Saistītā nodarbība "Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija" (algebra, 10. klase)

Nodarbības mērķis: iepazīstinot skolēnus ar jauna veida secību – bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju.

Aprīkojums: projektors, ekrāns.

Nodarbības veids: Nodarbība - jaunas tēmas apgūšana.

Nodarbību laikā

es . Org. brīdis. Ziņa par nodarbības tēmu un mērķi.

II . Studentu zināšanu papildināšana.

9. klasē jūs mācījāties aritmētisko un ģeometrisko progresiju.

Jautājumi

1. Aritmētiskās progresijas definīcija. (Aritmētiskā progresija ir secība, kurā katrs vārds, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo vārdu, kas pievienots tam pašam skaitlim.)

2. Formula n-aritmētiskās progresijas loceklis (
)

3. Pirmā summas formula n aritmētiskās progresijas locekļi.

(
vai
)

4. Ģeometriskās progresijas definīcija. (Ģeometriskā progresija ir skaitļu virkne, kas nav nulle, un katrs no tiem, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo vārdu, kas reizināts ar to pašu skaitli.)

5. Formula n- ģeometriskās progresijas loceklis (

)

6. Pirmā summas formula nģeometriskās progresijas locekļi. (
)

7. Kādas formulas jūs joprojām zināt?

(
, kur
;
;
;
,
)

5. Ģeometriskai progresijai
atrast piekto terminu.

6. Ģeometriskai progresijai
atrast n- biedrs.

7. Eksponenciāli b 3 = 8 Un b 5 = 2 . Atrast b 4 . (4)

8. Eksponenciāli b 3 = 8 Un b 5 = 2 . Atrast b 1 Un q .

9. Eksponenciāli b 3 = 8 Un b 5 = 2 . Atrast S 5 . (62)

III . Jaunas tēmas izpēte(demonstrācijas prezentācija).

Aplūkosim kvadrātu, kura mala ir vienāda ar 1. Uzzīmēsim vēl vienu kvadrātu, kura mala ir puse no pirmā kvadrāta, tad vēl vienu, kura mala ir puse otrā, tad nākamo un tā tālāk. Katru reizi jaunā kvadrāta mala ir puse no iepriekšējās.

Rezultātā mēs saņēmām kvadrātu malu secību veidojot ģeometrisko progresiju ar saucēju .

Un, kas ir ļoti svarīgi, jo vairāk mēs veidosim šādus laukumus, jo mazāka būs laukuma mala. Piemēram,

Tie. pieaugot skaitlim n, progresijas nosacījumi tuvojas nullei.

Ar šī attēla palīdzību var apsvērt vēl vienu secību.

Piemēram, kvadrātu laukumu secība:

. Un atkal, ja n palielinās bezgalīgi, tad laukums patvaļīgi tuvojas nullei.

Apskatīsim vēl vienu piemēru. Vienādmalu trīsstūris ar 1 cm malu. Konstruēsim nākamo trīsstūri ar virsotnēm 1. trijstūra malu viduspunktos, saskaņā ar trijstūra viduslīnijas teorēmu - 2. mala ir vienāda ar pusi no pirmā malas, 3. mala ir puse no malas. 2. utt. Atkal mēs iegūstam trīsstūru malu garumu secību.

plkst
.

Ja ņemam vērā ģeometrisko progresiju ar negatīvu saucēju.

Tad atkal ar pieaugošu skaitu n progresijas nosacījumi tuvojas nullei.

Pievērsīsim uzmanību šo secību saucējiem. Visur saucēji bija mazāki par 1 moduli.

Varam secināt: ģeometriskā progresija bezgalīgi samazinās, ja tās saucēja modulis ir mazāks par 1.

Definīcija:

Tiek uzskatīts, ka ģeometriskā progresija ir bezgalīgi dilstoša, ja tās saucēja modulis ir mazāks par vienu.
.

Ar definīcijas palīdzību ir iespējams atrisināt jautājumu par to, vai ģeometriskā progresija bezgalīgi samazinās vai nē.

Uzdevums

Vai secība ir bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija, ja to nosaka pēc formulas:

;
.

Risinājums:

. Atradīsim q .

;
;
;
.

šī ģeometriskā progresija bezgalīgi samazinās.

b)šī secība nav bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija.

Apsveriet kvadrātu, kura mala ir vienāda ar 1. Sadaliet to uz pusēm, vienu no pusēm atkal uz pusēm un tā tālāk. visu iegūto taisnstūru laukumi veido bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju:

Visu šādā veidā iegūto taisnstūru laukumu summa būs vienāda ar 1. kvadrāta laukumu un vienāda ar 1.

Nodarbības mērķis: iepazīstināt skolēnus ar jauna veida secību - bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju.
Uzdevumi:
sākotnējās idejas par skaitliskās secības robežas formulēšana;
iepazīšanās ar citu veidu, kā bezgalīgas periodiskas daļas pārvērst parastajās, izmantojot bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summas formulu;
skolēnu personības intelektuālo īpašību attīstīšana, piemēram, loģiskā domāšana, spēja novērtēt darbības, vispārināšana;
darbības izglītība, savstarpēja palīdzība, kolektīvisms, interese par mācību priekšmetu.

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Saistītā nodarbība "Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija" (algebra, 10. klase)

Nodarbības mērķis: iepazīstinot skolēnus ar jauna veida secību – bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju.

Uzdevumi:

sākotnējās idejas par skaitliskās secības robežas formulēšana; iepazīšanās ar citu veidu, kā bezgalīgas periodiskas daļas pārvērst parastajās, izmantojot bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summas formulu;

skolēnu personības intelektuālo īpašību attīstīšana, piemēram, loģiskā domāšana, spēja novērtēt darbības, vispārināšana;

darbības izglītība, savstarpēja palīdzība, kolektīvisms, interese par mācību priekšmetu.

Aprīkojums: datorklase, projektors, ekrāns.

Nodarbības veids: Nodarbība - jaunas tēmas apgūšana.

Nodarbību laikā

I. Org. brīdis. Ziņa par nodarbības tēmu un mērķi.

II. Studentu zināšanu papildināšana.

9. klasē jūs mācījāties aritmētisko un ģeometrisko progresiju.

Jautājumi

1. Aritmētiskās progresijas definīcija.

(Aritmētiskā progresija ir secība, kurā katrs dalībnieks,

Sākot no otrā, tas ir vienāds ar iepriekšējo terminu, kas pievienots ar tādu pašu numuru).

2. Formula n -aritmētiskās progresijas loceklis

3. Pirmā summas formula n aritmētiskās progresijas locekļi.

(vai )

4. Ģeometriskās progresijas definīcija.

(Ģeometriskā progresija ir skaitļu secība, kas nav nulle,

Katrs no tiem, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo termiņu, kas reizināts ar

tas pats numurs).

5. Formula n ģeometriskās progresijas termiņš

6. Pirmā summas formula n ģeometriskās progresijas locekļi.

7. Kādas formulas jūs joprojām zināt?

(, kur ; ;

; , )

Uzdevumi

1. Aritmētiskā progresija tiek dota pēc formulas a n = 7 - 4n. Atrodi 10. (-33)

2. Aritmētiskā progresija a 3 = 7 un a 5 = 1 . Atrodi 4. (4)

3. Aritmētiskā progresija a 3 = 7 un a 5 = 1 . Atrodiet 17. (-35)

4. Aritmētiskā progresija a 3 = 7 un a 5 = 1 . Atrodiet S 17 . (-187)

5. Ģeometriskai progresijaiatrast piekto terminu.

6. Ģeometriskai progresijai atrast n-to terminu.

7. Eksponenciāli b 3 = 8 un b 5 = 2. Atrodi b 4 . (4)

8. Eksponenciāli b 3 = 8 un b 5 = 2. Atrodiet b 1 un q .

9. Eksponenciāli b 3 = 8 un b 5 = 2. Atrodiet S5. (62)

III. Jaunas tēmas izpēte(demonstrācijas prezentācija).

Aplūkosim kvadrātu, kura mala ir vienāda ar 1. Uzzīmēsim vēl vienu kvadrātu, kura mala ir puse no pirmā kvadrāta, tad vēl vienu, kura mala ir puse otrā, tad nākamo un tā tālāk. Katru reizi jaunā kvadrāta mala ir puse no iepriekšējās.

Rezultātā mēs saņēmām kvadrātu malu secībuveidojot ģeometrisko progresiju ar saucēju.

Un, kas ir ļoti svarīgi, jo vairāk mēs veidosim šādus laukumus, jo mazāka būs laukuma mala. Piemēram ,

Tie. pieaugot skaitlim n, progresijas nosacījumi tuvojas nullei.

