Atrodiet leņķi starp tiešiem vienādojumiem. Leņķis starp līnijām

Definīcija. Ja divām līnijām ir dots y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tad akūto leņķi starp šīm līnijām definēs kā

Divas taisnes ir paralēlas, ja k 1 = k 2 . Divas taisnes ir perpendikulāras, ja k 1 = -1/ k 2 .

Teorēma. Taisnes līnijas Ax + Vy + C \u003d 0 un A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ir paralēlas, ja koeficienti A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ir proporcionāli. Ja arī С 1 = λС, tad līnijas sakrīt. Divu taisnu krustpunkta koordinātas tiek atrastas kā šo taisnu vienādojumu sistēmas risinājums.

Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu

Perpendikulāri šai līnijai

Definīcija. Taisni, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) un ir perpendikulāra taisnei y \u003d kx + b, attēlo vienādojums:

Attālums no punkta līdz līnijai

Teorēma. Ja ir dots punkts M(x 0, y 0), tad attālums līdz līnijai Ax + Vy + C \u003d 0 tiek definēts kā

Pierādījums. Pieņemsim, ka punkts M 1 (x 1, y 1) ir pamats perpendikulam, kas nomests no punkta M uz doto taisni. Tad attālums starp punktiem M un M 1:

(1)

Koordinātas x 1 un y 1 var atrast kā vienādojumu sistēmas risinājumu:

Otrais sistēmas vienādojums ir taisnes vienādojums, kas iet caur doto punktu M 0 perpendikulāri noteiktai taisnei. Ja mēs pārveidosim pirmo sistēmas vienādojumu formā:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ar 0 + C = 0,

tad, atrisinot, mēs iegūstam:

Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā (1), mēs atrodam:

Teorēma ir pierādīta.

Piemērs. Nosakiet leņķi starp līnijām: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Piemērs. Parādiet, ka taisnes 3x - 5y + 7 = 0 un 10x + 6y - 3 = 0 ir perpendikulāras.

Lēmums. Mēs atrodam: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, tāpēc līnijas ir perpendikulāras.

Piemērs. Dotas trijstūra A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) virsotnes. Atrodiet augstuma vienādojumu, kas novilkts no virsotnes C.

Lēmums. Mēs atrodam malas AB vienādojumu: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Vēlamais augstuma vienādojums ir: Ax + By + C = 0 vai y = kx + b. k = . Tad y = . Jo augstums iet caur punktu C, tad tā koordinātas atbilst šis vienādojums: kur b = 17. Kopā: .

Atbilde: 3x + 2y - 34 = 0.

Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu noteiktā virzienā. Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem dotiem punktiem. Leņķis starp divām līnijām. Divu taisnes paralēlisma un perpendikulitātes nosacījums. Divu taisnju krustpunkta noteikšana

1. Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu A(x 1 , y 1) noteiktā virzienā, ko nosaka slīpums k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Šis vienādojums definē līniju zīmuli, kas iet caur punktu A(x 1 , y 1), ko sauc par stara centru.

2. Taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur diviem punktiem: A(x 1 , y 1) un B(x 2 , y 2) ir rakstīts šādi:

Taisnes līnijas slīpumu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem, nosaka pēc formulas

3. Leņķis starp taisnām līnijām A un B ir leņķis, par kādu jāpagriež pirmā taisne A ap šo līniju krustpunktu pretēji pulksteņrādītāja virzienam, līdz tas sakrīt ar otro līniju B. Ja ar slīpuma vienādojumiem dotas divas taisnes

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

tad leņķi starp tiem nosaka pēc formulas

Jāņem vērā, ka daļas skaitītājā pirmās taisnes slīpums tiek atņemts no otrās taisnes slīpuma.

Ja taisnes vienādojumi ir doti vispārējs skats

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

leņķi starp tiem nosaka pēc formulas

4. Divu līniju paralēlisma nosacījumi:

a) Ja taisnes ir dotas vienādojumos (4) ar slīpumu, tad nepieciešamais un pietiekams nosacījums to paralēlismam ir to slīpumu vienādība:

k 1 = k 2 . (8)

b) Gadījumā, ja taisnes ir dotas ar vienādojumiem vispārīgā formā (6), to paralēlismam nepieciešamais un pietiekams nosacījums ir tas, ka koeficienti pie atbilstošajām strāvas koordinātām to vienādojumos ir proporcionāli, t.i.

5. Divu līniju perpendikulitātes nosacījumi:

a) Gadījumā, ja taisnes ir dotas ar vienādojumu (4) ar slīpumu, nepieciešamais un pietiekams nosacījums to perpendikularitātei ir, ka tās slīpuma faktori ir abpusējas pēc lieluma un pretējās pēc zīmes, t.i.

