Atrodiet koordinātu līniju. Matemātikas stunda "koordinātu līnija"

Nodarbības tēma:

« Tiešās koordinātas»

Nodarbības mērķis:

Iepazīstiniet skolēnus ar koordinātu līniju un negatīviem skaitļiem.

Nodarbības mērķi:

Izglītojoši: iepazīstināt skolēnus ar koordinātu līniju un negatīviem skaitļiem.

Attīstīšana: loģiskās domāšanas attīstība, redzesloka paplašināšana.

Izglītojošie: izziņas interešu attīstība, informācijas kultūras izglītība.

Nodarbības plāns:

Org moments. Skolēnu un viņu gatavības stundai pārbaude.

Pamatzināšanu atjaunināšana. Mutiska studentu aptauja par apskatīto tēmu.

Jaunā materiāla skaidrojums.

4. Apgūtā materiāla nostiprināšana.

5. Rezumējot. Kopsavilkums par nodarbībā apgūto. Studentu jautājumi.

6. Secinājumi. Nodarbības galveno punktu apkopošana. Zināšanu novērtēšana. Atzīmju veidošana.

7. Mājas darbs. Studentu patstāvīgais darbs ar apgūto materiālu.

Aprīkojums: krīts, dēlis, slaidi.

Detalizēts kontūrplāns

Skatuves nosaukums un saturs

Aktivitāte

Aktivitāte

studenti

I posms

Org moments. Sveicieni.

Žurnāla aizpildīšana.

sveic klasi, klases vadītājs iedod sarakstu ar tiem, kas nav klāt.

pasveicini

skolotājs

II posms

Pamatzināšanu atjaunināšana.

Sengrieķu zinātnieks Pitagors ir teicis: "Cipari valda pār pasauli." Mēs ar jums dzīvojam šajā skaitļu pasaulē, un skolas gados mēs mācāmies strādāt ar dažādiem skaitļiem.

1 Kādus skaitļus mēs jau zinām šodienas nodarbībai?

2 Kādas problēmas mums palīdz atrisināt šie skaitļi?

Šodien mēs pārejam uz mūsu mācību grāmatas “Racionālie skaitļi” otrās nodaļas izpēti, kur paplašināsim zināšanas par skaitļiem, un pēc visas nodaļas “Racionālie skaitļi” izpētīšanas mēs iemācīsimies ar tiem veikt visas jums zināmās darbības. un sāciet ar tēmu par koordinātu līniju.

1.dabiskās, parastās daļskaitļi, decimāldaļas

2. saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana, daļskaitļu atrašana no skaitļa un skaitļa no tā daļskaitļa, dažādu vienādojumu un uzdevumu risināšana

III posms

Jaunā materiāla skaidrojums.

Ņemsim taisni AB un sadalīsim to ar punktu O divos papildu staros - OA un OB. Izvēlēsimies vienību segmentu uz taisnes un par sākumpunktu un virzienu pieņemsim punktu O.

Definīcijas:

Taisni ar atskaites punktu, vienības segmentu un uz tās izvēlēto virzienu sauc par koordinātu līniju.

Skaitli, kas parāda punkta pozīciju uz līnijas, sauc par šī punkta koordinātu.

Kā izveidot koordinātu līniju?

veikt tiešu

iestatīt vienības segmentu

norādīt virzienu

Koordinātu līniju var attēlot dažādos veidos: horizontāli, vertikāli un jebkurā citā leņķī pret horizontu, un tai ir sākums, bet nav beigu.

1. uzdevums. Kuras no šīm rindām nav koordinātu līnijas (slaids)

Nozīmēsim koordinātu līniju, atzīmēsim izcelsmi, vienības segmentu un uzzīmēsim punktus 1,2,3,4 un tā tālāk pa kreisi un pa labi.

Apskatīsim iegūto koordinātu līniju. Kāpēc šāda taisna līnija ir neērta?

Virzienu pa labi no sākuma sauc par pozitīvu, un virzienu uz taisnes norāda ar bultiņu. Skaitļus, kas atrodas pa labi no punkta O, sauc par pozitīviem. Negatīvie skaitļi ir novietoti pa kreisi no punkta O, un virzienu pa kreisi no punkta O sauc par negatīvu (negatīvais virziens nav norādīts). Ja koordinātu līnija atrodas vertikāli, tad skaitļi virs sākuma ir pozitīvi, bet skaitļi zem sākuma ir negatīvi. Negatīvie skaitļi tiek rakstīti ar “-” zīmi. Tajos rakstīts: “Mīnus viens”, “Mīnus divi”, “Mīnus trīs” utt. Skaitlis 0 – izcelsme nav ne pozitīvs, ne negatīvs skaitlis. Tas atdala pozitīvos no negatīvajiem skaitļiem.

Vienādojumu atrisināšana un jēdziens “parāds” tirdzniecības aprēķinos noveda pie negatīvu skaitļu parādīšanās.