Ar šī attēla palīdzību var apsvērt vēl vienu secību.

Piemēram, kvadrātu laukumu secība:

Un atkal, ja n palielinās bezgalīgi, tad laukums patvaļīgi tuvojas nullei.

Apskatīsim vēl vienu piemēru. Vienādmalu trīsstūris ar 1 cm malu. Konstruēsim nākamo trīsstūri ar virsotnēm 1. trijstūra malu viduspunktos, saskaņā ar trijstūra viduslīnijas teorēmu - 2. mala ir vienāda ar pusi no pirmā malas, 3. mala ir puse no malas. 2. utt. Atkal mēs iegūstam trīsstūru malu garumu secību.

plkst.

Ja ņemam vērā ģeometrisko progresiju ar negatīvu saucēju.

Tad atkal ar pieaugošu skaitu n progresijas nosacījumi tuvojas nullei.

Pievērsīsim uzmanību šo secību saucējiem. Visur saucēji bija mazāki par 1 moduli.

Varam secināt: ģeometriskā progresija bezgalīgi samazinās, ja tās saucēja modulis ir mazāks par 1.

Priekšējais darbs.

Definīcija:

Tiek uzskatīts, ka ģeometriskā progresija ir bezgalīgi dilstoša, ja tās saucēja modulis ir mazāks par vienu..

Ar definīcijas palīdzību ir iespējams atrisināt jautājumu par to, vai ģeometriskā progresija bezgalīgi samazinās vai nē.

Uzdevums

Vai secība ir bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija, ja to nosaka pēc formulas:

Risinājums:

Atradīsim q .

; ; ; .

šī ģeometriskā progresija bezgalīgi samazinās.

b) šī secība nav bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija.

Apsveriet kvadrātu, kura mala ir vienāda ar 1. Sadaliet to uz pusēm, vienu no pusēm atkal uz pusēm un tā tālāk. visu iegūto taisnstūru laukumi veido bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju:

Visu šādā veidā iegūto taisnstūru laukumu summa būs vienāda ar 1. kvadrāta laukumu un vienāda ar 1.

Bet šīs vienādības kreisajā pusē ir bezgalīgi daudzu terminu summa.

Apsveriet pirmo n vārdu summu.

Saskaņā ar formulu ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summai, tā ir vienāda ar.

Ja n palielinās bezgalīgi, tad

vai . Tāpēc, t.i. .

Bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summair secības ierobežojums S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Piemēram, progresēšanai,

mums ir

Jo

Bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summavar atrast, izmantojot formulu.

III. Pārdomas un konsolidācija(uzdevumu izpilde).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Apkopojot.

Kādu secību jūs šodien satikāt?

Definējiet bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju.

Kā pierādīt, ka ģeometriskā progresija bezgalīgi samazinās?

Dodiet bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summas formulu.

V. Mājas darbs.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Priekšskatījums:

Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumu, izveidojiet Google kontu (kontu) un pierakstieties: https://accounts.google.com

Slaidu paraksti:

Ikvienam jāspēj konsekventi domāt, pārliecinoši spriest un atspēkot nepareizus secinājumus: fiziķim un dzejniekam, traktoristam un ķīmiķim. E.Kolmans Matemātikā jāatceras nevis formulas, bet gan domāšanas procesi. VP Ermakovs Vieglāk ir atrast apļa kvadrātu, nekā pārspēt matemātiķi. Augusts de Morgans. Kura zinātne var būt cildenāka, apbrīnojamāka, cilvēcei noderīgāka par matemātiku? Franklins

Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija 10. klase

es Aritmētiskā un ģeometriskā progresija. Jautājumi 1. Aritmētiskās progresijas definīcija. Aritmētiskā progresija ir secība, kurā katrs vārds, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo vārdu, kas pievienots tam pašam skaitlim. 2. Aritmētiskās progresijas n-tā locekļa formula. 3. Aritmētiskās progresijas pirmo n locekļu summas formula. 4. Ģeometriskās progresijas definīcija. Ģeometriskā progresija ir skaitļu virkne, kas atšķiras no nulles un kuras katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo locekli, kas reizināts ar to pašu skaitli 5. Ģeometriskās progresijas n-tā locekļa formula. 6. Ģeometriskās progresijas pirmo n locekļu summas formula.

II. Aritmētiskā progresija. Uzdevumi Aritmētiskā progresija tiek dota pēc formulas a n = 7 – 4 n Atrodi 10 . (-33) 2. Aritmētiskajā progresijā a 3 = 7 un a 5 = 1 . Atrodiet 4. (4) 3. Aritmētiskajā progresijā a 3 = 7 un a 5 = 1 . Atrodiet 17. (-35) 4. Aritmētiskajā progresijā a 3 = 7 un a 5 = 1 . Atrodiet S 17 . (-187)

II. Ģeometriskā progresija. Uzdevumi 5. Ģeometriskajai progresijai atrodiet piekto terminu 6. Ģeometriskajai progresijai atrodiet n-to terminu. 7. Eksponenciāli b 3 = 8 un b 5 = 2. Atrodi b 4 . (4) 8. Ģeometriskā progresijā b 3 = 8 un b 5 = 2 . Atrodiet b 1 un q . 9. Ģeometriskā progresijā b 3 = 8 un b 5 = 2. Atrodiet S5. (62)

definīcija: tiek uzskatīts, ka ģeometriskā progresija ir bezgalīgi dilstoša, ja tās saucēja modulis ir mazāks par vienu.

Problēma №1 Vai secība ir bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija, ja tā ir dota pēc formulas: Risinājums: a) šī ģeometriskā progresija ir bezgalīgi dilstoša. b) šī secība nav bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija.

Bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summa ir secības S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … robeža. Piemēram, progresijai mums ir Tā kā bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summu var atrast pēc formulas

Uzdevumu izpilde Atrodi bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summu ar pirmo biedru 3, otro 0,3. 2. Nr.13; Nr.14; mācību grāmata, 138. lpp. 3. Nr.15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. Nr.19; Nr.20.

Kādu secību jūs šodien satikāt? Definējiet bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju. Kā pierādīt, ka ģeometriskā progresija bezgalīgi samazinās? Dodiet bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summas formulu. Jautājumi

Slavenais poļu matemātiķis Hugo Stīnhauss jokojot apgalvo, ka pastāv likums, kas formulēts šādi: matemātiķis to izdarīs labāk. Proti, ja jūs uzticat diviem cilvēkiem, no kuriem viens ir matemātiķis, veikt jebkuru darbu, ko viņi nezina, tad rezultāts vienmēr būs šāds: matemātiķis to izdarīs labāk. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972

Pirmais līmenis

Ģeometriskā progresija. Visaptveroša rokasgrāmata ar piemēriem (2019)

Ciparu secība

Tāpēc apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:

Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties (mūsu gadījumā tie). Neatkarīgi no tā, cik skaitļus mēs rakstām, mēs vienmēr varam pateikt, kurš no tiem ir pirmais, kurš ir otrais un tā tālāk līdz pēdējam, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu secības piemērs:

Ciparu secība ir skaitļu kopa, no kuriem katram var piešķirt unikālu numuru.

Piemēram, mūsu secībai:

Piešķirtais numurs ir raksturīgs tikai vienam kārtas numuram. Citiem vārdiem sakot, secībā nav trīs sekunžu skaitļu. Otrais cipars (tāpat kā -tais cipars) vienmēr ir vienāds.

Skaitlis ar skaitli tiek saukts par --to kārtas locekli.

Mēs parasti saucam visu secību par kādu burtu (piemēram,), un katru šīs secības dalībnieku - vienu un to pašu burtu ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Mūsu gadījumā:

Visizplatītākie progresēšanas veidi ir aritmētiskā un ģeometriskā. Šajā tēmā mēs runāsim par otro veidu - ģeometriskā progresija.

Kāpēc mums ir vajadzīga ģeometriskā progresija un tās vēsture.

Pat senatnē itāļu matemātiķis mūks Leonardo no Pizas (labāk pazīstams kā Fibonači) nodarbojās ar tirdzniecības praktiskajām vajadzībām. Mūks saskārās ar uzdevumu noteikt, kāds ir mazākais atsvaru skaits, ar kuru var svērt preces? Savos rakstos Fibonači pierāda, ka šāda svaru sistēma ir optimāla: Šī ir viena no pirmajām situācijām, kurā cilvēkiem bija jārisina ģeometriskā progresija, par kuru jūs, iespējams, esat dzirdējuši un jums ir vismaz vispārējs priekšstats. Kad esat pilnībā sapratis tēmu, padomājiet par to, kāpēc šāda sistēma ir optimāla?

