Sinusa vispārējā formula trigonometrijā. Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss — viss, kas jums jāzina OGE un USE

Ir norādītas attiecības starp galvenajām trigonometriskajām funkcijām - sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. trigonometriskās formulas. Un tā kā starp trigonometriskajām funkcijām ir diezgan daudz savienojumu, tas arī izskaidro trigonometrisko formulu pārpilnību. Dažas formulas savieno viena un tā paša leņķa trigonometriskās funkcijas, citas - vairāku leņķu funkcijas, citas - ļauj pazemināt pakāpi, ceturtās - visas funkcijas izteikt caur pusleņķa tangensu utt.

Šajā rakstā mēs secībā uzskaitām visas pamata trigonometriskās formulas, ar kurām pietiek, lai atrisinātu lielāko daļu trigonometrijas problēmu. Lai atvieglotu iegaumēšanu un lietošanu, mēs tos sagrupēsim atbilstoši to mērķim un ievadīsim tabulās.

Lapas navigācija.

Pamata trigonometriskās identitātes

Pamata trigonometriskās identitātes iestatiet attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Tie izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijas, kā arī vienības apļa jēdziena. Tie ļauj izteikt vienu trigonometrisko funkciju, izmantojot jebkuru citu.

Detalizētu šo trigonometrijas formulu aprakstu, to atvasināšanu un pielietojuma piemērus skatiet rakstā.

Lietās formulas

Lietās formulas izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašībām, tas ir, tie atspoguļo trigonometrisko funkciju periodiskuma īpašību, simetrijas īpašību, kā arī nobīdes īpašību par noteiktu leņķi. Šīs trigonometriskās formulas ļauj pāriet no darba ar patvaļīgiem leņķiem uz darbu ar leņķiem no nulles līdz 90 grādiem.

Šo formulu pamatojumu, mnemonisko noteikumu to iegaumēšanai un to pielietojuma piemērus var izpētīt rakstā.

Papildināšanas formulas

Trigonometriskās saskaitīšanas formulas parādīt, kā divu leņķu summas vai starpības trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas šo leņķu trigonometriskajās funkcijām. Šīs formulas kalpo par pamatu šādu trigonometrisko formulu atvasināšanai.

Formulas dubultā, trīskāršā utt. stūris

Formulas dubultā, trīskāršā utt. leņķis (tās sauc arī par vairāku leņķu formulām) parāda, kā trigonometriskās funkcijas darbojas dubultā, trīskāršā utt. leņķi () ir izteikti kā viena leņķa trigonometriskās funkcijas. To atvasināšana balstās uz saskaitīšanas formulām.

Detalizētāka informācija ir apkopota rakstu formulās par dubulto, trīskāršo utt. leņķis.

Pusleņķa formulas

Pusleņķa formulas parādīt, kā pusleņķa trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas ar vesela skaitļa leņķa kosinusu. Šīs trigonometriskās formulas izriet no dubultā leņķa formulām.

To secinājumi un pielietojuma piemēri ir atrodami rakstā.

Samazināšanas formulas

Trigonometriskās formulas samazinājuma grādiem ir paredzēti, lai atvieglotu pāreju no trigonometrisko funkciju dabiskajiem pakāpēm uz sinusiem un kosinusiem pirmajā pakāpē, bet vairākos leņķos. Citiem vārdiem sakot, tie ļauj samazināt trigonometrisko funkciju pilnvaras uz pirmo.

Formulas trigonometrisko funkciju summai un starpībai

Galvenais mērķis trigonometrisko funkciju summas un starpības formulas sastāv no pārejas uz funkciju reizinājumu, kas ir ļoti noderīgi, vienkāršojot trigonometriskās izteiksmes. Šīs formulas tiek plaši izmantotas arī trigonometrisko vienādojumu risināšanā, jo ļauj faktorēt sinusu un kosinusu summu un starpību.

Formulas sinusu, kosinusu un sinusa pēc kosinusa reizinājuma

Pāreju no trigonometrisko funkciju reizinājuma uz summu vai starpību veic, izmantojot formulas sinusu, kosinusu un sinusa reizinājumam ar kosinusu.

Bašmakovs M.I. Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Apgaismība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Apgaismība, 2004.- 384 lpp.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.

Autortiesības pieder gudriem studentiem

Visas tiesības aizsargātas.
Aizsargā autortiesību likums. Nevienu www.vietnes daļu, ieskaitot iekšējos materiālus un ārējo dizainu, nedrīkst reproducēt vai izmantot bez iepriekšējas rakstiskas autortiesību īpašnieka atļaujas.

Mēs sākam trigonometrijas izpēti ar taisnleņķa trīsstūri. Definēsim, kas ir sinuss un kosinuss, kā arī akūtā leņķa pieskare un kotangenss. Šie ir trigonometrijas pamati.