Šo nosacījumu var ierakstīt arī formā

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ja taisnu vienādojumi ir doti vispārīgā formā (6), tad to perpendikulitātes nosacījums (nepieciešams un pietiekams) ir izpildīt vienādību

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Divu taisnu krustpunkta koordinātas tiek atrastas, atrisinot vienādojumu sistēmu (6). Līnijas (6) krustojas tad un tikai tad

1. Uzrakstiet vienādojumus taisnēm, kas iet caur punktu M, no kurām viena ir paralēla, bet otra ir perpendikulāra dotajai taisnei l.

stūris starp taisnēm telpā mēs sauksim jebkuru no blakus leņķiem, ko veido divas taisnes, kas novilktas caur patvaļīgu punktu, kas ir paralēls datiem.

Telpā tiks dotas divas taisnas līnijas:

Acīmredzot leņķi φ starp līnijām var uzskatīt par leņķi starp to virziena vektoriem un . Tā kā , Tad saskaņā ar formulu kosinusa leņķa starp vektoriem mēs iegūstam

Divu līniju paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumi ir līdzvērtīgi to virziena vektoru paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumiem un:

Divi taisni ir paralēli tad un tikai tad, ja to attiecīgie koeficienti ir proporcionāli, t.i. l 1 paralēle l 2 tad un tikai tad, ja paralēli .

Divi taisni perpendikulāri tad un tikai tad, ja atbilstošo koeficientu reizinājumu summa ir vienāda ar nulli: .

Plkst mērķis starp līniju un plakni

Ļaujiet līnijai d- nav perpendikulāra plaknei θ;
d′− taisnas līnijas projekcija d uz plakni θ;
Mazākais no leņķiem starp taisnām līnijām d un d'' mēs piezvanīsim leņķis starp līniju un plakni.
Apzīmēsim to kā φ=( d,θ)
Ja d⊥θ , tad ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− taisnstūra koordinātu sistēma.
Plaknes vienādojums:

θ: Ax+Autors+cz+D=0

Mēs uzskatām, ka līniju nosaka punkts un virziena vektors: d[M 0,lpp→]
Vektors n→(A,B,C)⊥θ
Tad atliek noskaidrot leņķi starp vektoriem n→ un lpp→, apzīmējiet to kā γ=( n→,lpp→).

Ja leņķis γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ja leņķis γ>π/2 , tad nepieciešamais leņķis φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Tad leņķis starp līniju un plakni var aprēķināt, izmantojot formulu:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√lpp 21+lpp 22+lpp 23

29. jautājums. Kvadrātiskās formas jēdziens. Kvadrātformu zīme-noteiktība.

Kvadrātiskā forma j (x 1, x 2, ..., x n) n reāli mainīgie x 1, x 2, ..., x n sauc par formas summu
, (1)

kur aij ir daži skaitļi, ko sauc par koeficientiem. Nezaudējot vispārīgumu, mēs to varam pieņemt aij = a ji.

Kvadrātiskā forma tiek saukta derīgs, ja aij О GR. Kvadrātiskās formas matrica sauc par matricu, kas sastāv no tās koeficientiem. Kvadrātiskā forma (1) atbilst unikālai simetriskai matricai
t.i. A T = A. Tāpēc kvadrātisko formu (1) var ierakstīt matricas formā j ( X) = x T Ah, kur x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Un otrādi, jebkura simetriska matrica (2) atbilst unikālai kvadrātveida formai līdz mainīgo apzīmējumam.

Kvadrātiskās formas pakāpe sauc par tās matricas rangu. Kvadrātiskā forma tiek saukta nedeģenerēts, ja tā matrica ir nevienskaitlīga BET. (atcerieties, ka matrica BET tiek saukts par nedeģenerētu, ja tā determinants nav nulle). Pretējā gadījumā kvadrātiskā forma ir deģenerēta.

pozitīvs noteikts(vai stingri pozitīvs), ja

j ( X) > 0 , jebkuram X = (X 1 , X 2 , …, x n), Turklāt X = (0, 0, …, 0).

Matrica BET pozitīva noteikta kvadrātiskā forma j ( X) sauc arī par pozitīvu noteiktu. Tāpēc pozitīva noteikta kvadrātiskā forma atbilst unikālai pozitīvai noteiktai matricai un otrādi.

Tiek saukta kvadrātiskā forma (1). negatīvs noteikts(vai stingri negatīvs), ja

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Turklāt X = (0, 0, …, 0).

Līdzīgi kā iepriekš, negatīvi noteikta kvadrātiskā matrica tiek saukta arī par negatīvi noteiktu.

Tāpēc pozitīvi (negatīvi) noteikta kvadrātiskā forma j ( X) sasniedz minimālo (maksimālo) vērtību j ( X*) = 0 par X* = (0, 0, …, 0).

Ņemiet vērā, ka lielākā daļa kvadrātisko formu nav noteiktas ar zīmi, tas ir, tās nav ne pozitīvas, ne negatīvas. Šādas kvadrātiskās formas izzūd ne tikai koordinātu sistēmas sākumā, bet arī citos punktos.

Kad n> 2, ir nepieciešami īpaši kritēriji, lai pārbaudītu kvadrātveida formas zīmes noteiktību. Apsvērsim tos.

Lielākie nepilngadīgie kvadrātveida formas sauc par nepilngadīgajiem:

tas ir, tie ir nepilngadīgie 1., 2., …, n matricas BET atrodas kreisajā pusē augšējais stūris, pēdējais no tiem sakrīt ar matricas determinantu BET.

Pozitīvas noteiktības kritērijs (Silvestra kritērijs)

X) = x T Ah ir pozitīvs noteikts, ir nepieciešams un pietiekami, lai visi matricas galvenie nepilngadīgie BET bija pozitīvas, tas ir: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatīvās noteiktības kritērijs Lai kvadrātveida forma j ( X) = x T Ah ir negatīvs noteikts, ir nepieciešams un pietiekami, lai tā galvenie pāra secības minori būtu pozitīvi, bet nepāra kārtas ir negatīvi, t.i.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

LEŅĶIS STARP PLAKNĒM

Apskatīsim divas plaknes α 1 un α 2, kas attiecīgi dotas vienādojumos:

Zem leņķis starp divām plaknēm mēs sapratīsim vienu no divšķautņu leņķi ko veido šīs plaknes. Ir skaidrs, ka leņķis starp normālvektoriem un plaknēm α 1 un α 2 ir vienāds ar vienu no norādītajiem blakus esošajiem divskaldņu leņķiem vai . Tātad . Jo un , tad

Piemērs. Nosakiet leņķi starp plaknēm x+2y-3z+4=0 un 2 x+3y+z+8=0.

Divu plakņu paralēlisma nosacījums.

Divas plaknes α 1 un α 2 ir paralēlas tad un tikai tad, ja to normālie vektori un ir paralēli, un līdz ar to .

Tātad divas plaknes ir paralēlas viena otrai tad un tikai tad, ja koeficienti attiecīgajās koordinātēs ir proporcionāli:

vai

Plakņu perpendikulitātes nosacījums.

Ir skaidrs, ka divas plaknes ir perpendikulāras tad un tikai tad, ja to normālie vektori ir perpendikulāri, un tāpēc vai .

Tādējādi,.

Piemēri.

TIEŠI KOSMOSĀ.

VEKTORU VIENĀDOJUMS TIEŠAIS.

PARAMETRISKIE VIENĀDĀJUMI TIEŠI

Taisnas līnijas novietojums telpā tiek pilnībā noteikts, norādot jebkuru no tās fiksētajiem punktiem M 1 un vektoru, kas ir paralēls šai taisnei.

Tiek saukts vektors, kas ir paralēls taisnei vadotšīs līnijas vektors.

Tātad ļaujiet taisni l iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1 , z 1) atrodas uz taisnas līnijas, kas ir paralēla vektoram .

Apsveriet patvaļīgu punktu M(x,y,z) uz taisnas līnijas. No attēla var redzēt, ka .

Vektori un ir kolineāri, tāpēc ir šāds skaitlis t, kas , kur ir reizinātājs t atkarībā no punkta atrašanās vietas var iegūt jebkuru skaitlisku vērtību M uz taisnas līnijas. Faktors t sauc par parametru. Apzīmē punktu rādiusu vektorus M 1 un M attiecīgi caur un , mēs iegūstam . Šo vienādojumu sauc vektors taisnās līnijas vienādojums. Tas parāda, ka katra parametra vērtība t atbilst kāda punkta rādiusa vektoram M guļ uz taisnas līnijas.

Mēs rakstām šo vienādojumu koordinātu formā. Ievērojiet, ka, un no šejienes

Iegūtos vienādojumus sauc parametrisks taisnu līniju vienādojumi.

Mainot parametru t mainās koordinātas x, y un z un punkts M pārvietojas taisnā līnijā.

KANONISKIE VIENĀDĀJUMI TIEŠI

Ļaujiet būt M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - punkts, kas atrodas uz taisnas līnijas l, un ir tā virziena vektors. Atkal paņemiet patvaļīgu punktu uz taisnes M(x,y,z) un apsveriet vektoru .

Ir skaidrs, ka vektori un ir kolineāri, tāpēc to attiecīgajām koordinātām jābūt proporcionālām

– kanonisks taisnu līniju vienādojumi.

1. piezīme.Ņemiet vērā, ka līnijas kanoniskos vienādojumus var iegūt no parametriskajiem vienādojumiem, izslēdzot parametru t. Patiešām, no parametru vienādojumiem mēs iegūstam vai .

Piemērs. Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu parametriskā veidā.

Apzīmē , tātad x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2. piezīme. Lai līnija būtu perpendikulāra vienai no koordinātu asīm, piemēram, asij Vērsis. Tad taisnes virziena vektors ir perpendikulārs Vērsis, tātad, m=0. Līdz ar to taisnās līnijas parametriskie vienādojumi iegūst formu

Parametra izslēgšana no vienādojumiem t, iegūstam taisnās līnijas vienādojumus formā

Tomēr arī šajā gadījumā mēs piekrītam formāli rakstīt taisnās līnijas kanoniskos vienādojumus formā . Tādējādi, ja vienas daļas saucējs ir nulle, tas nozīmē, ka līnija ir perpendikulāra attiecīgajai koordinātu asij.

Tāpat kanoniskie vienādojumi atbilst taisnei, kas ir perpendikulāra asīm Vērsis un Oy vai paralēlā ass Oz.

Piemēri.

VISPĀRĒJIE VIENĀDĀJUMI TIEŠA LĪNIJA KĀ DIVU PLAKMEŅU PĀRSĒJES LĪNIJA

Caur katru taisnes līniju telpā iet bezgalīgs skaits plakņu. Jebkuri divi no tiem, kas krustojas, definē to telpā. Tāpēc jebkuru divu šādu plakņu vienādojumi, aplūkoti kopā, ir šīs līnijas vienādojumi.

Kopumā jebkuras divas neparalēlas plaknes, ko nosaka vispārīgie vienādojumi

noteikt to krustojuma līniju. Šos vienādojumus sauc vispārīgie vienādojumi taisni.

Piemēri.

Izveidojiet taisnu līniju, kas dota ar vienādojumu

Lai izveidotu līniju, pietiek atrast jebkurus divus tās punktus. Vienkāršākais veids ir izvēlēties taisnes krustošanās punktus ar koordinātu plaknēm. Piemēram, krustošanās punkts ar plakni xOy iegūstam no taisnes vienādojumiem, pieņemot z= 0:

Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam būtību M 1 (1;2;0).

Tāpat, pieņemot y= 0, iegūstam taisnes krustpunktu ar plakni xOz:

No taisnas līnijas vispārīgajiem vienādojumiem var pāriet uz tās kanoniskajiem vai parametriskajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kāds punkts M 1 uz līnijas un līnijas virziena vektors.

Punkta koordinātas M 1 mēs iegūstam no šīs vienādojumu sistēmas, piešķirot vienai no koordinātām patvaļīgu vērtību. Lai atrastu virziena vektoru, ņemiet vērā, ka šim vektoram jābūt perpendikulāram abiem normāliem vektoriem un . Tāpēc taisnes virziena vektoram l jūs varat ņemt normālu vektoru krustojumu:

Piemērs. Norādiet taisnās līnijas vispārīgos vienādojumus uz kanonisko formu.

Atrodiet punktu uz taisnas līnijas. Lai to izdarītu, mēs patvaļīgi izvēlamies vienu no koordinātām, piemēram, y= 0 un atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Taisni definējošo plakņu normāliem vektoriem ir koordinātas Tāpēc virziena vektors būs taisns

. Tāpēc l: .

LEŅĶIS STARP TIESĪBĀM

stūris starp taisnēm telpā mēs sauksim jebkuru no blakus leņķiem, ko veido divas taisnes, kas novilktas caur patvaļīgu punktu, kas ir paralēls datiem.

Telpā tiks dotas divas taisnas līnijas:

Acīmredzot leņķi φ starp līnijām var uzskatīt par leņķi starp to virziena vektoriem un . Tā kā , Tad saskaņā ar formulu kosinusa leņķa starp vektoriem mēs iegūstam

Es teikšu īsi. Leņķis starp divām līnijām ir vienāds ar leņķi starp to virziena vektoriem. Tādējādi, ja jums izdodas atrast virziena vektoru a \u003d (x 1; y 1; z 1) un b \u003d (x 2; y 2; z 2) koordinātas, varat atrast leņķi. Precīzāk, leņķa kosinuss pēc formulas:

Apskatīsim, kā šī formula darbojas konkrētos piemēros:

Uzdevums. Punkti E un F ir atzīmēti kubā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - attiecīgi A 1 B 1 un B 1 C 1 malu viduspunkti. Atrodiet leņķi starp taisnēm AE un BF.

Tā kā kuba mala nav norādīta, iestatām AB = 1. Ieviešam standarta koordinātu sistēmu: sākumpunkts atrodas punktā A, un x, y, z asis ir vērstas attiecīgi pa AB, AD un AA 1. . Vienības segments ir vienāds ar AB = 1. Tagad atradīsim mūsu līniju virziena vektoru koordinātas.

Atrodiet vektora AE koordinātas. Lai to izdarītu, mums ir nepieciešami punkti A = (0; 0; 0) un E = (0,5; 0; 1). Tā kā punkts E ir nogriežņa A 1 B 1 vidus, tā koordinātas ir vienādas ar galu koordinātu vidējo aritmētisko. Ņemiet vērā, ka vektora AE izcelsme sakrīt ar sākumu, tāpēc AE = (0,5; 0; 1).

Tagad tiksim galā ar BF vektoru. Līdzīgi mēs analizējam punktus B = (1; 0; 0) un F = (1; 0,5; 1), jo F - segmenta vidusdaļa B 1 C 1 . Mums ir:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Tātad virziena vektori ir gatavi. Leņķa kosinuss starp līnijām ir leņķa kosinuss starp virziena vektoriem, tāpēc mums ir:

Uzdevums. Regulārā trīsstūrveida prizmā ABCA 1 B 1 C 1 , kuras visas malas ir vienādas ar 1, ir atzīmēti punkti D un E - attiecīgi malu A 1 B 1 un B 1 C 1 viduspunkti. Atrodiet leņķi starp taisnēm AD un BE.

Mēs ieviešam standarta koordinātu sistēmu: sākumpunkts atrodas punktā A, x ass ir vērsta pa AB, z - pa AA 1 . Mēs virzām y asi tā, lai OXY plakne sakristu ar ABC plakni. Vienības segments ir vienāds ar AB = 1. Atrodiet virziena vektoru koordinātas vajadzīgajām taisnēm.

Vispirms atradīsim AD vektora koordinātas. Apsveriet punktus: A = (0; 0; 0) un D = (0,5; 0; 1), jo D - segmenta vidusdaļa A 1 B 1 . Tā kā vektora AD sākums sakrīt ar izcelsmi, iegūstam AD = (0,5; 0; 1).

Tagad noskaidrosim vektora BE koordinātas. Punktu B = (1; 0; 0) ir viegli aprēķināt. Ar punktu E - segmenta C 1 B 1 vidusdaļa - nedaudz sarežģītāk. Mums ir:

Atliek atrast leņķa kosinusu:

Uzdevums. Regulārā sešstūra prizmā ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , kuras visas malas ir vienādas ar 1, ir atzīmēti punkti K un L - malu A 1 B 1 un B 1 C 1 viduspunkti, attiecīgi. Atrodiet leņķi starp taisnēm AK un BL.

Mēs ieviešam prizmas standarta koordinātu sistēmu: novietojam koordinātu sākumpunktu apakšējās bāzes centrā, virzām x asi pa FC, y asi caur segmentu AB un DE viduspunktiem un z asi. vertikāli uz augšu. Vienības segments atkal ir vienāds ar AB = 1. Uzrakstīsim mums interesējošo punktu koordinātas:

Punkti K un L ir attiecīgi nogriežņu A 1 B 1 un B 1 C 1 viduspunkti, tāpēc to koordinātes atrod caur vidējo aritmētisko. Zinot punktus, atrodam virziena vektoru AK un BL koordinātas:

Tagad atradīsim leņķa kosinusu:

Uzdevums. Labajā pusē četrstūra piramīda SABCD, kura visas malas ir vienādas ar 1, atzīmēti punkti E un F - attiecīgi malu SB un SC viduspunkti. Atrodiet leņķi starp taisnēm AE un BF.

Mēs ieviešam standarta koordinātu sistēmu: sākumpunkts atrodas punktā A, x un y asis ir vērstas attiecīgi pa AB un AD, bet z ass ir vērsta vertikāli uz augšu. Vienības segments ir vienāds ar AB = 1.

Punkti E un F ir attiecīgi nogriežņu SB un SC viduspunkti, tāpēc to koordinātas tiek atrastas kā galu vidējais aritmētiskais. Mēs pierakstām mums interesējošo punktu koordinātas:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)