Negatīvie skaitļi parādījās daudz vēlāk nekā naturālie skaitļi un parastās daļskaitļi. Pirmā informācija par negatīvajiem skaitļiem tika atrasta ķīniešu matemātiķu vidū 2. gadsimtā. BC e. Pozitīvie skaitļi pēc tam tika interpretēti kā īpašums, bet negatīvie skaitļi - kā parāds, trūkums. Eiropā atzīšana notika tūkstoš gadus vēlāk, un pat tad ilgu laiku negatīvos skaitļus sauca par “viltus”, “iedomātiem” vai “absurdiem”. 17. gadsimtā negatīvie skaitļi saņēma vizuālu ģeometrisku attēlojumu uz skaitļu ass

Varat arī sniegt piemērus koordinātu līnijai: termometrs, kalnu virsotņu un ieplaku salīdzinājums (jūras līmenis tiek ņemts par nulli), attālums kartē, lifta šahta, mājas, celtņi.

Padomājiet Vai jūs zināt citus koordinātu līniju piemērus?

Uzdevumi.

2. uzdevums. Nosauciet punktu koordinātas.

3. uzdevums. Atzīmējiet punktus uz koordinātu līnijas

4. uzdevums . Uzzīmējiet horizontālu līniju un atzīmējiet uz tās punktu A, B, C, K, ja zināt, ka:

A ir 9 šūnas pa labi no O;

B atrodas pa kreisi no O par 6,5 šūnām;

C ir 3½ kvadrāti pa labi no O;

K ir 3 kvadrāti pa kreisi no O .

Ierakstīts atbalsta piezīmēs.

Viņi klausās un papildina.

Viņi pabeidz uzdevumu savā piezīmju grāmatiņā un pēc tam skaļi paskaidro savas atbildes.

Uzzīmējiet un atzīmējiet vienības segmenta izcelsmi

Šāda taisne ir neērta, jo divi punkti uz taisnes atbilst vienam un tam pašam skaitlim.

Vēsture pirms mūsu ēras un mūsu laikmets.

IV posms

Izpētītā materiāla konsolidācija.

1. Kas ir koordinātu līnija?

2.Kā izveidot koordinātu līniju?

1. Taisni ar atskaites punktu, vienības segmentu un uz tās izvēlētu virzienu sauc par koordinātu līniju

2) veikt tiešo

atzīmējiet tajā atpakaļskaitīšanas sākumu

iestatīt vienības segmentu

norādīt virzienu

V posms

Rezumējot

Ko jaunu mēs šodien uzzinājām?

Koordinātu līnija un negatīvie skaitļi.

VI posms

Zināšanu novērtēšana. Atzīmju veidošana.

Mājas darbs.

Uzstādiet jautājumus par aplūkoto tēmu (ziniet atbildes uz tiem)

Alfa apzīmē reālo skaitli. Vienādības zīme iepriekš minētajās izteiksmēs norāda, ka, ja bezgalībai pievienosi skaitli vai bezgalību, nekas nemainīsies, rezultāts būs tā pati bezgalība. Ja par piemēru ņemam bezgalīgo naturālo skaitļu kopu, tad aplūkotos piemērus var attēlot šādā formā:

Lai skaidri pierādītu, ka viņiem ir taisnība, matemātiķi nāca klajā ar daudzām dažādām metodēm. Personīgi es uz visām šīm metodēm skatos kā uz šamaņiem, kas dejo ar tamburīnām. Būtībā tie visi ir saistīti ar faktu, ka vai nu dažas telpas ir neapdzīvotas un ievācas jauni viesi, vai arī daži apmeklētāji tiek izmesti gaitenī, lai atbrīvotu vietu viesiem (ļoti cilvēciski). Es izklāstīju savu skatījumu uz šādiem lēmumiem kā fantāzijas stāstu par Blondīni. Uz ko balstās mans arguments? Bezgalīgi liela apmeklētāju skaita pārvietošana prasa bezgalīgi daudz laika. Pēc tam, kad esam atbrīvojuši pirmo istabu viesim, kāds no apmeklētājiem vienmēr staigās pa gaiteni no savas istabas uz nākamo līdz pat laika beigām. Protams, laika faktoru var muļķīgi ignorēt, bet tas būs kategorijā "neviens likums nav rakstīts muļķiem". Tas viss ir atkarīgs no tā, ko mēs darām: pielāgojam realitāti matemātiskām teorijām vai otrādi.

Kas ir "bezgalīga viesnīca"? Bezgalīga viesnīca ir viesnīca, kurā vienmēr ir neierobežots skaits tukšu gultu neatkarīgi no aizņemto numuru skaita. Ja visas telpas bezgalīgajā "apmeklētāju" koridorā ir aizņemtas, ir vēl viens bezgalīgs koridors ar "viesu" istabām. Tādu koridoru būs bezgalīgi daudz. Turklāt “bezgalīgajai viesnīcai” ir bezgalīgs stāvu skaits bezgalīgā daudzumā ēku uz bezgalīgi daudzām planētām bezgalīgā skaitā visumu, ko radījis bezgalīgs skaits dievu. Matemātiķi nespēj distancēties no banālām ikdienas problēmām: vienmēr ir tikai viens Dievs-Allāhs-Buda, ir tikai viena viesnīca, ir tikai viens koridors. Tāpēc matemātiķi mēģina žonglēt ar viesnīcu numuru sērijas numuriem, pārliecinot mūs, ka ir iespējams "iegrūst neiespējamo".

