Trīs skaitļu mazākā kopīgā reizinājuma piemēri. Visretāk sastopamā daudzkāršā atrašana: metodes, LCM atrašanas piemēri

Lai saprastu, kā aprēķināt LCM, vispirms ir jānosaka termina "vairāki" nozīme.

A daudzkārtnis ir naturāls skaitlis, kas dalās ar A bez atlikuma. Tādējādi 15, 20, 25 un tā tālāk var uzskatīt par 5 reizinātājiem.

Konkrēta skaitļa dalītāju skaits var būt ierobežots, taču ir bezgalīgs daudzkārtņu skaits.

Dabisku skaitļu kopīgs daudzkārtnis ir skaitlis, kas dalās ar tiem bez atlikuma.

Kā atrast skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni

Vismazākais skaitļu daudzkārtnis (LCM) (divi, trīs vai vairāk) ir mazākais dabiskais skaitlis, kas vienmērīgi dalās ar visiem šiem skaitļiem.

Lai atrastu NOC, varat izmantot vairākas metodes.

Maziem skaitļiem ir ērti izrakstīt rindā visus šo skaitļu daudzkārtņus, līdz starp tiem tiek atrasts kopīgs. Vairāki ierakstā tiek apzīmēti ar lielo burtu K.

Piemēram, skaitļa 4 reizinājumus var uzrakstīt šādi:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Tātad, jūs varat redzēt, ka skaitļu 4 un 6 mazākais kopīgais reizinājums ir skaitlis 24. Šo ierakstu veic šādi:

LCM(4, 6) = 24

Ja skaitļi ir lieli, atrodiet trīs vai vairāku skaitļu kopējo daudzkārtni, tad LCM aprēķināšanai labāk izmantot citu veidu.

Lai izpildītu uzdevumu, piedāvātie skaitļi ir jāsadala pirmfaktoros.

Vispirms rindā jāizraksta lielākā skaitļa paplašinājums, bet zem tā - pārējie.

Katra skaitļa paplašināšanā var būt atšķirīgs faktoru skaits.

Piemēram, ieskaitīsim skaitļus 50 un 20 primārajos faktoros.

Mazākā skaitļa dekompozīcijā ir jāuzsver faktori, kuru nav pirmā lielākā skaitļa dekompozīcijā, un pēc tam tie jāpievieno tam. Parādītajā piemērā trūkst divnieka.

Tagad mēs varam aprēķināt 20 un 50 mazāko kopējo daudzkārtni.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tādējādi lielākā skaitļa pirmkoeficientu un otrā skaitļa faktoru reizinājums, kuri nav iekļauti lielākā skaitļa dekompozīcijā, būs mazākais kopskaitlis.

Lai atrastu trīs vai vairāk skaitļu LCM, tie visi ir jāsadala primārajos faktoros, tāpat kā iepriekšējā gadījumā.

Piemēram, jūs varat atrast skaitļu 16, 24, 36 mazāko kopējo daudzkārtni.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Tādējādi tikai divi divi no sešpadsmit dekompozīcijas netika iekļauti lielāka skaitļa faktorizācijā (viens ir divdesmit četru dekompozīcija).

Tādējādi tie ir jāpievieno lielāka skaitļa sadalīšanai.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Ir īpaši gadījumi, kā noteikt mazāko kopējo daudzkārtni. Tātad, ja vienu no skaitļiem bez atlikuma var dalīt ar citu, tad lielākais no šiem skaitļiem būs mazākais kopīgais reizinājums.

Piemēram, NOC no divpadsmit un divdesmit četriem būtu divdesmit četri.

Ja nepieciešams atrast vismazāko kopskaitli, kam nav vienādi dalītāji, tad to LCM būs vienāds ar to reizinājumu.

Piemēram, LCM(10, 11) = 110.

Apsveriet trīs veidus, kā atrast vismazāko kopskaitu.