Atgādiniet to pareizā leņķī ir leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem. Citiem vārdiem sakot, puse no atlocītā stūra.

Ass stūris- mazāks par 90 grādiem.

Strups leņķis- lielāks par 90 grādiem. Saistībā ar šādu leņķi "strupu" nav apvainojums, bet matemātisks termins :-)

Uzzīmēsim taisnleņķa trīsstūri. Parasti tiek apzīmēts taisns leņķis. Ņemiet vērā, ka sānu, kas atrodas pretī stūrim, apzīmē ar to pašu burtu, tikai mazu. Tātad tiek apzīmēta puse, kas atrodas pretī leņķim A.

Leņķi apzīmē ar atbilstošo grieķu burtu.

Hipotenūza Taisns trīsstūris ir mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim.

Kājas- malas pretī asiem stūriem.

Kāju, kas atrodas pretī stūrim, sauc pretī(attiecībā pret leņķi). Otru kāju, kas atrodas vienā stūra pusē, sauc blakus.

Sinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:

Vēl viena (ekvivalenta) definīcija: akūta leņķa tangenss ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:

Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret pretējo (vai, līdzvērtīgi, kosinusa un sinusa attiecība):

Pievērsiet uzmanību sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa pamatattiecībām, kas norādītas zemāk. Tie mums noderēs problēmu risināšanā.

Pierādīsim dažus no tiem.

Labi, mēs esam devuši definīcijas un rakstiskas formulas. Bet kāpēc mums ir vajadzīgs sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?

Mēs to zinām jebkura trijstūra leņķu summa ir.

Mēs zinām attiecības starp ballītēm taisnleņķa trīsstūris. Šī ir Pitagora teorēma: .

Izrādās, ka, zinot divus leņķus trīsstūrī, jūs varat atrast trešo. Zinot divas taisnleņķa trīsstūra malas, jūs varat atrast trešo. Tātad leņķiem - to attiecība, sāniem - savs. Bet ko darīt, ja taisnleņķa trijstūrī ir zināms viens leņķis (izņemot taisno) un viena mala, bet jāatrod citas malas?

Ar to cilvēki saskārās pagātnē, veidojot apgabala kartes un zvaigžņotās debesis. Galu galā ne vienmēr ir iespējams tieši izmērīt visas trīsstūra malas.

Sinuss, kosinuss un tangenss - tos sauc arī leņķa trigonometriskās funkcijas- norādiet attiecību starp ballītēm un stūriem trīsstūris. Zinot leņķi, visas tā trigonometriskās funkcijas var atrast, izmantojot īpašas tabulas. Un, zinot trijstūra un tā vienas malas leņķu sinusus, kosinusus un pieskares, jūs varat atrast pārējo.

Mēs arī sastādīsim sinusa, kosinusa, pieskares un kotangentes vērtību tabulu "labiem" leņķiem no līdz.

Ievērojiet tabulā divas sarkanās svītras. Atbilstošajām leņķu vērtībām tangenses un kotangences nav.

Analizēsim vairākas trigonometrijas problēmas no FIPI uzdevumu bankas.

1. Trijstūrī leņķis ir , . Atrast.

Problēma tiek atrisināta četrās sekundēs.

Ciktāl , .

2. Trijstūrī leņķis ir , , . Atrast.

Atradīsim pēc Pitagora teorēmas.

Problēma atrisināta.

Bieži vien uzdevumos ir trīsstūri ar leņķiem un vai ar leņķiem un . Iegaumējiet viņiem no galvas pamata attiecības!

Trijstūrim ar leņķiem un kāju, kas atrodas pretī leņķim pie, ir vienāda ar puse no hipotenūzas.

Trīsstūris ar leņķiem un ir vienādsānu. Tajā hipotenūza ir reizes lielāka par kāju.

Mēs apsvērām problēmas taisnleņķa trīsstūru risināšanai - tas ir, nezināmu malu vai leņķu atrašanai. Bet tas vēl nav viss! Eksāmena variantos matemātikā ir daudz uzdevumu, kur parādās trijstūra ārējā leņķa sinuss, kosinuss, tangenss vai kotangenss. Vairāk par to nākamajā rakstā.

Es nepārliecināšu jūs nerakstīt krāpšanās lapas. Rakstiet! Ieskaitot apkrāptu lapas par trigonometriju. Vēlāk plānoju paskaidrot, kāpēc ir vajadzīgas krāpšanās lapas un kā tās ir noderīgas. Un šeit - informācija, kā nevis mācīties, bet atcerēties dažas trigonometriskās formulas. Tātad - trigonometrija bez krāpšanās lapas!Iegaumēšanai izmantojam asociācijas.