Es jums parādīšu sava argumentācijas loģiku, izmantojot bezgalīgas naturālu skaitļu kopas piemēru. Vispirms jums jāatbild uz ļoti vienkāršu jautājumu: cik naturālo skaitļu kopu ir - viens vai daudzi? Uz šo jautājumu nav pareizas atbildes, jo mēs paši izdomājām skaitļus dabā. Jā, Daba lieliski prot skaitīt, taču šim nolūkam viņa izmanto citus matemātiskos rīkus, kas mums nav pazīstami. Es jums pastāstīšu, ko Daba domā citreiz. Tā kā mēs izdomājām skaitļus, mēs paši izlemsim, cik naturālo skaitļu kopu ir. Apsvērsim abus variantus, kā jau īstiem zinātniekiem pienākas.

Pirmais variants. “Lai mums tiek dota” viena naturālu skaitļu kopa, kas mierīgi atrodas plauktā. Mēs ņemam šo komplektu no plaukta. Tas tā, citu naturālu skaitļu plauktā nav palicis un nav kur ņemt. Mēs nevaram to pievienot šim komplektam, jo ​​mums tas jau ir. Ko darīt, ja jūs patiešām vēlaties? Nav problēmu. Varam paņemt vienu no jau paņemtā komplekta un atdot plauktā. Pēc tam varam paņemt vienu no plaukta un pievienot tam, kas mums ir palicis. Rezultātā mēs atkal iegūsim bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Visas mūsu veiktās manipulācijas varat pierakstīt šādi:

Darbības pierakstīju algebriskajā un kopu teorijas pierakstā, detalizēti uzskaitot kopas elementus. Apakšraksts norāda, ka mums ir viena un vienīgā naturālo skaitļu kopa. Izrādās, ka naturālo skaitļu kopa paliks nemainīga tikai tad, ja no tās atņem vienu un saskaita to pašu vienību.

Otrais variants. Mūsu plauktā ir daudz dažādu bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Uzsveru - ATŠĶIRĪGI, neskatoties uz to, ka praktiski nav atšķirami. Ņemsim vienu no šiem komplektiem. Tad mēs ņemam vienu no citas naturālo skaitļu kopas un pievienojam jau ņemtajai kopai. Mēs pat varam pievienot divas naturālo skaitļu kopas. Tas ir tas, ko mēs iegūstam:

Apakšraksti "viens" un "divi" norāda, ka šie elementi piederēja dažādām kopām. Jā, ja bezgalīgai kopai pievienosit vienu, rezultāts būs arī bezgalīga kopa, taču tā nebūs tāda pati kā sākotnējā kopa. Ja vienai bezgalīgai kopai pievienojat vēl vienu bezgalīgu kopu, rezultāts ir jauna bezgalīga kopa, kas sastāv no pirmo divu kopu elementiem.

Naturālo skaitļu kopa tiek izmantota skaitīšanai tāpat kā lineāls mērīšanai. Tagad iedomājieties, ka lineālam pievienojāt vienu centimetru. Šī būs cita līnija, kas nav vienāda ar sākotnējo.

Jūs varat pieņemt vai nepieņemt manu argumentāciju - tā ir jūsu pašu darīšana. Bet, ja jūs kādreiz saskaraties ar matemātiskām problēmām, padomājiet par to, vai ejat nepareizas spriešanas takas, ko staigājušas matemātiķu paaudzes. Galu galā matemātikas studijas, pirmkārt, veido mūsos stabilu domāšanas stereotipu un tikai pēc tam papildina mūsu garīgās spējas (vai, gluži pretēji, atņem mums brīvdomību).

Svētdien, 2019. gada 4. augustā

Es pabeidzu pēcskriptu rakstam par un ieraudzīju šo brīnišķīgo tekstu Vikipēdijā:

Mēs lasām: "... bagātajai Babilonas matemātikas teorētiskajai bāzei nebija holistiska rakstura, un tā tika samazināta līdz atšķirīgu paņēmienu kopumam, kam nebija kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes."

Oho! Cik mēs esam gudri un cik labi spējam saskatīt citu trūkumus. Vai mums ir grūti aplūkot mūsdienu matemātiku tādā pašā kontekstā? Nedaudz pārfrāzējot iepriekš minēto tekstu, es personīgi saņēmu sekojošo:

Mūsdienu matemātikas bagātīgā teorētiskā bāze pēc būtības nav holistiska, un tā ir reducēta uz atšķirīgu sadaļu kopumu, kam nav kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes.