Šobrīd dzīves praksē, ieguldot naudu bankā, izpaužas ģeometriskā progresija, kad procentu summa tiek iekasēta par kontā uzkrāto summu par iepriekšējo periodu. Citiem vārdiem sakot, ja jūs ieliekat naudu termiņnoguldījumā krājkasē, tad pēc gada depozīts pieaugs par no sākotnējās summas, t.i. jaunā summa būs vienāda ar iemaksu, kas reizināta ar. Citā gadā šī summa pieaugs par, t.i. tobrīd iegūto summu atkal reizina ar un tā tālāk. Līdzīga situācija ir aprakstīta skaitļošanas problēmās t.s saliktie procenti- procenti tiek ņemti katru reizi no summas, kas atrodas kontā, ņemot vērā iepriekšējos procentus. Par šiem uzdevumiem mēs runāsim nedaudz vēlāk.

Ir daudz vairāk vienkāršu gadījumu, kad tiek piemērota ģeometriskā progresija. Piemēram, gripas izplatība: viens cilvēks inficēja cilvēku, viņi, savukārt, inficēja otru cilvēku, un līdz ar to otrais inficēšanās vilnis - cilvēku, un viņi, savukārt, inficēja citu ... un tā tālāk. .

Starp citu, finanšu piramīda, tas pats MMM, ir vienkāršs un sauss aprēķins pēc ģeometriskās progresijas īpašībām. Interesanti? Izdomāsim.

Ģeometriskā progresija.

Pieņemsim, ka mums ir skaitļu secība:

Uzreiz atbildēsit, ka tas ir viegli un šādas secības nosaukums ir aritmētiskā progresija ar tās dalībnieku starpību. Kā būtu ar kaut ko līdzīgu šim:

Ja no nākamā skaitļa atņem iepriekšējo skaitli, tad redzēsi, ka katru reizi iegūsi jaunu starpību (un tā tālāk), bet secība noteikti pastāv un ir viegli pamanāma – katrs nākamais cipars ir reizes lielāks par iepriekšējo !

Šo secības veidu sauc ģeometriskā progresija un ir atzīmēts.

Ģeometriskā progresija ( ) ir skaitliska secība, kuras pirmais loceklis atšķiras no nulles, un katrs loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizinot ar to pašu skaitli. Šo skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju.

Ierobežojumi, ka pirmais termins ( ) nav vienāds un nav nejauši. Pieņemsim, ka tādu nav, un pirmais vārds joprojām ir vienāds, un q ir, hmm .. pieņemsim, tad izrādās:

Piekrītiet, ka tas nav nekāds progress.

Kā jūs saprotat, mēs iegūsim tādus pašus rezultātus, ja tas ir jebkurš skaitlis, kas nav nulle, bet. Šādos gadījumos progresija vienkārši nenotiks, jo visa skaitļu sērija būs vai nu visas nulles, vai viens skaitlis, un visas pārējās nulles.

Tagad parunāsim sīkāk par ģeometriskās progresijas saucēju, tas ir, par.

Atkārtosim: - tas ir skaitlis, cik reizes mainās katrs nākamais terminsģeometriskā progresija.

Kā jūs domājat, kas tas varētu būt? Tas ir pareizi, pozitīvi un negatīvi, bet ne nulle (mēs par to runājām nedaudz augstāk).

Pieņemsim, ka mums ir pozitīvs. Ļaujiet mūsu gadījumā a. Kas ir otrais termiņš un? Uz to varat viegli atbildēt:

Viss kārtībā. Attiecīgi, ja, tad visiem nākamajiem progresijas dalībniekiem ir viena un tā pati zīme - viņi pozitīvs.

Ko darīt, ja tas ir negatīvs? Piemēram, a. Kas ir otrais termiņš un?

Tas ir pavisam cits stāsts

Mēģiniet saskaitīt šīs progresēšanas termiņu. Cik tu saņēmi? man ir. Tātad, ja, tad ģeometriskās progresijas vārdu zīmes mijas. Tas ir, ja jūs redzat progresēšanu ar mainīgām zīmēm tās locekļos, tad tā saucējs ir negatīvs. Šīs zināšanas var palīdzēt pārbaudīt sevi, risinot problēmas par šo tēmu.

Tagad nedaudz praktizēsimies: mēģiniet noteikt, kuras skaitliskās secības ir ģeometriskā progresija un kuras ir aritmētiskā:

Sapratu? Salīdziniet mūsu atbildes:

• Ģeometriskā progresija - 3, 6.
• Aritmētiskā progresija - 2, 4.
• Tā nav ne aritmētiskā, ne ģeometriskā progresija – 1, 5, 7.

Atgriezīsimies pie savas pēdējās progresijas un mēģināsim atrast tās terminu tāpat kā aritmētikā. Kā jūs, iespējams, uzminējāt, ir divi veidi, kā to atrast.

Mēs secīgi reizinām katru terminu ar.

Tātad aprakstītās ģeometriskās progresijas -tais loceklis ir vienāds ar.

Kā jūs jau uzminējāt, tagad jūs pats atvasināsit formulu, kas palīdzēs atrast jebkuru ģeometriskās progresijas locekli. Vai arī esat to jau izcēlis sev, aprakstot, kā pakāpeniski atrast th dalībnieku? Ja tā, tad pārbaudiet sava argumentācijas pareizību.

Ilustrēsim to ar piemēru, kā atrast šīs progresijas --to locekli:

Citiem vārdiem sakot:

Atrodiet sev noteiktās ģeometriskās progresijas locekļa vērtību.

Vai notika? Salīdziniet mūsu atbildes:

Pievērsiet uzmanību tam, ka jūs saņēmāt tieši tādu pašu skaitli kā iepriekšējā metodē, kad mēs secīgi reizinām ar katru iepriekšējo ģeometriskās progresijas locekli.
Mēģināsim "depersonalizēt" šo formulu - mēs to izveidojam vispārīgā formā un iegūstam:

Atvasinātā formula attiecas uz visām vērtībām - gan pozitīvajām, gan negatīvajām. Pārbaudiet to pats, aprēķinot ģeometriskās progresijas nosacījumus ar šādiem nosacījumiem: , a.

Vai skaitījāt? Salīdzināsim rezultātus:

Piekrītu, ka progresijas biedru būtu iespējams atrast tāpat kā biedru, tomēr pastāv iespēja kļūdīties. Un, ja jau esam atraduši ģeometriskās progresijas th a, tad kas var būt vienkāršāk kā izmantot formulas “nogriezto” daļu.

Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija.

Pavisam nesen mēs runājām par to, kas var būt lielāks vai mazāks par nulli, tomēr ir īpašas vērtības, kurām sauc ģeometrisko progresiju bezgalīgi samazinās.

Kāpēc, jūsuprāt, tam ir šāds nosaukums?
Sākumā pierakstīsim ģeometrisko progresiju, kas sastāv no locekļiem.
Teiksim, tad:

Mēs redzam, ka katrs nākamais termins ir mazāks par iepriekšējo reizi, bet vai būs kāds skaitlis? Jūs uzreiz atbildat - "nē". Tāpēc bezgalīgi sarūkošais - samazinās, samazinās, bet nekad nekļūst par nulli.

Lai skaidri saprastu, kā tas izskatās vizuāli, mēģināsim uzzīmēt mūsu progresa grafiku. Tātad mūsu gadījumā formulai ir šāda forma:

Diagrammās mēs esam pieraduši veidot atkarību no:

Izteiksmes būtība nav mainījusies: pirmajā ierakstā mēs parādījām ģeometriskās progresijas elementa vērtības atkarību no tā kārtas skaitļa, bet otrajā ierakstā mēs vienkārši paņēmām ģeometriskās progresijas elementa vērtību, un kārtas numurs tika apzīmēts nevis kā, bet gan kā. Atliek tikai izveidot grafiku.
Paskatīsimies, kas jums ir. Lūk, diagramma, ko saņēmu:

Redzi? Funkcija samazinās, tiecas uz nulli, bet nekad nešķērso to, tāpēc tā bezgalīgi samazinās. Atzīmēsim grafikā savus punktus un tajā pašā laikā koordinātu un nozīmi:

Mēģiniet shematiski attēlot ģeometriskās progresijas grafiku, ja arī tās pirmais loceklis ir vienāds. Analizējiet, kāda ir atšķirība no mūsu iepriekšējās diagrammas?

Vai jums izdevās? Lūk, diagramma, ko saņēmu:

Tagad, kad esat pilnībā sapratis ģeometriskās progresijas tēmas pamatprincipus: jūs zināt, kas tas ir, jūs zināt, kā atrast tā termiņu, kā arī zināt, kas ir bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija, pāriesim pie tās galvenās īpašības.

ģeometriskās progresijas īpašība.