Meklēšana pēc Faktoringa

Pirmais veids ir atrast mazāko kopējo reizinājumu, iedalot dotos skaitļus primārajos faktoros.

Pieņemsim, ka mums jāatrod skaitļu LCM: 99, 30 un 28. Lai to izdarītu, mēs sadalām katru no šiem skaitļiem primārajos faktoros:

Lai vēlamais skaitlis dalītos ar 99, 30 un 28, ir nepieciešams un pietiekami, lai tajā būtu iekļauti visi šo dalītāju pirmfaktori. Lai to izdarītu, mums ir jāņem visi šo skaitļu galvenie koeficienti līdz lielākajai pakāpei un jāreizina kopā:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Tātad LCM (99, 30, 28) = 13 860. Neviens cits skaitlis, kas ir mazāks par 13 860, nedalās vienmērīgi ar 99, 30 vai 28.

Lai atrastu doto skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni, tie jāsadala pirmfaktoros, pēc tam jāņem katrs galvenais koeficients ar lielāko eksponentu, ar kuru tas rodas, un šie faktori jāreizina kopā.

Tā kā kopskaitļiem nav kopīgu pirmskaitļu, to mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar šo skaitļu reizinājumu. Piemēram, trīs skaitļi: 20, 49 un 33 ir pirmskaitļi. Tātad

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Tas pats jādara, meklējot dažādu pirmskaitļu mazāko kopējo daudzkārtni. Piemēram, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Meklēšana pēc atlases

Otrs veids ir atrast mazāko kopējo daudzkārtni, pielāgojot.

1. piemērs. Ja lielākais no dotajiem skaitļiem vienmērīgi dalās ar citiem dotajiem skaitļiem, tad šo skaitļu LCM ir vienāds ar lielāko no tiem. Piemēram, doti četri skaitļi: 60, 30, 10 un 6. Katrs no tiem dalās ar 60, tāpēc:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Citos gadījumos, lai atrastu vismazāko kopskaitu, tiek izmantota šāda procedūra:

No dotajiem skaitļiem nosaki lielāko skaitli.
Tālāk mēs atrodam skaitļus, kas ir lielākā skaitļa reizinātāji, reizinot to ar naturāliem skaitļiem augošā secībā un pārbaudot, vai atlikušie dotie skaitļi dalās ar iegūto reizinājumu.

Piemērs 2. Doti trīs skaitļi 24, 3 un 18. Nosakiet lielāko no tiem - tas ir skaitlis 24. Tālāk atrodiet skaitļus, kas ir 24 reizinātāji, pārbaudot, vai katrs no tiem dalās ar 18 un 3:

24 1 = 24 dalās ar 3, bet nedalās ar 18.

24 2 = 48 — dalās ar 3, bet nedalās ar 18.

24 3 \u003d 72 - dalās ar 3 un 18.

Tātad LCM(24, 3, 18) = 72.

Meklēšana pēc secīgās atrašanas LCM

Trešais veids ir atrast mazāko kopējo daudzkārtni, secīgi atrodot LCM.

Divu doto skaitļu LCM ir vienāds ar šo skaitļu reizinājumu, kas dalīts ar to lielāko kopīgo dalītāju.

1. piemērs. Atrodiet divu doto skaitļu LCM: 12 un 8. Nosakiet to lielāko kopīgo dalītāju: GCD (12, 8) = 4. Reiziniet šos skaitļus:

Mēs sadalām produktu viņu GCD:

Tātad LCM(12, 8) = 24.

Lai atrastu trīs vai vairāk skaitļu LCM, tiek izmantota šāda procedūra:

Pirmkārt, tiek atrasts jebkuru divu doto skaitļu LCM.
Pēc tam atrastā mazākā daudzkārtņa un trešā dotā skaitļa LCM.
Pēc tam iegūtā mazākā kopīgā reizinājuma un ceturtā skaitļa LCM un tā tālāk.
Tādējādi LCM meklēšana turpinās tik ilgi, kamēr ir skaitļi.

2. piemērs. Atradīsim trīs doto skaitļu LCM: 12, 8 un 9. Mēs jau esam atraduši skaitļu 12 un 8 LCM iepriekšējā piemērā (tas ir skaitlis 24). Atliek atrast skaitļa 24 mazāko kopējo daudzkārtni un trešo doto skaitli — 9. Nosakiet to lielāko kopīgo dalītāju: gcd (24, 9) = 3. Reiziniet LCM ar skaitli 9:

Mēs sadalām produktu viņu GCD:

Tātad LCM(12, 8, 9) = 72.

Apsveriet šādas problēmas risinājumu. Puiša solis ir 75 cm, bet meitenes solis ir 60 cm Jāatrod mazākais attālums, kurā abi veiks veselu soļu skaitu.

Lēmums. Visam ceļam, ko puiši iet, ir jādalās ar 60 un 70 bez atlikuma, jo viņiem katram jāveic vesels soļu skaits. Citiem vārdiem sakot, atbildei ir jābūt gan 75, gan 60 reizinājumam.

Vispirms mēs izrakstīsim visus skaitļa 75 reizinājumus. Mēs iegūstam:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Tagad izrakstīsim skaitļus, kas būs 60 reizinātāji. Mēs iegūstam:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Tagad mēs atrodam skaitļus, kas atrodas abās rindās.

Kopējie skaitļu reizinātāji būs skaitļi, 300, 600 utt.

Mazākais no tiem ir skaitlis 300. Šajā gadījumā tas tiks saukts par skaitļu 75 un 60 mazāko kopējo daudzkārtni.

Atgriežoties pie problēmas stāvokļa, mazākais attālums, kurā puiši veic veselu soļu skaitu, būs 300 cm.. Zēns šo ceļu ies 4 soļos, bet meitenei vajadzēs spert 5 soļus.

Visretāk sastopamo daudzu atrašana

Divu naturālu skaitļu a un b mazākais kopīgais reizinājums ir mazākais naturālais skaitlis, kas ir gan a, gan b reizinājums.

Lai atrastu divu skaitļu mazāko kopējo reizinājumu, nav nepieciešams pēc kārtas pierakstīt visus šo skaitļu reizinātājus.

Varat izmantot šādu metodi.

Kā atrast mazāko kopējo daudzkārtni

Pirmkārt, šie skaitļi ir jāsadala primārajos faktoros.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Tagad pierakstīsim visus faktorus, kas atrodas pirmā skaitļa (2,2,3,5) izvērsumā, un pievienosim tam visus trūkstošos faktorus no otrā skaitļa (5) izvērsuma.

Rezultātā mēs iegūstam pirmskaitļu virkni: 2,2,3,5,5. Šo skaitļu reizinājums būs vismazāk izplatītais faktors šiem skaitļiem. 2*2*3*5*5 = 300.

Vispārīga shēma mazākā kopīgā daudzskaitļa atrašanai

1. Sadaliet skaitļus pirmfaktoros.
2. Pierakstiet galvenos faktorus, kas ir daļa no viena no tiem.
3. Pievienojiet šiem faktoriem visus tos, kas atrodas pārējā dekompozīcijā, bet ne atlasītajā.
4. Atrodiet visu izrakstīto faktoru reizinājumu.

Šī metode ir universāla. To var izmantot, lai atrastu mazāko kopējo daudzkārtni jebkuram naturālu skaitļu skaitam.

Definīcija. Tiek izsaukts lielākais naturālais skaitlis, ar kuru skaitļi a un b dalās bez atlikuma lielākais kopīgais dalītājs (gcd)šie skaitļi.

Atradīsim skaitļu 24 un 35 lielāko kopīgo dalītāju.
Dalītāji no 24 būs skaitļi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, bet dalītāji no 35 būs skaitļi 1, 5, 7, 35.
Mēs redzam, ka skaitļiem 24 un 35 ir tikai viens kopīgs dalītājs - skaitlis 1. Tādus skaitļus sauc koprime.

Definīcija. Tiek saukti naturālie skaitļi koprime ja to lielākais kopīgais dalītājs (gcd) ir 1.

Lielākais kopīgais dalītājs (GCD) var atrast, neizrakstot visus doto skaitļu dalītājus.

Faktorējot skaitļus 48 un 36, mēs iegūstam:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
No faktoriem, kas iekļauti pirmā no šiem skaitļiem, mēs svītrojam tos, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā (t.i., divi divi).
Paliek koeficienti 2 * 2 * 3. To reizinājums ir 12. Šis skaitlis ir lielākais skaitļu 48 un 36 kopīgais dalītājs. Tiek atrasts arī lielākais kopējais dalītājs no trim vai vairākiem skaitļiem.

Atrast lielākais kopīgais dalītājs

2) no faktoriem, kas iekļauti viena no šo skaitļu izvēršanā, izsvītro tos, kas nav iekļauti citu skaitļu izvēršanā;
3) atrast atlikušo faktoru reizinājumu.

Ja visi dotie skaitļi dalās ar vienu no tiem, tad šis skaitlis ir lielākais kopīgais dalītājs dotos skaitļus.
Piemēram, skaitļu 15, 45, 75 un 180 lielākais kopīgais dalītājs ir 15, jo tas dala visus pārējos skaitļus: 45, 75 un 180.

Mazāk izplatītais daudzkārtnis (LCM)

Definīcija. Mazāk izplatītais daudzkārtnis (LCM) naturālie skaitļi a un b ir mazākais naturālais skaitlis, kas ir gan a, gan b reizinājums. Skaitļu 75 un 60 mazāko kopīgo reizinātāju (LCM) var atrast, neizrakstot šo skaitļu reizinājumus pēc kārtas. Lai to izdarītu, mēs sadalām 75 un 60 vienkāršos faktoros: 75 \u003d 3 * 5 * 5 un 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Mēs izrakstām faktorus, kas iekļauti pirmā no šiem skaitļiem, un pievienojam tiem trūkstošos faktorus 2 un 2 no otrā skaitļa izvērsuma (tas ir, mēs apvienojam faktorus).
Iegūstam piecus faktorus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kuru reizinājums ir 300. Šis skaitlis ir skaitļu 75 un 60 mazākais kopīgais reizinājums.

Atrodiet arī trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju.

Uz atrast mazāko kopējo daudzkārtni vairāki naturālie skaitļi, jums ir nepieciešams:
1) sadalīt tos pirmfaktoros;
2) izraksta viena no skaitļiem izvērsumā iekļautos faktorus;
3) pievieno tiem trūkstošos faktorus no atlikušo skaitļu paplašinājumiem;
4) atrast iegūto faktoru reizinājumu.

Ņemiet vērā: ja viens no šiem skaitļiem dalās ar visiem pārējiem skaitļiem, tad šis skaitlis ir šo skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.
Piemēram, skaitļu 12, 15, 20 un 60 mazākais kopīgais reizinājums būtu 60, jo tas dalās ar visiem dotajiem skaitļiem.

Pitagors (VI gs. p.m.ē.) un viņa skolēni pētīja skaitļu dalāmības jautājumu. Skaitli, kas vienāds ar visu tā dalītāju summu (bez paša skaitļa), viņi sauca par ideālo skaitli. Piemēram, skaitļi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ir ideāli. Nākamie ideālie skaitļi ir 496, 8128, 33 550 336. Pitagorieši zināja tikai pirmos trīs perfektos skaitļus. Ceturtais - 8128 - kļuva zināms 1. gadsimtā. n. e. Piektais - 33 550 336 - tika atrasts 15. gadsimtā. 1983. gadā jau bija zināmi 27 ideāli skaitļi. Bet līdz šim zinātnieki nezina, vai ir nepāra ideālie skaitļi, vai ir lielākais ideālais skaitlis.
Seno matemātiķu interese par pirmskaitļiem ir saistīta ar to, ka jebkurš skaitlis ir vai nu pirmskaitļu reizinājums, vai arī to var attēlot kā pirmskaitļu reizinājumu, tas ir, pirmskaitļi ir kā ķieģeļi, no kuriem būvē pārējos naturālos skaitļus.
Droši vien pamanījāt, ka pirmskaitļi naturālo skaitļu rindās rodas nevienmērīgi – dažās sērijas daļās to ir vairāk, citās – mazāk. Bet jo tālāk virzāmies pa skaitļu sēriju, jo retāk kļūst pirmskaitļi. Rodas jautājums: vai pastāv pēdējais (lielākais) pirmskaitlis? Sengrieķu matemātiķis Eiklīds (3. gs. p.m.ē.) savā grāmatā "Sākums", kas divus tūkstošus gadu bija galvenā matemātikas mācību grāmata, pierādīja, ka pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz, tas ir, aiz katra pirmskaitļa ir pāra skaitlis. lielāks pirmskaitlis.
Lai atrastu pirmskaitļus, cits tā paša laika grieķu matemātiķis Eratostens nāca klajā ar šādu metodi. Viņš pierakstīja visus skaitļus no 1 līdz kādam skaitlim un pēc tam izsvītroja vienību, kas nav ne pirmskaitlis, ne salikts skaitlis, pēc tam caur vienu izsvītroja visus skaitļus aiz 2 (skaitļus, kas ir 2, t.i., 4, reizinātāji, 6, 8 utt.). Pirmais atlikušais skaitlis pēc 2 bija 3. Pēc tam pēc diviem tika izsvītroti visi skaitļi pēc 3 (skaitļi, kas ir 3 reizinātāji, t.i., 6, 9, 12 utt.). beigās neizsvītroti palika tikai pirmskaitļi.

Studentiem tiek dots daudz matemātikas uzdevumu. Starp tiem ļoti bieži ir uzdevumi ar šādu formulējumu: ir divas vērtības. Kā atrast doto skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni? Ir jāspēj veikt šādus uzdevumus, jo iegūtās prasmes tiek izmantotas darbam ar daļskaitļiem ar dažādiem saucējiem. Rakstā mēs analizēsim, kā atrast LCM un pamatjēdzienus.

Pirms atrodat atbildi uz jautājumu par to, kā atrast LCM, jums ir jādefinē termins daudzkārtējs. Visbiežāk šī jēdziena formulējums ir šāds: kādas vērtības A daudzkārtnis ir naturāls skaitlis, kas bez atlikuma dalīsies ar A. Tātad 4, 8, 12, 16, 20 un tā tālāk, līdz pat nepieciešamo limitu.

Šajā gadījumā konkrētas vērtības dalītāju skaitu var ierobežot, un ir bezgalīgi daudz reizinātāju. Tāda pati vērtība ir arī dabas vērtībām. Tas ir rādītājs, kas tiek dalīts ar tiem bez atlikuma. Apstrādājot noteiktu rādītāju mazākās vērtības jēdzienu, pāriesim pie tā, kā to atrast.

NOC atrašana

Divu vai vairāku eksponentu mazākais reizinājums ir mazākais naturālais skaitlis, kas pilnībā dalās ar visiem dotajiem skaitļiem.

Ir vairāki veidi, kā atrast šādu vērtību. Apsvērsim šādas metodes:

Ja skaitļi ir mazi, ierakstiet rindā visus, kas dalās ar to. Turpiniet to darīt, līdz atrodat kaut ko kopīgu starp viņiem. Ierakstā tie ir apzīmēti ar burtu K. Piemēram, 4 un 3 mazākais daudzkārtnis ir 12.
Ja tie ir lieli vai jums ir jāatrod reizinātājs 3 vai vairākām vērtībām, izmantojiet citu metodi, kas ietver skaitļu sadalīšanu primārajos faktoros. Vispirms izklājiet lielāko no norādītajiem, pēc tam visu pārējo. Katram no tiem ir savs reizinātāju skaits. Piemēram, sadalīsim 20 (2*2*5) un 50 (5*5*2). Mazākajam no tiem pasvītrojiet faktorus un pievienojiet lielākajam. Rezultāts būs 100, kas būs iepriekšminēto skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.
Meklējot 3 skaitļus (16, 24 un 36), principi ir tādi paši kā pārējiem diviem. Izvērsīsim katru no tiem: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Lielāko dekompozīcijā netika iekļauti tikai divi divnieki no skaitļa 16 izvērsuma.Saskaitām tos un iegūstam 144, kas ir mazākais rezultāts iepriekš norādītajām skaitliskajām vērtībām.

Tagad mēs zinām, kāds ir vispārīgais paņēmiens, lai atrastu mazāko vērtību divām, trim vai vairākām vērtībām. Tomēr ir arī privātas metodes, palīdzot meklēt NOC, ja iepriekšējie nepalīdz.

Kā atrast GCD un NOC.

Privāti atrašanas veidi

Tāpat kā jebkurā matemātiskajā sadaļā, ir īpaši gadījumi, kad tiek atrasti LCM, kas palīdz konkrētās situācijās:

ja viens no skaitļiem dalās ar pārējiem bez atlikuma, tad šo skaitļu mazākais daudzkārtnis ir vienāds ar to (NOC 60 un 15 ir vienāds ar 15);
Pirmskaitļiem nav kopīgu pirmskaitļu dalītāju. To mazākā vērtība ir vienāda ar šo skaitļu reizinājumu. Tādējādi skaitļiem 7 un 8 tas būs 56;
tas pats noteikums darbojas arī citos gadījumos, arī speciālajos, par kuriem var lasīt specializētajā literatūrā. Tam jāietver arī salikto skaitļu dekompozīcijas gadījumi, par kuriem ir atsevišķi raksti un pat doktora disertācijas.

Īpaši gadījumi ir retāk sastopami nekā standarta piemēri. Bet, pateicoties viņiem, jūs varat iemācīties strādāt ar dažādas sarežģītības pakāpes frakcijām. Tas jo īpaši attiecas uz frakcijām., kur ir dažādi saucēji.

Daži piemēri

Apskatīsim dažus piemērus, pateicoties kuriem jūs varat saprast mazākā daudzkāršā atrašanas principu:

Mēs atrodam LCM (35; 40). Vispirms izklājam 35 = 5 * 7, pēc tam 40 = 5 * 8. Mēs pievienojam 8 mazākajam skaitlim un iegūstam NOC 280.
NOC (45; 54). Mēs izkārtojam katru no tiem: 45 = 3 * 3 * 5 un 54 = 3 * 3 * 6. Mēs pievienojam skaitli 6 ar 45. Mēs iegūstam NOC, kas vienāds ar 270.
Nu, pēdējais piemērs. Ir 5 un 4. Tiem nav vienkāršu reizinājumu, tāpēc mazākais kopīgais reizinājums šajā gadījumā būs viņu reizinājums, kas vienāds ar 20.

Pateicoties piemēriem, var saprast, kā atrodas NOC, kādas ir nianses un kāda ir šādu manipulāciju nozīme.

NOC atrašana ir daudz vienkāršāka, nekā varētu šķist sākumā. Šim nolūkam tiek izmantota gan vienkārša paplašināšana, gan vienkāršu vērtību reizināšana savā starpā.. Spēja strādāt ar šo matemātikas sadaļu palīdz tālākā matemātikas tēmu izpētē, jo īpaši dažādas sarežģītības pakāpes frakcijas.

Neaizmirstiet periodiski risināt piemērus ar dažādām metodēm, tas attīsta loģisko aparātu un ļauj atcerēties daudzus terminus. Apgūstiet metodes šāda rādītāja atrašanai, un jūs varēsiet labi strādāt ar pārējām matemātikas sadaļām. Priecīgu matemātikas apguvi!