveidosim leņķus no radiāna mēra uz grādu mēru - iegūstam: α ∈ (180°; 270°).

Acīmredzot, tas ir III koordinātu ceturksnis, kur visi kosinusi ir negatīvi. Tāpēc cosα = –0,5.

Uzdevums. Atrodiet tg α, ja zināt:

Tangenss un kosinuss ir saistīti ar vienādojumu, kas izriet no pamata trigonometriskās identitātes:

Iegūstam: tg α = ±3. Pieskares zīmi nosaka leņķis α. Ir zināms, ka α ∈ (3π /2; 2π ). Pārveidosim leņķus no radiāna mēra uz grādu mēru - iegūstam α ∈ (270°; 360°).

Acīmredzot tas ir IV koordinātu ceturksnis, kur visas pieskares ir negatīvas. Tāpēc tgα = −3.

Uzdevums. Atrodiet cos α, ja zināt:

Atkal, sinuss ir zināms un kosinuss nav zināms. Mēs pierakstām galveno trigonometrisko identitāti:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ± 0,6.

Zīmi nosaka leņķis. Mums ir: α ∈ (3π /2; 2π ). Pārrēķināsim leņķus no grādiem uz radiāniem: α ∈ (270°; 360°) ir IV koordinātu ceturtdaļa, tur kosinusi ir pozitīvi. Tāpēc cos α = 0,6.

Uzdevums. Atrodiet sin α, ja zināt:

Uzrakstīsim formulu, kas izriet no pamata trigonometriskās identitātes un tieši savieno sinusu un kotangensu:

No šejienes mēs iegūstam, ka grēks 2 α = 1/25, t.i. sin α = ±1/5 = ±0,2. Ir zināms, ka leņķis α ∈ (0; π /2). Grādos to raksta šādi: α ∈ (0°; 90°) - I koordinātu ceturtdaļa.

Tātad leņķis atrodas I koordinātu ceturksnī - tur visas trigonometriskās funkcijas ir pozitīvas, tāpēc sin α \u003d 0,2.