1. Papildināšanas formulas:

kosinuss vienmēr "iet pa pāriem": kosinuss-kosinuss, sine-sinuss. Un vēl viena lieta: kosinusi ir “neadekvāti”. Viņi “viss ir nepareizi”, tāpēc viņi maina zīmes: “-” uz “+” un otrādi.

Sinusas - "maisījums": sinusa-kosinuss, kosinuss-sinuss.

2. Summu un starpības formulas:

kosinusi vienmēr "iet pa pāriem". Pievienojot divus kosinusus - "bulciņas", iegūstam kosinusu pāri - "koloboks". Un atņemot, mēs noteikti neiegūsim kolobokus. Mēs iegūstam pāris sinusus. Joprojām ar mīnusu priekšā.

Sinusas - "maisījums" :

3. Formulas reizinājuma pārvēršanai summā un starpībā.

Kad mēs iegūstam kosinusu pāri? Pievienojot kosinusus. Tātad

Kad mēs iegūstam sinusu pāri? Atņemot kosinusus. No šejienes:

"Sajaukšanu" iegūst gan saskaitot, gan atņemot sinusus. Kas ir jautrāk: pievienošana vai atņemšana? Tieši tā, salieciet. Un formulai pievienojiet:

Pirmajā un trešajā formulā iekavās - summa. No termiņu vietu pārkārtošanas summa nemainās. Secība ir svarīga tikai otrajai formulai. Bet, lai neapjuktu, lai būtu vieglāk atcerēties, visās trīs formulās pirmajās iekavās mēs ņemam atšķirību

un, otrkārt, summa

Gultiņas palagi kabatā sniedz sirdsmieru: ja aizmirstat formulu, varat to norakstīt. Un tie sniedz pārliecību: ja neizdodas izmantot apkrāptu lapu, formulas var viegli atcerēties.

Trigonometrija kā zinātne radās Senajos Austrumos. Pirmās trigonometriskās attiecības izstrādāja astronomi, lai izveidotu precīzu kalendāru un orientētos pēc zvaigznēm. Šie aprēķini attiecās uz sfērisko trigonometriju, savukārt skolas kursā tiek pētīta plakana trīsstūra malu un leņķa attiecība.

Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar trigonometrisko funkciju īpašībām un saistību starp trijstūra malām un leņķiem.

Kultūras un zinātnes uzplaukuma laikā mūsu ēras 1. gadu tūkstotī zināšanas no Senajiem Austrumiem izplatījās Grieķijā. Taču galvenie trigonometrijas atklājumi ir arābu kalifāta vīru nopelni. Jo īpaši Turkmenistānas zinātnieks al-Marazvi ieviesa tādas funkcijas kā tangenss un kotangenss, sastādīja pirmās sinusu, pieskares un kotangenšu vērtību tabulas. Sinusa un kosinusa jēdzienu ieviesa Indijas zinātnieki. Liela uzmanība trigonometrijai veltīta tādu senatnes personību kā Eiklīds, Arhimēds un Eratostens darbos.

Trigonometrijas pamatlielumi

Skaitliskā argumenta trigonometriskās pamatfunkcijas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss. Katram no tiem ir savs grafiks: sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss.

Šo lielumu vērtību aprēķināšanas formulas ir balstītas uz Pitagora teorēmu. Skolēniem tas ir labāk zināms formulējumā: “Pitagora bikses, vienādas visos virzienos”, jo pierādījums ir sniegts vienādsānu taisnstūra trīsstūra piemērā.

Sinuss, kosinuss un citas atkarības nosaka attiecības starp jebkura taisnleņķa trijstūra asajiem leņķiem un malām. Mēs sniedzam formulas šo lielumu aprēķināšanai leņķim A un izsekojam trigonometrisko funkciju attiecības:

Kā redzat, tg un ctg ir apgrieztas funkcijas. Ja kāju a attēlojam kā grēka A un hipotenūzas c reizinājumu, un kāju b kā cos A * c, tad iegūstam šādas pieskares un kotangences formulas:

trigonometriskais aplis

Grafiski minēto daudzumu attiecību var attēlot šādi:

Aplis šajā gadījumā apzīmē visas iespējamās leņķa α vērtības - no 0° līdz 360°. Kā redzams attēlā, katrai funkcijai atkarībā no leņķa ir negatīva vai pozitīva vērtība. Piemēram, grēks α būs ar “+” zīmi, ja α pieder apļa I un II ceturtdaļai, tas ir, tas ir diapazonā no 0 ° līdz 180 °. Ar α no 180° līdz 360° (III un IV ceturtdaļa) sin α var būt tikai negatīva vērtība.

Mēģināsim izveidot trigonometriskās tabulas konkrētiem leņķiem un noskaidrot lielumu nozīmi.