Vai atceries aritmētiskās progresijas locekļu īpašību? Jā, jā, kā atrast progresijas noteikta skaitļa vērtību, ja ir šīs progresijas dalībnieku iepriekšējās un turpmākās vērtības. Atcerējās? Šis:

Tagad mēs saskaramies ar tieši tādu pašu jautājumu par ģeometriskās progresijas nosacījumiem. Lai iegūtu šādu formulu, sāksim zīmēt un argumentēt. Jūs redzēsiet, tas ir ļoti vienkārši, un, ja esat aizmirsis, varat to izcelt pats.

Ņemsim vēl vienu vienkāršu ģeometrisko progresiju, kurā mēs zinām un. Kā atrast? Ar aritmētisko progresiju tas ir viegli un vienkārši, bet kā ir šeit? Patiesībā arī ģeometrijā nav nekā sarežģīta - tikai katra mums dotā vērtība jākrāso pēc formulas.

Jūs jautājat, un ko mēs ar to tagad darīsim? Jā, ļoti vienkārši. Sākumā attēlosim šīs formulas attēlā un mēģināsim ar tām veikt dažādas manipulācijas, lai iegūtu vērtību.

Mēs abstrahējamies no mums dotajiem skaitļiem, koncentrēsimies tikai uz to izteiksmi, izmantojot formulu. Mums jāatrod oranžā krāsā iezīmētā vērtība, zinot tai blakus esošos terminus. Mēģināsim ar tiem veikt dažādas darbības, kuru rezultātā varam iegūt.

Papildinājums.
Mēģināsim pievienot divas izteiksmes, un mēs iegūstam:

No šī izteiksmes, kā redzat, mēs nekādi nevarēsim izteikt, tāpēc mēģināsim citu variantu - atņemšanu.

Atņemšana.

Kā redzat, mēs arī no tā nevaram izteikties, tāpēc mēģināsim šos izteicienus pavairot vienu ar otru.

Reizināšana.

Tagad uzmanīgi apskatiet to, kas mums ir, reizinot mums dotās ģeometriskās progresijas nosacījumus salīdzinājumā ar to, kas jāatrod:

Uzminiet, par ko es runāju? Pareizi, lai to atrastu, ir jāņem kvadrātsakne no ģeometriskās progresijas skaitļiem, kas atrodas blakus vajadzīgajam skaitlim, reizināti viens ar otru:

Lūk. Jūs pats izsecinājāt ģeometriskās progresijas īpašību. Mēģiniet uzrakstīt šo formulu vispārīgā formā. Vai notika?

Kad esat aizmirsis nosacījumu? Padomājiet par to, kāpēc tas ir svarīgi, piemēram, mēģiniet to aprēķināt pats, plkst. Kas notiek šajā gadījumā? Tieši tā, pilnīgas muļķības, jo formula izskatās šādi:

Attiecīgi neaizmirstiet par šo ierobežojumu.

Tagad aprēķināsim, kas ir

Pareizā atbilde - ! Ja aprēķinot neaizmirsāt otro iespējamo vērtību, tad esat lielisks puisis un varat nekavējoties doties uz apmācību, un, ja aizmirsāt, izlasiet tālāk analizēto un pievērsiet uzmanību, kāpēc atbildē ir jāraksta abas saknes. .

Uzzīmēsim abas mūsu ģeometriskās progresijas – vienu ar vērtību, otru ar vērtību un pārbaudīsim, vai abām ir tiesības pastāvēt:

Lai pārbaudītu, vai šāda ģeometriskā progresija pastāv vai nē, ir jāskatās, vai tā ir vienāda starp visiem tās dotajiem locekļiem? Aprēķiniet q pirmajam un otrajam gadījumam.

Redziet, kāpēc mums ir jāraksta divas atbildes? Jo vajadzīgā termiņa zīme ir atkarīga no tā, vai tā ir pozitīva vai negatīva! Un tā kā mēs nezinām, kas tas ir, mums ir jāraksta abas atbildes ar plusu un mīnusu.

Tagad, kad esat apguvis galvenos punktus un secinājis ģeometriskās progresijas īpašības formulu, atrodiet, zinot un

Salīdziniet savas atbildes ar pareizajām:

Ko jūs domājat, ja mums tiktu dotas nevis ģeometriskās progresijas locekļu vērtības, kas atrodas blakus vēlamajam skaitlim, bet vienādā attālumā no tā. Piemēram, mums ir jāatrod, un, ņemot vērā un. Vai šajā gadījumā mēs varam izmantot formulu, ko mēs atvasinājām? Mēģiniet apstiprināt vai atspēkot šo iespēju tādā pašā veidā, aprakstot, no kā sastāv katra vērtība, kā jūs to darījāt, sākotnēji atvasinot formulu.
Ko tu dabūji?

Tagad vēlreiz uzmanīgi apskatiet.
un attiecīgi:

No tā mēs varam secināt, ka formula darbojas ne tikai ar kaimiņiem ar vēlamajiem ģeometriskās progresijas nosacījumiem, bet arī ar vienādā attālumā no tā, ko biedri meklē.

Tādējādi mūsu sākotnējā formula kļūst:

Tas ir, ja pirmajā gadījumā mēs to teicām, tagad mēs sakām, ka tas var būt vienāds ar jebkuru naturālu skaitli, kas ir mazāks. Galvenais, lai abiem dotajiem cipariem būtu vienāds.

Praktizējiet konkrētus piemērus, tikai esiet īpaši uzmanīgi!

1. , . Atrast.
2. , . Atrast.
3. , . Atrast.

Izlemts? Ceru, ka bijāt ārkārtīgi uzmanīgs un pamanījāt nelielu lomu.

Mēs salīdzinām rezultātus.

Pirmajos divos gadījumos mēs mierīgi piemērojam iepriekš minēto formulu un iegūstam šādas vērtības:

Trešajā gadījumā, rūpīgi apsverot mums doto numuru sērijas numurus, mēs saprotam, ka tie neatrodas vienādā attālumā no mūsu meklētā numura: tas ir iepriekšējais numurs, bet noņemts vietā, tāpēc tas nav iespējams lai piemērotu formulu.

Kā to atrisināt? Patiesībā tas nav tik grūti, kā šķiet! Kopā ar jums pierakstīsim, no kā sastāv katrs mums iedotais un vēlamais cipars.

Tātad mums ir un. Paskatīsimies, ko ar tiem varam darīt. Iesaku sadalīties. Mēs iegūstam:

Mēs aizstājam savus datus formulā:

Nākamais solis, ko varam atrast - šim nolūkam mums ir jāņem iegūtā skaitļa kuba sakne.

Tagad apskatīsim vēlreiz, kas mums ir. Mums ir, bet mums ir jāatrod, un tas, savukārt, ir vienāds ar:

Mēs atradām visus nepieciešamos datus aprēķinam. Aizstāt formulā:

Mūsu atbilde: .

Mēģiniet pats atrisināt citu problēmu:
Ņemot vērā: ,
Atrast:

Cik tu saņēmi? Man ir -.

Kā redzat, patiesībā jums ir nepieciešams atcerieties tikai vienu formulu- . Visu pārējo jūs varat jebkurā laikā bez grūtībām izņemt pats. Lai to izdarītu, vienkārši uzrakstiet uz papīra lapas vienkāršāko ģeometrisko progresiju un pierakstiet, ar ko saskaņā ar iepriekš minēto formulu ir vienāds katrs tās skaitlis.

Ģeometriskās progresijas vārdu summa.

Tagad apsveriet formulas, kas ļauj ātri aprēķināt ģeometriskās progresijas vārdu summu noteiktā intervālā:

Lai iegūtu formulu ierobežotas ģeometriskās progresijas terminu summai, visas iepriekš minētā vienādojuma daļas reizinām ar. Mēs iegūstam:

Paskatieties uzmanīgi: kas ir kopīgs pēdējām divām formulām? Tieši tā, piemēram, parastie dalībnieki un tā tālāk, izņemot pirmo un pēdējo dalībnieku. Mēģināsim atņemt 1. vienādojumu no 2. vienādojuma. Ko tu dabūji?

Tagad izsakiet, izmantojot ģeometriskās progresijas elementa formulu, un aizstājiet iegūto izteiksmi mūsu pēdējā formulā:

Grupējiet izteiksmi. Jums vajadzētu iegūt:

Viss, kas jādara, ir izteikt:

Attiecīgi šajā gadījumā.

Ja? Kāda formula tad darbojas? Iedomājieties ģeometrisko progresiju pie. Kāda viņa ir? Pareizi identisku skaitļu sērija, attiecīgi, formula izskatīsies šādi:

Tāpat kā aritmētisko un ģeometrisko progresiju, ir daudz leģendu. Viena no tām ir leģenda par Setu, šaha radītāju.

Daudzi cilvēki zina, ka šaha spēle tika izgudrota Indijā. Kad hinduistu karalis viņu satika, viņš bija sajūsmā par viņas asprātību un viņā iespējamo pozīciju dažādību. Uzzinājis, ka to izdomājis kāds no viņa pavalstniekiem, karalis nolēma viņu personīgi apbalvot. Viņš aicināja pie sevis izgudrotāju un lika viņam lūgt visu, ko viņš vēlas, apsolot izpildīt pat visprasmīgāko vēlmi.

Seta lūdza laiku pārdomām, un, kad nākamajā dienā Seta parādījās karaļa priekšā, viņš pārsteidza karali ar viņa lūguma nepārspējamo pieticību. Viņš prasīja kviešu graudu pirmajam šaha galdiņa lauciņam, kviešus otrajam, trešajam, ceturtajam utt.

Karalis sadusmojās un padzina Setu, sakot, ka kalpa lūgums nav karaliskās dāsnuma cienīgs, taču apsolīja, ka kalps saņems savus graudus par visām dēļa šūnām.

Un tagad jautājums ir: izmantojot ģeometriskās progresijas locekļu summas formulu, aprēķiniet, cik graudu Setam jāsaņem?

Sāksim apspriest. Tā kā saskaņā ar nosacījumu Sets prasīja kviešu graudu šaha galdiņa pirmajai šūnai, otrajai, trešajai, ceturtajai utt., mēs redzam, ka problēma ir par ģeometrisko progresiju. Kas šajā gadījumā ir vienāds?
Taisnība.

Kopējās šaha galda šūnas. Attiecīgi,. Mums ir visi dati, atliek tikai aizstāt formulu un aprēķināt.

Lai vismaz aptuveni attēlotu dotā skaitļa "skalas", mēs pārveidojam, izmantojot pakāpes īpašības:

Protams, ja vēlaties, varat paņemt kalkulatoru un izrēķināt, ar kādu skaitli jūs nonākat, un, ja nē, jums būs jāpiekrīt manam vārdam: izteiksmes galīgā vērtība būs.
T.i.:

kvintiljoni kvadriljoni triljoni miljardu miljonu tūkstošu.

Fuh) Ja vēlaties iedomāties šī skaitļa milzīgumu, tad aprēķiniet, kāda izmēra šķūnis būtu nepieciešams, lai tajā ievietotu visu graudu daudzumu.
Ar šķūņa augstumu m un platumu m, tās garumam būtu jāsniedzas līdz km, t.i. divreiz tālāk nekā no Zemes līdz Saulei.

Ja karalis būtu spēcīgs matemātikā, viņš varētu piedāvāt zinātniekam pašam saskaitīt graudus, jo, lai saskaitītu miljonu graudu, viņam būtu nepieciešama vismaz diena nenogurstoša skaitīšana, un, ņemot vērā to, ka ir nepieciešams skaitīt kvintiljonus, graudi būtu jāskaita visu mūžu.

Un tagad mēs atrisināsim vienkāršu uzdevumu par ģeometriskās progresijas terminu summu.
5. klases skolniece Vasja saslima ar gripu, taču turpina iet skolā. Katru dienu Vasja inficē divus cilvēkus, kuri, savukārt, inficē vēl divus cilvēkus utt. Klasē tikai viens cilvēks. Pēc cik dienām visa klase saslims ar gripu?

Tātad pirmais ģeometriskās progresijas dalībnieks ir Vasja, tas ir, cilvēks. ģeometriskās progresijas dalībnieks, šie ir divi cilvēki, kurus viņš inficēja pirmajā ierašanās dienā. Kopējā progresijas dalībnieku summa ir vienāda ar studentu skaitu 5A. Attiecīgi mēs runājam par progresu, kurā:

Aizstāsim savus datus ģeometriskās progresijas terminu summas formulā:

Visa klase saslims dažu dienu laikā. Netici formulām un skaitļiem? Mēģiniet pats attēlot skolēnu "infekciju". Vai notika? Skatiet, kā tas izskatās man:

Aprēķiniet paši, cik dienas skolēni saslimtu ar gripu, ja visi inficētu cilvēku, un klasē bija cilvēks.

Kādu vērtību jūs ieguvāt? Izrādījās, ka visi pēc dienas sāka slimot.

Kā redzams, šāds uzdevums un tam paredzētais zīmējums atgādina piramīdu, kurā katrs nākamais “ieved” jaunus cilvēkus. Tomēr agrāk vai vēlāk pienāk brīdis, kad pēdējie nevar nevienu piesaistīt. Mūsu gadījumā, ja iedomājamies, ka klase ir izolēta, persona no aizver ķēdi (). Tādējādi, ja persona būtu iesaistīta finanšu piramīdā, kurā nauda tika dota, ja jūs atvedat divus citus dalībniekus, tad persona (vai vispārīgā gadījumā) nevienu neatnestu, attiecīgi zaudētu visu, ko viņi ieguldīja šajā finanšu krāpniecībā. .

Viss, kas tika teikts iepriekš, attiecas uz dilstošu vai pieaugošu ģeometrisko progresiju, taču, kā jūs atceraties, mums ir īpašs veids - bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Kā aprēķināt tā dalībnieku summu? Un kāpēc šāda veida progresēšanai ir noteiktas iezīmes? Izdomāsim to kopā.

Tāpēc iesākumam vēlreiz apskatīsim šo bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas attēlu no mūsu piemēra:

Un tagad apskatīsim ģeometriskās progresijas summas formulu, kas iegūta nedaudz agrāk:
vai

Uz ko mēs tiecamies? Tieši tā, grafikā redzams, ka tai ir tendence uz nulli. Tas ir, kad tas būs gandrīz vienāds, attiecīgi, aprēķinot izteiksmi, mēs saņemsim gandrīz. Šajā sakarā mēs uzskatām, ka, aprēķinot bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summu, šo iekavu var neņemt vērā, jo tā būs vienāda.

- formula ir bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas vārdu summa.

SVARĪGS! Mēs izmantojam bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas terminu summas formulu tikai tad, ja nosacījums skaidri nosaka, ka mums ir jāatrod summa bezgalīgs biedru skaitu.

Ja norādīts konkrēts skaitlis n, tad izmantojam n vārdu summas formulu, pat ja vai.

Un tagad trenēsimies.

1. Atrodiet ģeometriskās progresijas pirmo vārdu summu ar un.
2. Atrodiet bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas vārdu summu ar un.

Ceru, ka biji ļoti uzmanīgs. Salīdziniet mūsu atbildes:

Tagad jūs zināt visu par ģeometrisko progresiju, un ir pienācis laiks pāriet no teorijas uz praksi. Visbiežāk sastopamās eksponenciālās problēmas, kas konstatētas eksāmenā, ir salikto procentu problēmas. Par viņiem mēs runāsim.

Problēmas salikto procentu aprēķināšanā.

Jūs noteikti esat dzirdējuši par tā saukto salikto procentu formulu. Vai jūs saprotat, ko viņa domā? Ja nē, tad izdomāsim, jo, realizējot pašu procesu, uzreiz sapratīsi, kāds ar to saistīts ģeometriskā progresija.

Mēs visi ejam uz banku un zinām, ka noguldījumiem ir dažādi nosacījumi: tas ir termiņš, un papildus uzturēšana, un procenti ar diviem dažādiem to aprēķināšanas veidiem – vienkāršu un sarežģītu.

NO vienkārša interese viss ir vairāk vai mazāk skaidrs: procenti tiek iekasēti vienu reizi depozīta termiņa beigās. Tas ir, ja mēs runājam par 100 rubļu ielikšanu gadā, tad tie tiks ieskaitīti tikai gada beigās. Attiecīgi līdz depozīta beigām mēs saņemsim rubļus.

Saliktie procenti ir iespēja, kurā procentu kapitalizācija, t.i. to pieskaitīšana depozīta summai un turpmākais ienākumu aprēķins nevis no sākotnējās, bet no uzkrātās depozīta summas. Lielo burtu lietojums nenotiek pastāvīgi, bet ar zināmu periodiskumu. Parasti šādi periodi ir vienādi un visbiežāk bankas izmanto mēnesi, ceturksni vai gadu.

Teiksim, mēs ieliekam visus tos pašus rubļus gadā, bet ar ikmēneša depozīta kapitalizāciju. Ko mēs iegūstam?

Vai tu šeit visu saproti? Ja nē, pieņemsim to soli pa solim.

Atnesām uz banku rubļus. Līdz mēneša beigām mūsu kontā vajadzētu būt summai, kas sastāv no mūsu rubļiem un procentiem par tiem, tas ir:

Piekrītu?

Mēs varam to izņemt no kronšteina, un tad mēs iegūstam:

Piekrītu, šī formula jau ir vairāk līdzīga tai, kuru rakstījām sākumā. Atliek nodarboties ar procentiem

Problēmas stāvoklī mums stāsta par gada. Kā jūs zināt, mēs nereizinām ar - mēs pārvēršam procentus decimāldaļās, tas ir:

Taisnība? Tagad jūs jautājat, no kurienes cēlies numurs? Ļoti vienkārši!
Es atkārtoju: problēmas stāvoklis saka par GADU uzkrātie procenti MĒNEŠA. Kā zināms, attiecīgi pēc gada mēnešiem banka no mums iekasēs daļu no gada procentiem mēnesī:

Saprata? Tagad mēģiniet uzrakstīt, kā šī formulas daļa izskatītos, ja es teiktu, ka procenti tiek aprēķināti katru dienu.
Vai jums izdevās? Salīdzināsim rezultātus:

Labi padarīts! Atgriezīsimies pie sava uzdevuma: pierakstiet, cik mūsu kontā ieskaitīsies otro mēnesi, ņemot vērā, ka par uzkrāto depozīta summu tiek iekasēti procenti.
Lūk, kas ar mani notika:

Vai, citiem vārdiem sakot:

Es domāju, ka jūs jau esat pamanījuši rakstu un tajā visā redzējāt ģeometrisku progresiju. Uzrakstiet, ar ko būs vienāds tās dalībnieks, jeb, citiem vārdiem sakot, cik naudas mēs saņemsim mēneša beigās.
Gatavs? Pārbauda!

Kā redzat, ja ieliksiet naudu bankā uz gadu ar vienkāršiem procentiem, tad jūs saņemsiet rubļus, un, ja jūs to ieliksit pēc saliktās likmes, jūs saņemsiet rubļus. Ieguvums ir neliels, bet tas notiek tikai gada laikā, bet ilgākā periodā kapitalizācija ir daudz izdevīgāka:

Apsveriet cita veida salikto procentu problēmas. Pēc tā, ko tu izdomāji, tev tas būs elementāri. Tātad uzdevums ir:

Zvezda sāka investēt šajā nozarē 2000. gadā ar dolāru kapitālu. Kopš 2001. gada ik gadu tas guvis peļņu, kas ir līdzvērtīga iepriekšējā gada kapitālam. Cik lielu peļņu uzņēmums Zvezda saņems 2003.gada beigās, ja peļņa netiks izņemta no apgrozības?

Uzņēmuma Zvezda kapitāls 2000.g.
- uzņēmuma Zvezda kapitāls 2001. gadā.
- uzņēmuma Zvezda kapitāls 2002. gadā.
- uzņēmuma Zvezda kapitāls 2003. gadā.

Vai arī mēs varam īsi uzrakstīt:

Mūsu gadījumā:

2000., 2001., 2002. un 2003. gads.

Attiecīgi:
rubļi
Ņemiet vērā, ka šajā uzdevumā mums nav dalījuma ne pēc, ne pēc, jo procenti tiek norādīti GADĀ un tiek aprēķināti GADĀ. Tas ir, lasot salikto procentu problēmu, pievērsiet uzmanību tam, cik procenti ir norādīti un kurā periodā tie tiek iekasēti, un tikai pēc tam pārejiet pie aprēķiniem.
Tagad jūs zināt visu par ģeometrisko progresiju.

Apmācība.

1. Atrodiet ģeometriskās progresijas terminu, ja ir zināms, ka un
2. Atrodiet ģeometriskās progresijas pirmo vārdu summu, ja ir zināms, ka un
3. MDM Capital sāka investēt šajā nozarē 2003. gadā ar dolāra kapitālu. Kopš 2004. gada ik gadu viņa guvusi peļņu, kas līdzvērtīga iepriekšējā gada kapitālam. Uzņēmums "MSK Cash Flows" sāka investēt nozarē 2005.gadā 10 000 ASV dolāru apmērā, 2006.gadā sākot strādāt ar peļņu. Par cik dolāriem viena uzņēmuma kapitāls pārsniedz cita uzņēmuma kapitālu 2007. gada beigās, ja peļņa netiktu izņemta no apgrozības?

Atbildes:

1. Tā kā uzdevuma nosacījums nepasaka, ka progresija ir bezgalīga un ir jāatrod noteikta tā dalībnieku skaita summa, tad aprēķinu veic pēc formulas:
2. 
   Uzņēmums "MDM Capital":

   2003., 2004., 2005., 2006., 2007. gads.
   - palielinās par 100%, tas ir, 2 reizes.
   Attiecīgi:
   rubļi
   MSK naudas plūsmas:

   2005., 2006., 2007. gads.
   - palielinās par, tas ir, reizes.
   Attiecīgi:
   rubļi
   rubļi

Apkoposim.

1) Ģeometriskā progresija ( ) ir skaitliska secība, kuras pirmais loceklis atšķiras no nulles un katrs, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizinot ar to pašu skaitli. Šo skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju.

2) Ģeometriskās progresijas locekļu vienādojums -.

3) var pieņemt jebkuru vērtību, izņemot un.

• ja, tad visiem nākamajiem progresijas dalībniekiem ir viena zīme - viņi pozitīvs;
• ja, tad visi nākamie progresijas dalībnieki alternatīvas zīmes;
• kad - progresiju sauc par bezgalīgi dilstošu.

4) , at - ģeometriskās progresijas īpašība (blakus esošie elementi)

vai
, pie (vienādi termini)

Kad atrodat, neaizmirstiet to vajadzētu būt divām atbildēm..

Piemēram,

5) Ģeometriskās progresijas locekļu summu aprēķina pēc formulas:
vai

Ja progresija bezgalīgi samazinās, tad:
vai

SVARĪGS! Mēs izmantojam bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas terminu summas formulu tikai tad, ja nosacījums skaidri nosaka, ka mums ir jāatrod bezgalīgi daudzu terminu summa.

6) Salikto procentu uzdevumus aprēķina arī pēc ģeometriskās progresijas locekļu formulas, ja līdzekļi nav izņemti no apgrozības:

ĢEOMETRISKĀ PROGRESIJA. ĪSUMĀ PAR GALVENO

Ģeometriskā progresija( ) ir skaitliska secība, kuras pirmais loceklis atšķiras no nulles, un katrs vārds, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizinot ar to pašu skaitli. Šo numuru sauc ģeometriskās progresijas saucējs.

Ģeometriskās progresijas saucējs var pieņemt jebkuru vērtību, izņemot un.

• Ja, tad visiem nākamajiem progresijas dalībniekiem ir vienāda zīme - tie ir pozitīvi;
• ja, tad visi nākamie progresijas dalībnieki aizstāj zīmes;
• kad - progresiju sauc par bezgalīgi dilstošu.

Ģeometriskās progresijas locekļu vienādojums - .

Ģeometriskās progresijas vārdu summa aprēķina pēc formulas:
vai

Ģeometriskā progresija kopā ar aritmētiku ir svarīga skaitļu rinda, kas tiek pētīta skolas algebras kursā 9. klasē. Šajā rakstā mēs apskatīsim ģeometriskās progresijas saucēju un to, kā tā vērtība ietekmē tās īpašības.

Ģeometriskās progresijas definīcija

Sākumā mēs sniedzam šīs skaitļu sērijas definīciju. Ģeometriskā progresija ir racionālu skaitļu virkne, ko veido, secīgi reizinot tās pirmo elementu ar konstantu skaitli, ko sauc par saucēju.

Piemēram, skaitļi sērijās 3, 6, 12, 24, ... ir ģeometriska progresija, jo, reizinot 3 (pirmo elementu) ar 2, mēs iegūstam 6. Ja mēs reizinām 6 ar 2, mēs iegūstam 12, un tā tālāk.

Aplūkojamās secības dalībniekus parasti apzīmē ar simbolu ai, kur i ir vesels skaitlis, kas norāda elementa numuru sērijā.

Iepriekš minēto progresijas definīciju matemātikas valodā var uzrakstīt šādi: an = bn-1 * a1, kur b ir saucējs. Šo formulu ir viegli pārbaudīt: ja n = 1, tad b1-1 = 1, un mēs iegūstam a1 = a1. Ja n = 2, tad an = b * a1, un mēs atkal nonākam pie aplūkojamās skaitļu sērijas definīcijas. Līdzīgu argumentāciju var turpināt attiecībā uz lielām n vērtībām.

Ģeometriskās progresijas saucējs

Skaitlis b pilnībā nosaka, kāda rakstzīme būs visai skaitļu sērijai. Saucējs b var būt pozitīvs, negatīvs vai lielāks vai mazāks par vienu. Visas iepriekš minētās opcijas rada dažādas secības:

• b > 1. Pastāv arvien lielāka racionālo skaitļu rinda. Piemēram, 1, 2, 4, 8, ... Ja elements a1 ir negatīvs, tad visa secība pieaugs tikai modulo, bet samazināsies, ņemot vērā skaitļu zīmi.
• b = 1. Bieži vien šādu gadījumu nesauc par progresiju, jo ir parasta identisku racionālu skaitļu rinda. Piemēram, -4, -4, -4.

Summas formula

Pirms konkrēto problēmu izskatīšanas, izmantojot aplūkojamā progresijas veida saucēju, ir jādod svarīga formula tās pirmo n elementu summai. Formula ir šāda: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Šo izteiksmi varat iegūt pats, ja ņemat vērā progresijas dalībnieku rekursīvu secību. Ņemiet vērā arī to, ka iepriekš minētajā formulā pietiek zināt tikai pirmo elementu un saucēju, lai atrastu patvaļīga skaita terminu summu.

Bezgalīgi dilstoša secība

Iepriekš bija paskaidrojums par to, kas tas ir. Tagad, zinot Sn formulu, piemērosim to šai skaitļu sērijai. Tā kā jebkuram skaitlim, kura modulis nepārsniedz 1, ir tendence uz nulli, ja to palielina līdz lielām pakāpēm, tas ir, b∞ => 0, ja -1

Tā kā starpība (1 - b) vienmēr būs pozitīva, neatkarīgi no saucēja vērtības, bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas S∞ summas zīmi unikāli nosaka tās pirmā elementa zīme a1.

Tagad apskatīsim vairākas problēmas, kur parādīsim, kā iegūtās zināšanas pielietot konkrētiem skaitļiem.

Uzdevuma numurs 1. Nezināmo progresijas elementu un summas aprēķins

Ņemot vērā ģeometrisko progresiju, progresijas saucējs ir 2, un tās pirmais elements ir 3. Kāds būs tās 7. un 10. termins, un kāda ir tās septiņu sākotnējo elementu summa?

Problēmas nosacījums ir diezgan vienkāršs un ietver tiešu iepriekš minēto formulu izmantošanu. Tātad, lai aprēķinātu elementu ar skaitli n, mēs izmantojam izteiksmi an = bn-1 * a1. 7. elementam mums ir: a7 = b6 * a1, aizvietojot zināmos datus, mēs iegūstam: a7 = 26 * 3 = 192. Mēs darām to pašu ar 10. dalībnieku: a10 = 29 * 3 = 1536.

Mēs izmantojam labi zināmo summas formulu un nosakām šo vērtību sērijas pirmajiem 7 elementiem. Mums ir: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Uzdevuma numurs 2. Patvaļīgu progresijas elementu summas noteikšana

Ar -2 ir eksponenciālās progresijas bn-1 * 4 saucējs, kur n ir vesels skaitlis. Nepieciešams noteikt summu no šīs sērijas 5. līdz 10. elementam, ieskaitot.

Uzdoto problēmu nevar tieši atrisināt, izmantojot zināmas formulas. To var atrisināt 2 dažādos veidos. Pilnības labad mēs piedāvājam abus.

1. metode. Tās ideja ir vienkārša: jāaprēķina divas atbilstošās pirmo vārdu summas un pēc tam no viena jāatņem otrs. Aprēķiniet mazāko summu: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Tagad mēs aprēķinām lielo summu: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Ņemiet vērā, ka pēdējā izteiksmē tika summēti tikai 4 termini, jo 5. jau ir iekļauts summā, kas jāaprēķina atbilstoši uzdevuma stāvoklim. Visbeidzot, mēs ņemam starpību: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2. metode. Pirms skaitļu aizstāšanas un skaitīšanas var iegūt formulu summai starp attiecīgās sērijas vārdiem m un n. Mēs rīkojamies tieši tāpat kā 1. metodē, tikai vispirms strādājam ar summas simbolisko attēlojumu. Mums ir: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Iegūtajā izteiksmē varat aizstāt zināmus skaitļus un aprēķināt gala rezultātu: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Uzdevuma numurs 3. Kāds ir saucējs?

Ļaujiet a1 = 2 atrast ģeometriskās progresijas saucēju, ja tā bezgalīgā summa ir 3 un ir zināms, ka šī ir dilstoša skaitļu virkne.

Pēc problēmas stāvokļa nav grūti uzminēt, kura formula jāizmanto tās risināšanai. Protams, bezgalīgi dilstoša progresa summai. Mums ir: S∞ = a1 / (1 - b). No kurienes mēs izsakām saucēju: b = 1 - a1 / S∞. Atliek aizstāt zināmās vērtības un iegūt nepieciešamo skaitli: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 vai -0,333 (3). Šo rezultātu varam pārbaudīt kvalitatīvi, ja atceramies, ka šāda veida secībai modulis b nedrīkst pārsniegt 1. Kā redzat, |-1 / 3|

Uzdevums numurs 4. Ciparu sērijas atjaunošana

Doti 2 skaitļu sērijas elementi, piemēram, 5. ir vienāds ar 30 un 10. ir vienāds ar 60. No šiem datiem ir jāatjauno visa sērija, zinot, ka tā apmierina ģeometriskās progresijas īpašības.

Lai atrisinātu problēmu, vispirms ir jāpieraksta atbilstošā izteiksme katram zināmajam dalībniekam. Mums ir: a5 = b4 * a1 un a10 = b9 * a1. Tagad mēs sadalām otro izteiksmi ar pirmo, iegūstam: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. No šejienes mēs nosakām saucēju, ņemot piektās pakāpes sakni no uzdevuma nosacījuma zināmo locekļu attiecības, b = 1,148698. Mēs aizstājam iegūto skaitli vienā no zināma elementa izteiksmēm, iegūstam: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Tādējādi mēs esam noskaidrojuši, kas ir progresijas bn saucējs, un ģeometriskā progresija bn-1 * 17.2304966 = an, kur b = 1.148698.

Kur tiek izmantotas ģeometriskās progresijas?

Ja šīs skaitliskās rindas praktiski neizmantotu, tad tās izpēte tiktu reducēta uz tīri teorētisku interesi. Bet ir tāds pieteikums.

Tālāk ir uzskaitīti 3 slavenākie piemēri:

• Zenona paradokss, kurā veiklais Ahillejs nespēj panākt lēno bruņurupuci, tiek atrisināts, izmantojot bezgalīgi dilstošās skaitļu virknes koncepciju.
• Ja uz katras šaha galdiņa šūnas ievieto kviešu graudus tā, lai 1. šūnā būtu 1 grauds, 2. - 2., 3. - 3. un tā tālāk, tad, lai aizpildītu visas dēlis!
• Spēlē "Tower of Hanoi", lai pārkārtotu diskus no viena stieņa uz otru, ir jāveic 2n - 1 darbības, tas ir, to skaits pieaug eksponenciāli no izmantoto disku skaita n.

Ja katrs naturālais skaitlis n atbilst reālam skaitlim a n , tad viņi saka, ka dota numuru secība :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Tātad skaitliskā secība ir dabiska argumenta funkcija.

Numurs a 1 sauca pirmais secības dalībnieks , numurs a 2 — otrais secības dalībnieks , numurs a 3 — trešais utt. Numurs a n sauca n-tais secības dalībnieks , un naturālais skaitlis n — viņa numurs .

No diviem kaimiņu biedriem a n Un a n +1 dalībnieku secības a n +1 sauca sekojošais (pret a n ), bet a n — iepriekšējā (pret a n +1 ).

Lai norādītu secību, ir jānorāda metode, kas ļauj atrast secības dalībnieku ar jebkuru skaitli.

Bieži vien secība tiek dota ar n-tā termina formulas , tas ir, formula, kas ļauj noteikt secības locekli pēc tā numura.

Piemēram,

pozitīvo nepāra skaitļu secību var norādīt pēc formulas

a n= 2n- 1,

un pārmaiņus secība 1 Un -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Secību var noteikt atkārtota formula, tas ir, formula, kas izsaka jebkuru secības locekli, sākot ar dažiem, izmantojot iepriekšējos (vienu vai vairākus) dalībniekus.

Piemēram,

ja a 1 = 1 , bet a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ja a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tad pirmie septiņi skaitļu secības locekļi tiek iestatīti šādi:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Secības var būt galīgais Un bezgalīgs .

Secība tiek saukta galīgais ja tajā ir ierobežots dalībnieku skaits. Secība tiek saukta bezgalīgs ja tajā ir bezgala daudz dalībnieku.

Piemēram,

divciparu naturālu skaitļu secība:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

galīgais.

Pirmskaitļu secība:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

bezgalīgs. ◄

Secība tiek saukta pieaug , ja katrs tā dalībnieks, sākot no otrā, ir lielāks par iepriekšējo.

Secība tiek saukta dilstoša , ja katrs tā dalībnieks, sākot no otrā, ir mazāks par iepriekšējo.

Piemēram,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ir augoša secība;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ir dilstoša secība. ◄

Tiek izsaukta secība, kuras elementi, palielinoties skaitam, nesamazinās vai, gluži pretēji, nepalielinās monotona secība .

Jo īpaši monotoniskās sekvences ir secības, kas palielinās un secības samazinās.

Aritmētiskā progresija

Aritmētiskā progresija tiek izsaukta secība, kuras katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, kuram pieskaita tādu pašu skaitli.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ir aritmētiskā progresija jebkuram naturālam skaitlim n nosacījums ir izpildīts:

a n +1 = a n + d,

kur d - kāds cipars.

Tādējādi atšķirība starp nākamo un iepriekšējo dotās aritmētiskās progresijas locekļiem vienmēr ir nemainīga:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Numurs d sauca aritmētiskās progresijas starpība.

Lai iestatītu aritmētisko progresiju, pietiek norādīt tās pirmo termiņu un starpību.

Piemēram,

ja a 1 = 3, d = 4 , tad secības pirmie pieci vārdi tiek atrasti šādi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmētiskajai progresijai ar pirmo termiņu a 1 un atšķirība d viņa n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Piemēram,

atrast aritmētiskās progresijas trīsdesmito daļu

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

tad acīmredzot

a n=	a n-1 + a n+1
	2

katrs aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo locekļu vidējo aritmētisko.

skaitļi a, b un c ir kādas aritmētiskās progresijas secīgi dalībnieki tad un tikai tad, ja viens no tiem ir vienāds ar pārējo divu vidējo aritmētisko.

Piemēram,

a n = 2n- 7 , ir aritmētiskā progresija.

Izmantosim iepriekš minēto apgalvojumu. Mums ir:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Sekojoši,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Pieraksti to n -aritmētiskās progresijas locekli var atrast ne tikai caur a 1 , bet arī jebkuru iepriekšējo a k

a n = a k + (n- k)d.

Piemēram,

priekš a 5 var uzrakstīt

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

tad acīmredzot

a n=	a n-k +a n+k
	2

jebkurš aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrās, ir vienāds ar pusi no šīs aritmētiskās progresijas locekļu summas, kas atrodas vienādi no tās.

Turklāt jebkurai aritmētiskajai progresijai ir patiesa vienādība:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Piemēram,

aritmētiskajā progresijā

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jo

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

vispirms n aritmētiskās progresijas locekļi ir vienādi ar pusi no galējo terminu summas ar terminu skaitu:

No tā jo īpaši izriet, ka, ja ir nepieciešams summēt terminus

a k, a k +1 , . . . , a n,

tad iepriekšējā formula saglabā savu struktūru:

Piemēram,

aritmētiskajā progresijā 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ja ir dota aritmētiskā progresija, tad lielumus a 1 , a n, d, n UnS n savienotas ar divām formulām:

Tāpēc, ja ir norādītas trīs šo lielumu vērtības, tad no šīm formulām tiek noteiktas atbilstošās pārējo divu lielumu vērtības, kas apvienotas divu vienādojumu sistēmā ar diviem nezināmiem.

Aritmētiskā progresija ir monotona secība. Kurā:

• ja d > 0 , tad tas palielinās;
• ja d < 0 , tad tas samazinās;
• ja d = 0 , tad secība būs stacionāra.

Ģeometriskā progresija

ģeometriskā progresija tiek izsaukta secība, kuras katrs termins, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizināts ar to pašu skaitli.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ir ģeometriskā progresija jebkuram naturālam skaitlim n nosacījums ir izpildīts:

b n +1 = b n · q,

kur q ≠ 0 - kāds cipars.

Tādējādi šīs ģeometriskās progresijas nākamā vārda attiecība pret iepriekšējo ir nemainīgs skaitlis:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numurs q sauca ģeometriskās progresijas saucējs.

Lai iestatītu ģeometrisko progresiju, pietiek norādīt tās pirmo terminu un saucēju.

Piemēram,

ja b 1 = 1, q = -3 , tad secības pirmie pieci vārdi tiek atrasti šādi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 un saucējs q viņa n - terminu var atrast pēc formulas:

b n = b 1 · q n -1 .

Piemēram,

atrast ģeometriskās progresijas septīto biedru 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

tad acīmredzot

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

katrs ģeometriskās progresijas elements, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo elementu ģeometrisko vidējo (proporcionālo).

Tā kā ir taisnība arī otrādi, spēkā ir šāds apgalvojums:

skaitļi a, b un c ir kādas ģeometriskas progresijas secīgi dalībnieki tad un tikai tad, ja viena no tiem kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu reizinājumu, tas ir, viens no skaitļiem ir pārējo divu ģeometriskais vidējais.

Piemēram,

pierādīsim, ka ar formulu dotā secība b n= -3 2 n , ir ģeometriska progresija. Izmantosim iepriekš minēto apgalvojumu. Mums ir:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Sekojoši,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kas pierāda vajadzīgo apgalvojumu. ◄

Pieraksti to n ģeometriskās progresijas terminu var atrast ne tikai caur b 1 , bet arī jebkuru iepriekšējo terminu b k , kam pietiek izmantot formulu

b n = b k · q n - k.

Piemēram,

priekš b 5 var uzrakstīt

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

tad acīmredzot

b n 2 = b n - k· b n + k

jebkura ģeometriskās progresijas locekļu kvadrāts, sākot no otrā, ir vienāds ar šīs progresijas locekļu reizinājumu vienādā attālumā no tā.

Turklāt jebkurai ģeometriskajai progresijai ir taisnība:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Piemēram,

eksponenciāli

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jo

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

vispirms n ģeometriskās progresijas locekļi ar saucēju q ≠ 0 aprēķina pēc formulas:

Un tad, kad q = 1 - pēc formulas

S n= n.b. 1

Ņemiet vērā, ka, ja mums ir nepieciešams summēt terminus

b k, b k +1 , . . . , b n,

tad tiek izmantota formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Piemēram,

eksponenciāli 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ja dota ģeometriskā progresija, tad lielumus b 1 , b n, q, n Un S n savienotas ar divām formulām:

Tāpēc, ja ir norādītas jebkuru trīs šo lielumu vērtības, pārējo divu lielumu atbilstošās vērtības tiek noteiktas no šīm formulām, kas apvienotas divu vienādojumu sistēmā ar diviem nezināmiem.

Ģeometriskajai progresijai ar pirmo termiņu b 1 un saucējs q notiek sekojošais monotonības īpašības :

• progresēšana palielinās, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

b 1 > 0 Un q> 1;

b 1 < 0 Un 0 < q< 1;

• Progresēšana samazinās, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

b 1 > 0 Un 0 < q< 1;

b 1 < 0 Un q> 1.

Ja q< 0 , tad ģeometriskā progresija ir mainīga ar zīmēm: tās nepāra numuriem ir tāda pati zīme kā pirmajam vārdam, un pāra skaitļiem ir pretēja zīme. Ir skaidrs, ka mainīga ģeometriskā progresija nav monotona.

Pirmā prece n ģeometriskās progresijas nosacījumus var aprēķināt pēc formulas:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Piemēram,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija

Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija sauc par bezgalīgu ģeometrisku progresiju, kuras saucēja modulis ir mazāks par 1 , t.i

|q| < 1 .

Ņemiet vērā, ka bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija var nebūt dilstoša secība. Tas atbilst gadījumam

1 < q< 0 .

Ar šādu saucēju secība ir zīmju maiņa. Piemēram,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summa nosauciet skaitli, kuram ir pirmā summa n progresijas termini ar neierobežotu skaita pieaugumu n . Šis skaitlis vienmēr ir ierobežots un tiek izteikts ar formulu

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Piemēram,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmētiskās un ģeometriskās progresijas attiecības

Aritmētiskā un ģeometriskā progresija ir cieši saistītas. Apskatīsim tikai divus piemērus.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , tad

ba 1 , ba 2 , ba 3 , . . . b d .

Piemēram,

1, 3, 5, . . . — aritmētiskā progresija ar starpību 2 Un

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ir ģeometriskā progresija ar saucēju 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . ir ģeometriskā progresija ar saucēju q , tad

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmētiskā progresija ar starpību žurnāls aq .

Piemēram,

2, 12, 72, . . . ir ģeometriskā progresija ar saucēju 6 Un

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmētiskā progresija ar starpību lg 6 . ◄