Es neiešu tālu, lai apstiprinātu savus vārdus - tai ir valoda un noteikumi, kas atšķiras no daudzu citu matemātikas nozaru valodas un konvencijām. Vieniem un tiem pašiem nosaukumiem dažādās matemātikas nozarēs var būt atšķirīga nozīme. Es vēlos veltīt veselu virkni publikāciju mūsdienu matemātikas acīmredzamākajām kļūdām. Uz drīzu tikšanos.

Sestdien, 2019. gada 3. augustā

Kā kopu sadalīt apakškopās? Lai to izdarītu, jums jāievada jauna mērvienība, kas atrodas dažos atlasītās kopas elementos. Apskatīsim piemēru.

Lai mums ir daudz A kas sastāv no četriem cilvēkiem. Šī kopa ir veidota, pamatojoties uz "cilvēkiem". Apzīmēsim šīs kopas elementus ar burtu A, apakšindekss ar numuru norādīs katras personas sērijas numuru šajā komplektā. Ieviesīsim jaunu mērvienību "dzimums" un apzīmēsim to ar burtu b. Tā kā seksuālās īpašības ir raksturīgas visiem cilvēkiem, mēs reizinām katru komplekta elementu A pamatojoties uz dzimumu b. Ievērojiet, ka mūsu “cilvēku” kopums tagad ir kļuvis par “cilvēku ar dzimuma īpašībām” kopu. Pēc tam mēs varam sadalīt seksuālās īpašības vīriešiem bm un sieviešu bw seksuālās īpašības. Tagad mēs varam izmantot matemātisko filtru: mēs izvēlamies vienu no šīm seksuālajām pazīmēm neatkarīgi no tā, kura - vīrietis vai sieviete. Ja cilvēkam ir, tad reizinām ar vienu, ja tādas zīmes nav, tad ar nulli. Un tad mēs izmantojam parasto skolas matemātiku. Paskaties, kas notika.

Pēc reizināšanas, samazināšanas un pārkārtošanas mēs nonācām pie divām apakškopām: vīriešu apakškopas Bm un sieviešu apakškopa Bw. Matemātiķi spriež aptuveni tādā pašā veidā, kad viņi praksē pielieto kopu teoriju. Bet viņi mums nestāsta detaļas, bet sniedz mums gatavo rezultātu - "daudzi cilvēki sastāv no vīriešu apakškopas un sieviešu apakškopas." Protams, jums var rasties jautājums: cik pareizi matemātika ir izmantota iepriekš aprakstītajās transformācijās? Es uzdrošinos jums apliecināt, ka būtībā viss tika izdarīts pareizi, pietiek zināt aritmētikas, Būla algebras un citu matemātikas nozaru matemātisko pamatu. Kas tas ir? Citreiz par to pastāstīšu.

Kas attiecas uz superkopām, varat apvienot divas kopas vienā superkopā, atlasot šo divu kopu elementos esošo mērvienību.

Kā redzat, mērvienības un parastā matemātika padara kopu teoriju par pagātnes reliktu. Pazīme, ka ar kopu teoriju viss nav kārtībā, ir tas, ka matemātiķi ir nākuši klajā ar savu valodu un apzīmējumu kopu teorijai. Matemātiķi rīkojās kā kādreiz šamaņi. Tikai šamaņi zina, kā “pareizi” pielietot savas “zināšanas”. Viņi mums māca šīs "zināšanas".

Nobeigumā es vēlos jums parādīt, kā matemātiķi manipulē .

Pirmdiena, 2019. gada 7. janvāris

Piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras sengrieķu filozofs Zenons no Elejas formulēja savas slavenās aporijas, no kurām slavenākā ir “Ahileja un bruņurupuča” aporija. Lūk, kā tas izklausās:

Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz tā. Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu šo distanci, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs noskrien simts soļus, bruņurupucis rāpo vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgelis, Hilberts... Viņi visi tā vai citādi uzskatīja Zenona aporiju. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās līdz pat šai dienai zinātnieku aprindās vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību ... jautājuma izpētē tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas; ; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, no kā sastāv maldināšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no kvantitātes uz . Šī pāreja nozīmē piemērošanu, nevis pastāvīgus. Cik es saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību izmantošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav piemērots Zenona aporijai. Pielietojot mūsu ierasto loģiku, mēs nonākam slazdā. Mēs, domāšanas inerces dēļ, abpusējai vērtībai piemērojam nemainīgas laika vienības. No fiziskā viedokļa tas izskatās pēc laika palēnināšanās, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apsteigt bruņurupuci.

Ja pagriežam savu ierasto loģiku otrādi, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais viņa ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu “bezgalība”, tad būtu pareizi teikt: “Ahillejs bezgalīgi ātri panāks bruņurupuci”.

Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nepārslēdzieties uz abpusējām vienībām. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Einšteina apgalvojums par gaismas ātruma neatvairāmību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai “Ahillejs un bruņurupucis”. Mums šī problēma vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.

Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:

Lidojoša bulta ir nekustīga, jo tā atrodas miera stāvoklī katrā laika brīdī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika brīdī dažādos telpas punktos atrodas lidojoša bulta, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu, vai automašīna pārvietojas, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču jūs nevarat noteikt attālumu no tām. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienā brīdī uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, bet no tām nevar noteikt kustības faktu (protams, joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija jums palīdzēs ). Īpaši gribu pievērst uzmanību tam, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajag jaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.

Trešdiena, 2018. gada 4. jūlijs

Es jums jau teicu, ar kuras palīdzību šamaņi mēģina sakārtot ““ realitāti. Kā viņi to dara? Kā patiesībā notiek kopas veidošanās?

Sīkāk aplūkosim kopas definīciju: "dažādu elementu kolekcija, kas iecerēta kā vienots veselums". Tagad jūtiet atšķirību starp divām frāzēm: "iedomājams kopumā" un "iedomājams kā veselums". Pirmā frāze ir gala rezultāts, komplekts. Otrā frāze ir iepriekšēja sagatavošanās pūļa veidošanai. Šajā posmā realitāte tiek sadalīta atsevišķos elementos (“veselumā”), no kuriem tad veidosies daudzums (“vienotais veselums”). Tajā pašā laikā tiek rūpīgi uzraudzīts faktors, kas ļauj apvienot “veselumu” “vienā veselumā”, pretējā gadījumā šamaņiem tas neizdosies. Galu galā, šamaņi jau iepriekš zina, kādu komplektu viņi vēlas mums demonstrēt.

Es jums parādīšu procesu ar piemēru. Mēs izvēlamies “sarkano cietvielu pūtītē” - tas ir mūsu “viss”. Tajā pašā laikā mēs redzam, ka šīs lietas ir ar loku, un ir bez loka. Pēc tam mēs atlasām daļu no “veseluma” un veidojam komplektu “ar loku”. Šādi šamaņi iegūst ēdienu, saistot savu kopu teoriju ar realitāti.

Tagad izdarīsim nelielu triku. Ņemsim “cieto ar pūtīti ar banti” un apvienosim šos “veselumus” pēc krāsas, izvēloties sarkanos elementus. Mēs saņēmām daudz "sarkano". Tagad pēdējais jautājums: vai iegūtie komplekti “ar loku” un “sarkans” ir viens un tas pats komplekts vai divi dažādi komplekti? Atbildi zina tikai šamaņi. Precīzāk, paši neko nezina, bet kā saka, tā būs.

Šis vienkāršais piemērs parāda, ka kopu teorija ir pilnīgi bezjēdzīga, kad runa ir par realitāti. Kāds ir noslēpums? Mēs izveidojām komplektu "sarkans ciets ar pūtīti un loku". Veidošana notika pēc četrām dažādām mērvienībām: krāsa (sarkana), stiprība (ciets), raupjums (pūtīte), dekorācija (ar banti). Tikai mērvienību kopums ļauj adekvāti aprakstīt reālus objektus matemātikas valodā. Tas izskatās šādi.

Burts "a" ar dažādiem indeksiem norāda dažādas mērvienības. Mērvienības, ar kurām sākotnējā posmā tiek atšķirts “veselais”, ir izceltas iekavās. Mērvienība, pēc kuras tiek veidota kopa, tiek izņemta no iekavām. Pēdējā rindā redzams gala rezultāts – komplekta elements. Kā redzat, ja kopas veidošanai izmantojam mērvienības, tad rezultāts nav atkarīgs no mūsu darbību secības. Un tā ir matemātika, nevis šamaņu dejas ar tamburīnām. Šamaņi var “intuitīvi” nonākt pie tāda paša rezultāta, apgalvojot, ka tas ir “acīmredzams”, jo mērvienības neietilpst viņu “zinātniskajā” arsenālā.

Izmantojot mērvienības, ir ļoti viegli sadalīt vienu komplektu vai apvienot vairākas kopas vienā supersetā. Apskatīsim tuvāk šī procesa algebru.

Sestdien, 2018. gada 30. jūnijā

Ja matemātiķi nevar reducēt jēdzienu uz citiem jēdzieniem, tad viņi neko nesaprot no matemātikas. Es atbildu: kā vienas kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Atbilde ir ļoti vienkārša: skaitļi un mērvienības.

Mūsdienās viss, ko mēs neņemam, pieder kādai kopai (kā mums apliecina matemātiķi). Starp citu, vai jūs spogulī uz pieres redzējāt sarakstu ar tiem komplektiem, kuriem piederat? Un es tādu sarakstu neesmu redzējis. Teikšu vēl - ne vienai lietai patiesībā ir birka ar komplektu sarakstu, pie kuriem šī lieta pieder. Visi komplekti ir šamaņu izgudrojumi. Kā viņi to dara? Ieskatīsimies nedaudz dziļāk vēsturē un redzēsim, kā izskatījās kopas elementi, pirms matemātiķu šamaņi tos ņēma savās kopās.

