Skaitļa mazākais kopīgais reizinātājs 2. Kā atrast mazāko kopējo reizinātāju, bet diviem vai vairākiem skaitļiem

Kā atrast mazāko kopīgo reizinātāju?

Ir jāatrod katrs faktors katram no diviem skaitļiem, kuriem mēs atrodam mazāko kopējo reizinātāju, un pēc tam jāreizina viens ar otru faktori, kas sakrita ar pirmo un otro skaitļu. Produkta rezultāts būs vēlamais daudzkārtējs.

Piemēram, mums ir skaitļi 3 un 5, un mums ir jāatrod LCM (vismazākais daudzkārtējs). Mēs jāreizina un trīs un pieci visiem skaitļiem, sākot no 1 2 3 ... un tā tālāk, līdz mēs redzam tas pats numursšeit un tur.

Mēs reizinām trīs un iegūstam: 3, 6, 9, 12, 15

Reiziniet pieci un iegūstiet: 5, 10, 15

Galvenās faktorizācijas metode ir visklasiskākā vairāku skaitļu mazākā kopskaita (LCM) atrašanai. Šī metode ir skaidri un vienkārši parādīta šajā videoklipā:

Saskaita, reizina, dala, samazina līdz kopsaucējam un citi aritmētiskās darbībasļoti aizraujoša nodarbe, īpaši tiek apbrīnoti piemēri, kas aizņem veselu lapu.

Tātad atrodiet divu skaitļu kopējo reizinātāju, kas būs mazākais skaitlis, ar kuru divi skaitļi dalās. Es gribu atzīmēt, ka nākotnē nav nepieciešams ķerties pie formulām, lai atrastu to, ko meklējat, ja jūs varat skaitīt savā prātā (un to var apmācīt), tad paši skaitļi parādās jūsu galvā un tad frakcijas klikšķ kā rieksti.

Sākumā mēs uzzināsim, ka mēs varam reizināt divus skaitļus viens pret otru un pēc tam samazināt šo skaitli un dalīt pārmaiņus ar šiem diviem skaitļiem, lai mēs atrastu mazāko daudzkārtni.

Piemēram, divi skaitļi 15 un 6. Mēs reizinām un iegūstam 90. Tas ir skaidri redzams vairāk numuru. Turklāt 15 dalās ar 3 un 6 dalās ar 3, kas nozīmē, ka mēs arī dalām 90 ar 3. Mēs iegūstam 30. Mēs cenšamies dalīt 30 ar 15 ir 2. Un 30 dala 6 ir 5. Tā kā 2 ir robeža, izrādās, ka skaitļu 15 un 6 mazākais daudzkārtnis būs 30.

Ar vairāk skaitļiem tas būs nedaudz grūtāk. bet, ja zini, kuri skaitļi dalot vai reizinot dod nulles atlikumu, tad principā lielu grūtību nav.

• Kā atrast NOC

  Šeit ir videoklips, kas parādīs divus veidus, kā atrast vismazāko kopskaitu (LCM). Praktizējoties, izmantojot pirmo no piedāvātajām metodēm, jūs varat labāk saprast, kas ir mazākais kopskaits.

Tālāk ir norādīts vēl viens veids, kā atrast vismazāko kopskaitu. Apskatīsim ilustratīvu piemēru.

Ir nepieciešams uzreiz atrast trīs skaitļu LCM: 16, 20 un 28.

• Mēs attēlojam katru skaitli kā tā galveno faktoru reizinājumu:
• Mēs pierakstām visu galveno faktoru pilnvaras:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Mēs izvēlamies visus galvenos dalītājus (reizinātājus) ar lielākajām pakāpēm, reizinām tos un atrodam LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Tādējādi aprēķina rezultātā tika iegūts skaitlis 560. Tas ir mazākais kopīgais daudzkārtnis, tas ir, dalās ar katru no trim skaitļiem bez atlikuma.

Mazākais kopīgais reizinājums ir skaitlis, ko var dalīt ar vairākiem piedāvātajiem skaitļiem bez atlikuma. Lai aprēķinātu šādu skaitli, jums ir jāņem katrs skaitlis un jāsadala vienkāršos faktoros. Tie skaitļi, kas atbilst, tiek noņemti. Atstāj visus pa vienam, reizina tos savā starpā un iegūst vēlamo – mazāko kopīgo daudzkārtni.

NOC vai vismazākais daudzkārtnis, ir mazākais dabiskais skaitlis divi vai vairāki skaitļi, kas dalās ar katru no dotajiem skaitļiem bez atlikuma.

Šeit ir piemērs, kā atrast skaitļu 30 un 42 mazāko kopējo daudzkārtni.

• Pirmais solis ir sadalīt šos skaitļus galvenajos faktoros.

Par 30 — tas ir 2 x 3 x 5.

Skaitlim 42 tas ir 2 x 3 x 7. Tā kā 2 un 3 atrodas skaitļa 30 izvērsumā, mēs tos izsvītrojam.

• Mēs izrakstām faktorus, kas ir iekļauti skaitļa 30 izvēršanā. Tas ir 2 x 3 x 5.
• Tagad jums tie jāreizina ar trūkstošo koeficientu, kas mums ir, sadalot 42, un tas ir 7. Mēs iegūstam 2 x 3 x 5 x 7.
• Mēs atrodam, kas ir vienāds ar 2 x 3 x 5 x 7, un iegūstam 210.

Rezultātā mēs iegūstam, ka skaitļu 30 un 42 LCM ir 210.

Lai atrastu mazāko kopējo daudzkārtni, jums ir jāveic dažas vienkāršas darbības pēc kārtas. Apsveriet to, izmantojot divu skaitļu piemēru: 8 un 12

1. Mēs sadalām abus skaitļus galvenajos faktoros: 8=2*2*2 un 12=3*2*2
2. Mēs samazinām tos pašus reizinātājus vienam no skaitļiem. Mūsu gadījumā 2 * 2 atbilst, mēs tos samazinām līdz skaitlim 12, tad 12 būs viens koeficients: 3.
3. Atrodiet visu atlikušo faktoru reizinājumu: 2*2*2*3=24

Pārbaudot, mēs pārliecināmies, ka 24 dalās gan ar 8, gan ar 12, un tas ir mazākais naturālais skaitlis, kas dalās ar katru no šiem skaitļiem. Te nu mēs esam atrast mazāko kopējo daudzkārtni.

Mēģināšu paskaidrot, izmantojot piemēru ar skaitļiem 6 un 8. Mazākais kopīgais reizinājums ir skaitlis, kuru var dalīt ar šiem skaitļiem (mūsu gadījumā 6 un 8), un atlikuma nebūs.

Tātad, mēs sākam reizināt pirmos 6 ar 1, 2, 3 utt. un 8 ar 1, 2, 3 utt.

Tiek izsaukts lielākais naturālais skaitlis, ar kuru skaitļi a un b dalās bez atlikuma lielākais kopīgais dalītājsšie skaitļi. Apzīmē GCD(a, b).

Apsveriet iespēju atrast GCD, izmantojot divu naturālu skaitļu 18 un 60 piemēru:

1 Sadalīsim skaitļus primārajos faktoros:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Izdzēšot no pirmā skaitļa izvērsuma visus faktorus, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā, mēs iegūstam 2×3×3 .

3 Mēs reizinām atlikušos primāros koeficientus pēc izsvītrošanas un iegūstam lielāko kopējo skaitļu dalītāju: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Ņemiet vērā, ka nav nozīmes no pirmā vai otrā skaitļa, ko mēs izsvītrosim, rezultāts būs tāds pats:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 un 432

Sadalīsim skaitļus galvenajos faktoros:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Izdzēšot no pirmā skaitļa, kura faktori nav otrajā un trešajā ciparā, iegūstam:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

GCD( 324 , 111 , 432 )=3

GCD atrašana ar Eiklida algoritmu

Otrs veids, kā atrast lielāko kopīgo dalītāju, izmantojot Eiklida algoritms. Visvairāk ir Eiklida algoritms efektīvs veids atrašana GCD, izmantojot to, jums pastāvīgi jāatrod skaitļu sadalījuma atlikums un jāpiemēro atkārtota formula.

Atkārtota formula GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), kur a mod b ir atlikums, dalot a ar b.

Eiklida algoritms

Piemērs Atrodiet lielāko kopējo skaitļu dalītāju 7920 un 594

Atradīsim GCD( 7920 , 594 ) izmantojot Eiklida algoritmu, mēs aprēķināsim atlikušo dalījuma daļu, izmantojot kalkulatoru.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod. 594 = 7920 — 13 × 594 = 198
• 594 mod. 198 = 594 — 3 × 198 = 0

Rezultātā mēs iegūstam GCD( 7920 , 594 ) = 198

Vismazāk sastopamais daudzkārtnis

Kopsaucēja atrašana, saskaitot un atņemot daļskaitļus dažādi saucēji jāzina un jāprot aprēķināt vismazākais daudzkārtnis(NOC).

Skaitļa "a" daudzkārtnis ir skaitlis, kas pats dalās ar skaitli "a" bez atlikuma.

Skaitļi, kas reizinās ar 8 (tas ir, šie skaitļi tiks dalīti ar 8 bez atlikuma): tie ir skaitļi 16, 24, 32 ...

Vairāki no 9: 18, 27, 36, 45…

Atšķirībā no viena un tā paša skaitļa dalītājiem ir bezgalīgi daudz skaitļa a daudzkārtņu. Dalītāji – galīgs skaitlis.

Divu naturālu skaitļu kopīgs daudzkārtnis ir skaitlis, kas vienmērīgi dalās ar abiem šiem skaitļiem..

Vismazāk sastopamais daudzkārtnis Divu vai vairāku naturālu skaitļu skaitlis (LCM) ir mazākais dabiskais skaitlis, kas dalās ar katru no šiem skaitļiem.

Kā atrast NOC

LCM var atrast un rakstīt divos veidos.

Pirmais veids, kā atrast LCM

Šo metodi parasti izmanto maziem skaitļiem.

1. Mēs ierakstām katra skaitļa reizinājumus rindā, līdz tiek iegūts reizinājums, kas abiem skaitļiem ir vienāds.
2. Skaitļa "a" daudzkārtnis tiek apzīmēts ar lielo burtu "K".

Piemērs. Atrodiet LCM 6 un 8.

Otrs veids, kā atrast LCM

Šo metodi ir ērti izmantot, lai atrastu LCM trim vai vairākiem numuriem.

Identisku faktoru skaits skaitļu izvērsumos var būt atšķirīgs.

Mazākā skaitļa izvēršanā (mazāki skaitļi) pasvītrojiet faktorus, kas netika iekļauti lielākā skaitļa izvēršanā (mūsu piemērā tas ir 2), un pievienojiet šos faktorus lielākā skaitļa izvēršanai.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Ierakstiet iegūto darbu atbildē.
Atbilde: LCM (24, 60) = 120

Varat arī formalizēt vismazākā daudzkārtņa (LCM) atrašanu šādi. Atradīsim LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Kā redzam no skaitļu izvērsuma, visi 12 faktori ir iekļauti 24 (lielākais no skaitļiem) izvērsumā, tāpēc no skaitļa 16 izvērsuma LCM pievienojam tikai vienu 2.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Atbilde: LCM (12, 16, 24) = 48

Īpaši NOC atrašanas gadījumi

Ja viens no skaitļiem vienmērīgi dalās ar citiem, tad šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir vienāds ar šo skaitli.

Piemēram, LCM(60, 15) = 60
Tā kā kopskaitļiem nav kopīgu pirmskaitļu dalītāju, to mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar šo skaitļu reizinājumu.

Mūsu vietnē varat arī izmantot īpašu kalkulatoru, lai tiešsaistē atrastu vismazāko reizinātāju un pārbaudītu aprēķinus.

Ja naturāls skaitlis dalās tikai ar 1 un pats sevi, tad to sauc par pirmskaitli.

Jebkurš naturāls skaitlis vienmēr dalās ar 1 un pats sevi.

Skaitlis 2 ir mazākais pirmskaitlis. Šis ir vienīgais pāra pirmskaitlis, pārējie pirmskaitļi ir nepāra.

Ir daudz pirmskaitļu, un pirmais no tiem ir skaitlis 2. Tomēr pēdējā pirmskaitļa nav. Sadaļā "Mācībām" varat lejupielādēt pirmskaitļu tabulu līdz 997.

Bet daudzi naturālie skaitļi vienmērīgi dalās ar citiem naturāliem skaitļiem.

• skaitlis 12 dalās ar 1, ar 2, ar 3, ar 4, ar 6, ar 12;
• 36 dalās ar 1, ar 2, ar 3, ar 4, ar 6, ar 12, ar 18, ar 36.

Skaitļus, ar kuriem skaitlis dalās vienmērīgi (12 tie ir 1, 2, 3, 4, 6 un 12), sauc par skaitļa dalītājiem.

Naturāla skaitļa a dalītājs ir tāds naturāls skaitlis, kas dala doto skaitli "a" bez atlikuma.

Dabisku skaitli, kuram ir vairāk nekā divi faktori, sauc par saliktu skaitli.

Ņemiet vērā, ka skaitļiem 12 un 36 ir kopīgi dalītāji. Tie ir skaitļi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Lielākais šo skaitļu dalītājs ir 12.

Divu doto skaitļu "a" un "b" kopējais dalītājs ir skaitlis, ar kuru abi dotie skaitļi "a" un "b" tiek dalīti bez atlikuma.

Lielākais kopīgais dalītājs(gcd) no diviem dotajiem skaitļiem "a" un "b" ir lielākais skaits, ar kuru abi skaitļi "a" un "b" dalās bez atlikuma.

Īsumā skaitļu "a" un "b" lielākais kopīgais dalītājs ir uzrakstīts šādi:

Piemērs: gcd (12; 36) = 12 .

Atrisinājuma ierakstā skaitļu dalītājus apzīmē ar lielo burtu "D".

Cipariem 7 un 9 ir tikai viens kopīgs dalītājs - skaitlis 1. Tādus numurus sauc pirmskaitļi.

Kopirma skaitļi ir naturāli skaitļi, kuriem ir tikai viens kopīgs dalītājs - skaitlis 1. Viņu GCD ir 1.

Kā atrast lielāko kopīgo dalītāju

Lai atrastu divu vai vairāku naturālu skaitļu gcd, jums ir nepieciešams:

• sadalīt skaitļu dalītājus pirmfaktoros;

Aprēķini ir ērti rakstīti, izmantojot vertikālu joslu. Pa kreisi no rindas vispirms pierakstiet dividendi, pa labi - dalītāju. Tālāk kreisajā kolonnā pierakstām privātās vērtības.

Tūlīt paskaidrosim ar piemēru. Faktorizēsim skaitļus 28 un 64 primārajos faktoros.

Pasvītrojiet tos pašus galvenos faktorus abos skaitļos.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Atrodam identisku pirmfaktoru reizinājumu un pierakstām atbildi;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Atbilde: GCD (28; 64) = 4

GCD atrašanās vietu var sakārtot divos veidos: kolonnā (kā tas tika darīts iepriekš) vai "rindā".

