Viencipara naturāls skaitlis. Veseli skaitļi

Veseli skaitļi

Veseli skaitļi definīcija ir pozitīvi veseli skaitļi. Dabiskie skaitļi tiek izmantoti objektu skaitīšanai un daudziem citiem mērķiem. Šeit ir skaitļi:

Šī ir dabiska skaitļu sērija.
Nulle ir naturāls skaitlis? Nē, nulle nav naturāls skaitlis.
Cik naturālu skaitļu ir? Ir bezgalīga naturālo skaitļu kopa.
Kāds ir mazākais naturālais skaitlis? Viens ir mazākais naturālais skaitlis.
Kāds ir lielākais naturālais skaitlis? To nevar norādīt, jo pastāv bezgalīga naturālu skaitļu kopa.

Naturālo skaitļu summa ir naturāls skaitlis. Tātad, naturālo skaitļu a un b saskaitīšana:

Naturālo skaitļu reizinājums ir naturāls skaitlis. Tātad naturālo skaitļu a un b reizinājums:

c vienmēr ir naturāls skaitlis.

Naturālo skaitļu atšķirība Ne vienmēr ir naturāls skaitlis. Ja minuend ir lielāks par apakšrindu, tad naturālo skaitļu starpība ir naturāls skaitlis, pretējā gadījumā tā nav.

Naturālo skaitļu koeficients Ne vienmēr ir naturāls skaitlis. Ja naturāliem skaitļiem a un b

kur c ir naturāls skaitlis, tas nozīmē, ka a vienmērīgi dalās ar b. Šajā piemērā a ir dividende, b ir dalītājs, c ir koeficients.

Naturāla skaitļa dalītājs ir naturāls skaitlis, ar kuru pirmais skaitlis dalās vienmērīgi.

Katrs naturālais skaitlis dalās ar 1 un pats sevi.

Vienkārši naturālie skaitļi dalās tikai ar 1 un paši sevi. Šeit mēs domājam pilnībā sadalītu. Piemērs, cipari 2; 3; 5; 7 dalās tikai ar 1 un sevi. Tie ir vienkārši naturāli skaitļi.

Viens netiek uzskatīts par pirmskaitli.

Skaitļus, kas ir lielāki par vienu un kas nav pirmskaitļi, sauc par saliktiem skaitļiem. Salikto skaitļu piemēri:

Viens netiek uzskatīts par saliktu skaitli.

Naturālo skaitļu kopa sastāv no pirmskaitļiem un saliktiem skaitļiem.

Tiek apzīmēta naturālo skaitļu kopa Latīņu burts N.

Naturālo skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas īpašības:

saskaitīšanas komutatīva īpašība

pievienošanas asociatīvā īpašība

(a + b) + c = a + (b + c);

reizināšanas komutatīva īpašība

reizināšanas asociatīvā īpašība

(ab)c = a(bc);

reizināšanas sadales īpašība

A (b + c) = ab + ac;

Veseli skaitļi

Veselie skaitļi ir naturāli skaitļi, nulle un pretēji naturāliem skaitļiem.

Skaitļi, kas ir pretēji dabiskajiem skaitļiem, ir negatīvi veseli skaitļi, piemēram:

1; -2; -3; -4;...

Veselo skaitļu kopa tiek apzīmēta ar latīņu burtu Z.

Racionālie skaitļi

Racionālie skaitļi ir veseli skaitļi un daļskaitļi.

Jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā periodisku daļskaitli. Piemēri:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

No piemēriem var redzēt, ka jebkurš vesels skaitlis ir periodiska daļa ar nulles periodu.

Jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā daļu m/n, kur m ir vesels skaitlis skaitlis, n naturāls numuru. Attēlosim skaitli 3, (6) no iepriekšējā piemēra kā šādu daļskaitli.

Kas ir dabiskie un nedabiskie skaitļi? Kā bērnam, vai varbūt ne bērnam, izskaidrot, kādas ir viņu atšķirības? Izdomāsim. Cik zināms, 5. klasē mācās nedabiskos un naturālos skaitļus, un mūsu mērķis ir izskaidrot skolēniem, lai viņi tiešām saprastu un uzzinātu, kas un kā.

Stāsts

Dabiskie skaitļi ir viens no vecākajiem jēdzieniem. Sen, kad cilvēki vēl nemācēja skaitīt un nebija ne jausmas par cipariem, kad vajadzēja kaut ko skaitīt, piemēram, zivis, dzīvniekus, viņi izsita dažādi priekšmeti punktus vai domuzīmes, kā vēlāk noskaidroja arheologi. Tajā laikā viņiem bija ļoti grūti dzīvot, taču civilizācija vispirms attīstījās uz romiešu skaitļu sistēmu, bet pēc tam uz decimālo skaitļu sistēmu. Tagad gandrīz visi izmanto arābu ciparus.