α vērtības, kas vienādas ar 30°, 45°, 60°, 90°, 180° un tā tālāk, sauc par īpašiem gadījumiem. Viņiem tiek aprēķinātas trigonometrisko funkciju vērtības un parādītas īpašu tabulu veidā.

Šie leņķi netika izvēlēti nejauši. Apzīmējums π tabulās attiecas uz radiāniem. Rad ir leņķis, kurā apļveida loka garums atbilst tā rādiusam. Šī vērtība tika ieviesta, lai izveidotu universālu attiecību; aprēķinot radiānos, faktiskajam rādiusa garumam cm nav nozīmes.

Leņķi trigonometrisko funkciju tabulās atbilst radiānu vērtībām:

Tātad, nav grūti uzminēt, ka 2π ir pilns aplis jeb 360°.

Trigonometrisko funkciju īpašības: sinuss un kosinuss

Lai aplūkotu un salīdzinātu sinusa un kosinusa, tangensa un kotangenta pamatīpašības, nepieciešams uzzīmēt to funkcijas. To var izdarīt līknes veidā, kas atrodas divdimensiju koordinātu sistēmā.

Apsveriet salīdzinošu sinusa viļņa un kosinusa viļņa īpašību tabulu:

sinusoidāls	kosinusa vilnis
y = grēks x	y = cos x
ODZ [-1; viens]	ODZ [-1; viens]
sin x = 0, ja x = πk, kur k ϵ Z	cos x = 0, ja x = π/2 + πk, kur k ϵ Z
sin x = 1, ja x = π/2 + 2πk, kur k ϵ Z	cos x = 1, ja x = 2πk, kur k ϵ Z
sin x = - 1, pie x = 3π/2 + 2πk, kur k ϵ Z	cos x = - 1, ja x = π + 2πk, kur k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, t.i., nepāra funkcija	cos (-x) = cos x, t.i., funkcija ir pāra
	funkcija ir periodiska, mazākais periods ir 2π
sin x › 0, ar x pieder I un II ceturtdaļai vai no 0° līdz 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, ar x pieder I un IV ceturtdaļai vai no 270° līdz 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, ar x pieder III un IV ceturtdaļai vai no 180° līdz 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, ar x pieder pie II un III ceturkšņa vai no 90° līdz 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
palielinās intervālā [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	palielinās intervālā [-π + 2πk, 2πk]
samazinās uz intervāliem [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	intervālos samazinās
atvasinājums (sin x)' = cos x	atvasinājums (cos x)’ = - sin x

Noteikt, vai funkcija ir pāra vai nē, ir ļoti vienkārši. Pietiek iedomāties trigonometrisku apli ar trigonometrisko lielumu zīmēm un garīgi “salocīt” grafiku attiecībā pret OX asi. Ja zīmes ir vienādas, funkcija ir pāra, pretējā gadījumā tā ir nepāra.

Radiānu ieviešana un sinusoīda un kosinusa viļņa galveno īpašību uzskaitījums ļauj mums izveidot šādu modeli:

Ir ļoti viegli pārbaudīt formulas pareizību. Piemēram, ja x = π/2, sinuss ir vienāds ar 1, tāpat kā kosinuss no x = 0. Pārbaudi var veikt, aplūkojot tabulas vai izsekojot funkciju līknes dotajām vērtībām.

Tangentoīda un kotangentoīda īpašības

Pieskares un kotangentes funkciju grafiki būtiski atšķiras no sinusoīda un kosinusa viļņa. Vērtības tg un ctg ir apgrieztas viena otrai.

1. Y = tgx.
2. Pieskarei ir tendence uz y vērtībām pie x = π/2 + πk, bet nekad tās nesasniedz.
3. Tangentoīda mazākais pozitīvais periods ir π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, t.i., funkcija ir nepāra.
5. Tg x = 0, ja x = πk.
6. Funkcija palielinās.
7. Tg x › 0, ja x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, ja x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Atvasinājums (tg x)' = 1/cos 2⁡x .

Apsveriet tālāk tekstā redzamo kotangentoīda grafisko attēlojumu.

Kotangentoīda galvenās īpašības:

1. Y = ctgx.
2. Atšķirībā no sinusa un kosinusa funkcijām tangentoīdā Y var iegūt visu reālo skaitļu kopas vērtības.
3. Kotangentoīds tiecas uz y vērtībām pie x = πk, bet nekad tās nesasniedz.
4. Kotangentoīda mazākais pozitīvais periods ir π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, t.i., funkcija ir nepāra.
6. Ctg x = 0, ja x = π/2 + πk.
7. Funkcija samazinās.
8. Ctg x › 0, ja x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, ja x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Atvasinājums (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix