Maksimālā strāvas stipruma formula svārstību ķēdē. Svārstību ķēde
Elektromagnētiskais lauks var pastāvēt arī tad, ja nav elektrisko lādiņu vai strāvu: tieši tādi "pašpietiekamie" elektriskie un magnētiskie lauki ir elektromagnētiskie viļņi kas ietver redzamo gaismu, infrasarkano, ultravioleto un rentgena starojums, radio viļņi utt.
§ 25. Svārstību ķēde
Vienkāršākā sistēma, kurā iespējamas dabiskās elektromagnētiskās svārstības, ir tā sauktā svārstību ķēde, kas sastāv no kondensatora un savā starpā savienota induktora (157. att.). Tāpat kā mehānisks oscilators, piemēram, masīvs korpuss uz elastīgas atsperes, dabiskās svārstības ķēdē pavada enerģijas transformācijas.
Rīsi. 157.Oscilācijas ķēde
Mehānisko un elektromagnētisko svārstību analoģija. Svārstību ķēdei mehāniskā oscilatora potenciālās enerģijas analogs (piemēram, deformētas atsperes elastīgā enerģija) ir elektriskā lauka enerģija kondensatorā. Kustīga ķermeņa kinētiskās enerģijas analogs ir enerģija magnētiskais lauks induktorā. Patiešām, atsperes enerģija ir proporcionāla nobīdes kvadrātam no līdzsvara stāvokļa, un kondensatora enerģija ir proporcionāla lādiņa kvadrātam. Ķermeņa kinētiskā enerģija ir proporcionāla tā ātruma kvadrātam, un magnētiskā lauka enerģija spolē ir proporcionāla strāvas kvadrātam.
Atsperes oscilatora E kopējā mehāniskā enerģija ir vienāda ar potenciālās un kinētiskās enerģijas summu:
Vibrācijas enerģija. Līdzīgi, svārstību ķēdes kopējā elektromagnētiskā enerģija ir vienāda ar kondensatora elektriskā lauka un spoles magnētiskā lauka enerģiju summu:
No (1) un (2) formulas salīdzinājuma izriet, ka atsperes oscilatora stinguma k analogs svārstību ķēdē ir kapacitātes C apgrieztā vērtība, bet masas analogs ir spoles induktivitāte.
Atgādinām, ka mehāniskā sistēmā, kuras enerģiju uzrāda izteiksme (1), var rasties savas neslāpētas harmoniskas svārstības. Šādu svārstību frekvences kvadrāts ir vienāds ar koeficientu attiecību nobīdes un ātruma kvadrātā enerģijas izteiksmē:
Paša frekvence. Svārstību ķēdē, kuras elektromagnētiskā enerģija tiek dota ar izteiksmi (2), var rasties savas neslāpētas harmoniskas svārstības, kuru frekvences kvadrāts arī acīmredzami ir vienāds ar atbilstošo koeficientu (ti, koeficientu) attiecību. lādiņa un strāvas stipruma kvadrātos):
No (4) seko svārstību perioda izteiksme, ko sauc par Tomsona formulu:
Ar mehāniskām svārstībām pārvietojuma x atkarību no laika nosaka kosinusa funkcija, kuras argumentu sauc par svārstību fāzi:
Amplitūda un sākuma fāze. Amplitūdu A un sākuma fāzi a nosaka sākotnējie apstākļi, t.i., pārvietojuma un ātruma vērtības pie
Tāpat ar elektromagnētiskām dabiskajām svārstībām ķēdē kondensatora lādiņš ir atkarīgs no laika saskaņā ar likumu
kur frekvenci saskaņā ar (4) nosaka tikai pašas ķēdes īpašības, un nosaka lādiņa svārstību amplitūdu un sākuma fāzi a, kā tas ir mehāniskā oscilatora gadījumā.
sākuma nosacījumi, ti, kondensatora lādiņa vērtības un strāvas stiprums pie Tādējādi dabiskā frekvence nav atkarīga no svārstību ierosināšanas metodes, savukārt amplitūdu un sākuma fāzi precīzi nosaka ierosmes apstākļi. .
Enerģijas pārvērtības. Sīkāk aplūkosim enerģijas transformācijas mehānisko un elektromagnētisko svārstību laikā. Uz att. 158 shematiski parāda mehānisko un elektromagnētisko oscilatoru stāvokļus ceturtdaļas perioda intervālos
Rīsi. 158. Enerģijas pārvērtības mehānisko un elektromagnētisko vibrāciju laikā
Divas reizes svārstību periodā enerģija tiek pārveidota no vienas formas citā un otrādi. Svārstību ķēdes kopējā enerģija, tāpat kā mehāniskā oscilatora kopējā enerģija, paliek nemainīga, ja nav izkliedes. Lai to pārbaudītu, formulā (2) ir jāaizstāj izteiksme (6) un strāvas stipruma izteiksme.
Izmantojot formulu (4), mēs iegūstam
Rīsi. 159. Kondensatora elektriskā lauka enerģijas un spoles magnētiskā lauka enerģijas grafiki atkarībā no kondensatora uzlādes laika
Pastāvīgā kopējā enerģija sakrīt ar potenciālo enerģiju brīžos, kad kondensatora lādiņš ir maksimāls, un sakrīt ar spoles magnētiskā lauka enerģiju - "kinētisko" enerģiju - brīžos, kad kondensatora lādiņš izzūd un strāva ir maksimālā. Savstarpējo transformāciju laikā divi enerģijas veidi rada harmoniskas svārstības ar vienādu amplitūdu pretfāzē savā starpā un ar frekvenci attiecībā pret to vidējo vērtību. To ir viegli pārbaudīt, kā parādīts attēlā. 158, un ar formulu palīdzību trigonometriskās funkcijas puse arguments:
Grafiki elektriskā lauka enerģijas un magnētiskā lauka enerģijas atkarībai no kondensatora uzlādes laika parādīti att. 159 sākuma fāzei
Dabisko elektromagnētisko svārstību kvantitatīvās likumsakarības var noteikt tieši, pamatojoties uz kvazistacionāro strāvu likumiem, neizmantojot analoģiju ar mehāniskām svārstībām.
Svārstību vienādojums ķēdē. Apsveriet vienkāršāko svārstību ķēdi, kas parādīta attēlā. 157. Apejot ķēdi, piemēram, pretēji pulksteņrādītāja virzienam, spoles un kondensatora spriegumu summa šādā slēgtā virknējumā ir nulle:
Kondensatora spriegums ir saistīts ar plāksnes lādiņu un kapacitāti Ar sakarību Spriegums uz induktivitāti jebkurā brīdī ir vienāds absolūtā vērtībā un pretējs pēc zīmes EML pašindukcija, tāpēc strāva ķēdē ir vienāda ar kondensatora lādiņa maiņas ātrumu:
Mēs iegūstam Tagad izteiksme (10) iegūst formu
Pārrakstīsim šo vienādojumu savādāk, ieviešot pēc definīcijas:
(12) vienādojums sakrīt ar vienādojumu harmoniskas vibrācijas mehāniskais oscilators ar naturālo frekvenci Šāda vienādojuma atrisinājumu dod laika harmoniskā (sinusoidālā) funkcija (6) ar patvaļīgām amplitūdas un sākotnējās fāzes a vērtībām. No tā izriet visi iepriekš minētie rezultāti attiecībā uz elektromagnētiskajām svārstībām ķēdē.
Elektromagnētisko svārstību vājināšanās. Līdz šim mēs esam apsprieduši īpatnējās svārstības idealizētā mehāniskajā sistēmā un idealizētā LC ķēdē. Idealizācija bija atstāt novārtā berzi oscilatorā un elektrisko pretestību ķēdē. Tikai šajā gadījumā sistēma būs konservatīva un tiks saglabāta svārstību enerģija.
Rīsi. 160. Svārstību ķēde ar pretestību
Svārstību enerģijas izkliedes uzskaiti ķēdē var veikt tādā pašā veidā, kā tas tika darīts mehāniska oscilatora ar berzi gadījumā. Spoles un savienojošo vadu elektriskās pretestības klātbūtne neizbēgami ir saistīta ar džoula siltuma izdalīšanos. Tāpat kā iepriekš, šo pretestību var uzskatīt par neatkarīgs elements iekšā elektroinstalācijas shēma oscilācijas ķēde, uzskatot spoli un vadus par ideāliem (160. att.). Apsverot kvazistacionāru strāvu šādā ķēdē, vienādojumā (10) ir jāpievieno spriegums pāri pretestībai.
Aizstājot ar mēs iegūstam
Iepazīstinām ar apzīmējumu
vienādojumu (14) pārrakstām formā
Vienādojumam (16) ir tieši tāda pati forma kā vienādojumam par mehāniskā oscilatora vibrācijām ar
ātrumam proporcionāla berze (viskozā berze). Tāpēc elektriskās pretestības klātbūtnē ķēdē elektromagnētiskās svārstības notiek saskaņā ar to pašu likumu kā oscilatora mehāniskās svārstības ar viskozu berzi.
Vibrāciju enerģijas izkliedēšana. Tāpat kā ar mehāniskām vibrācijām, ir iespējams noteikt dabisko vibrāciju enerģijas samazināšanās likumu ar laiku, izmantojot Džoula-Lenca likumu, lai aprēķinātu atbrīvoto siltumu:
Rezultātā zemas slāpēšanas gadījumā laika intervāliem, kas ir daudz garāki par svārstību periodu, svārstību enerģijas samazināšanās ātrums izrādās proporcionāls pašai enerģijai:
(18) vienādojuma atrisinājumam ir forma
Dabisko elektromagnētisko svārstību enerģija ķēdē ar pretestību samazinās eksponenciāli.
Svārstību enerģija ir proporcionāla to amplitūdas kvadrātam. Attiecībā uz elektromagnētiskajām svārstībām tas izriet, piemēram, no (8). Tāpēc slāpēto svārstību amplitūda saskaņā ar (19) samazinās saskaņā ar likumu
Svārstību kalpošanas laiks. Kā redzams no (20), svārstību amplitūda samazinās par koeficientu 1 laikā, kas vienāds ar, neatkarīgi no amplitūdas sākotnējās vērtības. Šo laiku x sauc par svārstību kalpošanas laiku, lai gan, kā var Skatoties no (20), svārstības formāli turpinās bezgalīgi. Patiesībā, protams, ir jēga runāt par svārstībām tikai tik ilgi, kamēr to amplitūda pārsniedz termiskā trokšņa līmeņa raksturīgo vērtību noteiktā ķēdē. Tāpēc patiesībā svārstības ķēdē "dzīvo" ierobežotu laiku, kas tomēr var būt vairākas reizes lielāks nekā iepriekš ieviestais mūžs x.
Bieži vien ir svarīgi zināt nevis pašu svārstību x kalpošanas laiku, bet gan pilnīgu svārstību skaitu, kas šajā laikā x notiks ķēdē. Šo skaitli, kas reizināts ar, sauc par ķēdes kvalitātes koeficientu.
Stingri sakot, slāpētās svārstības nav periodiskas. Ar nelielu vājināšanos nosacīti var runāt par periodu, kas tiek saprasts kā laika intervāls starp diviem
secīgas kondensatora lādiņa maksimālās vērtības (ar tādu pašu polaritāti) vai maksimālās strāvas vērtības (vienā virzienā).
Svārstību slāpēšana ietekmē periodu, izraisot tā pieaugumu, salīdzinot ar idealizēto gadījumu, kad slāpēšanas nav. Ar zemu slāpēšanu svārstību perioda pieaugums ir ļoti nenozīmīgs. Tomēr ar spēcīgu slāpēšanu var nebūt svārstību: uzlādēts kondensators periodiski izlādēsies, t.i., nemainot strāvas virzienu ķēdē. Tā tas būs ar t.i. ar
Precīzs risinājums. Iepriekš formulētie slāpēto svārstību modeļi izriet no precīza diferenciālvienādojuma (16) risinājuma. Ar tiešu aizstāšanu var pārbaudīt, vai tai ir forma
kur ir patvaļīgas konstantes, kuru vērtības tiek noteiktas no sākotnējiem nosacījumiem. Zemai slāpēšanai kosinusa reizinātāju var uzskatīt par lēni mainīgu svārstību amplitūdu.
Uzdevums
Kondensatoru uzlādēšana caur induktors. Ķēdē, kuras diagramma ir parādīta attēlā. 161, augšējā kondensatora lādiņš ir vienāds un apakšējā kondensators nav uzlādēts. Šobrīd atslēga ir aizvērta. Atrodiet augšējā kondensatora lādiņa un spoles strāvas atkarību no laika.
Rīsi. 161. Sākotnējā laika momentā ir uzlādēts tikai viens kondensators
Rīsi. 162. Kondensatoru lādiņi un strāva ķēdē pēc atslēgas aizvēršanas
Rīsi. 163. Mehāniskā līdzība elektriskajai ķēdei, kas parādīta att. 162
Risinājums. Pēc atslēgas aizvēršanas ķēdē rodas svārstības: augšējais kondensators sāk izlādēties caur spoli, vienlaikus uzlādējot apakšējo; tad viss notiek pretējā virzienā. Ļaujiet, piemēram, pie , kondensatora augšējā plāksne ir pozitīvi uzlādēta. Tad
pēc neilga laika kondensatora plākšņu lādiņu zīmes un strāvas virziens būs tādas, kā parādīts att. 162. Apzīmē ar to augšējā un apakšējā kondensatora plākšņu lādiņiem, kuras ir savstarpēji savienotas caur induktors. Pamatojoties uz saglabāšanas likumu elektriskais lādiņš
Spriegumu summa uz visiem slēgtās ķēdes elementiem katrā laika momentā ir vienāda ar nulli:
Sprieguma zīme uz kondensatora atbilst lādiņu sadalījumam att. 162. un norādīto strāvas virzienu. Strāvas izteiksmi caur spoli var uzrakstīt vienā no divām formām:
Izslēgsim no vienādojuma, izmantojot attiecības (22) un (24):
Iepazīstinām ar apzīmējumu
mēs pārrakstām (25) šādā formā:
Ja tā vietā, lai ieviestu funkciju
un ņemiet vērā, ka (27) ir forma
Šis ir parastais neslāpētu harmonisko svārstību vienādojums, kuram ir risinājums
kur un ir patvaļīgas konstantes.
Atgriežoties no funkcijas, mēs iegūstam šādu izteiksmi atkarībai no augšējā kondensatora uzlādes laika:
Lai noteiktu konstantes un a, ņemam vērā, ka sākotnējā brīdī lādiņš a strāva Strāvas stiprumam no (24) un (31) mums ir
Tā kā no šejienes izriet, ka Aizstājot tagad iekšā un ņemot vērā, ka mēs iegūstam
Tātad, lādiņa un strāvas stipruma izteiksmes ir
Lādiņa un strāvas svārstību raksturs ir īpaši acīmredzams, ja tās pašas vērtības kondensatoru jaudas. Šajā gadījumā
Augšējā kondensatora lādiņš svārstās ar amplitūdu aptuveni vidējo vērtību, kas vienāda ar Pusi no svārstību perioda, tas samazinās no maksimālās vērtības sākuma brīdī līdz nullei, kad viss lādiņš atrodas uz apakšējā kondensatora.
Svārstību frekvences izteiksmi (26), protams, varētu ierakstīt uzreiz, jo aplūkojamajā ķēdē kondensatori ir savienoti virknē. Tomēr ir grūti tieši rakstīt izteiksmes (34), jo šādos sākotnējos apstākļos nav iespējams aizstāt ķēdē iekļautos kondensatorus ar vienu līdzvērtīgu.
Šeit notiekošo procesu vizuālo attēlojumu sniedz šīs elektriskās ķēdes mehāniskais analogs, kas parādīts attēlā. 163. Identiskas atsperes atbilst vienādas jaudas kondensatoru gadījumam. Sākotnējā brīdī tiek saspiesta kreisā atspere, kas atbilst uzlādētam kondensatoram, bet labā - nedeformētā stāvoklī, jo atsperes deformācijas pakāpe kalpo kā kondensatora lādiņa analogs. Izejot cauri vidējai pozīcijai, abas atsperes ir daļēji saspiestas, un galējā labajā pozīcijā kreisā atspere netiek deformēta, un labā tiek saspiesta tāpat kā kreisā sākotnējā brīdī, kas atbilst pilnīga uzlādes plūsma no viena kondensatora uz otru. Lai gan lode veic parastās harmoniskās svārstības ap līdzsvara stāvokli, katras atsperes deformāciju raksturo funkcija, kuras vidējā vērtība atšķiras no nulles.
Atšķirībā no oscilācijas ķēdes ar vienu kondensatoru, kur svārstību laikā notiek tā atkārtota pilna uzlāde, aplūkotajā sistēmā sākotnēji uzlādētais kondensators netiek pilnībā uzlādēts. Piemēram, kad tā lādiņš samazinās līdz nullei un pēc tam atkal tiek atjaunots tādā pašā polaritātē. Pretējā gadījumā šīs svārstības neatšķiras no harmoniskām svārstībām parastajā ķēdē. Šo svārstību enerģija tiek saglabāta, ja, protams, spoles un savienojošo vadu pretestību var neievērot.
Paskaidrojiet, kāpēc, salīdzinot formulas (1) un (2) mehāniskajām un elektromagnētiskajām enerģijām, tika secināts, ka stinguma k analogs ir un masas analogs ir induktivitāte, nevis otrādi.
Sniedziet pamatojumu izteiksmes (4) atvasināšanai elektromagnētisko svārstību dabiskajai frekvencei ķēdē no analoģijas ar mehānisko atsperu oscilatoru.
Harmoniskās svārstības -ķēdē raksturo amplitūda, frekvence, periods, svārstību fāze, sākuma fāze. Kurus no šiem lielumiem nosaka pašas svārstību ķēdes īpašības un kuri ir atkarīgi no svārstību ierosināšanas metodes?
Pierādīt, ka elektriskās un magnētiskās enerģijas vidējās vērtības dabisko svārstību laikā ķēdē ir vienādas un veido pusi no svārstību kopējās elektromagnētiskās enerģijas.
Kā pielietot kvazistacionāru parādību likumus elektriskā ķēdē, lai iegūtu diferenciālvienādojumu (12) harmoniskām svārstībām -ķēdē?
Kādu diferenciālvienādojumu apmierina strāva LC ķēdē?
Izveidojiet vienādojumu vibrāciju enerģijas samazināšanās ātrumam pie zemas slāpēšanas tādā pašā veidā, kā tas tika izdarīts mehāniskam oscilatoram ar berzi proporcionālu ātrumam, un parādiet, ka laika intervālos, kas ievērojami pārsniedz svārstību periodu, šis samazinājums notiek. saskaņā ar eksponenciālo likumu. Ko nozīmē šeit lietotais termins "maza vājināšanās"?
Parādiet, ka ar formulu (21) dotā funkcija apmierina (16) vienādojumu jebkurām un a vērtībām.
Apsveriet mehānisko sistēmu, kas parādīta attēlā. 163, un atrast atkarību no kreisās atsperes deformācijas laika un masīvā ķermeņa ātruma.
Cilpa bez pretestības ar neizbēgamiem zaudējumiem. Iepriekš apskatītajā problēmā, neskatoties uz ne visai parastajiem kondensatoru uzlādes sākotnējiem nosacījumiem, elektriskajām ķēdēm bija iespējams piemērot parastos vienādojumus, jo tur bija izpildīti notiekošo procesu kvazistacionaritātes nosacījumi. Bet ķēdē, kuras diagramma ir parādīta attēlā. 164, ar formālu ārējo līdzību ar diagrammu attēlā. 162, kvazistacionaritātes nosacījumi nav izpildīti, ja sākuma brīdī viens kondensators ir uzlādēts, bet otrs nav.
Sīkāk apspriedīsim iemeslus, kāpēc šeit tiek pārkāpti kvazistacionaritātes nosacījumi. Uzreiz pēc slēgšanas
Rīsi. 164. Elektriskā ķēde, kurai nav izpildīti kvazistacionaritātes nosacījumi
Galvenais ir tas, ka visi procesi tiek izspēlēti tikai savstarpēji savienotos kondensatoros, jo strāvas pieaugums caur induktors notiek salīdzinoši lēni, un sākumā strāvas sazarošanu spolē var neņemt vērā.
Kad atslēga ir aizvērta, ķēdē, kas sastāv no kondensatoriem un tos savienojošiem vadiem, rodas ātras slāpētas svārstības. Šādu svārstību periods ir ļoti mazs, jo savienojošo vadu induktivitāte ir maza. Šo svārstību rezultātā lādiņš uz kondensatora plāksnēm tiek pārdalīts, pēc kura abus kondensatorus var uzskatīt par vienu. Taču pirmajā brīdī to nevar izdarīt, jo līdz ar lādiņu pārdali notiek arī enerģijas pārdale, kuras daļa aiziet siltumā.
Pēc ātro svārstību slāpēšanas sistēmā rodas svārstības, tāpat kā ķēdē ar vienu kapacitātes kondensatoru, kura lādiņš sākuma momentā ir vienāds ar kondensatora sākotnējo lādiņu Nosacījums iepriekš minētā sprieduma pamatotībai ir savienojošo vadu induktivitātes mazums salīdzinājumā ar spoles induktivitāti.
Tāpat kā aplūkotajā problēmā, arī šeit ir lietderīgi atrast mehānisku analoģiju. Ja tur abas kondensatoriem atbilstošās atsperes atradās masīva ķermeņa abās pusēs, tad šeit tām jāatrodas vienā tā pusē, lai vienas no tām vibrācijas varētu pārnest uz otru, korpusam nekustīgi. Divu atsperu vietā var paņemt vienu, bet tikai sākotnējā brīdī tai jādeformējas neviendabīgi.
Satveram atsperi aiz vidus un izstiepjam tās kreiso pusi uz kādu attālumu.Atsperes otrā puse paliks nedeformētā stāvoklī, lai slodze sākotnējā brīdī no līdzsvara stāvokļa tiktu nobīdīta uz labo pusi par attālumu un atpūšas. Tad atlaidīsim atsperi. Kādas iezīmes radīs fakts, ka sākotnējā brīdī atspere deformējas neviendabīgi? jo, kā labi redzams, atsperes “puses” stingums ir Ja atsperes masa ir maza, salīdzinot ar lodītes masu, atsperes kā paplašinātas sistēmas dabiskā frekvence ir daudz lielāka nekā bumbiņas biežums uz atsperes. Šīs "ātrās" svārstības izmirs laikā, kas ir neliela daļa no bumbas svārstību perioda. Pēc ātro svārstību slāpēšanas atsperes spriegums tiek pārdalīts, un slodzes pārvietojums paliek praktiski nemainīgs, jo slodzei šajā laikā nav laika manāmi kustēties. Atsperes deformācija kļūst vienmērīga, un sistēmas enerģija ir vienāda ar
Tādējādi atsperes ātro svārstību loma tika samazināta līdz tam, ka sistēmas enerģijas rezerve samazinājās līdz vērtībai, kas atbilst vienmērīgai atsperes sākotnējai deformācijai. Skaidrs, ka turpmākie procesi sistēmā neatšķiras no viendabīgas sākotnējās deformācijas gadījuma. Slodzes nobīdes atkarību no laika izsaka ar to pašu formulu (36).
Aplūkotajā piemērā strauju svārstību rezultātā tas pārvērtās par iekšējā enerģija(siltumā) puse no sākotnējās mehāniskās enerģijas piegādes. Ir skaidrs, ka, pakļaujot sākotnējo deformāciju nevis pusei, bet patvaļīgai atsperes daļai, ir iespējams jebkuru daļu no sākotnējās mehāniskās enerģijas piegādes pārvērst iekšējā enerģijā. Bet visos gadījumos atsperes slodzes vibrāciju enerģija atbilst enerģijas rezervei vienādai atsperes sākotnējai deformācijai.
Elektriskajā ķēdē slāpētu ātro svārstību rezultātā uzlādēta kondensatora enerģija tiek daļēji atbrīvota savienojošajos vados džoula siltuma veidā. Ar vienādām jaudām tā būs puse no sākotnējās enerģijas rezerves. Otra puse paliek relatīvi lēnu elektromagnētisko svārstību enerģijas veidā ķēdē, kas sastāv no spoles un diviem paralēli savienotiem kondensatoriem C, un
Tādējādi šajā sistēmā ir principiāli nepieņemama idealizācija, kurā tiek ignorēta svārstību enerģijas izkliedēšana. Iemesls tam ir tas, ka šeit ir iespējamas straujas svārstības, neietekmējot induktorus vai masīvo korpusu līdzīgā mehāniskajā sistēmā.
Svārstību ķēde ar nelineāriem elementiem. Pētot mehāniskās vibrācijas, mēs esam redzējuši, ka vibrācijas ne vienmēr ir harmoniskas. Harmoniskās vibrācijas ir raksturīga īpašība lineārās sistēmas, kurā
atjaunojošais spēks ir proporcionāls novirzei no līdzsvara stāvokļa, un potenciālā enerģija ir proporcionāla novirzes kvadrātam. Reālām mehāniskām sistēmām, kā likums, šīs īpašības nepiemīt, un svārstības tajās var uzskatīt par harmoniskām tikai nelielām novirzēm no līdzsvara stāvokļa.
Elektromagnētisko svārstību gadījumā ķēdē var rasties iespaids, ka mums ir darīšana ar ideālām sistēmām, kurās svārstības ir stingri harmoniskas. Tomēr tas ir taisnība tikai tik ilgi, kamēr kondensatora kapacitāti un spoles induktivitāti var uzskatīt par nemainīgu, t.i., neatkarīgi no lādiņa un strāvas. Kondensators ar dielektriķi un spole ar serdi, stingri runājot, ir nelineāri elementi. Kad kondensators ir piepildīts ar feroelektrisko vielu, t.i., vielu, kuras dielektriskā konstante ir ļoti atkarīga no pielietotā elektriskā lauka, kondensatora kapacitāti vairs nevar uzskatīt par konstantu. Tāpat arī spoles ar feromagnētisko serdi induktivitāte ir atkarīga no strāvas stipruma, jo feromagnētam piemīt magnētiskā piesātinājuma īpašība.
Ja mehāniskās svārstību sistēmās masu, kā likums, var uzskatīt par nemainīgu un nelinearitāte rodas tikai iedarbojošā spēka nelineārā rakstura dēļ, tad elektromagnētiskajā svārstību ķēdē nelinearitāte var rasties gan kondensatora dēļ (analogi elastīgajam). atspere) un induktors (masas analogs).
Kāpēc idealizācija nav piemērojama svārstību ķēdei ar diviem paralēliem kondensatoriem (164. att.), kurā sistēma tiek uzskatīta par konservatīvu?
Kāpēc ātrās svārstības izraisa svārstību enerģijas izkliedi ķēdē attēlā. 164 nenotika ķēdē ar diviem sērijas kondensatoriem, kas parādīti attēlā. 162?
Kādi iemesli var izraisīt elektromagnētisko svārstību nesinusoiditāti ķēdē?
Elektriskā svārstību ķēde ir sistēma elektromagnētisko svārstību ierosināšanai un uzturēšanai. Vienkāršākajā formā šī ir ķēde, kas sastāv no spoles ar induktivitāti L, kondensatora ar kapacitāti C un rezistora ar pretestību R, kas savienota virknē (129. att.). Kad slēdzis P ir iestatīts pozīcijā 1, kondensators C tiek uzlādēts līdz spriegumam U T. Šajā gadījumā starp kondensatora plāksnēm veidojas elektriskais lauks, kuras maksimālā enerģija ir vienāda ar
Pārslēdzot slēdzi 2. pozīcijā, ķēde aizveras un tajā notiek sekojoši procesi. Kondensators sāk izlādēties, un strāva plūst caur ķēdi i,
kuras vērtība palielinās no nulles līdz maksimālajai vērtībai 
un pēc tam samazinās līdz nullei. Tā kā ķēdē plūst maiņstrāva, spolē tiek inducēts EML, kas neļauj kondensatoram izlādēties. Tāpēc kondensatora izlādes process nenotiek uzreiz, bet gan pakāpeniski. Strāvas parādīšanās rezultātā spolē rodas magnētiskais lauks, kura enerģija ir 
sasniedz maksimālo vērtību pie strāvas, kas vienāda ar 
. Magnētiskā lauka maksimālā enerģija būs vienāda ar
Pēc maksimālās vērtības sasniegšanas strāva ķēdē sāks samazināties. Šajā gadījumā kondensators tiks uzlādēts, magnētiskā lauka enerģija spolē samazināsies, un kondensatora elektriskā lauka enerģija palielināsies. Sasniedzot maksimālo vērtību. Process sāks atkārtoties, un ķēdē notiks elektrisko un magnētisko lauku svārstības. Ja pieņemam, ka pretestība 
(t.i. apkurei netiek tērēta enerģija), tad saskaņā ar enerģijas nezūdamības likumu kopējā enerģija W paliek nemainīgs
Un 
;
.
Ķēdi, kurā nav enerģijas zudumu, sauc par ideālu. Spriegums un strāva ķēdē mainās saskaņā ar harmonikas likumu
;
kur 
- apļveida (cikliskā) svārstību frekvence 
.
Apļveida frekvence ir saistīta ar svārstību frekvenci 
un svārstību periodi T attiecība.
H 
un att. 130 ir parādīti sprieguma U un strāvas I grafiki ideālas svārstību ķēdes spolē. Var redzēt, ka strāvas stiprums atpaliek fāzē ar spriegumu par 
.
;
;
- Tomsona formula.
Gadījumā, ja pretestība 
, Tomsona formula iegūst formu
.
Maksvela teorijas pamati
Maksvela teorija ir teorija par vienu elektromagnētisko lauku, ko rada patvaļīga lādiņu un strāvu sistēma. Teorētiski tiek atrisināta galvenā elektrodinamikas problēma - atbilstoši noteiktam lādiņu un strāvu sadalījumam tiek atrasti to radīto elektrisko un magnētisko lauku raksturlielumi. Maksvela teorija ir svarīgāko likumu, kas apraksta elektriskās un elektromagnētiskās parādības, vispārinājums - Ostrogradska-Gausa teorēma elektriskajiem un magnētiskajiem laukiem, kopējās strāvas likums, likums elektromagnētiskā indukcija un teorēmas par elektriskā lauka intensitātes vektora cirkulāciju. Maksvela teorijai ir fenomenoloģisks raksturs, t.i. tajā netiek ņemts vērā vidē notiekošo parādību iekšējais mehānisms un izraisot izskatu elektriskie un magnētiskie lauki. Maksvela teorijā vide ir aprakstīta, izmantojot trīs raksturlielumus - vides dielektrisko ε un magnētisko μ caurlaidību un elektrovadītspēju γ.
Ar elektriskām svārstībām saprot periodiskas lādiņa, strāvas un sprieguma izmaiņas. Vienkāršākā sistēma, kurā iespējamas brīvas elektriskās svārstības, ir tā sauktā svārstību ķēde. Šī ir ierīce, kas sastāv no kondensatora un spoles, kas savienotas viens ar otru. Mēs pieņemsim, ka spolei nav aktīvās pretestības, šajā gadījumā ķēdi sauc par ideālu. Kad enerģija tiek nodota šai sistēmai, tajā notiks neslāpētas kondensatora lādiņa, sprieguma un strāvas harmoniskas svārstības.
Ir iespējams informēt enerģijas svārstību ķēdi Dažādi ceļi. Piemēram, uzlādējot kondensatoru no avota līdzstrāva vai ierosmes strāva induktorā. Pirmajā gadījumā elektriskajam laukam starp kondensatora plāksnēm ir enerģija. Otrajā enerģija atrodas caur ķēdi plūstošās strāvas magnētiskajā laukā.
§1 Svārstību vienādojums ķēdē
Pierādīsim, ka tad, kad ķēdē tiek nodota enerģija, tajā notiks neslāpētas harmoniskas svārstības. Lai to izdarītu, ir nepieciešams iegūt formas harmonisko svārstību diferenciālvienādojumu.
Pieņemsim, ka kondensators ir uzlādēts un aizvērts spolei. Kondensators sāks izlādēties, strāva plūst caur spoli. Saskaņā ar otro Kirhhofa likumu sprieguma kritumu summa slēgtā ķēdē ir vienāda ar EML summu šajā ķēdē 
.
Mūsu gadījumā sprieguma kritums ir tāpēc, ka ķēde ir ideāla. Kondensators ķēdē uzvedas kā strāvas avots, potenciālā starpība starp kondensatora plāksnēm darbojas kā EMF, kur ir kondensatora lādiņš, ir kondensatora kapacitāte. Turklāt, kad caur spoli plūst mainīga strāva, tajā rodas pašindukcijas EML, kur ir spoles induktivitāte, ir strāvas maiņas ātrums spolē. Tā kā pašindukcijas EMF novērš kondensatora izlādes procesu, otrajam Kirhhofa likumam ir šāda forma
Bet strāva ķēdē ir kondensatora izlādes vai uzlādes strāva, tāpēc. Tad
Diferenciālvienādojums tiek pārveidots formā
Ieviešot apzīmējumu , mēs iegūstam labi zināmo harmonisko svārstību diferenciālvienādojumu.
Tas nozīmē, ka lādiņš uz kondensatora svārstību ķēdē mainīsies saskaņā ar harmonikas likumu
kur ir kondensatora lādiņa maksimālā vērtība, ir cikliskā frekvence, ir svārstību sākotnējā fāze.
Uzlādes svārstību periods 
. Šo izteiksmi sauc par Tompsona formulu.
Kondensatora spriegums
Ķēdes strāva
Mēs redzam, ka papildus kondensatora lādiņam saskaņā ar harmonikas likumu mainīsies arī strāva ķēdē un spriegums uz kondensatora. Spriegums svārstās fāzē ar lādiņu, un strāva ir priekšā lādiņam
fāze ieslēgta.
Kondensatora elektriskā lauka enerģija
Magnētiskā lauka strāvas enerģija
Tādējādi arī elektriskā un magnētiskā lauka enerģijas mainās saskaņā ar harmonikas likumu, bet ar dubultu frekvenci.
Apkopojiet
Ar elektriskām svārstībām jāsaprot periodiskas lādiņa, sprieguma, strāvas stipruma, elektriskā lauka enerģijas, magnētiskā lauka enerģijas izmaiņas. Šīs svārstības, tāpat kā mehāniskās, var būt gan brīvas, gan piespiedu, harmoniskas un neharmoniskas. Ideālā svārstību ķēdē ir iespējamas brīvas harmoniskas elektriskās svārstības.
§2 Procesi, kas notiek svārstību ķēdē
Mēs matemātiski pierādījām brīvo harmonisko svārstību esamību svārstību ķēdē. Tomēr joprojām nav skaidrs, kāpēc šāds process ir iespējams. Kas izraisa svārstības ķēdē?
Brīvu mehānisko vibrāciju gadījumā tika atrasts šāds iemesls - tas ir iekšējais spēks, kas rodas, kad sistēma tiek izņemta no līdzsvara. Šis spēks jebkurā brīdī ir vērsts uz līdzsvara stāvokli un ir proporcionāls ķermeņa koordinātam (ar mīnusa zīmi). Mēģināsim atrast līdzīgu iemeslu svārstību rašanās svārstību ķēdē.
Ļaujiet ķēdes svārstībām uzbudināties, uzlādējot kondensatoru un aizverot to spolei.
Sākotnējā laika brīdī kondensatora uzlāde ir maksimāla. Līdz ar to arī kondensatora elektriskā lauka spriegums un enerģija ir maksimāli.
Ķēdē nav strāvas, strāvas magnētiskā lauka enerģija ir nulle.
Perioda pirmais ceturksnis- kondensatora izlāde.
Kondensatora plāksnes ar dažādu potenciālu ir savienotas ar vadītāju, tāpēc kondensators sāk izlādēties caur spoli. Samazinās lādiņš, spriegums uz kondensatora un elektriskā lauka enerģija.
Strāva, kas parādās ķēdē, palielinās, tomēr tās pieaugumu novērš pašindukcijas EMF, kas rodas spolē. Strāvas magnētiskā lauka enerģija palielinās.
Ir pagājis ceturtdaļa- kondensators ir izlādējies.
Kondensators izlādējās, spriegums pāri tam kļuva vienāds ar nulli. Arī elektriskā lauka enerģija šajā brīdī ir vienāda ar nulli. Saskaņā ar enerģijas nezūdamības likumu tas nevarēja pazust. Kondensatora lauka enerģija ir pilnībā pārvērtusies spoles magnētiskā lauka enerģijā, kas šajā brīdī sasniedz maksimālo vērtību. Maksimālā strāva ķēdē.
Šķiet, ka šajā brīdī strāvai ķēdē vajadzētu apstāties, jo strāvas cēlonis, elektriskais lauks, ir pazudis. Tomēr strāvas pazušanu atkal novērš pašindukcijas EML spolē. Tagad tas uzturēs strāvu, kas samazinās, un turpinās plūst tajā pašā virzienā, uzlādējot kondensatoru. Sākas perioda otrā ceturtdaļa.
Perioda otrajā ceturksnī
- Kondensatora uzlāde.
Pašindukcijas EMF atbalstītā strāva turpina plūst tajā pašā virzienā, pakāpeniski samazinoties. Šī strāva uzlādē kondensatoru pretējā polaritātē. Palielinās lādiņš un spriegums pāri kondensatoram.
Strāvas magnētiskā lauka enerģija, samazinoties, pāriet kondensatora elektriskā lauka enerģijā.
Perioda otrā ceturtdaļa ir pagājusi - kondensators ir uzlādējies.
Kondensators tiek uzlādēts tik ilgi, kamēr ir strāva. Tāpēc brīdī, kad strāva apstājas, kondensatora lādiņš un spriegums iegūst maksimālo vērtību.
Magnētiskā lauka enerģija šajā brīdī pilnībā pārvērtās kondensatora elektriskā lauka enerģijā.
Situācija ķēdē šobrīd ir līdzvērtīga sākotnējai. Procesi ķēdē tiks atkārtoti, bet pretējā virzienā. Viena pilnīga svārstība ķēdē, kas ilgst noteiktu periodu, beigsies, kad sistēma atgriezīsies sākotnējā stāvoklī, tas ir, kad kondensators tiks uzlādēts sākotnējā polaritātē.
Ir viegli redzēt, ka svārstību cēlonis ķēdē ir pašindukcijas parādība. Pašindukcijas EMF novērš strāvas izmaiņas: tas neļauj tai uzreiz palielināties un uzreiz pazust.
Starp citu, nebūtu lieki salīdzināt izteiksmes kvazielastīgā spēka aprēķināšanai mehāniskā svārstību sistēmā un pašindukcijas EMF ķēdē:
Iepriekš mehāniskajām un elektriskajām svārstību sistēmām tika iegūti diferenciālvienādojumi:
Par spīti principiālas atšķirības fiziski procesi mehāniskajām un elektriskajām svārstību sistēmām ir skaidri redzama vienādojumu matemātiskā identitāte, kas apraksta procesus šajās sistēmās. Tas būtu jāapspriež sīkāk.
§3 Analoģija starp elektriskajām un mehāniskajām vibrācijām
Atsperes svārsta un svārstību ķēdes diferenciālvienādojumu rūpīga analīze, kā arī formulas, kas attiecas uz lielumiem, kas raksturo procesus šajās sistēmās, ļauj noteikt, kuri lielumi darbojas vienādi (2. tabula).
| Pavasara svārsts | Svārstību ķēde |
| Ķermeņa koordinātas () | Uzlādējiet kondensatoru () |
| ķermeņa ātrums | Cilpas strāva |
| Elastīgi deformētas atsperes potenciālā enerģija | Kondensatora elektriskā lauka enerģija |
| Slodzes kinētiskā enerģija | Spoles magnētiskā lauka enerģija ar strāvu |
| Atsperes stinguma apgrieztā vērtība | Kondensatora ietilpība |
| Kravas svars | Spoles induktivitāte |
Elastīgais spēks  | Pašindukcijas EMF, kas vienāds ar spriegumu uz kondensatora  |
2. tabula
Svarīga ir ne tikai formāla līdzība starp lielumiem, kas apraksta svārsta svārstību procesus un procesus ķēdē. Paši procesi ir identiski!
Svārsta galējās pozīcijas ir līdzvērtīgas ķēdes stāvoklim, kad kondensatora uzlāde ir maksimāla.
Svārsta līdzsvara stāvoklis ir līdzvērtīgs ķēdes stāvoklim, kad kondensators ir izlādējies. Šajā brīdī elastīgais spēks pazūd, un ķēdē nav sprieguma uz kondensatora. Svārsta ātrums un strāva ķēdē ir maksimāla. Atsperes elastīgās deformācijas potenciālā enerģija un kondensatora elektriskā lauka enerģija ir vienāda ar nulli. Sistēmas enerģija sastāv no slodzes kinētiskās enerģijas vai strāvas magnētiskā lauka enerģijas.
Kondensatora izlāde notiek līdzīgi kā svārsta kustība no galējā pozīcija līdzsvara stāvoklī. Kondensatora uzlādes process ir identisks slodzes noņemšanas procesam no līdzsvara stāvokļa līdz galējai pozīcijai.
Svārstību sistēmas kopējā enerģija 
vai 
laika gaitā paliek nemainīgs.
Līdzīgu analoģiju var izsekot ne tikai starp atsperes svārstu un svārstību ķēdi. Vispārīgi jebkura rakstura brīvo svārstību modeļi! Šie modeļi, kas ilustrēti ar divu svārstību sistēmu (atsperes svārsta un svārstību ķēdes) piemēru, ir ne tikai iespējami, bet jāredz jebkuras sistēmas vibrācijās.
Principā ir iespējams atrisināt jebkura svārstību procesa problēmu, aizstājot to ar svārsta svārstībām. Lai to izdarītu, pietiek kompetenti izveidot līdzvērtīgu mehānisko sistēmu, atrisināt mehānisku problēmu un mainīt vērtības gala rezultātā. Piemēram, jums ir jāatrod svārstību periods ķēdē, kurā ir kondensators un divas paralēli savienotas spoles.
Svārstību ķēdē ir viens kondensators un divas spoles. Tā kā spole darbojas kā atsperes svārsta svars un kondensators darbojas kā atspere, līdzvērtīgā mehāniskajā sistēmā jāietver viena atspere un divi atsvari. Visa problēma ir tā, kā atsvari tiek piestiprināti atsperei. Ir iespējami divi gadījumi: viens atsperes gals ir fiksēts, un viens atsvars ir piestiprināts pie brīvā gala, otrs ir uz pirmā, vai atsvari ir piestiprināti pie dažādiem atsperes galiem.
Plkst paralēlais savienojums dažādu induktivitātes strāvu spoles caur tām plūst dažādi. Līdz ar to arī slodžu ātrumiem identiskā mehāniskajā sistēmā jābūt atšķirīgiem. Acīmredzot tas ir iespējams tikai otrajā gadījumā.
Mēs jau esam atraduši šīs svārstību sistēmas periodu. Viņš ir līdzvērtīgs 
. Aizstājot atsvaru masas ar spoļu induktivitāti un atsperes stingrības apgriezto vērtību ar kondensatora kapacitāti, mēs iegūstam 
.
§4 Svārstību ķēde ar līdzstrāvas avotu
Apsveriet oscilācijas ķēdi, kas satur līdzstrāvas avotu. Ļaujiet kondensatoram sākotnēji būt neuzlādētam. Kas notiks sistēmā pēc atslēgas K aizvēršanas? Vai šajā gadījumā tiks novērotas svārstības un kāda ir to frekvence un amplitūda?
Acīmredzot pēc atslēgas aizvēršanas kondensators sāks uzlādēt. Mēs rakstām otro Kirhhofa likumu:
Tāpēc strāva ķēdē ir kondensatora uzlādes strāva. Tad . Diferenciālvienādojums tiek pārveidots formā
*Atrisiniet vienādojumu, mainot mainīgos.
Apzīmēsim . Divreiz diferencē un, ņemot vērā to, iegūstam . Diferenciālvienādojums iegūst formu
Šis ir harmonisko svārstību diferenciālvienādojums, tā risinājums ir funkcija
kur ir cikliskā frekvence, integrācijas konstantes un tiek atrastas no sākotnējiem nosacījumiem.
Kondensatora uzlāde mainās saskaņā ar likumu
Tūlīt pēc slēdža aizvēršanas kondensatora uzlāde nulle un ķēdē nav strāvas 
. Ņemot vērā sākotnējos nosacījumus, mēs iegūstam vienādojumu sistēmu:
Atrisinot sistēmu, iegūstam un . Pēc atslēgas aizvēršanas kondensatora uzlāde mainās saskaņā ar likumu.
Ir viegli redzēt, ka ķēdē rodas harmoniskas svārstības. Līdzstrāvas avota klātbūtne ķēdē neietekmēja svārstību frekvenci, tā palika vienāda. "Līdzsvara stāvoklis" ir mainījies - brīdī, kad ķēdē ir maksimālā strāva, kondensators tiek uzlādēts. Kondensatora lādiņa svārstību amplitūda ir vienāda ar Cε.
To pašu rezultātu var iegūt vienkāršāk, izmantojot analoģiju starp svārstībām ķēdē un atsperes svārsta svārstībām. Līdzstrāvas avots ir līdzvērtīgs līdzstrāvai spēka lauks, kurā ievietots atsperes svārsts, piemēram, gravitācijas lauks. Kondensatora lādiņa neesamība ķēdes slēgšanas brīdī ir identiska atsperes deformācijas neesamībai brīdī, kad svārsts tiek ievests svārstību kustībā.
Pastāvīgā spēka laukā atsperes svārsta svārstību periods nemainās. Svārstību periods ķēdē darbojas tāpat - tas paliek nemainīgs, kad ķēdē tiek ievadīts līdzstrāvas avots.
Līdzsvara stāvoklī, kad slodzes ātrums ir maksimālais, atspere tiek deformēta:
Kad strāva svārstību ķēdē ir maksimālā 
. Kirhhofa otrais likums ir rakstīts šādi
Šobrīd kondensatora uzlāde ir vienāda ar To pašu rezultātu var iegūt, pamatojoties uz izteiksmi (*), aizstājot
§5 Problēmu risināšanas piemēri
1. uzdevums Enerģijas nezūdamības likums
L\u003d 0,5 μH un kondensators ar kapacitāti NO= Rodas 20 pF elektriskās svārstības. Kāds ir maksimālais spriegums pāri kondensatoram, ja strāvas amplitūda ķēdē ir 1 mA? Spoles aktīvā pretestība ir niecīga.
Risinājums:
(1)
2 Brīdī, kad spriegums uz kondensatora ir maksimālais (maksimālā kondensatora uzlāde), ķēdē nav strāvas. Sistēmas kopējā enerģija sastāv tikai no kondensatora elektriskā lauka enerģijas
(2)
3 Brīdī, kad ķēdē ir maksimālā strāva, kondensators ir pilnībā izlādējies. Sistēmas kopējā enerģija sastāv tikai no spoles magnētiskā lauka enerģijas
(3)
4 Pamatojoties uz izteiksmēm (1), (2), (3), iegūstam vienādību 
. Maksimālais spriegums pāri kondensatoram ir
2. uzdevums Enerģijas nezūdamības likums
Svārstību ķēdē, kas sastāv no induktivitātes spoles L un kondensators NO, elektriskās svārstības notiek ar periodu T = 1 μs. Maksimālā uzlādes vērtība 
. Kāda ir strāva ķēdē brīdī, kad kondensatora lādiņš ir vienāds ar? Spoles aktīvā pretestība ir niecīga.
Risinājums:
1 Tā kā spoles aktīvo pretestību var neņemt vērā, sistēmas kopējā enerģija, kas sastāv no kondensatora elektriskā lauka enerģijas un spoles magnētiskā lauka enerģijas, laika gaitā nemainās:
(1)
2 Brīdī, kad kondensatora lādiņš ir maksimālais, ķēdē nav strāvas. Sistēmas kopējā enerģija sastāv tikai no kondensatora elektriskā lauka enerģijas
(2)
3 Pamatojoties uz (1) un (2), mēs iegūstam vienādību 
. Strāva ķēdē ir 
.
4 Svārstību periodu ķēdē nosaka pēc Tomsona formulas. No šejienes. Tad mēs iegūstam strāvu ķēdē
3. uzdevums Svārstību ķēde ar diviem paralēli savienotiem kondensatoriem
Svārstību ķēdē, kas sastāv no induktivitātes spoles L un kondensators NO, elektriskās svārstības notiek ar lādiņa amplitūdu. Brīdī, kad kondensatora uzlāde ir maksimāla, tiek aizvērta atslēga K. Kāds būs svārstību periods ķēdē pēc atslēgas aizvēršanas? Kāda ir strāvas amplitūda ķēdē pēc slēdža aizvēršanas? Ignorējiet ķēdes omisko pretestību.
Risinājums:
1 Atslēgas aizvēršana noved pie cita kondensatora parādīšanās ķēdē, kas savienots paralēli pirmajam. Divu paralēli savienotu kondensatoru kopējā kapacitāte ir .
Svārstību periods ķēdē ir atkarīgs tikai no tā parametriem un nav atkarīgs no tā, kā sistēmā tika ierosinātas svārstības un kāda enerģija tam tika piešķirta sistēmai. Pēc Tomsona formulas.
2 Lai noskaidrotu strāvas amplitūdu, noskaidrosim, kādi procesi notiek ķēdē pēc atslēgas aizvēršanas.
Otrais kondensators tika pieslēgts brīdī, kad pirmā kondensatora uzlāde bija maksimāla, tāpēc ķēdē nebija strāvas.
Cilpas kondensatoram jāsāk izlādēties. Izlādes strāva, sasniedzot mezglu, jāsadala divās daļās. Tomēr atzarā ar spoli notiek pašindukcijas EML, kas novērš izlādes strāvas palielināšanos. Šī iemesla dēļ visa izlādes strāva ieplūdīs atzarā ar kondensatoru, kura omiskā pretestība ir nulle. Strāva apstāsies, tiklīdz kondensatoru spriegumi būs vienādi, savukārt kondensatora sākotnējais lādiņš tiek pārdalīts starp diviem kondensatoriem. Uzlādes pārdales laiks starp diviem kondensatoriem ir niecīgs, jo kondensatora atzaros nav omu pretestības. Šajā laikā strāvai filiālē ar spoli nebūs laika parādīties. svārstības jauna sistēma turpināt pēc lādiņa pārdalīšanas starp kondensatoriem.
Ir svarīgi saprast, ka lādiņa pārdalīšanas procesā starp diviem kondensatoriem sistēmas enerģija netiek saglabāta! Pirms atslēgas aizvēršanas vienam kondensatoram, cilpas kondensatoram, bija enerģija:
Pēc uzlādes pārdalīšanas kondensatoru akumulatoram ir enerģija:
Ir viegli redzēt, ka sistēmas enerģija ir samazinājusies!
3 Mēs atrodam jauno strāvas amplitūdu, izmantojot enerģijas nezūdamības likumu. Svārstību procesā kondensatora baterijas enerģija tiek pārvērsta strāvas magnētiskā lauka enerģijā:
Lūdzu, ņemiet vērā, ka enerģijas nezūdamības likums sāk "darboties" tikai pēc tam, kad ir pabeigta lādiņa pārdalīšana starp kondensatoriem.
4. uzdevums Svārstību ķēde ar diviem kondensatoriem, kas savienoti virknē
Svārstību ķēde sastāv no spoles ar induktivitāti L un diviem virknē savienotiem kondensatoriem C un 4C. Kondensators ar jaudu C tiek uzlādēts līdz spriegumam, kondensators ar jaudu 4C netiek uzlādēts. Pēc atslēgas aizvēršanas ķēdē sākas svārstības. Kāds ir šo svārstību periods? Nosakiet strāvas amplitūdu, maksimālās un minimālās sprieguma vērtības katram kondensatoram.
Risinājums:
1 Brīdī, kad ķēdē ir maksimālā strāva, spolē nav pašindukcijas EMF 
. Uz šo brīdi mēs pierakstām otro Kirhhofa likumu
Mēs redzam, ka brīdī, kad ķēdē ir maksimālā strāva, kondensatori tiek uzlādēti ar tādu pašu spriegumu, bet pretējā polaritātē:
2 Pirms atslēgas aizvēršanas sistēmas kopējā enerģija sastāvēja tikai no kondensatora C elektriskā lauka enerģijas:
Brīdī, kad ķēdē ir maksimālā strāva, sistēmas enerģija ir strāvas magnētiskā lauka enerģijas un divu kondensatoru enerģijas summa, kas uzlādēta ar vienu un to pašu spriegumu:
Saskaņā ar enerģijas nezūdamības likumu
Lai atrastu spriegumu uz kondensatoriem, mēs izmantojam lādiņa nezūdamības likumu - kondensatora C apakšējās plāksnes lādiņš ir daļēji pārnests uz kondensatora 4C augšējo plāksni:
Atrasto sprieguma vērtību aizstājam enerģijas nezūdamības likumā un atrodam strāvas amplitūdu ķēdē:
3 Atradīsim robežas, kurās svārstību procesā mainās spriegums uz kondensatoriem.
Ir skaidrs, ka brīdī, kad ķēde bija slēgta, kondensatoram C bija maksimālais spriegums. Kondensators 4C netika uzlādēts, tāpēc .
Pēc slēdža aizvēršanas kondensators C sāk izlādēties, un kondensators ar jaudu 4C sāk uzlādēt. Pirmā kondensatora izlādes un otrā kondensatora uzlādes process beidzas, tiklīdz strāva ķēdē apstājas. Tas notiks pēc pusperioda. Saskaņā ar enerģijas un elektriskā lādiņa nezūdamības likumiem:
Atrisinot sistēmu, mēs atrodam:
.
Mīnusa zīme nozīmē, ka pēc pusperioda kapacitāte C tiek uzlādēta oriģināla apgrieztā polaritātē.
5. uzdevums Svārstību ķēde ar divām virknē savienotām spolēm
Svārstību ķēde sastāv no kondensatora ar kapacitāti C un divām spolēm ar induktivitāti L1 Un L2. Brīdī, kad strāva ķēdē ir sasniegusi maksimālo vērtību, pirmajā spolē (salīdzinājumā ar svārstību periodu) ātri tiek ievadīts dzelzs serdenis, kas noved pie tā induktivitātes palielināšanās par μ reizēm. Kāda ir sprieguma amplitūda turpmāko svārstību procesā ķēdē?
Risinājums:
1 Ātri ievadot serdi spolē, magnētiskā plūsma(elektromagnētiskās indukcijas fenomens). Tāpēc strauja vienas spoles induktivitātes maiņa radīs straujas strāvas izmaiņas ķēdē.
2 Kodola ievadīšanas laikā spolē kondensatora lādiņai nebija laika mainīties, tas palika neuzlādēts (kodols tika ievadīts brīdī, kad strāva ķēdē bija maksimālā). Pēc ceturtdaļas perioda strāvas magnētiskā lauka enerģija pārvērtīsies uzlādēta kondensatora enerģijā:
Iegūtajā izteiksmē aizstājiet strāvas vērtību es un atrodiet kondensatora sprieguma amplitūdu:
6. uzdevums Svārstību ķēde ar divām paralēli savienotām spolēm
Induktori L 1 un L 2 caur taustiņiem K1 un K2 ir savienoti ar kondensatoru ar kapacitāti C. Sākotnējā brīdī abi taustiņi ir atvērti, un kondensators ir uzlādēts līdz potenciālu starpībai. Pirmkārt, atslēga K1 tiek aizvērta un, kad spriegums pāri kondensatoram kļūst vienāds ar nulli, K2 tiek aizvērts. Pēc K2 aizvēršanas nosakiet maksimālo spriegumu pāri kondensatoram. Ignorēt spoles pretestības.
Risinājums:
1 Kad atslēga K2 ir atvērta, ķēdē, kas sastāv no kondensatora un pirmās spoles, rodas svārstības. Līdz brīdim, kad K2 ir aizvērts, kondensatora enerģija ir pārgājusi pirmās spoles strāvas magnētiskā lauka enerģijā:
2 Pēc K2 aizvēršanas oscilācijas ķēdē parādās divas paralēli savienotas spoles.
Pašindukcijas fenomena dēļ strāva pirmajā spolē nevar apstāties. Mezglā tas sadalās: viena strāvas daļa iet uz otro spoli, bet otra daļa uzlādē kondensatoru.
3 Spriegums uz kondensatora kļūs maksimālais, kad strāva apstāsies es uzlādes kondensators. Ir skaidrs, ka šobrīd strāvas spoles būs vienādas.
:Svārsts virzās uz priekšu ar masas centra ātrumu 
un svārstās ap masas centru.
Elastīgais spēks ir maksimālais atsperes maksimālās deformācijas brīdī. Acīmredzot šajā brīdī atsvaru relatīvais ātrums kļūst vienāds ar nulli, un attiecībā pret tabulu atsvari pārvietojas ar masas centra ātrumu. Mēs pierakstām enerģijas nezūdamības likumu:
Atrisinot sistēmu, mēs atrodam
Mēs veicam nomaiņu
un saņemt par maksimālais spriegums iepriekš atrastā vērtība 
§6 Uzdevumi patstāvīgam risinājumam
1. uzdevums Dabisko svārstību perioda un biežuma aprēķins
1 Svārstību ķēde ietver mainīgas induktivitātes spoli, kas mainās iekšpusē L1= 0,5 µH līdz L2\u003d 10 μH, un kondensators, kura kapacitāte var atšķirties no No 1= 10 pF līdz
No 2\u003d 500 pF. Kādu frekvenču diapazonu var aptvert, noregulējot šo ķēdi?
2 Cik reizes mainīsies dabisko svārstību frekvence ķēdē, ja tās induktivitāte tiek palielināta 10 reizes un kapacitāte tiek samazināta 2,5 reizes?
3 Svārstību ķēde ar 1 uF kondensatoru ir noregulēta uz 400 Hz frekvenci. Ja paralēli tam pievienojat otru kondensatoru, tad svārstību frekvence ķēdē kļūst vienāda ar 200 Hz. Nosakiet otrā kondensatora kapacitāti.
4 Svārstību ķēde sastāv no spoles un kondensatora. Cik reizes mainīsies naturālo svārstību frekvence ķēdē, ja ķēdē virknē tiek pieslēgts otrs kondensators, kura kapacitāte ir 3 reizes mazāka par pirmā kapacitāti?
5 Nosakiet ķēdes svārstību periodu, kas ietver spoli (bez serdes) garumā iekšā= 50 cm m šķērsgriezuma laukums
S\u003d 3 cm 2, kam N\u003d 1000 apgriezieni un kapacitātes kondensators NO= 0,5 uF.
6 Svārstību ķēdē ietilpst induktors L\u003d 1,0 μH un gaisa kondensators, kura plākšņu laukumi S\u003d 100 cm 2. Ķēde ir noregulēta uz 30 MHz frekvenci. Nosakiet attālumu starp plāksnēm. Ķēdes aktīvā pretestība ir niecīga.
ELEKTROMAGNĒTISKĀS SVĀRĪBAS UN VIĻŅI
§1 Svārstību ķēde.
Dabiskās vibrācijas svārstību ķēdē.
Tomsona formula.
Slāpētas un piespiedu svārstības c.c.
- Brīvās vibrācijas c.c.
Svārstību ķēde (c.c.) ir ķēde, kas sastāv no kondensatora un induktora. Noteiktos apstākļos c.c. var rasties elektromagnētiskas lādiņa, strāvas, sprieguma un enerģijas svārstības.
Apsveriet shēmu, kas parādīta 2. attēlā. Ja atslēgu ievietojat 1. pozīcijā, kondensators tiks uzlādēts un uz tā plāksnēm parādīsies lādiņšJ un spriedzi U C. Ja pēc tam pagriežat atslēgu 2. pozīcijā, tad kondensators sāks izlādēties, ķēdē plūst strāva, savukārt starp kondensatora plāksnēm esošā elektriskā lauka enerģija tiks pārvērsta magnētiskā lauka enerģijā, kas koncentrēta induktors.L. Induktora klātbūtne noved pie tā, ka strāva ķēdē nepalielinās uzreiz, bet pakāpeniski pašindukcijas fenomena dēļ. Kondensatoram izlādējoties, tā plākšņu lādiņš samazināsies, strāva ķēdē palielināsies. Maksimālā cilpas strāvas vērtība sasniegs, kad lādiņš uz plāksnēm būs vienāds ar nulli. No šī brīža loka strāva sāks samazināties, bet, pateicoties pašindukcijas fenomenam, to uzturēs induktora magnētiskais lauks, t.i. kad kondensators ir pilnībā izlādējies, induktorā uzkrātā magnētiskā lauka enerģija sāks pārvērsties elektriskā lauka enerģijā. Cilpas strāvas dēļ kondensators sāks uzlādēties, un uz tā plāksnēm sāks uzkrāties lādiņš, kas ir pretējs sākotnējam. Kondensators tiks uzlādēts, līdz visa induktora magnētiskā lauka enerģija tiks pārvērsta kondensatora elektriskā lauka enerģijā. Tad process tiks atkārtots pretējā virzienā, un tādējādi ķēdē notiks elektromagnētiskās svārstības.
Pierakstīsim 2. Kirhhofa likumu aplūkotajam k.k.
Diferenciālvienādojums k.k.
Mēs esam ieguvuši diferenciālvienādojumu lādiņa svārstībām c.c. Šis vienādojums ir līdzīgs diferenciālvienādojumam, kas apraksta ķermeņa kustību kvazielastīga spēka iedarbībā. Tāpēc šī vienādojuma atrisinājums tiks uzrakstīts līdzīgi
Uzlādes svārstību vienādojums c.c.
Sprieguma svārstību vienādojums uz kondensatora plāksnēm c.c.
Strāvas svārstību vienādojums k.k.
- Slāpētas QC svārstības
Apsveriet C.C., kas satur kapacitāti, induktivitāti un pretestību. Kirhhofa 2. likums šajā gadījumā tiks rakstīts formā
- vājinājuma koeficients,
Pašu cikliskā frekvence.
- - slāpēto svārstību diferenciālvienādojums c.c.
Slāpēto lādiņu svārstību vienādojums c.c.
Lādiņa amplitūdas maiņas likums slāpētu svārstību laikā c.c.;
Slāpēto svārstību periods.
Vājināšanās samazināšana.
- logaritmiskā slāpēšanas samazināšanās.
Ķēdes labestība.
Ja amortizācija ir vāja, tad T ≈T 0
Mēs pētām sprieguma izmaiņas uz kondensatora plāksnēm.
Strāvas izmaiņas ir ārpus fāzes par φ no sprieguma.
pie - ir iespējamas slāpētas svārstības,
pie - kritiska situācija
kaklasaite. R >
RUZ- svārstības nenotiek (kondensatora periodiska izlāde).
- Elektromagnētiskās vibrācijas ir periodiskas izmaiņas laika gaitā elektriskās un magnētiskie lielumi elektriskā ķēdē.
- bezmaksas tiek saukti par tādiem svārstības, kas rodas slēgtā sistēmā šīs sistēmas novirzes dēļ no stabila līdzsvara stāvokļa.
Svārstību laikā notiek nepārtraukts sistēmas enerģijas pārveidošanas process no vienas formas citā. Vilcināšanās gadījumā elektromagnētiskais lauks apmaiņa var notikt tikai starp šī lauka elektriskajām un magnētiskajām sastāvdaļām. Vienkāršākā sistēma, kurā šis process var notikt, ir svārstību ķēde.
- Ideāla svārstību ķēde (LC ķēde) - elektriskā ķēde, kas sastāv no induktivitātes spoles L un kondensators C.
Atšķirībā no īstas svārstību ķēdes, kurai ir elektriskā pretestība R, elektriskā pretestība ideālā kontūra vienmēr ir nulle. Tāpēc ideāla svārstību ķēde ir reālas ķēdes vienkāršots modelis.
1. attēlā parādīta ideālas svārstību ķēdes diagramma.
Ķēdes enerģija
Svārstību ķēdes kopējā enerģija
\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)
Kur Mēs- svārstību ķēdes elektriskā lauka enerģija in Šis brīdis laiks NO ir kondensatora kapacitāte, u- kondensatora sprieguma vērtība noteiktā laikā, q- kondensatora lādiņa vērtība noteiktā laikā, Wm- svārstību ķēdes magnētiskā lauka enerģija noteiktā laikā, L- spoles induktivitāte, i- strāvas vērtība spolē noteiktā laikā.
Procesi svārstību ķēdē
Apsveriet procesus, kas notiek svārstību ķēdē.
Lai noņemtu ķēdi no līdzsvara stāvokļa, mēs uzlādējam kondensatoru tā, lai uz tā plāksnēm būtu lādiņš Qm(2. att., pozīcija 1 ). Ņemot vērā vienādojumu \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\), mēs atrodam kondensatora sprieguma vērtību. Šajā brīdī ķēdē nav strāvas, t.i. i = 0.
Pēc atslēgas aizvēršanas ķēdē esošā kondensatora elektriskā lauka ietekmē, elektrība, strāvas stiprums i kas laika gaitā palielināsies. Kondensators šajā laikā sāks izlādēties, jo. elektroni, kas rada strāvu (atgādinu, ka par strāvas virzienu tiek ņemts pozitīvo lādiņu kustības virziens) atstāj kondensatora negatīvo plāksni un nonāk pozitīvā (sk. 2. att., pozīcija 2 ). Kopā ar maksu q spriedze samazināsies u\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Palielinoties strāvas stiprumam, caur spoli parādīsies pašindukcijas emf, kas novērš strāvas stipruma izmaiņas. Rezultātā strāvas stiprums svārstību ķēdē palielināsies no nulles līdz noteiktai maksimālajai vērtībai nevis acumirklī, bet noteiktā laika periodā, ko nosaka spoles induktivitāte.
Kondensatora uzlāde q samazinās un kādā brīdī kļūst vienāds ar nulli ( q = 0, u= 0), strāva spolē sasniegs noteiktu vērtību ES esmu(skat. 2. att., pozīciju 3 ).
Bez kondensatora elektriskā lauka (un pretestības) elektroni, kas rada strāvu, turpina kustēties pēc inerces. Šajā gadījumā elektroni, kas nonāk pie kondensatora neitrālās plāksnes, piešķir tai negatīvu lādiņu, bet elektroni, kas atstāj neitrālu plāksni, piešķir tai pozitīvu lādiņu. Kondensators sāk uzlādēt q(un spriegumu u), bet ar pretēju zīmi, t.i. kondensators ir uzlādēts. Tagad jaunais kondensatora elektriskais lauks neļauj elektroniem kustēties, tātad strāva i sāk samazināties (skat. 2. att., pozīcija 4 ). Atkal, tas nenotiek uzreiz, jo tagad pašindukcijas EMF cenšas kompensēt strāvas samazināšanos un to “atbalsta”. Un strāvas vērtība ES esmu(grūtniece 3 ) izrādās maksimālā strāva kontūrā.
Un atkal kondensatora elektriskā lauka iedarbībā ķēdē parādīsies elektriskā strāva, bet vērsta pretējā virzienā, strāvas stiprums i kas laika gaitā palielināsies. Un šajā laikā kondensators tiks izlādēts (sk. 2. att., pozīciju). 6 ) uz nulli (sk. 2. att., pozīciju 7 ). utt.
Kopš kondensatora uzlādes q(un spriegumu u) nosaka tā elektriskā lauka enerģiju Mēs\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) un strāva spolē i- magnētiskā lauka enerģija wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\), tad līdz ar lādiņa, sprieguma un strāvas izmaiņām mainīsies arī enerģijas.
Apzīmējumi tabulā:
\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ ; W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)
\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2) )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)
Ideālas svārstību ķēdes kopējā enerģija laika gaitā tiek saglabāta, jo tajā ir enerģijas zudumi (nav pretestības). Tad
\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)
Tādējādi ideālā gadījumā LC- ķēde periodiski piedzīvos strāvas stipruma vērtību izmaiņas i, maksa q un stress u, un ķēdes kopējā enerģija paliks nemainīga. Šajā gadījumā mēs sakām, ka ir brīvas elektromagnētiskās svārstības.
- Brīvas elektromagnētiskās svārstībasķēdē - tās ir periodiskas kondensatora plākšņu lādiņa izmaiņas, strāvas stiprums un spriegums ķēdē, kas notiek, nepatērējot enerģiju no ārējiem avotiem.
Tādējādi brīvo elektromagnētisko svārstību rašanās ķēdē ir saistīta ar kondensatora uzlādi un pašindukcijas EMF rašanos spolē, kas “nodrošina” šo uzlādi. Ņemiet vērā, ka uzlāde uz kondensatora q un strāva spolē i sasniedz maksimālās vērtības Qm Un ES esmu dažādos laika punktos.
Brīvas elektromagnētiskās svārstības ķēdē notiek saskaņā ar harmonikas likumu:
\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \right).\)
Mazākais laika periods, kura laikā LC- ķēde atgriežas sākotnējā stāvoklī (līdz šīs oderes lādiņa sākotnējai vērtībai), sauc par brīvo (dabisko) elektromagnētisko svārstību periodu ķēdē.
Brīvo elektromagnētisko svārstību periods LC-kontūru nosaka Tomsona formula:
\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)
No mehāniskās analoģijas viedokļa ideāla svārstību ķēde atbilst atsperes svārstam bez berzes, bet īsta - ar berzi. Berzes spēku iedarbības dēļ atsperes svārsta svārstības laika gaitā izzūd.
*Tomsona formulas atvasinājums
Tā kā ideāla kopējā enerģija LC-kontūra, vienāda ar enerģiju summu elektrostatiskais lauks kondensators un spoles magnētiskais lauks tiek saglabāts, tad jebkurā brīdī vienādība
\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)
Mēs iegūstam svārstību vienādojumu LC-shēma, izmantojot enerģijas nezūdamības likumu. Tās kopējās enerģijas izteiksmes diferencēšana attiecībā pret laiku, ņemot vērā to, ka
\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q",\)
mēs iegūstam vienādojumu, kas apraksta brīvās svārstības ideālā ķēdē:
\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q"""=0,\)
\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )
Pārrakstot to kā:
\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)
ņemiet vērā, ka šis ir harmonisko svārstību vienādojums ar ciklisku frekvenci
\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)
Attiecīgi aplūkojamo svārstību periods
\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)
Literatūra
- Žilko, V.V. Fizika: mācību grāmata. pabalsts vispārējās izglītības 11. klasei. skola no krievu valodas lang. apmācība / V.V. Žilko, L.G. Markovičs. - Minska: Nar. Asveta, 2009. - S. 39-43.
Notiek ielāde...