Viss par naturālajiem skaitļiem

Dabiskie skaitļi ir pirmskaitļi, kurus mēs ikdienā lietojam objektu skaitīšanai, lai noteiktu daudzumu un secību. Pašlaik skaitļu rakstīšanai izmantojam decimālo apzīmējumu. Lai pierakstītu jebkuru skaitli, mēs izmantojam desmit ciparus - no nulles līdz deviņiem.

Dabiskie skaitļi ir tie skaitļi, kurus mēs izmantojam, skaitot objektus vai norādot kaut kā sērijas numuru. Piemērs: 5, 368, 99, 3684.

Skaitļu sērijas sauc par naturālajiem skaitļiem, kas ir sakārtoti augošā secībā, t.i. no viena līdz bezgalībai. Šī rinda sākas ar mazākais skaitlis- 1, un nav lielākā dabiskā skaitļa, jo skaitļu virkne ir vienkārši bezgalīga.

Kopumā nulle netiek uzskatīta par naturālu skaitli, jo tas nozīmē, ka kaut kā nav, un arī objekti netiek skaitīti.

Arābu skaitļu sistēma ir moderna sistēma ko lietojam ikdienā. Tas ir viens no indiešu valodas (decimāldaļas) variantiem.

Šī skaitļu sistēma kļuva moderna, pateicoties skaitļam 0, kuru izgudroja arābi. Pirms tam Indijas sistēmā tā nebija.

nedabiski skaitļi. Kas tas ir?

Dabiskie skaitļi neietver negatīvus skaitļus un neveselus skaitļus. Tātad tie ir - nedabiski skaitļi

Zemāk ir piemēri.

Nedabiski skaitļi ir:

Negatīvie skaitļi, piemēram: -1, -5, -36.. un tā tālāk.
Racionālie skaitļi, kas izteikti decimāldaļās: 4,5, -67, 44,6.
Vienkāršas daļas veidā: 1/2, 40 2/7 utt.

Iracionāli skaitļi, piemēram, e = 2,71828, √2 = 1,41421 un tamlīdzīgi.

Mēs ceram, ka esam jums daudz palīdzējuši ar nedabiskiem un naturāliem skaitļiem. Tagad jums būs vieglāk izskaidrot šo tēmu savam bērnam, un viņš to apgūs, kā arī lieliskie matemātiķi!

Matemātika radās no vispārējās filozofijas aptuveni sestajā gadsimtā pirms mūsu ēras. e., un no šī brīža sākās viņas uzvaras gājiens apkārt pasaulei. Katrs attīstības posms ieviesa kaut ko jaunu - elementārais konts evolucionēja, pārvērtās diferenciālos un integrālos aprēķinos, gadsimti mainījās, formulas kļuva arvien mulsinošākas, un pienāca brīdis, kad “visvairāk sarežģītā matemātika- no tā pazuda visi cipari. Bet kāds bija pamats?

Laika sākums

Dabiskie skaitļi parādījās līdzvērtīgi pirmajiem matemātiskās operācijas. Reiz mugurkauls, divi muguriņas, trīs muguriņas ... Tie parādījās, pateicoties Indijas zinātniekiem, kuri secināja pirmo pozicionālo

Vārds "pozicionalitāte" nozīmē, ka katra cipara atrašanās vieta skaitļā ir stingri noteikta un atbilst tā kategorijai. Piemēram, skaitļi 784 un 487 ir vieni un tie paši skaitļi, taču skaitļi nav līdzvērtīgi, jo pirmajā ir iekļauti 7 simti, bet otrajā tikai 4. Indiešu jauninājumu pārņēma arābi, kuri skaitļus atnesa uz formā, ko mēs zinām tagad.

Senatnē skaitļiem tika piešķirta mistiska nozīme, Pitagors uzskatīja, ka skaitlis ir pasaules radīšanas pamatā kopā ar galvenajiem elementiem - uguni, ūdeni, zemi, gaisu. Ja mēs visu aplūkojam tikai no matemātiskās puses, tad kas ir naturāls skaitlis? Naturālo skaitļu lauks tiek apzīmēts kā N un ir bezgalīga veselu un pozitīvu skaitļu virkne: 1, 2, 3, … + ∞. Nulle ir izslēgta. To galvenokārt izmanto preču skaitīšanai un pasūtījuma norādīšanai.

Kas ir matemātikā? Peano aksiomas

Lauks N ir pamatlauks, uz kuru balstās elementārā matemātika. Laika gaitā veselu skaitļu lauki, racionāli,

Itāļu matemātiķa Džuzepes Pīno darbs ļāva tālāk strukturēt aritmētiku, sasniedza tās formalitāti un pavēra ceļu turpmākiem secinājumiem, kas pārsniedza jomu N.

Kas ir naturāls skaitlis, tas tika noskaidrots iepriekš vienkārša valoda, turpmāk tiks aplūkota matemātiskā definīcija, kas balstīta uz Peano aksiomām.

Viens tiek uzskatīts par naturālu skaitli.
Skaitlis, kas seko naturālam skaitlim, ir naturāls skaitlis.
Nav naturāla skaitļa pirms viena.
Ja cipars b seko gan ciparam c, gan ciparam d, tad c=d.
Indukcijas aksioma, kas savukārt parāda, kas ir naturāls skaitlis: ja kāds no parametra atkarīgs apgalvojums ir patiess skaitlim 1, tad pieņemam, ka tas darbojas arī skaitlim n no naturālo skaitļu lauka N. Tad apgalvojums ir patiess arī n =1 no naturālo skaitļu lauka N.

Pamatoperācijas naturālo skaitļu laukam

Tā kā lauks N kļuva par pirmo matemātiskiem aprēķiniem, uz to attiecas gan definīcijas jomas, gan vairāku darbību vērtību diapazoni zemāk. Tie ir slēgti un nav. Galvenā atšķirība ir tāda, ka slēgtās darbības garantē rezultātu kopas N ietvaros neatkarīgi no tā, kādi skaitļi ir iesaistīti. Pietiek ar to, ka tie ir dabiski. Atlikušo skaitlisko mijiedarbību iznākums vairs nav tik viennozīmīgs un tieši atkarīgs no tā, kādi skaitļi ir iesaistīti izteiksmē, jo tas var būt pretrunā ar galveno definīciju. Tātad slēgtās darbības:

saskaitīšana - x + y = z, kur x, y, z ir iekļauti laukā N;
reizināšana - x * y = z, kur x, y, z ir iekļauti N laukā;
paaugstināšana - x y , kur x, y ir iekļauti N laukā.

Pārējās darbības, kuru rezultāts var nepastāvēt definīcijas "kas ir naturāls skaitlis" kontekstā, ir šādas:

Laukam N piederošo skaitļu īpašības

Visa turpmākā matemātiskā spriešana balstīsies uz sekojošām īpašībām, visnopietnākajām, bet ne mazāk svarīgām.

Saskaitīšanas komutatīvais īpašums ir x + y = y + x, kur skaitļi x, y ir iekļauti laukā N. Vai arī labi zināmais "summa nemainās no terminu vietu maiņas."
Reizināšanas komutatīvā īpašība ir x * y = y * x, kur skaitļi x, y ir iekļauti laukā N.
Saskaitīšanas asociatīvā īpašība ir (x + y) + z = x + (y + z), kur x, y, z ir iekļauti laukā N.
Reizināšanas asociatīvā īpašība ir (x * y) * z = x * (y * z), kur skaitļi x, y, z ir iekļauti laukā N.
sadalījuma īpašība - x (y + z) = x * y + x * z, kur skaitļi x, y, z ir iekļauti laukā N.

Pitagora galds

Viens no pirmajiem soļiem, lai skolēni apzinātos visu elementārās matemātikas struktūru, pēc tam, kad viņi paši ir sapratuši, kurus skaitļus sauc par dabiskiem, ir Pitagora tabula. To var uzskatīt ne tikai no zinātnes viedokļa, bet arī par vērtīgu zinātnes pieminekli.

Šī reizināšanas tabula laika gaitā ir piedzīvojusi vairākas izmaiņas: no tās ir noņemta nulle, un skaitļi no 1 līdz 10 apzīmē sevi, neņemot vērā secības (simtiem, tūkstošiem ...). Tā ir tabula, kurā rindu un kolonnu virsraksti ir skaitļi, un to krustojuma šūnu saturs ir vienāds ar to reizinājumu.

Pēdējo desmitgažu mācīšanas praksē ir radusies nepieciešamība iegaumēt Pitagora tabulu "kārtībā", tas ir, iegaumēšana notika pirmajā vietā. Reizināšana ar 1 tika izslēgta, jo rezultāts bija 1 vai lielāks. Tikmēr tabulā ar neapbruņotu aci var redzēt zīmējumu: skaitļu reizinājums pieaug par vienu soli, kas ir vienāds ar rindas nosaukumu. Tādējādi otrais faktors parāda, cik reizes mums ir jāņem pirmais, lai iegūtu vēlamo produktu. Šī sistēma atšķirībā no viduslaikos izmantotā: pat saprotot, kas ir naturāls skaitlis un cik tas ir triviāls, cilvēkiem izdevās sarežģīt ikdienas skaitīšanu, izmantojot sistēmu, kas balstīta uz divi pakāpēm.

Apakškopa kā matemātikas šūpulis

Uz Šis brīdis naturālo skaitļu lauks N tiek uzskatīts tikai par vienu no komplekso skaitļu apakškopām, taču tas nepadara tos mazāk vērtīgus zinātnē. Dabiskais skaitlis ir pirmā lieta, ko bērns iemācās, pētot sevi un apkārtējo pasauli. Viens pirksts, divi pirksti... Pateicoties viņam, cilvēks veidojas loģiskā domāšana, kā arī spēja noteikt cēloni un secināt sekas, paverot ceļu lieliem atklājumiem.

Vienkāršākais skaitlis ir dabiskais skaitlis. Tie tiek izmantoti Ikdiena skaitīšanai preces, t.i. lai aprēķinātu to skaitu un secību.

Kas ir naturāls skaitlis: naturālie skaitļi nosauciet ciparus, kas tiek izmantoti skaitot preces vai norādīt sērijas numuru jebkurai vienībai no visām viendabīgām preces.

Veseli skaitļiir skaitļi, kas sākas no viena. Skaitot tie veidojas dabiski.Piemēram, 1,2,3,4,5... -pirmie naturālie skaitļi.

mazākais naturālais skaitlis- viens. Nav lielākā naturālā skaitļa. Skaitot skaitot nulle netiek izmantota, tāpēc nulle ir naturāls skaitlis.

dabiskas skaitļu sērijas ir visu naturālo skaitļu secība. Uzrakstiet naturālus skaitļus:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Naturālajos skaitļos katrs skaitlis ir par vienu vairāk nekā iepriekšējais.

Cik skaitļu ir naturālajā rindā? Dabiskā virkne ir bezgalīga, nav lielākā naturālā skaitļa.

Decimālzīme, jo 10 vienības no jebkuras kategorijas veido 1 augstākās kārtas vienību. pozicionāls tātad kā cipara vērtība ir atkarīga no tā vietas skaitlī, t.i. no kategorijas, kurā tas ierakstīts.

Naturālo skaitļu klases.

Jebkuru naturālu skaitli var uzrakstīt, izmantojot 10 arābu ciparus:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Lai nolasītu naturālos skaitļus, tie ir sadalīti, sākot no labās puses, grupās pa 3 cipariem katrā. 3 vispirms skaitļi labajā pusē ir vienību klase, nākamie 3 ir tūkstošu klase, tad miljonu, miljardu unutt. Katrs no klases cipariem tiek saukts par savuizlāde.

Naturālo skaitļu salīdzinājums.

No 2 naturālajiem skaitļiem skaitlis, kas tiek izsaukts skaitīšanas sākumā, ir mazāks. piemēram, numurs 7 mazāks 11 (rakstīts šādi:7 < 11 ). Kad viens numurs vairāk nekā sekundi, tas ir rakstīts šādi:386 > 99 .

Ciparu un skaitļu klašu tabula.


1.šķiras vienība	1. vienības cipars 2. vieta desmit 3. ranga simti
2. šķiras tūkst	1. cipara tūkstošos 2. cipars desmitiem tūkstošu 3. vieta simtiem tūkstošu
3. klases miljoni	1. cipars vienības miljons 2. cipars desmitiem miljonu 3. cipars simtiem miljonu
4. klase miljardi	1. cipars miljards vienību 2. cipars desmitiem miljardu 3. cipars simtiem miljardu

Skaitļi no 5. klases un jaunāki attiecas uz lieli cipari. 5. klases vienības - triljoni, 6 klase - kvadriljoni, 7. klase - kvintiljoni, 8. klase - sekstiljoni, 9. klase - eptiljoni.

Naturālo skaitļu pamatīpašības.

Saskaitīšanas komutativitāte . a + b = b + a
Reizināšanas komutativitāte. ab=ba
Papildinājuma asociativitāte. (a + b) + c = a + (b + c)
Reizināšanas asociativitāte.
Reizināšanas sadalījums attiecībā uz saskaitīšanu:

Darbības ar naturāliem skaitļiem.

4. Naturālo skaitļu dalīšana ir reizināšanai apgriezta darbība.

Ja b ∙ c \u003d a, tad

Dalīšanas formulas:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(a∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(a∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Skaitliskās izteiksmes un skaitliskās vienādības.

Apzīmējums, kurā skaitļus savieno darbības zīmes, ir skaitliskā izteiksme.

Piemēram, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Ieraksti, kuros vienādības zīme savieno 2 ciparu izteiksmes, ir skaitliskās vienādības. Vienlīdzībai ir kreisā un labā puse.

Aritmētisko darbību izpildes secība.

Skaitļu saskaitīšana un atņemšana ir pirmās pakāpes darbības, savukārt reizināšana un dalīšana ir otrās pakāpes darbības.

Ja skaitliskā izteiksme sastāv tikai no vienas pakāpes darbībām, tad tās tiek veiktas secīgi no kreisās puses uz labo.

Ja izteiksmes sastāv tikai no pirmās un otrās pakāpes darbībām, tad vispirms tiek veiktas darbības otrā pakāpe, un pēc tam - pirmās pakāpes darbības.

Ja izteiksmē ir iekavas, vispirms tiek veiktas iekavās norādītās darbības.

Piemēram, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Veseli skaitļi- skaitļi, kurus izmanto objektu skaitīšanai . Jebkuru naturālu skaitli var uzrakstīt, izmantojot desmit cipari: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Šādu skaitļu ierakstu sauc decimālzīme.

Tiek izsaukta visu naturālo skaitļu secība dabiski blakus .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Lielākā daļa mazs naturāls skaitlis ir viens (1). Dabiskajā sērijā katrs nākamais skaitlis ir par 1 vairāk nekā iepriekšējais. dabiska sērija bezgalīgs nav lielākā skaita.

Cipara nozīme ir atkarīga no tā vietas skaitļa apzīmējumā. Piemēram, cipars 4 nozīmē: 4 vienības, ja tas ir ieslēgts pēdējā vieta numura ierakstā (vienību vietā); 4 desmit, ja viņa ir pēdējā vietā (desmitnieku vietā); 4 simtiem, ja tā ir trešajā vietā no beigām (iekš simtiem vietu).

Cipars 0 nozīmē šīs kategorijas vienību trūkums skaitļa decimāldaļā. Tas arī kalpo, lai apzīmētu skaitli " nulle". Šis skaitlis nozīmē "nav". Rezultāts 0:3 futbola mačs stāsta, ka pirmā komanda pret pretinieku neielaida nevienus vārtus.

Nulle neiekļaut uz naturālajiem skaitļiem. Un patiešām preču skaitīšana nekad nesākas no nulles.

Ja dabiskajam skaitlim ir tikai viens cipars – viens cipars, tad to sauc nepārprotami. Tie. nepārprotamidabiskais skaitlis- naturāls skaitlis, kura ieraksts sastāv no vienas rakstzīmes – viens cipars. Piemēram, skaitļi 1, 6, 8 ir viencipara skaitļi.

divciparudabiskais skaitlis- naturāls skaitlis, kura ieraksts sastāv no divām rakstzīmēm - diviem cipariem.

Piemēram, skaitļi 12, 47, 24, 99 ir divciparu skaitļi.

Tāpat, atkarībā no rakstzīmju skaita dotajā ciparā, nosaukumi tiek doti citiem cipariem:

numuri 326, 532, 893 - trīsciparu;

numuri 1126, 4268, 9999 - četrciparu utt.

Divi cipari, trīs cipari, četri cipari, pieci cipari utt. tiek saukti numuri daudzciparu skaitļi .

Lai nolasītu daudzciparu skaitļus, tie tiek sadalīti, sākot no labās puses, grupās pa trīs cipariem katrā (visvairāk kreisā grupa var sastāvēt no viena vai diviem cipariem). Šīs grupas sauc klases.

Miljons ir tūkstotis tūkstoši (1000 tūkstoši), rakstīts 1 miljons vai 1 000 000.

Miljards ir 1000 miljoni. To reģistrē 1 miljards vai 1 000 000 000.

Pirmie trīs cipari labajā pusē veido vienību klasi, nākamie trīs - tūkstošu klasi, tad ir miljonu, miljardu utt. (1. att.).

Rīsi. 1. Miljonu klase, tūkstošu klase un vienību klase (no kreisās uz labo)

Bitu režģī ierakstīts skaitlis 15389000286 (2. att.).