Sen, kad neviens nebija dzirdējis par matemātiku un tikai kokiem un Saturnam bija gredzeni, fiziskajos laukos klīda milzīgi savvaļas kopu elementu bari (galu galā šamaņi vēl nebija izgudrojuši matemātiskos laukus). Viņi izskatījās apmēram šādi.

Jā, nebrīnieties, no matemātikas viedokļa visi komplektu elementi visvairāk līdzinās jūras ežiem - no viena punkta, piemēram, adatas, mērvienības izceļas visos virzienos. Tiem, kas atgādinu, ka jebkuru mērvienību var ģeometriski attēlot kā patvaļīga garuma segmentu, bet skaitli kā punktu. Ģeometriski jebkuru daudzumu var attēlot kā segmentu kopumu, kas no viena punkta izceļas dažādos virzienos. Šis punkts ir nulles punkts. Es nezīmēšu šo ģeometriskās mākslas darbu (bez iedvesmas), bet jūs to varat viegli iedomāties.

Kādas mērvienības veido kopas elementu? Visādas lietas, kas raksturo doto elementu no dažādiem skatu punktiem. Tās ir senas mērvienības, kuras izmantoja mūsu senči un par kurām visi jau sen ir aizmirsuši. Šīs ir mūsdienu mērvienības, kuras mēs izmantojam tagad. Tās ir arī mums nezināmas mērvienības, kuras izdomās mūsu pēcteči un kuras izmantos, lai aprakstītu realitāti.

Mēs esam sakārtojuši ģeometriju — piedāvātajam komplekta elementu modelim ir skaidrs ģeometriskais attēlojums. Kā ar fiziku? Mērvienības ir tieša saikne starp matemātiku un fiziku. Ja šamaņi neatzīst mērvienības kā pilnvērtīgu matemātisko teoriju elementu, tā ir viņu problēma. Es personīgi nevaru iedomāties reālo matemātikas zinātni bez mērvienībām. Tāpēc jau pašā stāsta par kopu teoriju sākumā es runāju par to, ka tā ir akmens laikmetā.

Bet pāriesim pie interesantākās lietas - kopu elementu algebra. Algebriski jebkurš kopas elements ir dažādu daudzumu reizinājums (reizināšanas rezultāts).

Es apzināti neizmantoju kopu teorijas konvencijas, jo mēs aplūkojam kopas elementu tās dabiskajā vidē pirms kopu teorijas rašanās. Katrs burtu pāris iekavās apzīmē atsevišķu daudzumu, kas sastāv no cipara, kas apzīmēts ar burtu " n" un mērvienība, kas apzīmēta ar burtu " a". Indeksi blakus burtiem norāda, ka skaitļi un mērvienības ir atšķirīgi. Viens komplekta elements var sastāvēt no bezgala daudzu daudzumu (cik mums un mūsu pēcnācējiem pietiek iztēles). Katra iekava ir ģeometriski attēlota kā atsevišķs segments Piemērā ar jūras ežu viens kronšteins ir viena adata.

Kā šamaņi veido komplektus no dažādiem elementiem? Faktiski pēc mērvienībām vai skaitļiem. Neko nesaprotot no matemātikas, viņi paņem dažādus jūras ežus un rūpīgi tos apskata, meklējot to vienīgo adatu, pa kuru tie veido kopumu. Ja tāda adata ir, tad šis elements ietilpst komplektā, ja tādas nav, tad šis elements nav no šī komplekta. Šamaņi mums stāsta fabulas par domāšanas procesiem un kopumu.

Kā jūs, iespējams, uzminējāt, viens un tas pats elements var piederēt ļoti dažādām kopām. Tālāk es jums parādīšu, kā veidojas kopas, apakškopas un citas šamaniskas nejēdzības. Kā redzat, “kopā nevar būt divi identiski elementi”, bet, ja komplektā ir identiski elementi, šādu kopu sauc par “multisetu”. Saprātīgas būtnes nekad nesapratīs tik absurdu loģiku. Tas ir runājošu papagaiļu un apmācītu pērtiķu līmenis, kuriem nav saprāta no vārda “pilnīgi”. Matemātiķi darbojas kā parasti pasniedzēji, sludinot mums savas absurdās idejas.

Kādreiz tiltu būvējušie inženieri, testējot tiltu, atradās laivā zem tilta. Ja tilts sabruka, viduvējais inženieris nomira zem viņa radītajām drupām. Ja tilts varēja izturēt slodzi, talantīgais inženieris uzbūvēja citus tiltus.

Neatkarīgi no tā, kā matemātiķi slēpjas aiz frāzes "piedomājiet pie manis, es esmu mājā" vai, pareizāk sakot, "matemātika pēta abstraktus jēdzienus", ir viena nabassaite, kas tos nesaraujami saista ar realitāti. Šī nabassaite ir nauda. Pielietosim matemātisko kopu teoriju pašiem matemātiķiem.

