Vidējā perpendikula definīcija. Četri brīnišķīgi trīsstūra punkti

Vidēji perpendikulāri (mediāna perpendikulāra vai starpnieks) ir taisne, kas ir perpendikulāra dotajam segmentam un iet caur tā viduspunktu.

Īpašības

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$ kur apakšindekss norāda malu, uz kuru ir novilkts perpendikuls, $S$ ir trijstūra laukums, un tiek arī pieņemts, ka malas ir saistītas ar nevienādībām $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$ un $p\_c\backslash geq\; p\_b.$ Citiem vārdiem sakot, trīsstūrim mazākā perpendikulārā bisektrise attiecas uz vidējo segmentu.

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Vidējais perpendikuls"

Piezīmes

Izvilkums, kas raksturo perpendikulāro bisektrisi

Kutuzovs, apstājies košļāt, pārsteigts skatījās uz Volcogenu, it kā nesaprastu, ko viņam saka. Volcogens, pamanījis des altena Herna [vecā kunga (vācu)] sajūsmu, smaidot sacīja:
- Es neuzskatīju sevi par tiesīgu slēpt no jūsu kundzības redzēto ... Karaspēks ir pilnīgā nekārtībā ...
- Vai esi redzējis? Vai redzēji? .. - Kutuzovs saraucis pieri kliedza, ātri pieceļoties un virzoties uz Volcogenu. “Kā tu uzdrošinies… kā tu uzdrošinies…!” viņš kliedza, izdarot draudīgus žestus ar trīcošām rokām un žņaudzot. - Kā jūs, mans dārgais kungs, uzdrošinājāties man to teikt. Tu neko nezini. Pastāstiet no manis ģenerālim Bārklijam, ka viņa informācija ir nepareiza un kaujas patiesā gaita man, virspavēlniekam, ir zināma labāk nekā viņam.
Volcogens gribēja kaut ko iebilst, bet Kutuzovs viņu pārtrauca.
- Ienaidnieks tiek atvairīts pa kreisi un sakauts labajā flangā. Ja neesat labi redzējis, cienījamais kungs, tad neļaujiet sev teikt to, ko nezināt. Lūdzu, dodieties pie ģenerāļa Barklaja un dariet viņam zināmu manu neaizstājamo nodomu rīt uzbrukt ienaidniekam, ”stingri sacīja Kutuzovs. Visi klusēja, un varēja dzirdēt vienu smagu elpu no aizelpušā vecā ģenerāļa. - Visur atvairīja, par ko es pateicos Dievam un mūsu drosmīgajai armijai. Ienaidnieks ir sakauts, un rīt mēs viņu izdzīsim no svētās krievu zemes, — sacīja Kutuzovs, krustojot; un pēkšņi izplūda asarās. Volcogens, paraustījis plecus un sagriezis lūpas, klusēdams pagāja malā, brīnīdamies par uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [par šo vecā kunga tirāniju. (vācu)]
"Jā, šeit viņš ir, mans varonis," Kutuzovs sacīja resnajam, izskatīgajam melnmatainajam ģenerālim, kurš tobrīd iegāja pilskalnā. Tas bija Rajevskis, kurš visu dienu bija pavadījis Borodino lauka galvenajā punktā.
Raevskis ziņoja, ka karaspēks ir stingri savās vietās un franči vairs neuzdrošinājās uzbrukt. Noklausījies viņu, Kutuzovs franču valodā teica:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous pensioner? [Tātad jūs nedomājat, tāpat kā citi, ka mums vajadzētu atkāpties?]

Instrukcija

Novelciet līniju cauri apļu krustošanās punktiem. Jūs esat saņēmis dotā segmenta perpendikulāru bisektrisi.

Tagad dosim punktu un līniju. No šī punkta ir jānovelk perpendikuls uz Novietojiet adatu punktā. Uzzīmējiet rādiusa apli (rādiusam jābūt no punkta līdz taisnei, lai aplis varētu krustot līniju divos punktos). Tagad jums ir divi punkti uz līnijas. Šie punkti veido līniju. Konstruē nogriežam perpendikulāru bisektrisi, galos ir iegūtie punkti, pēc iepriekš apskatītā algoritma. Perpendikulam jāiziet cauri sākuma punktam.

Taisnu līniju veidošana ir tehniskā rasējuma pamatā. Tagad tas arvien biežāk tiek darīts ar grafisko redaktoru palīdzību, kas sniedz dizainerim lieliskas iespējas. Tomēr daži būvniecības principi paliek tādi paši kā klasiskajā zīmēšanā - izmantojot zīmuli un lineālu.

Jums būs nepieciešams

• - papīrs;
• - zīmulis;
• - lineāls;
• - dators ar AutoCAD programmatūru.

Instrukcija

Sāciet ar klasisku uzbūvi. Nosakiet plakni, kurā novilksiet līniju. Ļaujiet tai būt papīra lapas plaknei. Atkarībā no problēmas apstākļiem sakārtojiet . Tās var būt patvaļīgas, taču iespējams, ka ir dota koordinātu sistēma. Patvaļīgi punkti novieto, kur jums patīk vislabāk. Apzīmējiet tos ar A un B. Izmantojiet lineālu, lai tos savienotu. Saskaņā ar aksiomu vienmēr ir iespējams novilkt taisnu līniju caur diviem punktiem un tikai vienu.

Uzzīmējiet koordinātu sistēmu. Lai jums tiek doti punkti A (x1; y1). Lai tos veiktu, ir jāatlicina vajadzīgais skaitlis pa x asi un caur iezīmēto punktu jānovelk taisna līnija, kas ir paralēla y asij. Pēc tam pa atbilstošo asi uzzīmējiet vērtību, kas vienāda ar y1. No atzīmētā punkta uzzīmējiet perpendikulu, līdz tas krustojas ar. To krustošanās vieta būs punkts A. Tādā pašā veidā atrodiet punktu B, kura koordinātas var apzīmēt kā (x2; y2). Savienojiet abus punktus.

Programmā AutoCAD taisnu līniju var izveidot ar vairākiem . Funkcija "pēc" parasti ir iestatīta pēc noklusējuma. Augšējā izvēlnē atrodiet cilni "Sākums". Jūs redzēsit zīmēšanas paneli sev priekšā. Atrodiet pogu ar taisnu līniju un noklikšķiniet uz tās.

AutoCAD arī ļauj iestatīt abu koordinātas. Ciparnīca apakšā komandrinda(_xline). Nospiediet Enter. Ievadiet pirmā punkta koordinātas un arī nospiediet enter. Tādā pašā veidā definējiet otro punktu. To var norādīt arī ar peles klikšķi, novietojot kursoru vēlamais punkts ekrāns.

Programmā AutoCAD taisnu līniju var veidot ne tikai pēc diviem punktiem, bet arī pēc slīpuma leņķa. Konteksta izvēlnē Draw atlasiet taisnu līniju un pēc tam opciju Leņķis. Sākumpunktu var iestatīt ar peles klikšķi vai , tāpat kā iepriekšējā metodē. Pēc tam iestatiet stūra izmēru un nospiediet taustiņu Enter. Pēc noklusējuma līnija tiks novietota vēlamajā leņķī pret horizontāli.

Saistītie video

Uz sarežģīta zīmējuma (diagramma) perpendikularitāte tiešā un lidmašīna nosaka galvenie noteikumi: ja viena puse pareizā leņķī paralēli lidmašīna projekcijas, tad uz šīs plaknes bez kropļojumiem tiek projicēts taisns leņķis; ja taisne ir perpendikulāra divām krustojošām taisnēm lidmašīna, tas ir perpendikulārs šim lidmašīna.

Jums būs nepieciešams

• Zīmulis, lineāls, transportētājs, trīsstūris.

Instrukcija

Piemērs: caur punktu M uzzīmējiet perpendikulu lidmašīna Lai uzzīmētu perpendikulu lidmašīna, tajā atrodas divas krustojošas līnijas lidmašīna, un izveidojiet tiem perpendikulāru līniju. Frontālā un horizontālā tiek izvēlēta kā šīs divas krustojošās līnijas. lidmašīna.

Frontālā f(f₁f₂) ir taisna līnija, kas atrodas iekšā lidmašīna un paralēli priekšpusei lidmašīna prognozes П₂. Tātad f₂ ir tā dabiskā vērtība, un f₁ vienmēr ir paralēla x12. No punkta A2 uzvelciet h₂ paralēli x12 un iegūstiet punktu 12 uz B2C2.

Ar sakaru punkta 1₁ projekcijas līnijas palīdzību uz В₁С₁. Savienojiet ar A₁ — tas ir h₁ — horizontāles dabiskais izmērs. No punkta B₁ novelciet f₁‖x₁2, uz A₁C₁ iegūstiet punktu 21. Atrodiet punktu 2₂ uz A₂C₂, izmantojot projekcijas savienojuma līniju. Savienojiet ar punktu B₂ — tas būs f₂ — pilns priekšpuses izmērs.

Konstruētie naturālie horizonti h₁ un frontālās f₂ perpendikula projekcijām lidmašīna. No punkta M₂ novelciet tā frontālo projekciju a₂ 90 leņķī

Trīsstūrī ir tā sauktie četri ievērojami punkti: mediānu krustošanās punkts. Bisektoru krustpunkts, augstumu krustpunkts un perpendikulāro bisektoru krustpunkts. Apskatīsim katru no tiem.

Trijstūra mediānu krustpunkts

1. teorēma

Uz trijstūra mediānu krustpunkta: Trijstūra mediānas krustojas vienā punktā un sadala krustošanās punktu proporcijā $2:1$, sākot no virsotnes.

Pierādījums.

Apsveriet trīsstūri $ABC$, kur $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ ir tā mediāna. Tā kā mediānas dala malas uz pusēm. Apsveriet vidējo līniju $A_1B_1$ (1. att.).

1. attēls. Trijstūra mediānas

Pēc 1. teorēmas $AB||A_1B_1$ un $AB=2A_1B_1$, tātad $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Tādējādi trīsstūri $ABM$ un $A_1B_1M$ pirmajā ir līdzīgi līdzība trijstūri. Tad

Līdzīgi tiek pierādīts, ka

Teorēma ir pierādīta.

Trijstūra bisektoru krustpunkts

2. teorēma

Uz trijstūra bisektoru krustpunkta: Trijstūra bisektrise krustojas vienā punktā.

Pierādījums.

Apsveriet trīsstūri $ABC$, kur $AM,\BP,\CK$ ir tā bisektrise. Lai punkts $O$ ir bisektoru $AM\ un\ BP$ krustošanās punkts. Zīmējiet no šī punkta perpendikulāri trijstūra malām (2. att.).

2. attēls. Trijstūra bisektrise

3. teorēma

Katrs neizvērsta leņķa bisektora punkts atrodas vienādā attālumā no tā malām.

Saskaņā ar 3. teorēmu mums ir: $OX=OZ,\ OX=OY$. Līdz ar to $OY=OZ$. Tādējādi punkts $O$ atrodas vienādā attālumā no leņķa $ACB$ malām un tāpēc atrodas uz tā bisektrise $CK$.

Teorēma ir pierādīta.

Trijstūra perpendikulāro bisektriņu krustpunkts

4. teorēma

Trijstūra malu perpendikulārās bisektrise krustojas vienā punktā.

Pierādījums.

Dots trijstūra $ABC$, $n,\ m,\ p$ tā perpendikulārās bisektrise. Punkts $O$ ir perpendikulāro bisektoru $n\ un\ m$ krustošanās punkts (3. att.).

3. attēls. Trijstūra perpendikulāras bisektrise

Pierādījumam mums ir nepieciešama šāda teorēma.

5. teorēma

Katrs nogriežņa perpendikulāras bisektrise punkts atrodas vienādā attālumā no dotā segmenta galiem.

Saskaņā ar 3. teorēmu mums ir: $OB=OC,\OB=OA$. Tādējādi $OA=OC$. Tas nozīmē, ka punkts $O$ atrodas vienādā attālumā no segmenta $AC$ galiem un tāpēc atrodas uz tā perpendikulārās bisektrijas $p$.

Teorēma ir pierādīta.

Trijstūra augstumu krustošanās punkts

6. teorēma

Trijstūra augstumi vai to paplašinājumi krustojas vienā punktā.

Pierādījums.

Apsveriet trīsstūri $ABC$, kur $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ ir tā augstums. Novelciet līniju caur katru trijstūra virsotni, kas ir paralēla virsotnei pretējā pusē. Iegūstam jaunu trīsstūri $A_2B_2C_2$ (4. att.).

4. attēls. Trijstūra augstumi

Tā kā $AC_2BC$ un $B_2ABC$ ir paralelogrami ar kopīgu malu, tad $AC_2=AB_2$, tas ir, punkts $A$ ir malas $C_2B_2$ viduspunkts. Līdzīgi mēs iegūstam, ka punkts $B$ ir malas $C_2A_2$ viduspunkts, bet punkts $C$ ir malas $A_2B_2$ viduspunkts. No konstrukcijas mums ir $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Tādējādi $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ ir trijstūra $A_2B_2C_2$ perpendikulāras bisektrise. Tad ar 4. teorēmu mēs iegūstam, ka augstumi $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ krustojas vienā punktā.