Pirmais veids, kā rakstīt GCD

Atrodiet GCD 48 un 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Otrs veids, kā rakstīt GCD

Tagad ierakstīsim GCD meklēšanas risinājumu rindā. Atrodiet GCD 10 un 15.

Mūsu informācijas vietnē jūs varat arī atrast lielāko kopīgo dalītāju tiešsaistē, izmantojot palīgprogrammu, lai pārbaudītu aprēķinus.

LCM atrašanas metožu, piemēru atrašana.

Tālāk sniegtais materiāls ir loģisks turpinājums teorijai no raksta ar virsrakstu LCM — vismazāk izplatītais, definīcija, piemēri, attiecības starp LCM un GCD. Šeit mēs runāsim par mazākā kopīgā reizinājuma atrašana (LCM), un Īpaša uzmanība Apskatīsim piemērus. Vispirms parādīsim, kā divu skaitļu LCM tiek aprēķināts šo skaitļu GCD izteiksmē. Pēc tam apsveriet iespēju atrast vismazāko kopējo reizinātāju, skaitļus ierēķinot primārajos faktoros. Pc tam ms koncentrsimies uz trs un LCM atraanu vairāk skaitļus, kā arī pievērsiet uzmanību negatīvo skaitļu LCM aprēķinam.

Lapas navigācija.

Vismazākā daudzkārtņa (LCM) aprēķins, izmantojot gcd

Viens no veidiem, kā atrast vismazāko kopskaitu, ir balstīts uz LCM un GCD saistību. Esošās attiecības starp LCM un GCD ļauj aprēķināt divu pozitīvu veselu skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju, izmantojot zināmo lielāko kopīgo dalītāju. Atbilstošajai formulai ir forma LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Apsveriet piemērus LCM atrašanai saskaņā ar iepriekš minēto formulu.

Atrodiet divu skaitļu 126 un 70 mazāko kopīgo daudzkārtni.

Šajā piemērā a=126 , b=70 . Izmantosim LCM saiti ar GCD, ko izsaka ar formulu LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Tas ir, vispirms ir jāatrod lielākais skaitļu 70 un 126 kopējais dalītājs, pēc kura mēs varam aprēķināt šo skaitļu LCM pēc rakstītās formulas.

Atrodiet gcd(126, 70), izmantojot Eiklida algoritmu: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , tātad gcd(126, 70)=14 .

Tagad mēs atrodam nepieciešamo mazāko kopējo daudzkārtni: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Kas ir LCM(68, 34)?

Tā kā 68 vienmērīgi dalās ar 34 , tad gcd(68, 34)=34 . Tagad mēs aprēķinām mazāko kopējo daudzkārtni: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Ņemiet vērā, ka iepriekšējais piemērs atbilst šādam noteikumam LCM atrašanai pozitīviem veseliem skaitļiem a un b: ja skaitlis a dalās ar b , tad šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir a .

LCM atrašana, iedalot skaitļus galvenajos faktoros

Vēl viens veids, kā atrast vismazāko reizinātāju, ir skaitļu iekļaušana primārajos faktoros. Ja veidojam visu šo skaitļu pirmkoeficientu reizinājumu, pēc kura izslēdzam no šī reizinājuma visus kopīgos pirmfaktorus, kas ir šo skaitļu izvērsumos, tad iegūtais reizinājums būs vienāds ar šo skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni.

Paziņotais noteikums LCM atrašanai izriet no vienādības LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Patiešām, skaitļu a un b reizinājums ir vienāds ar visu to faktoru reizinājumu, kas ir iesaistīti skaitļu a un b paplašināšanā. Savukārt gcd(a, b) ir vienāds ar visu pirmfaktoru reizinājumu, kas vienlaicīgi atrodas skaitļu a un b izvērsumos (kas aprakstīts sadaļā par gcd atrašanu, izmantojot skaitļu sadalīšanu pirmfaktoros ).

Ņemsim piemēru. Ļaujiet mums zināt, ka 75 = 3 5 5 un 210 = 2 3 5 7 . Sastādiet visu šo paplašinājumu faktoru reizinājumu: 2 3 3 5 5 5 7 . Tagad mēs no šī produkta izslēdzam visus faktorus, kas ir gan skaitļa 75, gan skaitļa 210 paplašināšanā (šādi faktori ir 3 un 5), tad produkts iegūs formu 2 3 5 5 7 . Šī reizinājuma vērtība ir vienāda ar 75 un 210 mazāko kopējo daudzkārtni, tas ir, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Pēc skaitļu 441 un 700 ierēķināšanas primārajos faktoros atrodiet šo skaitļu mazāko kopīgo daudzkārtni.

Sadalīsim skaitļus 441 un 700 primārajos faktoros:

Mēs iegūstam 441 = 3 3 7 7 un 700 = 2 2 5 5 7 .

Tagad izveidosim visu faktoru reizinājumu, kas saistīti ar šo skaitļu izvēršanu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Izslēgsim no šī produkta visus faktorus, kas vienlaikus ir abos paplašinājumos (tāds faktors ir tikai viens - tas ir skaitlis 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Tātad LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100.

Noteikumu LCM atrašanai, izmantojot skaitļu sadalīšanu primārajos faktoros, var formulēt nedaudz savādāk. Ja trūkstošos faktorus no skaitļa b izvērsuma pieskaita faktoriem no skaitļa a izvērsuma, tad iegūtā reizinājuma vērtība būs vienāda ar skaitļu a un b mazāko kopīgo daudzkārtni.

Piemēram, ņemsim visus tos pašus skaitļus 75 un 210, to izvērsumi primārajos koeficientos ir šādi: 75=3 5 5 un 210=2 3 5 7 . Trūkstošos faktorus 2 un 7 no 210 dekompozīcijas pievienojam faktoriem 3, 5 un 5 no skaitļa 75 izvērsuma, iegūstam reizinājumu 2 3 5 5 7 , kura vērtība ir LCM(75, 210) .

Atrodiet skaitļu 84 un 648 mazāko kopīgo daudzkārtni.

Vispirms mēs iegūstam skaitļu 84 un 648 sadalīšanos pirmfaktoros. Tie izskatās šādi: 84=2 2 3 7 un 648=2 2 2 3 3 3 3. Pie faktoriem 2 , 2 , 3 un 7 no skaitļa 84 izvērsuma pievienojam trūkstošos faktorus 2 , 3 , 3 un 3 no skaitļa 648 izvērsuma , iegūstam reizinājumu 2 2 2 3 3 3 3 7 , kas ir vienāds ar 4 536 . Tādējādi vēlamais skaitļu 84 un 648 mazākais kopīgais reizinājums ir 4536.

Trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašana

Trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopīgo reizinājumu var atrast, secīgi atrodot divu skaitļu LCM. Atgādiniet atbilstošo teorēmu, kas dod iespēju atrast trīs vai vairāk skaitļu LCM.

Ja ir doti pozitīvi veseli skaitļi a 1 , a 2 , …, a k, šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis m k tiek atrasts secīgajā aprēķinā m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Apsveriet šīs teorēmas piemērošanu četru skaitļu mazākā kopīgā daudzkāršā atrašanas piemērā.

Atrodiet četru skaitļu 140, 9, 54 un 250 LCM.

Vispirms atrodam m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Lai to izdarītu, izmantojot Eiklīda algoritmu, mēs nosakām gcd(140, 9) , mums ir 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , tāpēc gcd( 140, 9) = 1 , no kurienes LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . Tas ir, m 2 = 1 260 .

Tagad mēs atrodam m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Aprēķināsim to caur gcd(1 260, 54) , ko arī nosaka Eiklida algoritms: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tad gcd(1260,54)=18, no kurienes LCM(1260,54)=126054:gcd(1260,54)=1260 54:18=3780. Tas ir, m 3 \u003d 3 780.

Atliek atrast m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Lai to izdarītu, mēs atrodam GCD(3 780, 250), izmantojot Eiklida algoritmu: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Tāpēc gcd(3780,250)=10, tātad LCM(3780,250)=3780250:gcd(3780,250)=3780 250:10=94500. Tas ir, m 4 \u003d 94 500.

Tātad sākotnējo četru skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir 94 500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

Daudzos gadījumos trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopējo reizinātāju var ērti atrast, izmantojot doto skaitļu primārās faktorizācijas. Tajā pašā laikā ir jāievēro nākamais noteikums. Vairāku skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar reizinājumu, ko veido šādi: trūkstošos faktorus no otrā skaitļa paplašināšanas pieskaita visiem faktoriem no pirmā skaitļa paplašināšanas, trūkstošos faktorus no skaitļa paplašināšanas. iegūtajiem faktoriem tiek pievienots trešais skaitlis utt.

Apsveriet piemēru, kā atrast vismazāko kopējo reizinātāju, izmantojot skaitļu sadalīšanu primārajos faktoros.

Atrodiet piecu skaitļu 84, 6, 48, 7, 143 mazāko kopīgo reizinātāju.

Vispirms iegūstam šo skaitļu sadalīšanos pirmfaktoros: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 ir pirmskaitlis, tas sakrīt ar tā sadalīšanos pirmfaktoros) un 143=11 13 .

Lai atrastu šo skaitļu LCM, pirmā skaitļa 84 faktoriem (tie ir 2 , 2 , 3 un 7) jāpievieno trūkstošie faktori no otrā skaitļa 6 izvērsuma. Skaitļa 6 izvērsumā nav iztrūkstošu faktoru, jo gan 2, gan 3 jau ir klāt pirmā skaitļa 84 izvērsumā. Tālāk pie faktoriem 2 , 2 , 3 un 7 pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 2 no trešā skaitļa 48 izvērsuma , iegūstam faktoru kopu 2 ​​, 2 , 2 , 2 , 3 un 7 . Nākamajā darbībā šai kopai nav jāpievieno faktori, jo 7 tajā jau ir iekļauts. Visbeidzot, faktoriem 2 , 2 , 2 , 2 , 3 un 7 mēs pievienojam trūkstošos faktorus 11 un 13 no skaitļa 143 izvērsuma. Mēs iegūstam reizinājumu 2 2 2 2 3 7 11 13 , kas ir vienāds ar 48 048 .

Tāpēc LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

Visretāk sastopamā negatīvo skaitļu daudzuma atrašana

Dažkārt ir uzdevumi, kuros jāatrod mazākais kopīgs skaitļu daudzkārtnis, starp kuriem viens, vairāki vai visi skaitļi ir negatīvi. Šādos gadījumos visi negatīvie skaitļi jāaizstāj ar pretējiem skaitļiem, pēc tam jāatrod pozitīvo skaitļu LCM. Tas ir veids, kā atrast negatīvo skaitļu LCM. Piemēram, LCM(54, –34)=LCM(54, 34) un LCM(–622, –46, –54, –888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Mēs to varam izdarīt, jo a daudzkārtņu kopa ir tāda pati kā −a daudzkārtņu kopa (a un −a ir pretēji skaitļi). Patiešām, pieņemsim, ka b ir kāds a daudzkārtnis, tad b dalās ar a , un dalāmības jēdziens apliecina tāda vesela skaitļa q esamību, ka b=a q . Taču būs patiesa arī vienādība b=(−a)·(−q), kas, pamatojoties uz to pašu dalāmības jēdzienu, nozīmē, ka b dalās ar −a , tas ir, b ir −a daudzkārtnis. Patiess ir arī apgrieztais apgalvojums: ja b ir kāds −a daudzkārtnis, tad b ir arī a daudzkārtnis.

Atrodiet negatīvo skaitļu −145 un −45 mazāko kopīgo daudzkārtni.

Aizstāsim negatīvos skaitļus –145 un –45 ar tiem pretējiem skaitļiem 145 un 45 . Mums ir LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Nosakot gcd(145, 45)=5 (piemēram, izmantojot Eiklida algoritmu), mēs aprēķinām LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305. Tādējādi negatīvo veselo skaitļu –145 un –45 mazākais kopīgais daudzkārtnis ir 1,305 .

www.cleverstudents.ru

Mēs turpinām mācīties nodaļu. Šajā nodarbībā mēs aplūkosim tādus jēdzienus kā GCD un NOC.

GCD ir lielākais kopīgais dalītājs.

NOC ir mazākais kopīgais daudzkārtnis.

Tēma ir diezgan garlaicīga, bet tas ir jāsaprot. Neizprotot šo tēmu, jūs nevarēsiet efektīvi strādāt ar daļskaitļiem, kas matemātikā ir reāls šķērslis.

Lielākais kopīgais dalītājs

Definīcija. Lielākais kopējais skaitļu dalītājs a un b a un b sadalīts bez atlikuma.

Lai labi izprastu šo definīciju, mainīgo vietā mēs aizvietojam a un b piemēram, jebkuri divi skaitļi mainīgā vietā a aizstājiet skaitli 12 un mainīgā vietā b numurs 9. Tagad mēģināsim izlasīt šo definīciju:

Lielākais kopējais skaitļu dalītājs 12 un 9 ir lielākais skaitlis, pēc kura 12 un 9 sadalīts bez atlikuma.

No definīcijas ir skaidrs, ka mēs runājam par kopīgu skaitļu 12 un 9 dalītāju, un šis dalītājs ir lielākais no visiem esošajiem dalītājiem. Šis lielākais kopējais dalītājs (gcd) ir jāatrod.

Lai atrastu divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, tiek izmantotas trīs metodes. Pirmā metode ir diezgan laikietilpīga, taču tā ļauj labi izprast tēmas būtību un sajust visu tās nozīmi.

Otrā un trešā metode ir diezgan vienkārša un ļauj ātri atrast GCD. Mēs apsvērsim visas trīs metodes. Un ko piemērot praksē - jūs izvēlaties.

Pirmais veids ir atrast visus iespējamos divu skaitļu dalītājus un izvēlēties lielāko no tiem. Apskatīsim šo metodi šādā piemērā: atrodiet skaitļu 12 un 9 lielāko kopīgo dalītāju.

Pirmkārt, mēs atrodam visus iespējamos skaitļa 12 dalītājus. Lai to izdarītu, mēs sadalām 12 visos dalītājos diapazonā no 1 līdz 12. Ja dalītājs ļauj dalīt 12 bez atlikuma, tad mēs to iezīmēsim zilā krāsā un iekavās sniedziet atbilstošu skaidrojumu.

12: 1 = 12
(12 dalīts ar 1 bez atlikuma, tāpēc 1 ir 12 dalītājs)

12: 2 = 6
(12 dalīts ar 2 bez atlikuma, tāpēc 2 ir 12 dalītājs)

12: 3 = 4
(12 dalīts ar 3 bez atlikuma, tāpēc 3 ir 12 dalītājs)

12: 4 = 3
(12 dalīts ar 4 bez atlikuma, tāpēc 4 ir 12 dalītājs)

12:5 = 2 (atlicis 2)
(12 nav dalīts ar 5 bez atlikuma, tāpēc 5 nav 12 dalītājs)

12: 6 = 2
(12 dalīts ar 6 bez atlikuma, tāpēc 6 ir 12 dalītājs)

12: 7 = 1 (atlicis 5)
(12 nav dalīts ar 7 bez atlikuma, tāpēc 7 nav 12 dalītājs)

12: 8 = 1 (palikuši 4)
(12 nav dalīts ar 8 bez atlikuma, tāpēc 8 nav 12 dalītājs)

12:9 = 1 (palikuši 3)
(12 nav dalīts ar 9 bez atlikuma, tāpēc 9 nav 12 dalītājs)

12: 10 = 1 (atlicis 2)
(12 nav dalīts ar 10 bez atlikuma, tāpēc 10 nav 12 dalītājs)

12:11 = 1 (atlicis 1)
(12 nav dalīts ar 11 bez atlikuma, tāpēc 11 nav 12 dalītājs)

12: 12 = 1
(12 dalīts ar 12 bez atlikuma, tāpēc 12 ir 12 dalītājs)

Tagad atradīsim skaitļa 9 dalītājus. Lai to izdarītu, pārbaudiet visus dalītājus no 1 līdz 9

9: 1 = 9
(9 dalīts ar 1 bez atlikuma, tāpēc 1 ir 9 dalītājs)

9: 2 = 4 (atlicis 1)
(9 nav dalīts ar 2 bez atlikuma, tāpēc 2 nav 9 dalītājs)

9: 3 = 3
(9 dalīts ar 3 bez atlikuma, tāpēc 3 ir 9 dalītājs)

9: 4 = 2 (atlicis 1)
(9 nav dalīts ar 4 bez atlikuma, tāpēc 4 nav 9 dalītājs)

9:5 = 1 (palikuši 4)
(9 nav dalīts ar 5 bez atlikuma, tāpēc 5 nav 9 dalītājs)

9: 6 = 1 (palikuši 3)
(9 nedalīja ar 6 bez atlikuma, tāpēc 6 nav 9 dalītājs)

9:7 = 1 (atlicis 2)
(9 nav dalīts ar 7 bez atlikuma, tāpēc 7 nav 9 dalītājs)

9:8 = 1 (atlicis 1)
(9 nav dalīts ar 8 bez atlikuma, tāpēc 8 nav 9 dalītājs)

9: 9 = 1
(9 dalīts ar 9 bez atlikuma, tāpēc 9 ir 9 dalītājs)

Tagad pierakstiet abu skaitļu dalītājus. Zilā krāsā iezīmētie skaitļi ir dalītāji. Izrakstīsim tos:

Pēc dalītāju izrakstīšanas jūs varat uzreiz noteikt, kurš no tiem ir lielākais un visizplatītākais.

Pēc definīcijas lielākais 12 un 9 kopīgais dalītājs ir skaitlis, ar kuru 12 un 9 dalās vienmērīgi. Lielākais un kopīgais skaitļu 12 un 9 dalītājs ir skaitlis 3

Gan skaitlis 12, gan skaitlis 9 dalās ar 3 bez atlikuma:

Tātad gcd (12 un 9) = 3

Otrais veids, kā atrast GCD

Tagad apsveriet otro veidu, kā atrast lielāko kopīgo dalītāju. būtība šī metode ir faktorēt abus skaitļus primārajos faktoros un reizināt kopējos.

1. piemērs. Atrodiet skaitļu 24 un 18 GCD

Pirmkārt, iekļausim abus skaitļus galvenajos faktoros:

Tagad mēs reizinām to kopīgos faktorus. Lai neapjuktu, var pasvītrot kopīgos faktorus.

Mēs skatāmies uz skaitļa 24 sadalīšanos. Tā pirmais faktors ir 2. Mēs meklējam to pašu koeficientu skaitļa 18 sadalīšanā un redzam, ka tas arī tur ir. Mēs pasvītrojam abus divus:

Atkal mēs aplūkojam skaitļa 24 dekompozīcijas. Tā otrais faktors ir arī 2. Mēs meklējam to pašu koeficientu skaitļa 18 sadalīšanā un redzam, ka otrreiz tā nav. Tad mēs neko neizceļam.

Nākamo divu skaitļa 24 paplašinājumā trūkst arī skaitļa 18 paplašinājumā.

Mēs pārejam pie pēdējā faktora skaitļa 24 sadalīšanā. Tas ir faktors 3. Mēs meklējam to pašu faktoru skaitļa 18 sadalīšanā un redzam, ka tas arī ir. Mēs uzsveram abus trīs:

Tātad, skaitļu 24 un 18 kopējie faktori ir faktori 2 un 3. Lai iegūtu GCD, šie faktori ir jāreizina:

Tātad gcd (24 un 18) = 6

Trešais veids, kā atrast GCD

Tagad apsveriet trešo veidu, kā atrast lielāko kopīgo dalītāju. Šīs metodes būtība slēpjas faktā, ka skaitļi, kas jāmeklē, lai atrastu lielāko kopējo dalītāju, tiek sadalīti pirmfaktoros. Pēc tam no pirmā skaitļa dekompozīcijas tiek dzēsti faktori, kas nav iekļauti otrā skaitļa dekompozīcijā. Atlikušie skaitļi pirmajā paplašinājumā tiek reizināti un iegūst GCD.

Piemēram, šādā veidā atradīsim GCD skaitļiem 28 un 16. Pirmkārt, mēs sadalām šos skaitļus galvenajos faktoros:

Mēs saņēmām divus paplašinājumus: un

Tagad no pirmā skaitļa izvēršanas mēs svītrojam faktorus, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā. Otrā numura paplašināšana neietver septiņus. Mēs to izdzēsīsim no pirmā paplašinājuma:

Tagad mēs reizinām atlikušos faktorus un iegūstam GCD:

Skaitlis 4 ir lielākais skaitļu 28 un 16 kopīgais dalītājs. Abi šie skaitļi dalās ar 4 bez atlikuma:

2. piemērs Atrodiet skaitļu 100 un 40 GCD

Izrēķinot skaitli 100

Izrēķinot skaitli 40

Mēs saņēmām divus paplašinājumus:

Tagad no pirmā skaitļa izvēršanas mēs svītrojam faktorus, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā. Otrā skaitļa paplašināšana neietver vienu piecinieku (ir tikai viens piecinieks). Mēs to izdzēšam no pirmās sadalīšanas

Reiziniet atlikušos skaitļus:

Mēs saņēmām atbildi 20. Tātad skaitlis 20 ir lielākais skaitļu 100 un 40 kopējais dalītājs. Šie divi skaitļi dalās ar 20 bez atlikuma:

GCD (100 un 40) = 20.

3. piemērs Atrodiet skaitļu 72 un 128 gcd

Izrēķinot skaitli 72

Izrēķinot skaitli 128

2×2×2×2×2×2×2

Tagad no pirmā skaitļa izvēršanas mēs svītrojam faktorus, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā. Otrā skaitļa izvērsumā nav iekļauti divi tripleti (tādu vispār nav). Mēs tos izdzēšam no pirmā paplašinājuma:

Mēs saņēmām atbildi 8. Tātad skaitlis 8 ir lielākais skaitļu 72 un 128 kopējais dalītājs. Šie divi skaitļi dalās ar 8 bez atlikuma:

GCD (72 un 128) = 8

GCD atrašana vairākiem numuriem

Lielāko kopējo dalītāju var atrast vairākiem skaitļiem, nevis tikai diviem. Šim nolūkam skaitļus, kas jāatrod lielākajam kopējam dalītājam, sadala pirmfaktoros, pēc tam atrod šo skaitļu kopējo pirmfaktoru reizinājumu.

Piemēram, atradīsim GCD skaitļiem 18, 24 un 36

Faktorēšanas skaitlis 18

Faktorēšanas skaitlis 24

Faktorēšanas skaitlis 36

Mēs saņēmām trīs paplašinājumus:

Tagad mēs atlasām un pasvītrojam kopējos faktorus šajos skaitļos. Kopējie faktori ir jāiekļauj visos trīs skaitļos:

Mēs redzam, ka kopējie faktori skaitļiem 18, 24 un 36 ir faktori 2 un 3. Sareizinot šos faktorus, mēs iegūstam GCD, kuru mēs meklējam:

Mēs saņēmām atbildi 6. Tātad skaitlis 6 ir lielākais skaitļu 18, 24 un 36 kopējais dalītājs. Šie trīs skaitļi dalās ar 6 bez atlikuma:

GCD (18, 24 un 36) = 6

2. piemērs Atrodiet gcd skaitļiem 12, 24, 36 un 42

Faktorizēsim katru skaitli. Tad mēs atrodam šo skaitļu kopējo faktoru reizinājumu.

Faktorēšanas skaitlis 12

Faktorēšanas skaitlis 42

Mēs saņēmām četrus paplašinājumus:

Tagad mēs atlasām un pasvītrojam kopējos faktorus šajos skaitļos. Kopējie faktori ir jāiekļauj visos četros skaitļos:

Mēs redzam, ka kopējie faktori skaitļiem 12, 24, 36 un 42 ir faktori 2 un 3. Reizinot šos faktorus, mēs iegūstam meklēto GCD:

Mēs saņēmām atbildi 6. Tātad skaitlis 6 ir lielākais skaitļu 12, 24, 36 un 42 kopīgais dalītājs. Šie skaitļi dalās ar 6 bez atlikuma:

gcd(12, 24, 36 un 42) = 6

No iepriekšējās nodarbības mēs zinām, ka, ja kādu skaitli dala ar citu bez atlikuma, to sauc par šī skaitļa daudzkārtni.

Izrādās, ka vairākkārtējs var būt kopīgs vairākiem skaitļiem. Un tagad mūs interesēs divu skaitļu reizinājums, kamēr tam jābūt pēc iespējas mazākam.

Definīcija. Vismazākais skaitļu daudzkārtnis (LCM). a un b- a un b a un numurs b.

Definīcija satur divus mainīgos a un b. Aizstāsim šos mainīgos ar jebkuriem diviem skaitļiem. Piemēram, mainīgā vietā a aizstājiet skaitli 9 un mainīgā vietā b aizstāsim skaitli 12. Tagad mēģināsim izlasīt definīciju:

Vismazākais skaitļu daudzkārtnis (LCM). 9 un 12 - Šis mazākais skaitlis, kas ir daudzkārtējs 9 un 12 . Citiem vārdiem sakot, tas ir tik mazs skaitlis, kas bez atlikuma dalās ar skaitli 9 un uz numuru 12 .

No definīcijas ir skaidrs, ka LCM ir mazākais skaitlis, kas bez atlikuma dalās ar 9 un 12. Šis LCM ir jāatrod.

Ir divi veidi, kā atrast vismazāko kopskaitu (LCM). Pirmais veids ir tas, ka varat pierakstīt pirmos divu skaitļu reizinātājus un pēc tam izvēlēties no šiem skaitļiem tādu skaitļu, kas būs kopīgs gan skaitļiem, gan maziem. Pielietosim šo metodi.

Vispirms noskaidrosim skaitļa 9 pirmos reizinātājus. Lai atrastu skaitļa 9 reizinātājus, jums šie deviņi pēc kārtas jāreizina ar skaitļiem no 1 līdz 9. Iegūtās atbildes būs skaitļa 9 reizinātāji. Tātad , sāksim. Vairāki tiks iezīmēti sarkanā krāsā:

Tagad mēs atrodam skaitļa 12 reizinājumus. Lai to izdarītu, mēs reizinām 12 ar visiem skaitļiem no 1 līdz 12 pēc kārtas.

Apsveriet šādas problēmas risinājumu. Puiša solis ir 75 cm, bet meitenes solis ir 60 cm Jāatrod mazākais attālums, kurā abi veiks veselu soļu skaitu.

Lēmums. Visam ceļam, ko puiši iet, ir jādalās ar 60 un 70 bez atlikuma, jo viņiem katram jāveic vesels soļu skaits. Citiem vārdiem sakot, atbildei ir jābūt gan 75, gan 60 reizinājumam.

Vispirms mēs izrakstīsim visus skaitļa 75 reizinājumus. Mēs iegūstam:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Tagad izrakstīsim skaitļus, kas būs 60 reizinātāji. Mēs iegūstam:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Tagad mēs atrodam skaitļus, kas atrodas abās rindās.

• Kopējie skaitļu reizinātāji būs skaitļi, 300, 600 utt.

Mazākais no tiem ir skaitlis 300. Šajā gadījumā tas tiks saukts par skaitļu 75 un 60 mazāko kopējo daudzkārtni.

Atgriežoties pie problēmas stāvokļa, mazākais attālums, kurā puiši veic veselu soļu skaitu, būs 300 cm.. Zēns šo ceļu ies 4 soļos, bet meitenei vajadzēs spert 5 soļus.

Visretāk sastopamo daudzu atrašana

• Divu naturālu skaitļu a un b mazākais kopīgais reizinājums ir mazākais naturālais skaitlis, kas ir gan a, gan b reizinājums.

Lai atrastu divu skaitļu mazāko kopīgo reizinājumu, nav nepieciešams pēc kārtas pierakstīt visus šo skaitļu reizinātājus.

Varat izmantot šādu metodi.

Kā atrast mazāko kopējo daudzkārtni

Pirmkārt, šie skaitļi ir jāsadala primārajos faktoros.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Tagad pierakstīsim visus faktorus, kas atrodas pirmā skaitļa (2,2,3,5) izvērsumā, un pievienosim tam visus trūkstošos faktorus no otrā skaitļa (5) izvērsuma.

Rezultātā mēs iegūstam pirmskaitļu virkni: 2,2,3,5,5. Šo skaitļu reizinājums būs vismazāk izplatītais faktors šiem skaitļiem. 2*2*3*5*5 = 300.

Vispārīga shēma mazākā kopīgā daudzskaitļa atrašanai

• 1. Sadaliet skaitļus pirmfaktoros.
• 2. Pierakstiet galvenos faktorus, kas ir daļa no viena no tiem.
• 3. Pievienojiet šiem faktoriem visus tos, kas atrodas pārējā dekompozīcijā, bet ne atlasītajā.
• 4. Atrodiet visu izrakstīto faktoru reizinājumu.

Šī metode ir universāla. To var izmantot, lai atrastu mazāko kopējo daudzkārtni jebkuram naturālu skaitļu skaitam.

Tiešsaistes kalkulators ļauj ātri atrast divu vai jebkuru citu skaitļu lielāko kopējo dalītāju un mazāko kopējo daudzkārtni.

Kalkulators GCD un NOC atrašanai

Atrodiet GCD un NOC

GCD un NOC atrasts: 6433

Kā lietot kalkulatoru

• Ievades laukā ievadiet ciparus
• Nepareizu rakstzīmju ievadīšanas gadījumā ievades lauks tiks iezīmēts sarkanā krāsā
• nospiediet pogu "Atrast GCD un NOC"

Kā ievadīt ciparus

• Cipari tiek ievadīti, atdalot tos ar atstarpēm, punktiem vai komatiem
• Ievadīto ciparu garums nav ierobežots, tāpēc garo skaitļu gcd un lcm atrašana nebūs grūta

Kas ir NOD un NOK?

Lielākais kopīgais dalītājs no vairākiem skaitļiem ir lielākais naturāls vesels skaitlis, ar kuru visi sākotnējie skaitļi dalās bez atlikuma. Lielākais kopīgais dalītājs ir saīsināts kā GCD.
Vismazāk sastopamais daudzkārtnis vairāki skaitļi ir mazākais skaitlis, kas dalās ar katru sākotnējo skaitli bez atlikuma. Vismazāk sastopamais daudzkārtnis tiek saīsināts kā NOC.

Kā pārbaudīt, vai skaitlis dalās ar citu skaitli bez atlikuma?

Lai noskaidrotu, vai viens skaitlis dalās ar citu bez atlikuma, var izmantot dažas skaitļu dalāmības īpašības. Tad, tos apvienojot, var pārbaudīt dalāmību ar dažiem no tiem un to kombinācijām.

Dažas skaitļu dalāmības pazīmes

1. Skaitļa dalāmības ar 2 zīme
Lai noteiktu, vai skaitlis dalās ar divi (vai tas ir pāra), pietiek aplūkot šī skaitļa pēdējo ciparu: ja tas ir vienāds ar 0, 2, 4, 6 vai 8, tad skaitlis ir pāra, tas nozīmē, ka tas dalās ar 2.
Piemērs: noteikt, vai skaitlis 34938 dalās ar 2.
Lēmums: paskaties uz pēdējo ciparu: 8 nozīmē, ka skaitlis dalās ar divi.

2. Skaitļa dalāmības ar 3 zīme
Skaitlis dalās ar 3, ja tā ciparu summa dalās ar 3. Tādējādi, lai noteiktu, vai skaitlis dalās ar 3, jums jāaprēķina ciparu summa un jāpārbauda, ​​vai tā dalās ar 3. Pat ja ciparu summa izrādījās ļoti liela, varat atkārtot to pašu procesu. atkal.
Piemērs: nosaka, vai skaitlis 34938 dalās ar 3.
Lēmums: saskaitām ciparu summu: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalās ar 3, tas nozīmē, ka skaitlis dalās ar trīs.

3. Skaitļa dalāmības ar 5 zīme
Skaitlis dalās ar 5, ja tā pēdējais cipars ir nulle vai pieci.
Piemērs: nosaka, vai skaitlis 34938 dalās ar 5.
Lēmums: paskaties uz pēdējo ciparu: 8 nozīmē, ka skaitlis NAV dalās ar pieci.

4. Skaitļa dalāmības ar 9 zīme
Šī zīme ir ļoti līdzīga dalāmības zīmei ar trīs: skaitlis dalās ar 9, ja tā ciparu summa dalās ar 9.
Piemērs: nosaka, vai skaitlis 34938 dalās ar 9.
Lēmums: aprēķinām ciparu summu: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalās ar 9, tas nozīmē, ka skaitlis dalās ar deviņi.

Kā atrast divu skaitļu GCD un LCM

Kā atrast divu skaitļu GCD

Lielākā daļa vienkāršā veidā Aprēķinot divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, ir jāatrod visi iespējamie šo skaitļu dalītāji un jāizvēlas lielākais no tiem.

Apsveriet šo metodi, izmantojot GCD(28, 36) atrašanas piemēru:

1. Mēs faktorizējam abus skaitļus: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
2. Mēs atrodam kopīgus faktorus, tas ir, tos, kas ir abiem skaitļiem: 1, 2 un 2.
3. Mēs aprēķinām šo faktoru reizinājumu: 1 2 2 \u003d 4 - tas ir lielākais skaitļu 28 un 36 kopējais dalītājs.

Kā atrast divu skaitļu LCM

Ir divi visizplatītākie veidi, kā atrast divu skaitļu mazāko reizinājumu. Pirmais veids ir tas, ka varat izrakstīt pirmos divu skaitļu reizinājumus un pēc tam izvēlēties no tiem tādu skaitli, kas būs kopīgs abiem skaitļiem un tajā pašā laikā mazākais. Un otrais ir atrast šo skaitļu GCD. Padomāsim tikai par to.

Lai aprēķinātu LCM, jums jāaprēķina sākotnējo skaitļu reizinājums un pēc tam jāsadala ar iepriekš atrasto GCD. Atradīsim LCM tiem pašiem skaitļiem 28 un 36:

1. Atrodiet skaitļu 28 un 36 reizinājumu: 28 36 = 1008
2. Jau zināms, ka gcd(28, 36) ir 4
3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .

GCD un LCM atrašana vairākiem numuriem

Lielāko kopējo dalītāju var atrast vairākiem skaitļiem, nevis tikai diviem. Šim nolūkam skaitļus, kas jāatrod lielākajam kopējam dalītājam, sadala pirmfaktoros, pēc tam atrod šo skaitļu kopējo pirmfaktoru reizinājumu. Turklāt, lai atrastu vairāku skaitļu GCD, varat izmantot šādu sakarību: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Līdzīga sakarība attiecas arī uz mazāko kopējo skaitļu daudzkārtni: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Piemērs: atrodiet GCD un LCM skaitļiem 12, 32 un 36.

1. Vispirms skaitļus faktorizēsim: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Atradīsim kopējos faktorus: 1, 2 un 2 .
3. Viņu produkts dos gcd: 1 2 2 = 4
4. Tagad atradīsim LCM: šim mēs vispirms atrodam LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Lai atrastu visu trīs skaitļu LCM, jums jāatrod GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288 .

Tālāk sniegtais materiāls ir loģisks turpinājums teorijai no raksta ar virsrakstu LCM - mazākais bieži sastopamais, definīcija, piemēri, attiecības starp LCM un GCD. Šeit mēs runāsim par mazākā kopīgā reizinājuma atrašana (LCM), un īpašu uzmanību pievērsiet piemēru risināšanai. Vispirms parādīsim, kā divu skaitļu LCM tiek aprēķināts šo skaitļu GCD izteiksmē. Pēc tam apsveriet iespēju atrast vismazāko kopējo reizinātāju, skaitļus ierēķinot primārajos faktoros. Pēc tam mēs koncentrēsimies uz trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašanu, kā arī pievērsīsim uzmanību negatīvo skaitļu LCM aprēķinam.

Lapas navigācija.

Vismazākā daudzkārtņa (LCM) aprēķins, izmantojot gcd

Viens no veidiem, kā atrast vismazāko kopskaitu, ir balstīts uz LCM un GCD saistību. Esošās attiecības starp LCM un GCD ļauj aprēķināt divu pozitīvu veselu skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju, izmantojot zināmo lielāko kopīgo dalītāju. Atbilstošajai formulai ir forma LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Apsveriet piemērus LCM atrašanai saskaņā ar iepriekš minēto formulu.

Piemērs.

Atrodiet divu skaitļu 126 un 70 mazāko kopīgo daudzkārtni.

Lēmums.

Šajā piemērā a=126 , b=70 . Izmantosim attiecības starp LCM un GCD, kas izteiktas ar formulu LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Tas ir, vispirms ir jāatrod lielākais skaitļu 70 un 126 kopējais dalītājs, pēc kura mēs varam aprēķināt šo skaitļu LCM pēc rakstītās formulas.

Atrodiet gcd(126, 70), izmantojot Eiklida algoritmu: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , tātad gcd(126, 70)=14 .

Tagad mēs atrodam nepieciešamo mazāko kopīgo reizni: LCM(126,70)=126 70: GCM(126,70)= 126 70:14=630 .

Atbilde:

LCM(126, 70)=630 .

Piemērs.

Kas ir LCM(68, 34)?

Lēmums.

Kā 68 vienmērīgi dalās ar 34 , tad gcd(68, 34)=34 . Tagad mēs aprēķinām mazāko kopīgo reizni: LCM(68,34)=68 34: LCM(68,34)= 68 34:34=68 .

Atbilde:

LCM(68, 34)=68 .

Ņemiet vērā, ka iepriekšējais piemērs atbilst šādam noteikumam LCM atrašanai pozitīviem veseliem skaitļiem a un b: ja skaitlis a dalās ar b, tad šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir a .

LCM atrašana, iedalot skaitļus galvenajos faktoros

Vēl viens veids, kā atrast vismazāko reizinātāju, ir skaitļu iekļaušana primārajos faktoros. Ja veidojam visu šo skaitļu pirmkoeficientu reizinājumu, pēc kura izslēdzam no šī reizinājuma visus kopīgos pirmfaktorus, kas ir šo skaitļu izvērsumos, tad iegūtais reizinājums būs vienāds ar šo skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni.

Izsludinātais LCM atrašanas noteikums izriet no vienlīdzības LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Patiešām, skaitļu a un b reizinājums ir vienāds ar visu to faktoru reizinājumu, kas ir iesaistīti skaitļu a un b paplašināšanā. Savukārt gcd(a, b) ir vienāds ar visu pirmfaktoru reizinājumu, kas vienlaicīgi atrodas skaitļu a un b izvērsumos (kas aprakstīts sadaļā par gcd atrašanu, izmantojot skaitļu sadalīšanu pirmfaktoros ).

Ņemsim piemēru. Ļaujiet mums zināt, ka 75 = 3 5 5 un 210 = 2 3 5 7 . Sastādiet visu šo paplašinājumu faktoru reizinājumu: 2 3 3 5 5 5 7 . Tagad mēs no šī produkta izslēdzam visus faktorus, kas ir gan skaitļa 75, gan skaitļa 210 paplašināšanā (šādi faktori ir 3 un 5), tad produkts iegūs formu 2 3 5 5 7 . Šī reizinājuma vērtība ir vienāda ar skaitļu 75 un 210 mazāko kopējo daudzkārtni, tas ir, LCM(75, 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Piemērs.

Pēc skaitļu 441 un 700 ierēķināšanas primārajos faktoros atrodiet šo skaitļu mazāko kopīgo daudzkārtni.

Lēmums.

Sadalīsim skaitļus 441 un 700 primārajos faktoros:

Mēs iegūstam 441 = 3 3 7 7 un 700 = 2 2 5 5 7 .

Tagad izveidosim visu faktoru reizinājumu, kas saistīti ar šo skaitļu izvēršanu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Izslēgsim no šī produkta visus faktorus, kas vienlaikus ir abos paplašinājumos (tāds faktors ir tikai viens - tas ir skaitlis 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Tādējādi LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Atbilde:

LCM(441, 700)= 44 100.

Noteikumu LCM atrašanai, izmantojot skaitļu sadalīšanu primārajos faktoros, var formulēt nedaudz savādāk. Ja pieskaitām trūkstošos faktorus no skaitļa b izvērsuma pie faktoriem no skaitļa a izvērsuma, tad iegūtā reizinājuma vērtība būs vienāda ar skaitļu a un b mazāko kopējo daudzkārtni..

Piemēram, ņemsim visus tos pašus skaitļus 75 un 210, to izvērsumi primārajos koeficientos ir šādi: 75=3 5 5 un 210=2 3 5 7 . Pie faktoriem 3, 5 un 5 no skaitļa 75 dekompozīcijas pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 7 no skaitļa 210 dekompozīcijas, iegūstam reizinājumu 2 3 5 5 7 , kura vērtība ir LCM(75 , 210) .

Piemērs.

Atrodiet skaitļu 84 un 648 mazāko kopīgo daudzkārtni.

Lēmums.

Vispirms mēs iegūstam skaitļu 84 un 648 sadalīšanos pirmfaktoros. Tie izskatās šādi: 84=2 2 3 7 un 648=2 2 2 3 3 3 3. Pie faktoriem 2 , 2 , 3 un 7 no skaitļa 84 dekompozīcijas pievienojam trūkstošos faktorus 2 , 3 , 3 un 3 no skaitļa 648 dekompozīcijas , iegūstam reizinājumu 2 2 2 3 3 3 3 7 , kas ir vienāds ar 4 536 . Tādējādi vēlamais skaitļu 84 un 648 mazākais kopīgais reizinājums ir 4536.

Atbilde:

LCM(84,648)=4536.

Trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašana

Trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopīgo reizinājumu var atrast, secīgi atrodot divu skaitļu LCM. Atgādiniet atbilstošo teorēmu, kas dod iespēju atrast trīs vai vairāk skaitļu LCM.

Teorēma.

Ja ir doti pozitīvi veseli skaitļi a 1 , a 2 , …, ak, šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis mk ir atrodams secīgajā aprēķinā m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk−1, ak) .

Apsveriet šīs teorēmas piemērošanu četru skaitļu mazākā kopīgā daudzkāršā atrašanas piemērā.

Piemērs.

Atrodiet četru skaitļu 140, 9, 54 un 250 LCM.

Lēmums.

Šajā piemērā a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .

Vispirms atrodam m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Lai to izdarītu, izmantojot Eiklīda algoritmu, mēs nosakām gcd(140, 9) , mums ir 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , tāpēc gcd( 140, 9) = 1 , no kurienes LCM(140,9)=1409: LCM(140,9)= 140 9:1=1 260 . Tas ir, m 2 = 1 260 .

Tagad mēs atrodam m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Aprēķināsim to caur gcd(1 260, 54) , ko arī nosaka Eiklida algoritms: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tad gcd(1260,54)=18, no kurienes LCM(1260,54)=126054:gcd(1260,54)=1260 54:18=3780. Tas ir, m 3 \u003d 3 780.

Palicis, lai atrastu m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Lai to izdarītu, mēs atrodam GCD(3 780, 250), izmantojot Eiklida algoritmu: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Tāpēc gcd(3 780, 250)=10, no kurienes gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. Tas ir, m 4 \u003d 94 500.

Tātad sākotnējo četru skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir 94 500.

Atbilde:

LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.

Daudzos gadījumos trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopējo reizinātāju var ērti atrast, izmantojot doto skaitļu primārās faktorizācijas. Šajā gadījumā ir jāievēro šāds noteikums. Vairāku skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar reizinājumu, ko veido šādi: trūkstošos faktorus no otrā skaitļa paplašināšanas pieskaita visiem faktoriem no pirmā skaitļa paplašināšanas, trūkstošos faktorus no skaitļa paplašināšanas. iegūtajiem faktoriem tiek pievienots trešais skaitlis utt.

Apsveriet piemēru, kā atrast vismazāko kopējo reizinātāju, izmantojot skaitļu sadalīšanu primārajos faktoros.

Piemērs.

Atrodiet piecu skaitļu 84, 6, 48, 7, 143 mazāko kopīgo reizinātāju.

Lēmums.

Pirmkārt, mēs iegūstam šo skaitļu izvērsumus pirmfaktoros: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 pirmfaktori) un 143=11 13 .

Lai atrastu šo skaitļu LCM, pirmā skaitļa 84 faktoriem (tie ir 2 , 2 , 3 un 7 ) jāpievieno trūkstošie faktori no otrā skaitļa 6 izvērsuma. Skaitļa 6 izvērsumā nav iztrūkstošu faktoru, jo gan 2, gan 3 jau ir klāt pirmā skaitļa 84 izvērsumā. Tālāk pie faktoriem 2 , 2 , 3 un 7 pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 2 no trešā skaitļa 48 izvērsuma , iegūstam faktoru kopu 2 ​​, 2 , 2 , 2 , 3 un 7 . Nākamajā darbībā šai kopai nav jāpievieno faktori, jo 7 tajā jau ir iekļauts. Visbeidzot, faktoriem 2 , 2 , 2 , 2 , 3 un 7 mēs pievienojam trūkstošos faktorus 11 un 13 no skaitļa 143 izvērsuma. Mēs iegūstam reizinājumu 2 2 2 2 3 7 11 13 , kas ir vienāds ar 48 048 .