Ļoti labi mācījāmies matemātiku un tagad sēžam pie kases, izsniedzam algas. Tātad matemātiķis nāk pie mums par savu naudu. Mēs viņam noskaitām visu summu un izklājam uz sava galda dažādās kaudzēs, kurās ievietojam viena un tā paša nomināla banknotes. Tad mēs no katras kaudzes paņemam vienu rēķinu un iedodam matemātiķim viņa “matemātisko algas komplektu”. Paskaidrosim matemātiķim, ka atlikušos rēķinus viņš saņems tikai tad, kad pierādīs, ka kopa bez identiskiem elementiem nav vienāda ar kopu ar identiskiem elementiem. Šeit sākas jautrība.

Pirmkārt, derēs deputātu loģika: “Uz citiem to var attiecināt, bet uz mani nē!” Tad viņi sāks mūs pārliecināt, ka viena un tā paša nomināla vekseļiem ir dažādi vekseļu numuri, kas nozīmē, ka tos nevar uzskatīt par vienādiem elementiem. Labi, skaitīsim algas monētās – uz monētām nav skaitļu. Šeit matemātiķis sāks izmisīgi atcerēties fiziku: dažādās monētās ir atšķirīgs netīrumu daudzums, kristāla struktūra un atomu izvietojums katrai monētai ir unikāls...

Un tagad man ir visinteresantākais jautājums: kur ir tā robeža, aiz kuras multikopas elementi pārvēršas par kopas elementiem un otrādi? Tāda līnija neeksistē – visu izlemj šamaņi, zinātne te pat ne tuvu nemelo.

Paskaties šeit. Mēs izvēlamies futbola stadionus ar vienādu laukuma laukumu. Lauku platības ir vienādas – tas nozīmē, ka mums ir multikopa. Bet, ja paskatāmies uz šo pašu stadionu nosaukumiem, sanāk daudz, jo nosaukumi ir dažādi. Kā redzat, viena un tā pati elementu kopa ir gan kopa, gan multikopa. Kura ir pareiza? Un te matemātiķis-šamanis-sharpis izvelk no piedurknes trumpju dūzi un sāk mums stāstīt vai nu par setu, vai par multisetu. Jebkurā gadījumā viņš mūs pārliecinās, ka viņam ir taisnība.

Lai saprastu, kā mūsdienu šamaņi darbojas ar kopu teoriju, saistot to ar realitāti, pietiek atbildēt uz vienu jautājumu: kā vienas kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Es jums parādīšu bez "iedomājams kā viens veselums" vai "nav iedomājams kā vienots veselums".

Šajā nodarbībā iepazīsimies ar koordinātu līnijas jēdzienu, atvasināsim tās galvenās īpašības un īpašības. Formulēsim un mācīsimies atrisināt galvenās problēmas. Atrisināsim vairākus šo problēmu apvienošanas piemērus.

No ģeometrijas kursa mēs zinām, kas ir taisne, bet kas jādara ar parastu taisni, lai tā kļūtu par koordinātu līniju?

1) Izvēlieties sākuma punktu;

2) Izvēlieties virzienu;

3) Izvēlieties mērogu;

1. attēlā parādīta regulāra līnija, bet 2. attēlā - koordinātu līnija.

Koordinātu līnija ir līnija l, uz kuras ir izvēlēts sākuma punkts O - atskaites sākumpunkts, skala ir vienības segments, tas ir, segments, kura garums tiek uzskatīts par vienādu ar vienu, un pozitīvs virziens.

Koordinātu līniju sauc arī par koordinātu asi vai X asi.

Noskaidrosim, kāpēc koordinātu līnija ir nepieciešama, lai to izdarītu, mēs definēsim tās galveno īpašību. Koordinātu līnija nosaka vienlīdzīgu atbilstību starp visu skaitļu kopu un visu punktu kopu šajā taisnē. Šeit ir daži piemēri:

Ir doti divi skaitļi: (“+” zīme, modulis ir trīs) un (“-” zīme, modulis ir trīs).

Šeit skaitli sauc par koordinātu A, skaitli sauc par koordinātu B.

Viņi arī saka, ka skaitļa attēls ir punkts C ar koordinātu, un skaitļa attēls ir punkts D ar koordinātu:

Tātad, tā kā koordinātu līnijas galvenā īpašība ir viena pret vienu atbilstības izveidošana starp punktiem un skaitļiem, rodas divi galvenie uzdevumi: norādīt punktu ar noteiktu skaitli, mēs to jau esam izdarījuši iepriekš, un norādīt skaitlis pēc noteikta punkta. Apskatīsim otrā uzdevuma piemēru:

Dot punktu M:

Lai noteiktu skaitli no dotā punkta, vispirms ir jānosaka attālums no sākuma līdz punktam. Šajā gadījumā attālums ir divi. Tagad jums ir jānosaka skaitļa zīme, tas ir, kurā taisnās līnijas starā atrodas punkts M. Šajā gadījumā punkts atrodas pa labi no sākuma, pozitīvā starā, kas nozīmē skaitli ir “+” zīme.

