Daudzskaldnis: kā atrast piramīdas sānu virsmas laukumu. Atrodiet regulāras trīsstūrveida piramīdas virsmas laukumu

Videokursā “Saņem A” iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai sekmīgi nokārtotu vienoto valsts eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.

Visa nepieciešamā teorija. Vienotā valsts eksāmena ātrie risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu skaidri skaidrojumi. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.

ir figūra, kuras pamatne ir patvaļīgs daudzstūris, un sānu skaldnes ir attēlotas ar trijstūriem. Viņu virsotnes atrodas vienā punktā un atbilst piramīdas virsotnei.

Piramīda var būt dažāda - trīsstūrveida, četrstūraina, sešstūra utt. Tās nosaukumu var noteikt atkarībā no stūru skaita, kas atrodas blakus pamatnei.
Pareizā piramīda sauc par piramīdu, kurā pamatnes malas, leņķi un malas ir vienādas. Arī šādā piramīdā sānu virsmu laukums būs vienāds.
Piramīdas sānu virsmas laukuma formula ir visu tās virsmu laukumu summa:
Tas ir, lai aprēķinātu patvaļīgas piramīdas sānu virsmas laukumu, jums jāatrod katra atsevišķā trīsstūra laukums un tie jāsaskaita. Ja piramīda ir saīsināta, tad tās sejas ir attēlotas ar trapecveida formām. Regulārai piramīdai ir vēl viena formula. Tajā sānu virsmas laukumu aprēķina pa pamatnes pusperimetru un apotēmas garumu:

Apskatīsim piemēru piramīdas sānu virsmas laukuma aprēķināšanai.
Dota regulāra četrstūra piramīda. Pamatnes puse b= 6 cm, apotēms a= 8 cm. Atrodiet sānu virsmas laukumu.

Regulāras četrstūra piramīdas pamatnē ir kvadrāts. Vispirms atradīsim tā perimetru:

Tagad mēs varam aprēķināt mūsu piramīdas sānu virsmas laukumu:

Lai atrastu daudzskaldņa kopējo laukumu, jums būs jāatrod tā pamatnes laukums. Piramīdas pamatnes laukuma formula var atšķirties atkarībā no tā, kurš daudzstūris atrodas pamatnē. Lai to izdarītu, izmantojiet trijstūra laukuma formulu, paralelograma laukums utt.

Apsveriet piemēru piramīdas pamatnes laukuma aprēķināšanai, ko nosaka mūsu nosacījumi. Tā kā piramīda ir regulāra, tās pamatnē ir kvadrāts.
Kvadrātveida laukums aprēķina pēc formulas: ,
kur a ir kvadrāta mala. Mums tas ir 6 cm. Tas nozīmē, ka piramīdas pamatnes laukums ir:

Tagad atliek tikai atrast daudzskaldņa kopējo laukumu. Piramīdas laukuma formula sastāv no tās pamatnes un sānu virsmas laukuma summas.

Patvaļīgas piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar tās sānu virsmu laukumu summu. Ir jēga dot īpašu formulu šī laukuma izteikšanai regulāras piramīdas gadījumā. Tātad, dosim regulāru piramīdu, kuras pamatnē atrodas regulārs n-stūris, kura mala ir vienāda ar a. Lai h ir sānu virsmas augstums, ko sauc arī par to apotēms piramīdas. Vienas sānu virsmas laukums ir vienāds ar 1/2ah, un visas piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar n/2ha. Tā kā na ir piramīdas pamatnes perimetrs, mēs varam uzrakstīt atrasto formulu formā:

Sānu virsmas laukums regulāras piramīdas reizinājums ir vienāds ar tās apotēmu un pusi no pamatnes perimetra.

Kas attiecas uz kopējais virsmas laukums, tad mēs vienkārši pievienojam pamatnes laukumu sānu laukumam.

Ierakstīta un norobežota sfēra un sfēra. Jāņem vērā, ka piramīdā ierakstītās sfēras centrs atrodas piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plakņu krustpunktā. Aprakstītās sfēras centrs netālu no piramīdas atrodas plakņu krustpunktā, kas šķērso piramīdas malu viduspunktus un ir tām perpendikulāri.

Nocirsta piramīda. Ja piramīdu pārgriež plakne, kas ir paralēla tās pamatnei, tad starp griešanas plakni un pamatni norobežoto daļu sauc. nošķelta piramīda. Attēlā parādīta piramīda; atmetot tās daļu, kas atrodas virs griešanas plaknes, iegūstam nošķeltu piramīdu. Ir skaidrs, ka mazā izmestā piramīda ir homotētiska lielajai piramīdai ar viendabīguma centru virsotnē. Līdzības koeficients ir vienāds ar augstumu attiecību: k=h 2 /h 1, vai sānu malām, vai citiem atbilstošiem abu piramīdu lineārajiem izmēriem. Mēs zinām, ka līdzīgu figūru laukumi ir saistīti kā lineāru izmēru kvadrāti; tātad abu piramīdu pamatu laukumi (t.i., nošķeltas piramīdas pamatu laukums) ir saistīti kā

Šeit S 1 ir apakšējās pamatnes laukums, un S 2 ir nošķeltas piramīdas augšējās pamatnes laukums. Piramīdu sānu virsmas ir vienādās attiecībās. Līdzīgs noteikums pastāv apjomiem.

Līdzīgu ķermeņu apjomi ir saistīti kā to lineāro izmēru kubi; piemēram, piramīdu tilpumi ir saistīti kā to augstumu un pamatu laukuma reizinājums, no kura uzreiz tiek iegūts mūsu likums. Tam ir pilnīgi vispārīgs raksturs un tiešā veidā izriet no tā, ka tilpumam vienmēr ir garuma trešās pakāpes dimensija. Izmantojot šo noteikumu, mēs iegūstam formulu, kas izsaka nošķeltas piramīdas tilpumu caur pamatņu augstumu un laukumu.

Dota nošķelta piramīda ar augstumu h un pamatnes laukumiem S 1 un S 2. Ja iedomājamies, ka tā ir paplašināta līdz pilnai piramīdai, tad līdzības koeficientu starp pilno piramīdu un mazo piramīdu var viegli atrast kā attiecības S 2 /S 1 sakni. Nocirstas piramīdas augstumu izsaka kā h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Tagad mums ir nošķeltas piramīdas tilpums (V 1 un V 2 apzīmē pilnās un mazās piramīdas tilpumus)

nošķeltas piramīdas tilpuma formula

Atvasināsim formulu regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukumam S caur pamatu perimetriem P 1 un P 2 un apotēmas garumu a. Mēs domājam tieši tādā pašā veidā, kā atvasinot tilpuma formulu. Mēs papildinām piramīdu ar augšējo daļu, mums ir P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, kur k ir līdzības koeficients, P 1 un P 2 ir pamatu perimetrs, un S 1 un S 2 ir visas iegūtās piramīdas un attiecīgi tās augšējās daļas sānu virsmu laukumi. Sānu virsmai mēs atrodam (a 1 un a 2 ir piramīdu apotēmi, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukuma formula

Instrukcijas

Pirmkārt, ir vērts saprast, ka piramīdas sānu virsmu attēlo vairāki trīsstūri, kuru laukumus var atrast, izmantojot dažādas formulas, atkarībā no zināmajiem datiem:

S = (a*h)/2, kur h ir augstums, kas nolaists uz sānu a;

S = a*b*sinβ, kur a, b ir trijstūra malas, un β ir leņķis starp šīm malām;

S = (r*(a + b + c))/2, kur a, b, c ir trijstūra malas, un r ir šajā trīsstūrī ierakstītā riņķa rādiuss;

S = (a*b*c)/4*R, kur R ir ap apli apzīmētā trijstūra rādiuss;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (ja trīsstūris ir taisnleņķis);

S = S = (a²*√3)/4 (ja trīsstūris ir vienādmalu).

Faktiski šīs ir tikai visvienkāršākās zināmās formulas trijstūra laukuma atrašanai.

Aprēķinot visu trīsstūru laukumus, kas ir piramīdas skaldnes, izmantojot iepriekš minētās formulas, varat sākt aprēķināt šīs piramīdas laukumu. Tas tiek darīts ārkārtīgi vienkārši: jums ir jāsaskaita visu trīsstūru laukumi, kas veido piramīdas sānu virsmu. To var izteikt ar formulu:

Sp = ΣSi, kur Sp ir sānu virsmas laukums, Si ir i-tā trīsstūra laukums, kas ir daļa no tā sānu virsmas.

Lai iegūtu lielāku skaidrību, mēs varam apsvērt nelielu piemēru: dota regulāra piramīda, kuras sānu malas veido vienādmalu trīsstūri, un tās pamatnē atrodas kvadrāts. Šīs piramīdas malas garums ir 17 cm. Nepieciešams atrast šīs piramīdas sānu virsmas laukumu.

Risinājums: ir zināms šīs piramīdas malas garums, ir zināms, ka tās skaldnes ir vienādmalu trīsstūri. Tādējādi mēs varam teikt, ka visu sānu virsmas trīsstūru malas ir vienādas ar 17 cm. Tāpēc, lai aprēķinātu jebkura no šiem trijstūriem laukumu, jums būs jāizmanto formula:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Ir zināms, ka piramīdas pamatnē atrodas kvadrāts. Tādējādi ir skaidrs, ka ir četri doti vienādmalu trijstūri. Tad piramīdas sānu virsmas laukumu aprēķina šādi:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Atbilde: Piramīdas sānu virsmas laukums ir 500,548 cm²

Vispirms aprēķināsim piramīdas sānu virsmas laukumu. Sānu virsma ir visu sānu virsmu laukumu summa. Ja jums ir darīšana ar regulāru piramīdu (tas ir, tādu, kuras pamatnē ir regulārs daudzstūris un kura virsotne ir projicēta šī daudzstūra centrā), tad, lai aprēķinātu visu sānu virsmu, pietiek reizināt piramīdas perimetru. pamatne (tas ir, visu daudzstūra malu garumu summa, kas atrodas pie pamatnes piramīdas) ar sānu virsmas augstumu (citādi saukta par apotēmu) un iegūto vērtību dala ar 2: Sb = 1/2P* h, kur Sb ir sānu virsmas laukums, P ir pamatnes perimetrs, h ir sānu virsmas augstums (apotēms).

Ja jums priekšā ir patvaļīga piramīda, jums būs atsevišķi jāaprēķina visu seju laukumi un pēc tam tie jāsaskaita. Tā kā piramīdas sānu malas ir trīsstūri, izmantojiet trijstūra laukuma formulu: S=1/2b*h, kur b ir trijstūra pamatne un h ir augstums. Kad visu skaldņu laukumi ir aprēķināti, atliek tikai tos saskaitīt, lai iegūtu piramīdas sānu virsmas laukumu.

Tad jums jāaprēķina piramīdas pamatnes laukums. Aprēķina formulas izvēle ir atkarīga no tā, kurš daudzstūris atrodas piramīdas pamatnē: regulārs (tas ir, viens ar vienāda garuma visām malām) vai neregulārs. Regulāra daudzstūra laukumu var aprēķināt, reizinot perimetru ar daudzstūrī ierakstītā apļa rādiusu un iegūto vērtību dalot ar 2: Sn = 1/2P*r, kur Sn ir daudzstūra laukums. daudzstūris, P ir perimetrs, un r ir daudzstūrī ierakstītā apļa rādiuss.

Nošķelta piramīda ir daudzskaldnis, ko veido piramīda un tās šķērsgriezums paralēli pamatnei. Atrast piramīdas sānu virsmas laukumu nemaz nav grūti. Tas ir ļoti vienkārši: laukums ir vienāds ar pusi bāzu summas reizinājumu ar . Apskatīsim sānu virsmas laukuma aprēķināšanas piemēru. Pieņemsim, ka mums ir dota regulāra piramīda. Pamatnes garumi ir b = 5 cm, c = 3 cm. Apotēms a = 4 cm. Lai atrastu piramīdas sānu virsmas laukumu, vispirms ir jāatrod pamatņu perimetrs. Lielā bāzē tas būs vienāds ar p1=4b=4*5=20 cm.Mazā bāzē formula būs šāda: p2=4c=4*3=12 cm.Tāpēc laukums būs vienāds ar : s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 cm.

Trīsstūrveida piramīda ir daudzskaldnis, kura pamatne ir regulārs trīsstūris.

Šādā piramīdā pamatnes malas un sānu malas ir vienādas viena ar otru. Attiecīgi sānu virsmu laukums tiek noteikts no trīs vienādu trīsstūru laukumu summas. Parastās piramīdas sānu virsmas laukumu var atrast, izmantojot formulu. Un jūs varat veikt aprēķinu vairākas reizes ātrāk. Lai to izdarītu, jums jāpiemēro formula trīsstūrveida piramīdas sānu virsmas laukumam:

kur p ir pamatnes perimetrs, kura visas malas ir vienādas ar b, a ir apotēma, kas nolaista no augšas uz šo pamatni. Apskatīsim piemēru trīsstūrveida piramīdas laukuma aprēķināšanai.

Problēma: dota regulāra piramīda. Trijstūra mala pie pamatnes ir b = 4 cm. Piramīdas apotēma ir a = 7 cm. Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu.
Tā kā saskaņā ar problēmas nosacījumiem mēs zinām visu nepieciešamo elementu garumus, mēs atradīsim perimetru. Mēs atceramies, ka regulārā trīsstūrī visas malas ir vienādas, un tāpēc perimetru aprēķina pēc formulas:

Aizstāsim datus un atradīsim vērtību:

Tagad, zinot perimetru, mēs varam aprēķināt sānu virsmas laukumu:

Lai izmantotu formulu trīsstūrveida piramīdas laukumam, lai aprēķinātu pilnu vērtību, jums jāatrod daudzskaldņa pamatnes laukums. Lai to izdarītu, izmantojiet formulu:

Trīsstūrveida piramīdas pamatnes laukuma formula var būt atšķirīga. Dotajam skaitlim ir iespējams izmantot jebkuru parametru aprēķinu, bet visbiežāk tas nav nepieciešams. Apskatīsim piemēru, kā aprēķināt trīsstūrveida piramīdas pamatnes laukumu.

Problēma: Parastajā piramīdā trijstūra mala pie pamatnes ir a = 6 cm. Aprēķiniet pamatnes laukumu.
Lai aprēķinātu, mums ir nepieciešams tikai regulārā trīsstūra malas garums, kas atrodas piramīdas pamatnē. Aizstāsim datus formulā:

Diezgan bieži jums ir jāatrod daudzskaldņa kopējā platība. Lai to izdarītu, jums būs jāsaskaita sānu virsmas un pamatnes laukums.

Apskatīsim piemēru trīsstūrveida piramīdas laukuma aprēķināšanai.

Problēma: Dota regulāra trīsstūrveida piramīda. Pamatnes mala ir b = 4 cm, apotēma ir a = 6 cm. Atrodiet piramīdas kopējo laukumu.
Vispirms, izmantojot jau zināmo formulu, atradīsim sānu virsmas laukumu. Aprēķināsim perimetru:

Aizvietojiet datus formulā:
Tagad atradīsim pamatnes laukumu:
Zinot pamatnes un sānu virsmas laukumu, mēs atrodam piramīdas kopējo laukumu:

Aprēķinot regulāras piramīdas laukumu, nevajadzētu aizmirst, ka pamatne ir regulārs trīsstūris un daudzi šī daudzskaldņa elementi ir vienādi viens ar otru.