Ņemsim vēl vienu punktu un izmantosim to, lai noteiktu skaitli:

Attālums no sākuma līdz punktam ir līdzīgs iepriekšējā piemērā, vienāds ar divi, bet šajā gadījumā punkts atrodas pa kreisi no sākuma, uz negatīvā stara, kas nozīmē, ka punkts N raksturo skaitli

Visas tipiskās problēmas, kas saistītas ar koordinātu līniju, vienā vai otrā veidā ir saistītas ar tās galveno īpašību un divām galvenajām problēmām, kuras mēs formulējām un atrisinājām.

Tipiski uzdevumi ietver:

-jāprot izvietot punktus un to koordinātes;

-saprast skaitļu salīdzinājumu:

izteiksme nozīmē, ka punkts C ar koordinātu 4 atrodas pa labi no punkta M ar koordinātu 2:

Un otrādi, ja mums tiek dota punktu atrašanās vieta uz koordinātu līnijas, mums jāsaprot, ka to koordinātas ir saistītas ar noteiktu attiecību:

Doti punkti M(x M) un N(x N):

Mēs redzam, ka punkts M atrodas pa labi no punkta n, kas nozīmē, ka to koordinātas ir saistītas kā

-Attāluma noteikšana starp punktiem.

Mēs zinām, ka attālums starp punktiem X un A ir vienāds ar skaitļa moduli. dosim divus punktus:

Tad attālums starp tiem būs vienāds ar:

Vēl viens ļoti svarīgs uzdevums ir skaitļu kopu ģeometriskais apraksts.

Apsveriet staru, kas atrodas uz koordinātu ass, neietver tā izcelsmi, bet ietver visus pārējos punktus:

Tātad, mums ir dota punktu kopa, kas atrodas uz koordinātu ass. Aprakstīsim skaitļu kopu, ko raksturo šī punktu kopa. Šādu skaitļu un punktu ir neskaitāmi, tāpēc šis ieraksts izskatās šādi:

Paskaidrosim: otrajā ierakstīšanas opcijā, ja ievietojat iekavas “(”, tad galējais skaitlis - šajā gadījumā skaitlis 3, komplektā neietilpst, bet, ja ievietojat kvadrātiekava "[ ”, tad galējais skaitlis ir iekļauts komplektā.

Tātad, mēs esam analītiski uzrakstījuši skaitlisku kopu, kas raksturo noteiktu punktu kopu. analītiskā pierakstīšana, kā jau teicām, tiek veikta vai nu nevienādības, vai intervāla formā.

Tiek dots punktu kopums:

Šajā gadījumā komplektā ir iekļauts punkts a=3. Analītiski aprakstīsim skaitļu kopu:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka iekavas vienmēr tiek ievietotas aiz vai pirms bezgalības zīmes, jo mēs nekad nesasniegsim bezgalību, un blakus ciparam var būt iekava vai kvadrātiekava atkarībā no uzdevuma nosacījumiem.

Apskatīsim apgrieztas problēmas piemēru.

Tiek dota koordinātu līnija. Uzzīmējiet uz tā punktu kopu, kas atbilst skaitliskajai kopai, un:

Koordinātu līnija nosaka atbilstību viens pret vienu starp jebkuru punktu un skaitli, un tādējādi starp skaitliskām kopām un punktu kopām. Mēs apskatījām starus, kas vērsti gan pozitīvā, gan negatīvā virzienā, iekļaujot to virsotni un neiekļaujot to. Tagad apskatīsim segmentus.

10. piemērs:

Tiek dota skaitļu kopa. Uzzīmējiet atbilstošo punktu kopu

11. piemērs:

Tiek dota skaitļu kopa. Uzzīmējiet punktu kopu:

Dažreiz, lai parādītu, ka segmenta gali nav iekļauti komplektā, tiek uzzīmētas bultiņas:

12. piemērs:

Tiek dota numuru kopa. Izveidojiet tā ģeometrisko modeli:

Atrodiet mazāko skaitli no intervāla:

Atrodiet lielāko skaitli intervālā, ja tāds pastāv:

Mēs varam atņemt patvaļīgi mazu skaitli no astoņiem un teikt, ka rezultāts būs lielākais skaitlis, bet mēs uzreiz atradīsim vēl mazāku skaitli, un atņemšanas rezultāts palielināsies tā, ka nav iespējams atrast lielāko skaitli. šis intervāls.

Pievērsīsim uzmanību tam, ka nav iespējams izvēlēties tuvāko skaitli jebkuram skaitlim uz koordinātu līnijas, jo vienmēr ir vēl tuvāks skaitlis.

Cik naturālu skaitļu ir dotajā intervālā?

No intervāla mēs izvēlamies šādus naturālus skaitļus: 4, 5, 6, 7 - četri naturālie skaitļi.

Atcerieties, ka naturālie skaitļi ir skaitļi, ko izmanto skaitīšanai.

Paņemsim vēl vienu komplektu.

13. piemērs:

Dota skaitļu kopa

Izveidojiet tā ģeometrisko modeli: